ઇન્ટિગ્રલ્સના મૂળભૂત ગુણધર્મોની રચના કરો. ઇન્ટિગ્રલ્સના સૌથી સરળ ગુણધર્મો

મૂળભૂત એકીકરણ સૂત્રો ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સૂત્રોને ઉલટાવીને મેળવવામાં આવે છે, તેથી, વિચારણા હેઠળના વિષયનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરતા પહેલા, તમારે 1 મૂળભૂત કાર્યોને અલગ પાડવા માટેના સૂત્રોનું પુનરાવર્તન કરવું જોઈએ (એટલે કે, ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક યાદ રાખો).

એન્ટિડેરિવેટિવની વિભાવનાથી પરિચિત થતાં, અનિશ્ચિત અભિન્નતાની વ્યાખ્યા અને ભિન્નતા અને એકીકરણની કામગીરીની તુલના કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓએ એ હકીકત પર ધ્યાન આપવું જોઈએ કે એકીકરણનું કાર્ય બહુમૂલ્ય છે, કારણ કે વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો અનંત સમૂહ આપે છે. જો કે, વાસ્તવમાં, માત્ર એક એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવાની સમસ્યા હલ થાય છે, કારણ કે આપેલ ફંક્શનના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ એક બીજાથી સ્થિર મૂલ્ય દ્વારા અલગ પડે છે

જ્યાં સી- મનસ્વી મૂલ્ય 2.

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનની વ્યાખ્યા આપો.

અનિશ્ચિત અભિન્ન શું છે?

ઇન્ટિગ્રન્ડ ફંક્શન શું છે?

ઇન્ટિગ્રેન્ડ શું છે?

એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યોના પરિવારનો ભૌમિતિક અર્થ સૂચવો.

6. કુટુંબમાં, બિંદુમાંથી પસાર થતો વળાંક શોધો

2. અનિશ્ચિત અભિન્નના ગુણધર્મો.

સિમ્પલ ઇન્ટિગ્રલ્સનું ટેબલ

અહીં વિદ્યાર્થીઓએ અનિશ્ચિત અવિભાજ્યના નીચેના ગુણધર્મો શીખવા જરૂરી છે.

મિલકત 1. અનિશ્ચિત અવિભાજ્યનું વ્યુત્પન્ન એ 3જી ફંક્શનના પૂર્ણાંક સમાન છે (વ્યાખ્યા દ્વારા)

મિલકત 2. ઇન્ટિગ્રલનો ડિફરન્શિયલ ઇન્ટિગ્રેંડ બરાબર છે

તે જો વિભેદક ચિહ્ન અભિન્ન ચિહ્ન પહેલાં આવે છે, તો પછી તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે.

મિલકત 3. જો અભિન્ન ચિહ્ન વિભેદક ચિન્હ પહેલા આવે છે, તો તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે, અને કાર્યમાં એક મનસ્વી સ્થિર મૂલ્ય ઉમેરવામાં આવે છે.

મિલકત 4. સમાન કાર્યના બે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ વચ્ચેનો તફાવત એ સ્થિર મૂલ્ય છે.

મિલકત 5. અવિભાજ્ય ચિન્હની નીચેથી સ્થિર અવયવને બહાર કાઢી શકાય છે

જ્યાં એ- સતત સંખ્યા.

માર્ગ દ્વારા, આ ગુણધર્મ 2 ને ધ્યાનમાં લઈને સમાનતા (2.4) ની બંને બાજુઓને અલગ કરીને સરળતાથી સાબિત થાય છે.

મિલકત 6. ફંક્શનના સરવાળા (તફાવત) નું ઇન્ટિગ્રલ આ ફંક્શનના ઇન્ટિગ્રલના સરવાળા (તફાવત) જેટલું છે (જો તેઓ અલગથી અસ્તિત્વમાં હોય તો)

આ ગુણધર્મ ભિન્નતા દ્વારા પણ સરળતાથી સાબિત થાય છે.

મિલકતનું કુદરતી સામાન્યીકરણ 6

. (2.6)

એકીકરણને ભિન્નતાની વ્યસ્ત ક્રિયા તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, સરળ ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાંથી સીધા જ સરળ પૂર્ણાંકોનું નીચેનું કોષ્ટક મેળવી શકાય છે.

