Ruang vektor merupakan contoh ruang vektor. Ruang linier vektor

1) X+pada=pada+X(komutabilitas penambahan);

2)(X+pada) +z=X+ (kamu+z) (asosiasi penjumlahan);

3) ada vektor nol 0 (atau vektor nol) memenuhi kondisi X+ 0 =X: untuk vektor apa pun X;

4) untuk vektor apa pun X ada vektor yang berlawanan pada seperti yang X+pada = 0 ,

5) 1x=X,

6) A(bx) = (ab)X(asosiasi perkalian);

7) (A+B)X=Ah+bx (properti distributif relatif terhadap faktor numerik);

8) A(X+pada) =Ah+ya(properti distributif relatif terhadap pengali vektor).

Ruang vektor (atau linier) adalah himpunan R, terdiri dari unsur-unsur yang bersifat apa pun (disebut vektor), yang di dalamnya ditentukan operasi penjumlahan unsur dan perkalian unsur dengan bilangan real yang memenuhi syarat A(kondisi 1-3 menyatakan bahwa operasi penjumlahan ditentukan dalam Ruang vektor, mengubahnya menjadi grup komutatif). Ekspresi

sebuah 1 e 1+sebuah 2 e 2+ … +sebuah n e n (1)

Disebut kombinasi linear vektor e 1 , e 2 ,..., e n dengan peluang sebuah 1 , sebuah 2,..., sebuah . Kombinasi linier (1) disebut nontrivial jika paling sedikit salah satu koefisiennya sebuah 1 , sebuah 2 ,..., sebuah n berbeda dari nol. vektor e 1 , e 2 ,..., e n disebut bergantung linier jika terdapat kombinasi non-trivial (1) yang merupakan vektor nol. Sebaliknya (yaitu, jika hanya kombinasi vektor yang sepele e 1 , e 2 ,..., e n sama dengan vektor nol) vektor e 1, e 2 ,..., e n disebut bebas linier.

Vektor (bebas) ruang tiga dimensi memenuhi kondisi berikut (kondisi B): ada tiga vektor linier vektor independen; setiap empat vektor bergantung linier (tiga vektor bukan nol yang tidak terletak pada bidang yang sama adalah bebas linier).

Ruang vektor disebut n-dimensi (atau memiliki “dimensi N"), jika itu ada N linier elemen independen e 1 , e 2 ,..., e n , dan apa pun N+ 1 elemen bergantung linier (kondisi umum B). Ruang vektor disebut berdimensi tak hingga jika di dalamnya terdapat alam N ada N vektor bebas linier. Setiap N vektor n-dimensi bebas linier Ruang vektor membentuk dasar ruang ini. Jika e 1 , e 2 ,..., e n- dasar Ruang vektor, maka vektor apa pun X ruang ini dapat direpresentasikan secara unik sebagai kombinasi linier dari vektor basis:

X=sebuah 1 e 1+sebuah 2 e 2+... +sebuah n e n.

Pada saat yang sama, angkanya sebuah 1 , sebuah 2, ..., sebuah n disebut koordinat vektor X dalam dasar ini.

Contoh Ruang vektor Himpunan semua vektor ruang tiga dimensi jelas terbentuk Ruang vektor Lagi contoh yang kompleks dapat berfungsi sebagai apa yang disebut n-dimensi ruang aritmatika. Vektor-vektor ruang ini adalah sistem terurut N bilangan real: aku 1, aku 2,..., aku n. Jumlah dua vektor dan hasil kali suatu bilangan ditentukan oleh hubungan:

(aku 1 , aku 2 , …, aku n) + (m 1, m 2, …, mn) = (aku 1+m 1, aku 2+m 2 , …, aku n+M N);

A(aku 1 , aku 2 , …, aku n) = (al 1, al 2, …, al n).

Basis dalam ruang ini dapat berupa, misalnya, sistem berikutnya dari N vektor e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Banyak R semua polinomial sebuah 0+sebuah 1 kamu+ … +sebuah n u n(derajat apa pun N) dari satu variabel dengan koefisien nyata sebuah 0 , sebuah 1 ,..., sebuah n dengan biasa aturan aljabar menjumlahkan polinomial dan mengalikan polinomial dengan bentuk bilangan real Ruang vektor Polinomial 1, kamu, kamu 2 ,..., kamu n(untuk apa pun N) bebas linier di R, Itu sebabnya R- berdimensi tak terbatas Ruang vektor

Polinomial derajatnya tidak lebih tinggi dari N membentuk Ruang vektor ukuran N+ 1 ; basisnya bisa berupa polinomial 1, kamu, kamu 2 ,..., kamu n .

