ત્રિ-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટ્સ સાથે કામ કરતી વખતે, તેમના સંબંધમાં વિવિધ પરિવર્તનો કરવા માટે ઘણીવાર જરૂરી છે: ખસેડો, ફેરવો, સંકુચિત કરો, ખેંચો, બેવલ, વગેરે. જો કે, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં તે જરૂરી છે કે આ પરિવર્તનો લાગુ કર્યા પછી ચોક્કસ ગુણધર્મો સાચવવામાં આવે.

વ્યાખ્યા.પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશન કહેવાય છે સંબંધ(અંગ્રેજીમાંથી . સંબંધ - સગપણ), જો

• તે એક-થી-એક છે;
• કોઈપણ સીધી રેખાની છબી સીધી રેખા છે.

રૂપાંતરણ કહેવાય છે એક થી એક, જો

• વિવિધ બિંદુઓ વિવિધ મુદ્દાઓ પર જાય છે;
• અમુક બિંદુ દરેક બિંદુ પર જાય છે.

ગુણધર્મો સંલગ્ન રૂપાંતરત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં:

• n-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટને n-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટ પર નકશા કરે છે: બિંદુથી બિંદુ, રેખાથી રેખા, સપાટીથી સપાટી;
• રેખાઓ અને વિમાનોની સમાનતા જાળવી રાખે છે;
• સમાંતર વસ્તુઓના પ્રમાણને સાચવે છે - સમાંતર રેખાઓ પરના ભાગોની લંબાઈ અને સમાંતર વિમાનો પરના વિસ્તારો.

કોઈપણ અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન 3x3 મેટ્રિક્સ દ્વારા બિનશૂન્ય નિર્ણાયક અને અનુવાદ વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

ચાલો આને ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી જોઈએ. R મેટ્રિક્સ રજૂ કરે છે રેખીય ઓપરેટરત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટરની જગ્યા પર. સમાંતર ટ્રાન્સફર કરવા માટે વેક્ટર T જરૂરી છે: જો આપણે (000) ને કોઈપણ 3x 3 મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણે ફરીથી (000) મેળવીએ છીએ - સંકલન પ્રણાલીની ઉત્પત્તિ, રૂપાંતરણ Rની તુલનામાં, એક નિશ્ચિત બિંદુ છે. નિર્ણાયક બિનશૂન્ય હોવું આવશ્યક છે તે વ્યાખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. અનિવાર્યપણે, જો મેટ્રિક્સ R નો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય, તો સમગ્ર જગ્યા સમતલ, રેખા અથવા બિંદુમાં ફેરવાય છે. તેથી તેનું સન્માન થતું નથી એક થી એક.

વ્યવહારમાં, સિંગલ મેટ્રિક્સ સાથે એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉલ્લેખ કરવો અનુકૂળ છે. આ કિસ્સામાં, અગાઉના લેખમાં રજૂ કરાયેલ સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન નીચેના 4x4 મેટ્રિક્સ દ્વારા આપવામાં આવશે:

નોંધ કરો કે પ્રથમ ત્રણ મૂલ્યો છેલ્લી લીટી 0 ની બરાબર છે. આ છે જરૂરી સ્થિતિકે પરિવર્તન મિલનસાર હશે. IN સામાન્ય કેસમનસ્વી 4x4 મેટ્રિક્સ વ્યાખ્યાયિત કરે છે પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતર. આવા પરિવર્તનો, જેમ કે નામ સૂચવે છે, તેનો ઉપયોગ ત્રિ-પરિમાણીય દ્રશ્યને પ્રોજેક્ટ કરવા માટે થાય છે. આની પછીના લેખમાં વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવશે.

ચાલો એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનના ખાસ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

નૉૅધઅહીં અને નીચેનામાં, નીચે પ્રમાણે રજૂ કરાયેલ સંકલન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે:

• સંકલન સિસ્ટમ અધિકાર;
• z અક્ષ નિરીક્ષક તરફ નિર્દેશિત છે, સ્ક્રીન પ્લેન પર લંબરૂપ છે;
• y-અક્ષ સ્ક્રીન પ્લેનમાં છે અને ઉપર તરફ નિર્દેશિત છે;
• x અક્ષ સ્ક્રીન પ્લેનમાં છે અને જમણી તરફ નિર્દેશિત છે.

ભૌમિતિક પાઇપલાઇન પર વિચાર કરતી વખતે અમે આના પર વધુ વિગતવાર ધ્યાન આપીશું.

આ રૂપાંતર માટે મેટ્રિક્સ આના જેવો દેખાય છે:

IN આ બાબતેમેટ્રિક્સ R = E, ઓળખ મેટ્રિક્સ.

નીચે ચર્ચા કરેલ પરિવર્તનો માત્ર મેટ્રિક્સ R ને અસર કરે છે, તેથી માત્ર તેની જાણ કરવામાં આવશે.

પરિભ્રમણ (પરિભ્રમણ)

જો પ્લેનમાં પરિભ્રમણ ચોક્કસ બિંદુની આસપાસ કરવામાં આવે છે, તો પછી ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ચોક્કસ વેક્ટરની આસપાસ પરિભ્રમણ કરવામાં આવે છે. મનસ્વી વેક્ટરની આસપાસ પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ બાંધવા માટે આગળ વધતા પહેલા, ચાલો આસપાસના પરિભ્રમણના વિશેષ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ. સંકલન અક્ષો.

નૉૅધમનસ્વી વેક્ટરની આસપાસ ફેરવો સમાન નથીમનસ્વી નિર્દેશિત રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણ.

નોંધ કરો કે જ્યારે y-અક્ષની આસપાસ ફરતા હોય, ત્યારે બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સ (y-કોઓર્ડિનેટ્સ) બદલાતા નથી. એ નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે બિંદુના x અને z કોઓર્ડિનેટ્સ y કોઓર્ડિનેટથી સ્વતંત્ર રીતે રૂપાંતરિત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ બિંદુ p (x, y, z) બિંદુ p’(x’(x, z), y, z’(x, y)) પર જશે. હવે તે સમજવાનું બાકી છે કે x અને z કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે રૂપાંતરિત થાય છે: Oxz પ્લેનમાં આ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં પરિભ્રમણ હશે (કારણ કે x z y એ ડાબા ત્રણ છે), એટલે કે. વી નકારાત્મક દિશા. આવા રૂપાંતરણનું મેટ્રિક્સ જાણીતું છે (જુઓ પ્લેન ફેરવવું):

ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ R y (φ y):

x અને z અક્ષની આસપાસ ફેરવો

સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, તમે અનુક્રમે x અને z અક્ષોની આસપાસ પરિભ્રમણ મેટ્રિસિસ R x (φ x) અને R z (φ z) મેળવી શકો છો.

અહીં અંતિમ પરિણામો છે:

તે જોવાનું સરળ છે કે મેટ્રિસીસ R x , R y , R z 1 ની બરાબર છે. ઉપરાંત, પરિભ્રમણ મેટ્રિસિસ R રોટમાં ઓર્થોગોનાલિટીની મિલકત હોય છે: R T R = RR T = E . આમાંથી, બદલામાં, તે અનુસરે છે ઉપયોગી મિલકત, કે પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સના વ્યુત્ક્રમને સ્થાનાંતરણ દ્વારા બદલી શકાય છે: R -1 (φ) = R T (φ).