સૌથી સરળ અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનું કોષ્ટક

1. , ક્યાં, (2.7)

2. , ક્યાં, (2.8)

4. , ક્યાં,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

ફોર્મ્યુલા (2.7) – (2.16) સૌથી સરળ અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો હૃદયથી શીખવા જોઈએ. તેમના વિશેનું જ્ઞાન જરૂરી છે, પરંતુ કેવી રીતે સંકલન કરવું તે શીખવા માટે તે પૂરતું નથી. એકીકરણમાં સતત કૌશલ્ય માત્ર પૂરતી મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓ (સામાન્ય રીતે વિવિધ પ્રકારનાં લગભગ 150 - 200 ઉદાહરણો) હલ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે.

ઉપરના કોષ્ટકમાંથી જાણીતા અવિભાજ્ય (2.7) – (2.16) ના સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરીને પૂર્ણાંકોને સરળ બનાવવાના ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.

કાર્ય કરવા દો y = f(x) અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે [ a, b ], a < b. ચાલો નીચેની ક્રિયાઓ કરીએ:

1) ચાલો વિભાજિત કરીએ [ a, b] બિંદુઓ a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b પર nઆંશિક ભાગો [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) દરેક આંશિક સેગમેન્ટમાં [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, એક મનસ્વી બિંદુ પસંદ કરો અને આ બિંદુએ કાર્યની કિંમતની ગણતરી કરો: f(z i ) ;

3) કાર્યો શોધો f(z i ) · Δ x i , આંશિક સેગમેન્ટની લંબાઈ ક્યાં છે [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) ચાલો મેકઅપ કરીએ અભિન્ન રકમકાર્યો y = f(x) સેગમેન્ટ પર [ a, b ]:

ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી, આ સરવાળો σ એ લંબચોરસના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે જેના પાયા આંશિક ભાગો છે [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], અને ઊંચાઈ સમાન છે f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) તે મુજબ (ફિગ. 1). ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ λ સૌથી લાંબા આંશિક સેગમેન્ટની લંબાઈ:

5) જ્યારે અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા શોધો λ → 0.

વ્યાખ્યા.જો અવિભાજ્ય રકમ (1) ની મર્યાદિત મર્યાદા હોય અને તે સેગમેન્ટના વિભાજનની પદ્ધતિ પર આધારિત ન હોય તો [ a, b] આંશિક સેગમેન્ટમાં, કે પોઈન્ટની પસંદગીથી z iતેમાં, પછી આ મર્યાદા કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ અભિન્નકાર્યમાંથી y = f(x) સેગમેન્ટ પર [ a, b] અને સૂચવવામાં આવે છે

આમ,

આ કિસ્સામાં કાર્ય f(x) કહેવાય છે અવિભાજ્યપર [ a, b]. સંખ્યાઓ aઅને bઅનુક્રમે એકીકરણની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદા કહેવાય છે, f(x) - એકીકૃત કાર્ય, f(x ) ડીએક્સ- એકીકૃત અભિવ્યક્તિ, x- એકીકરણ ચલ; સેગમેન્ટ [ a, b] ને એકીકરણ અંતરાલ કહેવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1.જો કાર્ય y = f(x) અંતરાલ પર સતત છે [ a, b], પછી તે આ અંતરાલ પર એકીકૃત છે.

એકીકરણની સમાન મર્યાદા સાથેનો ચોક્કસ અવિભાજ્ય શૂન્ય બરાબર છે:

જો a > b, પછી, વ્યાખ્યા દ્વારા, અમે ધારીએ છીએ

2. ચોક્કસ અભિન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

સેગમેન્ટ પર ચાલો [ a, b] સતત બિન-નકારાત્મક કાર્ય સ્પષ્ટ થયેલ છે y = f(x ) . વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડફંક્શનના ગ્રાફ દ્વારા ઉપર બંધાયેલ આકૃતિ છે y = f(x), નીચેથી - ઓક્સ અક્ષ સાથે, ડાબી અને જમણી તરફ - સીધી રેખાઓ x = aઅને x = b(ફિગ. 2).

બિન-નકારાત્મક કાર્યનું ચોક્કસ અભિન્ન અંગ y = f(x) ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી કાર્યના આલેખ દ્વારા ઉપરથી બંધાયેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રની બરાબર છે y = f(x), ડાબે અને જમણે – રેખા સેગમેન્ટ્સ x = aઅને x = b, નીચેથી - ઓક્સ અક્ષનો એક ભાગ.

3. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના મૂળભૂત ગુણધર્મો

1. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય એકીકરણ ચલના હોદ્દા પર આધારિત નથી:

2. અચળ પરિબળને નિશ્ચિત અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

3. બે વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું ચોક્કસ અવિભાજ્ય આ વિધેયોના ચોક્કસ પૂર્ણાંકોના બીજગણિતીય સરવાળા જેટલું છે:

4. જો કાર્ય y = f(x) પર એકીકૃત છે [ a, b] અને a < b < c, તે

5. (સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય). જો કાર્ય y = f(x) અંતરાલ પર સતત છે [ a, b], તો પછી આ સેગમેન્ટ પર એક બિંદુ છે જેવો

4. ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર

પ્રમેય 2.જો કાર્ય y = f(x) અંતરાલ પર સતત છે [ a, b] અને એફ(x) આ સેગમેન્ટમાં તેના કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ છે, તો નીચેનું સૂત્ર માન્ય છે:

જે કહેવાય છે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર.તફાવત એફ(b) - એફ(a) સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

જ્યાં પ્રતીકને ડબલ વાઇલ્ડકાર્ડ કહેવામાં આવે છે.

આમ, સૂત્ર (2) આ રીતે લખી શકાય છે:

ઉદાહરણ 1.ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

ઉકેલ. ઇન્ટિગ્રેન્ડ માટે f(x ) = x 2 એક મનસ્વી એન્ટિડેરિવેટિવનું સ્વરૂપ છે

કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવનો ઉપયોગ ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રમાં થઈ શકે છે, તેથી અવિભાજ્યની ગણતરી કરવા માટે અમે એન્ટિડેરિવેટિવ લઈએ છીએ જેનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ છે:

5. ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલનો ફેરફાર

પ્રમેય 3.કાર્ય કરવા દો y = f(x) અંતરાલ પર સતત છે [ a, b]. જો:

1) કાર્ય x = φ ( t) અને તેનું વ્યુત્પન્ન φ "( t) પર સતત છે;

2) કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ x = φ ( t) માટે સેગમેન્ટ છે [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, તો સૂત્ર માન્ય છે

જે કહેવાય છે ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલ બદલવા માટેનું સૂત્ર .

આ કિસ્સામાં, અનિશ્ચિત અભિન્નથી વિપરીત જરૂર નથીમૂળ સંકલન ચલ પર પાછા ફરો - ફક્ત α અને β એકીકરણની નવી મર્યાદાઓ શોધવા માટે તે પૂરતું છે (આ માટે તમારે ચલ માટે હલ કરવાની જરૂર છે tસમીકરણો φ ( t) = aઅને φ ( t) = b).

અવેજીને બદલે x = φ ( t) તમે અવેજીનો ઉપયોગ કરી શકો છો t = g(x). આ કિસ્સામાં, ચલ પર એકીકરણની નવી મર્યાદા શોધવી tસરળ બનાવે છે: α = g(a) , β = g(b) .

ઉદાહરણ 2. ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

ઉકેલ. ચાલો ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને એક નવું ચલ રજૂ કરીએ. સમાનતાની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીને, આપણને 1 + મળે છે x = t 2 , ક્યાં x = t 2 - 1, ડીએક્સ = (t 2 - 1)"તા= 2tdt. અમે એકીકરણની નવી મર્યાદા શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, ચાલો જૂની મર્યાદાઓને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ x = 3 અને x = 8. આપણને મળે છે: , ક્યાંથી t= 2 અને α = 2; , ક્યાં t= 3 અને β = 3. તેથી,

ઉદાહરણ 3.ગણતરી કરો

ઉકેલ. દો u= લોગ x, પછી, વિ = x. સૂત્ર મુજબ (4)

વિભેદક કલનનું મુખ્ય કાર્યવ્યુત્પન્ન શોધવા માટે છે f'(x)અથવા વિભેદક df=f'(x)ડીએક્સકાર્યો f(x).ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં વ્યસ્ત સમસ્યા હલ થાય છે. આપેલ કાર્ય અનુસાર f(x) તમારે આવા કાર્ય શોધવાની જરૂર છે F(x),શું F'(x) =f(x)અથવા dF(x)=F'(x)dx=f(x)ડીએક્સ

આમ, અભિન્ન કલનનું મુખ્ય કાર્યકાર્યની પુનઃસ્થાપના છે F(x)આ કાર્યના જાણીતા વ્યુત્પન્ન (વિભેદક) દ્વારા. ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં ભૂમિતિ, મિકેનિક્સ, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ટેકનોલોજીમાં અસંખ્ય એપ્લિકેશનો છે. તે વિસ્તારો, વોલ્યુમો, ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રો વગેરે શોધવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિ આપે છે.

