Tg એ બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ

સૂચનાઓ

પદ્ધતિ 1. પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને. પ્રમેય જણાવે છે: કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે. તે અનુસરે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુ તેની બીજી બે બાજુઓને જાણીને ગણતરી કરી શકાય છે (ફિગ. 2)

પદ્ધતિ 2. તે હકીકત પરથી અનુસરે છે કે કર્ણોમાંથી દોરવામાં આવેલ મધ્યક એકબીજામાં 3 સમાન ત્રિકોણ બનાવે છે (ફિગ. 3). આ આકૃતિમાં ABC, BCD અને ACD ત્રિકોણ સમાન છે.

ઉદાહરણ 6: કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે એકમ વર્તુળોનો ઉપયોગ કરવો

પ્રથમ આપણે આપેલ કોણને અનુરૂપ સંદર્ભ કોણ શોધીએ છીએ. પછી આપણે સંદર્ભ કોણના સાઈન અને કોસાઈન મૂલ્યો લઈએ છીએ, અને તેમને ચતુર્થાંશના y- અને x-મૂલ્યોને અનુરૂપ ચિહ્નો આપીએ છીએ. આગળ આપણે આપેલ ખૂણાના કોસાઈન અને સાઈન શોધીશું.

ચાળણીનો કોણ, કોણ ત્રિકોણ અને ઘનમૂળ

નોંધ: હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચાળણીનો કોણ બનાવી શકાતો નથી. ક્યુબની બાજુની લંબાઈને 2 ના ક્યુબ રુટ વડે ગુણાકાર કરવાથી બમણા વોલ્યુમ સાથે ક્યુબની બાજુની લંબાઈ મળે છે. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી એવેરિસ્ટ ગેલોઇસના અગ્રણી સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, તે બતાવી શકાય છે કે ત્રણેય શાસ્ત્રીય સમસ્યાઓ માટે, વર્તુળ અને શાસક સાથે બાંધકામ અશક્ય છે.

કર્ણ એ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુ છે જે 90 અંશના ખૂણાની વિરુદ્ધ છે. તેની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે, તે એક પગની લંબાઈ અને ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાઓમાંથી એકનું કદ જાણવા માટે પૂરતું છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: હોકાયંત્ર અને શાસક વડે થ્રી-પાર્ટ એંગલ અને ક્યુબ રુટનું બાંધકામ શક્ય નથી.

બીજી બાજુ, કાર્ડનોના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા-અંશના સમીકરણનો ઉકેલ કોણ અને ઘનમૂળને વિભાજિત કરીને રજૂ કરી શકાય છે. ભવિષ્યમાં, આપણે વર્તુળ અને શાસક સાથે અમુક ખૂણો બાંધીએ છીએ. જો કે, એકવાર કોણ ત્રિકોણ થઈ જાય અને ઘનમૂળ નિર્ધારિત થઈ જાય, ત્યારે ચાળણીની ચોરસ ડિઝાઇનને પૂર્ણ કરવાનું હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

આ ગણતરી અનુસાર જાળીના તૂતકનું નિર્માણ

બાંધકામ સમસ્યાનું બીજગણિતીય સૂત્ર એક સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે, જેનું માળખાકીય વિશ્લેષણ ટર્નરી સ્ટ્રક્ચરના બાંધકામ વિશે વધારાની માહિતી પ્રદાન કરશે. અહીં એક ખૂણાના તેના કોસાઇન સાથેના એક-થી-એક સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે: જો કોણની તીવ્રતા જાણીતી હોય, તો ખૂણાના કોસાઇનની લંબાઈ એકમ વર્તુળ પર અનન્ય રીતે પ્લોટ કરી શકાય છે અને તેનાથી વિપરીત.

સૂચનાઓ

જમણા ત્રિકોણનો જાણીતો પગ અને તીવ્ર ખૂણો જોતાં, કર્ણોનું કદ આ ખૂણાના કોસાઇન/સાઇન સાથે પગના ગુણોત્તર જેટલું હોઈ શકે છે, જો આ ખૂણો તેની વિરુદ્ધ/અડીને હોય તો:

h = C1(અથવા C2)/sinα;

h = C1 (અથવા C2)/cosα.

ઉદાહરણ: AB અને કાટકોણ C ધરાવતો કાટકોણ 60 અંશ અને કોણ A 30 અંશ ધરાવો, આપણે AB ની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તમે ઉપર સૂચવેલ કોઈપણ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

આ એક-થી-એક કાર્ય તમને કોણ નક્કી કરવાથી કોણના કોસાઇનને નિર્ધારિત કરવા માટે આગળ વધવા દે છે. નીચેનામાં, 3φ એ વિભાજિત થવાનો કોણ સૂચવે છે. આમ, φ એક ખૂણો છે, જેનું મૂલ્ય આપેલ 3 φ પર નક્કી કરવું આવશ્યક છે. ત્રિકોણમિતિથી જાણીતા જોડાણોથી પ્રારંભ.

તે 3 φ ના આપેલ ખૂણા પર અનુસરે છે. ત્રિ-પરિમાણીય સમીકરણની દ્રાવ્યતાની બીજગણિત વિચારણા સીધા ઉકેલો બાંધવાની સંભાવનાના પ્રશ્ન તરફ દોરી જાય છે અને પરિણામે, આપેલ ખૂણાના રચનાત્મક ત્રિવિધ ખૂણાની શક્યતા અથવા અશક્યતાના પ્રશ્ન તરફ દોરી જાય છે.

AB = BC/cos60 = 8 સે.મી.

AB = BC/sin30 = 8 સે.મી.

કર્ણ એ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુ છે જે કાટખૂણાની વિરુદ્ધમાં આવેલું છે. તે કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી લાંબી બાજુ છે. તે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અથવા ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે.

ત્રીજા ખૂણાને જોડવાની સંભાવના પર એક્ઝિટ એંગલની તીવ્રતાનો મોટો પ્રભાવ છે, કારણ કે આ, સંપૂર્ણ શબ્દ તરીકે, ત્રિ-પરિમાણીય સમીકરણમાં ઉકેલોના પ્રકારને નિર્ણાયક રીતે નક્કી કરે છે. જો ત્રિકોણ સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક ઉકેલ હોય જે તર્કસંગત ક્રિયાઓ દ્વારા અથવા આપેલ પ્રારંભિક કોણ માટે વર્ગમૂળ દોરીને મેળવી શકાય, તો તે ઉકેલ રચનાત્મક છે.

બ્રેઇડનબેચે એક માપદંડ તરીકે ઘડ્યો કે ત્રણ-સેકન્ડના કોણનું અર્થઘટન માત્ર ત્રણ-ભાગના સમીકરણના તર્કસંગત ઉકેલમાં કરી શકાય છે. જો આવા ઉકેલ ઉપલબ્ધ ન હોય, તો ત્રણ-ભાગની ડિઝાઇન સમસ્યા હોકાયંત્ર અને શાસક સાથે અસંગત છે. ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ એ મોટા ડેટા સેટમાંથી નાના જૂથોને એસેમ્બલ કરવા માટેની સામાન્ય તકનીક છે. ભેદભાવપૂર્ણ વિશ્લેષણની જેમ, ક્લસ્ટર વિશ્લેષણનો ઉપયોગ અવલોકનોને જૂથોમાં વર્ગીકૃત કરવા માટે પણ થાય છે. બીજી બાજુ, ભેદભાવપૂર્ણ વિશ્લેષણ માટે વર્ગીકરણ નિયમ મેળવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા કેસોમાં જૂથ સભ્યપદના જ્ઞાનની જરૂર છે.

સૂચનાઓ

કાટકોણની બાજુમાં આવેલા કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓને પગ કહેવામાં આવે છે. આકૃતિમાં, પગને AB અને BC તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે. બંને પગની લંબાઈ આપવા દો. ચાલો તેમને |AB| તરીકે દર્શાવીએ અને |BC|. કર્ણોની લંબાઈ |AC| શોધવા માટે, અમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ પ્રમેય મુજબ, પગના ચોરસનો સરવાળો કર્ણના વર્ગના બરાબર છે, એટલે કે. અમારી આકૃતિના સંકેતમાં |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. સૂત્રમાંથી આપણે શોધીએ છીએ કે કર્ણ AC ની લંબાઈ |AC| તરીકે જોવા મળે છે = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ એ વધુ આદિમ પદ્ધતિ છે કારણ કે તે જૂથોની સંખ્યા અથવા જૂથ સભ્યપદ વિશે કોઈ ધારણા કરતી નથી. વર્ગીકરણ ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ સંભવિત સંબંધોને શોધવા અને મોટી સંખ્યામાં ચલો અને અવલોકનોમાં વ્યવસ્થિત માળખું બનાવવાનો માર્ગ પૂરો પાડે છે. હાયરાર્કિકલ ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ એ માપેલ લાક્ષણિકતાઓના આધારે કેસોના પ્રમાણમાં સજાતીય ક્લસ્ટરો શોધવા માટેની મૂળભૂત આંકડાકીય પદ્ધતિ છે. તે દરેક કેસ સાથે એક અલગ ક્લસ્ટર તરીકે શરૂ થાય છે.