સ્કેલિંગ (સંકોચો/સ્ટ્રેચ, ફ્લિપ)

સંકોચન/વિસ્તરણ ગુણાંક, દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશ સાથે સામ્યતા દ્વારા, મેટ્રિક્સ R ની કર્ણ શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

પરિણામ:

ગુણાંક s x = -1, s y = 1, s z = 1 એ Oyz પ્લેન (x = 0) માંથી પ્રતિબિંબનો ઉલ્લેખ કરશે. s x = s y = s z = -1 સાથે આપણને મળે છે કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતામૂળને સંબંધિત.

આર મેટ્રિક્સનું અર્થઘટન

ચાલો વિચાર કરીએ કે રેખીય બીજગણિતના દૃષ્ટિકોણથી મેટ્રિક્સ R શું છે. તે તારણ આપે છે કે મેટ્રિક્સ R માં આધાર છે નવી સિસ્ટમસંકલન

ખરેખર, મેટ્રિક્સ

(R 11 R 12 R 13 )

(R 21 R 22 R 33)

(R 31 R 32 R 33 )

કાર્ટેશિયન આધાર વેક્ટરનું ભાષાંતર કરે છે:

(100) → (R 11 R 21 R 31 )

(010) → (R 12 R 22 R 32 )

(001) → (R 13 R 23 R 33 )

હવે બેવલ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેળવવું સરળ છે. દાખ્લા તરીકે:

નૉૅધજો આપણે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત પરિભાષાનું પાલન કરીએ, તો ઉપરોક્ત પરિવર્તનને શિફ્ટ કહેવામાં આવે છે. શિફ્ટ (કાતર)મેટ્રિક્સ R નો મુખ્ય કર્ણ એકમ હોય તેવું કોઈપણ પરિવર્તન હશે. જો મેટ્રિક્સ R નો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય, તો રૂપાંતરણ સંલગ્ન નથી.

જટિલ સંલગ્ન પરિવર્તન

જટિલ સંલગ્ન પરિવર્તનો સરળ (પ્રાથમિક) રૂપાંતરણોના સંયોજન તરીકે મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, સરળ affine પરિવર્તનો અલગ અલગ રીતે પસંદ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પરિભ્રમણને સ્કેલિંગ અને શીયરિંગના સંયોજન તરીકે વિચારી શકાય છે. જો કે, સગવડ માટે, પરિભ્રમણ પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે પ્રાથમિક પરિવર્તન. મનસ્વી વેક્ટરની આસપાસનું પરિભ્રમણ સંકલન અક્ષોની આસપાસના પરિભ્રમણના સંયોજન તરીકે રજૂ થાય છે. આ વિશે હવે પછીના લેખમાં વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવશે.

પ્લેનમાં અને અવકાશમાં પરિવર્તન

કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં, ફ્લેટ કેસ સાથે સંબંધિત દરેક વસ્તુને સામાન્ય રીતે 2D (2-પરિમાણીય) દ્વિ-પરિમાણીય તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, અને અવકાશી કેસ સાથે સંબંધિત દરેક વસ્તુ 3D છે.

પ્લેન પર Affine પરિવર્તનો

અફિનિસ - સંબંધિત (લેટિન). કારણ કે આકૃતિઓ affine રૂપાંતરણ હેઠળ સચવાય છે.

ધારો કે કેટલીક રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (ઓક્સવાય) છે. પછી, દરેક બિંદુ M કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y) ની જોડી સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. અન્ય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ O * X * Y * રજૂ કરીને, તમે સમાન બિંદુ M પર કોઓર્ડિનેટ્સની બીજી જોડી (x *,y *) સોંપી શકો છો. એક સિસ્ટમથી બીજી સિસ્ટમમાં સંક્રમણ:

x * =ax+by+c, શરત |a b|¹0 સાથે

y * =dx+ey+f |d e|

આ સૂત્રોને બે રીતે ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, ક્યાં તો બિંદુ સાચવવામાં આવે છે અને સંકલન સિસ્ટમ બદલાય છે, અથવા સંકલન સિસ્ટમ સાચવવામાં આવે છે અને બિંદુ બદલાય છે. ભવિષ્યમાં, આ સૂત્રોને આપેલ સંકલન પ્રણાલીમાં બિંદુઓના પરિવર્તન તરીકે ચોક્કસપણે ગણવામાં આવશે. તદુપરાંત, વિચારણા હેઠળની બધી સિસ્ટમો લંબચોરસ હશે (સૂત્રો તમને બિન-લંબચોરસ સાથે કામ કરવાની મંજૂરી આપે છે).

એ નોંધવું જોઈએ કે બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ Mx, My સાથે મૂળમાંથી વેક્ટર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

પછી રૂપાંતરણ તરીકે લખી શકાય છે વેક્ટર ફોર્મ(આ માત્ર લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ માટે જ સાચું છે).

M*=((M-O*)X*,(M-O*)Y*)

પ્રથમના કોઓર્ડિનેટ્સમાં બીજી સિસ્ટમની ઉત્પત્તિના O*-કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં છે. X*,Y* - પ્રથમના કોઓર્ડિનેટ્સમાં બીજી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના વેક્ટર (વેક્ટર દિશાઓ).

a=(Xx*), b=(Xy*), c=-O*X*

d=(Yx*), e=(Yy*), f=-O*Y*

આ રૂપાંતર પણ લખી શકાય છે મેટ્રિક્સ ફોર્મ

, અથવા , જ્યાં વેક્ટરને ફોર્મ 1´2 ના મેટ્રિસિસના સ્વરૂપમાં ગણવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સ C=AB નું એલિમેન્ટ Cij એ મેટ્રિક્સ B ના j-th કૉલમના ઘટકો દ્વારા મેટ્રિક્સ A ની i-મી પંક્તિના ઘટકોના ઉત્પાદનનો સરવાળો છે.

વ્યસ્ત રૂપાંતર - રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી, અથવા વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો , પરંતુ કેસ માટે જ્યારે સિસ્ટમને orts દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે તે સરળ હોઈ શકે છે. આ બાબતે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સટ્રાન્સપોઝ કરેલ એક સમાન.

એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન - ભૌમિતિક પરિવર્તનપ્લેન અથવા સ્પેસ ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ પરિભ્રમણ, અનુવાદ, સંયોજિત કરીને મેળવી શકાય છે. સ્પેક્યુલર પ્રતિબિંબઅને કોઓર્ડિનેટ અક્ષોની દિશામાં સ્કેલિંગ.

પરિભ્રમણ (આર - પરિભ્રમણ). એક ખૂણા પર મૂળની આસપાસ a.

x * =x*cosa-y*sina

y * =x*sina+y*cosa

તાણ, સંકલન અક્ષો સાથે સંકોચન (ડી - વિસ્તરણ).

પ્રતિબિંબ (એમ - અરીસો). એબ્સીસા અક્ષ સાથે સંબંધિત.

ટ્રાન્સફર (ટી - અનુવાદ).

ટ્રાન્સફરને મેટ્રિક્સ દ્વારા વેક્ટરના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી, પરંતુ તે વેક્ટરના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

હું જાણું છું વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિતે સાબિત થયું છે કે કોઈપણ પરિવર્તનને આ સૌથી સરળ પરિવર્તનના અનુક્રમિક અમલ (સુપરપોઝિશન) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

કેટલીકવાર એક મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં તમામ રૂપાંતરણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું અનુકૂળ હોય છે, આ હેતુ માટે, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ

સાથે બિંદુ M માટે x,y કોઓર્ડિનેટ્સપ્લેન પર, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ એ x1, x2, x3 સંખ્યાઓનો ત્રિવિધ છે, જે એક સાથે શૂન્ય અને સંબંધો દ્વારા જોડાયેલ છે x1/x3=x, x2/x3=y. પ્લેનમાં x,y કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતો બિંદુ એક સમાન જગ્યામાં xh,y,h,h બિંદુ સાથે સંકળાયેલ છે, સામાન્ય રીતે h=1 (x,y,1).

