Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan. Nod dan nok of number - pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan

Kelipatan adalah bilangan yang habis dibagi suatu bilangan tertentu tanpa sisa. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) suatu kelompok bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi setiap bilangan dalam kelompok tersebut tanpa meninggalkan sisa. Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil, Anda perlu mencari faktor prima dari bilangan-bilangan tertentu. KPK juga dapat dihitung menggunakan sejumlah metode lain yang berlaku untuk kelompok dua bilangan atau lebih.

Tangga

Serangkaian kelipatan

Lihatlah angka-angka ini. Metode yang dijelaskan di sini paling baik digunakan bila diberikan dua angka, yang masing-masing kurang dari 10. Jika angka yang diberikan lebih besar, gunakan metode lain.

Misalnya, cari kelipatan persekutuan terkecil dari 5 dan 8. Ini adalah bilangan kecil, jadi Anda bisa menggunakan cara ini.

Kelipatan adalah bilangan yang habis dibagi suatu bilangan tertentu tanpa sisa. Kelipatan dapat ditemukan di tabel perkalian.
- Misal bilangan kelipatan 5 adalah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Tuliskan deretan bilangan yang merupakan kelipatan bilangan pertama. Lakukan ini di bawah kelipatan angka pertama untuk membandingkan dua kumpulan angka.
- Misalnya bilangan kelipatan 8 adalah: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, dan 64.
Temukan bilangan terkecil yang ada pada kedua himpunan kelipatan. Anda mungkin harus menulis rangkaian kelipatan yang panjang untuk menemukan jumlah totalnya. Bilangan terkecil yang terdapat pada kedua himpunan kelipatan adalah kelipatan persekutuan terkecil.
- Misalnya bilangan terkecil yang muncul pada rangkaian kelipatan 5 dan 8 adalah bilangan 40. Oleh karena itu, 40 adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 5 dan 8.
Faktorisasi prima
1. Lihatlah angka-angka ini. Metode yang dijelaskan di sini paling baik digunakan ketika diberikan dua angka, yang masing-masing lebih besar dari 10. Jika angka yang diberikan lebih kecil, gunakan metode lain.
  - Misalnya, cari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 20 dan 84. Masing-masing angka tersebut lebih besar dari 10, maka Anda bisa menggunakan cara ini.
2. Faktorkan bilangan pertama menjadi faktor prima. Artinya, Anda perlu mencari bilangan prima yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan tertentu. Setelah Anda menemukan faktor prima, tulislah sebagai persamaan.
  - Misalnya, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\kali 10=20) Dan 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Jadi, faktor prima dari bilangan 20 adalah bilangan 2, 2 dan 5. Tuliskan sebagai persamaan: .
3. Faktorkan bilangan kedua menjadi faktor prima. Lakukan ini dengan cara yang sama seperti Anda memfaktorkan bilangan pertama, yaitu mencari bilangan prima yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan tersebut.
  - Misalnya, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\kali 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\kali 6=42) Dan 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\kali (\mathbf (2) )=6). Jadi, faktor prima dari bilangan 84 adalah bilangan 2, 7, 3 dan 2. Tuliskan sebagai persamaan: .
4. Tuliskan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Tuliskan faktor-faktor seperti operasi perkalian. Saat Anda menulis setiap faktor, coretlah kedua ekspresi tersebut (pernyataan yang menjelaskan faktorisasi suatu bilangan menjadi faktor prima).
  - Misalnya, kedua bilangan mempunyai faktor persekutuan 2, maka tulislah 2 × (\displaystyle 2\kali ) dan coret angka 2 di kedua ekspresi.
  - Persamaan kedua bilangan tersebut adalah faktor 2 lainnya, jadi tulislah 2 × 2 (\displaystyle 2\kali 2) dan coret angka 2 kedua di kedua ekspresi.
5. Tambahkan faktor sisanya ke operasi perkalian. Ini adalah faktor yang tidak dicoret pada kedua persamaan, yaitu faktor yang tidak persekutuan pada kedua bilangan tersebut.
  - Misalnya saja pada ungkapan 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\kali 2\kali 5) Kedua pasangan (2) dicoret karena merupakan faktor persekutuan. Faktor 5 tidak dicoret, jadi tulislah operasi perkaliannya seperti ini: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\kali 2\kali 5)
