મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના અભિન્ન ઘટકોની વ્યુત્પત્તિ. મૂળભૂત સૂત્રો અને એકીકરણની પદ્ધતિઓ

શાળામાં, ઘણા લોકો સંકલન ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય છે અથવા તેમની સાથે કોઈ મુશ્કેલીઓ હોય છે. આ લેખ તમને તે સમજવામાં મદદ કરશે, કારણ કે તમને તેમાં બધું જ મળશે. અભિન્ન કોષ્ટકો.

અભિન્નગાણિતિક વિશ્લેષણમાં મુખ્ય ગણતરીઓ અને વિભાવનાઓમાંની એક છે. તેનો દેખાવ બે હેતુઓથી પરિણમ્યો:
પ્રથમ ગોલ- તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને કાર્યને પુનઃસ્થાપિત કરો.
બીજો ધ્યેય- સીધી રેખા પર આલેખથી ફંક્શન f(x) સુધીના અંતરે સ્થિત વિસ્તારની ગણતરી જ્યાં, a એ b અને x-અક્ષ કરતાં વધુ અથવા બરાબર x કરતાં મોટો છે.

આ ધ્યેયો આપણને નિશ્ચિત અને અનિશ્ચિત અભિન્નતા તરફ દોરી જાય છે. આ ઇન્ટિગ્રલ્સ વચ્ચેનું જોડાણ ગુણધર્મો અને ગણતરીની શોધમાં રહેલું છે. પરંતુ દરેક વસ્તુ વહે છે અને સમય સાથે બધું બદલાય છે, નવા ઉકેલો મળ્યા, ઉમેરાઓ ઓળખવામાં આવી, ત્યાંથી એકીકરણના અન્ય સ્વરૂપો માટે ચોક્કસ અને અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય તરફ દોરી જાય છે.

શું થયું છે અનિશ્ચિત અભિન્ન તમે પૂછો. આ એક એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન F(x) છે જે અંતરાલમાં એક ચલ xનું છે જે b કરતાં x કરતા વધારે છે. કોઈપણ કાર્ય F(x) કહેવાય છે, કોઈપણ હોદ્દો x માટે આપેલ અંતરાલમાં, વ્યુત્પન્ન F(x) ની બરાબર છે. તે સ્પષ્ટ છે કે એફ(x) એ એફ(x) માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે જે અંતરાલમાં a એ x કરતા વધારે છે તે b કરતા વધારે છે. આનો અર્થ છે F1(x) = F(x) + C. C - આપેલ અંતરાલમાં f(x) માટે કોઈપણ સ્થિર અને એન્ટિડેરિવેટિવ છે. આ વિધાન ઉલટાવી શકાય તેવું છે f(x) - 2 માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ માત્ર સ્થિરમાં જ અલગ પડે છે. ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસના પ્રમેયના આધારે, તે તારણ આપે છે કે અંતરાલમાં દરેક સતત

ચોક્કસ અભિન્ન અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા તરીકે સમજવામાં આવે છે, અથવા આપેલ ફંક્શન f(x) ની પરિસ્થિતિમાં જે અમુક લાઇન (a,b) પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેના પર એન્ટિડેરિવેટિવ F હોય છે, એટલે કે આપેલ લીટીના છેડે તેના અભિવ્યક્તિઓનો તફાવત F(b) - F(a).

આ વિષયના અભ્યાસને સમજાવવા માટે, હું વિડિઓ જોવાનું સૂચન કરું છું. તે વિગતવાર જણાવે છે અને ઇન્ટિગ્રલ્સ કેવી રીતે શોધવું તે બતાવે છે.

અવિભાજ્યનું દરેક કોષ્ટક પોતે ખૂબ જ ઉપયોગી છે, કારણ કે તે ચોક્કસ પ્રકારના અવિભાજ્યને ઉકેલવામાં મદદ કરે છે.

તમામ સંભવિત પ્રકારની સ્ટેશનરી અને વધુ. તમે ઑનલાઇન સ્ટોર દ્વારા ખરીદી શકો છો v-kant.ru. અથવા ફક્ત સ્ટેશનરી સમારા (http://v-kant.ru) લિંકને અનુસરો ગુણવત્તા અને કિંમતો તમને આનંદથી આશ્ચર્યચકિત કરશે.

એકીકરણની ચાર મુખ્ય પદ્ધતિઓ નીચે સૂચિબદ્ધ છે.

1) રકમ અથવા તફાવતને એકીકૃત કરવાનો નિયમ.
.
અહીં અને નીચે u, v, w એ ઈન્ટીગ્રેશન વેરીએબલ x ના ફંક્શન છે.