સામાન્ય રૂપાંતરનિર્દેશ કરે છે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ ah ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

અને મૂળભૂત પરિવર્તન મેટ્રિસિસ આના જેવો દેખાશે:

પરિવર્તનનું સંયોજન.

ધારો કે તમારે કોઈ બિંદુ A ની આસપાસ એક ખૂણાથી બિંદુને ફેરવવાની જરૂર છે.

પ્રથમ, બિંદુ A ને કોઓર્ડિનેટ્સ (-Ax,-Ay) ના મૂળ તરફ ખસેડો. આગળનો વારો. આગળ, બિંદુ A. (Ax,Ay) પર પાછા ટ્રાન્સફર કરો. એક રૂપાંતર પ્રાપ્ત કરવું શક્ય છે

અવકાશમાં સંલગ્ન પરિવર્તન

3D અવકાશમાં, એક બિંદુ (વેક્ટર) ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y,z), અથવા ચાર સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y,z,1) દ્વારા રજૂ થાય છે.

વેક્ટરના ડાબે અને જમણા ત્રિપુટીની વિભાવનાઓ રજૂ કરવી જોઈએ. ત્રણ વેક્ટર a,b,cજમણા હાથે ટ્રિપલ બનાવો જો, વેક્ટરની શરૂઆતને સંયોજિત કર્યા પછી, વેક્ટર c ના અંતથી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં જોતા નિરીક્ષકને a થી b સુધીનો સૌથી ટૂંકો વળાંક દેખાય. નિયમ જમણો હાથ- વેક્ટર a કોણી સાથે એકરુપ થાય છે, વેક્ટર b હથેળીમાં પ્રવેશે છે, વેક્ટર c સાથે એકરુપ થાય છે અંગૂઠો. સંકલન પ્રણાલીને સામાન્ય રીતે જમણેરી કહેવામાં આવે છે જો તેની દિશા વેક્ટર જમણેરી ટ્રિપલ બનાવે છે.

વેક્ટર આર્ટવર્ક c=a´b, c એ બંને વેક્ટર માટે લંબરૂપ વેક્ટર છે, જે તેમની સાથે જમણી બાજુ ટ્રિપલ બનાવે છે.

Cx=Ay*Bz-Az*દ્વારા, Cy=Az*Bx-Ax*Bz, C z=Ax*દ્વારા- Ay*Bx

પરિવર્તનો સમાન રહે છે: પરિભ્રમણ (માત્ર હવે ત્રણ અક્ષોની આસપાસ), ખેંચાણ, પ્રતિબિંબ (ત્રણ વિમાનોને સંબંધિત), અનુવાદ.

કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ રોટેશન, જો ડાબી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે મૂળમાંથી જોવામાં આવે તો (જમણી બાજુ માટે, ઊલટું).

, ,

,

, ,

ઉદાહરણ તરીકે, તમારે બિંદુ Aમાંથી પસાર થતા દિશા વેક્ટર L સાથે સીધી રેખા વિશે પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ બનાવવાની જરૂર છે.

1. A ને મૂળમાં સ્થાનાંતરિત કરો

2. X ધરી સાથે સીધી રેખાને સંરેખિત કરવી.

પ્રથમ X ધરીની આસપાસ ફેરવો

કોણ દ્વારા a, cosa=Lz/d, sina=Lx/d, જ્યાં d=

જો d=0 હોય, તો સીધી રેખા પહેલેથી જ X અક્ષ સાથે એકરુપ છે.

પછી એક ખૂણો b દ્વારા Y અક્ષની આસપાસ ફેરવો.

ફેરવાયેલ વેક્ટર છે (Lx,Ly,Lz,1)=(Lx,0,d,1).

cosb=Lx, sinb=d

3. X ધરીની ફરતે ઇચ્છિત ખૂણા પર ફેરવો

4. L અક્ષ પર પાછા ફરો,

5. બિંદુ A પર સ્થાનાંતરિત કરો

સામાન્ય મેટ્રિક્સ હશે

ઓર્ટ્સ દ્વારા ઉલ્લેખિત કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રૂપાંતર

જો સિસ્ટમ પરસ્પર લંબરૂપ એકમ વેક્ટર X*,Y*,Z* ના ટ્રિપલ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

, વ્યસ્ત રૂપાંતર- ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સ [R] T

ડિઝાઇન

ડિઝાઇન અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, સૌ પ્રથમ, પ્રદર્શિત કરવા માટે ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થોફ્લેટ સ્ક્રીન પર, પરંતુ અન્ય એપ્લિકેશનો છે, જેમ કે પડછાયાઓ.

ડિઝાઇનના બે સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રકારો છે: સમાંતર અને કેન્દ્રિય (પરિપ્રેક્ષ્ય).

ઑબ્જેક્ટને પ્લેન પર પ્રોજેક્ટ કરતી વખતે, તમારે ઑબ્જેક્ટના દરેક બિંદુ દ્વારા આપેલ પ્રોજેક્ટિંગ બીમમાંથી સીધી રેખા દોરવાની જરૂર છે અને પ્લેન સાથે આ સીધી રેખાના આંતરછેદને શોધવાની જરૂર છે.

મુ સમાંતર ડિઝાઇનબીમમાં સમાંતર રેખાઓ હોય છે, જેમાં મધ્ય ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

સમાંતર અંદાજોને બે પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જ્યારે બીમ રેખાઓ પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર લંબરૂપ હોય છે - અંદાજોને એકોનોમેટ્રિક કહેવામાં આવે છે, અને જ્યારે નહીં, ત્રાંસી (અમે આવા અંદાજોને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં).

જો કે, સ્ક્રીન પર ઑબ્જેક્ટનું એક્સોનોમેટ્રિક સમાંતર પ્રક્ષેપણ મેળવવા માટે, તમારે બીમની દિશાને એક અક્ષ (સામાન્ય રીતે Z) સાથે જોડવાની જરૂર છે. X અને Y અક્ષો એકરૂપ થશે અક્ષ X,Yસ્ક્રીન પર, અને Z અક્ષને સ્ક્રીનમાં ઊંડે સુધી નિર્દેશિત કરવામાં આવશે.

બિંદુનું પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ મેળવવા માટે, કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર બીમના અદ્રશ્ય બિંદુને મૂકવું અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, Z અક્ષ સાથે સ્ક્રીનની દિશા (અદ્રશ્ય બિંદુથી પ્રક્ષેપણ પ્લેન સુધી લંબ) ગોઠવો, પછી Xp=X*d/Z, Yp=Y*d/Z, જ્યાં d એ મૂળથી પ્રોજેક્શન પ્લેન સુધીનું અંતર છે.

આ પરિવર્તનને મેટ્રિક્સ તરીકે લખી શકાય છે. ,

એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આવા પરિવર્તનમાં ઊંડાઈ (z) ખોવાઈ જાય છે, પરંતુ તે વેક્ટરના છેલ્લા સંકલનમાંથી ગણતરી કરી શકાય છે.

આ ડિઝાઇન રૂપાંતરણો ઉપરાંત, સ્ક્રીન પર છબી યોગ્ય રીતે દેખાય છે તેની ખાતરી કરવા માટે થોડા વધુ બનાવવા અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. સૌ પ્રથમ, તેને વિન્ડોના કદ સુધી ખેંચવાની જરૂર છે, બીજું, તેને X અક્ષની આસપાસ પ્રતિબિંબિત કરવાની જરૂર છે (કારણ કે Y અક્ષ સામાન્ય રીતે નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે), ત્રીજું, તેને વિન્ડોની મધ્યમાં ખસેડવાની જરૂર છે. બારી

સામાન્ય ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ નીચે મુજબ છે.

