ચાલો તમને યાદ અપાવીએ જરૂરી માહિતીજટિલ સંખ્યાઓ વિશે.
જટિલ સંખ્યાસ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે a + દ્વિ, ક્યાં a, b - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, એ i- કહેવાતા કાલ્પનિક એકમ , એક પ્રતીક જેનો ચોરસ -1 બરાબર છે, એટલે કે i 2 = –1. નંબર aકહેવાય છે વાસ્તવિક ભાગ, અને નંબર b - કાલ્પનિક ભાગજટિલ સંખ્યા z = a + દ્વિ. જો b= 0, પછી તેના બદલે a + 0iતેઓ સરળ રીતે લખે છે a. તે જોઈ શકાય છે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે ખાસ કેસ જટિલ સંખ્યાઓ.
જટિલ સંખ્યાઓ પરની અંકગણિત ક્રિયાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જેવી જ છે: તે એકબીજા દ્વારા ઉમેરી, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરી શકાય છે. સરવાળા અને બાદબાકી નિયમ મુજબ થાય છે ( a + દ્વિ) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± ડી)i, અને ગુણાકાર નિયમને અનુસરે છે ( a + દ્વિ) · ( c + di) = (એસી – bd) + (જાહેરાત + પૂર્વે)i(અહીં તેનો ઉપયોગ થાય છે i 2 = –1). સંખ્યા = a – દ્વિકહેવાય છે જટિલ જોડાણથી z = a + દ્વિ. સમાનતા z · = a 2 + b 2 તમને એક જટિલ સંખ્યાને બીજી (શૂન્ય સિવાયની) જટિલ સંખ્યા દ્વારા કેવી રીતે વિભાજીત કરવી તે સમજવાની મંજૂરી આપે છે:
(ઉદાહરણ તરીકે, 
.)
જટિલ સંખ્યાઓ અનુકૂળ અને દ્રશ્ય ધરાવે છે ભૌમિતિક રજૂઆત: સંખ્યા z = a + દ્વિકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે ( a; b) ચાલુ કાર્ટેશિયન પ્લેન(અથવા, જે લગભગ સમાન વસ્તુ છે, એક બિંદુ - આ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટરનો અંત). આ કિસ્સામાં, બે જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો અનુરૂપ વેક્ટરના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યો છે (જે સમાંતરગ્રામ નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે). પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટરની લંબાઈ ( a; b) બરાબર છે. આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે મોડ્યુલજટિલ સંખ્યા z = a + દ્વિઅને | દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે z| આ વેક્ટર x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે બનાવે છે તે કોણ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગણાય છે) કહેવાય છે. દલીલજટિલ સંખ્યા zઅને Arg દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે z. દલીલ વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી, પરંતુ માત્ર 2 ના ગુણાંકવાળા મૂલ્યના ઉમેરા સુધી π
રેડિયન (અથવા 360°, જો ડિગ્રીમાં ગણવામાં આવે તો) - છેવટે, તે સ્પષ્ટ છે કે મૂળની આસપાસ આવા ખૂણા દ્વારા પરિભ્રમણ વેક્ટરને બદલશે નહીં. પરંતુ જો લંબાઈનો વેક્ટર આરએક ખૂણો બનાવે છે φ
x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે ( આર cos φ
; આરપાપ φ
). અહીંથી તે બહાર આવ્યું છે ત્રિકોણમિતિ સંકેતજટિલ સંખ્યા: z = |z| · (કારણ કે (આર્ગ z) + iપાપ (આર્ગ z)). આ ફોર્મમાં જટિલ સંખ્યાઓ લખવી ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે, કારણ કે તે ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. જટિલ સંખ્યાઓનો ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરવો ખૂબ જ સરળ છે: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (કારણ કે (આર્ગ z 1 + Arg z 2) + iપાપ (આર્ગ z 1 + Arg z 2)) (બે જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, તેમના મોડ્યુલોનો ગુણાકાર થાય છે અને તેમની દલીલો ઉમેરવામાં આવે છે). અહીંથી અનુસરો મોઇવરના સૂત્રો: z n = |z|n· (કારણ કે( n· (આર્ગ z)) + iપાપ( n· (આર્ગ z))). આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, જટિલ સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ ડિગ્રીના મૂળ કેવી રીતે કાઢવા તે શીખવું સરળ છે. રુટ nમી ડિગ્રીનંબર z થી- આ એક જટિલ સંખ્યા છે ડબલ્યુ, શું w એન = z. તે સ્પષ્ટ છે કે 
, અને , ક્યાં kસમૂહમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે (0, 1, ..., n– 1). આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં હંમેશા બરાબર છે nમૂળ nજટિલ સંખ્યાની મી ડિગ્રી (પ્લેન પર તેઓ નિયમિતના શિરોબિંદુ પર સ્થિત છે n-ગોન).