2) અવિભાજ્ય ચિહ્નની બહાર સતત ખસેડવું.
c એ x થી અચળ સ્વતંત્ર રહેવા દો.

3) પછી તે અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.
વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ.
ચાલો અનિશ્ચિત અભિન્ન ગણીએ. જો આપણે આવા ફંક્શન શોધી શકીએ φ(x)
,
x થી, તેથી
.

4) પછી, ચલ t = φ(x) ને બદલીને, આપણી પાસે છે
,
ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટે ફોર્મ્યુલા.

જ્યાં u અને v એકીકરણ ચલના કાર્યો છે.
અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરવાનો અંતિમ ધ્યેય, પરિવર્તન દ્વારા, આપેલ અવિભાજ્યને સરળ અવિભાજ્યમાં ઘટાડવાનો છે, જેને ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ કહેવામાં આવે છે. કોષ્ટકના પૂર્ણાંકો જાણીતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટક જુઓ >>>

ઉદાહરણ

અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકની ગણતરી કરો

ઉકેલ
અમે નોંધીએ છીએ કે સંકલન એ ત્રણ શબ્દોનો સરવાળો અને તફાવત છે:
, અને . 1 .

પદ્ધતિ લાગુ 5, 4, આગળ, અમે નોંધીએ છીએ કે નવા અવિભાજ્યના અવિભાજ્યને સ્થિરાંકો વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે 2 અને 2 .

, અનુક્રમે. પદ્ધતિ લાગુ
.
પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાં આપણે સૂત્ર શોધીએ છીએ 2 ધારવું n =

, આપણે પ્રથમ અભિન્ન શોધીએ છીએ.
.
ચાલો ફોર્મમાં બીજા અવિભાજ્યને ફરીથી લખીએ

અમે તે નોંધીએ છીએ. પછી.
.
ચાલો ત્રીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. આપણે ચલ t = φ બદલીએ છીએ

(x) = લોગ x

પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાં આપણે સૂત્ર શોધીએ છીએ
.
એકીકરણના ચલને કોઈપણ અક્ષર દ્વારા સૂચવી શકાય છે, તો પછી
ચાલો ફોર્મમાં ત્રીજા અવિભાજ્યને ફરીથી લખીએ
અમે ભાગો દ્વારા એકીકરણનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ.
;
;

;
;
.

ચાલો મૂકીએ.
.
પછી 3 .
.

આખરે અમારી પાસે છે

ચાલો x સાથે શરતો એકત્રિત કરીએ
જવાબ આપો

વપરાયેલ સાહિત્ય:

એન.એમ. ગુંટર, આર.ઓ. કુઝમિન, ઉચ્ચ ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ, "લેન", 2003.

પ્રિન્સિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સ કે જે દરેક વિદ્યાર્થીએ જાણવું જોઈએ

સૂચિબદ્ધ અવિભાજ્ય આધાર છે, મૂળભૂત બાબતોનો આધાર. આ સૂત્રો ચોક્કસપણે યાદ રાખવા જોઈએ. વધુ જટિલ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરતી વખતે, તમારે તેનો સતત ઉપયોગ કરવો પડશે.

અચળનું અવિભાજ્ય

∫ A d x = A x + C (1)

પાવર ફંક્શનને એકીકૃત કરવું
વાસ્તવમાં, આપણી જાતને ફક્ત સૂત્રો (5) અને (7) સુધી મર્યાદિત કરવું શક્ય હતું, પરંતુ આ જૂથમાંથી બાકીના અભિન્ન ઘટકો એટલી વાર આવે છે કે તેમના પર થોડું ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

ઘાતાંકીય કાર્યો અને હાઇપરબોલિક કાર્યોના સંકલન

અલબત્ત, ફોર્મ્યુલા (8) (કદાચ યાદ રાખવા માટે સૌથી અનુકૂળ) એ ફોર્મ્યુલા (9)ના વિશેષ કેસ તરીકે ગણી શકાય. હાઈપરબોલિક સાઈન અને હાઈપરબોલિક કોસાઈનના અવિભાજ્ય માટેના ફોર્મ્યુલા (10) અને (11) સરળતાથી ફોર્મ્યુલા (8) માંથી મેળવવામાં આવે છે, પરંતુ આ સંબંધોને યાદ રાખવું વધુ સારું છે.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂળભૂત સંકલન