Cx,Cy - સ્ક્રીન સેન્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ.

ગુણોત્તર – Y કદ અને X કદનો ગુણોત્તર, વિવિધ સ્ક્રીન રીઝોલ્યુશન માટે અલગ. રિઝોલ્યુશન એ સપાટી એકમ દીઠ પિક્સેલ્સની સંખ્યા છે, આ કિસ્સામાં એકમ સમગ્ર મોનિટર સ્ક્રીન છે. મોનિટર સ્ક્રીનનો ગુણોત્તર છે આડું કદવર્ટિકલ 4/3 માટે, તેથી આડા અને વર્ટિકલ પિક્સેલ્સની સંખ્યા સાથેના રિઝોલ્યુશન માટે કે જે આ સંખ્યાના ગુણોત્તર = 1 (ઉદાહરણ તરીકે 640/480) નો બહુવિધ છે. અન્યથા ગુણોત્તર=(4*sizey)/(3*sizex) (320x200 =0.83).

એસ - સ્કેલ પરિબળ, માટે સમાંતર પ્રક્ષેપણમાટે મેન્યુઅલી પસંદ કરેલ છે પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ S એક સમાન છે, પરંતુ d (ડિઝાઇન પ્લેનનું અંતર) FOV (દૃશ્યના ક્ષેત્ર) ના આધારે ગણવામાં આવે છે. FOV એ બીમમાં સીધી રેખાઓ દ્વારા બનેલો મહત્તમ કોણ છે, જે દૃશ્યનો કોણ છે.

FOV સામાન્ય રીતે 50° થી 100° સુધી બદલાય છે, માનવ આંખની FOV 90° છે.

વિશ્વ, મોડેલ અને સ્ક્રીન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ

વિશ્વ એ મુખ્ય સંકલન પ્રણાલી છે જેમાં તમામ દ્રશ્ય વસ્તુઓનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે.

મોડલ - સંકલન સિસ્ટમ જેમાં આંતરિક માળખુંવસ્તુઓ

સ્ક્રીન - ઓબ્ઝર્વર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ, જેને કેમેરા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પણ કહેવાય છે.

મોડેલને સામાન્ય રીતે મોડલ સિસ્ટમમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે સિસ્ટમનું કેન્દ્ર ભૌમિતિક અથવા મોડેલના દળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય, X અક્ષ આગળની દિશા સાથે, Y અક્ષ જમણી બાજુએ, અને Z અક્ષ ઉપર તરફ.

મોડેલ M (વેક્ટર) અને ઓરિએન્ટેશન (ક્યાં તો ત્રણ ઓર્ટ્સ અથવા રોલના ત્રણ ખૂણા (X), પિચ (Y), કોર્સ (Z), મેટ્રિક્સ છે. પરિભ્રમણના ક્રમ તરીકે રચાય છે). મોડેલ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે પહેલા ઓરિએન્ટેશન મેટ્રિક્સ અનુસાર ફેરવવું જોઈએ અને પછી માં ભાષાંતર કરવું જોઈએ.

કોર્સ રોલ પિચ

કેમેરાની સ્થિતિ અને દિશા મોડેલની સ્થિતિની જેમ બરાબર સેટ કરી શકાય છે. પરંતુ ઘણીવાર, કેમેરાના દૃશ્યની માત્ર દિશા જ પૂરતી હોય છે. સામાન્ય રીતે (માં વાસ્તવિક જીવનમાં) કેમેરામાં કોઈ રોલ નથી, ᴛ.ᴇ. X અક્ષ (જમણી બાજુએ) હંમેશા આડી હોય છે અને તેથી YZ પ્લેન હંમેશા ઊભી હોય છે.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, જો આપણે ધારીએ કે કેમેરાની Z અક્ષ (જોવાની દિશા) ઊભી નથી, તો આપણે X અક્ષ=નોર્મ(Z´Up) શોધી શકીએ છીએ, જ્યાં Up(0,0,1) એ વર્ટિકલ વેક્ટર છે. X એ વર્ટિકલ વેક્ટર ઉપર લંબરૂપ હશે, જેનો અર્થ આડો છે). છેલ્લે Y=X´Z અક્ષ (ઉપર). ખાતરી કરો કે સિસ્ટમ બાકી રહે છે.

વિશ્વ પ્રણાલીમાંથી પોઈન્ટ્સને સ્ક્રીન પોઈન્ટ્સમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, પહેલા અનુવાદ લાગુ કરવો અને પછી ટ્રાન્સપોઝ્ડ કેમેરા ઓરિએન્ટેશન મેટ્રિક્સ T દ્વારા ફેરવવું મહત્વપૂર્ણ છે.

જો કે, મોડલ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી કોઈ બિંદુને સ્ક્રીન કોઓર્ડિનેટ્સમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, નીચેનું ટ્રાન્સફોર્મેશન T કરવું અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. આવા પરિવર્તનો પછી, Z અક્ષને દૃશ્યની દિશા સાથે નિર્દેશિત કરવામાં આવશે અને ડિઝાઇન કરી શકાય છે.

વ્યાખ્યાન 6-7-8

પ્લેન પર અને અવકાશમાં પરિવર્તન - ખ્યાલ અને પ્રકારો. 2017, 2018 "પ્લેન પર અને અવકાશમાં પરિવર્તન" શ્રેણીનું વર્ગીકરણ અને લક્ષણો.

પ્રકરણ 1. ઉમેરો. પ્લેન પર અને અવકાશમાં કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટનું પરિવર્તન. પ્લેનમાં અને અવકાશમાં વિશેષ સંકલન પ્રણાલીઓ.

પ્લેનમાં અને અવકાશમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ બનાવવાના નિયમોની ચર્ચા પ્રકરણ 1 ના મુખ્ય ભાગમાં કરવામાં આવી છે. ઉપયોગમાં સરળતા નોંધવામાં આવી હતી. લંબચોરસ સિસ્ટમોસંકલન મુ વ્યવહારુ ઉપયોગવિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના માધ્યમો, ઘણી વખત અપનાવવામાં આવેલી સંકલન પ્રણાલીને બદલવાની જરૂર હોય છે. આ સામાન્ય રીતે અનુકૂળતાના વિચારણાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: ભૌમિતિક છબીઓ સરળ બનાવવામાં આવે છે, વિશ્લેષણાત્મક મોડેલો અને ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ વધુ સ્પષ્ટ બને છે.

બાંધકામ અને ઉપયોગ ખાસ સિસ્ટમોકોઓર્ડિનેટ્સ: ધ્રુવીય, નળાકાર અને ગોળાકાર એ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાના ભૌમિતિક અર્થ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વિશિષ્ટ સંકલન પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરીને મોડેલિંગ ઘણીવાર વ્યવહારિક સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં વિશ્લેષણાત્મક મોડેલોના વિકાસ અને ઉપયોગની સુવિધા આપે છે.

પ્રકરણ 1 ના પરિશિષ્ટમાં મેળવેલ પરિણામોનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે રેખીય બીજગણિત, મોટાભાગના- વી ગાણિતિક વિશ્લેષણઅને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં.

પ્લેન પર અને અવકાશમાં કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટનું પરિવર્તન.

પ્લેનમાં અને અવકાશમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, તે નોંધવામાં આવ્યું હતું કે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ એક બિંદુ પર છેદવાથી રચાય છે. સંખ્યા અક્ષો: વિમાનમાં બે અક્ષો જરૂરી છે, ત્રણ અવકાશમાં. વેક્ટર્સના વિશ્લેષણાત્મક મોડલ્સના નિર્માણના સંબંધમાં, ઓપરેશનની રજૂઆત ડોટ ઉત્પાદનવેક્ટર્સ અને ભૌમિતિક સામગ્રીની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ, તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સનો ઉપયોગ સૌથી વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે.

