Tugas untuk pekerjaan mandiri
Temukan solusi umum dari sistem homogen berikut persamaan diferensial salah satu metode yang dipertimbangkan, dan periksa dengan metode lain:
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
Sistem persamaan diferensial linier berbentuk:
(9.1)
Sistem (9.1) dan (9.2) disebut heterogen , jika setidaknya salah satu fungsi f saya(X) tidak identik dengan nol. Jika untuk semua nilai variabel bebas X semua fungsi f saya(X) sama dengan nol, maka misalnya sistem (8.14) berbentuk:
dan dipanggil homogen sistem linier.
Jika semua berfungsi sebuah ij(X) Dan f saya(X) kontinu pada segmen tersebut A£ X£ B, maka sistem, misalnya (9.2) memiliki satu-satunya solusi:
(9.4)
didefinisikan di seluruh segmen A£ X£ B dan memuaskan kondisi awal:
dan data awal 
dapat dipilih sepenuhnya secara sewenang-wenang, dan X 0 harus dipilih dari interval A£ X£ B.
Sistem persamaan linier tidak homogen dengan koefisien konstan memiliki bentuk:
(9. 6)
Jika semuanya f saya (X) =0, maka kita dapatkan sistem homogen dengan koefisien konstan
Jika 
komponen dari beberapa vektor,
A 
komponen turunan vektor, dan koefisiennya sebuah ij adalah elemen matriks 
, maka misalnya sistem persamaan (9.8) dapat direpresentasikan sebagai:
Mari kita pertimbangkan metode untuk mengintegrasikan sistem linier dengan koefisien konstan.
1. Suatu sistem persamaan diferensial dengan koefisien konstan dapat diselesaikan, misalnya, metode Euler . Inti dari metode ini adalah mencari solusi sistem (9.9) dalam bentuk
, (9.10)
Di mana λk - nilai eigen matriks koefisien A, yang dapat ditemukan dari persamaan 
:
(9.11)
(E– matriks identitas), yang disebut persamaan karakteristik; - komponen vektor eigen P (k) sesuai dengan nilai eigen λk.
Jika ekspresi (9.10) disubstitusikan ke persamaan (9.9) dan setelah direduksi dengan faktor , kita memperoleh sistem linier yang homogen persamaan aljabar dari situ kita dapat mencari vektornya P (k) :
,
atau dalam bentuk diperluas
(9.12)
Dengan demikian, solusi umum sistem (9.9) akan dinyatakan dengan rumus:
. (9.13)
Dari rumus ini jelas bahwa solusi sistem asli bergantung pada nilai eigen matriks koefisien λk atau, yang pada dasarnya sama, dari bentuk akar-akar persamaan karakteristik 
.
kasus pertama. Semua akar λk nyata dan berbeda, maka solusi umum sistem ditentukan dengan rumus (9.13). Mari kita tuliskan dalam bentuk yang diperluas:
(9.14)
Contoh 9.1.6. Temukan solusi umum sistem
▲ Mari kita membuat matriks koefisien 
, lalu kita akan menulis persamaan karakteristik (31):
Akar persamaan karakteristik ini nyata dan berbeda: 
.
Mari kita cari vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigennya (akar persamaan karakteristik).
.
Nilai dapat diambil secara sembarang, misalnya =1, maka , maka vektornya R (1) sama dengan: R (1) =.
Untuk root ini kami juga menyusun sistem (9.12)
,
oleh karena itu, jika =1, maka . Oleh karena itu vektor R (2) =.
Jadi, solusi umum sistem aslinya dapat ditulis sebagai:
Oleh karena itu, komponen-komponen larutan umum berbentuk:
▲
kasus ke-2. Akar λk bermacam-macam, namun di antaranya ada yang kompleks. Jika merupakan akar persamaan karakteristik, maka ia juga merupakan akarnya, karena semua koefisien dari sistem asli sebuah ij valid.
Kita mencari komponen solusi umum sistem (8.29) yang bersesuaian dengan akar dengan cara yang persis sama seperti pada kasus 1. Kemudian, pisahkan bagian kompleks dan bagian nyata dari fungsinya kamu k, membentuk solusi ini, kita mendapatkan dua solusi yang valid sistem yang sama (8.29). Akar konjugasi tidak memberikan solusi baru (jika kita menggunakan akar ini, kita akan memperoleh solusi yang bergantung linier pada solusi yang sudah diperoleh). Hal ini dilakukan untuk setiap akar kompleks.