  - Dalam ekspresi 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kali 7\kali 3\kali 2) keduanya berpasangan (2) juga dicoret. Faktor 7 dan 3 tidak dicoret, jadi tulislah operasi perkaliannya seperti ini: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\kali 2\kali 5\kali 7\kali 3).
6. Hitung kelipatan persekutuan terkecil. Untuk melakukan ini, kalikan angka-angka dalam operasi perkalian tertulis.
  - Misalnya, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 20 dan 84 adalah 420.
Menemukan faktor persekutuan
1. Gambarlah kotak seperti permainan tic-tac-toe. Grid seperti itu terdiri dari dua garis sejajar yang berpotongan (tegak lurus) dengan dua garis sejajar lainnya. Ini akan memberi Anda tiga baris dan tiga kolom (kisinya sangat mirip dengan ikon #). Tuliskan angka pertama pada baris pertama dan kolom kedua. Tuliskan angka kedua pada baris pertama dan kolom ketiga.
  - Misalnya, mencari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 18 dan 30. Tuliskan angka 18 pada baris pertama dan kolom kedua, dan tuliskan angka 30 pada baris pertama dan kolom ketiga.
2. Temukan pembagi persekutuan kedua bilangan tersebut. Tuliskan pada baris pertama dan kolom pertama. Lebih baik mencari faktor prima, tapi ini bukan keharusan.
  - Misalnya 18 dan 30 adalah bilangan genap, maka faktor persekutuannya adalah 2. Jadi tulislah 2 pada baris pertama dan kolom pertama.
3. Bagilah setiap angka dengan pembagi pertama. Tuliskan setiap hasil bagi di bawah angka yang sesuai. Hasil bagi adalah hasil pembagian dua bilangan.
  - Misalnya, 18 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), jadi tulislah 9 di bawah 18 tahun.
  - 30 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), jadi tuliskan 15 di bawah 30.
4. Temukan pembagi yang sama untuk kedua hasil bagi. Jika tidak ada pembagi seperti itu, lewati dua langkah berikutnya. Jika tidak, tuliskan pembagi pada baris kedua dan kolom pertama.
  - Misalnya 9 dan 15 habis dibagi 3, maka tulislah 3 pada baris kedua dan kolom pertama.
5. Bagilah setiap hasil bagi dengan pembagi keduanya. Tuliskan setiap hasil pembagian di bawah hasil bagi yang sesuai.
  - Misalnya, 9 − 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), jadi tulislah 3 di bawah 9.
  - 15 − 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), jadi tulislah 5 di bawah 15.
6. Jika perlu, tambahkan sel tambahan ke grid. Ulangi langkah-langkah yang dijelaskan sampai hasil bagi memiliki pembagi yang sama.
7. Lingkari angka-angka pada kolom pertama dan baris terakhir grid. Kemudian tuliskan angka-angka yang dipilih sebagai operasi perkalian.
  - Misalnya angka 2 dan 3 ada di kolom pertama, dan angka 3 dan 5 ada di baris terakhir, maka tuliskan operasi perkaliannya seperti ini: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\kali 3\kali 3\kali 5).
8. Temukan hasil perkalian angka. Ini akan menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan tertentu.
  - Misalnya, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\kali 3\kali 3\kali 5=90). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 18 dan 30 adalah 90.
Algoritma Euclid
1. Ingat terminologi yang terkait dengan operasi pembagian. Dividen adalah angka yang dibagikan. Pembagi adalah bilangan yang dibagi. Hasil bagi adalah hasil pembagian dua bilangan. Sisanya adalah bilangan yang tersisa ketika dua bilangan dibagi.
  - Misalnya saja pada ungkapan 15 − 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
    15 adalah dividennya
    6 adalah pembagi
    2 adalah hasil bagi
    3 adalah sisanya.

Definisi. Bilangan asli terbesar yang dapat dibagi tanpa sisa dengan bilangan a dan b disebut pembagi persekutuan terbesar (GCD) angka-angka ini.

Mari kita cari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 24 dan 35.
Pembagi 24 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan pembagi 35 adalah bilangan 1, 5, 7, 35.
Kita melihat bahwa bilangan 24 dan 35 hanya memiliki satu pembagi yang sama - bilangan 1. Bilangan seperti itu disebut saling prima.

Definisi. Bilangan asli disebut saling prima, jika pembagi persekutuan terbesarnya (PBT) adalah 1.