પછી ક્લસ્ટરોને ક્રમિક રીતે જોડવામાં આવે છે, જ્યાં સુધી માત્ર એક ક્લસ્ટર રહે ત્યાં સુધી દરેક પગલા સાથે ક્લસ્ટરોની સંખ્યા ઘટતી જાય છે. ક્લસ્ટરિંગ પદ્ધતિ ક્લસ્ટરો બનાવવા માટે વસ્તુઓ વચ્ચેના તફાવતોનો ઉપયોગ કરે છે. હાયરાર્કિકલ ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ નાના નમૂનાઓ માટે શ્રેષ્ઠ અનુરૂપ છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો પગની લંબાઈ |AB| = 13, |BC| = 21. પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ કે |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. કર્ણોની લંબાઈ મેળવવા માટે, તેનું વર્ગમૂળ કાઢવું ​​જરૂરી છે પગના ચોરસનો સરવાળો, એટલે કે. નંબર 610 થી: |AC| = √610. પૂર્ણાંકોના વર્ગોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે સંખ્યા 610 એ કોઈપણ પૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ વર્ગ નથી. કર્ણોની લંબાઈનું અંતિમ મૂલ્ય મેળવવા માટે, ચાલો મૂળ ચિહ્નની નીચેથી સંપૂર્ણ ચોરસ દૂર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો નંબર 610 ને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ. 610 = 2 * 5 * 61. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે 61 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. તેથી, નંબર √610 નો વધુ ઘટાડો અશક્ય છે. અમને અંતિમ જવાબ મળે છે |AC| = √610.
જો કર્ણનો વર્ગ, ઉદાહરણ તરીકે, 675 હોત, તો √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. જો આવો ઘટાડો શક્ય હોય, તો વિપરીત તપાસ કરો - પરિણામને ચોરસ કરો અને તેની મૂળ કિંમત સાથે સરખામણી કરો.

હાયરાર્કિકલ ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ એ સજાતીય ચલ જૂથોની રચનાનું અવલોકન કરવાની માત્ર એક રીત છે. તમારા વિશ્લેષણ માટે ક્લસ્ટરોની સંખ્યા સેટ કરવાની કોઈ ચોક્કસ રીત નથી. તમારે ડેન્ડ્રોગ્રામ તેમજ ક્લસ્ટરોની લાક્ષણિકતાઓ જોવાની જરૂર પડી શકે છે અને પછી સારા ક્લસ્ટર સોલ્યુશન મેળવવા માટે નંબરને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ એડજસ્ટ કરો.

જ્યારે ચલોને અલગ-અલગ સ્કેલ પર માપવામાં આવે છે, ત્યારે તમારી પાસે ચલોને પ્રમાણિત કરવાની ત્રણ રીતો હોય છે. પરિણામે, બધા ચલો અંતર માપનમાં લગભગ સમાન પ્રમાણમાં યોગદાન આપે છે, ભલે તમે ચલોના ભિન્નતા વિશેની માહિતી ગુમાવી શકો.

ચાલો એક પગ અને તેની બાજુમાં આવેલ કોણ જાણીએ. ચોક્કસ થવા માટે, આ બાજુ |AB| રહેવા દો અને કોણ α. પછી આપણે ત્રિકોણમિતિ ફંક્શન કોસાઇન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ - એક ખૂણાનો કોસાઇન કર્ણોની બાજુના પગના ગુણોત્તર જેટલો છે. તે. અમારા સંકેતમાં cos α = |AB| / |AC|. આમાંથી આપણે કર્ણોની લંબાઈ |AC| મેળવીએ છીએ = |AB| / cos α.
જો આપણે બાજુ જાણીએ તો |BC| અને કોણ α, તો પછી આપણે કોણની સાઈનની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું - કોણની સાઈન એ કર્ણાકારના વિરોધી પગના ગુણોત્તર સમાન છે: sin α = |BC| / |AC|. અમે શોધીએ છીએ કે કર્ણોની લંબાઈ |AC| છે = |BC| / cos α.

યુક્લિડિયન અંતર: યુક્લિડિયન અંતર એ સૌથી સામાન્ય માપન પદ્ધતિ છે. સ્ક્વેર્ડ યુક્લિડિયન ડિસ્ટન્સ: સ્ક્વેર્ડ યુક્લિડિયન ડિસ્ટન્સ એ વસ્તુઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે જે વધુ દૂર હોય છે. સિટી બ્લોક ડિસ્ટન્સ: સિટી બ્લોક અને યુક્લિડિયન ડિસ્ટન્સ બંને મિન્કોવસ્કી મેટ્રિકના ખાસ કિસ્સા છે. જ્યારે યુક્લિડિયન અંતર બે બિંદુઓ વચ્ચેના ટૂંકા માર્ગની લંબાઈને અનુરૂપ છે, ત્યારે શહેર બ્લોક અંતર એ દરેક પરિમાણ સાથેના અંતરનો સરવાળો છે. પીયર્સન સહસંબંધ અંતર 1 અને બે અવલોકનોના કોસાઇન ગુણાંક વચ્ચેનો તફાવત એ બે વેક્ટર વચ્ચેના કોણનો કોસાઇન છે. જેકાર્ડનું અંતર બે અવલોકનો માટે 1 અને જેકાર્ડ ગુણાંક વચ્ચેનો તફાવત દ્વિસંગી ડેટા માટે, જેકાર્ડ ગુણાંક એ ઓવરલેપની માત્રા અને બે અવલોકનોનો સરવાળો છે. નજીકના પડોશી આ પદ્ધતિ ધારે છે કે બે ક્લસ્ટરો વચ્ચેનું અંતર તેમના નજીકના પડોશીઓમાં પદાર્થો વચ્ચેના અંતરને અનુરૂપ છે. શ્રેષ્ઠ પડોશી આ પદ્ધતિમાં, બે ક્લસ્ટરો વચ્ચેનું અંતર વિવિધ ક્લસ્ટરોમાં બે ઑબ્જેક્ટ વચ્ચેના મહત્તમ અંતરને અનુરૂપ છે. જૂથ સરેરાશ: આ પદ્ધતિથી, બે ક્લસ્ટરો વચ્ચેનું અંતર જુદા જુદા ક્લસ્ટરોમાંના તમામ જોડીઓ વચ્ચેના સરેરાશ અંતરને અનુરૂપ છે. સામાન્ય રીતે આ પદ્ધતિની ભલામણ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમાં માહિતીનો મોટો જથ્થો છે. મધ્યક આ પદ્ધતિ સેન્ટ્રોઇડ પદ્ધતિ જેવી જ છે સિવાય કે તેનું વજન ન હોય. ક્લસ્ટર અર્થ માટે ચતુર્ભુજ યુક્લિડિયન અંતર પછી દરેક કેસ માટે ગણવામાં આવે છે. જે ક્લસ્ટરને મર્જ કરવું જોઈએ તે તે છે જે ઓછામાં ઓછી રકમમાં વધારો કરે છે. એટલે કે, આ પદ્ધતિ ક્લસ્ટરોની અંદર ચોરસ અંતરના કુલ સરવાળામાં વધારો ઘટાડે છે. આ પદ્ધતિ નાના ક્લસ્ટરો બનાવવાનું વલણ ધરાવે છે.

• બહુપરીમાણીય અવકાશમાં આ ભૌમિતિક અંતર છે.
• તે માત્ર સતત ચલો માટે યોગ્ય છે.
• કોસાઇન અંતર બે મૂલ્ય વેક્ટર વચ્ચેના ખૂણાનું કોસાઇન.
• હાથથી દોરેલા ક્લસ્ટરો દોરતી વખતે આ પદ્ધતિની ભલામણ કરવામાં આવે છે.
• જો દોરેલા ક્લસ્ટરો અનન્ય "ઝુંડ" બનાવે છે, તો પદ્ધતિ યોગ્ય છે.
• ક્લસ્ટરનું સેન્ટ્રોઇડ એ બહુપરીમાણીય અવકાશમાં મધ્યબિંદુ છે.
• જો ક્લસ્ટરના કદ ખૂબ જ અલગ હોય તો તેનો ઉપયોગ થવો જોઈએ નહીં.
• દરેક ક્લસ્ટર માટે તમામ ચલો માટે વોર્ડ મીન્સની ગણતરી કરવામાં આવે છે.
• આ અંતર તમામ કેસ માટે સરવાળે છે.

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. પગની લંબાઈ |AB| આપવામાં આવે છે. = 15. અને કોણ α = 60°. અમને |AC| મળે છે = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30.
ચાલો જોઈએ કે તમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તમારું પરિણામ કેવી રીતે ચકાસી શકો છો. આ કરવા માટે, આપણે બીજા પગની લંબાઈની ગણતરી કરવાની જરૂર છે |BC|. કોણ tan α = |BC| ની સ્પર્શક માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને / |AC|, અમને |BC| મળે છે = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. આગળ, આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ, આપણને 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 મળે છે. ચેક પૂર્ણ થયું.

સાઈન ફંક્શનને સાઈનની વિભાવનાથી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, કારણ કે કોણ હંમેશા રેડિયનમાં વ્યક્ત થવો જોઈએ. આપણે સાઈન ફંક્શનની ઘણી લાક્ષણિકતાઓનું અવલોકન કરી શકીએ છીએ.

• તમારા ડોમેનમાં તમામ વાસ્તવિક છે.
• આ કિસ્સામાં, કાર્યને સામયિક કહેવાય છે, પીરિયડ 2π સાથે.

આપણે કોસાઇન ફંક્શનની ઘણી લાક્ષણિકતાઓનું અવલોકન કરી શકીએ છીએ. તેથી તે 2π નો સામયિક સમયગાળો છે. . મર્યાદા સૂત્રની સામાન્યતાને દૂર કરતી નથી, કારણ કે આપણે હંમેશા બીજા, ત્રીજા અને ચોથા ચતુર્થાંશના ખૂણાઓને પહેલાથી ઘટાડી શકીએ છીએ. વ્યાયામ. - કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કર્યા વિના 15º ની સાઈનની ગણતરી કરો.

કર્ણની ગણતરી કર્યા પછી, પરિણામી મૂલ્ય પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સંતોષે છે કે કેમ તે તપાસો.

