Osilasi harmonik adalah fenomena perubahan periodik besaran apa pun, yang ketergantungannya pada argumen bersifat fungsi sinus atau kosinus. Misalnya, suatu besaran berosilasi secara harmonis dan berubah seiring waktu sebagai berikut:
di mana x adalah nilai besaran yang berubah, t adalah waktu, parameter lainnya konstan: A adalah amplitudo osilasi, adalah frekuensi siklik osilasi, adalah fase osilasi penuh, adalah fase awal osilasi.
Osilasi harmonik umum dalam bentuk diferensial
(Solusi non-trivial apa pun untuk persamaan diferensial ini adalah osilasi harmonik dengan frekuensi siklik)
Jenis getaran
Getaran bebas terjadi di bawah pengaruhnya kekuatan internal sistem setelah sistem dipindahkan dari posisi setimbangnya. Agar osilasi bebas menjadi harmonis, sistem osilasi harus linier (dijelaskan dengan persamaan gerak linier), dan tidak ada disipasi energi di dalamnya (yang terakhir akan menyebabkan redaman).
Getaran paksa terjadi di bawah pengaruh gaya periodik eksternal. Agar mereka menjadi harmonis, sistem osilasinya cukup linier (dijelaskan oleh persamaan gerak linier), dan gaya eksternal itu sendiri berubah seiring waktu sebagai osilasi harmonik (yaitu, ketergantungan gaya ini terhadap waktu adalah sinusoidal) .
Persamaan Harmonik
|
Persamaan (1)
|
memberikan ketergantungan nilai fluktuasi S pada waktu t; ini adalah persamaan osilasi harmonik bebas dalam bentuk eksplisit. Namun, persamaan osilasi biasanya dipahami sebagai representasi lain dari persamaan ini, di bentuk diferensial. Untuk lebih pastinya, mari kita ambil persamaan (1) dalam bentuk
Mari kita bedakan dua kali terhadap waktu:
Dapat dilihat bahwa hubungan berikut berlaku:
yang disebut persamaan osilasi harmonik bebas (dalam bentuk diferensial). Persamaan (1) merupakan penyelesaian persamaan diferensial (2). Karena persamaan (2) merupakan persamaan diferensial orde kedua, maka diperlukan dua kondisi awal untuk memperoleh penyelesaian lengkap (yaitu menentukan konstanta A dan yang termasuk dalam persamaan (1); misalnya posisi dan kecepatan sistem osilasi pada t = 0.
Pendulum matematika adalah osilator, yaitu sistem mekanis yang terdiri dari titik material yang terletak pada benang tak berbobot yang tidak dapat diperpanjang atau pada batang tak berbobot dalam medan gaya gravitasi seragam. Periode osilasi alami kecil bandul matematis dengan panjang l, yang tersuspensi tak bergerak dalam medan gravitasi seragam dengan percepatan jatuh bebas g, sama dengan
dan tidak bergantung pada amplitudo dan massa pendulum.
Pendulum fisika adalah osilator, yaitu benda padat yang berosilasi dalam medan gaya apa pun relatif terhadap suatu titik yang bukan merupakan pusat massa benda tersebut, atau sumbu tetap, tegak lurus terhadap arah kerja gaya-gaya dan tidak melalui pusat massa benda tersebut.
Perubahan besaran apapun dijelaskan dengan menggunakan hukum sinus atau kosinus, maka osilasi seperti itu disebut harmonik. Mari kita perhatikan rangkaian yang terdiri dari kapasitor (yang diisi sebelum dimasukkan ke dalam rangkaian) dan induktor (Gbr. 1).
Gambar 1.
Persamaan getaran harmonik dapat dituliskan sebagai berikut:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
dimana $t$ adalah waktu; $q$biaya, $q_0$-- deviasi maksimum biaya dari nilai rata-rata (nol) selama perubahan; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- fase osilasi; $(\alpha )_0$- fase awal; $(\omega )_0$ - frekuensi siklik. Selama periode tersebut, fase berubah sebesar $2\pi $.
Persamaan bentuk:
persamaan getaran harmonik di bentuk diferensial untuk rangkaian osilasi yang tidak mengandung resistansi aktif.
Apapun osilasi periodik dapat direpresentasikan secara akurat sebagai jumlah getaran harmonik, yang disebut deret harmonik.