જો આપણે પરિવર્તનની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ ચોક્કસ સિસ્ટમઅમૂર્ત રીતે સંકલન કરે છે, તો પછી સામાન્ય કિસ્સામાં મનસ્વી હિલચાલને મંજૂરી આપવી શક્ય બનશે જગ્યા આપી છેઅક્ષોનું આપખુદ નામ બદલવાના અધિકાર સાથે અક્ષોનું સંકલન કરો.

આપણે પ્રાથમિક ખ્યાલથી શરૂઆત કરીશું સંદર્ભ સિસ્ટમો , ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સ્વીકૃત. મૃતદેહોની હિલચાલનું અવલોકન કરતાં ખબર પડી કે હલચલ છે અલગ શરીરપોતે નક્કી કરી શકાતું નથી. તમારી પાસે ઓછામાં ઓછું એક વધુ શરીર હોવું જરૂરી છે જેની હિલચાલ જોવા મળે છે, એટલે કે તેમાં ફેરફાર સંબંધિત જોગવાઈઓ. વિશ્લેષણાત્મક મોડેલો, કાયદાઓ અને ગતિ મેળવવા માટે, એક સંકલન પ્રણાલી આ બીજા શરીર સાથે સંકળાયેલી હતી, એક સંદર્ભ પ્રણાલી તરીકે, અને એવી રીતે કે સંકલન પ્રણાલી નક્કર !

મનસ્વી ચળવળ થી નક્કરઅવકાશમાં એક બિંદુથી બીજા સ્થાને બે સ્વતંત્ર હિલચાલ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે: અનુવાદાત્મક અને રોટેશનલ, પછી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને રૂપાંતરિત કરવાના વિકલ્પો બે હલનચલન સુધી મર્યાદિત હતા:

1). સમાંતર સ્થાનાંતરણ: અમે ફક્ત એક બિંદુને અનુસરીએ છીએ - બિંદુ.

2). સંકલન પ્રણાલીની અક્ષોનું પરિભ્રમણ બિંદુને સંબંધિત છે: સખત શરીર તરીકે.

પ્લેન પર કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સનું રૂપાંતર.

ચાલો પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ રાખીએ: , અને . કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સિસ્ટમના સમાંતર અનુવાદ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સિસ્ટમને કોણ દ્વારા ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે, અને પરિભ્રમણની હકારાત્મક દિશાને ધરીના કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ પરિભ્રમણ તરીકે લેવામાં આવે છે.

ચાલો આપણે અપનાવેલ સંકલન પ્રણાલીઓ માટે આધાર વેક્ટર નક્કી કરીએ. સિસ્ટમના સમાંતર સ્થાનાંતરણ દ્વારા સિસ્ટમ મેળવવામાં આવી હોવાથી, આ બંને સિસ્ટમો માટે અમે અનુક્રમે આધારભૂત વેક્ટર: , અને એકમ અને અનુક્રમે સંકલન અક્ષો સાથે દિશામાં એકરૂપ થતા સ્વીકારીએ છીએ. સિસ્ટમ માટે, અમે આધાર વેક્ટર તરીકે લઈએ છીએ એકમ વેક્ટર, અક્ષો સાથે દિશામાં એકરુપ , .

એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપીએ અને તેમાં એક બિંદુ = વ્યાખ્યાયિત કરીએ. અમે ધારીશું કે રૂપાંતર પહેલા અમારી પાસે એકરૂપ સંકલન પ્રણાલીઓ છે અને . કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પર લાગુ કરો સમાંતર ટ્રાન્સફર, વેક્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત. બિંદુના સંકલન પરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી છે. ચાલો વેક્ટર સમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ: = + , અથવા:

ચાલો આપણે પ્રાથમિક બીજગણિતમાં જાણીતા ઉદાહરણ સાથે સમાંતર અનુવાદના રૂપાંતરણને સમજાવીએ.

ઉદાહરણ ડી–1 : પેરાબોલાનું સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે: = = . આ પેરાબોલાના સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડી દો.

ઉકેલ:

1). ચાલો ટેકનિકનો ઉપયોગ કરીએ સ્રાવ સંપૂર્ણ ચોરસ : = , જેને સરળતાથી આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે: –3 = .

2). ચાલો કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન લાગુ કરીએ - સમાંતર ટ્રાન્સફર := આ પછી, પેરાબોલાનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ લે છે: . બીજગણિતમાં આ રૂપાંતર નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: parabola = વિસ્થાપન દ્વારા પ્રાપ્ત સૌથી સરળ પેરાબોલાજમણી બાજુએ 2 અને ઉપર 3 એકમો.

જવાબ: સૌથી સરળ સ્વરૂપપેરાબોલાસ: .

એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપીએ અને તેમાં એક બિંદુ = વ્યાખ્યાયિત કરીએ. અમે ધારીશું કે રૂપાંતર પહેલા અમારી પાસે એકરૂપ સંકલન પ્રણાલીઓ છે અને . ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પરિભ્રમણ રૂપાંતરણ લાગુ કરીએ જેથી કરીને તેની મૂળ સ્થિતિની સાપેક્ષમાં, એટલે કે, સિસ્ટમની તુલનામાં, તે કોણ દ્વારા ફેરવાય તેવું બહાર આવે. બિંદુ = નું સંકલન પરિવર્તન વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી છે. ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેક્ટર લખીએ અને : = .

તે જ સમયે, કોઈપણ ખૂણા માટે અમારી પાસે છે: જે આકૃતિ પરથી એકદમ સરળ રીતે જોવા મળે છે. પછી: = . બાદમાં આ રીતે લખી શકાય છે: = . વેક્ટર સમાનતામાંથી આપણે બિંદુ માટે સંકલન પરિવર્તન મેળવીએ છીએ: .કોપીરાઇટ ઉલ્લંઘન અને

આ મુદ્દાનો વિષય મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનની સોંપણી છે. આ વિષય અનિવાર્યપણે દરેક વસ્તુનો સારાંશ છે જે અગાઉ કહેવામાં આવ્યું હતું.

વ્યાખ્યા.પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશન કહેવાય છે સંબંધ, જો

• તે એક-થી-એક છે;
• કોઈપણ સીધી રેખાની છબી સીધી રેખા છે.

રૂપાંતરણ કહેવાય છે એક થી એક, જો

• વિવિધ બિંદુઓ વિવિધ મુદ્દાઓ પર જાય છે;
• અમુક બિંદુ દરેક બિંદુ પર જાય છે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ

જો આપણે સમાંતર ટ્રાન્સફરને ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે તારણ આપે છે કે 2x2 મેટ્રિક્સ હવે તેને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પૂરતું નથી. પરંતુ તે 3x3 મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુનો ત્રીજો સંકલન ક્યાંથી મેળવવો?

વ્યાખ્યા.સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ - કોઓર્ડિનેટ્સ કે જેમાં પ્રોપર્ટી હોય છે કે તેઓ જે ઑબ્જેક્ટ વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે બદલાતું નથી જ્યારે બધા કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

સજાતીય વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ(x, y) સંખ્યાઓનો ટ્રિપલ છે(x", y", h), જ્યાં x = x"/h, y = y"/h, અને h - કેટલાક વાસ્તવિક સંખ્યા(કેસ જ્યારે h = 0 ખાસ છે).

