Misalkan n variabel acak x 1 , x 2 ,….,ξ n dikaitkan dengan pengujian. Mari kita tunjukkan secara singkat bagaimana konsep yang diperkenalkan dalam bab ini ditransfer ke kasus ini.

1. Fungsi distribusi gabungan variabel acak x 1 , x 2 ,….,ξ n adalah fungsinya

Kepadatan probabilitas gabungan dari variabel acak x 1 , x 2 ,….,ξ n adalah fungsinya

Ada kesetaraan

2. Mari kita tunjukkan a saya, σ j ekspektasi matematis dan deviasi standar suatu variabel acak ξ i, ke ij – kovarians variabel acak ξ i, ξ j:

ditelepon matriks dispersi variabel acak x 1, x 2,….,ξ n. Mari kita perhatikan sifat-sifat matriks D berikut ini.

1 0 . Elemen diagonal utama matriks D adalah varians dari variabel acak x 1, x 2,….,ξ n:

2 0 . Matriks D simetris: k ij =k ji .

3 0 . Nilai eigen matriks D tidak negatif.

Sifat-sifat 1 0, 2 0 sudah jelas. Kami mengundang pembaca untuk memeriksa properti 3 0 untuk kasus khusus n=2.

(28)

dimana r adalah koefisien korelasi variabel acak x 1, x 2.

3. Dalam §3 bab ini, konsep distribusi normal gabungan variabel acak x 1, x 2 diperkenalkan - lihat rumus (25). Konsep ini digeneralisasikan sebagai berikut. Variabel acak x 1 , x 2 ,….,ξ n dikatakan mempunyai distribusi normal gabungan jika kepadatan probabilitas gabungan diberikan oleh rumus

dimana adalah determinan matriks dispersi D,

dengan ij – elemen matriks C=D -1.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa dalam kasus khusus n=2 definisi ini bertepatan dengan definisi (25); Untuk melakukannya, Anda perlu menggunakan rumus (28) untuk matriks D dan rumus inversi untuk matriks orde kedua dengan determinan bukan nol:

(Kami mengajak pembaca untuk memeriksanya sendiri).

Pernyataan berikut ini benar: jika x 1, x 2,….,ξ n berdistribusi normal gabungan, maka masing-masing secara terpisah juga normal; jika masing-masing ξ i normal dan x 1 , x 2 ,….,ξ n saling bebas, maka distribusi gabungannya juga normal, dan rumusnya berlaku

dimana f i (x) adalah kepadatan probabilitas ξ i . Dalam situasi umum, normalitas setiap individu ξ i tidak berarti normalitas distribusi gabungan.

Konsep distribusi normal gabungan memainkan peran penting dalam penerapan teori probabilitas.

Bab 5. Hukum bilangan besar. Batasi teorema

Di bawah hukum bilangan besar memahami pola di dalamnya besar sekali fenomena acak, ketika interaksi sejumlah besar faktor acak menghasilkan hasil yang tidak acak. Contoh pola jenis ini diberikan dalam pendahuluan: proporsi kemunculan suatu peristiwa acak dalam serangkaian percobaan identik independen yang panjang praktis tidak acak. Contoh luar biasa lainnya: ternyata dalam beberapa kasus hukum distribusi jumlah sejumlah besar suku acak tidak bergantung pada hukum distribusi suku dan dapat diprediksi! Tujuan dari teorema limit dalam teori probabilitas adalah untuk memberikan rumusan dan justifikasi yang tegas terhadap berbagai bentuk hukum bilangan besar. Dalam bab ini kita akan melihat secara singkat jenis hasil ini.

Biarkan ruang hasil dasar  dari percobaan acak sedemikian rupa sehingga setiap hasil  i j dikaitkan dengan nilai variabel acak  sama dengan X i dan nilai variabel acak  sama dengan kamu J.

