Untuk menyelesaikan soal bilangan kompleks, Anda perlu memahami definisi dasarnya. Tugas utama Artikel ulasan ini bertujuan untuk menjelaskan apa itu bilangan kompleks dan menyajikan metode penyelesaian masalah dasar bilangan kompleks. Jadi, bilangan kompleks disebut bilangan yang bentuknya z = a + dua, Di mana a, b- bilangan real, yang masing-masing disebut bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks, dan dilambangkan a = Kembali(z), b=Im(z).
Saya disebut satuan imajiner. saya 2 = -1. Secara khusus, bilangan real apa pun dapat dianggap kompleks: a = a + 0i, dimana a nyata. Jika sebuah = 0 Dan b ≠ 0, maka bilangan tersebut biasa disebut murni imajiner.
Sekarang mari kita perkenalkan operasi pada bilangan kompleks.
Pertimbangkan dua bilangan kompleks z 1 = a 1 + b 1 saya Dan z 2 = a 2 + b 2 saya.
Mari kita pertimbangkan z = a + dua.
Himpunan bilangan kompleks memperluas himpunan bilangan real, yang pada gilirannya memperluas himpunan tersebut bilangan rasional dll. Rantai investasi ini dapat dilihat pada gambar: N – bilangan asli, Z - bilangan bulat, Q - rasional, R - nyata, C - kompleks. 
Representasi bilangan kompleks
Notasi aljabar.
Pertimbangkan bilangan kompleks z = a + dua, bentuk penulisan bilangan kompleks ini disebut aljabar. Bentuk pencatatan ini telah kita bahas secara detail pada bagian sebelumnya. Gambar visual berikut ini cukup sering digunakan 
Bentuk trigonometri.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa jumlahnya z = a + dua dapat ditulis berbeda. Jelas sekali a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, karena itu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
disebut argumen bilangan kompleks. Representasi bilangan kompleks ini disebut bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri terkadang sangat mudah digunakan. Misalnya, lebih mudah menggunakannya untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi bilangan bulat, yaitu jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Itu z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, rumus ini disebut rumus Moivre.
Bentuk demonstratif.
Mari kita pertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i- bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, tuliskan dalam bentuk lain z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, persamaan terakhir mengikuti rumus Euler, jadi kita peroleh seragam baru notasi bilangan kompleks: z = kembali iφ, yang disebut indikatif. Bentuk notasi ini juga sangat mudah untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat: z n = r n e diφ, Di Sini N tidak harus berupa bilangan bulat, tetapi dapat berupa bilangan real sembarang. Bentuk notasi ini cukup sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan.
Teorema dasar aljabar yang lebih tinggi
Bayangkan kita mempunyai persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0. Tentu saja diskriminan persamaan ini negatif dan tidak mempunyai akar real, namun ternyata persamaan tersebut mempunyai dua akar kompleks yang berbeda. Jadi, teorema dasar aljabar yang lebih tinggi menyatakan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki setidaknya satu akar yang kompleks. Oleh karena itu, setiap polinomial berderajat n mempunyai tepat n akar kompleks, dengan mempertimbangkan multiplisitasnya. Teorema ini sangat hasil penting dalam matematika dan digunakan secara luas. Akibat sederhana dari teorema ini adalah terdapat n akar derajat n kesatuan yang berbeda.
Jenis tugas utama
Bagian ini akan membahas tipe utama tugas-tugas sederhana ke bilangan kompleks. Secara konvensional, permasalahan yang melibatkan bilangan kompleks dapat dibagi ke dalam kategori berikut.
- Melakukan operasi aritmatika sederhana pada bilangan kompleks.
- Menemukan akar-akar polinomial dalam bilangan kompleks.
- Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.
- Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks.
- Menggunakan bilangan kompleks untuk menyelesaikan masalah lain.
Sekarang mari kita pertimbangkan teknik umum solusi terhadap permasalahan-permasalahan tersebut.
Operasi aritmatika paling sederhana dengan bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan yang dijelaskan di bagian pertama, tetapi jika bilangan kompleks disajikan dalam bentuk trigonometri atau eksponensial, maka dalam hal ini Anda dapat mengubahnya menjadi bentuk aljabar dan melakukan operasi sesuai aturan yang diketahui.