Contoh 9.2. Temukan solusi umum sistem
Akar persamaan karakteristik ini adalah konjugasi kompleks: .
Kami akan menemukannya vektor eigen, sesuai dengan nilai eigen (akar persamaan karakteristik) sama dengan: .
Mari kita membuat sistem persamaan aljabar (9.12)
Jadi, dengan mengambil =1, kita menemukan , yaitu. vektor eigen R (1) sama dengan: R (1) =.
Karena itu, sistem mendasar akan terlihat seperti:
Dalam solusi ini kita memisahkan bagian real dan imajiner (kita tidak mempertimbangkan akarnya, karena solusi yang bersesuaian dengan akar ini bergantung linier pada akar), sebagai hasilnya kita memperoleh:
Jadi, solusi umumnya akhirnya terlihat seperti:
kasus ke-3. Di antara akar-akar persamaan karakteristik terdapat banyak akar.
Jika akarnya λk, memiliki keberagaman T, maka itu sesuai N solusi parsial sistem (9.9). Kami memperoleh solusi ini dalam bentuk:
Di mana pertanyaan 1(X),….,qn(X) – polinomial dalam X dengan koefisien tak tentu, masing-masing derajat tidak lebih tinggi dari ( T-1):
Oleh karena itu, solusinya akan terlihat seperti:
(9.15)
Mengganti ekspresi (9.15) ke dalam sistem (9.9) dan menyamakan koefisiennya derajat yang sama variabel independen X di setiap persamaan, kita akan memperoleh sistem persamaan aljabar untuk menentukan koefisien polinomial yang tidak diketahui pertanyaan 1(X),….,qn(X). Banyaknya persamaan aljabar yang diperoleh adalah angka yang lebih sedikit oleh karena itu, koefisien yang tidak diketahui T koefisien-koefisien ini tetap berubah-ubah, dan sisanya dinyatakan melalui koefisien-koefisien tersebut.
Jika λ 1 adalah bilangan kompleks, maka penyelesaian yang diperoleh dengan metode yang dipertimbangkan juga akan sama fungsi yang kompleks dari X. Dengan memisahkan bagian real dan imajiner pada masing-masing penyelesaian, diperoleh 2 T keputusan. Solusi ini sesuai dengan pasangan konjugat T– beberapa akar kompleks dan .
Contoh 9.3. Temukan solusi umum sistem
▲ Mari kita buat matriks koefisien dan kemudian buat persamaan karakteristik (9.11):
Akar persamaan karakteristik ini nyata dan berbeda: . Rasio multiplisitas T sama dengan: T= 2. Oleh karena itu, dalam hal ini polinomial P 1 (T) Dan P 2 (T) memiliki bentuk:
Jadi, solusinya sesuai dengan akar ganda
Membedakan X Dan pada, kita dapatkan
Nilai-nilai X, pada, substitusikan ke sistem asli, dan setelah direduksi sebesar e 4 T kita akan memilikinya
Menyamakan koefisien pada T Dan anggota gratis, kita dapatkan sistem berikut
Oleh karena itu
Jadi, solusi umum sistem aslinya akan berbentuk:
▲
2. Sistem bentuk (9.8): ,
dapat diselesaikan metode koefisien yang tidak pasti . Algoritma untuk metode ini adalah sebagai berikut:
1. Buatlah persamaan karakteristik sistem (9.8):
dan temukan akarnya.
2. Tergantung pada jenis akarnya, tuliskan solusi sistem, dan untuk setiap solusi kamu aku memiliki konstanta sembarangnya sendiri:
3. Derivatif dihitung 
dan, bersama dengan fungsi yang ditemukan, disubstitusikan ke dalam persamaan sistem aslinya.
4. Koefisien fungsi yang sama pada ruas kiri dan kanan persamaan disamakan.
5. Dari sistem yang dihasilkan, semua koefisien dapat dinyatakan dalam satu, misalnya koefisien melalui koefisien C saya.
Contoh 9.4. Temukan solusi umum sistem
Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial?