1. Bayangkan sekumpulan besar bagian-bagian yang berbentuk batang. Percobaan terdiri dari memilih satu batang secara acak. Batang ini memiliki panjang, yang akan kami nyatakan dengan , dan ketebalan dengan - (Anda dapat menentukan parameter lain - volume, berat, hasil akhir, dinyatakan dalam satuan standar).

2. Jika kita mempertimbangkan saham dari dua perusahaan yang berbeda, maka pada hari perdagangan bursa tertentu, masing-masing perusahaan tersebut dicirikan oleh profitabilitas tertentu. Variabel acak  dan  adalah return saham perusahaan-perusahaan tersebut.

Dalam kasus ini, kita dapat berbicara tentang distribusi gabungan dari variabel acak  dan , atau tentang variabel acak “dua dimensi”.

Jika  dan  bersifat diskrit dan mengambil sejumlah nilai berhingga ( – N nilai, dan  – k nilai), maka hukum distribusi gabungan variabel acak  dan  dapat ditentukan jika setiap pasangan bilangan X Saya , kamu J (Di mana X Saya termasuk dalam himpunan nilai , dan kamu J-kumpulan nilai ) untuk mengaitkan probabilitas P Saya J, sama dengan peluang suatu kejadian yang menggabungkan semua hasil  Saya J(dan hanya terdiri dari hasil-hasil ini), yang menghasilkan nilai  = xi;  = kamu J.

Hukum distribusi ini dapat dijabarkan dalam bentuk tabel:

Jelas sekali

Jika kita jumlahkan semuanya R Saya J V Saya-baris ke-th, maka kita memperoleh peluang bahwa variabel acak  akan mengambil nilai x i. R Saya J V J Begitu pula jika kita jumlahkan semuanya

kolom -th, kita dapatkan kamu probabilitas bahwa  mengambil nilai .

J X Saya  P Saya (Saya Korespondensi N= 1,2,, kamu J  P J (J Korespondensi k) menentukan hukum distribusi variabel acak .

Jelas sekali ,.

Sebelumnya kita telah mengatakan bahwa variabel acak  dan  adalah independen jika

pij=PiPj (saya= 1,2, ,N;j= 1,2,, k).

Jika hal ini tidak benar, maka  dan  saling bergantung.

Apa ketergantungan variabel acak  dan  dan bagaimana cara menentukannya dari tabel?

Pertimbangkan kolomnya kamu 1. X Saya Setiap nomor

P Saya / 1 = (1)

cocok dengan nomornya yang kita sebut probabilitas bersyarat = Saya X kamu dengan = P Saya 1. yang kita sebut probabilitas bersyarat = Saya Harap dicatat bahwa ini bukanlah suatu kemungkinan.

kejadian =

X, dan bandingkan rumus (1) dengan rumus probabilitas bersyarat yang sudah diketahui.R, dan bandingkan rumus (1) dengan rumus probabilitas bersyarat yang sudah diketahui./ 1 , (Saya Korespondensi N)

Saya kamu=1,2,,

kita akan menyebut distribusi kondisional dari variabel acak  dengan = kamu 2 ; kamu 1. kamu N Jelas sekali . X Saya Hukum distribusi kondisional serupa dari variabel acak  dapat dibangun untuk semua nilai  lainnya yang sama dengan P Saya / J =().

3 ,, kamu J

, cocok dengan nomornya kamu J

probabilitas bersyarat X Saya Tabel menunjukkan hukum kondisional distribusi variabel acak  pada =

(J Korespondensi k)

Anda dapat memperkenalkan konsep ekspektasi matematis bersyarat  ketika  = X Saya :

Perhatikan bahwa  dan  ekuivalen. Anda dapat memperkenalkan distribusi bersyarat  dengan = kepatuhan(/ = kamu J Anda juga dapat memperkenalkan konsep ekspektasi matematis bersyarat dari variabel acak  untuk = J Korespondensi k Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa jika  dan  saling bebas, maka semua hukum distribusi bersyarat adalah sama dan bertepatan dengan hukum distribusi  (kita ingatkan bahwa hukum distribusi  didefinisikan dalam tabel (*) oleh yang pertama dan terakhir kolom). Dalam hal ini, jelas bahwa semua ekspektasi matematis bersyarat adalah sama

M

) pada

, yang sama dengan M.

