Izinkan saya mempertimbangkan suatu titik material yang pergerakannya dibatasi sedemikian rupa sehingga hanya mempunyai satu derajat kebebasan.
Artinya posisinya dapat ditentukan dengan menggunakan besaran tunggal, misalnya koordinat x. Contohnya adalah bola yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat tetap yang ditekuk pada bidang vertikal (Gbr. 26.1, a).
Contoh lainnya adalah sebuah bola yang diikatkan pada ujung pegas, meluncur tanpa gesekan pada pemandu horizontal (Gbr. 26.2, a).
Sebuah gaya konservatif bekerja pada bola: dalam kasus pertama adalah gaya gravitasi, dalam kasus kedua adalah gaya elastis pegas yang mengalami deformasi. Grafik energi potensial ditunjukkan pada Gambar. 26.1,b dan 26.2,b.
Karena bola bergerak sepanjang kawat tanpa gesekan, gaya yang bekerja pada bola pada kedua kasus tegak lurus terhadap kecepatan bola dan, oleh karena itu, tidak melakukan usaha pada bola. Oleh karena itu, konservasi energi terjadi:
Dari (26.1) dapat disimpulkan bahwa energi kinetik hanya dapat meningkat karena penurunan energi amplitudo. Oleh karena itu, jika bola berada dalam keadaan kecepatannya nol dan energi potensialnya bernilai minimum, maka tanpa pengaruh luar bola tidak akan dapat bergerak, yaitu berada dalam keadaan setimbang.
Minimum U sesuai dengan nilai yang sama pada grafik (pada Gambar 26.2 terdapat panjang regu yang tidak terdeformasi) Kondisi energi potensial minimum berbentuk
Sesuai dengan t (22.4), kondisi (26.2) ekuivalen dengan fakta bahwa
(dalam kasus di mana U merupakan fungsi dari satu variabel saja, ). Jadi, posisi yang sesuai dengan energi potensial minimum mempunyai sifat bahwa gaya yang bekerja pada benda adalah nol.
Dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 26.1, kondisi (26.2) dan (26.3) juga terpenuhi untuk x sama dengan (yaitu, untuk maksimum U). Posisi bola yang ditentukan oleh nilai ini juga akan seimbang. Namun, kesetimbangan ini, tidak seperti kesetimbangan di, akan menjadi tidak stabil: cukup dengan memindahkan bola sedikit dari posisi ini dan akan timbul gaya yang akan menggerakkan bola menjauh dari posisi tersebut. Gaya-gaya yang timbul ketika bola dipindahkan dari posisi setimbang stabil (yang ) diarahkan sedemikian rupa sehingga cenderung mengembalikan bola ke posisi setimbang.
Mengetahui jenis fungsi t yang menyatakan energi potensial, kita dapat membuat sejumlah kesimpulan tentang sifat gerak partikel. Mari kita jelaskan ini menggunakan grafik yang ditunjukkan pada Gambar. 26.1,b. Jika energi total memiliki nilai yang ditunjukkan pada gambar, maka partikel dapat bergerak dalam rentang dari ke, atau dalam rentang dari hingga tak terhingga. Partikel tidak dapat menembus ke dalam wilayah tersebut, karena energi potensial tidak dapat lebih besar dari energi total (jika hal ini terjadi, energi kinetik akan menjadi negatif). Dengan demikian, wilayah tersebut mewakili penghalang potensial yang tidak dapat ditembus oleh partikel dengan jumlah energi total tertentu. Daerah tersebut disebut sumur potensial.
Jika suatu partikel tidak dapat bergerak hingga tak terhingga selama geraknya, maka gerak tersebut disebut berhingga. Jika partikel dapat melaju sejauh yang diinginkan, maka geraknya disebut tak terhingga. Sebuah partikel dalam sumur potensial mengalami gerak terbatas. Pergerakan partikel dengan energi total negatif di medan pusat gaya tarik menarik juga akan berhingga (diasumsikan bahwa energi potensial menghilang pada jarak tak terhingga).