ચાલો આપણા મનપસંદ ચોરસથી શરૂઆત કરીએ.
ઉદાહરણ 9
જટિલ સંખ્યાનો વર્ગ કરો
અહીં તમે બે રીતે જઈ શકો છો, પહેલી રીત એ છે કે ડિગ્રીને પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે ફરીથી લખો અને બહુપદીના ગુણાકાર માટેના નિયમ અનુસાર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો.
બીજી પદ્ધતિ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટે જાણીતા શાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની છે:
જટિલ સંખ્યા માટે તમારું પોતાનું સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર મેળવવું સરળ છે:
સમાન સૂત્ર તફાવતના વર્ગ માટે, તેમજ સરવાળોના ઘન અને તફાવતના ઘન માટે મેળવી શકાય છે. પરંતુ આ સૂત્રો જટિલ વિશ્લેષણ સમસ્યાઓ માટે વધુ સુસંગત છે. જો તમારે 5મી, 10મી કે 100મી ઘાત માટે જટિલ સંખ્યા વધારવાની જરૂર હોય તો શું? તે સ્પષ્ટ છે કે માં બીજગણિત સ્વરૂપઆવી યુક્તિ કરવી લગભગ અશક્ય છે, ખરેખર, વિચારો કે તમે ઉદાહરણને કેવી રીતે હલ કરશો?
અને અહીં જટિલ સંખ્યાનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ બચાવમાં આવે છે અને કહેવાતા મોઇવરનું સૂત્ર: જો જટિલ સંખ્યાને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે, તો પછી જ્યારે તેને કુદરતી શક્તિમાં વધારવામાં આવે છે, તો નીચેનું સૂત્ર માન્ય છે:
તે માત્ર અત્યાચારી છે.
ઉદાહરણ 10
જટિલ સંખ્યા આપેલ છે, શોધો.
શું કરવાની જરૂર છે? પ્રથમ તમારે આ સંખ્યાને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની જરૂર છે. સચેત વાચકોએ નોંધ્યું હશે કે ઉદાહરણ 8 માં અમે આ પહેલાથી જ કર્યું છે:
પછી, મોઇવરના સૂત્ર મુજબ:
ભગવાન મનાઈ કરે, તમારે કેલ્ક્યુલેટર પર ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં કોણ સરળ હોવું જોઈએ. કેવી રીતે સરળ બનાવવું? અલંકારિક રીતે કહીએ તો, તમારે બિનજરૂરી વળાંકોથી છુટકારો મેળવવાની જરૂર છે. એક ક્રાંતિ એ રેડિયન અથવા 360 ડિગ્રી છે. ચાલો આપણે જાણીએ દલીલમાં કેટલા વળાંક આવે છે. સગવડતા માટે, અમે અપૂર્ણાંકને સાચો બનાવીએ છીએ:, જે પછી તે સ્પષ્ટપણે દેખાય છે કે તમે એક ક્રાંતિ ઘટાડી શકો છો:. હું આશા રાખું છું કે દરેક વ્યક્તિ સમજે છે કે આ એક જ કોણ છે.
આમ, અંતિમ જવાબ આ રીતે લખવામાં આવશે:
ઘાતાંકની સમસ્યાનો એક અલગ ભિન્નતા એ કેવળ કાલ્પનિક સંખ્યાઓનું ઘાતીકરણ છે.
ઉદાહરણ 12
જટિલ સંખ્યાઓને સત્તામાં વધારો
અહીં, પણ, બધું સરળ છે, મુખ્ય વસ્તુ એ પ્રખ્યાત સમાનતાને યાદ રાખવાની છે.