વ્યાખ્યા. કાર્યF(x), , ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ કહેવાય છેf(x) સેટ X પર જો તે કોઈપણ માટે અલગ હોય અનેF'(x)=f(x) અથવાdF(x)=f(x)ડીએક્સ

પ્રમેય. અંતરાલ પર કોઈપણ સતત રેખા [a;b] કાર્યf(x) આ સેગમેન્ટમાં એન્ટિડેરિવેટિવ છેF(x).

પ્રમેય. જોF 1 (x) અનેF 2 (x) - સમાન કાર્યના બે અલગ અલગ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝf(x) સેટ x પર, પછી તેઓ સતત શબ્દ દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે, એટલે કે.F 2 (x)=F 1x)+C, જ્યાં C એ અચલ છે.

અનિશ્ચિત અભિન્ન, તેના ગુણધર્મો.

વ્યાખ્યા. સંપૂર્ણતાF(x)+બધા એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યોમાંથીf(x) સેટ પર Xને અનિશ્ચિત અભિન્ન કહેવામાં આવે છે અને તે સૂચવવામાં આવે છે:

- (1)

સૂત્રમાં (1) f(x)ડીએક્સકહેવાય છે એકીકરણ,f(x) - ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શન, x - ઇન્ટિગ્રેશન વેરીએબલ,એ સી - એકીકરણ સતત.

ચાલો આપણે અનિશ્ચિત અભિન્નના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ જે તેની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

1. અનિશ્ચિત અવિભાજ્યનું વ્યુત્પન્ન એ પૂર્ણાંક સમાન છે, અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકનું વિભેદક પૂર્ણાંક સમાન છે:

અને .

2. અમુક ફંક્શનના ડિફરન્સલનું અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ આ ફંક્શનના સરવાળા અને મનસ્વી સ્થિરાંક સમાન છે:

3. અચળ પરિબળ a (a≠0) ને અનિશ્ચિત અભિન્ન ચિહ્ન તરીકે બહાર લઈ શકાય છે:

4. વિધેયોની મર્યાદિત સંખ્યાના બીજગણિતીય સરવાળાનો અનિશ્ચિત પૂર્ણાંક આ વિધેયોના પૂર્ણાંકોના બીજગણિતીય સરવાળા સમાન છે:

5. જોF(x) - કાર્યનું એન્ટિડેરિવેટિવf(x), પછી:

6 (સંકલન સૂત્રોનું આવર્તન). કોઈપણ એકીકરણ ફોર્મ્યુલા તેનું સ્વરૂપ જાળવી રાખે છે જો એકીકરણ ચલને આ ચલના કોઈપણ વિભેદક કાર્ય દ્વારા બદલવામાં આવે છે:

જ્યાંu એ એક અલગ કાર્ય છે.

અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનું કોષ્ટક.

ચાલો આપીએ કાર્યોને એકીકૃત કરવા માટેના મૂળભૂત નિયમો.

ચાલો આપીએ મૂળભૂત અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનું કોષ્ટક.(નોંધ કરો કે અહીં, વિભેદક ગણતરીની જેમ, અક્ષર uસ્વતંત્ર ચલ તરીકે નિયુક્ત કરી શકાય છે (u=x), અને સ્વતંત્ર ચલનું કાર્ય (u=તમે(x)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

ઇન્ટિગ્રલ્સ 1 - 17 કહેવામાં આવે છે ટેબ્યુલર

ઇન્ટિગ્રલ્સના કોષ્ટકમાં ઉપરોક્ત કેટલાક સૂત્રો, જે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં એનાલોગ ધરાવતા નથી, તેમની જમણી બાજુઓને અલગ કરીને ચકાસવામાં આવે છે.

અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકમાં ભાગો દ્વારા ચલ અને એકીકરણમાં ફેરફાર.

અવેજી દ્વારા એકીકરણ (ચલ રિપ્લેસમેન્ટ). અવિભાજ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે

, જે ટેબ્યુલર નથી. અવેજી પદ્ધતિનો સાર એ છે કે અભિન્ન ચલમાં એક્સચલ સાથે બદલો tસૂત્ર અનુસાર x=φ(t),જ્યાં dx=φ'(t)તા.

પ્રમેય. કાર્ય કરવા દોx=φ(t) ચોક્કસ સેટ T પર વ્યાખ્યાયિત અને ભિન્નતાપાત્ર છે અને X એ આ ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ છે જેના પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેf(x). પછી જો સેટ X પર ફંક્શન હોયf(

એન્ટિડેરિવેટિવ અને અનિશ્ચિત અભિન્ન.

અંતરાલ (a; b) પર ફંક્શન f(x) નું એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન F(x) છે જેમ કે આપેલ અંતરાલમાંથી કોઈપણ x માટે સમાનતા ધરાવે છે.