Keseimbangan mekanis
Keseimbangan mekanis- keadaan sistem mekanis di mana jumlah semua gaya yang bekerja pada setiap partikelnya sama dengan nol dan jumlah momen semua gaya yang diterapkan pada benda relatif terhadap sumbu rotasi sembarang juga sama dengan nol.
Dalam keadaan setimbang, benda dalam keadaan diam (vektor kecepatan nol) dalam kerangka acuan yang dipilih, bergerak beraturan lurus, atau berputar tanpa percepatan tangensial.
Definisi melalui energi sistem
Karena energi dan gaya dihubungkan melalui hubungan mendasar, definisi ini setara dengan definisi pertama. Namun definisi energi dapat diperluas untuk memberikan informasi tentang kestabilan posisi keseimbangan.
Jenis keseimbangan
Mari kita beri contoh sistem dengan satu derajat kebebasan. Dalam hal ini, kondisi yang cukup untuk posisi ekuilibrium adalah adanya ekstrem lokal pada titik yang diteliti. Sebagaimana diketahui, syarat ekstrem lokal suatu fungsi terdiferensiasi adalah turunan pertamanya sama dengan nol. Untuk menentukan kapan titik ini minimum atau maksimum, Anda perlu menganalisis turunan keduanya. Stabilitas posisi ekuilibrium ditandai dengan pilihan berikut:
- keseimbangan tidak stabil;
- keseimbangan stabil;
- keseimbangan yang acuh tak acuh.
Keseimbangan yang tidak stabil
Jika turunan keduanya negatif, energi potensial sistem berada dalam keadaan maksimum lokal. Artinya posisi setimbang tidak stabil. Jika sistem dipindahkan dalam jarak yang kecil, maka sistem akan terus bergerak akibat adanya gaya-gaya yang bekerja pada sistem.
Keseimbangan stabil
Turunan kedua > 0: energi potensial minimum lokal, posisi setimbang berkelanjutan(lihat teorema Lagrange tentang stabilitas keseimbangan). Jika sistem dipindahkan sedikit saja, maka sistem akan kembali ke keadaan setimbangnya. Kesetimbangan stabil jika pusat gravitasi benda menempati posisi terendah dibandingkan semua kemungkinan posisi tetangganya.
Ekuilibrium acuh tak acuh
Turunan kedua = 0 : pada daerah ini energinya tidak berubah-ubah dan posisi setimbangnya cuek. Jika sistem dipindahkan agak jauh, maka sistem akan tetap berada pada posisi barunya.
Stabilitas dalam sistem dengan sejumlah besar derajat kebebasan
Jika suatu sistem mempunyai beberapa derajat kebebasan, maka mungkin saja dalam pergeseran ke beberapa arah kesetimbangannya stabil, tetapi di arah lain kesetimbangannya tidak stabil. Contoh paling sederhana dari situasi seperti ini adalah “pelana” atau “lintasan” (sebaiknya letakkan gambar di tempat ini).
Kesetimbangan suatu sistem dengan beberapa derajat kebebasan akan stabil hanya jika sistem tersebut stabil ke segala arah.
Yayasan Wikimedia.
2010.