નૉૅધઆ કોઓર્ડિનેટ્સ તમને પ્લેન પરના કોઈ બિંદુને વિશિષ્ટ રીતે સ્પષ્ટ કરવાની મંજૂરી આપતા નથી. દાખ્લા તરીકે,(1, 1, 1) અને (2, 2, 2) સમાન બિંદુ સેટ કરો(1, 1) . સેટ લેવાનું સૂચન કરવામાં આવે છે(x, y, 1) , જે પ્લેનના તમામ બિંદુઓનું વર્ણન કરશે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ માટે પરિવર્તન મેટ્રિક્સનું કદ 3x3 છે. ચાલો સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં કેટલાક રૂપાંતરણોને ધ્યાનમાં લઈએ.

કમ્પ્રેશન/ટેન્શન

આ પરિવર્તન અક્ષીય સ્કેલિંગ પરિબળો દ્વારા અનુરૂપ બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સને ગુણાકાર કરે છે:(x, y) -> (a x * x, a y * y) . ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે:

[a x 0 0]

જ્યાં એક એક્સ - અક્ષીય ખેંચાણ x,

a y - અક્ષીય ખેંચાણ y.

નૉૅધતે નોંધી શકાય છે કે કમ્પ્રેશન/ટેન્શન ગુણાંકના નકારાત્મક મૂલ્યો સાથે, અનુરૂપ અક્ષોની તુલનામાં પ્રતિબિંબ થાય છે. આ કેસને આ પરિવર્તનમાં સમાવી શકાય છે, અથવા તેને અલગ તરીકે લઈ શકાય છે, એમ કહીને કે માપન પરિબળો માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે.

વળો

2x2 પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સની અગાઉ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. હવે તે પંક્તિ અને કૉલમ દ્વારા પૂરક છે:

[-sin(phi)cos(phi) 0]

નૉૅધકોણ પર phi = n આ મેટ્રિક્સ મૂળ વિશે કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે પરિભ્રમણનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે. તમે જોશો કે આ સમપ્રમાણતાને સ્ક્વોશ/સ્ટ્રેચ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (નેગેટિવ સ્કેલિંગ પરિબળો માટે પરવાનગી આપે છે).

સમાંતર ટ્રાન્સફર

મૂળ વેક્ટર (x, y) અંદર જાય છે (x + t x, y + t y) . ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે:

[ 1 0 0]

[t x t y 1]

પ્રતિબિંબ

સ્ક્વોશ/સ્ટ્રેચ ટ્રાન્સફોર્મેશન પરની નોંધમાં જણાવ્યા મુજબ, પ્રતિબિંબ નીચે પ્રમાણે મેળવવામાં આવે છે:

[-10 0]

x અક્ષ વિશે પ્રતિબિંબ

ધરી વિશે પ્રતિબિંબ y

અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશનનું સામાન્ય દૃશ્ય

3x3 મેટ્રિક્સ જેની છેલ્લી કોલમ (0 0 1) T છે તે પ્લેનના સંલગ્ન રૂપાંતરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે:

[ * * 0]

[ * * 0]

[ * * 1]

ગુણધર્મોમાંના એક અનુસાર, એક અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન આ રીતે લખી શકાય છે:

f (x) = x * R + t,

જ્યાં આર - ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ 2 x2, અને t - મનસ્વી વેક્ટર. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં આ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે:

[R 1.1 R 1.2 0]

[R 2.1 R 2.2 0]

[ t x t y 1 ]

જો આપણે આ મેટ્રિક્સ વડે પંક્તિ વેક્ટરનો ગુણાકાર કરીએ તો આપણને પરિવર્તન પરિણામ મળે છે:

[ xy1 ] *[ R 1.1 R 1.2 0 ]

[R 2.1 R 2.2 0]

[ t x t y 1 ]

[ x’y’1 ]+[ t x t y 1 ]

આ કિસ્સામાં [ x ’ y ’ ] = R * [ x y ]

નૉૅધજિજ્ઞાસુ વાચકે પહેલેથી જ પોતાને પ્રશ્ન પૂછ્યો છે: મેટ્રિક્સ R ના નિર્ધારકનો અર્થ શું છે? સંલગ્ન પરિવર્તન સાથે, તમામ આંકડાઓના ક્ષેત્રો | માં બદલાય છેઆર | (તમે ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી આને સખત રીતે સાબિત કરી શકો છો, પરંતુ આ હકીકત અહીં પુરાવા વિના આપવામાં આવી છે.)

તે. અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનને મેટ્રિક્સ દ્વારા ઉલ્લેખિત કેટલાક રૂપાંતરની રચના તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છેઆર , અને સમાંતર ટ્રાન્સફર. ચાલો આ મેટ્રિક્સની પ્રકૃતિ અને તે આપણને આપેલી તકો વિશે વધુ વિગતવાર તપાસ કરીએ.

મેટ્રિક્સ આર પ્લેનનો નવો આધાર વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તે. વેક્ટર(1, 0) જાય છે (R 1,1, R 1,2), વેક્ટર (0, 1) જાય છે (R 2,1, R 2,2) ). નવો આધાર મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ છેઆર.

ઉદાહરણ.

જ્યારે y-અક્ષ વિશે પ્રતિબિંબિત થાય છે , ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથેનો આધાર વેક્ટર સચવાય છે, અને એબ્સિસા અક્ષ સાથે તે બને છે(-10) . તે. મેટ્રિક્સ આર આના જેવો દેખાશે:

હવે તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે ઉપરોક્ત રૂપાંતરણો ઉપરાંત, એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને તમે બેવલ મેળવી શકો છો:

ઉપરોક્ત એફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશન જેવા શક્તિશાળી સાધન વિશે મૂળભૂત માહિતી પ્રદાન કરે છે. ઘણા પ્રશ્નો રહે છે: અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો કયો પેટા વર્ગ સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને સાચવે છે? કેટલાંક પેટા વર્ગોની રચના તરીકે આપણે એક અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશનને કેવી રીતે રજૂ કરી શકીએ? વધુ જટિલ પરિવર્તનો કેવી રીતે સ્પષ્ટ કરવા, ઉદાહરણ તરીકે, અક્ષીય સમપ્રમાણતામનસ્વી સીધી રેખાને સંબંધિત?

આ પ્રશ્નોના જવાબો અને સૈદ્ધાંતિક ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમના એક વિભાગ તરીકે, અફીન ટ્રાન્સફોર્મેશનની વધુ વિગતવાર ચર્ચા અલગથી આપવામાં આવશે.

ચાલો આપણે ફોર્મમાં અફીન ટ્રાન્સફોર્મેશનના વ્યવહારિક અમલીકરણ પર ધ્યાન આપીએ નિદર્શન કાર્યક્રમ. એપ્લિકેશનની ક્ષમતાઓ જે માઉસ વડે પ્લેનને ફેરવવાનું નિદર્શન કરે છે તે સમાંતર અનુવાદના કાર્યોમાં ઉમેરવામાં આવે છે જ્યારે કી દબાવવામાં આવે છે.સીટીઆરએલ

કારણ કે આ વિભાગમાં આ લેખ અંતિમ છે, ડેમો એપ્લિકેશન કોડ યોગ્ય હોવો જોઈએ. ચાલો ગ્રાફિકલ એપ્લિકેશનમાં કયા બ્લોક્સની જરૂર છે તે શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ, જ્યારે તે સાથે આ પ્રોગ્રામમાં તે કેવી રીતે અમલમાં આવે છે તે જોઈએ:

• બ્લોક જેમાં વિન્ડો બનાવવામાં આવે છે અને સંદેશાઓ પર પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે ઓપરેટિંગ સિસ્ટમ, ફાઇલમાં અમલમાં મૂક્યોએમેન cpp
• ગ્રાફિક્સ એન્જિન કે જે ઈમેજીસ, ક્લાસ રેન્ડર કરે છેએન્જીન
• લોજિકલ કોઓર્ડિનેટ્સને વિન્ડો કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેનાથી વિપરીત, વર્ગમાં કન્વર્ટ કરવા માટે જરૂરી સ્તરવ્યુપોર્ટ
• વપરાશકર્તાની ક્રિયાઓ, વર્ગ પર પ્રતિક્રિયા આપવા માટે જવાબદાર પદાર્થક્રિયા

નીચેનું ઉદાહરણ વિગતવાર ટિપ્પણીઓ સાથે, આ કાર્યાત્મક બ્લોક્સને લાગુ કરે છે.

