Apa bentuk asli persamaan linear tersebut. Menyelesaikan persamaan linear dalam satu variabel

• Persamaan dengan suatu variabel disebut persamaan.
• Memecahkan persamaan berarti menemukan banyak akarnya. Suatu persamaan mungkin mempunyai satu, dua, beberapa, banyak akar, atau tidak ada akar sama sekali.
• Setiap nilai variabel yang mengubah persamaan tertentu menjadi persamaan sejati disebut akar persamaan.
• Persamaan yang mempunyai akar-akar yang sama disebut persamaan ekuivalen.
• Suku apa pun dalam persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, sambil mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.
• Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Contoh. Selesaikan persamaannya.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Kami mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas di sisi kanan persamaan. Dalam hal ini, properti berikut digunakan:

1,2x = -6. Telah membawa istilah serupa menurut aturan:

x = -6 : 1.2. Kedua sisi persamaan dibagi dengan koefisien variabel, karena

x = -5. Dibagi menurut aturan pembagian pecahan desimal dengan desimal:

Untuk membagi suatu bilangan dengan pecahan desimal, Anda perlu memindahkan koma pada pembagi dan pembagi sebanyak digit ke kanan setelah koma pada pembagi, lalu membaginya dengan bilangan asli:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Menjawab: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Kami membuka tanda kurung menggunakan hukum distributif perkalian relatif terhadap pengurangan: (a-b) ∙ c = sebuah ∙ c-b ∙ C.

6x-4x = -16+27. Kami mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas di sisi kanan persamaan. Dalam hal ini, properti berikut digunakan: suku apa pun dalam persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, sehingga mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.

2x = 11. Suku serupa diberikan menurut aturan: untuk membawa suku-suku serupa, Anda perlu menjumlahkan koefisiennya dan mengalikan hasil yang dihasilkan dengan bagian huruf umumnya (yaitu, menambahkan bagian huruf umumnya ke hasil yang diperoleh).

x = 11 : 2. Kedua ruas persamaan dibagi dengan koefisien variabel, karena Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Menjawab: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Kami membuka tanda kurung sesuai dengan aturan pembukaan tanda kurung yang diawali dengan tanda “-”: jika ada tanda “-” di depan tanda kurung, maka hilangkan tanda kurung dan tanda “-” tersebut dan tuliskan suku-suku di dalam tanda kurung yang berlawanan tanda.

7x-2x-x = -9+3. Kami mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas di sisi kanan persamaan. Dalam hal ini, properti berikut digunakan: suku apa pun dalam persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, sehingga mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.

4x = -6. Istilah serupa diberikan menurut aturan: untuk membawa suku-suku serupa, Anda perlu menjumlahkan koefisiennya dan mengalikan hasil yang dihasilkan dengan bagian huruf umumnya (yaitu, menambahkan bagian huruf umumnya ke hasil yang diperoleh).

x = -6 : 4. Kedua ruas persamaan dibagi dengan koefisien variabelnya, karena Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Menjawab: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Kalikan kedua ruas persamaan dengan 12 - yang terkecil faktor persekutuan untuk penyebut pecahan tersebut.

3x-15 = 84-8x+44. Kami membuka tanda kurung menggunakan hukum distributif perkalian relatif terhadap pengurangan: Untuk mengalikan selisih dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan minuend secara terpisah dan mengurangkan secara terpisah dengan bilangan ketiga, lalu mengurangkan hasil kedua dari hasil pertama, yaitu.(a-b) ∙ c = sebuah ∙ c-b ∙ C.

3x+8x = 84+44+15. Kami mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas di sisi kanan persamaan. Dalam hal ini, properti berikut digunakan: suku apa pun dalam persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, sehingga mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.

Saat menyelesaikan persamaan linier, kita berusaha mencari akar, yaitu nilai suatu variabel yang akan mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang benar.