વિદ્યાર્થીઓ ઘણીવાર ભૂલ કરે છે કે તેઓ સૂત્રો (12) અને (13) માં ચિહ્નોને ગૂંચવતા હોય છે. યાદ રાખવું કે સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન સમાન છે, કેટલાક કારણોસર ઘણા લોકો માને છે કે ફંક્શન sinx નું અવિભાજ્ય cosx બરાબર છે. આ સાચું નથી! સાઈનનું ઈન્ટિગ્રલ "માઈનસ કોસાઈન" જેટલું છે, પરંતુ કોસેક્સનું ઈન્ટિગ્રલ "માત્ર સાઈન" જેટલું છે:

∫ પાપ x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 પાપ 2 x d x = − c t g x + C (15)

ઇન્ટિગ્રલ્સ કે જે વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયોને ઘટાડે છે

સૂત્ર (16), આર્ક્ટેન્જેન્ટ તરફ દોરી જાય છે, એ કુદરતી રીતે એ = 1 માટે સૂત્ર (17) નો વિશેષ કેસ છે. તેવી જ રીતે, (18) એ (19) નો વિશેષ કેસ છે.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

વધુ જટિલ ઇન્ટિગ્રલ

આ સૂત્રો યાદ રાખવાની પણ સલાહ આપવામાં આવે છે. તેઓ ઘણી વાર ઉપયોગમાં લેવાય છે, અને તેમનું આઉટપુટ ખૂબ કંટાળાજનક છે.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

તે જોવાનું સરળ છે કે મિલકત (26) ફક્ત ગુણધર્મો (25) અને (27) નું સંયોજન છે.

4) જો આંતરિક કાર્ય રેખીય હોય તો જટિલ કાર્યનું સંકલન: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

અહીં F(x) ફંક્શન f(x) માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: આ સૂત્ર ત્યારે જ કાર્ય કરે છે જ્યારે આંતરિક કાર્ય Ax + B હોય.

મહત્વપૂર્ણ: બે કાર્યોના ઉત્પાદનના અવિભાજ્ય માટે તેમજ અપૂર્ણાંકના અભિન્ન માટે કોઈ સાર્વત્રિક સૂત્ર નથી:

∫ f (x) g (x) d x = ?

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકની ગણતરીનું એક સરળ ઉદાહરણ

ઉદાહરણ 1. અવિભાજ્ય શોધો: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ (25) અને (26) (ફંક્શનના સરવાળા અથવા તફાવતનો અભિન્ન ભાગ અનુરૂપ પૂર્ણાંકોના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલો છે. આપણે મેળવીએ છીએ: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

ચાલો યાદ રાખીએ કે અવિભાજ્ય ચિહ્ન (સૂત્ર (27)) માંથી સ્થિરાંક લઈ શકાય છે. અભિવ્યક્તિ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

હવે ચાલો મૂળભૂત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ. આપણે સૂત્રો (3), (12), (8) અને (1) લાગુ કરવાની જરૂર પડશે. ચાલો પાવર ફંક્શન, સાઈન, ઘાતાંકીય અને અચલ 1 ને એકીકૃત કરીએ. અંતમાં એક આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટ C ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

પ્રાથમિક પરિવર્તન પછી આપણને અંતિમ જવાબ મળે છે:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

આ લિંક પરથી ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટક (ભાગ II) ડાઉનલોડ કરો

જો તમે યુનિવર્સિટીમાં અભ્યાસ કરી રહ્યાં હોવ, જો તમને ઉચ્ચ ગણિત (ગાણિતિક વિશ્લેષણ, રેખીય બીજગણિત, સંભાવના સિદ્ધાંત, આંકડા) માં મુશ્કેલીઓ હોય, જો તમને યોગ્ય શિક્ષકની સેવાઓની જરૂર હોય, તો ઉચ્ચ ગણિતના શિક્ષકના પૃષ્ઠ પર જાઓ. અમે તમારી સમસ્યાઓ સાથે મળીને હલ કરીશું!

તમને પણ રસ હોઈ શકે છે

ચાલો પ્રાથમિક કાર્યોના અભિન્ન ઘટકોની સૂચિ બનાવીએ, જેને કેટલીકવાર ટેબ્યુલર કહેવામાં આવે છે:(ઉપરોક્ત કોઈપણ ફોર્મ્યુલાને જમણી બાજુની વ્યુત્પન્નતા લઈને સાબિત કરી શકાય છે (પરિણામ એકીકૃત હશે).).