Untuk periode osilasi suatu rangkaian yang terdiri dari kumparan dan kapasitor, kita peroleh rumus Thomson:
Jika kita membedakan ekspresi (1) terhadap waktu, kita dapat memperoleh rumus untuk fungsi $I(t)$:
Tegangan melintasi kapasitor dapat ditemukan sebagai:
Dari rumus (5) dan (6) dapat disimpulkan bahwa kuat arus mendahului tegangan pada kapasitor sebesar $\frac(\pi )(2).$
Osilasi harmonik dapat direpresentasikan baik dalam bentuk persamaan, fungsi maupun diagram vektor.
Persamaan (1) menyatakan osilasi bebas tak teredam.
Persamaan osilasi teredam
Perubahan muatan ($q$) pada pelat kapasitor dalam rangkaian, dengan memperhitungkan resistansi (Gbr. 2), akan digambarkan dengan persamaan diferensial dalam bentuk:
Gambar 2.
Jika hambatan yang merupakan bagian dari rangkaian $R\
di mana $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ adalah frekuensi osilasi siklik. $\beta =\frac(R)(2L)-$koefisien redaman. Amplitudo osilasi teredam dinyatakan sebagai:
Jika pada $t=0$ muatan pada kapasitor sama dengan $q=q_0$ dan tidak ada arus pada rangkaian, maka untuk $A_0$ kita dapat menulis:
Fase osilasi masuk momen awal waktu ($(\alpha )_0$) sama dengan:
Ketika $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ perubahan muatan bukan merupakan osilasi, pelepasan kapasitor disebut aperiodik.
Contoh 1
Latihan: Nilai tagihan maksimum adalah $q_0=10\ C$. Bervariasi secara harmonis dengan periode $T= 5 s$. Tentukan arus maksimum yang mungkin.
Larutan:
Sebagai dasar untuk memecahkan masalah kami menggunakan:
Untuk mencari kekuatan arus, ekspresi (1.1) harus dibedakan terhadap waktu:
dimana maksimum (nilai amplitudo) kekuatan arus adalah ekspresi:
Dari kondisi soal kita mengetahui nilai amplitudo muatan ($q_0=10\ C$). Anda harus mencari frekuensi alami osilasi. Mari kita nyatakan sebagai:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\kiri(1,4\kanan).\]
Dalam hal ini, nilai yang diinginkan akan dicari menggunakan persamaan (1.3) dan (1.2) sebagai:
Karena semua besaran dalam kondisi masalah disajikan dalam sistem SI, kami akan melakukan perhitungan:
Menjawab:$I_0=12,56\ A.$
Contoh 2
Latihan: Berapakah periode osilasi pada rangkaian yang memuat induktor $L=1$H dan kapasitor, jika kuat arus pada rangkaian berubah menurut hukum: $I\left(t\right)=-0,1sin20 \pi t\ \kiri(A \kanan)?$ Berapakah kapasitansi kapasitor tersebut?
Larutan:
Dari persamaan fluktuasi arus yang diberikan dalam kondisi masalah:
kita melihat bahwa $(\omega )_0=20\pi $, oleh karena itu, kita dapat menghitung periode Osilasi menggunakan rumus:
\ \
Menurut rumus Thomson untuk rangkaian yang berisi induktor dan kapasitor, kita mempunyai:
Mari kita hitung kapasitasnya:
Menjawab:$T=0,1$c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
Osilasi disebut gerakan atau proses yang dicirikan oleh pengulangan tertentu dari waktu ke waktu. Proses osilasi tersebar luas di alam dan teknologi, misalnya ayunan pendulum jam yang bergantian arus listrik dll. Kapan gerakan osilasi pendulum, koordinat pusat massanya berubah, dalam kasus tersebut AC tegangan dan arus pada rangkaian berfluktuasi. Sifat fisik getaran bisa berbeda-beda, oleh karena itu ada getaran mekanis, elektromagnetik, dll. Namun, proses osilasi yang berbeda dijelaskan oleh karakteristik yang sama dan persamaan yang sama. Oleh karena itu kemanfaatannya pendekatan umum untuk mempelajari getaran bermacam-macam sifat fisik.
Osilasi disebut bebas, jika hal itu terjadi hanya di bawah pengaruh gaya dalam yang bekerja antara elemen-elemen sistem, setelah sistem dipindahkan dari posisi setimbang kekuatan eksternal dan dibiarkan sendiri. Getaran bebas selalu osilasi teredam , karena di sistem nyata kehilangan energi tidak bisa dihindari. Dalam kasus ideal suatu sistem tanpa kehilangan energi, osilasi bebas (berlanjut selama yang diinginkan) disebut memiliki.