Lihat apa itu “Keseimbangan mekanis” di kamus lain: keseimbangan mekanis
- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. kesetimbangan mekanik vok. mekanisme Gleichgewicht, n rus. keseimbangan mekanik, n pranc. mekanisme yang seimbang, m … Batasan akhir
- ... Wikipedia
Keadaan sistem termodinamika yang terjadi secara spontan setelah jangka waktu yang cukup lama dalam kondisi terisolasi dari lingkungan, setelah itu parameter keadaan sistem tidak lagi berubah seiring waktu. Isolasi... ... Ensiklopedia Besar Soviet
KESEIMBANGAN- (1) keadaan mekanis imobilitas suatu benda, yang merupakan konsekuensi dari gaya R. yang bekerja padanya (ketika jumlah semua gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol, yaitu tidak memberikan percepatan) . R. dibedakan : a) stabil, apabila menyimpang dari ... ... Ensiklopedia Politeknik Besar
Kondisi mekanis sistem, di mana semua titiknya tidak bergerak terhadap sistem referensi yang diberikan. Jika kerangka acuan ini inersia, maka R.M. mutlak, sebaliknya relatif. Tergantung pada perilaku tubuh setelah... Kamus Besar Ensiklopedis Politeknik
Kesetimbangan termodinamika adalah keadaan sistem termodinamika terisolasi, di mana pada setiap titik untuk semua proses kimia, difusi, nuklir, dan proses lainnya, laju reaksi maju sama dengan laju reaksi sebaliknya. Termodinamika... ... Wikipedia
Keseimbangan- keadaan makro yang paling mungkin suatu zat, ketika variabel, apa pun pilihannya, tetap konstan dengan deskripsi sistem yang lengkap. Kesetimbangan dibedakan: mekanik, termodinamika, kimia, fasa, dll.: Lihat... ... Kamus Ensiklopedis Metalurgi
Isi 1 Definisi klasik 2 Definisi melalui energi sistem 3 Jenis kesetimbangan ... Wikipedia
Transisi fase Artikel ini merupakan bagian dari seri Termodinamika. Konsep fase Kesetimbangan fase Transisi fase kuantum Bagian termodinamika Prinsip termodinamika Persamaan keadaan ... Wikipedia
Kuliah ini mencakup isu-isu berikut:
1. Kondisi keseimbangan sistem mekanik.
2. Stabilitas keseimbangan.
3. Contoh penentuan posisi keseimbangan dan mempelajari kestabilannya.
Kajian terhadap permasalahan tersebut diperlukan untuk mempelajari gerak osilasi suatu sistem mekanik relatif terhadap posisi setimbang dalam disiplin ilmu “Suku Cadang Mesin”, untuk memecahkan masalah dalam disiplin ilmu “Teori Mesin dan Mekanisme” dan “Kekuatan Bahan”.
Kasus penting dari gerak sistem mekanis adalah gerak osilasinya. Osilasi adalah pergerakan berulang suatu sistem mekanis relatif terhadap beberapa posisinya, yang terjadi kurang lebih teratur sepanjang waktu. Mata kuliah ini mengkaji gerak osilasi suatu sistem mekanik relatif terhadap posisi setimbang (relatif atau absolut).
Suatu sistem mekanis dapat berosilasi dalam jangka waktu yang cukup lama hanya di dekat posisi kesetimbangan stabil. Oleh karena itu, sebelum menyusun persamaan gerak osilasi, perlu dicari posisi kesetimbangan dan mempelajari kestabilannya.
Kondisi keseimbangan untuk sistem mekanis.
Menurut prinsip perpindahan yang mungkin terjadi (persamaan dasar statika), agar suatu sistem mekanis yang dikenai kendala ideal, stasioner, penahan, dan holonomis berada dalam kesetimbangan, semua gaya yang digeneralisasikan dalam sistem ini perlu dan cukup. sama dengan nol:
Di mana - kekuatan umum yang sesuai J- oh koordinat umum;
S- jumlah koordinat umum dalam sistem mekanik.
Jika persamaan diferensial gerak telah disusun untuk sistem yang diteliti dalam bentuk persamaan Lagrange jenis kedua, maka untuk menentukan kemungkinan posisi kesetimbangan cukup dengan menyamakan gaya-gaya yang digeneralisasikan dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan terhadap gaya-gaya yang digeneralisasikan. koordinat.
Jika sistem mekanik berada dalam kesetimbangan dalam medan gaya potensial, maka dari persamaan (1) diperoleh kondisi kesetimbangan sebagai berikut:
Oleh karena itu, pada posisi setimbang, energi potensial mempunyai nilai ekstrim. Tidak semua keseimbangan yang ditentukan oleh rumus-rumus di atas dapat diwujudkan secara praktis. Bergantung pada perilaku sistem ketika menyimpang dari posisi setimbang, kita berbicara tentang stabilitas atau ketidakstabilan posisi ini.