5. ભૌમિતિક પરિવર્તનો

ડિસ્પ્લે સ્ક્રીન પર ઇમેજ પ્રદર્શિત કરવા અને તેની સાથેની વિવિધ ક્રિયાઓ, જેમાં વિઝ્યુઅલ એનાલિસિસનો સમાવેશ થાય છે, માટે વપરાશકર્તા પાસેથી ચોક્કસ અંશે ભૌમિતિક સાક્ષરતાની જરૂર પડે છે. ભૌમિતિક ખ્યાલો, સૂત્રો અને તથ્યો મુખ્યત્વે પ્લેન અને ત્રિ-પરિમાણીય કિસ્સાઓ સમસ્યાઓમાં ભૂમિકા ભજવે છે કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ વિશેષ ભૂમિકા. ભૌમિતિક વિચારણાઓ, અભિગમો અને વિચારો સતત વિસ્તરી રહેલી શક્યતાઓ સાથે કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીછે એક અખૂટ સ્ત્રોતકમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સના વિકાસમાં નોંધપાત્ર પ્રગતિ, તેના અસરકારક ઉપયોગવૈજ્ઞાનિક અને અન્ય સંશોધનમાં. કેટલીકવાર સરળ ભૌમિતિક તકનીકો પણ મોટી ગ્રાફિકલ સમસ્યાને ઉકેલવાના વ્યક્તિગત તબક્કામાં નોંધપાત્ર પ્રગતિ પ્રદાન કરે છે.

5.1. પ્લેનમાં અને અવકાશમાં પરિવર્તન

ઑબ્જેક્ટ્સ અને તેમના ભાગોની હિલચાલ જેવી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, કેમેરા નિયંત્રણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે સંલગ્ન પરિવર્તનો(એપી), તેમના મુખ્ય ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લો:

1) સમાન લાઇન પર પડેલા બિંદુઓ, રૂપાંતર પછી, સમાન લાઇન પર આવેલા;

2) છેદતી રેખાઓ છેદતી રહે છે, અને સમાંતર રેખાઓ સમાંતર રહે છે;

3) અવકાશના AP સાથે, છેદતા વિમાનો છેદતા રહે છે, સમાંતર વિમાનો સમાંતર રહે છે, અને છેદતા વિમાનો છેદતા રહે છે;

4) AP સાથે, પ્લેન પરના બે ચોરસના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર અને અવકાશમાં બે ક્યુબ્સના વોલ્યુમનો ગુણોત્તર સાચવવામાં આવે છે.

પ્લેન પર Affine પરિવર્તનો

ધારો કે પ્લેન પર એક રેક્ટિલિનિયર લાઇન આપવામાં આવી છે સંકલન સિસ્ટમ. પછી દરેક બિંદુ M તેના કોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 5.1) ની સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ જોડી (x, y) ને અનુરૂપ છે. પ્લેન પર બીજી રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરીને, અમે સમાન બિંદુ M ને સંખ્યાઓની બીજી જોડી સાથે સાંકળીએ છીએ - (x *, y *).

પ્લેન પર એક રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાંથી બીજામાં સંક્રમણ નીચેના સંબંધો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

x* = α x+ β y+ λ ,

y* = γ x+ δ y+ µ ,

જ્યાં α, β, λ, γ, µ, δ – મનસ્વી સંખ્યાઓઅસમાનતા દ્વારા સંબંધિત

α β ≠ 0.

γ δ

સૂત્રો (1)ને બે રીતે ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે: કાં તો બિંદુ સાચવવામાં આવે છે અને કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બદલાઈ જાય છે (ફિગ. 5.2) (આ કિસ્સામાં મનસ્વી બિંદુ M એ જ રહે છે, ફક્ત તેના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલાય છે), અથવા બિંદુ બદલાય છે અને કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાચવવામાં આવે છે (ફિગ. 5.3) (આ કિસ્સામાં, સૂત્રો (1) એક મેપિંગ વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે મનસ્વી બિંદુ M (x, y) ને રૂપાંતરિત કરે છે. બિંદુ M * (x *, y *), જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે).

IN નીચેનામાં, અમે સૂત્રો (1) ને નિયમ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું જે મુજબ પ્લેનના બિંદુઓ આપેલ રેક્ટીલિનિયર કોઓર્ડિનેટ્સની સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

IN પ્લેનના સંલગ્ન રૂપાંતરણોમાં, ઘણા મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ કેસો દ્વારા એક વિશેષ ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે જેમાં સારી રીતે શોધી શકાય તેવી ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓ હોય છે. સંશોધન કરતી વખતે ભૌમિતિક અર્થ સંખ્યાત્મક ગુણાંકસૂત્રોમાં (1) આ કિસ્સાઓ માટે તે ધારવું અનુકૂળ છે આપેલ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ લંબચોરસ કાર્ટેશિયન છે.

1. આસપાસ વળો પ્રારંભિક બિંદુએક ખૂણા પરϕ એ સૂત્રો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

x * = x cosϕ − y sinϕ ,

y * = x sinϕ + y cosϕ .

2. સંકલન અક્ષો સાથે સ્ટ્રેચિંગ (કમ્પ્રેશન) નીચે પ્રમાણે સેટ કરી શકાય છે:

x * = α x ,y * = δ y ,α > 0,δ > 0.

એબ્સીસા અક્ષ સાથે તણાવ પ્રદાન કરવામાં આવે છે જો કે α > 1, અને સંકોચન - 0 પર<α < 1.

3. પ્રતિબિંબ (x-અક્ષને સંબંધિત) નો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત છે

x *= x ,y *= −y .

4. સમાંતર ટ્રાન્સફર સંબંધો દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે

x* = x+ λ , y* = y+ µ .

આ ચાર વિશેષ કેસોની પસંદગી બે સંજોગો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

1. ઉપરોક્ત દરેક પરિવર્તનનો એક સરળ અને સ્પષ્ટ ભૌમિતિક અર્થ છે (ઉપરોક્ત સૂત્રોમાં સમાવિષ્ટ અચલ સંખ્યાઓ પણ ભૌમિતિક અર્થ સાથે સંપન્ન છે).

2. જેમ કે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં સાબિત થાય છે, ફોર્મ (1) ના કોઈપણ પરિવર્તનને હંમેશા આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે

સૌથી સરળ પરિવર્તનનું સતત અમલ. માં આ જાણીતા સૂત્રોનો અસરકારક રીતે ઉપયોગ કરવા માટે

કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં, મેટ્રિક્સ નોટેશન વધુ અનુકૂળ છે. A, B અને C કેસોને અનુરૂપ મેટ્રિસીસ બાંધવામાં સરળ છે અને તેનું નીચેનું સ્વરૂપ છે:

જો કે, નીચે ધ્યાનમાં લીધેલી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે, ચારેય સરળ પરિવર્તનો (અનુવાદ સહિત) અને તેથી સામાન્ય સંલગ્ન પરિવર્તનને આવરી લેવા માટે મેટ્રિક્સ અભિગમનો ઉપયોગ કરવો અત્યંત ઇચ્છનીય છે. આ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ: પ્લેન પરના એક મનસ્વી બિંદુના વર્ણન પર જાઓ, જે ઉપર કરવામાં આવ્યું હતું તેમ સંખ્યાઓની જોડી દ્વારા ઓર્ડર આપવામાં આવ્યું નથી, પરંતુ સંખ્યાના ત્રણ ઓર્ડર દ્વારા.