Jenis gratis yang paling sederhana osilasi terus menerus adalah getaran harmonik - osilasi yang besaran osilasinya berubah seiring waktu menurut hukum sinus (kosinus). Getaran yang terdapat pada alam dan teknologi seringkali bersifat mendekati harmonik.
Osilasi harmonik dijelaskan dengan persamaan yang disebut persamaan osilasi harmonik:
Di mana A- amplitudo osilasi, nilai maksimum besaran osilasi X; - frekuensi osilasi alami melingkar (siklik); - fase awal osilasi pada momen waktu T= 0; - fase osilasi pada momen waktu T. Fase osilasi menentukan nilai besaran osilasi dalam saat ini waktu. Karena kosinus bervariasi dari +1 hingga -1, maka X dapat mengambil nilai dari + A ke - A.
Waktu T selama sistem menyelesaikan satu osilasi lengkap disebut periode osilasi. Selama ini T fase osilasi bertambah 2 π , yaitu
Di mana . (14.2)
Besarnya, periode terbalik fluktuasi
yaitu, jumlah osilasi lengkap yang dilakukan per satuan waktu disebut frekuensi osilasi. Membandingkan (14.2) dan (14.3) kita peroleh
Satuan frekuensi adalah hertz (Hz): 1 Hz adalah frekuensi terjadinya satu osilasi lengkap dalam 1 s.
Sistem yang dapat terjadi getaran bebas disebut osilator . Sifat-sifat apa yang harus dimiliki suatu sistem agar getaran bebas dapat terjadi di dalamnya? Sistem mekanis harus dimiliki posisi keseimbangan yang stabil , setelah keluar yang muncul gaya pemulih yang diarahkan menuju posisi setimbang. Posisi ini, seperti diketahui, sesuai dengan energi potensial minimum sistem. Mari kita lihat beberapa sistem osilasi, memenuhi properti yang terdaftar.
Bervariasi dari waktu ke waktu menurut hukum sinusoidal:
Di mana X- nilai besaran yang berfluktuasi pada waktu tertentu T, A- amplitudo, ω - frekuensi melingkar, φ — fase awal osilasi, ( φt + φ ) - fase osilasi penuh. Pada saat yang sama, nilai-nilainya A, ω Dan φ - permanen.
Untuk getaran mekanis yang besarnya berfluktuasi X adalah, khususnya, perpindahan dan kecepatan, misalnya getaran listrik- tegangan dan arus.
Getaran harmonik menempati tempat khusus di antara semua jenis getaran, karena ini tipe tunggal getaran yang bentuknya tidak terdistorsi ketika melewati apapun lingkungan yang homogen, yaitu gelombang yang merambat dari sumber getaran harmonik juga akan bersifat harmonis. Setiap osilasi nonharmonik dapat direpresentasikan sebagai jumlah (integral) dari berbagai osilasi harmonik (dalam bentuk spektrum osilasi harmonik).
Transformasi energi selama getaran harmonik.
Selama proses osilasi, terjadi transisi energi potensial W hal menjadi kinetik Minggu dan sebaliknya. Dalam posisi deviasi maksimum dari posisi setimbang, energi potensial maksimum, energi kinetik nol. Ketika ia kembali ke posisi setimbang, kecepatan benda yang berosilasi meningkat, dan dengan itu energi kinetik juga meningkat, mencapai maksimum pada posisi setimbang. Energi potensial turun menjadi nol. Pergerakan selanjutnya terjadi dengan penurunan kecepatan, yang turun menjadi nol ketika defleksi mencapai maksimum kedua. Energi potensial di sini meningkat ke nilai awalnya (maksimum) (tanpa adanya gesekan). Dengan demikian, fluktuasi kinetik dan energi potensial terjadi pada frekuensi dua kali lipat (dibandingkan dengan osilasi pendulum itu sendiri) dan berada dalam antifase (yaitu, ada pergeseran fasa di antara keduanya sebesar π ). Energi Total fluktuasi W tetap tidak berubah. Untuk benda yang berosilasi di bawah aksi gaya elastis, itu sama dengan:
Di mana vm — kecepatan maksimum tubuh (dalam posisi seimbang), x m = A- amplitudo.