Untuk menemukan akar persamaan yang Anda butuhkan transformasi ekuivalen membawa persamaan yang diberikan kepada kita ke dalam bentuk

\(x=[angka]\)

Angka ini akan menjadi akarnya.

Artinya, kita mengubah persamaan tersebut, membuatnya lebih sederhana di setiap langkah, hingga kita mereduksinya menjadi persamaan yang sepenuhnya primitif “x = bilangan”, yang akarnya jelas. Paling sering digunakan dalam penyelesaian persamaan linear adalah transformasi berikut:

Misalnya: tambahkan \(5\) ke kedua ruas persamaan \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Perlu diingat bahwa kita bisa mendapatkan hasil yang sama lebih cepat hanya dengan menuliskan angka lima di sisi lain persamaan dan mengubah tandanya. Sebenarnya, begitulah cara sekolah “memindahkan persamaan dengan perubahan tanda ke kebalikannya”.

2. Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan atau persamaan yang sama.

Misalnya: membagi persamaan \(-2x=8\) dengan dikurangi dua

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Biasanya langkah ini dilakukan di bagian paling akhir, ketika persamaan sudah direduksi menjadi bentuk \(ax=b\), dan kita bagi dengan \(a\) untuk menghilangkannya dari kiri.

3. Menggunakan sifat-sifat dan hukum matematika: membuka tanda kurung, membawa suku-suku sejenis, mereduksi pecahan, dan lain-lain.

Tambahkan \(2x\) kiri dan kanan

Kurangi \(24\) dari kedua ruas persamaan

Kami menghadirkan istilah serupa lagi

Sekarang kita bagi persamaannya dengan \(-3\), sehingga menghilangkan bagian depan X di ruas kiri.

Menjawab : \(7\)

Jawabannya telah ditemukan. Namun, mari kita periksa. Jika tujuh benar-benar sebuah akar, maka menggantinya dengan X ke dalam persamaan awal akan menghasilkan persamaan yang benar - nomor yang sama kiri dan kanan. Mari mencoba.

Penyelidikan:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Itu berhasil. Artinya tujuh memang merupakan akar persamaan linier aslinya.

Jangan malas untuk memeriksa jawaban yang Anda temukan secara substitusi, terutama jika Anda sedang menyelesaikan suatu persamaan pada suatu ulangan atau ujian.

Pertanyaannya tetap - bagaimana menentukan apa yang harus dilakukan dengan persamaan tersebut pada langkah berikutnya? Bagaimana tepatnya cara mengubahnya? Bagilah dengan sesuatu? Atau kurangi? Dan apa sebenarnya yang harus saya kurangi? Bagilah dengan apa?

Jawabannya sederhana:

Tujuan Anda adalah membuat persamaan tersebut menjadi \(x=[bilangan]\), yaitu di sebelah kiri adalah x tanpa koefisien dan bilangan, dan di sebelah kanan hanya berupa bilangan tanpa variabel. Oleh karena itu, lihatlah apa yang menghentikan Anda dan lakukan kebalikan dari apa yang dilakukan komponen pengganggu.

Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat penyelesaian persamaan linear \(x+3=13-4x\) langkah demi langkah.

Mari kita pikirkan: apa perbedaan persamaan ini dengan \(x=[angka]\)? Apa yang menghentikan kita? Apa yang salah?

Pertama, ketiganya mengganggu, karena di sebelah kiri seharusnya hanya ada satu X, tanpa angka. Apa yang “dilakukan” troika? Ditambahkan ke X. Jadi, untuk menghapusnya - mengurangi tiga yang sama. Tetapi jika kita mengurangi tiga dari kiri, kita harus menguranginya dari kanan agar persamaannya tidak dilanggar.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Bagus. Sekarang apa yang menghentikanmu? \(4x\) di sebelah kanan, karena seharusnya hanya ada angka di sana. \(4x\) dikurangi- kami menghapus dengan menambahkan.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Sekarang kami menyajikan istilah serupa di kiri dan kanan.