એકીકરણ પદ્ધતિઓ

ચાલો કેટલીક મૂળભૂત એકીકરણ પદ્ધતિઓ જોઈએ. આમાં શામેલ છે: 1. વિઘટન પદ્ધતિ

સીધું એકીકરણ

આ પદ્ધતિ ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલના સીધા ઉપયોગ પર આધારિત છે, તેમજ અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલના 4 અને 5 ગુણધર્મોના ઉપયોગ પર આધારિત છે (એટલે ​​​​કે, કૌંસમાંથી સતત પરિબળને બહાર કાઢવું ​​અને/અથવા કાર્યોના સરવાળા તરીકે ઇન્ટિગ્રેંડનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું - વિઘટન શરતોમાં એકીકરણની).ઉદાહરણ 1.

ઉદાહરણ તરીકે, (dx/x 4) શોધવા માટે તમે સીધા જ ટેબલ ઈન્ટિગ્રલ x n dx માટે વાપરી શકો છો. હકીકતમાં,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.ચાલો થોડા વધુ ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 2.તેને શોધવા માટે, અમે સમાન અભિન્નનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ઉદાહરણ 3.

તેને શોધવા માટે તમારે લેવાની જરૂર છે

ઉદાહરણ 4.શોધવા માટે, અમે ફોર્મમાં ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શન રજૂ કરીએ છીએ અને ઘાતાંકીય કાર્ય માટે ટેબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરો:

ચાલો કૌંસના ઉપયોગને સતત પરિબળ ગણીએ.ઉદાહરણ 5. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે શોધીએ . તે ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે

ઉદાહરણ 6.

અમે તેને શોધીશું. કારણ કે

, ચાલો ટેબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીએ );

અમને મળે છે

નીચેના બે ઉદાહરણોમાં, તમે કૌંસ અને ટેબલ ઇન્ટિગ્રલ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો: ઉદાહરણ 7. ).

(અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ અને

ઉદાહરણ 8.(અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ
. અંશમાં વિસ્તરણ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે, અમે સમ ક્યુબ સૂત્ર નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અને પછી પરિણામી બહુપદીને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, પદ દ્વારા પદ.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

એ નોંધવું જોઈએ કે સોલ્યુશનના અંતે એક સામાન્ય સ્થિરાંક C લખાયેલ છે (અને દરેક શબ્દને એકીકૃત કરતી વખતે અલગ નહીં). ભવિષ્યમાં, જ્યાં સુધી અભિવ્યક્તિમાં ઓછામાં ઓછું એક અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય હોય (અમે ઉકેલના અંતે એક સ્થિરાંક લખીશું).

ઉદાહરણ 10.અમે શોધીશું . આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, ચાલો અંશને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ (આ પછી આપણે છેદ ઘટાડી શકીએ છીએ).

ઉદાહરણ 11.અમે તેને શોધીશું. ત્રિકોણમિતિ ઓળખ અહીં વાપરી શકાય છે.

કેટલીકવાર, શબ્દોમાં અભિવ્યક્તિનું વિઘટન કરવા માટે, તમારે વધુ જટિલ તકનીકોનો ઉપયોગ કરવો પડશે.

ઉદાહરણ 12.અમે શોધીશું . ઇન્ટિગ્રન્ડમાં આપણે અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરીએ છીએ . પછી

ઉદાહરણ 13.અમે શોધીશું

2. વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ (અવેજી પદ્ધતિ)

પદ્ધતિ નીચેના સૂત્ર પર આધારિત છે: f(x)dx=f((t))`(t)dt, જ્યાં x =(t) એ વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર ભેદ પાડી શકાય તેવું કાર્ય છે.

પુરાવો. ચાલો સૂત્રની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાંથી ચલ t ના સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ.

નોંધ કરો કે ડાબી બાજુએ એક જટિલ કાર્ય છે જેની મધ્યવર્તી દલીલ x = (t) છે. તેથી, t ના સંદર્ભમાં તેને અલગ પાડવા માટે, આપણે પ્રથમ x ના સંદર્ભમાં અવિભાજ્યને અલગ પાડીએ છીએ, અને પછી t ના સંદર્ભમાં મધ્યવર્તી દલીલનું વ્યુત્પન્ન કરીએ છીએ.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

જમણી બાજુથી વ્યુત્પન્ન:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

આ વ્યુત્પન્ન સમાન હોવાને કારણે, લેગ્રેન્જના પ્રમેયના પરિણામ સ્વરૂપે, સાબિત થઈ રહેલા સૂત્રની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ચોક્કસ સ્થિરાંક દ્વારા અલગ પડે છે. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો પોતે અનિશ્ચિત અચલ શબ્દ સુધી વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી, આ સ્થિરાંકને અંતિમ સંકેતમાંથી અવગણી શકાય છે. સાબિત.