Diasumsikan bahwa pembaca pada khususnya sudah cukup baik dalam menyelesaikan persamaan diferensial persamaan orde kedua yang homogen Dan persamaan orde kedua yang tidak homogen dengan koefisien konstan. Tidak ada yang rumit dalam sistem persamaan diferensial, dan jika Anda merasa nyaman dengan jenis persamaan di atas, maka menguasai sistem tersebut tidak akan sulit.
Ada dua jenis utama sistem persamaan diferensial:
– Sistem persamaan diferensial homogen linier
– Sistem persamaan diferensial linier tidak homogen
Dan dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial:
– Metode eliminasi. Inti dari metode ini adalah ketika menyelesaikan sistem persamaan diferensial direduksi menjadi satu persamaan diferensial.
– Menggunakan persamaan karakteristik(yang disebut metode Euler).
Dalam sebagian besar kasus, sistem persamaan diferensial perlu diselesaikan dengan menggunakan metode pertama. Metode kedua lebih jarang digunakan dalam situasi masalah; sepanjang latihan saya, saya telah menyelesaikan paling banyak 10-20 sistem dengannya. Namun kami juga akan membahasnya secara singkat di paragraf terakhir artikel ini.
Saya segera meminta maaf atas ketidaklengkapan teori materi, namun saya hanya memasukkan ke dalam pelajaran tugas-tugas yang benar-benar dapat ditemui dalam praktek. Anda tidak mungkin menemukan sesuatu yang jatuh dalam hujan meteorit setiap lima tahun sekali, dan dengan kejutan seperti itu Anda harus beralih ke batu bata penyebar khusus.
Sistem persamaan diferensial homogen linier
Sistem persamaan diferensial homogen yang paling sederhana memiliki bentuk sebagai berikut: 
Sebenarnya hampir semuanya contoh praktis mereka terbatas pada sistem seperti itu =)
Apa yang ada disana?
– ini adalah angka ( peluang numerik). Yang paling banyak angka biasa. Khususnya, satu, beberapa, atau bahkan semua koefisien mungkin bernilai nol. Namun hadiah seperti itu jarang diberikan, sehingga jumlahnya seringkali tidak sama dengan nol.
Dan ini adalah fungsi yang tidak diketahui. Variabel yang berperan sebagai variabel bebas adalah “seperti X dalam persamaan diferensial biasa”.
Dan merupakan turunan pertama dari fungsi yang belum diketahui dan masing-masing.
Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan sistem persamaan diferensial?
Ini berarti menemukan seperti fungsi dan yang memuaskan baik yang pertama maupun yang kedua persamaan sistem. Seperti yang Anda lihat, prinsipnya sangat mirip dengan konvensional sistem persamaan linear. Hanya di sana akarnya adalah bilangan, dan di sini adalah fungsinya.
Jawaban yang ditemukan ditulis dalam formulir solusi umum sistem persamaan diferensial:
DI DALAM kurung kurawal! Fungsi-fungsi ini “dalam satu rangkaian.”
Untuk sistem kendali jarak jauh, Anda dapat memecahkan masalah Cauchy, yaitu menemukan solusi tertentu dari sistem, memenuhi kondisi awal yang diberikan. Solusi tertentu dari sistem juga ditulis dengan kurung kurawal.
Sistem dapat ditulis ulang dengan lebih ringkas sebagai berikut:
Namun secara tradisional, penyelesaian dengan turunan yang ditulis dalam diferensial lebih umum dilakukan, jadi harap segera membiasakan diri dengan notasi berikut:
dan – turunan orde pertama;
dan merupakan turunan orde kedua.
Contoh 1
Memecahkan masalah Cauchy untuk sistem persamaan diferensial 
dengan kondisi awal, .
Larutan: Dalam permasalahan, sistem paling sering menemui kondisi awal, jadi hampir semua contoh pelajaran ini akan dengan masalah Cauchy. Namun hal ini tidak penting, karena solusi umum masih harus ditemukan seiring berjalannya waktu.
Mari kita selesaikan sistemnya dengan eliminasi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa inti dari metode ini adalah mereduksi sistem menjadi satu persamaan diferensial. Dan saya harap Anda menyelesaikan persamaan diferensial dengan baik.
Algoritma solusinya standar:
1) Ambil persamaan kedua sistem dan kami mengungkapkan darinya: 
Persamaan ini kita memerlukan solusi menjelang akhir, dan saya akan menandainya dengan tanda bintang. Di buku teks, kebetulan mereka menemukan 500 notasi, dan kemudian mereka merujuk: "menurut rumus (253) ...", dan mencari rumus ini sekitar 50 halaman ke belakang. Saya akan membatasi diri saya pada satu tanda (*).