Ini hampir siap. Yang tersisa hanyalah menghapus lima di sebelah kiri. Apa yang dia lakukan"? Berkembang biak pada x. Jadi mari kita hapus divisi.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Penyelesaiannya selesai, akar persamaannya adalah dua. Anda dapat memeriksanya dengan substitusi.

perhatikan itu paling sering hanya ada satu akar dalam persamaan linear. Namun, ada dua kasus khusus yang mungkin terjadi.

Kasus khusus 1 – tidak ada akar dalam persamaan linier.

Contoh . Selesaikan persamaan \(3x-1=2(x+3)+x\)

Larutan :

Menjawab : tidak ada akar.

Faktanya, fakta bahwa kita akan mencapai hasil seperti itu sudah terlihat sebelumnya, bahkan ketika kita menerima \(3x-1=3x+6\). Coba pikirkan: bagaimana mungkin \(3x\) yang kita kurangi \(1\), dan \(3x\) yang kita tambahkan \(6\) bisa sama? Jelas tidak mungkin, karena mereka melakukan hal yang sama tindakan yang berbeda! Yang jelas, hasilnya akan berbeda-beda.

Kasus khusus 2 – persamaan linier memiliki jumlah akar yang tak terhingga.

Larutan :

Menjawab : nomor berapa pun.

Omong-omong, hal ini sudah terlihat lebih awal, pada tahap: \(8x+12=8x+12\). Memang kiri dan kanan adalah ekspresi yang sama. Berapa pun X yang Anda substitusikan, angkanya akan sama di sana dan di sana.

Persamaan linier yang lebih kompleks.

Persamaan aslinya tidak selalu terlihat linier; terkadang persamaan tersebut “disamarkan” dengan persamaan lain persamaan kompleks. Namun, dalam proses transformasi, penyamaran tersebut menghilang.

Contoh . Temukan akar persamaan \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Larutan :

Menjawab : \(x=5\)

Contoh . Menyelesaikan persamaan linier \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Larutan :

Menjawab : \(x=-1,25\)

Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel ini, perhatikan navigator kami semaksimal mungkin sumber daya yang berguna Untuk

Apa itu "persamaan linier"

atau di secara lisan- tiga orang teman diberi apel masing-masing dengan dasar bahwa Vasya memiliki semua apel yang dimilikinya.

Dan sekarang Anda sudah memutuskan persamaan linier
Sekarang mari kita berikan definisi matematis pada istilah ini.

Persamaan linier - Ini persamaan aljabar, yang mana gelar penuh polinomial penyusunnya sama dengan. Ini terlihat seperti ini:

Di mana dan nomor apa saja dan

Untuk kasus kami dengan Vasya dan apel, kami akan menulis:

- “jika Vasya memberikan jumlah apel yang sama kepada ketiga temannya, dia tidak akan punya apel lagi”

Persamaan linier "tersembunyi", atau pentingnya transformasi identitas

Terlepas dari kenyataan bahwa pada pandangan pertama semuanya sangat sederhana, ketika menyelesaikan persamaan Anda harus berhati-hati, karena persamaan linier tidak hanya disebut persamaan jenis ini, tetapi juga persamaan apa pun yang dapat direduksi menjadi jenis ini melalui transformasi dan penyederhanaan. Misalnya:

Kita lihat apa yang ada di sebelah kanan, yang secara teori sudah menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak linier. Selain itu, jika kita membuka tanda kurung, kita akan mendapatkan dua suku lagi, tapi jangan terburu-buru mengambil kesimpulan! Sebelum menilai apakah suatu persamaan linier, perlu dilakukan semua transformasi dan menyederhanakannya contoh asli. Dalam hal ini, transformasi bisa berubah penampilan, tapi bukan inti persamaannya.

Dengan kata lain, data transformasi harus identik atau setara. Hanya ada dua transformasi seperti itu, tetapi mereka bermain sangat, SANGAT peran penting ketika memecahkan masalah. Mari kita lihat kedua transformasi tersebut menggunakan contoh spesifik.