ચલનો સફળ ફેરફાર તમને મૂળ અવિભાજ્યને સરળ બનાવવા દે છે, અને સૌથી સરળ કિસ્સાઓમાં, તેને ટેબ્યુલરમાં ઘટાડી શકાય છે. આ પદ્ધતિની અરજીમાં, રેખીય અને બિનરેખીય અવેજી પદ્ધતિઓ વચ્ચે તફાવત કરવામાં આવે છે.

a) લીનિયર અવેજી પદ્ધતિચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ચાલો કેટલીક મૂળભૂત એકીકરણ પદ્ધતિઓ જોઈએ. આમાં શામેલ છે:
. ચાલો t= 1 – 2x, પછી

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

એ નોંધવું જોઈએ કે નવા વેરીએબલને સ્પષ્ટ રીતે લખવાની જરૂર નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, તેઓ વિભેદક ચિન્હ હેઠળ કાર્યને રૂપાંતરિત કરવા વિશે અથવા વિભેદક ચિન્હ હેઠળ સ્થિરાંકો અને ચલોને રજૂ કરવા વિશે વાત કરે છે, એટલે કે. ઓ ગર્ભિત ચલ રિપ્લેસમેન્ટ.

આ પદ્ધતિ ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલના સીધા ઉપયોગ પર આધારિત છે, તેમજ અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલના 4 અને 5 ગુણધર્મોના ઉપયોગ પર આધારિત છે (એટલે ​​​​કે, કૌંસમાંથી સતત પરિબળને બહાર કાઢવું ​​અને/અથવા કાર્યોના સરવાળા તરીકે ઇન્ટિગ્રેંડનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું - વિઘટન શરતોમાં એકીકરણની).ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો cos(3x + 2)dx શોધીએ. વિભેદક dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), પછીcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા બંને ઉદાહરણોમાં, લીનિયર અવેજી t=kx+b(k0) નો ઉપયોગ પૂર્ણાંકો શોધવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો.

સામાન્ય કિસ્સામાં, નીચેનું પ્રમેય માન્ય છે.

લીનિયર અવેજી પ્રમેય. F(x) ફંક્શન f(x) ના કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ બનવા દો. પછીf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, જ્યાં k અને b અમુક સ્થિરાંકો છે,k0.

પુરાવો.

અભિન્ન f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C ની વ્યાખ્યા દ્વારા. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. ચાલો અવિભાજ્ય ચિન્હમાંથી સ્થિર અવયવ k લઈએ: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. હવે આપણે સમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ અને સતત પદના હોદ્દા સુધી સાબિત કરવા માટેનું નિવેદન મેળવી શકીએ છીએ.

આ પ્રમેય જણાવે છે કે જો અભિન્ન f(x)dx= F(x) + C ની વ્યાખ્યામાં દલીલ xને બદલે આપણે અભિવ્યક્તિ (kx+b) ને બદલીએ, તો આ વધારાના દેખાવ તરફ દોરી જશે. એન્ટિડેરિવેટિવની સામે પરિબળ 1/k.

સાબિત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના ઉદાહરણો હલ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, (dx/x 4) શોધવા માટે તમે સીધા જ ટેબલ ઈન્ટિગ્રલ x n dx માટે વાપરી શકો છો. હકીકતમાં,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

અમે શોધીશું . અહીં kx+b= 3 –x, એટલે કે k= -1,b= 3. પછી

ઉદાહરણ 2.

અમે તેને શોધીશું. Herekx+b= 4x+ 3, એટલે કે k= 4,b= 3. પછી

ઉદાહરણ 4.

અમે શોધીશું . અહીં kx+b= -2x+ 7, એટલે કે k= -2,b= 7. પછી

.

ચાલો કૌંસના ઉપયોગને સતત પરિબળ ગણીએ.અમે શોધીશું
. અહીં kx+b= 2x+ 0, એટલે કે k= 2,b= 0.

.

ચાલો ઉદાહરણ 8 સાથે મેળવેલા પરિણામની સરખામણી કરીએ, જે વિઘટન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવ્યું હતું. એક અલગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાન સમસ્યાનું નિરાકરણ, અમને જવાબ મળ્યો
. ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ: આમ, આ અભિવ્યક્તિઓ સતત શબ્દ દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે , એટલે કે પ્રાપ્ત થયેલા જવાબો એકબીજા સાથે વિરોધાભાસી નથી.