Pembagi Persekutuan Terbesar (PBT) dapat dicari tanpa menuliskan semua pembagi dari bilangan-bilangan yang diberikan.

Memfaktorkan angka 48 dan 36, kita peroleh:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dari faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan pertama ini, kita coret faktor-faktor yang tidak termasuk dalam perluasan bilangan kedua (yaitu dua dua).
Faktor-faktor yang tersisa adalah 2 * 2 * 3. Hasil kali keduanya adalah 12. Bilangan ini merupakan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 48 dan 36. Pembagi persekutuan terbesar dari tiga bilangan atau lebih juga ditemukan.

Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar

2) dari faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan salah satu bilangan tersebut, coretlah faktor-faktor yang tidak termasuk dalam perluasan bilangan lainnya;
3) temukan produk dari faktor-faktor yang tersisa.

Jika semua bilangan tertentu habis dibagi salah satunya, maka bilangan tersebut habis dibagi pembagi persekutuan terbesar nomor yang diberikan.
Misalnya, pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 15, 45, 75 dan 180 adalah bilangan 15, karena semua bilangan lainnya habis dibagi: 45, 75 dan 180.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Definisi. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) bilangan asli a dan b adalah bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan a dan b. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan 75 dan 60 dapat dicari tanpa menuliskan kelipatan bilangan-bilangan tersebut secara berurutan. Caranya, faktorkan 75 dan 60 menjadi faktor prima: 75 = 3*5*5, dan 60 = 2*2*3*5.
Mari kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan pertama, dan tambahkan faktor-faktor yang hilang 2 dan 2 dari perluasan bilangan kedua (yaitu, kita gabungkan faktor-faktornya).
Kita peroleh lima faktor 2*2*3*5*5 yang hasil kali 300. Bilangan ini merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 75 dan 60.

Mereka juga menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih.

Ke temukan kelipatan persekutuan terkecil beberapa bilangan asli, Anda memerlukan:
1) memfaktorkannya menjadi faktor prima;
2) menuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan salah satu bilangan;
3) menambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan-bilangan yang tersisa;
4) temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan.

Perhatikan bahwa jika salah satu dari bilangan-bilangan ini habis dibagi semua bilangan lainnya, maka bilangan tersebut adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.
Misalnya kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 12, 15, 20, dan 60 adalah 60 karena habis dibagi semua bilangan tersebut.

Pythagoras (abad VI SM) dan murid-muridnya mempelajari pertanyaan tentang pembagian bilangan. Mereka menyebut suatu bilangan yang sama dengan jumlah semua pembaginya (tanpa bilangan itu sendiri) sebagai bilangan sempurna. Misalnya bilangan 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) adalah bilangan sempurna. Bilangan sempurna berikutnya adalah 496, 8128, 33.550.336. Orang Pythagoras hanya mengetahui tiga bilangan sempurna pertama. Yang keempat - 8128 - mulai dikenal pada abad ke-1. N. e. Yang kelima - 33.550.336 - ditemukan pada abad ke-15. Pada tahun 1983, 27 bilangan sempurna telah diketahui. Namun para ilmuwan masih belum mengetahui apakah ada bilangan sempurna ganjil atau ada bilangan sempurna terbesar.
Ketertarikan para matematikawan kuno pada bilangan prima disebabkan oleh fakta bahwa bilangan apa pun adalah bilangan prima atau dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bilangan prima, yaitu bilangan prima seperti batu bata tempat bilangan asli lainnya dibuat.
Anda mungkin memperhatikan bahwa bilangan prima dalam deret bilangan asli muncul secara tidak merata - di beberapa bagian deret jumlahnya lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Namun semakin jauh kita menelusuri deret bilangan, semakin jarang bilangan prima tersebut. Timbul pertanyaan: apakah ada bilangan prima terakhir (terbesar)? Matematikawan Yunani kuno Euclid (abad ke-3 SM), dalam bukunya “Elements”, yang merupakan buku teks utama matematika selama dua ribu tahun, membuktikan bahwa terdapat bilangan prima yang tak terhingga banyaknya, yaitu. nomor.
Untuk menemukan bilangan prima, ahli matematika Yunani lainnya pada waktu yang sama, Eratosthenes, menemukan metode ini. Ia menuliskan semua bilangan dari 1 sampai suatu bilangan, kemudian mencoret satu yang bukan bilangan prima atau bilangan komposit, kemudian mencoret semua bilangan setelah 2 (bilangan yang merupakan kelipatan 2, yaitu 4, 6 , 8, dst.). Sisa bilangan pertama setelah 2 adalah 3. Kemudian, setelah dua, semua bilangan setelah 3 (bilangan kelipatan 3, yaitu 6, 9, 12, dst) dicoret. pada akhirnya hanya bilangan prima yang tidak disilangkan.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil (LCD) dan pembagi persekutuan terbesar (PBT) dari bilangan asli.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Mari kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian bilangan pertama dan tambahkan faktor 5 yang hilang dari pemuaian bilangan kedua. Kita mendapatkan: 2*2*3*5*5=300. Kami menemukan NOC, mis. jumlah ini = 300. Jangan lupa ukurannya dan tuliskan jawabannya:
Jawaban: Ibu memberi 300 rubel.