જો કાલ્પનિક એકમને એક સમાન શક્તિમાં વધારવામાં આવે છે, તો ઉકેલની તકનીક નીચે મુજબ છે:
જો કાલ્પનિક એકમને એક વિષમ શક્તિ સુધી વધારવામાં આવે છે, તો પછી આપણે એક "અને", એક સમાન શક્તિ મેળવીને "ચપટી" કરીએ છીએ:
જો ત્યાં માઈનસ (અથવા કોઈપણ વાસ્તવિક ગુણાંક) હોય, તો તેને પહેલા અલગ કરવું આવશ્યક છે:
જટિલ સંખ્યાઓમાંથી મૂળ કાઢવા. જટિલ મૂળ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણ
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
મૂળ કાઢી શકતા નથી? જો અમે વાત કરી રહ્યા છીએવાસ્તવિક સંખ્યાઓ વિશે, તો તે ખરેખર અશક્ય છે. જટિલ સંખ્યાઓનું મૂળ કાઢવાનું શક્ય છે! વધુ સ્પષ્ટ રીતે, બેમૂળ
શું મૂળ ખરેખર સમીકરણનો ઉકેલ છે? ચાલો તપાસીએ:
જે તપાસવાની જરૂર છે.
સંક્ષિપ્ત સંકેતનો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે; બંને મૂળ "સમાન કાંસકો" હેઠળ એક લીટી પર લખવામાં આવે છે: .
આ મૂળ પણ કહેવાય છે સંયોજિત જટિલ મૂળ.
કેવી રીતે બહાર કાઢવું ચોરસ મૂળનકારાત્મક સંખ્યાઓથી, મને લાગે છે કે દરેક સમજે છે: ,,,, વગેરે. બધા કિસ્સાઓમાં તે બહાર વળે છે બેસંયોજિત જટિલ મૂળ.
§1. જટિલ સંખ્યાઓ
1°. વ્યાખ્યા. બીજગણિત સંકેત.
વ્યાખ્યા 1.
જટિલ સંખ્યાઓવાસ્તવિક સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ જોડી કહેવામાં આવે છે 
અને 
, જો તેમના માટે સમાનતા, સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓની વિભાવના વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હોય, તો નીચેના સ્વયંસિદ્ધિઓને સંતોષે છે:
1) બે સંખ્યા 
અને 
સમાન જો અને માત્ર જો 
,
, એટલે કે
|
|
,
.2) જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો 
અને 
અને સમાન 
, એટલે કે
|
|
+
=
.3) જટિલ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન 
અને 
દ્વારા સૂચિત નંબર છે 
અને સમાન, એટલે કે
|
|
∙=.જટિલ સંખ્યાઓનો સમૂહ સૂચવવામાં આવે છે સી.
ફોર્મ્યુલા (2), (3) ફોર્મની સંખ્યાઓ માટે 
ફોર્મ લો
જ્યાંથી તે ફોર્મની સંખ્યાઓ માટે સરવાળો અને ગુણાકારની કામગીરીને અનુસરે છે 
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે મેળ ખાય છે ફોર્મની જટિલ સંખ્યા 
વાસ્તવિક નંબર સાથે ઓળખાય છે 
.
જટિલ સંખ્યા 
કહેવાય છે કાલ્પનિક એકમઅને નિયુક્ત થયેલ છે 
, એટલે કે 
પછીથી (3)
માંથી (2), (3) જેનો અર્થ થાય છે
|
|
અભિવ્યક્તિ (4) કહેવાય છે બીજગણિતીય સંકેતજટિલ સંખ્યા.
બીજગણિત સંકેતોમાં, સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ ફોર્મ લે છે:
જટિલ સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે 
,
- વાસ્તવિક ભાગ, 
- કાલ્પનિક ભાગ, 
એક સંપૂર્ણ કાલ્પનિક સંખ્યા છે. હોદ્દો: 
,
.
વ્યાખ્યા 2. જટિલ સંખ્યા 
કહેવાય છે જોડાણજટિલ સંખ્યા સાથે 
.
જટિલ જોડાણના ગુણધર્મો.
1)
2)
.
3) જો 
, તે 
.
4)
.
5)
- વાસ્તવિક સંખ્યા.
સાબિતી સીધી ગણતરી દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા 3. નંબર 
કહેવાય છે મોડ્યુલજટિલ સંખ્યા 
અને નિયુક્ત થયેલ છે 
.