Menemukan akar-akar polinomial biasanya dilakukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat. Misalkan kita mempunyai persamaan kuadrat, jika diskriminannya non-negatif, maka akar-akarnya real dan dapat dicari dengan rumus yang sudah diketahui. Jika diskriminannya negatif, yaitu, D = -1∙a 2, Di mana A adalah bilangan tertentu, maka diskriminannya dapat direpresentasikan sebagai D = (ia) 2, karena itu √D = saya|a|, dan kemudian Anda dapat menggunakannya rumus terkenal untuk akar-akar persamaan kuadrat.
Contoh. Mari kita kembali ke apa yang disebutkan di atas. persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminan - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan akarnya: 
Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat dapat dilakukan dengan beberapa cara. Jika Anda perlu menaikkan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar ke pangkat kecil (2 atau 3), maka Anda dapat melakukannya dengan perkalian langsung, tetapi jika pangkatnya lebih besar (dalam soal seringkali jauh lebih besar), maka Anda perlu melakukannya tuliskan bilangan ini dalam bentuk trigonometri atau eksponensial dan gunakan metode yang sudah diketahui.
Contoh. Perhatikan z = 1 + i dan naikkan ke pangkat sepuluh.
Mari kita tuliskan z dalam bentuk eksponensial: z = √2 e iπ/4.
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kita kembali ke bentuk aljabar: z 10 = -32i.
Mengekstraksi akar bilangan kompleks adalah operasi terbalik sehubungan dengan operasi eksponensial, oleh karena itu dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akar sering digunakan bentuk penulisan bilangan eksponensial.
Contoh. Mari kita temukan semua akar kesatuan derajat 3. Untuk melakukannya, kita akan mencari semua akar persamaan z 3 = 1, kita akan mencari akar-akarnya dalam bentuk eksponensial.
Mari kita substitusikan ke dalam persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Jadi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka φ = 2πk/3.
Akar yang berbeda diperoleh pada φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh karena itu 1, e i2π/3, e i4π/3 adalah akar-akarnya.
Atau dalam bentuk aljabar: 
Jenis masalah yang terakhir mencakup berbagai macam masalah dan tidak ada metode umum untuk menyelesaikannya. Mari kita berikan contoh sederhana dari tugas tersebut:
Temukan jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Meskipun rumusan masalah ini tidak yang sedang kita bicarakan tentang bilangan kompleks, tetapi dengan bantuannya bilangan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk mengatasinya, representasi berikut digunakan: 
Jika sekarang kita mensubstitusi representasi ini ke dalam penjumlahan, maka masalahnya direduksi menjadi menjumlahkan barisan geometri biasa.
Kesimpulan
Bilangan kompleks banyak digunakan dalam matematika, artikel ulasan ini membahas operasi dasar bilangan kompleks dan menjelaskan beberapa jenisnya tugas standar dan dijelaskan secara singkat metode umum solusi mereka, untuk lebih banyak lagi studi rinci Untuk mempelajari lebih lanjut tentang kemungkinan bilangan kompleks, disarankan untuk menggunakan literatur khusus.
Literatur
Bilangan kompleks. Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk z=a+biabRi2=−1
Komentar.
Bilangan real a merupakan bagian real dari bilangan z dan dilambangkan dengan a=Rez
Bilangan real b adalah bagian imajiner dari bilangan z dan dilambangkan dengan b=Imz
Bilangan real mewakili himpunan lengkap bilangan dan operasinya, yang tampaknya cukup untuk menyelesaikan masalah apa pun dalam kursus matematika. Tapi bagaimana menyelesaikan persamaan seperti itu dalam bilangan real x2+1=0? Ada perluasan bilangan lainnya - bilangan kompleks. Dalam bilangan kompleks, Anda dapat mengambil akar dari bilangan negatif.
