Secara singkat: penjumlahan dari subruang disebut penjumlahan langsung jika penguraian vektor apa pun dari jumlah dalam subruang adalah unik.

Jumlah langsung dari subruang bukanlah operasi baru pada subruang. Ini hanyalah beberapa properti dari jumlah subruang yang dimasukkan sebelumnya.

Jika jumlah subruang adalah garis lurus, maka perpotongan subruang tersebut terdiri dari satu – nol – vektor.

Kriteria jumlah langsung subruang

Untuk subruang berdimensi terbatas ruang linier pernyataan berikut setara:

1) Jumlah subruang adalah garis lurus

2) Himpunan basis subruang bebas linier

3) Himpunan basis subruang membentuk dasar jumlah subruang https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) Ada vektor dari jumlah yang pemuaian dalam subruangnya unik.

6) Sistem sewenang-wenang vektor bukan nol, diambil satu dari setiap subruang linier, bebas linier

7) Perpotongan subruang linier hanya berupa vektor nol: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> disebut tambahan subruang ke L, jika . Tentu saja, L adalah subruang tambahan ke .

Secara kiasan, subruang tambahan seolah-olah “melengkapi” subruang untuk melengkapi ruang.

Teorema keberadaan subruang tambahan

Untuk setiap subruang dari ruang linier https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24"> adalah beberapa vektor ruang V. Himpunan H , terdiri dari semua vektor berbentuk , di mana https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Panduan subruang

Subruang L dalam definisi manifold linier disebut subruang pengarah manifold linier H.

Ruang faktor

Misalkan V adalah ruang linier di atas bidang P, L subruangnya. Ruang hasil bagi dari ruang linier V di atas subruang L (dilambangkan V/L) adalah himpunan yang terdiri dari kelas ekivalensi H. Kelas-kelas ini berhubungan dengan semua manifold linier yang diperoleh dari subruang L: .

Aturan itu mendefinisikan hukum eksternal komposisi pada V/L (mengalikan elemen H dari V/L dengan angka (atau elemen bidang utama P) α, aturan - hukum internal komposisi (penambahan dua elemen - H1 dan H2 - dari V/L).

2.4. Subruang solusi SLAE homogen

Subruang ditentukan oleh sistem persamaan aljabar linier yang homogen

Ini adalah serangkaian keputusan sistem homogen persamaan linier, dimana A adalah matriks koefisien persamaan linear sistem.

Kuliah No. 5. Bagian 3. Subruang dari ruang linier Euclidean (kesatuan).

3.1. Komplemen ortogonal pada subruang

Vektor ortogonal terhadap subruang

Biarkan L – subruang linier Ruang Euclidean (kesatuan). Suatu vektor x dikatakan ortogonal terhadap suatu subruang L jika vektor tersebut ortogonal terhadap setiap vektor dari subruang tersebut. Penamaan: .

Komplemen ortogonal pada subruang

Misalkan L adalah subruang linier dari ruang Euclidean. Keseluruhan setiap orang vektor https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" width="20" height="20 src=">.

Teorema komplemen ortogonal sebagai subruang

Komplemen ortogonal suatu subruang adalah subruang linier dari ruang yang sama.

3.2. Proyeksi ortografik, komponen ortografik

Proyeksi ortogonal suatu vektor ke suatu subruang

Misalkan L adalah subruang linier dari ruang Euclidean (kesatuan) https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> dalam bentuk jumlah: , di mana https ://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. Vektor G disebut proyeksi ortogonal vektor F ke subruang L, vektor H disebut komponen ortogonal.

Komponen vektor ortogonal

Komponen ortogonal dari vektor f relatif terhadap subruang L dari ruang Euclidean (kesatuan) https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src= ">, dimana .gif" width="43" height="27 src="> disebut vektor H dalam perluasan, di mana https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

Miring ke subruang

Vektor F dalam dekomposisi https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width="40" height="21">.gif" width="43" height="27 src=">.

Teorema jumlah subruang dan komplemen ortogonalnya

Jika merupakan subruang linier suatu ruang, maka jumlah langsung dari subruang linier ini dan komplemen ortogonalnya membentuk seluruh ruang: https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18" > adalah subruang linier dari ruang, maka untuk vektor apa pun terdapat, dan terlebih lagi, representasi unik F sebagai jumlah: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Jarak dari vektor ke subruang

Jarak dari vektor ke subruang

Jarak dari vektor ke subruang adalah panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari vektor ini ke subruang (yaitu, panjang komponen ortogonal vektor relatif terhadap subruang ini).

Kuliah No. 6. Bagian 4. Bentuk bilinear dan kuadrat.