તે સ્પષ્ટ છે કે 
, અને 
. સૂત્રો પણ સ્પષ્ટ છે: 
અને 
.
2°. સરવાળો અને ગુણાકારની કામગીરીના ગુણધર્મો.
1) કોમ્યુટેટીવીટી: 
,
.
2) સહયોગીતા:, 
.
3) વિતરણ: .
સાબિતી 1) – 3) વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સમાન ગુણધર્મોના આધારે સીધી ગણતરીઓ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.
4)
,
.
5)
,
સી
!
, સમીકરણને સંતોષે છે 
. આ
6)
,
સી,
0,
!
:
. આ 
દ્વારા સમીકરણનો ગુણાકાર કરીને જોવા મળે છે 
.
ઉદાહરણ.
ચાલો એક જટિલ સંખ્યાની કલ્પના કરીએ 
બીજગણિત સ્વરૂપમાં. આ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને છેદની સંયુક્ત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો. અમારી પાસે છે:
3
° જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક અર્થઘટન. જટિલ સંખ્યા લખવાનું ત્રિકોણમિતિ અને ઘાતાંકીય સ્વરૂપ.
પ્લેનમાં આપવા દો લંબચોરસ સિસ્ટમસંકલન પછી 
સીતમે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્લેન પરના બિંદુને મેચ કરી શકો છો 
.(ફિગ 1 જુઓ). દેખીતી રીતે, આવા પત્રવ્યવહાર એક-થી-એક છે. આ કિસ્સામાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એબ્સીસા અક્ષ પર રહે છે, અને સંપૂર્ણ કાલ્પનિક સંખ્યાઓ ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર રહે છે. તેથી, abscissa અક્ષ કહેવામાં આવે છે વાસ્તવિક ધરી, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ − કાલ્પનિક ધરી. પ્લેન કે જેના પર જટિલ સંખ્યાઓ હોય છે તેને કહેવામાં આવે છે જટિલ વિમાન.
તેની નોંધ લો 
અને 
મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે, અને 
અને 
બળદ વિશે સપ્રમાણ.
દરેક જટિલ સંખ્યા (એટલે કે, પ્લેન પરના દરેક બિંદુ) બિંદુ O પર શરૂઆત સાથે અને બિંદુ પર અંત સાથે વેક્ટર સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. 
. વેક્ટર અને જટિલ સંખ્યાઓ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર એક-થી-એક છે. તેથી, જટિલ સંખ્યાને અનુરૂપ વેક્ટર 
, સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચિત 
ડી 
વેક્ટર રેખા 
જટિલ સંખ્યાને અનુરૂપ 
, સમાન છે 
, અને 
,
.
વેક્ટર અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વેક્ટર 
- વેક્ટર્સનો સરવાળો 
અને 
, એ 
- વેક્ટર્સનો સરવાળો 
અને 
.(ફિગ 2 જુઓ). તેથી, નીચેની અસમાનતાઓ માન્ય છે: ,
લંબાઈ સાથે 
વેક્ટર 
ચાલો કોણ પરિચય કરીએ 
વેક્ટર વચ્ચે 
અને ઓક્સ અક્ષ, ઓક્સ અક્ષની સકારાત્મક દિશામાંથી ગણવામાં આવે છે: જો ગણતરી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો કોણનું ચિહ્ન હકારાત્મક માનવામાં આવે છે, જો ઘડિયાળની દિશામાં હોય, તો તે નકારાત્મક છે. આ કોણ કહેવાય છે જટિલ સંખ્યાની દલીલઅને નિયુક્ત થયેલ છે 
. કોર્નર 
અસ્પષ્ટપણે નિર્ધારિત નથી, પરંતુ ચોકસાઇ સાથે 
…. માટે 
દલીલ વ્યાખ્યાયિત નથી.
સૂત્રો (6) કહેવાતા વ્યાખ્યાયિત કરે છે ત્રિકોણમિતિ સંકેતજટિલ સંખ્યા.
(5) થી તે અનુસરે છે કે જો 
અને 
તે
|
|
,
.(5) તરફથી 
શું વિશે 
અને 
જટિલ સંખ્યા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. વાતચીત સાચી નથી: એટલે કે, જટિલ સંખ્યા પર 
તેનું મોડ્યુલ 
અનન્ય છે, અને દલીલ 
, (7) ના આધારે, − ચોકસાઈ સાથે 
. તે (7) થી પણ અનુસરે છે કે દલીલ 
સમીકરણના ઉકેલ તરીકે શોધી શકાય છે
જો કે, આ સમીકરણના તમામ ઉકેલો (7) ના ઉકેલો નથી.