જો આપણે એ હકીકતને ધ્યાનમાં લઈએ કે સ્થિર C નું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, તો સમાનતા સાચી છે . આમ, ફંક્શન f(x) માં મનસ્વી સતત C માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ F(x)+C નો સમૂહ છે, અને આ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ મનસ્વી સ્થિર મૂલ્ય દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે.

ફંક્શન f(x) ના એન્ટિડેરિવેટિવ્સના સંપૂર્ણ સેટને આ ફંક્શનનું અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે. .

અભિવ્યક્તિને ઇન્ટિગ્રૅન્ડ કહેવામાં આવે છે, અને f(x) ને ઇન્ટિગ્રૅન્ડ કહેવાય છે. ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શન f(x) ના વિભેદકને રજૂ કરે છે.

અજ્ઞાત ફંક્શનને તેના વિભેદકને જોતાં શોધવાની ક્રિયાને અનિશ્ચિત સંકલન કહેવામાં આવે છે, કારણ કે એકીકરણનું પરિણામ એક ફંક્શન F(x) નથી, પરંતુ તેના એન્ટિડેરિવેટિવ્સ F(x)+C નો સમૂહ છે.

ટેબલ ઇન્ટિગ્રલ્સ

ઇન્ટિગ્રલ્સના સૌથી સરળ ગુણધર્મો

1. એકીકરણ પરિણામનું વ્યુત્પન્ન એકીકરણ સમાન છે.

2. ફંક્શનના ડિફરન્સલનો અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ એ ફંક્શનના જ સરવાળો અને મનસ્વી સ્થિરાંક સમાન છે.

3. ગુણાંકને અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

4. વિધેયોના સરવાળા/તફાવતનું અનિશ્ચિત પૂર્ણાંક વિધેયોના અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના સરવાળો/તફાવત સમાન છે.

અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના પ્રથમ અને બીજા ગુણધર્મોની મધ્યવર્તી સમાનતા સ્પષ્ટતા માટે આપવામાં આવી છે.

ત્રીજા અને ચોથા ગુણધર્મોને સાબિત કરવા માટે, સમાનતાઓની જમણી બાજુના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે તે પૂરતું છે:

આ ડેરિવેટિવ્ઝ ઇન્ટિગ્રેન્ડ્સ સમાન છે, જે પ્રથમ ગુણધર્મને કારણે સાબિતી છે. તે છેલ્લા સંક્રમણોમાં પણ વપરાય છે.

આમ, એકીકરણ સમસ્યા એ ભિન્નતા સમસ્યાની વ્યસ્ત છે, અને આ સમસ્યાઓ વચ્ચે ખૂબ જ નજીકનું જોડાણ છે:

પ્રથમ મિલકત એકીકરણ તપાસવા માટે પરવાનગી આપે છે. કરવામાં આવેલ એકીકરણની શુદ્ધતા ચકાસવા માટે, પ્રાપ્ત પરિણામના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે તે પૂરતું છે. જો ભિન્નતાના પરિણામે મેળવેલ કાર્ય એકીકૃત સમાન હોવાનું બહાર આવે છે, તો તેનો અર્થ એ થશે કે એકીકરણ યોગ્ય રીતે હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું;

અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલનો બીજો ગુણધર્મ ફંક્શનના જાણીતા વિભેદકમાંથી તેનું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોની સીધી ગણતરી આ ગુણધર્મ પર આધારિત છે.

1.4.સંકલન સ્વરૂપોની અવ્યવસ્થા.

ઇન્વેરિઅન્ટ ઇન્ટિગ્રેશન એ ફંક્શન્સ માટે એકીકરણનો એક પ્રકાર છે જેની દલીલો જૂથના ઘટકો અથવા સજાતીય જગ્યાના બિંદુઓ છે (આવી જગ્યાના કોઈપણ બિંદુ જૂથની આપેલ ક્રિયા દ્વારા બીજા સ્થાનાંતરિત થઈ શકે છે).

ફંક્શન f(x) વિભેદક સ્વરૂપ f.w ના અભિન્ન ગણતરી માટે ઘટાડે છે, જ્યાં

r(x) માટે એક સ્પષ્ટ સૂત્ર નીચે આપેલ છે. કરારની શરત ફોર્મ ધરાવે છે .