અમે તેને શોધીશું. કારણ કેઅમે શોધીશું
. ચાલો છેદમાં એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, વેરીએબલને બદલવાથી ટેબ્યુલરમાં સીધું ઇન્ટિગ્રલ ઘટાડતું નથી, પરંતુ સોલ્યુશનને સરળ બનાવી શકે છે, જે પછીના પગલા પર વિસ્તરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

અમને મળે છે(અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ . બદલો t=x+ 2, પછી dt=d(x+ 2) =dx. પછી

,

જ્યાં C = C 1 – 6 (જ્યારે પ્રથમ બે પદોને બદલે અભિવ્યક્તિ (x+ 2) ને બદલે ત્યારે આપણને ½x 2 -2x– 6 મળે છે).

ઉદાહરણ 8.અમે શોધીશું
. ચાલો t= 2x+ 1, પછી dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

ચાલો ટી માટે સમીકરણ (2x+1) ને બદલીએ, કૌંસ ખોલો અને સમાન આપો.

નોંધ કરો કે રૂપાંતરણની પ્રક્રિયામાં આપણે બીજા સતત શબ્દ તરફ આગળ વધીએ છીએ, કારણ કે રૂપાંતરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્થિર શબ્દોના જૂથને અવગણી શકાય છે.

b) બિનરેખીય અવેજી પદ્ધતિચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ચાલો કેટલીક મૂળભૂત એકીકરણ પદ્ધતિઓ જોઈએ. આમાં શામેલ છે:
. લેટ = -x 2. આગળ, એક x ને t ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકે છે, પછી dx માટે અભિવ્યક્તિ શોધી શકે છે અને ઇચ્છિત પૂર્ણાંકમાં ચલના ફેરફારને અમલમાં મૂકી શકે છે. પરંતુ આ કિસ્સામાં વસ્તુઓ અલગ રીતે કરવી સરળ છે. ચાલો શોધીએ dt=d(-x 2) = -2xdx. નોંધ કરો કે અભિવ્યક્તિ xdx એ ઇચ્છિત પૂર્ણાંકના સંકલનનું પરિબળ છે. ચાલો તેને પરિણામી સમાનતાxdx= - ½dt માંથી વ્યક્ત કરીએ. પછી

એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન અને અનિશ્ચિત અભિન્ન

હકીકત 1. એકીકરણ એ ભિન્નતાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે, એટલે કે, આ ફંક્શનના જાણીતા ડેરિવેટિવમાંથી ફંક્શનને પુનઃસ્થાપિત કરવું. કાર્ય આમ પુનઃસ્થાપિત એફ(x) કહેવાય છે એન્ટિડેરિવેટિવકાર્ય માટે f(x).

વ્યાખ્યા 1. કાર્ય એફ(x f(x) અમુક અંતરાલ પર એક્સ, જો તમામ મૂલ્યો માટે xઆ અંતરાલથી સમાનતા જળવાઈ રહે છે એફ "(x)=f(x), એટલે કે, આ કાર્ય f(x) એ એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન છે એફ(x). .

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય એફ(x) = પાપ x ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x) = cos x x ની કોઈપણ કિંમત માટે (પાપ x)" = (cos x) .

વ્યાખ્યા 2. કાર્યનું અનિશ્ચિત અભિન્ન અંગ f(x) એ તેના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝનો સમૂહ છે. આ કિસ્સામાં, નોટેશનનો ઉપયોગ થાય છે

∫

f(x)ડીએક્સ

નિશાની ક્યાં છે ∫ અભિન્ન ચિહ્ન કહેવાય છે, કાર્ય f(x) - એકીકૃત કાર્ય, અને f(x)ડીએક્સ - એકીકૃત અભિવ્યક્તિ.

આમ, જો એફ(x) - માટે કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ f(x), તે

∫

f(x)ડીએક્સ = એફ(x) +સી

જ્યાં સી - મનસ્વી સતત (સતત).

અનિશ્ચિત અભિન્ન તરીકે કાર્યના એન્ટિડેરિવેટિવ્સના સમૂહનો અર્થ સમજવા માટે, નીચેની સામ્યતા યોગ્ય છે. ત્યાં એક દરવાજો (પરંપરાગત લાકડાનો દરવાજો) રહેવા દો. તેનું કાર્ય "દરવાજા બનવાનું" છે. દરવાજો શેનો બનેલો છે? લાકડાની બનેલી. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનના ઇન્ટિગ્રેન્ડના એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ “દરવાજો છે”, એટલે કે, તેનો અનિશ્ચિત અભિન્ન, ફંક્શન “ટુ બી એ ટ્રી + સી” છે, જ્યાં સી એ સ્થિર છે, જે આ સંદર્ભમાં કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વૃક્ષનો પ્રકાર સૂચવો. જેમ અમુક સાધનોનો ઉપયોગ કરીને દરવાજા લાકડામાંથી બનાવવામાં આવે છે, તેમ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને "બનાવ્યું" છે. ડેરિવેટિવનો અભ્યાસ કરતી વખતે આપણે જે સૂત્રો શીખ્યા .