4.1. Bentuk linier

4.2. Bentuk bilinear

4.1. Bentuk linier

Fungsi linier (bentuk linier)

Biarkan menjadi ruang linier di atas lapangan. Fungsi F, memetakan vektor dari ruang ke angka (elemen bidang https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width="36" height="21">, disebut linier , Jika:

1) untuk semua vektor https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> untuk nomor apa pun A(elemen bidang) dan vektor apa pun

Rekam apa saja bentuk linier dalam beberapa dasar (sewenang-wenang). e terlihat seperti ini:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - angka (elemen bidang P) tergantung pada dasarnya e dan tentunya dari bentuk f.

Perhatikan bahwa ketika memilih dasar yang berbeda e A 1", A 2", …, A N".

Matriks Linier

Matriks A berbentuk linier F di dasar adalah matriks baris yang terdiri dari bilangan-bilangan - hasil aksi bentuk linier pada vektor-vektor basis ini:

SEBUAH = ( A 1, A 2, …, A n) = .

Misalkan X = adalah koordinat vektor X di dasar e, A – matriks bentuk linier F atas dasar yang sama. Lalu nilainya F(X) sama dengan hasil kali matriks A dan kolom X:

F(X) = A·X.

Teorema perubahan bentuk linier matriks ketika berpindah dari satu basis ke basis lainnya

Saat berpindah dari basis ke basis https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">) matriks bentuk linier berubah sebagai berikut:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - ruang linier di atas bidang. (numerik) Fungsi A dua argumen vektor https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">disebut bentuk bilinear jika setiap argumen linier:

2)

4)

- sembarang vektor ruang L, - nomor sewenang-wenang(elemen bidang P).

Merekam segala bentuk bilinear https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

Di mana ( X 1, X 2, …, X n) dan ( kamu 1, kamu 2, …, kamu n) – koordinat di basis e vektor x dan y masing-masing, A 11, A 12, …, A 1n, …, A nn – himpunan n2 angka (elemen bidang P).

Perhatikan bahwa angkanya A 11, A 12, …, A 1n, …, A nn tergantung pada dasarnya e dan tentu saja dari bentuknya sendiri A. Saat memilih dasar yang berbeda e "Kumpulan angka yang sesuai, secara umum, akan berbeda: A 11", A 12", …, A tidak".

Matriks Bilinear

Biarkan bentuk bilinear dan beberapa dasar (sewenang-wenang) diberikan e .

Mari kita tulis aksi bentuk bilinear berdasarkan ini:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">di dasar e Matriks berikut disebut:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">ke pasangan vektor basis (terurut) ( e Saya, e J). Dengan demikian:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> adalah matriks bentuk bilinear unik dalam basis ruang tertentu (tetap).

Teorema perubahan matriks berbentuk bilinear ketika berpindah dari satu basis ke basis lainnya

Saat berpindah dari pangkalan ke pangkalan (matriks transisi https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140" height="27 src=">

Peringkat bentuk bilinear

Pangkat suatu bentuk bilinear adalah pangkat matriksnya secara sembarang.

(bukan) Bentuk bilinear yang merosot

Suatu bentuk bilinear dikatakan berdegenerasi jika , dan tidak merosot jika https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27"> disebut simetris jika untuk . Bentuk bilinear disebut simetris miring (atau simetris miring) jika untuk https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src=">.

Komentar:

Matriks bentuk bilinear simetris miring (dalam basis apa pun) adalah simetris miring: , untuk semua Saya, J. Khususnya, untuk semua orang Saya kesetaraan DIV_ADBLOCK81">

4.3. Bentuk kuadrat

Bentuk bilinear dan kuadrat dalam ruang linier sembarang

4.3. Bentuk kuadrat

Bentuk kuadrat

Biarkan bentuk bilinear simetris diberikan https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27">. Mari kita pertimbangkan aksi bentuk bilinear ini hanya pada pasangan vektor yang berhimpitan, yaitu e. A(X, X). Kami memperoleh fungsi yang menetapkan setiap vektor X bilangan ruang linier (elemen bidang utama P) F(X) = A(X, X). Fungsi F(X) = disebut bentuk kuadrat yang bersesuaian dengan simetri yang diberikan bentuk bilinear https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src="> disebut bentuk bilinear simetris yang sesuai.

Teorema bentuk bilinear kutub

Bentuk bilinear kutub untuk apa pun bentuk kuadrat didefinisikan secara jelas.

Matriks Kuadrat

Matriks yang berbentuk kuadrat adalah matriks yang berbentuk bilinear polar.