અહીં Tg એટલે gOG નો ઉપયોગ કરીને X પર શિફ્ટ ઑપરેટર: Tgf(x)=f(g-1x). X=G ને ટોપોલોજી બનવા દો, એક જૂથ ડાબી પાળી દ્વારા પોતાના પર કાર્ય કરે છે. I. અને. જો G સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હોય તો જ અસ્તિત્વમાં છે (ખાસ કરીને, અનંત-પરિમાણીય જૂથો I.I. પર અસ્તિત્વમાં નથી). I. ના સબસેટ માટે અને. લાક્ષણિક કાર્ય cA (A પર 1 ની બરાબર અને A ની બહાર 0) ડાબી Xaar માપ m(A) નો ઉલ્લેખ કરે છે. આ માપની નિર્ધારિત ગુણધર્મ એ ડાબી પાળી હેઠળની તેની આવર્તન છે: m(g-1A)=m(A) બધા gОG માટે. જૂથ પર ડાબું હાર માપ સકારાત્મક સ્કેલર પરિબળ સુધી વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જો હાર માપ m જાણીતું હોય, તો I. અને. ફંક્શન f સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે . જમણી હર માપ સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે. જૂથ G ના DG (ગુણાકારના સંદર્ભમાં) પોઝિશનમાં સતત હોમોમોર્ફિઝમ (ગ્રૂપ પ્રોપર્ટી સાચવતો નકશો) છે. જેના માટે નંબરો

જ્યાં dmr અને dmi એ જમણા અને ડાબા હારના માપ છે. કાર્ય DG(g) કહેવાય છે જૂથ Gનું મોડ્યુલ. જો , તો પછી જૂથ G કહેવામાં આવે છે. યુનિમોડ્યુલર; આ કિસ્સામાં, જમણા અને ડાબા હારના માપ એકરૂપ થાય છે. કોમ્પેક્ટ, અર્ધસરળ અને નિલપોટન્ટ (ખાસ કરીને, વિનિમયાત્મક) જૂથો યુનિમોડ્યુલર છે. જો G એ n-પરિમાણીય અસત્ય જૂથ છે અને q1,...,qn એ G પર ડાબા-અચલ 1-સ્વરૂપોની જગ્યામાં આધાર છે, તો G પર ડાબું હાર માપ n-સ્વરૂપ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગણતરી માટે સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં

qi સ્વરૂપે, તમે જૂથ G ની કોઈપણ મેટ્રિક્સ અનુભૂતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો: મેટ્રિક્સ 1-ફોર્મ g-1dg અવિવર્તી બાકી છે, અને તેનો ગુણાંક. લેફ્ટ-અપરિવર્તનશીલ સ્કેલર 1-ફોર્મ છે જેમાંથી જરૂરી આધાર પસંદ કરવામાં આવ્યો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ મેટ્રિક્સ જૂથ GL(n, R) યુનિમોડ્યુલર છે અને તેના પર હાર માપ ફોર્મ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દો X=G/H એ સજાતીય જગ્યા છે જેના માટે સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ જૂથ G એ રૂપાંતર જૂથ છે, અને બંધ પેટાજૂથ H એ ચોક્કસ બિંદુનું સ્ટેબિલાઇઝર છે. X પર i.i. અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તમામ hOH માટે સમાનતા DG(h)=DH(h) ધરાવે છે. ખાસ કરીને, જ્યારે H કોમ્પેક્ટ અથવા અર્ધસરળ હોય ત્યારે આ સાચું છે. I. નો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત અને. અનંત-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ્સ પર અસ્તિત્વમાં નથી.

ચલોને બદલી રહ્યા છીએ.

એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન અને અનિશ્ચિત અભિન્ન

હકીકત 1. એકીકરણ એ ભિન્નતાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે, એટલે કે, આ ફંક્શનના જાણીતા ડેરિવેટિવમાંથી ફંક્શનને પુનઃસ્થાપિત કરવું. કાર્ય આમ પુનઃસ્થાપિત એફ(x) કહેવાય છે એન્ટિડેરિવેટિવકાર્ય માટે f(x).

વ્યાખ્યા 1. કાર્ય એફ(x f(x) અમુક અંતરાલ પર એક્સ, જો તમામ મૂલ્યો માટે xઆ અંતરાલથી સમાનતા જળવાઈ રહે છે એફ "(x)=f(x), એટલે કે, આ કાર્ય f(x) એ એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન છે એફ(x). .

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય એફ(x) = પાપ x ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x) = cos x x ની કોઈપણ કિંમત માટે (પાપ x)" = (cos x) .