Contoh I. Misalkan hukum distribusi gabungan dua variabel acak  dan  diberikan oleh tabel berikut. Di sini, seperti disebutkan sebelumnya, kolom pertama dan terakhir menentukan hukum distribusi variabel acak , dan baris pertama dan terakhir menentukan hukum distribusi variabel acak .

Poligon distribusi bersyarat dapat digambarkan pada grafik tiga dimensi (Gbr. 1).

Di sini ketergantungan hukum distribusi bersyarat  pada nilai  terlihat jelas.

Contoh II.

Р(=2; =0)= Р(=0; =2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.

Jelas juga Р(=3; =0)=0.

Contoh III.

Mari kita perhatikan hukum distribusi gabungan  dan , yang diberikan oleh tabel

Dalam hal ini, kondisi P(= X Saya ; =kamu J)=P(= X Saya)P(= kamu J), Saya, J =1,2,3

Mari kita buat hukum distribusi bersyarat

Hukum distribusi bersyarat  tidak berbeda satu sama lain ketika =1,2,3 dan bertepatan dengan hukum distribusi variabel acak .

Dalam hal ini,  dan  saling bebas.

Ketergantungan antara variabel acak  dan  dicirikan oleh ekspektasi matematis dari produk deviasi  dan  dari pusat distribusinya (kadang-kadang disebut ekspektasi matematis dari variabel acak), yang disebut koefisien kovarians atau sekadar kovarians. cov(; ) =((– cov(; ) =)(– cov(; ) =))

M X 1 , X 2 , X 1. X N ,  =  kamu 1 , kamu 2 , kamu Misalkan  =  kamu k 3 ,,

.

Kemudian

cov(; )=(2) X Saya – cov(; ) =)( kamu J – cov(; ) = Rumus ini dapat diartikan sebagai berikut.

Jika untuk nilai  yang besar kemungkinannya lebih besar, dan untuk nilai  yang kecil kemungkinannya lebih besar, maka pada ruas kanan rumus (2) suku positif mendominasi , dan kovariansnya bernilai positif.

Jika produk ( : ), terdiri dari faktor-faktor yang berbeda tandanya, yaitu hasil percobaan acak yang menghasilkan nilai  yang besar umumnya menghasilkan nilai  yang kecil dan sebaliknya, maka kovarians mengambil nilai negatif yang besar.

Dalam kasus pertama, biasanya berbicara tentang hubungan langsung: dengan peningkatan , variabel acak  cenderung meningkat. X Saya – cov(; ) =)( kamu J – cov(; ) =)P Saya J Dalam kasus kedua kita berbicara tentang umpan balik

ketika  meningkat, variabel acak  cenderung menurun atau turun. P(( = X Saya)∩( = kamu J)) = P( = X Saya)P( = kamu J) (Saya Korespondensi N; J Korespondensi k Jika kira-kira kontribusi yang sama terhadap jumlah tersebut diberikan oleh produk positif dan negatif (

, maka kita dapat mengatakan bahwa secara total mereka akan “membatalkan” satu sama lain dan kovariansnya akan mendekati nol. Dalam hal ini, ketergantungan satu variabel acak terhadap variabel acak lainnya tidak terlihat.

Mudah untuk menunjukkan bahwa jika ), maka cov(; )= 0..

Bukti (untuk variabel acak diskrit dengan jumlah nilai yang terbatas).

Lebih mudah untuk merepresentasikan kovarians dalam bentuk

cov(; )= cov(; ) =(– cov(; ) =–cov(; ) =+ cov(; ) = cov(; ) =)=cov(; ) =()– cov(; ) =( cov(; ) =)–cov(; ) =(cov(; ) =)+ cov(; ) =(cov(; ) = cov(; ) =)=

=cov(; ) =()– cov(; ) =cov(; ) =– cov(; ) = cov(; ) =+cov(; ) = cov(; ) ==cov(; ) =()– cov(; ) = cov(; ) =

Kovariansi dua variabel acak sama dengan ekspektasi matematis dari produknya dikurangi produk ekspektasi matematisnya.