2) Bedakan kedua ruas persamaan yang dihasilkan: 
Dengan “guratan” prosesnya terlihat seperti ini: 
Poin sederhana ini harus jelas; saya tidak akan membahasnya lebih jauh.
3) Mari kita substitusikan dan 
ke dalam persamaan pertama sistem: 
Dan mari kita buat penyederhanaan maksimal: 
Hasilnya adalah hal yang paling biasa persamaan orde kedua yang homogen dengan koefisien konstan. Dengan “guratan” tertulis seperti ini: 
.
– diperoleh akar real yang berbeda, oleh karena itu: 
.
Salah satu fungsinya telah ditemukan, setengah jalan tertinggal.
Ya, harap dicatat bahwa kami mendapatkan persamaan karakteristik dengan diskriminan yang “baik”, yang berarti kami tidak mengacaukan apa pun dalam substitusi dan penyederhanaan.
4) Mari kita mulai fungsinya. Untuk melakukan ini, kita mengambil fungsi yang sudah ditemukan 
dan temukan turunannya. Kami membedakannya berdasarkan:
Mari kita gantikan 
dan menjadi persamaan (*):
Atau singkatnya: 
5) Kedua fungsi sudah ditemukan, mari kita tuliskan solusi umum sistemnya: 
Menjawab: solusi pribadi: 
Jawaban yang diterima cukup mudah untuk diperiksa; verifikasi dilakukan dalam tiga langkah:
1) Periksa apakah kondisi awal benar-benar terpenuhi:
Kedua kondisi awal terpenuhi.
2) Mari kita periksa apakah jawaban yang ditemukan memenuhi persamaan pertama sistem.
Kami mengambil fungsi dari jawabannya 
dan temukan turunannya:
Mari kita gantikan 
, Dan 
ke dalam persamaan pertama sistem: 
Persamaan yang benar diperoleh, artinya jawaban yang ditemukan memenuhi persamaan pertama sistem.
3) Mari kita periksa apakah jawabannya memenuhi persamaan kedua sistem
Kami mengambil fungsi dari jawabannya dan mencari turunannya:
Mari kita gantikan 
, Dan 
ke persamaan kedua sistem: 
Persamaan yang benar diperoleh, artinya jawaban yang ditemukan memenuhi persamaan kedua sistem.
Pemeriksaan selesai. Apa yang diperiksa? Pemenuhan kondisi awal telah diverifikasi. Dan, yang paling penting, fakta menunjukkan bahwa ditemukan solusi tertentu 
memuaskan untuk semua orang persamaan sistem aslinya 
.
Demikian pula, Anda dapat memeriksa solusi umum 
, pemeriksaannya akan lebih singkat lagi, karena tidak perlu memeriksa apakah kondisi awal terpenuhi.
Sekarang mari kita kembali ke sistem yang diselesaikan dan mengajukan beberapa pertanyaan. Solusinya dimulai seperti ini: kami mengambil persamaan kedua dari sistem dan menyatakannya. Apakah mungkin untuk menyatakan bukan “X”, tetapi “Y”? Jika kita mengungkapkannya, maka ini tidak akan memberi kita apa pun - masuk ekspresi ini di sebelah kanan ada “Y” dan “X”, jadi kita tidak akan bisa menghilangkan variabel dan mereduksi solusi sistem menjadi solusi satu persamaan diferensial.
Pertanyaan kedua. Apakah mungkin untuk memulai penyelesaian bukan dari persamaan kedua, tetapi dari persamaan pertama sistem? Bisa. Mari kita lihat persamaan pertama sistem: . Di dalamnya kita memiliki dua "X" dan satu "Y", jadi "Y" perlu diungkapkan secara ketat melalui "X": 
. Berikutnya adalah turunan pertama: 
. Maka Anda harus menggantinya 
Dan 
ke persamaan kedua sistem. Penyelesaiannya akan ekuivalen sepenuhnya, bedanya kita cari dulu fungsinya lalu .
Dan untuk cara kedua saja akan ada contohnya keputusan independen:
Contoh 2
Temukan solusi khusus untuk sistem persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal yang diberikan.