Stabilitas keseimbangan
Definisi konsep stabilitas posisi setimbang diberikan pada akhir abad ke-19 dalam karya ilmuwan Rusia A.M. Lyapunov. Mari kita lihat definisi ini.
Untuk menyederhanakan perhitungan, kami selanjutnya akan menyepakati koordinat umum Q 1 , Q 2 ,...,Q S dihitung dari posisi setimbang sistem:
Di mana
Posisi setimbang disebut stabil jika untuk bilangan kecil sembarangbisakah kamu mencari nomor lain , bahwa jika nilai awal koordinat dan kecepatan umum tidak melebihi:
nilai koordinat dan kecepatan umum selama pergerakan sistem selanjutnya tidak akan melebihi .
Dengan kata lain, posisi kesetimbangan sistem Q 1 = Q 2 = ...= Q s = 0 dipanggil berkelanjutan, jika selalu mungkin untuk menemukan nilai awal yang cukup kecil, di mana pergerakan sistemtidak akan meninggalkan lingkungan posisi ekuilibrium tertentu yang kecil dan sewenang-wenang. Untuk sistem dengan satu derajat kebebasan, gerak stabil sistem dapat digambarkan dengan jelas pada bidang fase (Gbr. 1).Untuk posisi setimbang yang stabil, pergerakan titik-titik yang mewakili, dimulai dari suatu wilayah [ ] , tidak akan melampaui wilayah ini di masa depan.
Gambar.1
Posisi setimbang disebut stabil secara asimtotik , jika lama kelamaan sistem mendekati posisi setimbang, yaitu
Menentukan kondisi stabilitas posisi keseimbangan adalah tugas yang agak rumit, jadi kami akan membatasi diri pada kasus paling sederhana: mempelajari stabilitas keseimbangan sistem konservatif.
Kondisi yang cukup untuk stabilitas posisi keseimbangan sistem tersebut telah ditentukan Teorema Lagrange-Dirichlet : posisi kesetimbangan sistem mekanik konservatif dikatakan stabil jika pada posisi kesetimbangan energi potensial sistem mempunyai nilai minimum terisolasi .
Energi potensial suatu sistem mekanik ditentukan dalam suatu konstanta. Mari kita pilih konstanta ini sehingga pada posisi setimbang energi potensial sama dengan nol:
P(0)=0.
Kemudian, untuk sistem dengan satu derajat kebebasan, syarat cukup untuk adanya minimum terisolasi, beserta syarat perlu (2), adalah syaratnya
Karena pada posisi setimbang energi potensial mempunyai nilai minimum terisolasi dan P(0)=0 , lalu di lingkungan terbatas pada posisi ini
P(q)=0.
Fungsi yang mempunyai tanda konstan dan sama dengan nol hanya jika semua argumennya nol dipanggil pasti. Oleh karena itu, agar posisi kesetimbangan sistem mekanis menjadi stabil, energi potensial di sekitar posisi ini perlu dan cukup merupakan fungsi pasti positif dari koordinat umum.
Untuk sistem linier dan untuk sistem yang dapat direduksi menjadi linier untuk penyimpangan kecil dari posisi setimbang (linier), energi potensial dapat direpresentasikan dalam bentuk kuadrat dari koordinat umum
Di mana - koefisien kekakuan umum.
Koefisien umumadalah bilangan konstan yang dapat ditentukan langsung dari deret pemuaian energi potensial atau dari nilai turunan kedua energi potensial terhadap koordinat umum pada posisi setimbang:
Dari rumus (4) dapat disimpulkan bahwa koefisien kekakuan umum adalah simetris terhadap indeks
Untuk itu Agar kondisi kesetimbangan terpenuhi, energi potensial harus berbentuk kuadrat pasti positif dari koordinat umumnya.
Dalam matematika ada Kriteria Sylvester , yang memberikan kondisi perlu dan cukup untuk kepastian positif bentuk kuadrat: bentuk kuadrat (3) akan menjadi pasti positif jika determinan yang terdiri dari koefisien-koefisiennya dan semua minor diagonal utamanya adalah positif, yaitu. jika peluangnya akan memenuhi persyaratan
.....