Peringkat bentuk kuadrat

Pangkat suatu bentuk kuadrat adalah pangkat matriksnya dalam basis sembarang.

(tidak) bentuk kuadrat yang merosot

Suatu bentuk kuadrat disebut merosot jika https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width="120" height="27 src=">.

Sifat-sifat matriks berbentuk kuadrat

1) Matriks berbentuk kuadrat simetris

2) Setiap matriks simetris persegi adalah matriks yang satu-satunya bentuk kuadrat dalam basis tertentu

3) Saat berpindah dari pangkalan ke pangkalan (matriks transisi https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140 height=27" height="27">

4) Biarkan menjadi basis tetap yang sewenang-wenang. Biarkan bentuk kuadrat F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src=">, dan vektor arbitrer X mempunyai koordinat pada basis yang sama ( X 1, X 2, …, X N). Maka hasil aksi bentuk kuadrat pada vektor X dapat ditulis sebagai

F(X) = ,

atau dalam bentuk yang lebih ringkas:

F(X) =

di mana X = - kolom koordinat vektor X di dasar e

4.4. Bentuk kanonik bentuk kuadrat

Bentuk kanonik bentuk kuadrat

Bentuk kanonik dari bentuk kuadrat adalah notasinya yang hanya memuat kuadrat variabel:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (beberapa di antaranya mungkin nol) disebut koefisien kanonik bentuk kuadrat.

Jelasnya, banyaknya koefisien bukan nol di bentuk kanonik suatu bentuk kuadrat bertepatan dengan pangkatnya.

Dasar kanonik bentuk kuadrat

F(X) = A(X, X),

jika pencatatan formulir ini dalam basis ini bersifat kanonik, yaitu hanya berisi kuadrat variabel:

bahasa matriks" terdengar seperti ini:

Basisnya disebut basis kanonik bentuk kuadrat F(X) = A(X, X),

jika matriks Ae bentuk ini pada basis ini mempunyai bentuk diagonal:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width="589" height="25 src=">

2. Keluarkan koefisien (≠ 0) jika variabel ini dikuadratkan:

DIV_ADBLOCK83">

Komentar.

Jika Anda mengkuadratkan jumlah tertulis dan mengalikannya dengan koefisien di luar tanda kurung, hasilnya adalah semua suku yang memuat variabel tersebut X 1, termasuk dalam notasi bentuk kuadrat. Pada saat yang sama, akan muncul istilah (dan cukup banyak) yang tidak termasuk dalam rekaman asli bentuk kuadrat. Namun semua istilah “baru” tidak mengandung variabel X 1.

Jadi, penulisan bentuk kuadratnya berbentuk sebagai berikut:

tanda kurung". Setelah melakukan perubahan variabel, di mana kita menyatakan "kurung pertama" dengan X 1", yang kedua - sampai X 2", dst., kita memperoleh notasi bentuk kuadrat berikut, yang suku-sukunya hanya memuat kuadrat variabel:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" width="84" height="51 src=">

Akibat penggantian ini, istilahnya aijxixj, berisi produk variabel xi Dan xj, diubah menjadi dua suku yang sudah memuat kuadrat variabelnya xi" Dan xj":

DIV_ADBLOCK84">

Teorema keberadaan dasar kanonik ortonormal (reduksi ke sumbu utama).

Untuk setiap bentuk kuadrat dalam ruang Euclidean terdapat basis ortonormal yang memiliki bentuk kanonik.

Rumus Jacobi

Jika dalam matriks berbentuk kuadrat F(X) peringkat pertama https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src="> , lalu ada dasarnya e, yang matriksnya berbentuk kuadrat mempunyai bentuk diagonal

Selain itu, koefisien kanonik λ Saya bentuk kuadrat dikaitkan dengan anak di bawah umur sudut Δ Saya hubungan berikut: ,

yang disebut Rumus Jacobi.

Bentuk bilinear dan kuadrat

dalam ruang linier nyata (nyata).

4.5. Indeks inersia kuadrat

Indeks inersia kuadrat

Biarkan bentuk kuadrat F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src=">. Jumlah koefisien positif sama dengan nomornya perubahan tanda dalam urutan ini.

4.6. Bentuk kuadrat pasti dan bolak-balik

Bentuk kuadrat pasti

Suatu bentuk kuadrat dikatakan pasti positif (negatif) jika hanya mengambil nilai positif (negatif) pada semua vektor bukan nol: ( F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width="48" height="19 src=">. Bentuk seperti itu disebut pasti tanda.