વ્યાખ્યા 2. કાર્યનું અનિશ્ચિત અભિન્ન અંગ f(x) એ તેના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝનો સમૂહ છે. આ કિસ્સામાં, નોટેશનનો ઉપયોગ થાય છે

∫

f(x)ડીએક્સ

નિશાની ક્યાં છે ∫ અભિન્ન ચિહ્ન કહેવાય છે, કાર્ય f(x) - એકીકૃત કાર્ય, અને f(x)ડીએક્સ - એકીકૃત અભિવ્યક્તિ.

આમ, જો એફ(x) - માટે કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ f(x), તે

∫

f(x)ડીએક્સ = એફ(x) +સી

જ્યાં સી - મનસ્વી સતત (સતત).

અનિશ્ચિત અભિન્ન તરીકે કાર્યના એન્ટિડેરિવેટિવ્સના સમૂહનો અર્થ સમજવા માટે, નીચેની સામ્યતા યોગ્ય છે. ત્યાં એક દરવાજો (પરંપરાગત લાકડાનો દરવાજો) રહેવા દો. તેનું કાર્ય "દરવાજા બનવાનું" છે. દરવાજો શેનો બનેલો છે? લાકડાની બનેલી. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનના ઇન્ટિગ્રેન્ડના એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ “દરવાજો છે”, એટલે કે, તેનો અનિશ્ચિત અભિન્ન, ફંક્શન “ટુ બી એ ટ્રી + સી” છે, જ્યાં સી એ સ્થિર છે, જે આ સંદર્ભમાં કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વૃક્ષનો પ્રકાર સૂચવો. જેમ અમુક સાધનોનો ઉપયોગ કરીને દરવાજા લાકડામાંથી બનાવવામાં આવે છે, તેમ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને "બનાવ્યું" છે. ડેરિવેટિવનો અભ્યાસ કરતી વખતે આપણે જે સૂત્રો શીખ્યા .

પછી સામાન્ય વસ્તુઓ અને તેના અનુરૂપ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝના કાર્યોનું કોષ્ટક ("દરવાજા હોવું" - "વૃક્ષ હોવું", "ચમચી હોવું" - "ધાતુ હોવું", વગેરે) મૂળભૂત કોષ્ટક જેવું જ છે. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો, જે નીચે આપવામાં આવશે. અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટક સામાન્ય કાર્યોની સૂચિ આપે છે, જે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ સૂચવે છે કે જેમાંથી આ કાર્યો "બનાવેલા" છે. અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય શોધવાની સમસ્યાઓના ભાગરૂપે, પૂર્ણાંકો આપવામાં આવે છે જે ખૂબ પ્રયત્નો વિના સીધા જ સંકલિત કરી શકાય છે, એટલે કે, અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને. વધુ જટિલ સમસ્યાઓમાં, ઇન્ટિગ્રેંડને પહેલા રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે જેથી કરીને ટેબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરી શકાય.

હકીકત 2. એન્ટિડેરિવેટિવ તરીકે કાર્યને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે, આપણે મનસ્વી સ્થિરાંક (સતત) ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. સી, અને 1 થી અનંત સુધીના વિવિધ સ્થિરાંકો સાથે એન્ટિડેરિવેટિવ્સની સૂચિ ન લખવા માટે, તમારે મનસ્વી સ્થિરાંક સાથે એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ લખવાની જરૂર છે સી, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ: 5 x³+C. તેથી, એન્ટિડેરિવેટિવની અભિવ્યક્તિમાં મનસ્વી સ્થિરાંક (સતત) શામેલ છે, કારણ કે એન્ટિડેરિવેટિવ એક કાર્ય હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 5 x³+4 અથવા 5 x³+3 અને જ્યારે તફાવત કરવામાં આવે છે, 4 અથવા 3, અથવા અન્ય કોઈપણ સ્થિરાંક શૂન્ય પર જાય છે.

ચાલો એકીકરણની સમસ્યા રજૂ કરીએ: આ કાર્ય માટે f(x) આવા કાર્ય શોધો એફ(x), જેનું વ્યુત્પન્નની સમાન f(x).

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનના એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ શોધો

ઉકેલ. આ કાર્ય માટે, એન્ટિડેરિવેટિવ એ કાર્ય છે

કાર્ય એફ(x) ને કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ કહેવામાં આવે છે f(x), જો વ્યુત્પન્ન એફ(x) બરાબર છે f(x), અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, વિભેદક એફ(x) સમાન છે f(x) ડીએક્સ, એટલે કે

(2)

તેથી, ફંક્શન એ ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. જો કે, તે માટે એકમાત્ર એન્ટિડેરિવેટિવ નથી. તેઓ કાર્યો તરીકે પણ સેવા આપે છે

જ્યાં સાથે- મનસ્વી સ્થિરાંક. આ તફાવત દ્વારા ચકાસી શકાય છે.