જટિલ સંખ્યાની દલીલના તમામ મૂલ્યોમાંથી, એક પસંદ કરવામાં આવે છે, જેને દલીલનું મુખ્ય મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે. 
. સામાન્ય રીતે દલીલનું મુખ્ય મૂલ્ય ક્યાં તો અંતરાલમાં પસંદ કરવામાં આવે છે 
, અથવા અંતરાલમાં 
ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ કરવા માટે અનુકૂળ છે.
પ્રમેય 1.જટિલ સંખ્યાઓના ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ 
અને 
મોડ્યુલોના ઉત્પાદન સમાન છે, અને દલીલ એ દલીલોનો સરવાળો છે, એટલે કે.
, એ.
તેવી જ રીતે
,
પુરાવો.દો,. પછી સીધા ગુણાકાર દ્વારા આપણને મળે છે:
તેવી જ રીતે
.■
પરિણામ(મોઇવરનું સૂત્ર). માટે 
મોઇવરનું સૂત્ર માન્ય છે
પી 
ઉદાહરણ
ચાલો બિંદુનું ભૌમિતિક સ્થાન શોધીએ 
. પ્રમેય 1 થી તે અનુસરે છે.
તેથી, તેને બાંધવા માટે, તમારે પહેલા એક બિંદુ બનાવવું જોઈએ 
, જે વ્યુત્ક્રમ છે 
એકમ વર્તુળની સાપેક્ષમાં, અને પછી ઓક્સ અક્ષની સાપેક્ષ તેની સાથે સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ શોધો.
દો 
, તે. 
જટિલ સંખ્યા 
દ્વારા સૂચિત 
, એટલે કે 
આરયુલરનું સૂત્ર માન્ય છે
|
|
કારણ કે 
, તે 
,
. પ્રમેય 1 થી 
કાર્ય સાથે શું છે 
તમે નિયમિત ઘાતાંકીય કાર્ય સાથે કામ કરી શકો છો, એટલે કે. સમાનતાઓ માન્ય છે
,
,
.
(8) તરફથી 
નિદર્શનાત્મક સંકેતજટિલ સંખ્યા
, ક્યાં 
,
ઉદાહરણ. .
4°. મૂળ 
જટિલ સંખ્યાની -મી ઘાત.
સમીકરણ ધ્યાનમાં લો
|
|
,
સાથે
,
એન
.
દો 
, અને સમીકરણ (9) નો ઉકેલ ફોર્મમાં માંગવામાં આવ્યો છે 
. પછી (9) ફોર્મ લે છે 
, જ્યાંથી આપણે તે શોધીએ છીએ 
,
, એટલે કે
,
,
.
આમ, સમીકરણ (9) મૂળ ધરાવે છે
|
|
,
.ચાલો બતાવીએ કે (10) વચ્ચે બરાબર છે 
વિવિધ મૂળ. ખરેખર, 
અલગ છે, કારણ કે તેમની દલીલો અલગ છે અને તેનાથી ઓછી અલગ છે 
. આગળ, 
, કારણ કે 
. તેવી જ રીતે 
.
આમ, સમીકરણ (9) ખાતે 
બરાબર છે 
મૂળ 
, નિયમિત ના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત છે 
- ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં કોતરેલ ત્રિકોણ 
t.O ખાતે કેન્દ્ર સાથે
આમ તે સાબિત થાય છે
પ્રમેય 2.રુટ નિષ્કર્ષણ 
જટિલ સંખ્યાની -મી ઘાત 
તે હંમેશા શક્ય છે. બધા મૂળ અર્થ 
ની મી ડિગ્રી 
યોગ્ય ના શિરોબિંદુ પર સ્થિત છે 
શૂન્ય અને ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળમાં કોતરેલ ગોન 
. તે જ સમયે,
પરિણામ.મૂળ 
-1 ની ઘાત સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે
.
1 ના બે મૂળનું ઉત્પાદન એક મૂળ છે, 1 એક મૂળ છે 
- એકતાની શક્તિ, 
મૂળ 
:
.