સ્ત્રોતો:

• 1 થી 10000 સુધીની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું કોષ્ટક

પગકાટકોણ ત્રિકોણની બે ટૂંકી બાજુઓ છે જે શિરોબિંદુ બનાવે છે જેનું કદ 90° છે. આવા ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુને કર્ણ કહેવાય છે. ત્રિકોણની આ બધી બાજુઓ અને ખૂણા ચોક્કસ સંબંધો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે જે પગની લંબાઈની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે જો અન્ય ઘણા પરિમાણો જાણીતા હોય.

બે ખૂણાઓના સરવાળાનો કોસાઇન

બે ખૂણાઓના તફાવતનો કોસાઇન

વ્યાયામ. આજના લેખમાં આપણે ખૂબ ચોક્કસ સબસેટ જોઈશું: ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. ગણિત જે આપે છે તે બધું માણવા માટે, આપણે તેને આયાત કરવું જોઈએ. આગલા લેખમાં, અમે અન્ય આયાત શૈલીઓ જોઈશું, દરેક તેના પોતાના ફાયદા અને ગેરફાયદા સાથે. પરંતુ આ સરળ સૂચના સાથે, તમારી પાસે પહેલાથી જ આખા ગણિત મોડ્યુલ નેમસ્પેસની ઍક્સેસ છે, જે ડઝનેક ફંક્શનથી ભરેલી છે, જેમાં આજે આપણે કામ કરીશું.

સૂચનાઓ

જો કાટકોણ ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓ (B અને C) ની લંબાઈ જાણીતી હોય તો પગ (A) ની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો. આ પ્રમેય જણાવે છે કે પગની ચોરસ લંબાઈનો સરવાળો કર્ણોના વર્ગ જેટલો છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે દરેક પગની લંબાઈ કર્ણોની લંબાઈના વર્ગો અને બીજા પગ વચ્ચેના તફાવતના વર્ગમૂળ જેટલી છે: A=√(C²-B²).

મૂળભૂત રીતે, આપણે કોણની સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શક, તેમજ તેના વ્યસ્ત કાર્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર પડશે. વધુમાં, અમે રેડિયન અને ડિગ્રી બંનેમાં કામ કરવા સક્ષમ બનવા માંગીએ છીએ જેથી અમે અનુરૂપ રૂપાંતરણ કાર્યોનો પણ ઉપયોગ કરી શકીએ.

તમારે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે આ ફંક્શન્સ દલીલને રેડિયનમાં પ્રદાન કરવાની અપેક્ષા રાખે છે, ડિગ્રીમાં નહીં. આ માટે, તમને એ જાણવામાં રસ હશે કે તમારી પાસે નીચેનો સ્થિરાંક છે. તેથી આપણે સંખ્યાત્મક મૂલ્યને બદલે આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

કોસેકન્ટ, સેકન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ માટે કોઈ સીધું ફંક્શન નથી કારણ કે આ જરૂરી નથી કારણ કે તે અનુક્રમે સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટના વ્યુત્ક્રમો છે. પહેલાની જેમ, પાછો આવેલો ખૂણો પણ રેડિયનમાં છે. ગણિતનું બીજું ઉપયોગી કાર્ય આપણને તેના પગને જોતાં કાટખૂણે ત્રિકોણના કર્ણનું મૂલ્ય શોધવાની મંજૂરી આપે છે, જે આપણને તેના વર્ગોના સરવાળાના વર્ગમૂળની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

એક્યુટ એંગલ માટે ડાયરેક્ટ ટ્રિગોનોમેટ્રિક ફંક્શન "સાઇન" ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો, જો ગણતરી કરવામાં આવી રહેલા પગની સામે આવેલા કોણ (α) ની તીવ્રતા અને કર્ણ (C) ની લંબાઈ જાણીતી હોય. આ વ્યાખ્યા જણાવે છે કે આ જાણીતા કોણની સાઈન ઇચ્છિત પગની લંબાઈ અને કર્ણોની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલી છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે ઇચ્છિત પગની લંબાઈ કર્ણોની લંબાઈ અને જાણીતા ખૂણાના સાઈનના ગુણાંક જેટલી છે: A=C∗sin(α). સમાન જાણીતા જથ્થાઓ માટે, તમે કોસેકન્ટ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો અને જાણીતા કોણ A=C/cosec(α) ના કોસેકન્ટ દ્વારા કર્ણોની લંબાઈને વિભાજીત કરીને જરૂરી લંબાઈની ગણતરી કરી શકો છો.

ડાયરેક્ટ ટ્રિગોનોમેટ્રિક કોસાઇન ફંક્શનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો જો, કર્ણ (C) ની લંબાઈ ઉપરાંત, ઇચ્છિત પગને અડીને આવેલા તીવ્ર કોણ (β) ની તીવ્રતા પણ જાણીતી હોય. આ કોણના કોસાઇનને ઇચ્છિત પગની લંબાઈ અને કર્ણના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તેમાંથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પગની લંબાઈ કર્ણોની લંબાઈના ગુણોત્તર અને જાણીતા કોસાઈન સમાન છે. કોણ: A=C∗cos(β). તમે સેકન્ટ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને જાણીતા કોણ A=C/sec(β) ના સેકન્ટ દ્વારા કર્ણની લંબાઈને વિભાજીત કરીને ઇચ્છિત મૂલ્યની ગણતરી કરી શકો છો.

ત્રિકોણમિતિ કાર્ય સ્પર્શકના વ્યુત્પન્ન માટે સમાન વ્યાખ્યામાંથી જરૂરી સૂત્ર મેળવો, જો ઇચ્છિત પગ (A) ની સામે આવેલા તીવ્ર કોણ (α) ની કિંમત ઉપરાંત, બીજા પગ (B) ની લંબાઈ જાણીતી હોય. . ઇચ્છિત પગની વિરુદ્ધ ખૂણાની સ્પર્શક એ આ પગની લંબાઈ અને બીજા પગની લંબાઈનો ગુણોત્તર છે. આનો અર્થ એ છે કે ઇચ્છિત મૂલ્ય જાણીતા પગની લંબાઈ અને જાણીતા ખૂણાના સ્પર્શકના ગુણાંક સમાન હશે: A=B∗tg(α). આ જ જાણીતા જથ્થાઓમાંથી, જો આપણે કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ તો બીજું સૂત્ર મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, પગની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે, જાણીતા પગની લંબાઈ અને જાણીતા ખૂણાના કોટિજન્ટનો ગુણોત્તર શોધવાનું જરૂરી રહેશે: A=B/ctg(α).

વિષય પર વિડિઓ

"કેથેટ" શબ્દ ગ્રીકમાંથી રશિયનમાં આવ્યો. સચોટ અનુવાદમાં, તેનો અર્થ છે પ્લમ્બ લાઇન, એટલે કે, પૃથ્વીની સપાટી પર લંબરૂપ. ગણિતમાં, પગ એ બાજુઓ છે જે કાટકોણ ત્રિકોણની કાટખૂણો બનાવે છે. આ ખૂણાની સામેની બાજુને કર્ણ કહેવાય છે. "કેથેટ" શબ્દનો ઉપયોગ આર્કિટેક્ચર અને વેલ્ડીંગ ટેકનોલોજીમાં પણ થાય છે.

કાટકોણ ત્રિકોણ DIA દોરો. તેના પગને a અને b તરીકે લેબલ કરો અને તેના કર્ણને c તરીકે લેબલ કરો. કાટકોણ ત્રિકોણની બધી બાજુઓ અને ખૂણા ચોક્કસ સંબંધો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે. તીવ્ર ખૂણાઓમાંથી એકની વિરુદ્ધના પગના ગુણોત્તરને આ ખૂણાની સાઈન કહેવામાં આવે છે. આ ત્રિકોણમાં sinCAB=a/c. કોસાઇન એ બાજુના પગના કર્ણનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે, cosCAB=b/c. વ્યસ્ત સંબંધોને સેકન્ટ અને કોસેકન્ટ કહેવામાં આવે છે.

આ ખૂણોનો સેકન્ટ બાજુના પગ દ્વારા કર્ણોને વિભાજીત કરીને મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે, secCAB = c/b. પરિણામ એ કોસાઇનનું પરસ્પર છે, એટલે કે, તેને secCAB=1/cosSAB સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે.
કોસેકન્ટ એ વિરુદ્ધ બાજુથી વિભાજિત કર્ણના ભાગાકાર સમાન છે અને સાઈનનો પરસ્પર છે. તેની ગણતરી cosecCAB=1/sinCAB સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે

બંને પગ સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ દ્વારા જોડાયેલા છે. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શક એ બાજુ a થી બાજુ b નો ગુણોત્તર હશે, એટલે કે, બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુ. આ સંબંધ tgCAB=a/b સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. તદનુસાર, વ્યસ્ત ગુણોત્તર કોટેન્જેન્ટ હશે: ctgCAB=b/a.

કર્ણના કદ અને બંને પગ વચ્ચેનો સંબંધ પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી પાયથાગોરસ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવ્યો હતો. લોકો હજુ પણ તેમના નામના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે. તે કહે છે કે કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે, એટલે કે, c2 = a2 + b2. તદનુસાર, દરેક પગ કર્ણ અને બીજા પગના વર્ગો વચ્ચેના તફાવતના વર્ગમૂળ સમાન હશે. આ સૂત્ર b=√(c2-a2) તરીકે લખી શકાય છે.

તમારા માટે જાણીતા સંબંધો દ્વારા પગની લંબાઈ પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. સાઈન અને કોસાઈન પ્રમેય અનુસાર, એક પગ એ કર્ણાકારના ઉત્પાદન અને આ કાર્યોમાંથી એક સમાન છે. તે સ્પર્શક અથવા કોટેન્જેન્ટ દ્વારા પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. લેગ a શોધી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મ્યુલા a = b*tan CAB નો ઉપયોગ કરીને. બરાબર એ જ રીતે, આપેલ સ્પર્શક અથવા કોટેન્જેન્ટના આધારે, બીજો પગ નક્કી કરવામાં આવે છે.