Sifat ekspektasi matematis berikut ini mudah dibuktikan: jika  dan  adalah variabel acak bebas, maka kepatuhan()= kepatuhan kepatuhan. cov(; ) =() = )

(Buktikan sendiri dengan menggunakan rumus Jadi, untuk variabel acak independen  dan  cov(;)=0. Tugas

.

1. Sebuah uang logam dilempar sebanyak 5 kali. Variabel acak  – jumlah lambang yang dijatuhkan, variabel acak  – jumlah lambang yang dijatuhkan dalam dua lemparan terakhir. Bangun hukum distribusi gabungan variabel acak, buat hukum distribusi bersyarat  untuk nilai  yang berbeda.

Temukan ekspektasi kondisional dan kovarians dari  dan .

2. Dua kartu diambil secara acak dari setumpuk 32 lembar.

Variabel acak  adalah jumlah kartu as dalam sampel, variabel acak  adalah jumlah raja dalam sampel. Buatlah hukum distribusi gabungan untuk  dan , buatlah hukum distribusi bersyarat untuk  untuk nilai  yang berbeda.

Temukan ekspektasi kondisional dan kovarians dari  dan .

Poligon distribusi CBX - jumlah poin yang diperoleh saat melempar dadu.

3Baris distribusi, poligon distribusi

Cara atau bentuk penyajian hukum distribusi SW bisa berbeda-beda. Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi DSV X adalah deret distribusi. Seri distribusi probabilitas DSV X adalah tabel yang mencantumkan semua kemungkinan nilai SV dan probabilitas CB akan mengambil nilai tersebut. Karena peristiwa-peristiwa tersebut tidak sejalan, karena peristiwa-peristiwa tersebut hanya dapat mengambil satu makna sebagai hasil pengalaman, dan membentuk suatu kelompok peristiwa yang lengkap, maka. Oleh karena itu, untuk memeriksa kebenaran tabel, perlu menjumlahkan semua probabilitas.

Untuk lebih jelasnya, rangkaian distribusi disajikan secara grafis. Untuk melakukan ini, semua kemungkinan nilai SV diplot di sepanjang sumbu

0x , dan sepanjang sumbu

0у

Poligon distribusi dapat mempunyai bentuk yang bermacam-macam.

Contoh- Peluang seorang taruna lulus ujian semester pada sesi disiplin ilmu A dan B masing-masing adalah 0,7 dan 0,8. Menyusun deret distribusi dan membuat poligon untuk distribusi jumlah ujian semester yang diambil seorang taruna.

Larutan Nilai yang mungkin C B X - jumlah ujian yang lulus - 0, I, 2.

Biarlah kadet itu lolos Saya ujian ke-( Saya=1, 2).

Dengan asumsi dan independen, kita akan mempunyai kemungkinan bahwa

bahwa taruna tidak akan lulus ujian

yang akan lulus satu ujian

bahwa dia akan lulus dua ujian

Deret distribusi dan poligon distribusi akan terlihat seperti ini

Hukum distribusi TCO dapat ditentukan dalam berbagai bentuk. Salah satu bentuk penugasan adalah tabel distribusi SRES.

Misalkan X dan Y adalah DSV, yang nilai kemungkinannya adalah , di mana,. Kemudian distribusi sistem SV tersebut dapat dikarakterisasi dengan menunjukkan probabilitas bahwa SV X akan mengambil suatu nilai dan, pada saat yang sama, SV Y akan mengambil suatu nilai. Probabilitas dirangkum dalam bentuk tabel

Tabel seperti ini disebut tabel distribusi SRES (matriks) dengan jumlah kemungkinan nilai yang terbatas. Semua kejadian yang mungkin terjadi merupakan kumpulan lengkap kejadian-kejadian yang tidak kompatibel, jadi

Kolom atau baris yang dihasilkan dari tabel distribusi masing-masing mewakili distribusi komponen univariat.