સજાતીય બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

આપેલ રેક્ટીલીનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની સાપેક્ષ ગણતરી કરેલ કોઓર્ડિનેટ્સ yy સાથે પ્લેન પર M ને મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. આ બિંદુના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ એ એક સાથે બિન-શૂન્ય નંબરો x 1 , x 2 , x 3 નો ટ્રિપલ છે જે નીચેના સંબંધો દ્વારા આપેલ સંખ્યાઓ x અને y સાથે સંબંધિત છે:

x 1/ x 3= x , x 2/ x 3= y .

કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે રજૂ કરવામાં આવે છે: પ્લેનનો એક મનસ્વી બિંદુ M (x, y) અવકાશમાં બિંદુ M * (x, y, 1) સાથે સંકળાયેલ છે (ફિગ. 5.4).

નોંધ કરો કે મૂળ, બિંદુ O (0, 0, 0) ને બિંદુ M * (x,y, 1) સાથે જોડતી રેખા પર એક મનસ્વી બિંદુ, ફોર્મની સંખ્યાના ત્રણ ગણો (hx,hy,h) દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. ).

ચોખા. 5.4. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ

આપણે ધારીશું કે h ≠ 0. hx,hy,h કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો વેક્ટર એ 0(0, 0, 0) અને M *(x,y, 1) બિંદુઓને જોડતી સીધી રેખાનો દિશા વેક્ટર છે. આ રેખા સમતલ z = 1 ને બિંદુ (x,y, 1) પર છેદે છે, જે વિશિષ્ટ રીતે સંકલન સમતલના બિંદુ (x,y) ને નિર્ધારિત કરે છે.

આમ, કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y) સાથેના મનસ્વી બિંદુ અને h ≠ 0 માટે ફોર્મ (hx,hy,h) ની સંખ્યાના ત્રણ ગણોના સમૂહ વચ્ચે (એક-થી-એક) પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે, જે અમને પરવાનગી આપે છે આ બિંદુના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે hx,hy,h નંબરોને ધ્યાનમાં લો.

પ્રોજેકટિવ ભૂમિતિમાં, એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ માટે નીચેના સંકેતો સ્વીકારવામાં આવે છે: x : y : 1 અથવા x 1 : x 2 : x 3 (સંખ્યાઓ x 1 , x 2 , x 3 વારાફરતી શૂન્યમાં ફેરવાતા નથી).

એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ સરળ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પણ અનુકૂળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે, ઉદાહરણ તરીકે, સ્કેલિંગ:

1) સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ (0.5; 0.1; 2.5) h=1 સાથેનો બિંદુ પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા દર્શાવી શકાતો નથી, પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, પસંદ કરતી વખતે h= 10 આપણને મળે છે (5; 1; 25);

2) જેથી રૂપાંતરણ પરિણામો અંકગણિત ઓવરફ્લો તરફ દોરી ન જાય, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ માટે

(80000;40000;1000) લઈ શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, h=0.001. ફરી માં-

પરિણામે આપણને (80;40;1) મળે છે.

આપેલ ઉદાહરણો ગણતરીઓ હાથ ધરતી વખતે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવાની ઉપયોગીતા દર્શાવે છે. જો કે, કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કરવાનો મુખ્ય હેતુ ભૌમિતિક રૂપાંતરણોને લાગુ કરવાની તેમની અસંદિગ્ધ સગવડ છે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને થર્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિસિસના ત્રણ ગણોનો ઉપયોગ કરીને, પ્લેનના કોઈપણ સંલગ્ન રૂપાંતરણનું વર્ણન કરી શકાય છે.

વાસ્તવમાં, h = 1 ધારીને, ચાલો બે એન્ટ્રીઓની તુલના કરીએ: એક * ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે અને નીચેનું મેટ્રિક્સ એક:

તે જોવાનું સરળ છે કે છેલ્લા સંબંધની જમણી બાજુના અભિવ્યક્તિઓનો ગુણાકાર કર્યા પછી, આપણે બંને સૂત્રો (1) અને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા 1 ≡ 1 મેળવીએ છીએ. આમ, તુલનાત્મક રેકોર્ડ્સ સમકક્ષ ગણી શકાય.

મનસ્વી એફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સના તત્વો સ્પષ્ટ ભૌમિતિક અર્થ ધરાવતા નથી. તેથી, આ અથવા તે મેપિંગને અમલમાં મૂકવા માટે, એટલે કે, આપેલ ભૌમિતિક વર્ણન અનુસાર અનુરૂપ મેટ્રિક્સના ઘટકો શોધવા માટે, વિશેષ તકનીકોની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે, વિચારણા હેઠળની સમસ્યાની જટિલતા અનુસાર આ મેટ્રિક્સનું નિર્માણ ઘણા તબક્કામાં વહેંચાયેલું છે.

દરેક તબક્કે, ઉપરોક્ત કેસોમાંથી એક અથવા બીજા A, B, C અથવા Dને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ જોવા મળે છે, જે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ભૌમિતિક ગુણધર્મો ધરાવે છે.

ચાલો અનુરૂપ થર્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિસીસ લખીએ.

ચાલો પ્લેનના સંલગ્ન પરિવર્તનના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1. પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ બનાવો

પરિભ્રમણના કેન્દ્રને તેની પાછલી સ્થિતિ પર પાછા ફરવું; અનુરૂપ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ.

ચાલો મેટ્રિસિસને તે જ ક્રમમાં ગુણાકાર કરીએ જેમ તેઓ લખ્યા છે: . પરિણામે, અમે શોધી કાઢ્યું છે કે ઇચ્છિત પરિવર્તન (મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં) આના જેવું દેખાશે:

પરિણામી મેટ્રિક્સના તત્વો (ખાસ કરીને છેલ્લી પંક્તિમાં) યાદ રાખવા એટલા સરળ નથી. તે જ સમયે, અનુરૂપ મેપિંગના ભૌમિતિક વર્ણનમાંથી ત્રણ ગુણાકાર મેટ્રિસિસ સરળતાથી બનાવી શકાય છે.

ઉદાહરણ 2. એબ્સીસા અક્ષની સાથે α અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે β અને બિંદુ A(a, b) પર કેન્દ્રિત અને સ્ટ્રેચિંગ ગુણાંક સાથે સ્ટ્રેચિંગ મેટ્રિક્સ બનાવો.

1 લી પગલું. કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સાથે સ્ટ્રેચિંગ સેન્ટરને સંરેખિત કરવા માટે વેક્ટર A (-a, -b) પર સ્થાનાંતરિત કરો.

2જું પગલું. અનુક્રમે α અને β ગુણાંક સાથે સંકલન અક્ષો સાથે ખેંચવું.

3જું પગલું. તાણના કેન્દ્રને તેની પાછલી સ્થિતિમાં પરત કરવા માટે વેક્ટરએ (એ,બી) પર સ્થાનાંતરિત કરો; અનુરૂપ રૂપાંતરણનું મેટ્રિક્સ.