Bentuk aljabar bilangan kompleks. Bentuk aljabar bilangan kompleks adalah z=a+bi(aRbRi2=−1)
Komentar. Jika a=ReZ=0b=Imz=0, maka bilangan z disebut bilangan imajiner. Jika a=ReZ=0b=Imz=0, maka bilangan z disebut bilangan imajiner murni
Penafsiran geometri bilangan real adalah garis real. Selain itu, pada garis nyata “tidak ada ruang untuk titik-titik baru”, yaitu, setiap titik pada sumbu nyata berhubungan dengan bilangan real. Oleh karena itu, tidak mungkin lagi menempatkan bilangan kompleks pada baris ini, tetapi Anda dapat mencoba mempertimbangkannya bersama sumbu nyata, di mana kita akan memplot bagian real dari bilangan kompleks, sumbu lain yang tegak lurus terhadapnya; kita akan menyebutnya sumbu imajiner. Maka sembarang bilangan kompleks z = a + ib dapat diasosiasikan dengan sebuah titik pada bidang koordinat. Kita akan memplot bagian nyata bilangan kompleks pada sumbu absis, dan bagian imajiner pada sumbu ordinat. Dengan cara ini, korespondensi satu-satu terbentuk antara semua bilangan kompleks dan semua titik pada bidang. Jika korespondensi seperti itu dibangun, maka bidang koordinat ditelepon bidang kompleks. Interpretasi bilangan kompleks z = a + b i adalah vektor OA dengan koordinat (a,b) yang berawal di titik O(0,0) dan berakhir di titik A(a,b) 
Angka konjugasi. Bilangan z=a+bi dan z=a−bi disebut bilangan kompleks konjugasi
Milik. Jumlah dan hasil kali dua bilangan kompleks konjugasi adalah bilangan real: z+z=2azz=a2+b2
Angka yang berlawanan. Bilangan z=a+bi dan −z=−a−bi disebut bilangan kompleks berlawanan.
Milik. Jumlah dua bilangan kompleks yang berlawanan adalah nol:
z+(−z)=0
Angka yang sama. Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian riil dan bagian imajinernya sama.
Tindakan dengan bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk aljabar:
Sifat penjumlahan: Jumlah dua bilangan kompleks z1=a+bi dan z2=c+di akan menjadi bilangan kompleks dengan bentuk z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d )Saya
Contoh: 5+3i+3−i=8+2i
Sifat pengurangan: Selisih dua bilangan kompleks z1=a+bi dan z2=c+di akan menjadi bilangan kompleks dengan bentuk z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) Saya
Contoh: . 5+3i−3−i=2+4i
Sifat perkalian: Hasil kali dua bilangan kompleks z1=a+bi dan z2=c+di akan menjadi bilangan kompleks dengan bentuk z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i
Contoh: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i
Sifat pembagian: Hasil bagi dua bilangan kompleks z1=a+bi dan z2=c+di adalah bilangan kompleks dengan bentuk z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi
Contoh: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i
Operasi dengan bilangan kompleks diberikan dalam bentuk trigonometri
Penulisan bilangan kompleks z = a + bi dalam bentuk z=rcos+isin disebut bentuk trigonometri bilangan kompleks.
Modulus bilangan kompleks: r=a2+b2
Argumen bilangan kompleks: cos=rasin=rb 
Bilangan imajiner dan kompleks
Perhatikan persamaan kuadrat tidak lengkap:
x 2 = sebuah,
dimana a adalah besaran yang diketahui. Solusi persamaan ini dapat ditulis sebagai:
Ada tiga kemungkinan kasus di sini:
1). Jika a = 0, maka x = 0.
2). Jika sebuah – angka positif, lalu itu akar kuadrat memiliki dua arti: yang satu positif, yang lain negatif; misalnya persamaan x 2 = 25 mempunyai dua akar: 5 dan – 5. Seringkali ditulis sebagai akar ganda:
3).Jika a adalah bilangan negatif, maka persamaan ini tidak memiliki solusi antara bilangan positif dan negatif yang kita ketahui, karena pangkat dua suatu bilangan adalah bilangan non-negatif (pikirkan!). Namun jika kita ingin memperoleh penyelesaian persamaan x 2 = a juga untuk nilai-nilai negatif Nah, kita terpaksa memperkenalkan bilangan tipe baru - bilangan imajiner. Jadi, bilangan yang pangkat kedua bilangan negatif disebut bilangan imajiner. Berdasarkan definisi bilangan imajiner ini, kita juga dapat mendefinisikan satuan imajiner: 
Maka untuk persamaan x 2 = – 25 kita mendapatkan dua akar imajiner:
Mengganti kedua akar ini ke dalam persamaan kita, kita memperoleh identitasnya. (Memeriksa!). Berbeda dengan bilangan imajiner, semua bilangan lainnya (positif dan negatif, bilangan bulat dan pecahan, rasional dan irasional) disebut real atau bilangan real. Jumlah bilangan riil dan bilangan imajiner disebut bilangan kompleks dan dilambangkan dengan:
Dimana a, b – bilangan real, Saya - satuan imajiner.