Subruang Ruang vektor DI DALAM . P. R" disebut subruang R, Jika R" Í R(yaitu, setiap vektor ruang R" ada juga vektor ruang R) dan if untuk setiap vektor v tentang r" dan untuk setiap dua vektor ayat 1 Dan ayat 2(v 1 , v 2 О R") vektor lv(untuk apa pun aku) dan vektor ayat 1+ayat 2 adalah sama terlepas dari apakah vektor dipertimbangkan v, v 1 , ayat 2 sebagai elemen ruang R" atau R. Vektor cangkang linier x 1 , x 2 ,... xp adalah himpunan semua kemungkinan kombinasi linier dari vektor-vektor ini, yaitu vektor-vektor berbentuk sebuah 1x1+sebuah 2x2+ … +apxp. Dalam ruang tiga dimensi, tidak ada cangkang linier yang satu vektor nol x 1 jelas merupakan himpunan semua vektor yang terletak pada garis yang dibatasi oleh vektor tersebut x 1 . Rentang linier dua vektor yang tidak terletak pada garis yang sama x 1 Dan x 2 akan menjadi himpunan semua vektor yang terletak pada bidang yang ditentukan oleh vektor x 1 Dan x 2 . DI DALAM kasus umum sewenang-wenang Ruang vektor R cangkang linier vektor x 1 , x 2 ,..., xp ruang ini merupakan subruang dari ruang tersebut R ukuran R. Dalam n-dimensi Ruang vektor ada subruang dengan semua dimensi yang lebih kecil R. Setiap dimensi terbatas (dari dimensi tertentu k) subruang R" Ruang vektor R ada rentang linier apa pun k vektor-vektor bebas linier yang terletak di R". Ruang yang terdiri dari semua polinomial derajat £ n(rentang linier polinomial 1, kamu, kamu 2 ,..., kamu n), Ada ( N+ 1 )- subruang dimensi ruang R semua polinomial.

Ruang Euclidean. Untuk pengembangan metode geometris secara teori Ruang vektor Anda perlu menunjukkan cara untuk menggeneralisasi konsep seperti panjang vektor, sudut antar vektor, dll. Salah satu cara yang mungkin apakah itu untuk dua vektor apa pun X Dan pada dari R angka yang dilambangkan dengan ( x, kamu) dan disebut produk skalar vektor X Dan kamu. Dalam hal ini, aksioma berikut harus dipenuhi produk titik:

1) (x, kamu) = (kamu, x) (komutabilitas);

2) (x 1+x2,y) = (x 1 , kamu) + (x2,y) (properti distributif);

3) (kapak, y) =A(x, kamu),

4) (x, x) ³ 0 untuk siapa pun X, Dan ( x, x) = 0 hanya untuk X= 0 .

Produk skalar biasa dalam ruang tiga dimensi memenuhi aksioma ini. Ruang vektor, di mana produk skalar didefinisikan yang memenuhi aksioma yang terdaftar, disebut ruang Euclidean; dapat berupa dimensi terbatas (dimensi n) atau dimensi tak terbatas. Ruang Euclidean berdimensi tak terhingga biasa disebut Ruang Hilbert. Panjang | X| vektor X dan sudut antar vektor X Dan pada Ruang Euclidean didefinisikan melalui produk skalar dengan rumus

Contoh ruang Euclidean adalah ruang tiga dimensi biasa dengan hasil kali skalar yang didefinisikan dalam kalkulus vektor. Ruang n-dimensi (aritmatika) Euclidean E n kita peroleh dengan mendefinisikan di N aritmatika -dimensi Ruang vektor perkalian titik dari vektor X = (aku 1 , …, aku n)dan kamu= (m 1 , …, mn) rasio

(x, kamu) =aku 1 m 1+aku 2 m 2+… +aku tidak tahu. (2)

Dalam hal ini, persyaratan 1)-4) jelas terpenuhi.