Dalam contoh solusi yang diberikan di akhir pelajaran, persamaan pertama diungkapkan 
dan keseluruhan tarian dimulai dari ungkapan ini. Cobalah membuat solusi cermin sendiri, poin demi poin, tanpa melihat sampelnya.
Anda juga dapat mengikuti rute Contoh No. 1 - dari persamaan kedua, nyatakan 
(perhatikan bahwa yang harus dinyatakan adalah “x”). Namun cara ini kurang rasional, karena kita mendapatkan pecahan, yang sangat tidak nyaman.
Sistem persamaan diferensial linier tidak homogen
Hampir sama, hanya saja penyelesaiannya akan sedikit lebih lama.
Sistem persamaan diferensial tak homogen, yang dalam banyak kasus mungkin Anda temui dalam soal, memiliki bentuk berikut: 
Dibandingkan dengan sistem homogen, fungsi tertentu yang bergantung pada “te” juga ditambahkan ke setiap persamaan. Fungsi dapat berupa konstanta (dan setidaknya salah satunya tidak sama dengan nol), eksponensial, sinus, cosinus, dll.
Contoh 3
Temukan solusi khusus untuk sistem persamaan diferensial linier yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan 
Larutan: Sistem persamaan diferensial linier yang tidak homogen diberikan; Kami menggunakan metode eliminasi, sedangkan algoritme solusinya sendiri dipertahankan sepenuhnya. Sebagai gantinya, saya akan mulai dengan persamaan pertama.
1) Dari persamaan pertama sistem kita nyatakan: 
Ini hal yang penting, jadi saya akan membintanginya lagi. Sebaiknya jangan membuka tanda kurung; mengapa ada pecahan tambahan?
Dan perhatikan lagi bahwa dari persamaan pertama yang dinyatakan adalah “Y” – melalui dua “X” dan sebuah konstanta.
2) Bedakan pada kedua sisi: 
Konstanta (tiga) telah hilang karena turunan dari konstanta tersebut sama dengan nol.
3) Mari kita gantikan 
Dan 
ke persamaan kedua sistem 
:
Segera setelah substitusi, disarankan untuk menghilangkan pecahan; untuk melakukan ini, kita mengalikan setiap bagian persamaan dengan 5: 
Sekarang kita buat penyederhanaannya: 
Hasilnya adalah persamaan orde dua linier tak homogen dengan koefisien konstan. Pada hakikatnya, inilah perbedaan keseluruhan dari penyelesaian sistem persamaan homogen yang dibahas pada paragraf sebelumnya.
Catatan: Namun, dalam sistem tak homogen terkadang persamaan homogen dapat diperoleh.
Mari kita cari solusi umum untuk permasalahan tersebut persamaan homogen:
Mari kita buat dan selesaikan persamaan karakteristik: 
– terkonjugasi akar yang kompleks, Itu sebabnya:
.
Akar persamaan karakteristik kembali “baik” yang berarti kita berada pada jalur yang benar.
Kami mencari solusi khusus untuk persamaan tak homogen dalam bentuk .
Mari kita cari turunan pertama dan kedua:
Mari kita gantikan sisi kiri persamaan tidak homogen: 
Dengan demikian:
Perlu dicatat bahwa solusi tertentu mudah dipilih secara lisan, dan cukup dapat diterima, daripada perhitungan yang panjang, untuk menulis: “Jelas bahwa solusi tertentu dari persamaan tak homogen: .”
Sebagai akibat:
4) Kami mencari fungsi. Pertama kita cari turunan dari fungsi yang sudah ditemukan:
Ini tidak terlalu menyenangkan, tetapi turunan seperti itu sering ditemukan di diffuser.
Badai sedang berlangsung, dan sekarang akan ada gelombang kesembilan. Ikat diri Anda dengan tali ke dek.
Mari kita gantikan
dan menjadi persamaan (*): 
5) Solusi umum sistem:
6) Temukan solusi tertentu yang sesuai dengan kondisi awal 
:
Terakhir, solusi pribadi: 
Anda lihat apa ceritanya akhir yang bahagia, sekarang Anda dapat berlayar tanpa rasa takut dengan perahu di laut yang tenang di bawah sinar matahari yang lembut.