પછી સામાન્ય વસ્તુઓ અને તેના અનુરૂપ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝના કાર્યોનું કોષ્ટક ("દરવાજા હોવું" - "વૃક્ષ હોવું", "ચમચી હોવું" - "ધાતુ હોવું", વગેરે) મૂળભૂત કોષ્ટક જેવું જ છે. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો, જે નીચે આપવામાં આવશે. અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટક સામાન્ય કાર્યોની સૂચિ આપે છે, જે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ સૂચવે છે કે જેમાંથી આ કાર્યો "નિર્મિત" છે. અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય શોધવાની સમસ્યાઓના ભાગરૂપે, પૂર્ણાંકો આપવામાં આવે છે જે ખૂબ પ્રયત્નો વિના સીધા જ સંકલિત કરી શકાય છે, એટલે કે, અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને. વધુ જટિલ સમસ્યાઓમાં, ઇન્ટિગ્રેંડને પહેલા રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે જેથી કરીને ટેબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરી શકાય.

હકીકત 2. એન્ટિડેરિવેટિવ તરીકે કાર્યને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે, આપણે મનસ્વી સ્થિરાંક (સતત) ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. સી, અને 1 થી અનંત સુધીના વિવિધ સ્થિરાંકો સાથે એન્ટિડેરિવેટિવ્સની સૂચિ ન લખવા માટે, તમારે મનસ્વી સ્થિરાંક સાથે એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ લખવાની જરૂર છે સી, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ: 5 x³+C. તેથી, એન્ટિડેરિવેટિવની અભિવ્યક્તિમાં મનસ્વી સ્થિરાંક (સતત) શામેલ છે, કારણ કે એન્ટિડેરિવેટિવ એક કાર્ય હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 5 x³+4 અથવા 5 x³+3 અને જ્યારે તફાવત કરવામાં આવે છે, 4 અથવા 3, અથવા અન્ય કોઈપણ સ્થિરાંક શૂન્ય પર જાય છે.

ચાલો એકીકરણની સમસ્યા રજૂ કરીએ: આ કાર્ય માટે f(x) આવા કાર્ય શોધો એફ(x), જેનું વ્યુત્પન્નની સમાન f(x).

ચાલો કેટલીક મૂળભૂત એકીકરણ પદ્ધતિઓ જોઈએ. આમાં શામેલ છે:ફંક્શનના એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ શોધો

ઉકેલ. આ કાર્ય માટે, એન્ટિડેરિવેટિવ એ કાર્ય છે

કાર્ય એફ(x) ને કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ કહેવામાં આવે છે f(x), જો વ્યુત્પન્ન એફ(x) બરાબર છે f(x), અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, વિભેદક એફ(x) સમાન છે f(x) ડીએક્સ, એટલે કે

(2)

તેથી, ફંક્શન એ ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. જો કે, તે માટે એકમાત્ર એન્ટિડેરિવેટિવ નથી. તેઓ કાર્યો તરીકે પણ સેવા આપે છે

જ્યાં સાથે- મનસ્વી સ્થિરાંક. આ તફાવત દ્વારા ચકાસી શકાય છે.

આમ, જો કોઈ ફંક્શન માટે એક એન્ટિડેરિવેટિવ હોય, તો તેના માટે અસંખ્ય એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય છે જે સતત શબ્દ દ્વારા અલગ પડે છે. ફંક્શન માટેના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ ઉપરના સ્વરૂપમાં લખેલા છે. આ નીચેના પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે.

પ્રમેય (હકીકત 2 નું ઔપચારિક નિવેદન).જો એફ(x) - કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ f(x) અમુક અંતરાલ પર એક્સ, પછી માટે અન્ય કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ f(x) સમાન અંતરાલ પર ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે એફ(x) + સી, ક્યાં સાથે- મનસ્વી સ્થિરાંક.

આગલા ઉદાહરણમાં, અમે ઇન્ટિગ્રલના કોષ્ટક તરફ વળીએ છીએ, જે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના ગુણધર્મો પછી ફકરા 3 માં આપવામાં આવશે. અમે આ સમગ્ર કોષ્ટક વાંચતા પહેલા કરીએ છીએ જેથી ઉપરનો સાર સ્પષ્ટ થાય. અને કોષ્ટક અને ગુણધર્મો પછી, અમે એકીકરણ દરમિયાન તેનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કરીશું.