"કેથેટ" શબ્દનો ઉપયોગ આર્કિટેક્ચરમાં પણ થાય છે. તે આયોનિક મૂડી પર લાગુ થાય છે અને તેની પીઠની મધ્યમાં પ્લમ્બ લાઇન સૂચવે છે. એટલે કે, આ કિસ્સામાં, આ શબ્દ આપેલ રેખાને લંબરૂપ સૂચવે છે.

વેલ્ડીંગ ટેકનોલોજીમાં "ફિલેટ વેલ્ડ લેગ" નો ખ્યાલ છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, આ સૌથી ટૂંકું અંતર છે. અહીં આપણે બીજા ભાગની સપાટી પર સ્થિત સીમની સરહદ પર વેલ્ડિંગ કરવામાં આવતા ભાગોમાંથી એક વચ્ચેના અંતર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ.

વિષય પર વિડિઓ

સ્ત્રોતો:

• પગ અને કર્ણ શું છે?

વિષય પર વિડિઓ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓની ગણતરી કરતી વખતે, તેની લાક્ષણિકતાઓનું જ્ઞાન ભૂમિકા ભજવી શકે છે:
1) જો જમણા ખૂણોનો પગ 30 ડિગ્રીના ખૂણાની વિરુદ્ધ હોય, તો તે અડધા કર્ણોની બરાબર છે;
2) કર્ણ હંમેશા કોઈપણ પગ કરતા લાંબો હોય છે;
3) જો કોઈ વર્તુળ કાટકોણ ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલું હોય, તો તેનું કેન્દ્ર કર્ણોની મધ્યમાં હોવું જોઈએ.

જ્યાં કાટકોણ ત્રિકોણ ઉકેલવાની સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી, ત્યાં મેં સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યાઓ યાદ રાખવા માટેની તકનીક રજૂ કરવાનું વચન આપ્યું હતું. તેનો ઉપયોગ કરીને, તમે હંમેશા ઝડપથી યાદ રાખશો કે કઈ બાજુ કર્ણ (સંલગ્ન અથવા વિરુદ્ધ) ની છે. મેં તેને આશ્રયમાં ન રાખવાનું નક્કી કર્યું, જરૂરી સામગ્રી નીચે છે, કૃપા કરીને તેને વાંચો 😉

હકીકત એ છે કે મેં વારંવાર અવલોકન કર્યું છે કે કેવી રીતે ધોરણ 10-11ના વિદ્યાર્થીઓને આ વ્યાખ્યાઓ યાદ રાખવામાં મુશ્કેલી પડે છે. તેઓને સારી રીતે યાદ છે કે પગ એ કર્ણનો ઉલ્લેખ કરે છે, પરંતુ તેઓ ભૂલી જાય છે કે કયો અને મૂંઝવણ. ભૂલની કિંમત, જેમ તમે પરીક્ષામાં જાણો છો, તે ખોવાયેલો મુદ્દો છે.

હું જે માહિતી સીધી ગણિત સાથે રજૂ કરીશ તેને ગણિત સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. તે અલંકારિક વિચારસરણી સાથે અને મૌખિક-તાર્કિક સંચારની પદ્ધતિઓ સાથે સંકળાયેલું છે. તે જ રીતે મને તે યાદ છે, એકવાર અને બધા માટે વ્યાખ્યા માહિતી. જો તમે તેમને ભૂલી જાઓ છો, તો તમે પ્રસ્તુત તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને તેમને હંમેશા સરળતાથી યાદ રાખી શકો છો.

ચાલો હું તમને કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યા યાદ કરાવું:

કોસાઇનકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે:

સાઇનસકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ એ કર્ણાકારની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:

તો, કોસાઇન શબ્દ સાથે તમારી પાસે શું જોડાણ છે?

સંભવતઃ દરેકની પોતાની 😉 છે લિંક યાદ રાખો:

આમ, અભિવ્યક્તિ તરત જ તમારી મેમરીમાં દેખાશે -

«… કર્ણ અને અડીને પગનો ગુણોત્તર».

કોસાઇન નક્કી કરવાની સમસ્યા હલ કરવામાં આવી છે.

જો તમારે કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈનની વ્યાખ્યા યાદ રાખવાની જરૂર હોય, તો કોસાઈનની વ્યાખ્યાને યાદ રાખીને, તમે સરળતાથી સ્થાપિત કરી શકો છો કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈન એ કર્ણોની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. છેવટે, ત્યાં ફક્ત બે પગ છે; જો નજીકનો પગ કોસાઇન દ્વારા "કબજો" કરવામાં આવે છે, તો પછી ફક્ત વિરોધી પગ સાઇન સાથે રહે છે.

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વિશે શું? મૂંઝવણ એ જ છે. વિદ્યાર્થીઓ જાણે છે કે આ પગનો સંબંધ છે, પરંતુ સમસ્યા એ યાદ રાખવાની છે કે કોનો ઉલ્લેખ કરે છે - કાં તો અડીને વિરુદ્ધ, અથવા ઊલટું.

વ્યાખ્યાઓ:

સ્પર્શકકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:

કોટેન્જેન્ટકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:

કેવી રીતે યાદ રાખવું? બે રસ્તા છે. એક મૌખિક-તાર્કિક જોડાણનો પણ ઉપયોગ કરે છે, બીજો ગાણિતિક જોડાણનો ઉપયોગ કરે છે.

ગાણિતિક પદ્ધતિ

આવી વ્યાખ્યા છે - તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ કોણની સાઇન અને તેના કોસાઇનનો ગુણોત્તર છે:

*સૂત્રને યાદ રાખ્યા પછી, તમે હંમેશા નક્કી કરી શકો છો કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

તેવી જ રીતે. એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ એ કોણના કોસાઈન અને તેની સાઈનનો ગુણોત્તર છે:

તો! આ સૂત્રોને યાદ રાખીને, તમે હંમેશા નક્કી કરી શકો છો કે:

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ એ બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

શબ્દ-તાર્કિક પદ્ધતિ

સ્પર્શક વિશે. લિંક યાદ રાખો:

એટલે કે, જો તમારે આ તાર્કિક જોડાણનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શકની વ્યાખ્યા યાદ રાખવાની જરૂર હોય, તો તમે સરળતાથી યાદ રાખી શકો છો કે તે શું છે

"... બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર"

જો આપણે કોટેન્જેન્ટ વિશે વાત કરીએ, તો સ્પર્શકની વ્યાખ્યાને યાદ રાખીને તમે સહેલાઈથી કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાને અવાજ આપી શકો છો -

"... બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર"

વેબસાઈટ પર ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટને યાદ રાખવા માટે એક રસપ્રદ યુક્તિ છે " ગાણિતિક ટેન્ડમ " , જુઓ.

યુનિવર્સલ પદ્ધતિ

તમે ફક્ત તેને યાદ કરી શકો છો. પરંતુ પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, મૌખિક-તાર્કિક જોડાણોને આભારી, વ્યક્તિ લાંબા સમય સુધી માહિતીને યાદ રાખે છે, અને માત્ર ગાણિતિક જ નહીં.

મને આશા છે કે સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી.

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

કર્ણોની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તરને કહેવામાં આવે છે તીવ્ર કોણનું સાઇનસજમણો ત્રિકોણ.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણનો કોસાઇન

સંલગ્ન પગ અને કર્ણનો ગુણોત્તર કહેવાય છે તીવ્ર કોણનું કોસાઇનજમણો ત્રિકોણ.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાની સ્પર્શક

બાજુની બાજુની સામેની બાજુનો ગુણોત્તર કહેવાય છે તીવ્ર કોણની સ્પર્શકજમણો ત્રિકોણ.

tg \alpha = \frac(a)(b)

કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ કોણનો કોટેન્જેન્ટ

બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તરને કહેવામાં આવે છે એક્યુટ એંગલનો કોટેન્જન્ટજમણો ત્રિકોણ.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

મનસ્વી કોણની સાઈન

એકમ વર્તુળ પરના બિંદુના ઓર્ડિનેટ કે જેની સાથે કોણ \alpha અનુલક્ષે છે તેને કહેવામાં આવે છે મનસ્વી કોણની સાઈનપરિભ્રમણ \આલ્ફા.

\sin \alpha=y

મનસ્વી કોણનું કોસાઇન

એકમ વર્તુળ પરના બિંદુના એબ્સીસા કે જેની સાથે કોણ \alpha અનુલક્ષે છે તેને કહેવામાં આવે છે મનસ્વી કોણનું કોસાઇનપરિભ્રમણ \આલ્ફા.

\cos \alpha=x

મનસ્વી કોણની સ્પર્શક

મનસ્વી પરિભ્રમણ કોણ \ આલ્ફાના સાઈન અને તેની કોસાઈનનો ગુણોત્તર કહેવાય છે મનસ્વી કોણની સ્પર્શકપરિભ્રમણ \આલ્ફા.

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

મનસ્વી કોણનો કોટિંજન્ટ

મનસ્વી પરિભ્રમણ કોણ \ આલ્ફાના કોસાઈન અને તેની સાઈનનો ગુણોત્તર કહેવાય છે મનસ્વી કોણનું સહસ્પર્શકપરિભ્રમણ \આલ્ફા.