Definisi GCD: Pembagi Persekutuan Terbesar (PBT) bilangan asli A Dan V sebutkan bilangan asli terbesar C, ke yang mana A, Dan B terbagi tanpa sisa. Itu. C adalah bilangan asli terkecil yang dan A Dan B adalah kelipatan.

Memo: Ada dua pendekatan untuk mendefinisikan bilangan asli

angka yang digunakan dalam: membuat daftar (penomoran) objek (pertama, kedua, ketiga, ...); - di sekolah biasanya seperti ini.
penunjukan jumlah item (tidak ada Pokemon - nol, satu Pokemon, dua Pokemon, ...).

Bilangan negatif dan bukan bilangan bulat (rasional, real, ...) bukanlah bilangan asli. Beberapa penulis memasukkan nol ke dalam himpunan bilangan asli, yang lain tidak. Himpunan semua bilangan asli biasanya dilambangkan dengan simbol N

Memo: Pembagi bilangan asli A sebutkan nomornya B, yang mana A terbagi tanpa sisa. Kelipatan suatu bilangan asli B memanggil nomor alami A, yang habis dibagi B tanpa jejak. Jika nomornya B- pembagi angka A, Itu A kelipatan dari nomor tersebut B. Contoh: 2 adalah pembagi dari 4, dan 4 adalah kelipatan dua. 3 adalah pembagi dari 12, dan 12 adalah kelipatan 3.
Memo: Bilangan asli disebut bilangan prima jika hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1 tanpa sisa. Bilangan koprima adalah bilangan yang hanya mempunyai satu pembagi persekutuan yang sama dengan 1.

Penentuan cara mencari GCD pada kasus umum: Mencari GCD (Pembagi Persekutuan Terbesar) diperlukan beberapa bilangan asli:
1) Bagilah menjadi faktor prima. (Tabel Bilangan Prima bisa sangat berguna untuk hal ini.)
2) Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan salah satunya.
3) Coretlah angka-angka yang tidak termasuk dalam perluasan angka-angka yang tersisa.
4) Kalikan faktor-faktor yang diperoleh pada langkah 3).

Soal 2 pada (NOK): Untuk Tahun Baru, Kolya Puzatov membeli 48 hamster dan 36 teko kopi di kota. Fekla Dormidontova, sebagai gadis paling jujur di kelas, diberi tugas untuk membagi properti ini menjadi set hadiah untuk guru sebanyak mungkin. Berapa set yang Anda dapatkan? Apa isi setnya?

Contoh 2.1. memecahkan masalah menemukan GCD. Menemukan GCD melalui seleksi.
Larutan: Masing-masing angka 48 dan 36 harus habis dibagi banyaknya hadiah.
1) Tuliskan pembagi 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Kita tuliskan pembagi 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Pilih pembagi persekutuan terbesar. Wah-la-la! Kami menemukan bahwa jumlah set adalah 12 buah.
3) Bagi 48 dengan 12 mendapat 4, bagi 36 dengan 12 mendapat 3. Jangan lupa dimensinya dan tuliskan jawabannya:
Jawaban: Anda akan mendapatkan 12 set 4 hamster dan 3 teko kopi di setiap set.

Pembagi persekutuan terbesar

Definisi 2

Jika bilangan asli a habis dibagi bilangan asli $b$, maka $b$ disebut pembagi $a$, dan $a$ disebut kelipatan $b$.

Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli. Bilangan $c$ disebut pembagi persekutuan dari $a$ dan $b$.