આ પદ્ધતિ ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલના સીધા ઉપયોગ પર આધારિત છે, તેમજ અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલના 4 અને 5 ગુણધર્મોના ઉપયોગ પર આધારિત છે (એટલે ​​​​કે, કૌંસમાંથી સતત પરિબળને બહાર કાઢવું ​​અને/અથવા કાર્યોના સરવાળા તરીકે ઇન્ટિગ્રેંડનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું - વિઘટન શરતોમાં એકીકરણની).એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યોના સેટ શોધો:

ઉકેલ. અમને એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન્સના સેટ મળે છે જેમાંથી આ ફંક્શન્સ "બનાવેલા" છે. પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્રોનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે, હમણાં માટે ફક્ત સ્વીકારો કે ત્યાં આવા સૂત્રો છે, અને આપણે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકનો થોડો આગળ અભ્યાસ કરીશું.

1) માટેના પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્ર (7) લાગુ કરવું n= 3, આપણને મળે છે

2) માટેના પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્ર (10) નો ઉપયોગ કરીને n= 1/3, અમારી પાસે છે

3) ત્યારથી

પછી સૂત્ર (7) સાથે n= -1/4 આપણે શોધીએ છીએ

તે પોતે જ કાર્ય નથી જે અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ લખાયેલું છે f, અને વિભેદક દ્વારા તેનું ઉત્પાદન ડીએક્સ. આ મુખ્યત્વે એ દર્શાવવા માટે કરવામાં આવે છે કે એન્ટિડેરિવેટિવ કયા ચલ દ્વારા માંગવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,

, ;

અહીં બંને કિસ્સાઓમાં ઇન્ટિગ્રેંડ બરાબર છે, પરંતુ માનવામાં આવતા કેસોમાં તેના અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો અલગ અલગ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, આ કાર્યને ચલના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે x, અને બીજામાં - ના કાર્ય તરીકે z .

ફંક્શનના અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ શોધવાની પ્રક્રિયાને તે ફંક્શનનું એકીકરણ કહેવામાં આવે છે.

અનિશ્ચિત અભિન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

ધારો કે આપણે વળાંક શોધવાની જરૂર છે y=F(x)અને આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે તેના દરેક બિંદુઓ પરના સ્પર્શકોણની સ્પર્શક એ આપેલ કાર્ય છે f(x)આ બિંદુની અવગણના.

વ્યુત્પન્નના ભૌમિતિક અર્થ અનુસાર, વળાંકના આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક y=F(x)વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની સમાન F"(x). તેથી આપણે આવા કાર્ય શોધવાની જરૂર છે F(x), જેના માટે F"(x)=f(x). કાર્યમાં જરૂરી કાર્ય F(x)નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x). સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ એક વળાંક દ્વારા નહીં, પરંતુ વળાંકોના કુટુંબ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. y=F(x)- આવા વળાંકોમાંથી એક, અને અન્ય કોઈપણ વળાંક તેમાંથી ધરી સાથે સમાંતર અનુવાદ દ્વારા મેળવી શકાય છે ઓય.

ના એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનના ગ્રાફને કૉલ કરીએ f(x)અભિન્ન વળાંક. જો F"(x)=f(x), પછી ફંક્શનનો ગ્રાફ y=F(x)એક અભિન્ન વળાંક છે.

હકીકત 3. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંક ભૌમિતિક રીતે તમામ અભિન્ન વળાંકોના પરિવાર દ્વારા રજૂ થાય છે , નીચે ચિત્રમાં તરીકે. કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિથી દરેક વળાંકનું અંતર મનસ્વી એકીકરણ સ્થિરાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે સી.

અનિશ્ચિત અભિન્નના ગુણધર્મો

હકીકત 4. પ્રમેય 1. અનિશ્ચિત અવિભાજ્યનું વ્યુત્પન્ન એ પૂર્ણાંક સમાન છે, અને તેનો વિભેદક પૂર્ણાંક સમાન છે.

હકીકત 5. પ્રમેય 2. ફંક્શનના વિભેદકનું અનિશ્ચિત અભિન્ન અંગ f(x) ફંક્શન સમાન છે f(x) સતત મુદત સુધી , એટલે કે

(3)

પ્રમેય 1 અને 2 દર્શાવે છે કે ભિન્નતા અને એકીકરણ પરસ્પર વિપરિત કામગીરી છે.

હકીકત 6. પ્રમેય 3. ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં સ્થિર અવયવને અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે , એટલે કે