Pindahkan ke kiri - ke kanan.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

Juga di sekolah dasar kami diberitahu: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan." Ekspresi apa yang diberi tanda X di sebelah kanan? Itu benar, tapi tidak bagaimana tidak. Dan ini penting, karena jika ini disalahpahami, sepertinya pertanyaan sederhana, jawaban yang salah keluar. Ekspresi apa yang diberi tanda X di sebelah kiri? Benar, .

Sekarang setelah kami mengetahuinya, kami mentransfer semua persyaratan yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan segala sesuatu yang diketahui - ke kanan, mengingat jika tidak ada tanda di depan suatu bilangan, misalnya, maka bilangan tersebut positif, yaitu ada tanda “ ” di depannya.

Ditransfer? Apa yang kamu dapatkan?

Yang masih harus dilakukan hanyalah menghadirkan persyaratan serupa. Kami mempersembahkan:

Jadi, kami telah berhasil menganalisis transformasi identik pertama, meskipun saya yakin Anda mengetahuinya dan secara aktif menggunakannya tanpa saya. Hal utama adalah jangan melupakan tanda angka dan mengubahnya menjadi kebalikannya saat mentransfer melalui tanda sama dengan!

Perkalian-pembagian.

Mari kita mulai dengan sebuah contoh

Mari kita lihat dan pikirkan: apa yang tidak kita sukai dari contoh ini? Yang tidak diketahui ada di satu bagian, yang diketahui di bagian lain, tetapi ada sesuatu yang menghentikan kita... Dan sesuatu ini adalah empat, karena jika bukan karena itu, semuanya akan sempurna - x sama dengan nomornya- persis seperti yang kita butuhkan!

Bagaimana cara menghilangkannya? Kita tidak bisa memindahkannya ke kanan, karena kita perlu memindahkan seluruh pengganda (kita tidak bisa mengambil dan merobeknya), dan memindahkan seluruh pengganda juga tidak masuk akal...

Saatnya mengingat pembagian, jadi mari kita bagi semuanya! Semuanya berarti kiri dan sisi kanan. Lewat sini dan hanya lewat sini! Apa yang kita lakukan?

Inilah jawabannya.

Sekarang mari kita lihat contoh lainnya:

Bisakah Anda menebak apa yang perlu dilakukan dalam kasus ini? Benar, kalikan ruas kiri dan kanan dengan! Jawaban apa yang Anda terima? Benar. .

Tentunya semuanya tentang transformasi identitas kamu sudah tahu. Pertimbangkan bahwa kami baru saja menyegarkan pengetahuan ini dalam ingatan Anda dan sekarang saatnya untuk sesuatu yang lebih - Misalnya, untuk menyelesaikan contoh besar kami:

Seperti yang kami katakan sebelumnya, jika dilihat, Anda tidak bisa mengatakan bahwa persamaan ini linier, tetapi kita perlu membuka tanda kurung dan melakukan transformasi yang identik. Jadi mari kita mulai!

Pertama, kita mengingat kembali rumus perkalian yang disingkat, khususnya kuadrat jumlah dan kuadrat selisihnya. Jika Anda tidak ingat apa itu dan bagaimana tanda kurung dibuka, saya sangat menyarankan Anda membaca topik tersebut, karena keterampilan ini akan berguna bagi Anda saat menyelesaikan hampir semua contoh yang ditemui dalam ujian.
Terungkap? Mari kita bandingkan:

Sekarang saatnya menghadirkan istilah serupa. Apakah Anda ingat bagaimana kita berada di tempat yang sama sekolah dasar apakah mereka mengatakan “kami tidak menaruh lalat dengan irisan daging”? Di sini saya mengingatkan Anda tentang hal ini. Kami menambahkan semuanya secara terpisah - faktor yang memiliki, faktor yang memiliki, dan faktor lainnya yang tidak memiliki hal yang tidak diketahui. Saat Anda membawa suku serupa, pindahkan semua yang tidak diketahui ke kiri, dan semua yang diketahui ke kanan. Apa yang kamu dapatkan?