Himpunan pembagi persekutuan dari bilangan $a$ dan $b$ adalah berhingga, karena tidak ada pembagi yang lebih besar dari $a$. Artinya di antara pembagi tersebut terdapat pembagi terbesar yang disebut pembagi persekutuan terbesar dari bilangan $a$ dan $b$ dan dilambangkan dengan notasi berikut:

$GCD\(a;b)\ atau \D\(a;b)$

Untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan, Anda memerlukan:

Temukan hasil kali bilangan-bilangan yang ditemukan pada langkah 2. Bilangan yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.

Contoh 1

Temukan KPK dari angka $121$ dan $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pilihlah angka-angka yang termasuk dalam perluasan angka-angka tersebut

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Temukan hasil kali bilangan-bilangan yang ditemukan pada langkah 2. Bilangan yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.

$PBB=2\cdot 11=22$

Contoh 2

Temukan gcd dari monomial $63$ dan $81$.

Kami akan menemukannya sesuai dengan algoritma yang disajikan. Untuk melakukan ini:

Mari kita faktorkan bilangan-bilangan tersebut menjadi faktor prima

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Kami memilih angka-angka yang termasuk dalam perluasan angka-angka ini

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Mari kita cari hasil kali bilangan-bilangan yang ditemukan pada langkah 2. Bilangan yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.

$GCD=3\cdot 3=9$

Anda dapat mencari KPK dari dua bilangan dengan cara lain, yaitu dengan menggunakan sekumpulan pembagi bilangan.

Contoh 3

Temukan KPK dari angka $48$ dan $60$.

Larutan:

Mari kita cari himpunan pembagi bilangan $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Sekarang mari kita cari himpunan pembagi dari bilangan $60$:$\ \kiri$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\kanan$ $

Mari kita cari perpotongan himpunan ini: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - himpunan ini akan menentukan himpunan pembagi persekutuan dari bilangan $48$ dan $60 $. Elemen terbesar dalam himpunan ini adalah angka $12$. Artinya pembagi persekutuan terbesar dari bilangan $48$ dan $60$ adalah $12$.

Definisi NPL

Definisi 3

Kelipatan persekutuan bilangan asli$a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang merupakan kelipatan $a$ dan $b$.

Kelipatan persekutuan suatu bilangan adalah bilangan yang habis dibagi bilangan asli tanpa sisa. Misalnya, untuk bilangan $25$ dan $50$, kelipatan persekutuannya adalah bilangan $50,100,150,200$, dst.

Kelipatan persekutuan terkecil disebut kelipatan persekutuan terkecil dan dinotasikan dengan LCM$(a;b)$ atau K$(a;b).$

Untuk mencari KPK dari dua bilangan, Anda perlu:

Faktorkan bilangan menjadi faktor prima
Tuliskan faktor-faktor yang merupakan bagian dari bilangan pertama dan tambahkan ke faktor-faktor tersebut faktor-faktor yang merupakan bagian dari bilangan kedua dan bukan bagian dari bilangan pertama.

Contoh 4

Tentukan KPK dari bilangan $99$ dan $77$.

Kami akan menemukannya sesuai dengan algoritma yang disajikan. Untuk ini

Faktorkan bilangan menjadi faktor prima

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam faktor pertama

tambahkan ke dalamnya pengganda yang merupakan bagian dari yang kedua dan bukan bagian dari yang pertama

Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Menyusun daftar pembagi bilangan seringkali merupakan tugas yang sangat memakan waktu. Ada cara untuk mencari GCD yang disebut algoritma Euclidean.

Pernyataan yang menjadi dasar algoritma Euclidean:

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, dan $a\vdots b$, maka $D(a;b)=b$

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli maka $b

Dengan menggunakan $D(a;b)= D(a-b;b)$, kita dapat mengurangi bilangan-bilangan yang dipertimbangkan secara berturut-turut hingga kita mencapai sepasang bilangan sehingga salah satunya habis dibagi yang lain. Maka angka yang lebih kecil akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan untuk angka $a$ dan $b$.