Khususnya, untuk sistem linier dengan dua derajat kebebasan, energi potensial dan kondisi kriteria Sylvester akan berbentuk
Dengan cara serupa, kita dapat mempelajari posisi kesetimbangan relatif jika, alih-alih energi potensial, kita memperhitungkan energi potensial sistem tereduksi.
P Contoh penentuan posisi keseimbangan dan mempelajari kestabilannya
Gambar.2
Pertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari sebuah tabung AB, yang merupakan batang OO 1 dihubungkan dengan sumbu rotasi mendatar, dan sebuah bola yang bergerak sepanjang tabung tanpa gesekan dan dihubungkan pada suatu titik A tabung dengan pegas (Gbr. 2). Mari kita tentukan posisi kesetimbangan sistem dan evaluasi kestabilannya berdasarkan parameter berikut: panjang tabung aku 2 = 1 M , panjang batang aku 1 = 0,5 M . panjang pegas yang tidak terdeformasi aku 0 = Kekakuan pegas 0,6 m C= 100 N/m. Berat tabung M 2 = 2 kg, batang - M 1 = 1kg dan bola - M 3 = 0,5kg. Jarak O.A. sama aku 3 = 0,4 m.
Mari kita tuliskan ekspresi energi potensial sistem yang ditinjau. Terdiri dari energi potensial tiga benda yang terletak pada medan gravitasi seragam dan energi potensial pegas yang mengalami deformasi.
Energi potensial suatu benda dalam medan gravitasi sama dengan hasil kali berat benda dan tinggi pusat gravitasinya di atas bidang yang energi potensialnya dianggap sama dengan nol. Misalkan energi potensial sama dengan nol pada bidang yang melalui sumbu rotasi batang OO 1, lalu untuk gravitasi
Untuk gaya elastis, energi potensial ditentukan oleh besarnya deformasi
Mari kita cari kemungkinan posisi kesetimbangan sistem. Nilai koordinat pada posisi setimbang merupakan akar-akar sistem persamaan berikut.
Sistem persamaan serupa dapat disusun untuk sistem mekanis apa pun dengan dua derajat kebebasan. Dalam beberapa kasus, solusi eksak dari sistem dapat diperoleh. Untuk sistem (5) solusi seperti itu tidak ada, sehingga akar-akarnya harus dicari dengan menggunakan metode numerik.
Memecahkan sistem persamaan transendental (5), kita memperoleh dua kemungkinan posisi keseimbangan:
Untuk menilai kestabilan posisi kesetimbangan yang diperoleh, kita akan mencari semua turunan kedua energi potensial terhadap koordinat umum dan darinya kita akan menentukan koefisien kekakuan umum.
DEFINISI
Keseimbangan stabil- ini adalah keseimbangan di mana suatu benda, dikeluarkan dari posisi setimbang dan dibiarkan sendiri, kembali ke posisi sebelumnya.
Hal ini terjadi jika, dengan sedikit perpindahan benda ke segala arah dari posisi semula, resultan gaya-gaya yang bekerja pada benda menjadi bukan nol dan diarahkan ke posisi setimbang. Misalnya, sebuah bola terletak di dasar cekungan bola (Gbr. 1 a).
DEFINISI
Keseimbangan yang tidak stabil- ini adalah keseimbangan di mana suatu benda, yang dikeluarkan dari posisi keseimbangan dan dibiarkan sendiri, akan semakin menyimpang dari posisi keseimbangan.
Dalam hal ini, dengan sedikit perpindahan benda dari posisi setimbang, resultan gaya yang diterapkan padanya tidak nol dan diarahkan dari posisi setimbang. Contohnya adalah sebuah bola yang terletak di titik atas permukaan bola cembung (Gbr. 1 b).
DEFINISI
Ekuilibrium acuh tak acuh- ini adalah keseimbangan di mana suatu benda, yang dikeluarkan dari posisi keseimbangan dan dibiarkan sendiri, tidak mengubah posisinya (keadaan).