Dalam ruang Euclidean, konsep vektor ortogonal (tegak lurus) diperkenalkan. Itu adalah vektor X Dan pada disebut ortogonal jika hasil kali skalarnya nol: ( x, kamu) = 0. Di ruang yang dipertimbangkan E n kondisi ortogonalitas vektor X= (aku 1 , …, aku n) Dan kamu= (m 1 , …, mn), sebagai berikut dari relasi (2), berbentuk:

aku 1 m 1+aku 2 m 2+… +aku n m n= 0. (3)

Penerapan V.p. Konsep Ruang vektor(dan berbagai generalisasinya) banyak digunakan dalam matematika dan penerapannya pada ilmu pengetahuan alam. Misalkan, R- himpunan semua solusi homogen linier persamaan diferensial kamu n+sebuah 1(X)kamu (N+ 1 ) + … +sebuah(X)kamu= 0 . Jelas bahwa jumlah dua solusi dan hasil kali suatu solusi dengan suatu bilangan adalah solusi persamaan ini. Dengan demikian, R memenuhi syarat A. Terbukti untuk R kondisi umum B terpenuhi. R adalah Ruang vektor Dasar apa pun yang dipertimbangkan Ruang vektor ditelepon sistem mendasar solusi, pengetahuan yang memungkinkan seseorang menemukan semua solusi persamaan yang sedang dipertimbangkan. Konsep ruang Euclidean memungkinkan kita untuk sepenuhnya membuat geometri teori sistem persamaan linier homogen:

Pertimbangkan dalam ruang Euclidean E n vektor sebuah saya = (a i1 , a i2 , …, a masuk),Saya=1, 2,..., hal dan solusi vektor kamu= (kamu 1 , kamu 2 ,..., kamu n). Menggunakan rumus (2) untuk hasil kali skalar vektor En, Mari kita berikan sistem (4) bentuk berikut:

(aku, kamu) =0, saya=1, 2, …, m. (5)

Dari relasi (5) dan rumus (3) diperoleh solusi vektor kamu ortogonal terhadap semua vektor sebuah saya. Dengan kata lain, vektor ini ortogonal terhadap rangkaian vektor linier ai, itulah solusinya kamu adalah vektor apa pun dari komplemen ortogonal dari rangkaian vektor linier sebuah saya. Peran penting dimensi tak terbatas juga berperan dalam matematika dan fisika ruang linier. Contoh ruang tersebut adalah ruang DENGAN fungsi berkelanjutan pada suatu segmen dengan operasi biasa penjumlahan dan perkalian dengan bilangan real. Ruang dari semua polinomial yang disebutkan di atas adalah subruang dari ruang tersebut DENGAN.

menyala.: Alexandrov P.S., Kuliah tentang geometri analitik, M., 1968; Gelfand I, M., Kuliah aljabar linier, M. - L., 1948.

E.G.Poznyak.

Artikel tentang kata " Ruang vektor"di Bolshoi Ensiklopedia Soviet telah dibaca 20505 kali

Kuliah 6. Ruang vektor.

Pertanyaan dasar.

1. Vektor ruang linier.

2. Dasar dan dimensi ruang.

3. Orientasi ruang.

4. Penguraian suatu vektor berdasarkan basis.

5. Koordinat vektor.

1. Ruang linier vektor.

Himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang sifatnya apa pun yang didefinisikannya operasi linier: Menjumlahkan dua unsur dan mengalikan suatu unsur dengan suatu bilangan disebut spasi, dan elemennya adalah vektor ruang ini dan ditunjuk dengan cara yang sama seperti besaran vektor dalam geometri: . vektor Ruang abstrak seperti itu, pada umumnya, tidak memiliki kesamaan dengan vektor geometris biasa. Elemen ruang abstrak dapat berupa fungsi, sistem bilangan, matriks, dll., dan dalam kasus tertentu, vektor biasa. Oleh karena itu, ruang seperti itu biasa disebut ruang vektor .

Ruang vektor adalah, Misalnya, satu set vektor collinear, dilambangkan V1 , mengatur vektor koplanar V2 , himpunan vektor-vektor biasa (ruang nyata) V3 .

Untuk kasus khusus ini dapat kami berikan definisi berikut ruang vektor.

Definisi 1. Himpunan vektor disebut ruang vektor, jika kombinasi linier dari sembarang vektor suatu himpunan juga merupakan vektor himpunan tersebut. Vektor itu sendiri disebut elemen ruang vektor.

Yang lebih penting, baik secara teoritis maupun terapan, adalah konsep umum (abstrak) ruang vektor.