Seperti yang Anda lihat, tanda X di kotak telah menghilang dan kami melihat sesuatu yang sepenuhnya normal. persamaan linier. Yang tersisa hanyalah menemukannya!

Dan akhirnya saya akan mengatakan satu hal lagi hal penting tentang transformasi identitas - transformasi identitas tidak hanya berlaku untuk persamaan linier, tetapi juga untuk persamaan kuadrat, rasional pecahan dan lain-lain. Perlu diingat saja bahwa ketika kita memindahkan faktor melalui tanda sama dengan, kita mengubah tandanya menjadi kebalikannya, dan ketika membagi atau mengalikan dengan suatu bilangan, kita mengalikan/membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang SAMA.

Apa lagi yang Anda ambil dari contoh ini? Bahwa dengan melihat suatu persamaan tidak selalu dapat ditentukan secara langsung dan akurat apakah persamaan tersebut linier atau tidak. Pertama-tama kita perlu menyederhanakan ekspresi sepenuhnya, dan baru kemudian menilai apa itu ekspresi.

Persamaan linear. Contoh.

Berikut beberapa contoh lagi yang dapat Anda praktikkan sendiri - tentukan apakah persamaan tersebut linier dan jika ya, temukan akar-akarnya:

Jawaban:

1. Adalah.

2. Tidak.

Mari kita buka tanda kurung dan sajikan istilah serupa:

Mari kita lakukan transformasi yang sama - bagi ruas kiri dan kanan menjadi:

Kita melihat persamaan tersebut tidak linier, sehingga tidak perlu mencari akar-akarnya.

3. Adalah.

Mari kita lakukan transformasi yang sama - kalikan ruas kiri dan kanan dengan untuk menghilangkan penyebutnya.

Pikirkan mengapa hal itu begitu penting? Jika Anda mengetahui jawaban atas pertanyaan ini, lanjutkan ke penyelesaian persamaan lebih lanjut; jika tidak, pastikan untuk mempelajari topiknya agar tidak membuat kesalahan lagi contoh yang kompleks. Ngomong-ngomong, seperti yang Anda lihat, situasinya tidak mungkin. Mengapa?
Jadi, mari kita atur ulang persamaannya:

Jika Anda bisa mengatur semuanya tanpa kesulitan, mari kita bicara tentang persamaan linear dua variabel.

Persamaan linier dalam dua variabel

Sekarang mari kita beralih ke persamaan linier dua variabel yang lebih kompleks.

Persamaan linear dengan dua variabel berbentuk:

Dimana, dan - nomor apa saja dan.

Seperti yang Anda lihat, satu-satunya perbedaan adalah variabel lain ditambahkan ke persamaan. Jadi semuanya sama - tidak ada x kuadrat, tidak ada pembagian dengan variabel, dll. dan seterusnya.

Yang mana yang harus kubawakan untukmu? contoh kehidupan... Mari kita ambil Vasya yang sama. Katakanlah dia memutuskan bahwa dia akan memberikan masing-masing dari 3 temannya jumlah apel yang sama, dan menyimpan apel itu untuk dirinya sendiri. Berapa banyak apel yang perlu dibeli Vasya jika dia memberi setiap temannya sebuah apel? Bagaimana dengan? Bagaimana jika lewat?

Ketergantungan jumlah apel yang diterima setiap orang jumlah total apel yang perlu dibeli akan dinyatakan dengan persamaan:

• - jumlah apel yang akan diterima seseorang (, atau, atau);
• - jumlah apel yang akan diambil Vasya untuk dirinya sendiri;
• - berapa banyak apel yang perlu dibeli Vasya, dengan memperhitungkan jumlah apel per orang?

Memecahkan masalah ini, kita mendapatkan bahwa jika Vasya memberi seorang teman sebuah apel, maka dia perlu membeli potongan, jika dia memberi apel, dll.