Memang benar bahwa distribusi SCV satu dimensi dapat diperoleh dengan menghitung probabilitas suatu kejadian sebagai jumlah dari probabilitas kejadian-kejadian yang tidak sesuai.

Juga

Dengan demikian Untuk mencari probabilitas dari tabel distribusi bahwa SV satu dimensi telah mengambil nilai tertentu, Anda perlu menjumlahkan probabilitas dari baris (kolom) tabel ini yang sesuai dengan nilai tersebut.

Jika kita menetapkan nilai suatu argumen, misalnya set , maka distribusi SVX yang dihasilkan disebut distribusi bersyarat X dalam kondisi.

Probabilitas dari distribusi ini akan menjadi probabilitas bersyarat dari suatu kejadian, yang ditemukan mengingat peristiwa tersebut terjadi.

Dari definisi probabilitas bersyarat

Demikian pula, distribusi VCA yang lebih bersyarat pada kondisi tersebut sama dengan

Distribusi standar variabel acak.

Distribusi seragam dan ciri-cirinya.

Hukum distribusi variabel acak dan vektor acak

Penting juga untuk mengetahui seberapa besar probabilitas SV mengambil nilai-nilai ini, dan secara lebih umum, berapa probabilitas SV mengenai interval tertentu dari himpunan titik sumbu. Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi DSV X adalah deret distribusi..

Interval biasanya dipertimbangkan

Jika semua kemungkinan nilai SV diketahui, dan jika dimungkinkan untuk mencari peluang berbagai kejadian yang terkait dengan SV, mis. temukan peluang untuk jatuh ke dalam interval tertentu, maka dari sudut pandang probabilistik segala sesuatu tentang SV ini diketahui.

Hukum distribusi SV adalah setiap hubungan yang membentuk hubungan antara nilai-nilai SV yang mungkin dan probabilitas yang sesuai.

Mereka mengatakan tentang SV bahwa ia tunduk pada hukum distribusi ini. Itu dapat ditentukan secara analitis, tabel, grafik.

Ciri-ciri vektor acak juga merupakan hukum distribusinya.

Hukum distribusi TCO adalah hubungan yang membentuk hubungan antara area kemungkinan nilai TCO dan probabilitas munculnya sistem di area tersebut.

Seperti halnya satu SV, hukum distribusi SV dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk.

Fungsi distribusi gabungan variabel acak adalah fungsi yang bergantung pada n variabel nyata sehingga Proposisi 4.1 (Tanpa bukti) . Mari kita daftar beberapa sifat fungsi distribusi beberapa variabel acak: Monotonisitas untuk setiap variabel, misalnya,

Batasan pada ``minus tak terhingga'': jika dalam fungsi distribusi gabungan kita menetapkan semua variabel kecuali satu, dan mengarahkan variabel sisanya ke sana, maka batasnya sama dengan nol. Misalnya, untuk Batas tetap di ``plus tak terhingga." Jika semua variabel cenderung, dalam batas kita mendapatkan satu. Jika kita menetapkan semua variabel kecuali satu, yang cenderung kita ke sana, kita mendapatkan fungsi distribusi himpunan yang lebih kecil variabel acak. Misalnya, Garis regresi, korelasi Jika dua variabel acak X dan Y mempunyai fungsi regresi linier terhadap satu sama lain, maka nilai X dan Y dikatakan berhubungan.

ketergantungan korelasi linier. Dalil. Jika suatu variabel acak dua dimensi (X, Y) berdistribusi normal, maka X dan Y dihubungkan dengan korelasi linier.