આમ, જો કોઈ ફંક્શન માટે એક એન્ટિડેરિવેટિવ હોય, તો તેના માટે અસંખ્ય એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય છે જે સતત શબ્દ દ્વારા અલગ પડે છે. ફંક્શન માટેના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ ઉપરના સ્વરૂપમાં લખેલા છે. આ નીચેના પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે.

પ્રમેય (હકીકત 2 નું ઔપચારિક નિવેદન).જો એફ(x) - કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ f(x) અમુક અંતરાલ પર એક્સ, પછી માટે અન્ય કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ f(x) સમાન અંતરાલ પર ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે એફ(x) + સી, ક્યાં સાથે- મનસ્વી સ્થિરતા.

આગલા ઉદાહરણમાં, અમે ઇન્ટિગ્રલના કોષ્ટક તરફ વળીએ છીએ, જે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના ગુણધર્મો પછી ફકરા 3 માં આપવામાં આવશે. અમે આ સમગ્ર કોષ્ટક વાંચતા પહેલા કરીએ છીએ જેથી ઉપરનો સાર સ્પષ્ટ થાય. અને કોષ્ટક અને ગુણધર્મો પછી, અમે એકીકરણ દરમિયાન તેનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કરીશું.

ઉદાહરણ 2.એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યોના સેટ શોધો:

ઉકેલ. અમને એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન્સના સેટ મળે છે જેમાંથી આ ફંક્શન્સ "બનાવેલા" છે. પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્રોનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે, હમણાં માટે ફક્ત સ્વીકારો કે ત્યાં આવા સૂત્રો છે, અને આપણે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકનો થોડો આગળ અભ્યાસ કરીશું.

1) માટેના પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્ર (7) લાગુ કરવું n= 3, આપણને મળે છે

2) માટેના પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્ર (10) નો ઉપયોગ કરીને n= 1/3, અમારી પાસે છે

3) ત્યારથી

પછી સૂત્ર (7) સાથે n= -1/4 આપણે શોધીએ છીએ

તે પોતે જ કાર્ય નથી જે અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ લખાયેલું છે. f, અને વિભેદક દ્વારા તેનું ઉત્પાદન ડીએક્સ. આ મુખ્યત્વે એ દર્શાવવા માટે કરવામાં આવે છે કે એન્ટિડેરિવેટિવ કયા ચલ દ્વારા માંગવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,

, ;

અહીં બંને કિસ્સાઓમાં ઇન્ટિગ્રેંડ બરાબર છે, પરંતુ માનવામાં આવતા કેસોમાં તેના અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો અલગ અલગ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, આ કાર્યને ચલના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે x, અને બીજામાં - ના કાર્ય તરીકે z .

ફંક્શનના અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ શોધવાની પ્રક્રિયાને તે ફંક્શનનું એકીકરણ કહેવામાં આવે છે.

અનિશ્ચિત અભિન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

ધારો કે આપણે વળાંક શોધવાની જરૂર છે y=F(x)અને આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે તેના દરેક બિંદુઓ પરના સ્પર્શકોણની સ્પર્શક એ આપેલ કાર્ય છે f(x)આ બિંદુની અવગણના.

વ્યુત્પન્નના ભૌમિતિક અર્થ અનુસાર, વળાંકના આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક y=F(x)વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની સમાન F"(x). તેથી આપણે આવા કાર્ય શોધવાની જરૂર છે F(x), જેના માટે F"(x)=f(x). કાર્યમાં જરૂરી કાર્ય F(x)નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x). સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ એક વળાંક દ્વારા નહીં, પરંતુ વળાંકોના કુટુંબ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. y=F(x)- આમાંથી એક વળાંક, અને અન્ય કોઈપણ વળાંક તેમાંથી ધરી સાથે સમાંતર અનુવાદ દ્વારા મેળવી શકાય છે. ઓય.

ના એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનના ગ્રાફને કૉલ કરીએ f(x)અભિન્ન વળાંક. જો F"(x)=f(x), પછી ફંક્શનનો ગ્રાફ y=F(x)એક અભિન્ન વળાંક છે.

હકીકત 3. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંક ભૌમિતિક રીતે તમામ અભિન્ન વણાંકોના પરિવાર દ્વારા રજૂ થાય છે , નીચે ચિત્રમાં તરીકે. કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિથી દરેક વળાંકનું અંતર મનસ્વી એકીકરણ સ્થિરાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે સી.