Dan secara umum. Kami memiliki dua variabel. Mengapa tidak menggambarkan hubungan ini dalam grafik? Kami membangun dan menandai nilai kami, yaitu titik, dengan koordinat, dan!

Seperti yang Anda lihat, mereka bergantung satu sama lain linier, maka nama persamaannya - “ linier».

Mari kita abstrak dari apel dan melihatnya secara grafis berbagai persamaan. Perhatikan baik-baik dua grafik yang dibuat - garis lurus dan parabola, yang ditentukan oleh fungsi arbitrer:

Temukan dan tandai titik-titik yang sesuai pada kedua gambar.
Apa yang kamu dapatkan?

Anda melihatnya pada grafik fungsi pertama sendiri sesuai satu, artinya, keduanya juga bergantung secara linier satu sama lain, yang tidak dapat dikatakan tentang fungsi kedua. Tentu saja, Anda dapat berargumen bahwa pada grafik kedua x - juga bersesuaian, tetapi ini hanya satu poin saja kasus spesial, karena Anda masih dapat menemukan satu yang cocok dengan lebih dari satu. Dan grafik yang dibangun sama sekali tidak menyerupai garis, melainkan parabola.

Saya ulangi sekali lagi: grafik persamaan linier harus berupa garis LURUS.

Dengan fakta bahwa persamaan tersebut tidak akan linier jika kita naik ke derajat apa pun - hal ini dapat dimengerti dengan menggunakan contoh parabola, meskipun Anda dapat membuat sendiri beberapa persamaan lagi grafik sederhana, misalnya atau. Tapi saya jamin - tidak satupun dari mereka akan menjadi GARIS LURUS.

Tidak percaya? Bangun dan bandingkan dengan apa yang saya dapatkan:

Apa yang terjadi jika kita membagi sesuatu dengan, misalnya, suatu bilangan? Akankah itu ketergantungan linier Dan? Jangan berdebat, tapi mari kita membangun! Misalnya, mari kita buat grafik suatu fungsi.

Entah bagaimana, persamaan ini tidak terlihat seperti garis lurus... oleh karena itu, persamaannya tidak linier.
Mari kita rangkum:

1. Persamaan linier - adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya sama.
2. Persamaan linier dengan satu variabel berbentuk:
   , di mana dan nomor apa saja;
   Persamaan linier dengan dua variabel:
   , di mana, dan berapapun angkanya.
3. Tidak selalu mungkin untuk segera menentukan apakah suatu persamaan linier atau tidak. Kadang-kadang, untuk memahami hal ini, kita perlu melakukan transformasi identik, memindahkan suku-suku sejenis ke kiri/kanan, tanpa lupa mengubah tandanya, atau mengalikan/membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.

PERSAMAAN LINEAR. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

1. Persamaan linier

Ini adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya sama.

2. Persamaan linier dengan satu variabel memiliki bentuk:

Di mana dan di mana saja nomornya;

3. Persamaan linier dengan dua variabel memiliki bentuk:

Dimana, dan - nomor apa saja.

4. Transformasi identitas

Untuk menentukan apakah suatu persamaan linier atau tidak, perlu dilakukan transformasi yang identik:

• gerakkan suku sejenis ke kiri/kanan, jangan lupa ganti tandanya;
• kalikan/bagi kedua ruas persamaan dengan angka yang sama.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, dapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena masih banyak yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dimengerti” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Persamaan dalam matematika sama pentingnya dengan kata kerja dalam bahasa Rusia. Tanpa kemampuan mencari akar persamaan, sulit dikatakan mahasiswa menguasai mata kuliah aljabar. Selain itu, setiap jenis memiliki solusi khusus tersendiri.

Apa itu?

Persamaan adalah dua ekspresi arbitrer yang mengandung variabel, yang di antaranya diberi tanda sama dengan. Selain itu, jumlah besaran yang tidak diketahui bisa berubah-ubah. Jumlah minimal- satu.