Tiga momen pertama (varians ekspektasi dan momen sentral ketiga) dari jumlah c2 masing-masing sama dengan f, 2f, 8f. Jumlah dua variabel acak independen c1^2 dan c2^2, dengan derajat kebebasan f^1 dan f^2, mematuhi “H.-k.” R. dengan derajat kebebasan f^1 + f^2. Contoh "H.-k." R. dapat berfungsi sebagai distribusi kuadrat variabel acak yang mengikuti distribusi Rayleigh dan distribusi Maxwell. Dalam istilah "H.-K." R. dengan bilangan derajat kebebasan genap, distribusi Poisson dinyatakan: Jika jumlah suku f dari jumlah c2 bertambah tanpa batas, maka menurut teorema limit pusat, distribusi rasio yang dinormalisasi konvergen ke distribusi normal standar : Di mana

Konsekuensi dari fakta ini adalah relasi limit lain, yang sesuai untuk menghitung Ff (x) untuk nilai f yang besar:

Distribusi siswa

Distribusi ini mendapatkan namanya dari nama samaran Student, yang digunakan oleh ilmuwan Inggris Gosset untuk menandatangani karyanya di bidang statistik. Biarkan menjadi variabel acak normal standar independen. Distribusi Student dengan derajat kebebasan merupakan distribusi dari variabel acak berikut: (46) Jika kita mengingat kembali variabel acak yang diperkenalkan dengan rumus (44), kita dapat mengatakan bahwa relasi tersebut mempunyai distribusi Student. Massa jenis distribusi ini merupakan fungsi simetris yang diberikan oleh rumus. Bentuk grafik fungsi menyerupai grafik massa jenis hukum normal standar, tetapi dengan penurunan “ekor” yang lebih lambat. Ketika barisan fungsi konvergen ke suatu fungsi itulah kepadatan distribusi. Untuk memahami mengapa fakta ini terjadi, Anda harus memperhatikan fakta bahwa, menurut hukum bilangan besar, penyebut ekspresi (46) cenderung

Misalkan ruang hasil dasar W dari suatu percobaan acak sedemikian rupa sehingga setiap hasil w i j dikaitkan dengan nilai variabel acak X sama dengan X i dan nilai variabel acak Y sama dengan kamu J.

1. Bayangkan sebuah paket bagian yang dicirikan oleh 2 dimensi keseluruhan. Eksperimen acak terdiri dari pemilihan satu bagian secara acak. Bagian ini memiliki panjang, yang akan kita nyatakan dengan X, dan ketebalan, Y

2. Jika hasil percobaannya adalah terpilihnya seorang siswa untuk dinominasikan untuk peningkatan beasiswa. Kemudian X dan Y adalah nilai rata-rata dua sesi terakhir

Dalam hal ini, kita dapat berbicara tentang distribusi gabungan variabel acak X dan Y atau tentang variabel acak “dua dimensi”.

Jika X dan Y bersifat diskrit dan mengambil sejumlah nilai berhingga (X – N nilai, dan Y – M nilai), maka hukum distribusi gabungan variabel acak X dan Y dapat ditentukan jika setiap pasangan bilangan x saya, kamu j(Di mana x saya termasuk dalam himpunan nilai X, dan kamu j-kumpulan nilai Y) agar sesuai dengan probabilitas hal ij, sama dengan peluang suatu kejadian yang menggabungkan semua hasil w aku j(dan hanya terdiri dari hasil-hasil ini), yang menghasilkan nilai X = x saya; kamu= kamu j.

Hukum distribusi ini dapat dijabarkan dalam bentuk tabel:

dan baris pertama dan terakhir memberikan deret distribusi variabel acak Y. Tabel tersebut adalah hukum distribusi variabel acak diskrit dua dimensi jika jumlah probabilitas pada baris terakhir atau kolom terakhir (dan, karenanya, jumlah probabilitas dalam tabel) = 1.

Dengan menggunakan tabel ini, dengan analogi kasus satu dimensi, fungsi distribusi gabungan dapat ditentukan. Untuk melakukan ini, perlu menjumlahkan pij atas semua i, j yang mana x saya< x, y j < y

Mari kita pertimbangkan contoh(“TV” MSTU dinamai Bauman)

Sesuai dengan skema Bernoulli, dengan peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q =1-p, dilakukan 2 pengujian.