Menjawab: solusi pribadi: 
Omong-omong, jika Anda mulai menyelesaikan sistem ini dari persamaan kedua, perhitungannya akan jauh lebih sederhana (Anda dapat mencobanya), tetapi banyak pengunjung situs yang meminta untuk menganalisis hal-hal yang lebih sulit. Bagaimana Anda bisa menolak? =) Biar ada contoh yang lebih serius.
Contoh yang lebih mudah untuk diselesaikan sendiri:
Contoh 4
Temukan solusi khusus untuk sistem persamaan diferensial linier tidak homogen yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan 
tugas ini diselesaikan oleh saya menggunakan contoh Contoh No. 1, yaitu “x” dinyatakan dari persamaan kedua. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.
Dalam contoh yang dipertimbangkan, bukan kebetulan saya menggunakan notasi yang berbeda, saya menggunakan cara yang berbeda solusi. Jadi, misalnya, turunan dalam soal yang sama ditulis dalam tiga cara: . DI DALAM matematika yang lebih tinggi Tidak perlu takut dengan coretan apa pun, yang utama adalah memahami algoritma solusinya.
Metode persamaan karakteristik(Metode Euler)
Seperti disebutkan di awal artikel, dengan menggunakan persamaan karakteristik, sistem persamaan diferensial jarang perlu diselesaikan, jadi di paragraf terakhir saya akan membahas satu contoh saja.
Contoh 5
Diberikan sistem persamaan diferensial homogen linier 
Temukan solusi umum sistem persamaan menggunakan persamaan karakteristik
Larutan: Kami melihat sistem persamaan dan menyusun determinan orde kedua:
Saya rasa semua orang bisa melihat berdasarkan prinsip apa determinan itu disusun.
Mari kita buat persamaan karakteristik, untuk ini, dari setiap bilangan yang ada diagonal utama, kurangi beberapa parameter: 
Pada clean copy tentunya harus segera dituliskan persamaan ciri-cirinya, saya jelaskan secara detail step by step agar jelas dari mana asalnya.
Kami memperluas determinannya: 
Dan kami menemukan akarnya persamaan kuadrat:
Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar real yang berbeda, maka solusi umum sistem persamaan diferensial berbentuk: 
Koefisien dalam eksponen sudah kita ketahui, tinggal mencari koefisiennya saja
1) Pertimbangkan akarnya dan substitusikan ke dalam persamaan karakteristik: 
(Anda juga tidak perlu menuliskan kedua determinan ini di kertas kosong, namun segera buat sistem di bawah ini secara lisan)
Dari bilangan determinan kita membentuk sistem dua persamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui: 
Persamaan yang sama muncul dari kedua persamaan:
Sekarang Anda harus memilih paling sedikit value , sehingga nilainya adalah bilangan bulat. Tentu saja, Anda harus mengaturnya. Dan jika, maka
Solusi umum sistem tak homogen adalah jumlah dari solusi umum sistem homogen dan solusi khusus sistem tak homogen.
Untuk mencari solusi umum sistem tak homogen, Anda dapat menerapkan metode Lagrange untuk variasi konstanta sembarang.
Mari kita perhatikan sistem persamaan diferensial biasa yang linier dan homogen
yang di bentuk vektor ditulis dalam formulir
Matriks Φ , yang kolomnya merupakan n solusi bebas linier Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) dari suatu persamaan homogen sistem linier Y" = A(x)Y disebut matriks solusi fundamental sistem:
Matriks fundamental solusi sistem linier homogen Y" = A(x)Y memenuhi persamaan matriksΦ" = SEBUAH(x)Φ.
Ingatlah bahwa determinan Wronski untuk solusi bebas linier Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) adalah bukan nol sebesar .
Perhatikan sistem linier persamaan diferensial orde ke-n:
Suatu sistem linier adalah Lyapunov stabil untuk t ≥ t0 jika setiap solusinya x = φ(t) adalah Lyapunov stabil untuk t ≥ t0.
Suatu sistem linier stabil Lyapunov secara asimtotik pada t → ∞ jika setiap solusinya x = φ(t) adalah Lyapunov stabil pada t → ∞.
Solusi sistem linier semuanya stabil pada waktu yang sama atau semuanya tidak stabil. Pernyataan berikut ini benar.
Teorema kestabilan penyelesaian sistem persamaan diferensial linier. Misalkan dalam sistem linier tak homogen x" = A(t)x + b(t) matriks A(t) dan fungsi vektor b(t) kontinu pada interval )