Menyelesaikannya berarti mencari tahu apakah ada akar persamaannya. Artinya, bilangan yang mengubahnya menjadi persamaan sejati. Jika tidak ada, maka jawabannya adalah pernyataan “tidak ada akar”. Namun hal sebaliknya juga bisa terjadi, bila jawabannya berupa sekumpulan angka.

Jenis persamaan apa yang ada?

Linier. Ini berisi variabel yang derajatnya sama dengan satu.

• Persegi. Variabel mempunyai pangkat 2, atau transformasi menghasilkan munculnya pangkat tersebut.
• Persamaan derajat tertinggi.
• Fraksional-rasional. Ketika suatu variabel muncul di penyebut suatu pecahan.
• Dengan modul.
• Irasional. Artinya, yang mengandung akar aljabar.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linier?

Itu mendasar. Ini adalah tampilan yang ingin dicapai semua orang. Karena mencari akar persamaannya cukup mudah.

• Pertama, Anda perlu melakukan transformasi yang mungkin, yaitu membuka tanda kurung dan membawa suku serupa.
• Pindahkan semua monomial dari variabel di ruas kiri persamaan, menyisakan suku bebas di ruas kanan.
• Berikan istilah serupa di setiap bagian persamaan yang diselesaikan.
• Dalam persamaan yang dihasilkan, separuh kiri akan berisi hasil kali koefisien dan variabel, dan separuh kanan akan berisi bilangan.
• Tetap mencari akar persamaan dengan membagi bilangan di sebelah kanan dengan koefisien di depan bilangan yang tidak diketahui.

Bagaimana cara mencari akar-akar persamaan kuadrat?

Pertama dia harus dibawa ke tampilan standar, yaitu membuka semua tanda kurung, membawa suku-suku serupa dan memindahkan semua monomial ke sisi kiri. Seharusnya hanya ada nol yang tersisa di sisi kanan persamaan.

• Gunakan rumus diskriminan. Kuadratkan koefisien yang tidak diketahui dengan pangkat “1”. Kalikan monomial bebas dan angka di depan variabel kuadrat dengan angka 4. Kurangi hasil kali dari kuadrat yang dihasilkan.
• Perkirakan nilai diskriminannya. Negatif - solusinya selesai, karena tidak memiliki akar. Sama dengan nol- jawabannya adalah satu angka. Positif - variabel memiliki dua nilai.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kubik?

Pertama cari akar persamaan x. Ditentukan dengan memilih bilangan yang merupakan pembagi suku bebas. Lebih mudah untuk mempertimbangkan metode ini di contoh spesifik. Misalkan persamaannya adalah: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Miliknya anggota bebas sama dengan 12. Maka pembagi yang perlu diperiksa adalah positif dan angka negatif: 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. Pencarian sudah dapat diselesaikan pada angka 2. Ini memberikan persamaan yang benar dalam persamaan. Yaitu, miliknya sisi kiri ternyata nol. Jadi angka 2 adalah akar pertama persamaan kubik.

Sekarang Anda perlu membagi persamaan asli dengan selisih variabel dan akar pertama. Dalam contoh spesifiknya adalah (x - 2). Transformasi sederhana mengarahkan pembilangnya ke faktorisasi berikut: (x - 2)(x + 2)(x - 3). Faktor pembilang dan penyebut yang sama akan hilang, dan dua tanda kurung sisanya jika dibuka akan menghasilkan bilangan sederhana persamaan kuadrat: x 2 - x - 6 = 0.

Di sini, temukan dua akar persamaan menggunakan prinsip yang dijelaskan di bagian sebelumnya. Ternyata berupa angka: 3 dan -2.

Total, untuk yang spesifik persamaan kubik kami mendapat tiga akar: 2, -2 dan 3.

Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear?

Sebuah metode untuk menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui diusulkan di sini. Ini terdiri dari mengekspresikan satu hal yang tidak diketahui ke dalam persamaan lain dalam satu persamaan dan mengganti ekspresi ini dengan persamaan lain. Selain itu, penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui selalu merupakan pasangan variabel.