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

મનસ્વી કોણ શોધવાનું ઉદાહરણ

જો \alpha એ અમુક કોણ AOM છે, જ્યાં M એકમ વર્તુળ પર એક બિંદુ છે, તો

\sin \alpha=y_(M), \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

ઉદાહરણ તરીકે, જો \કોણ AOM = -\frac(\pi)(4), પછી: બિંદુ M નું ઓર્ડિનેટ બરાબર છે -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa સમાન છે \frac(\sqrt(2))(2)અને તેથી

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

સીટીજી \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

કોટિંજેન્ટ્સના સ્પર્શકોના કોસાઇનના સાઇન્સના મૂલ્યોનું કોષ્ટક

મુખ્ય વારંવાર બનતા ખૂણાઓના મૂલ્યો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે:

જીવનમાં, આપણે ઘણીવાર ગાણિતિક સમસ્યાઓનો સામનો કરવો પડશે: શાળામાં, યુનિવર્સિટીમાં અને પછી હોમવર્કમાં અમારા બાળકને મદદ કરવી. અમુક વ્યવસાયોમાં લોકો દરરોજ ગણિતનો સામનો કરશે. તેથી, ગાણિતિક નિયમો યાદ રાખવા અથવા યાદ રાખવા માટે તે ઉપયોગી છે. આ લેખમાં આપણે તેમાંથી એક જોઈશું: કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુ શોધવી.

કાટકોણ ત્રિકોણ શું છે

પ્રથમ, ચાલો યાદ કરીએ કે સમકોણ ત્રિકોણ શું છે. કાટકોણ ત્રિકોણ એ ત્રણ ભાગોની ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે એક જ સીધી રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુઓને જોડે છે અને આ આકૃતિનો એક ખૂણો 90 ડિગ્રી છે. કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓને પગ કહેવામાં આવે છે, અને કાટખૂણાની સામે આવેલી બાજુને કર્ણ કહેવાય છે.

જમણા ત્રિકોણનો પગ શોધવો

પગની લંબાઈ શોધવાની ઘણી રીતો છે. હું તેમને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લેવા માંગુ છું.

કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુ શોધવા માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય

જો આપણે કર્ણ અને પગને જાણીએ, તો આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યા પગની લંબાઈ શોધી શકીએ છીએ. તે આના જેવું લાગે છે: "કર્ણનો ચોરસ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે." ફોર્મ્યુલા: c²=a²+b², જ્યાં c એ કર્ણ છે, a અને b એ પગ છે. આપણે સૂત્રનું રૂપાંતર કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: a²=c²-b².

ઉદાહરણ. કર્ણ 5 સેમી છે, અને પગ 3 સેમી છે અમે ફોર્મ્યુલાનું રૂપાંતર કરીએ છીએ: c²=a²+b² → a²=c²-b². આગળ આપણે હલ કરીએ છીએ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

જમણા ત્રિકોણનો પગ શોધવા માટે ત્રિકોણમિતિ ગુણોત્તર

જો કાટખૂણ ત્રિકોણની બીજી કોઈ બાજુ અને કોઈપણ તીવ્ર કોણ જાણીતું હોય તો તમે અજાણ્યો પગ પણ શોધી શકો છો. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનો ઉપયોગ કરીને પગ શોધવા માટે ચાર વિકલ્પો છે: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ. સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે, નીચે આપેલ કોષ્ટક અમને મદદ કરશે. ચાલો આ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ.

સાઈનનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ શોધો

કોણની સાઈન (પાપ) એ કર્ણાકારની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. ફોર્મ્યુલા: sin=a/c, જ્યાં a એ આપેલ કોણની સામેનો પગ છે અને c એ કર્ણ છે. આગળ, આપણે સૂત્રનું રૂપાંતર કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: a=sin*c.

ઉદાહરણ. કર્ણ 10 સે.મી., કોણ A 30 ડિગ્રી છે. કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોણ A ની સાઈનની ગણતરી કરીએ છીએ, તે 1/2 ની બરાબર છે. પછી, રૂપાંતરિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે હલ કરીએ છીએ: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

કોસાઇનનો ઉપયોગ કરીને જમણા ત્રિકોણનો પગ શોધો

કોણ (cos) નું કોસાઇન એ કર્ણાકારની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે. ફોર્મ્યુલા: cos=b/c, જ્યાં b એ આપેલ ખૂણાને અડીને આવેલો પગ છે, અને c એ કર્ણ છે. ચાલો ફોર્મ્યુલાને રૂપાંતરિત કરીએ અને મેળવો: b=cos*c.

ઉદાહરણ. કોણ A 60 ડિગ્રી બરાબર છે, કર્ણ 10 સે.મી.ની બરાબર છે. આગળ આપણે હલ કરીએ છીએ: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

સ્પર્શકનો ઉપયોગ કરીને જમણા ત્રિકોણનો પગ શોધો

ખૂણા (tg) ની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. ફોર્મ્યુલા: tg=a/b, જ્યાં a એ કોણની વિરુદ્ધ બાજુ છે, અને b એ અડીને બાજુ છે. ચાલો સૂત્રને રૂપાંતરિત કરીએ અને મેળવો: a=tg*b.

ઉદાહરણ. કોણ A 45 અંશ બરાબર છે, કર્ણ 10 સેમી બરાબર છે, કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોણ A ના સ્પર્શકની ગણતરી કરીએ છીએ, તે ઉકેલની બરાબર છે: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (સેમી).

કોટેન્જેન્ટનો ઉપયોગ કરીને કાટખૂણ ત્રિકોણનો પગ શોધો

કોણ કોટેન્જેન્ટ (સીટીજી) એ બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. ફોર્મ્યુલા: ctg=b/a, જ્યાં b એ કોણને અડીને આવેલો પગ છે અને સામેનો પગ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોટેન્જેન્ટ એ "ઊંધી સ્પર્શક" છે. અમને મળે છે: b=ctg*a.

ઉદાહરણ. કોણ A 30 અંશ છે, સામેનો પગ 5 સેમી છે કોષ્ટક મુજબ, કોણ A ની સ્પર્શક √3 છે. અમે ગણતરી કરીએ છીએ: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (સેમી).

તો હવે તમે જાણો છો કે જમણા ત્રિકોણમાં પગ કેવી રીતે શોધવો. જેમ તમે જોઈ શકો છો, તે એટલું મુશ્કેલ નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ સૂત્રોને યાદ રાખવાની છે.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ શું છે તે તમને કાટકોણ ત્રિકોણ સમજવામાં મદદ કરશે.

કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓને શું કહે છે? તે સાચું છે, કર્ણ અને પગ: કર્ણો એ બાજુ છે જે કાટખૂણાની સામે આવેલું છે (અમારા ઉદાહરણમાં આ બાજુ \(AC\) છે); પગ એ બે બાકીની બાજુઓ \(AB\) અને \(BC\) (જે કાટખૂણાને અડીને છે), અને જો આપણે પગને કોણ \(BC\) સાથે સંબંધિત ગણીએ, તો પગ \(AB\) છે અડીને લેગ, અને લેગ \(BC\) વિરુદ્ધ છે. તો, ચાલો હવે પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ: કોણના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે?

કોણની સાઈન- આ કર્ણના વિરુદ્ધ (દૂરના) પગનો ગુણોત્તર છે.

આપણા ત્રિકોણમાં:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

કોણનું કોસાઇન- આ કર્ણને અડીને (બંધ) પગનો ગુણોત્તર છે.

આપણા ત્રિકોણમાં:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

કોણની સ્પર્શક- આ અડીને (બંધ) ની વિરુદ્ધ (દૂર) બાજુનો ગુણોત્તર છે.

આપણા ત્રિકોણમાં:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

કોણનું કોટિંજન્ટ- આ બાજુના (નજીક) પગનો વિરુદ્ધ (દૂર) નો ગુણોત્તર છે.

આપણા ત્રિકોણમાં:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

આ વ્યાખ્યાઓ જરૂરી છે યાદ રાખો! કયા પગને કયામાં વિભાજીત કરવો તે યાદ રાખવું સરળ બનાવવા માટે, તમારે તે સ્પષ્ટપણે સમજવાની જરૂર છે સ્પર્શકઅને કોટેન્જેન્ટફક્ત પગ બેસે છે, અને કર્ણ ફક્ત અંદર દેખાય છે સાઇનસઅને કોસાઇન. અને પછી તમે સંગઠનોની સાંકળ સાથે આવી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, આ એક:

કોસાઇન → ટચ → ટચ → અડીને;

કોટેન્જેન્ટ → ટચ → ટચ → અડીને.

સૌ પ્રથમ, તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ કારણ કે ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર આ બાજુઓની લંબાઈ (સમાન કોણ પર) પર આધારિત નથી. મારા પર વિશ્વાસ નથી થતો? પછી ચિત્ર જોઈને ખાતરી કરો:

ઉદાહરણ તરીકે, કોણનો કોસાઇન \(\beta \) ધ્યાનમાં લો. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ત્રિકોણમાંથી \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), પરંતુ આપણે ત્રિકોણ \(AHI \) માંથી કોણ \(\beta \) ના કોસાઈનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). તમે જુઓ છો, બાજુઓની લંબાઈ અલગ છે, પરંતુ એક ખૂણાના કોસાઈનનું મૂલ્ય સમાન છે. આમ, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો માત્ર કોણની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે.

જો તમે વ્યાખ્યાઓ સમજો છો, તો આગળ વધો અને તેમને એકીકૃત કરો!

નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ ત્રિકોણ \(ABC \) માટે, આપણે શોધીએ છીએ \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg \ \alpha \).

\(\begin(એરે)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(એરે) \)

સારું, તમને તે મળ્યું? પછી તેને જાતે અજમાવી જુઓ: કોણ \(\beta \) માટે સમાન ગણતરી કરો.