Bentuk kuadrat bergantian

Bentuk kuadrat yang memiliki vektor https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18"> sedemikian rupa sehingga F(X) = > 0 dan F(kamu) = < 0 называется знакопеременной.

Kriteria tanda bentuk kuadrat

Suatu bentuk kuadrat pasti positif (negatif) jika dan hanya jika indeks inersia positif (negatif) bertepatan dengan dimensi ruang.

Artinya, dalam bentuk kanonik apa pun dari bentuk kuadrat pasti positif (negatif) dalam ruang berdimensi n

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

Suatu bentuk kuadrat adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor sudutnya positif.

Suatu bentuk kuadrat pasti negatif jika dan hanya jika tanda-tandanya sudut anak di bawah umur alternatif, dan kode pendek">

Pr a b = |b|cos(a,b) atau

Dimana a b adalah hasil kali skalar vektor, |a| - modulus vektor a.

instruksi. Untuk mencari proyeksi vektor Пp a b in modus daring perlu untuk menunjukkan koordinat vektor a dan b. Dalam hal ini, vektor dapat ditentukan pada bidang (dua koordinat) dan dalam ruang (tiga koordinat). Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word. Jika vektor ditentukan melalui koordinat titik, maka Anda perlu menggunakan kalkulator ini.

Klasifikasi proyeksi vektor

Jenis proyeksi menurut definisi proyeksi vektor

Jenis proyeksi menurut sistem koordinat

Properti Proyeksi Vektor

1. Proyeksi geometri suatu vektor adalah vektor (memiliki arah).
2. Proyeksi aljabar suatu vektor adalah suatu bilangan.

Teorema proyeksi vektor

Pr a b = |b|cos(a,b)

Jenis proyeksi vektor

1. proyeksi ke sumbu OX.
2. proyeksi ke sumbu OY.
3. proyeksi ke suatu vektor.

Proyeksi pada sumbu OX	Proyeksi pada sumbu OY	Proyeksi ke vektor
Jika arah vektor A’B’ berimpit dengan arah sumbu OX, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda positif.	Jika arah vektor A’B’ berimpit dengan arah sumbu OY, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda positif.	Jika arah vektor A’B’ berimpit dengan arah vektor NM, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda positif.
Jika arah vektor berlawanan dengan arah sumbu OX, maka proyeksi vektor A’B’ mempunyai tanda negatif.	Jika arah vektor A’B’ berlawanan dengan arah sumbu OY, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda negatif.	Jika arah vektor A’B’ berlawanan dengan arah vektor NM, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda negatif.
Jika vektor AB sejajar dengan sumbu OX, maka proyeksi vektor A’B’ sama dengan nilai mutlak vektor AB.	Jika vektor AB sejajar dengan sumbu OY, maka proyeksi vektor A’B’ sama dengan nilai mutlak vektor AB.	Jika vektor AB sejajar dengan vektor NM, maka proyeksi vektor A’B’ sama dengan nilai mutlak vektor AB.
Jika vektor AB tegak lurus sumbu OX, maka proyeksi A’B’ sama dengan nol (vektor nol).	Jika vektor AB tegak lurus sumbu OY, maka proyeksi A’B’ sama dengan nol (vektor nol).	Jika vektor AB tegak lurus terhadap vektor NM, maka proyeksi A’B’ sama dengan nol (vektor nol).

1. Pertanyaan: Apakah proyeksi suatu vektor dapat bertanda negatif? Jawaban: Ya, bisa saja ada proyeksi vektor nilai negatif. Dalam hal ini, vektornya memiliki arah berlawanan(lihat bagaimana arah sumbu OX dan vektor AB)
2. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor bertepatan dengan nilai mutlak vektor tersebut? Jawaban : Ya, bisa. Dalam hal ini, vektor-vektornya sejajar (atau terletak pada garis yang sama).
3. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor sama dengan nol (vektor nol). Jawaban : Ya, bisa. Dalam hal ini, vektor tegak lurus terhadap sumbu yang bersesuaian (vektor).

Contoh 1. Vektor (Gbr. 1) membentuk sudut 60° dengan sumbu OX (ditentukan oleh vektor a). Jika OE adalah satuan skala, maka |b|=4, jadi .

Memang benar, panjang vektor ( proyeksi geometris b) sama dengan 2, dan arahnya berimpit dengan arah sumbu OX.

Contoh 2. Vektor (Gbr. 2) membentuk sudut (a,b) = 120 o dengan sumbu OX (dengan vektor a). Panjang |b| vektor b sama dengan 4, jadi pr a b=4·cos120 o = -2.

Memang panjang vektornya adalah 2 dan arahnya berlawanan dengan arah sumbu.