Jika variabel-variabel di dalamnya dilambangkan dengan huruf x 1 dan x 2, maka x 2 dapat diturunkan, misalnya, dari persamaan pertama. Kemudian diganti dengan yang kedua. Transformasi yang diperlukan dilakukan: pembukaan tanda kurung dan pengecoran anggota serupa. Hasilnya adalah persamaan linier sederhana yang akarnya mudah dihitung.

Sekarang kembali ke persamaan pertama dan temukan akar persamaan x 2 menggunakan persamaan yang dihasilkan. Dua angka inilah jawabannya.

Untuk memastikan jawaban yang diterima, disarankan untuk selalu memeriksa. Itu tidak harus ditulis.

Jika satu persamaan diselesaikan, maka setiap akarnya harus disubstitusikan ke persamaan aslinya dan mendapatkan bilangan yang sama di kedua ruas. Semuanya bersatu - keputusannya tepat.

Saat bekerja dengan sistem, akar harus dimasukkan ke dalam setiap solusi dan semuanya tindakan yang mungkin dilakukan. Apakah persamaannya benar? Jadi keputusannya sudah tepat.

Pertama, Anda perlu memahami apa itu.

Ada definisi sederhana persamaan linier yang diberikan dalam sekolah reguler: “persamaan yang variabelnya hanya muncul pangkat satu.” Tapi itu tidak sepenuhnya benar: persamaannya tidak linier, bahkan tidak direduksi menjadi kuadrat.

Lagi definisi yang tepat Apakah ini: persamaan linier adalah persamaan yang, menggunakan transformasi yang setara dapat direduksi menjadi bentuk , di mana title="a,b di bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Padahal, untuk mengetahui apakah suatu persamaan linier atau tidak, persamaan tersebut harus disederhanakan terlebih dahulu, yaitu dibawa ke bentuk yang klasifikasinya tidak ambigu. Ingat, Anda dapat melakukan apapun yang Anda inginkan dengan sebuah persamaan selama persamaan tersebut tidak mengubah akarnya - begitulah adanya. konversi setara. Transformasi ekuivalen yang paling sederhana meliputi:

1. tanda kurung pembuka
2. membawa serupa
3. mengalikan dan/atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol
4. penjumlahan dan/atau pengurangan pada kedua sisi bilangan atau ekspresi yang sama*

Contoh 1:
(mari kita buka tanda kurungnya)
(menambah kedua bagian dan mengurangi/memindahkan dengan mengubah tanda bilangan ke kiri, dan variabel ke kanan)
(mari kita berikan yang serupa)
(bagi kedua ruas persamaan dengan 3)

Jadi kita mendapatkan persamaan yang memiliki akar-akar yang sama dengan persamaan aslinya. Mari kita ingatkan pembaca akan hal itu "pecahkan persamaannya"- berarti menemukan semua akarnya dan membuktikan bahwa tidak ada yang lain, dan "akar persamaan"- ini adalah bilangan yang, jika disubstitusikan dengan bilangan yang tidak diketahui, akan mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang benar. Nah, pada persamaan terakhir, menemukan bilangan yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang sebenarnya sangatlah sederhana - inilah bilangan tersebut. Tidak ada nomor identitas lain dari persamaan yang diberikan tidak akan melakukannya. Menjawab:

Contoh 2:
(kalikan kedua ruas persamaan dengan , setelah memastikan bahwa kita tidak mengalikannya dengan : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(mari kita buka tanda kurungnya)
(mari kita pindahkan persyaratannya)
(mari kita berikan yang serupa)
(kami membagi kedua bagian dengan )

Ini kira-kira bagaimana semua persamaan linear diselesaikan. Kemungkinan besar untuk pembaca muda diberikan penjelasan tampak rumit, jadi kami menawarkan versinya "persamaan linier untuk kelas 5"