Contoh bilangan kompleks: 3 + 4 i, 7 – 13,6 i, 0 + 25 i = 25 i, 2 + i.
Izinkan kami mengingatkan Anda informasi yang diperlukan tentang bilangan kompleks.
Bilangan kompleks adalah ekspresi dari bentuk A + dua, Di mana A, B adalah bilangan real, dan Saya- yang disebut satuan imajiner, simbol yang kuadratnya sama dengan –1, yaitu Saya 2 = –1. Nomor A ditelepon bagian nyata, dan nomornya B - bagian imajiner bilangan kompleks z = A + dua. Jika B= 0, maka sebaliknya A + 0Saya mereka hanya menulis A. Dapat dilihat bahwa bilangan realnya adalah kasus khusus bilangan kompleks.
Operasi aritmatika pada bilangan kompleks sama dengan bilangan real: dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi. Penjumlahan dan pengurangan terjadi menurut aturan ( A + dua) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)Saya, dan perkalian mengikuti aturan ( A + dua) · ( C + di) = (ac – bd) + (iklan + SM)Saya(di sini digunakan itu Saya 2 = –1). Nomor = A – dua ditelepon konjugat kompleks Ke z = A + dua. Persamaan z · = A 2 + B Gambar 2 memungkinkan Anda memahami cara membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya (yang bukan nol):
(Misalnya, 
.)
Bilangan kompleks memiliki kemudahan dan visual representasi geometris: nomor z = A + dua dapat direpresentasikan dengan vektor dengan koordinat ( A; B) pada Pesawat Cartesian(atau, yang hampir sama, titik - ujung vektor dengan koordinat ini). Dalam hal ini, jumlah dua bilangan kompleks digambarkan sebagai jumlah dari vektor-vektor yang bersesuaian (yang dapat dicari dengan menggunakan aturan jajaran genjang). Menurut teorema Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( A; B) sama dengan . Besaran ini disebut modul bilangan kompleks z = A + dua dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat vektor ini dengan arah positif sumbu x (dihitung berlawanan arah jarum jam) disebut argumen bilangan kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Argumennya tidak didefinisikan secara unik, tetapi hanya sampai penjumlahan kelipatan 2 π
radian (atau 360°, jika dihitung dalam derajat) - lagipula, jelas bahwa rotasi sebesar sudut di sekitar titik asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjangnya R membentuk sudut φ
dengan arah sumbu x positif, maka koordinatnya sama dengan ( R karena φ
; R dosa φ
). Dari sini ternyata notasi trigonometri bilangan kompleks: z = |z| · (karena(Arg z) + Saya dosa (Arg z)). Seringkali lebih mudah untuk menulis bilangan kompleks dalam bentuk ini, karena sangat menyederhanakan perhitungan. Mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri sangat sederhana: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (karena(Arg z 1 + Arg z 2) + Saya dosa (Arg z 1 + Arg z 2)) (saat mengalikan dua bilangan kompleks, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan). Dari sini ikuti rumus Moivre: z n = |z|N· (karena( N· (Arg z)) + Saya dosa( N· (Arg z))). Dengan menggunakan rumus ini, mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar-akar derajat apa pun dari bilangan kompleks. akar ke-n pangkat dari nomor z- ini adalah bilangan kompleks w, Apa tidak = z. Hal ini jelas bahwa 
, dan , dimana k dapat mengambil nilai apa pun dari himpunan (0, 1, ..., N– 1). Artinya selalu ada yang tepat N akar N derajat suatu bilangan kompleks (pada bidang terletak pada titik-titik beraturan N-gon).