Sifat-sifat GCD dan KPK

Kelipatan persekutuan $a$ dan $b$ habis dibagi K$(a;b)$
Jika $a\vdots b$ , maka К$(a;b)=a$

Jika K$(a;b)=k$ dan $m$ bilangan asli, maka K$(am;bm)=km$

Jika $d$ adalah pembagi persekutuan untuk $a$ dan $b$, maka K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jika $a\vdots c$ dan $b\vdots c$ , maka $\frac(ab)(c)$ adalah kelipatan persekutuan dari $a$ dan $b$

Untuk bilangan asli $a$ dan $b$ persamaannya berlaku

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Pembagi bilangan $a$ dan $b$ adalah pembagi bilangan $D(a;b)$

Namun banyak pula bilangan asli yang habis dibagi bilangan asli lainnya.

Misalnya:

Bilangan 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Bilangan 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Bilangan-bilangan yang habis dibagi seluruhnya (untuk 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi angka. Pembagi bilangan asli A- adalah bilangan asli yang membagi bilangan tertentu A tanpa jejak. Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut gabungan .

Perlu diketahui bahwa angka 12 dan 36 mempunyai faktor persekutuan. Bilangan-bilangan tersebut adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar bilangan-bilangan tersebut adalah 12. Pembagi persekutuan kedua bilangan tersebut A Dan B- ini adalah bilangan yang membagi kedua bilangan tersebut tanpa sisa A Dan B.

Kelipatan persekutuan beberapa bilangan adalah bilangan yang habis dibagi masing-masing bilangan tersebut. Misalnya, bilangan 9, 18, dan 45 mempunyai kelipatan persekutuan 180. Namun 90 dan 360 juga merupakan kelipatan persekutuannya. Di antara semua kelipatan persekutuan selalu ada yang terkecil, dalam hal ini adalah 90. Bilangan ini disebut yang terkecilkelipatan persekutuan (CMM).

KPK selalu merupakan bilangan asli yang harus lebih besar dari bilangan terbesar yang didefinisikannya.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Properti.

Komutatifitas:

Asosiatif:

Khususnya, jika dan merupakan bilangan koprima, maka:

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat M Dan N adalah pembagi semua kelipatan persekutuan lainnya M Dan N. Apalagi himpunan kelipatan persekutuan M N bertepatan dengan himpunan kelipatan KPK( M N).

Asimtotik untuk dapat dinyatakan dalam beberapa fungsi teori bilangan.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan juga:

Berikut definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Berikut ini hukum distribusi bilangan prima.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

NOC( a, b) dapat dihitung dengan beberapa cara:

1. Jika pembagi persekutuan terbesar diketahui, Anda dapat menggunakan hubungannya dengan KPK:

2. Diketahui penguraian kanonik kedua bilangan menjadi faktor prima:

Di mana hal 1 ,...,halk- berbagai bilangan prima, dan d 1 ,...,dk Dan e 1 ,...,ek— bilangan bulat non-negatif (dapat bernilai nol jika bilangan prima yang bersesuaian tidak ada dalam pemuaian).

Kemudian NOC ( A,B) dihitung dengan rumus:

Dengan kata lain, penguraian KPK memuat semua faktor prima yang termasuk dalam setidaknya salah satu penguraian bilangan a, b, dan diambil eksponen terbesar dari dua eksponen pengali ini.

Contoh:

Menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan dapat direduksi menjadi beberapa perhitungan KPK dua bilangan secara berurutan:

Aturan. Untuk mencari KPK dari serangkaian angka, Anda memerlukan:

- menguraikan bilangan menjadi faktor prima;

- pindahkan penguraian terbesar (perkalian faktor-faktor dari bilangan terbesar yang diberikan) ke faktor-faktor hasil perkalian yang diinginkan, lalu tambahkan faktor-faktor hasil penguraian bilangan-bilangan lain yang tidak muncul pada bilangan pertama atau muncul di dalamnya kali lebih sedikit;

— hasil kali faktor prima adalah KPK dari bilangan-bilangan tersebut.

Dua atau lebih bilangan asli mempunyai KPKnya masing-masing. Jika bilangan-bilangan tersebut bukan kelipatan satu sama lain atau tidak mempunyai faktor pemuaian yang sama, maka KPKnya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.

Faktor prima dari bilangan 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (bilangan 21), maka hasil perkaliannya (84) adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 21 dan 28.

Faktor prima dari bilangan terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 dari bilangan 25, hasil kali 150 lebih besar dari bilangan terbesar 30 dan habis dibagi semua bilangan tertentu tanpa sisa. Ini adalah hasil kali terkecil (150, 250, 300...) yang merupakan kelipatan dari semua bilangan yang diberikan.