Karena adanya gesekan dan hambatan medium, getaran bebas melemah: energi dan amplitudonya menurun seiring waktu. Oleh karena itu, dalam praktiknya, osilasi paksa lebih sering digunakan daripada osilasi bebas.
Seiring dengan progresif dan gerakan rotasi benda dalam mekanika minat yang signifikan juga mewakili gerakan osilasi. Getaran mekanis adalah gerakan benda yang berulang secara tepat (atau kira-kira) pada interval waktu yang sama. Hukum gerak suatu benda yang berosilasi ditentukan dengan menggunakan tertentu fungsi periodik waktu X = F (T). Gambar grafis fungsi ini memberikan gambaran yang jelas tentang alirannya proses osilasi pada waktunya.
Contoh sistem osilasi sederhana antara lain beban pada pegas atau pendulum matematika(Gbr. 2.1.1).
Getaran mekanis, seperti proses osilasi yang bersifat fisik lainnya, dapat terjadi bebas Dan dipaksa. Getaran bebas berkomitmen di bawah pengaruh kekuatan internal sistem setelah sistem berada dalam keadaan setimbang. Osilasi beban pada pegas atau osilasi bandul merupakan osilasi bebas. Getaran terjadi di bawah pengaruh luar gaya yang berubah secara periodik disebut dipaksa .
Jenis proses osilasi yang paling sederhana adalah sederhana getaran harmonis , yang dijelaskan oleh persamaan
|
X = X mcos(ω T + φ 0). |
Di Sini X- perpindahan benda dari posisi setimbang, X m - amplitudo osilasi, mis. perpindahan maksimum dari posisi setimbang, ω - frekuensi siklik atau melingkar keraguan, T- waktu. Besaran di bawah tanda cosinus φ = ω T+ φ 0 disebut fase proses harmonis. Pada T= 0 φ = φ 0, maka φ 0 disebut fase awal. Selang waktu minimum yang dilalui suatu gerakan suatu benda disebut periode osilasi T. Kuantitas fisik, kebalikan dari periode osilasi disebut frekuensi getaran:
Frekuensi osilasi F menunjukkan berapa banyak osilasi yang terjadi dalam 1 s. Satuan frekuensi - hertz(Hz). Frekuensi osilasi F terkait dengan frekuensi siklik ω dan periode osilasi T rasio:
Pada Gambar. 2.1.2 menunjukkan posisi benda pada interval waktu yang sama selama getaran harmonik. Gambaran seperti itu dapat diperoleh secara eksperimental dengan menyinari benda yang berosilasi dengan kilatan cahaya periodik pendek ( pencahayaan strobo). Panah mewakili vektor kecepatan benda di berbagai momen waktu.
Beras. 2.1.3 menggambarkan perubahan yang terjadi pada grafik proses harmonik jika salah satu amplitudo osilasi berubah X m, atau titik T(atau frekuensi F), atau fase awal φ 0.
Ketika suatu benda berosilasi sepanjang garis lurus (sumbu SAPI) vektor kecepatan selalu diarahkan sepanjang garis lurus ini. Kecepatan υ = υ X gerakan tubuh ditentukan oleh ekspresi
Dalam matematika, prosedur mencari limit suatu rasio di Δ T→ 0 disebut menghitung turunan fungsi X (T) berdasarkan waktu T dan dilambangkan sebagai atau sebagai X"(T) atau, akhirnya, seperti . Untuk hukum gerak harmonik, menghitung turunannya akan menghasilkan hasil sebagai berikut:
Munculnya suku + π / 2 pada argumen cosinus berarti adanya perubahan pada fase awal. Nilai absolut maksimum kecepatan υ = ω X m dicapai pada saat-saat ketika benda melewati posisi keseimbangan ( X= 0). Akselerasi ditentukan dengan cara yang sama A = AX benda selama getaran harmonik:
maka percepatannya A sama dengan turunan dari fungsi υ ( T) berdasarkan waktu T, atau turunan kedua dari fungsi tersebut X (T). Perhitungan memberikan:
Tanda minus pada persamaan ini berarti percepatan A (T) selalu mempunyai tanda, tanda yang berlawanan offset X (T), dan oleh karena itu, menurut hukum kedua Newton, gaya yang menyebabkan benda melakukan osilasi harmonik selalu diarahkan menuju posisi setimbang ( X = 0).