જવાબો: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

એકમ (ત્રિકોણમિતિ) વર્તુળ

ડિગ્રી અને રેડિયનની વિભાવનાઓને સમજીને, અમે \(1\) ની ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ ગણીએ છીએ. આવા વર્તુળ કહેવાય છે એકલ. ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કરતી વખતે તે ખૂબ જ ઉપયોગી થશે. તેથી, ચાલો તેને થોડી વધુ વિગતમાં જોઈએ.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ વર્તુળ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બાંધવામાં આવ્યું છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા એક સમાન છે, જ્યારે વર્તુળનું કેન્દ્ર કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર આવેલું છે, ત્રિજ્યા વેક્ટરની પ્રારંભિક સ્થિતિ \(x\) અક્ષની હકારાત્મક દિશા સાથે નિશ્ચિત છે (અમારા ઉદાહરણમાં, આ ત્રિજ્યા \(AB\)) છે.

વર્તુળ પરનો દરેક બિંદુ બે સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે: \(x\) અક્ષ સાથે સંકલન અને \(y\) અક્ષ સાથે સંકલન. આ સંકલન સંખ્યાઓ શું છે? અને સામાન્ય રીતે, તેમને હાથમાં રહેલા વિષય સાથે શું કરવું છે? આ કરવા માટે, આપણે ધ્યાનમાં લેવાયેલા જમણા ત્રિકોણ વિશે યાદ રાખવાની જરૂર છે. ઉપરની આકૃતિમાં, તમે બે સંપૂર્ણ જમણા ત્રિકોણ જોઈ શકો છો. ત્રિકોણ \(ACG\) ને ધ્યાનમાં લો. તે લંબચોરસ છે કારણ કે \(CG\) એ \(x\) અક્ષને લંબ છે.

ત્રિકોણ \(ACG \) માંથી \(\cos \ \alpha \) શું છે? તે સાચું છે \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). વધુમાં, આપણે જાણીએ છીએ કે \(AC\) એ એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, જેનો અર્થ થાય છે \(AC=1\) . ચાલો આ મૂલ્યને કોસાઇન માટેના અમારા સૂત્રમાં બદલીએ. શું થાય છે તે અહીં છે:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

ત્રિકોણમાંથી \(\sin \ \alpha \) \(ACG \) બરાબર શું છે? અલબત્ત \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! આ સૂત્રમાં ત્રિજ્યા \(AC\) ની કિંમત બદલો અને મેળવો:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

તો, શું તમે કહી શકો છો કે વર્તુળ સાથે જોડાયેલા બિંદુ \(C\) શું સંકલન કરે છે? સારું, કોઈ રસ્તો નથી? જો તમને ખ્યાલ આવે કે \(\cos \ \alpha \) અને \(\sin \alpha \) માત્ર સંખ્યાઓ છે? \(\cos \alpha \) કયા સંકલનને અનુરૂપ છે? ઠીક છે, અલબત્ત, સંકલન \(x\)! અને \(\sin \alpha \) કયા સંકલનને અનુરૂપ છે? તે સાચું છે, સંકલન \(y\)! તેથી બિંદુ \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

તો પછી \(tg \alpha \) અને \(ctg \alpha \) બરાબર શું છે? તે સાચું છે, ચાલો સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ અને તે મેળવીએ \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), એ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

જો કોણ મોટો હોય તો શું? ઉદાહરણ તરીકે, આ ચિત્રની જેમ:

આ ઉદાહરણમાં શું બદલાયું છે? ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો ફરીથી કાટકોણ ત્રિકોણ તરફ વળીએ. કાટકોણ ત્રિકોણનો વિચાર કરો \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : કોણ (કોણને અડીને \(\beta \) ). કોણ માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટનું મૂલ્ય શું છે \((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? તે સાચું છે, અમે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓનું પાલન કરીએ છીએ:

\(\begin(એરે)(l)\sin \કોણ ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))(C)_(1)))=\dfrac((C)_(1))G)(1)=(C)_(1))G=y; \\\cos \કોણ ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((C)_(1))G)((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\કોણ ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(એરે) \)

ઠીક છે, જેમ તમે જોઈ શકો છો, કોણની સાઈનનું મૂલ્ય હજુ પણ સંકલન \(y\) ને અનુરૂપ છે; કોણના કોસાઇનનું મૂલ્ય – સંકલન \(x\); અને અનુરૂપ ગુણોત્તર માટે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો. આમ, આ સંબંધો ત્રિજ્યા વેક્ટરના કોઈપણ પરિભ્રમણને લાગુ પડે છે.

તે પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત છે કે ત્રિજ્યા વેક્ટરની પ્રારંભિક સ્થિતિ \(x\) અક્ષની હકારાત્મક દિશા સાથે છે. અત્યાર સુધી આપણે આ વેક્ટરને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવીએ છીએ, પરંતુ જો આપણે તેને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવીએ તો શું થશે? અસાધારણ કંઈ નથી, તમને ચોક્કસ મૂલ્યનો કોણ પણ મળશે, પરંતુ માત્ર તે નકારાત્મક હશે. આમ, ત્રિજ્યા વેક્ટરને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવતી વખતે, આપણને મળે છે હકારાત્મક ખૂણા, અને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવતી વખતે - નકારાત્મક

તેથી, આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની આસપાસ ત્રિજ્યા વેક્ટરની સંપૂર્ણ ક્રાંતિ \(360()^\circ \) અથવા \(2\pi \) છે. શું ત્રિજ્યા વેક્ટરને \(390()^\circ \) દ્વારા અથવા \(-1140()^\circ \) દ્વારા ફેરવવાનું શક્ય છે? સારું, અલબત્ત તમે કરી શકો છો! પ્રથમ કિસ્સામાં, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), આમ, ત્રિજ્યા વેક્ટર એક સંપૂર્ણ ક્રાંતિ કરશે અને \(30()^\circ \) અથવા \(\dfrac(\pi )(6) \) સ્થાન પર અટકશે.

બીજા કિસ્સામાં, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), એટલે કે, ત્રિજ્યા વેક્ટર ત્રણ સંપૂર્ણ ક્રાંતિ કરશે અને \(-60()^\circ \) અથવા \(-\dfrac(\pi )(3) \) સ્થાન પર અટકશે.

આમ, ઉપરોક્ત ઉદાહરણો પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે \(360()^\circ \cdot m \) અથવા \(2\pi \cdot m \) (જ્યાં \(m \) કોઈપણ પૂર્ણાંક છે ) થી અલગ પડે છે. ત્રિજ્યા વેક્ટરની સમાન સ્થિતિને અનુરૂપ છે.

નીચેની આકૃતિ કોણ બતાવે છે \(\beta =-60()^\circ \). સમાન છબી ખૂણાને અનુરૂપ છે \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)વગેરે આ સૂચિ અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાય છે. આ બધા ખૂણાઓ સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા લખી શકાય છે \(\beta +360()^\circ \cdot m\)અથવા \(\beta +2\pi \cdot m \) (જ્યાં \(m \) કોઈપણ પૂર્ણાંક છે)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(એરે) \)

હવે, મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ જાણીને અને એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને, મૂલ્યો શું છે તેનો જવાબ આપવાનો પ્રયાસ કરો:

\(\begin(એરે)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(એરે) \)

તમને મદદ કરવા માટે અહીં એક એકમ વર્તુળ છે:

મુશ્કેલીઓ આવી રહી છે? પછી ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે:

\(\begin(એરે)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\અંત(એરે)\)

અહીંથી, અમે ચોક્કસ ખૂણાના માપને અનુરૂપ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ. સારું, ચાલો ક્રમમાં શરૂ કરીએ: ખૂણામાં \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને અનુલક્ષે છે \(\left(0;1 \right) \), તેથી:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- અસ્તિત્વમાં નથી;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

આગળ, સમાન તર્કને વળગી રહેવું, આપણે શોધીએ છીએ કે ખૂણાઓ અંદર છે \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ )કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓને અનુરૂપ \(\left(-1;0 \જમણે),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \જમણે) \), અનુક્રમે. આ જાણીને, અનુરૂપ બિંદુઓ પર ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો નક્કી કરવાનું સરળ છે. પહેલા તેને જાતે અજમાવી જુઓ અને પછી જવાબો તપાસો.

જવાબો:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- અસ્તિત્વમાં નથી

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- અસ્તિત્વમાં નથી

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- અસ્તિત્વમાં નથી

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- અસ્તિત્વમાં નથી

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

આમ, આપણે નીચેનું કોષ્ટક બનાવી શકીએ છીએ:

આ બધા મૂલ્યોને યાદ રાખવાની જરૂર નથી. એકમ વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને યાદ રાખવા માટે તે પૂરતું છે:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(એરે) \right\)\ \text(તમારે યાદ રાખવું જોઈએ અથવા તેને પ્રદર્શિત કરવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ!! \) !}

પરંતુ અને માં ખૂણાઓના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે, તમારે યાદ રાખવું જોઈએ:

ડરશો નહીં, હવે અમે તમને અનુરૂપ મૂલ્યોના એકદમ સરળ યાદ રાખવાનું એક ઉદાહરણ બતાવીશું:

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, ખૂણાના ત્રણેય માપો માટે સાઈન મૂલ્યોને યાદ રાખવું મહત્વપૂર્ણ છે ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), તેમજ \(30()^\circ \) માં ખૂણાના સ્પર્શકનું મૂલ્ય. આ \(4\) મૂલ્યોને જાણીને, સમગ્ર કોષ્ટકને પુનઃસ્થાપિત કરવું એકદમ સરળ છે - કોસાઇન મૂલ્યો તીરો અનુસાર સ્થાનાંતરિત થાય છે, એટલે કે:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \અંત(એરે) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), આ જાણીને, તમે માટે મૂલ્યો પુનઃસ્થાપિત કરી શકો છો \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). અંશ "\(1 \)" \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ને અનુરૂપ હશે અને છેદ "\(\sqrt(\text(3)) \)" અનુરૂપ હશે \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . કોટેન્જેન્ટ મૂલ્યો આકૃતિમાં દર્શાવેલ તીરો અનુસાર સ્થાનાંતરિત થાય છે. જો તમે આ સમજો છો અને તીર સાથેનો આકૃતિ યાદ રાખો છો, તો તે ટેબલમાંથી ફક્ત \(4\) મૂલ્યો યાદ રાખવા માટે પૂરતું હશે.