Dalam hal ini, dengan perpindahan kecil benda dari posisi semula, resultan gaya yang diterapkan pada benda tetap sama dengan nol. Misalnya, sebuah bola terletak pada permukaan datar (Gbr. 1, c).
Gambar.1. Macam-macam keseimbangan tubuh pada suatu penyangga: a) keseimbangan stabil; b) keseimbangan tidak stabil; c) keseimbangan acuh tak acuh.
Keseimbangan tubuh yang statis dan dinamis
Jika, sebagai akibat dari aksi gaya, benda tidak menerima percepatan, benda tersebut dapat diam atau bergerak beraturan dalam garis lurus. Oleh karena itu, kita dapat berbicara tentang keseimbangan statis dan dinamis.
DEFINISI
Keseimbangan statis- ini adalah keseimbangan ketika, di bawah pengaruh gaya yang diterapkan, benda dalam keadaan diam.
Keseimbangan dinamis- ini adalah keseimbangan ketika, karena aksi gaya, benda tidak mengubah gerakannya.
Lentera yang digantung pada kabel, atau struktur bangunan apa pun, berada dalam keadaan keseimbangan statis. Sebagai contoh keseimbangan dinamis, perhatikan sebuah roda yang menggelinding pada permukaan datar tanpa adanya gaya gesekan.
Mari kita nyatakan persamaan (16) dari § 107 dan (35) atau (38) dalam bentuk:
Mari kita tunjukkan bahwa dari persamaan-persamaan ini, yang merupakan konsekuensi dari hukum-hukum yang ditetapkan dalam § 74, diperoleh semua hasil awal statika.
1. Jika suatu sistem mekanis diam, maka kecepatan semua titiknya sama dengan nol dan, oleh karena itu, O adalah titik mana pun. Maka persamaan (40) menghasilkan:
Jadi, kondisi (40) adalah kondisi yang diperlukan untuk kesetimbangan sistem mekanis apa pun. Hasil ini secara khusus memuat prinsip pemadatan yang dirumuskan dalam § 2.
Namun untuk sistem apa pun, kondisi (40) jelas bukan kondisi keseimbangan yang cukup. Misalnya, jika ditunjukkan pada Gambar. 274 titik bebas, maka di bawah pengaruh gaya mereka dapat bergerak menuju satu sama lain, meskipun kondisi (40) untuk gaya tersebut akan terpenuhi.
Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keseimbangan sistem mekanik akan disajikan dalam § 139 dan 144.
2. Mari kita buktikan bahwa kondisi (40) tidak hanya diperlukan, tetapi juga merupakan kondisi keseimbangan yang cukup bagi gaya-gaya yang bekerja pada benda tegar mutlak. Misalkan benda tegar bebas yang diam mulai ditindaklanjuti oleh sistem gaya yang memenuhi kondisi (40), di mana O adalah sembarang titik, khususnya titik C. Maka persamaan (40) diberikan , dan karena benda tersebut adalah mula-mula diam, kemudian Di titik C tidak bergerak dan benda hanya dapat berputar dengan kecepatan sudut c pada sumbu sesaat tertentu (lihat § 60). Maka menurut rumus (33), benda tersebut akan memiliki . Tetapi ada proyeksi vektor ke sumbu, dan sejak saat itu dan dari mana maka berikut ini dan yaitu ketika kondisi (40) terpenuhi, benda tetap diam.
3. Dari hasil sebelumnya khususnya ketentuan awal 1 dan 2 yang dirumuskan pada § 2, ikutilah, karena terlihat jelas bahwa kedua gaya yang digambarkan pada Gambar. 2, memenuhi kondisi (40) dan seimbang, dan jika kita menambahkan (atau menguranginya) sistem gaya seimbang dengan gaya yang bekerja pada benda, yaitu memenuhi kondisi (40), maka baik kondisi maupun persamaan ini ( 40), penentuan gerak benda tidak akan berubah.