Definisi 2. Banyak R elemen yang jumlahnya ditentukan untuk dua elemen apa pun dan untuk elemen apa pun https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> disebut vektor(atau linier) ruang angkasa, dan elemen-elemennya adalah vektor, jika operasi penjumlahan vektor dan perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan memenuhi syarat berikut ( aksioma) :

1) penjumlahan bersifat komutatif, yaitu..gif" width="184" height="25">;

3) ada elemen (vektor nol) sehingga untuk https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" tinggi="27">;

5) untuk sembarang vektor dan dan sembarang bilangan λ persamaan berlaku;

6) untuk vektor apa pun dan bilangan apa pun λ Dan µ persamaannya benar: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> dan nomor apa pun λ Dan µ adil ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Aksioma paling sederhana yang mendefinisikan ruang vektor adalah sebagai berikut: konsekuensi :

1. Hanya ada satu angka nol dalam ruang vektor - elemen - vektor nol.

2. Dalam ruang vektor, setiap vektor mempunyai satu vektor yang berlawanan.

3. Untuk setiap elemen persamaan terpenuhi.

4. Untuk sembarang bilangan real λ dan vektor nol https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" lebar = "145" tinggi = "28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> adalah vektor yang memenuhi persamaan https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Jadi, tentu saja, banyak dari semuanya vektor geometris adalah ruang linier (vektor), karena untuk elemen-elemen himpunan ini ditentukan tindakan penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan yang memenuhi aksioma yang dirumuskan.

2. Dasar dan dimensi ruang.

Konsep esensial ruang vektor adalah konsep basis dan dimensi.

Definisi. Himpunan vektor-vektor bebas linier yang diambil dalam urutan tertentu, yang melaluinya setiap vektor ruang dapat dinyatakan secara linier, disebut dasar ruang ini. vektor. Komponen dasar ruang disebut dasar .

Basis dari himpunan vektor-vektor yang terletak pada suatu garis sembarang dapat dianggap sebagai satu vektor yang segaris terhadap garis tersebut.

Dasar di pesawat sebut saja dua vektor non-kolinier pada bidang ini, diambil dalam urutan tertentu https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Jika vektor-vektor basisnya berpasangan tegak lurus (ortogonal), maka basisnya disebut ortogonal, dan jika vektor-vektor ini mempunyai panjang, sama dengan satu, maka basisnya disebut ortonormal .

Angka terbesar vektor-vektor ruang yang bebas linier disebut dimensi ruang ini, yaitu dimensi ruang tersebut bertepatan dengan jumlah vektor basis ruang tersebut.

Jadi, menurut definisi berikut:

1. Ruang satu dimensi V1 adalah garis lurus, dan alasnya terdiri dari satu kolinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Ruang normal adalah ruang tiga dimensi V3 , yang dasarnya terdiri dari tiga non-coplanar vektor

Dari sini kita melihat bahwa banyaknya vektor basis pada suatu garis lurus, pada suatu bidang, dalam ruang nyata sama dengan apa yang dalam geometri biasa disebut dengan banyaknya dimensi (dimensi) suatu garis lurus, bidang, ruang. Oleh karena itu, wajar jika kita memperkenalkan definisi yang lebih umum.

Definisi. Ruang vektor R ditelepon N– dimensi jika tidak lebih dari N vektor bebas linier dan dilambangkan R N. Nomor N ditelepon dimensi ruang angkasa.

Sesuai dengan dimensinya ruang dibagi menjadi berdimensi terbatas Dan berdimensi tak terbatas. Dimensi ruang nol dianggap sama dengan nol menurut definisi.

Catatan 1. Di setiap ruang Anda dapat menentukan basis sebanyak yang Anda suka, tetapi semua basis ruang yang diberikan terdiri dari jumlah vektor yang sama.

Catatan 2. DI DALAM N– dalam ruang vektor berdimensi, basis adalah kumpulan terurut apa pun N vektor bebas linier.

3. Orientasi ruang.

Untuk itu untuk mengorientasikan ruang, perlu menetapkan suatu dasar dan menyatakannya positif .

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua basis ruang terbagi dalam dua kelas, yaitu menjadi dua himpunan bagian yang saling lepas.

a) semua basa yang termasuk dalam satu subset (kelas) memiliki sama orientasi (basis dengan nama yang sama);

b) dua basa apa pun yang termasuk dalam bermacam-macam himpunan bagian (kelas), miliki sebaliknya orientasi, ( nama yang berbeda pangkalan).

Jika salah satu dari dua kelas alas suatu ruang dinyatakan positif dan yang lainnya negatif, maka dikatakan ruang tersebut berorientasi .

Seringkali, ketika mengorientasikan ruang, beberapa pangkalan dipanggil Kanan, dan lainnya - kiri .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> dipanggil Kanan, jika jika diamati dari ujung vektor ketiga, putaran terpendek dari vektor pertama https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > dilaksanakan berlawanan arah jarum jam(Gbr. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Beras. 1.8. Basis kanan (a) dan basis kiri (b)

Biasanya basis ruang yang tepat dinyatakan sebagai basis positif

Basis ruang kanan (kiri) juga dapat ditentukan dengan menggunakan aturan sekrup atau gimlet “kanan” (“kiri”).