વર્તુળ પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ

શું વર્તુળના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ, તેની ત્રિજ્યા અને પરિભ્રમણના કોણને જાણીને વર્તુળ પર કોઈ બિંદુ (તેના કોઓર્ડિનેટ્સ) શોધવાનું શક્ય છે? સારું, અલબત્ત તમે કરી શકો છો! ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે એક સામાન્ય સૂત્ર મેળવીએ. ઉદાહરણ તરીકે, અહીં આપણી સામે એક વર્તુળ છે:

અમને તે બિંદુ આપવામાં આવે છે \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- વર્તુળનું કેન્દ્ર. વર્તુળની ત્રિજ્યા \(1.5\) છે. બિંદુ \(O\) ને \(\delta \) ડિગ્રી દ્વારા ફેરવીને મેળવેલા બિંદુ \(P\) ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા જરૂરી છે.

આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, બિંદુ \(P\) નો સંકલન \(x\) સેગમેન્ટની લંબાઈને અનુલક્ષે છે \(TP=UQ=UK+KQ\) . સેગમેન્ટની લંબાઈ \(UK\) વર્તુળના કેન્દ્રના સંકલન \(x\) ને અનુરૂપ છે, એટલે કે, તે \(3\) ની બરાબર છે. સેગમેન્ટની લંબાઈ \(KQ\) કોસાઈનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

પછી આપણી પાસે તે બિંદુ \(P\) સંકલન માટે છે \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બિંદુ \(P\) માટે y સંકલનનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. આમ,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

તેથી, સામાન્ય રીતે, બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

\(\begin(એરે)(l)x=(x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=(y)_(0))+r\cdot \sin \ ડેલ્ટા \ એન્ડ(એરે) \), ક્યાં

\((x)_(0)),((y)_(0)) \) - વર્તુળના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ,

\(r\) - વર્તુળની ત્રિજ્યા,

\(\ડેલ્ટા \) - વેક્ટર ત્રિજ્યાનો પરિભ્રમણ કોણ.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમે જે એકમ વર્તુળ પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ, આ સૂત્રો નોંધપાત્ર રીતે ઓછા થયા છે, કારણ કે કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્ય સમાન છે અને ત્રિજ્યા એક સમાન છે:

\(\begin(એરે)(l)x=(x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(એરે) \)

ગણિતના ક્ષેત્રો પૈકી એક કે જેમાં વિદ્યાર્થીઓ સૌથી વધુ સંઘર્ષ કરે છે તે છે ત્રિકોણમિતિ. તે આશ્ચર્યજનક નથી: જ્ઞાનના આ ક્ષેત્રમાં મુક્તપણે નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારે અવકાશી વિચારસરણી, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સાઇન્સ, કોસાઇન્સ, સ્પર્શક, કોટેન્જેન્ટ્સ શોધવાની ક્ષમતા, અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા અને નંબર pi નો ઉપયોગ કરવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. ગણતરીઓ આ ઉપરાંત, પ્રમેય સાબિત કરતી વખતે તમારે ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે, અને આ માટે ક્યાં તો વિકસિત ગાણિતિક મેમરી અથવા જટિલ તાર્કિક સાંકળો મેળવવાની ક્ષમતાની જરૂર છે.

ત્રિકોણમિતિની ઉત્પત્તિ

આ વિજ્ઞાન સાથે પરિચિત થવું એ કોણની સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શકની વ્યાખ્યાથી શરૂ થવું જોઈએ, પરંતુ પ્રથમ તમારે સમજવાની જરૂર છે કે સામાન્ય રીતે ત્રિકોણમિતિ શું કરે છે.

ઐતિહાસિક રીતે, ગાણિતિક વિજ્ઞાનની આ શાખામાં અભ્યાસનો મુખ્ય હેતુ કાટખૂણો હતો. 90 ડિગ્રીના ખૂણાની હાજરી વિવિધ કામગીરી હાથ ધરવાનું શક્ય બનાવે છે જે વ્યક્તિને બે બાજુઓ અને એક ખૂણા અથવા બે ખૂણાઓ અને એક બાજુનો ઉપયોગ કરીને પ્રશ્નમાં આકૃતિના તમામ પરિમાણોના મૂલ્યો નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ભૂતકાળમાં, લોકોએ આ પેટર્નની નોંધ લીધી અને ઇમારતોના નિર્માણ, નેવિગેશન, ખગોળશાસ્ત્ર અને કલામાં પણ તેનો સક્રિયપણે ઉપયોગ કરવાનું શરૂ કર્યું.

પ્રારંભિક તબક્કો

શરૂઆતમાં, લોકો માત્ર કાટકોણ ત્રિકોણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ખૂણા અને બાજુઓ વચ્ચેના સંબંધ વિશે વાત કરતા હતા. પછી વિશિષ્ટ સૂત્રોની શોધ કરવામાં આવી જેણે ગણિતની આ શાખાના રોજિંદા જીવનમાં ઉપયોગની સીમાઓને વિસ્તૃત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું.

આજે શાળામાં ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કાટકોણ ત્રિકોણથી શરૂ થાય છે, ત્યારબાદ વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રાપ્ત જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરે છે અને અમૂર્ત ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલે છે, જે હાઇ સ્કૂલમાં શરૂ થાય છે.

ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિ

પાછળથી, જ્યારે વિજ્ઞાન વિકાસના આગલા સ્તરે પહોંચ્યું, ત્યારે ગોળાકાર ભૂમિતિમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ સાથેના સૂત્રોનો ઉપયોગ થવા લાગ્યો, જ્યાં વિવિધ નિયમો લાગુ પડે છે, અને ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 180 અંશ કરતાં વધુ હોય છે. આ વિભાગનો અભ્યાસ શાળામાં કરવામાં આવતો નથી, પરંતુ તેના અસ્તિત્વ વિશે જાણવું જરૂરી છે, ઓછામાં ઓછું કારણ કે પૃથ્વીની સપાટી અને અન્ય કોઈપણ ગ્રહની સપાટી બહિર્મુખ છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ સપાટીનું નિશાન "ચાપ-આકારની" હશે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા.

ગ્લોબ અને થ્રેડ લો. થ્રેડને ગ્લોબ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ સાથે જોડો જેથી કરીને તે તંગ બને. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો - તે ચાપનો આકાર લે છે. ગોળાકાર ભૂમિતિ આવા સ્વરૂપો સાથે વ્યવહાર કરે છે, જેનો ઉપયોગ ભૂસ્તરશાસ્ત્ર, ખગોળશાસ્ત્ર અને અન્ય સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ ક્ષેત્રોમાં થાય છે.

જમણો ત્રિકોણ

ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવાની રીતો વિશે થોડું શીખ્યા પછી, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ શું છે, તેમની મદદથી કઈ ગણતરીઓ કરી શકાય છે અને કયા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો તે સમજવા માટે ચાલો મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ પર પાછા જઈએ.

પ્રથમ પગલું એ કાટકોણ ત્રિકોણ સંબંધિત ખ્યાલોને સમજવાનું છે. પ્રથમ, કર્ણ એ 90 ડિગ્રીના ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ છે. તે સૌથી લાંબો છે. અમને યાદ છે કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય અન્ય બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળાના મૂળ જેટલું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો બે બાજુઓ અનુક્રમે 3 અને 4 સેન્ટિમીટર હોય, તો કર્ણની લંબાઈ 5 સેન્ટિમીટર હશે. માર્ગ દ્વારા, પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓ આ વિશે લગભગ સાડા ચાર હજાર વર્ષ પહેલાં જાણતા હતા.

બે બાકીની બાજુઓ, જે કાટખૂણો બનાવે છે, તેને પગ કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી જેટલો છે.

વ્યાખ્યા

છેલ્લે, ભૌમિતિક આધારની મક્કમ સમજણ સાથે, વ્યક્તિ સાઈન, કોસાઈન અને કોણની સ્પર્શકની વ્યાખ્યા તરફ વળી શકે છે.

ખૂણાની સાઈન એ વિરુદ્ધ પગ (એટલે ​​​​કે, ઇચ્છિત ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ) અને કર્ણનો ગુણોત્તર છે. કોણનો કોસાઇન એ કર્પોટેન્યુસની બાજુની બાજુનો ગુણોત્તર છે.

યાદ રાખો કે સાઈન કે કોસાઈન એક કરતા વધારે હોઈ શકે નહિ! શા માટે? કારણ કે કર્ણો મૂળભૂત રીતે સૌથી લાંબો હોય છે, ભલે તે પગ કેટલો લાંબો હોય, તે કર્ણો કરતાં ટૂંકા હશે, જેનો અર્થ છે કે તેમનો ગુણોત્તર હંમેશા એક કરતા ઓછો હશે. આમ, જો તમારી સમસ્યાના જવાબમાં તમને 1 કરતા વધારે મૂલ્ય સાથે સાઈન અથવા કોસાઈન મળે, તો ગણતરીઓ અથવા તર્કમાં ભૂલ જુઓ. આ જવાબ સ્પષ્ટ રીતે ખોટો છે.

અંતે, ખૂણાની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. સાઈનને કોસાઈન વડે ભાગવાથી સમાન પરિણામ મળશે. જુઓ: સૂત્ર મુજબ, આપણે બાજુની લંબાઈને કર્ણાકાર દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, પછી બીજી બાજુની લંબાઈથી ભાગીએ છીએ અને કર્ણાણ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. આમ, આપણને સ્પર્શકની વ્યાખ્યામાં સમાન સંબંધ મળે છે.

કોટેન્જેન્ટ, તે મુજબ, ખૂણાને અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. એકને સ્પર્શક વડે ભાગવાથી આપણને સમાન પરિણામ મળે છે.

તેથી, આપણે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે તેની વ્યાખ્યાઓ જોઈ છે અને આપણે સૂત્રો તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ.

સૌથી સરળ સૂત્રો

ત્રિકોણમિતિમાં તમે સૂત્રો વિના કરી શકતા નથી - તેમના વિના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ કેવી રીતે શોધી શકાય? પરંતુ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ બરાબર જરૂરી છે.

ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કરતી વખતે તમારે જે પ્રથમ સૂત્ર જાણવાની જરૂર છે તે કહે છે કે કોણના સાઈન અને કોસાઈનના ચોરસનો સરવાળો એક સમાન છે. આ સૂત્ર પાયથાગોરિયન પ્રમેયનું સીધું પરિણામ છે, પરંતુ જો તમારે બાજુને બદલે કોણનું કદ જાણવાની જરૂર હોય તો તે સમય બચાવે છે.

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ બીજા સૂત્રને યાદ રાખી શકતા નથી, જે શાળાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે પણ ખૂબ જ લોકપ્રિય છે: એકનો સરવાળો અને કોણની સ્પર્શકનો ચોરસ એ કોણના કોસાઇનના વર્ગ દ્વારા ભાગ્યા સમાન છે. નજીકથી જુઓ: આ પ્રથમ સૂત્રની જેમ જ નિવેદન છે, માત્ર ઓળખની બંને બાજુઓ કોસાઇનના વર્ગ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવી હતી. તે તારણ આપે છે કે એક સરળ ગાણિતિક ક્રિયા ત્રિકોણમિતિ સૂત્રને સંપૂર્ણપણે અજાણી બનાવે છે. યાદ રાખો: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે, રૂપાંતરણના નિયમો અને કેટલાક મૂળભૂત સૂત્રો જાણીને, તમે કોઈપણ સમયે કાગળની શીટ પર જરૂરી વધુ જટિલ સૂત્રો મેળવી શકો છો.

ડબલ એંગલ અને દલીલોના ઉમેરા માટેના સૂત્રો

બે વધુ સૂત્રો જે તમારે શીખવાની જરૂર છે તે કોણના સરવાળા અને તફાવત માટે સાઈન અને કોસાઈનના મૂલ્યો સાથે સંબંધિત છે. તેઓ નીચેની આકૃતિમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પ્રથમ કિસ્સામાં, સાઈન અને કોસાઈન બંને વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને બીજા કિસ્સામાં, સાઈન અને કોસાઈનનું જોડીવાઇઝ ઉત્પાદન ઉમેરવામાં આવે છે.

ડબલ એંગલ દલીલો સાથે સંકળાયેલા સૂત્રો પણ છે. તેઓ સંપૂર્ણપણે અગાઉના રાશિઓમાંથી ઉતરી આવ્યા છે - એક પ્રેક્ટિસ તરીકે, બીટા કોણની સમાન આલ્ફા કોણ લઈને તેમને જાતે મેળવવાનો પ્રયાસ કરો.

છેલ્લે, નોંધ લો કે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ આલ્ફાની શક્તિ ઘટાડવા માટે ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલાને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે.

પ્રમેય

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિમાં બે મુખ્ય પ્રમેય સાઈન પ્રમેય અને કોસાઈન પ્રમેય છે. આ પ્રમેયની મદદથી, તમે સરળતાથી સમજી શકો છો કે સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ કેવી રીતે શોધી શકાય અને તેથી આકૃતિનો વિસ્તાર અને દરેક બાજુનું કદ વગેરે.

સાઈન પ્રમેય જણાવે છે કે ત્રિકોણની પ્રત્યેક બાજુની લંબાઈને વિરુદ્ધ કોણ દ્વારા વિભાજિત કરવાથી સમાન સંખ્યામાં પરિણમે છે. તદુપરાંત, આ સંખ્યા પરિમાણિત વર્તુળની બે ત્રિજ્યા સમાન હશે, એટલે કે આપેલ ત્રિકોણના તમામ બિંદુઓ ધરાવતું વર્તુળ.

કોસાઇન પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે, તેને કોઈપણ ત્રિકોણ પર પ્રક્ષેપિત કરે છે. તે તારણ આપે છે કે બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળામાંથી, નજીકના ખૂણાના ડબલ કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરીને તેમના ઉત્પાદનને બાદ કરો - પરિણામી મૂલ્ય ત્રીજી બાજુના વર્ગની બરાબર હશે. આમ, પાયથાગોરિયન પ્રમેય કોસાઇન પ્રમેયનો વિશેષ કેસ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

બેદરકાર ભૂલો

સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ શું છે તે જાણતા હોવા છતાં, ગેરહાજર-માનસિકતા અથવા સરળ ગણતરીમાં ભૂલને કારણે ભૂલ કરવી સરળ છે. આવી ભૂલોને ટાળવા માટે, ચાલો સૌથી વધુ લોકપ્રિય મુદ્દાઓ પર એક નજર કરીએ.

પ્રથમ, જ્યાં સુધી તમને અંતિમ પરિણામ ન મળે ત્યાં સુધી તમારે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત ન કરવું જોઈએ - તમે જવાબને અપૂર્ણાંક તરીકે પણ છોડી શકો છો સિવાય કે શરતોમાં અન્યથા જણાવ્યું હોય. આવા પરિવર્તનને ભૂલ કહી શકાય નહીં, પરંતુ તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સમસ્યાના દરેક તબક્કે નવા મૂળ દેખાઈ શકે છે, જે લેખકના વિચાર મુજબ, ઘટાડવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં, તમે બિનજરૂરી ગાણિતિક કામગીરીમાં તમારો સમય બગાડશો. આ ખાસ કરીને મૂલ્યો માટે સાચું છે જેમ કે ત્રણનું મૂળ અથવા બેનું મૂળ, કારણ કે તે દરેક પગલા પર સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે. આ જ “નીચ” નંબરોને રાઉન્ડિંગ કરવા માટે જાય છે.

આગળ, નોંધ કરો કે કોસાઇન પ્રમેય કોઈપણ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે, પરંતુ પાયથાગોરિયન પ્રમેયને લાગુ પડતું નથી! જો તમે ભૂલથી તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરેલ બાજુઓના ગુણાંકમાંથી બે વાર બાદબાકી કરવાનું ભૂલી જાઓ છો, તો તમને માત્ર એક સંપૂર્ણપણે ખોટું પરિણામ મળશે નહીં, પરંતુ તમે વિષયની સંપૂર્ણ સમજણનો અભાવ પણ દર્શાવશો. આ બેદરકારીની ભૂલ કરતાં વધુ ખરાબ છે.

ત્રીજે સ્થાને, સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ્સ, કોટેન્જેન્ટ્સ માટે 30 અને 60 ડિગ્રીના ખૂણા માટેના મૂલ્યોને ગૂંચવશો નહીં. આ મૂલ્યો યાદ રાખો, કારણ કે 30 ડિગ્રીની સાઈન 60 ની કોસાઈન બરાબર છે, અને ઊલટું. તેમને મૂંઝવવું સરળ છે, જેના પરિણામે તમે અનિવાર્યપણે ભૂલભરેલું પરિણામ મેળવશો.

અરજી

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કરવાની ઉતાવળમાં નથી કારણ કે તેઓ તેનો વ્યવહારુ અર્થ સમજી શકતા નથી. એન્જિનિયર અથવા ખગોળશાસ્ત્રી માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ શું છે? આ એવા ખ્યાલો છે જેની મદદથી તમે દૂરના તારાઓના અંતરની ગણતરી કરી શકો છો, ઉલ્કાના પતનનું અનુમાન કરી શકો છો અથવા અન્ય ગ્રહ પર સંશોધન પ્રોબ મોકલી શકો છો. તેમના વિના, બિલ્ડિંગ બનાવવું, કાર ડિઝાઇન કરવી, સપાટી પરના ભારની ગણતરી કરવી અથવા ઑબ્જેક્ટના માર્ગની ગણતરી કરવી અશક્ય છે. અને આ ફક્ત સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણો છે! છેવટે, એક અથવા બીજા સ્વરૂપમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ સંગીતથી દવા સુધી દરેક જગ્યાએ થાય છે.

નિષ્કર્ષમાં

તો તમે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ છો. તમે તેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં કરી શકો છો અને શાળાની સમસ્યાઓ સફળતાપૂર્વક હલ કરી શકો છો.

ત્રિકોણમિતિનો આખો મુદ્દો એ હકીકત પર આવે છે કે ત્રિકોણના જાણીતા પરિમાણોનો ઉપયોગ કરીને તમારે અજ્ઞાતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. કુલ છ પરિમાણો છે: ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ અને ત્રણ ખૂણાઓનું કદ. કાર્યોમાં માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે વિવિધ ઇનપુટ ડેટા આપવામાં આવે છે.

હવે તમે જાણો છો કે પગની જાણીતી લંબાઈ અથવા કર્ણના આધારે સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક કેવી રીતે શોધવી. કારણ કે આ શબ્દોનો અર્થ ગુણોત્તર કરતાં વધુ કંઈ નથી, અને ગુણોત્તર એ અપૂર્ણાંક છે, ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાનો મુખ્ય ધ્યેય સામાન્ય સમીકરણ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ શોધવાનો છે. અને અહીં નિયમિત શાળાનું ગણિત તમને મદદ કરશે.