Dengan analogi ini, konsep kanan dan kiri diperkenalkan bertiga vektor non-coplanar yang harus diurutkan (Gbr. 1.8).

Jadi, dalam kasus umum, dua rangkap tiga dari vektor non-coplanar memiliki orientasi yang sama (nama yang sama) dalam ruang V3 jika keduanya kanan atau keduanya kiri, dan - orientasinya berlawanan (berlawanan) jika salah satunya kanan dan yang lain kiri.

Hal serupa juga dilakukan pada ruang V2 (pesawat).

4. Penguraian suatu vektor berdasarkan basis.

Untuk menyederhanakan penalaran, mari kita perhatikan pertanyaan ini dengan menggunakan contoh ruang vektor tiga dimensi R3 .

Misalkan https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> menjadi vektor sembarang dari ruang ini.

RUANG VEKTOR (ruang linier), salah satunya konsep mendasar aljabar, menggeneralisasi konsep kumpulan vektor (bebas). Dalam ruang vektor, alih-alih vektor, objek apa pun yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan angka akan dipertimbangkan; ini memerlukan yang utama sifat aljabar Operasi ini sama dengan operasi vektor pada geometri dasar. DI DALAM definisi yang tepat bilangan-bilangan digantikan oleh unsur-unsur suatu bidang K. Ruang vektor di atas bidang K adalah himpunan V dengan operasi penjumlahan unsur-unsur dari V dan operasi perkalian unsur-unsur dari V dengan unsur-unsur dari bidang K, yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

x + y = y + x untuk sembarang x, y dari V, yaitu terhadap penjumlahan, V adalah grup Abelian;

λ(x + y) = λ χ + λу untuk sembarang λ dari K dan x, y dari V;

(λ + μ)x = λx + μx untuk sembarang λ, μ dari K dan x dari V;

(λ μ)х = λ(μх) untuk sembarang λ, μ dari K dan x dari V;

1x = x untuk sembarang x dari V, di sini 1 berarti satuan bidang K.

Contoh ruang vektor adalah: himpunan L 1 , L 2 dan L 3 dari semua vektor dari geometri dasar, masing-masing pada garis lurus, bidang, dan ruang dengan operasi biasa menjumlahkan vektor dan mengalikannya dengan suatu bilangan; berkoordinasi dengan ruang vektor K n, yang elemen-elemennya merupakan semua kemungkinan baris (vektor) dengan panjang n dengan elemen-elemen dari bidang K, dan operasinya diberikan oleh rumus

himpunan F(M, K) dari semua fungsi yang ditentukan pada himpunan tetap M dan mengambil nilai di bidang K, dengan operasi biasa pada fungsi:

Unsur-unsur ruang vektor e 1 ..., e n disebut bebas linier jika dari persamaan λ 1 e 1 + ... +λ n e n = 0 Є V maka semua λ 1, λ 2,..., λ n = 0 Є K. Jika tidak, unsur e 1, e 2, ···> e n disebut bergantung linier. Jika dalam ruang vektor V sembarang n + 1 elemen e 1 ,..., e n+1 bergantung linier dan terdapat n elemen bebas linier, maka V disebut ruang vektor berdimensi n, dan n adalah dimensi itas dari ruang vektor V. Jika dalam ruang vektor V untuk sembarang bilangan asli n terdapat n vektor bebas linier, maka V disebut ruang vektor berdimensi tak hingga. Misalnya, ruang vektor L 1, L 2, L 3 dan K n masing-masing berdimensi 1-, 2-, 3- dan n; jika M - himpunan tak terbatas, maka ruang vektor F(M, K) berdimensi tak hingga.

Ruang vektor V dan U pada bidang K dikatakan isomorfik jika terdapat pemetaan satu-ke-satu φ : V -> U sehingga φ(x+y) = φ(x) + φ(y) untuk setiap x, y dari V dan φ (λx) = λ φ(x) untuk setiap λ dari K dan x dari V. Ruang vektor isomorfik secara aljabar tidak dapat dibedakan. Klasifikasi ruang vektor berdimensi hingga, hingga isomorfisme, diberikan berdasarkan dimensinya: setiap ruang vektor berdimensi n di atas bidang K isomorfik terhadap ruang vektor koordinat K n. Lihat juga ruang Hilbert, Aljabar linier.

Pertimbangkan barisan yang terdiri dari n elemen dari beberapa bidang sederhana GF(q) (a^, a......ap). Urutan ini disebut aku-po

konsekuensi di atas lapangan pacar)