Pertimbangkan distribusi vektor dua dimensi (X 1, X 2), yang masing-masing dapat mengambil 2 nilai: 0 atau 1 (jumlah keberhasilan dalam percobaan yang bersangkutan). Jumlah keberhasilan dalam kedua percobaan adalah 0 ketika terjadi 2 kegagalan, dan ini, karena independensi, sama dengan qq. Itu sebabnya

dan pada perpotongan kolom “0” kita tulis q 2.

Fungsi distribusi gabungan F (x 1 , x 2) mendefinisikan permukaan dalam ruang tiga dimensi.

Definisi. Hukum distribusi bersyarat(X |Y=y j)(j mempertahankan nilai yang sama untuk semua nilai X) adalah himpunan probabilitas bersyarat p(x 1 |y j), p(x 2 |y j),… p(x n |y j) , dan probabilitas bersyarat dihitung menggunakan rumus:

р(X=x i |Y=y j) = р(X=x i ,Y=y j) / р(Y=y j)

Contoh. Kuantitas dua dimensi diskrit ditentukan

р(X=x 1 |Y=y 1) = р(X=x 1,Y=y 1) / р(Y=y 1)= 0,15/0,8 = 3/16

р(X=x 2 |Y=y 1) = р(X=x 2,Y=y 1) / р(Y=y 1)=0,3/0,8 = 3/8

р(X=x 3 |Y=y 1) = р(X=x 3,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0,35/0,8 = 7/16

Periksa: jumlah probabilitasnya adalah 1.

Komentar. Dengan cara ini, independensi variabel acak dapat diperiksa. Mirip dengan kasus independensi suatu peristiwa, independensi variabel acak dapat ditentukan melalui probabilitas bersyarat. Yang tersisa hanyalah membandingkan hukum distribusi bersyarat dan tidak bersyarat.

Contoh.

Misalkan sebuah kotak berisi dua kartu bernomor 1 dan tiga kartu bernomor 2. Dua kartu diambil satu demi satu. X adalah angka pada kartu pertama. Y – ke yang kedua. Temukan hukum distribusi gabungan (X,Y)

Kita menggunakan rumus hasil kali probabilitas P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10

Jumlah probabilitas = 1.

Misalkan n variabel acak  1,  2,….,ξ n dikaitkan dengan pengujian. Mari kita tunjukkan secara singkat bagaimana konsep yang diperkenalkan dalam bab ini ditransfer ke kasus ini.

1. Fungsi distribusi gabungan variabel acak  1,  2,….,ξ n adalah fungsi

Kepadatan probabilitas gabungan dari variabel acak  1,  2,….,ξ n adalah fungsinya

Ada kesetaraan

2. Mari kita tunjukkan A Saya , σ J ekspektasi matematis dan deviasi standar suatu variabel acak ξ i, ke ij – kovarians variabel acak ξ i, ξ j:

ditelepon matriks dispersi variabel acak  1,  2,….,ξ n. Mari kita perhatikan sifat-sifat matriks D berikut ini.

1 0 . Elemen diagonal utama matriks D merupakan varians dari variabel acak  1,  2,….,ξ n:

2 0 . Matriks D simetris: k ij =k ji .

3 0 . Nilai eigen matriks D tidak negatif.

Sifat-sifat 1 0, 2 0 sudah jelas. Kami mengundang pembaca untuk memeriksa properti 3 0 untuk kasus khusus n=2.

(28)

Dalam hal ini matriks D berbentuk

dimana r adalah koefisien korelasi variabel acak  1,  2.

3. Dalam §3 bab ini, konsep distribusi normal gabungan variabel acak  1,  2 diperkenalkan - lihat rumus (25). Konsep ini digeneralisasikan sebagai berikut. Variabel acak  1,  2,….,ξ n dikatakan mempunyai distribusi normal gabungan jika kepadatan probabilitas gabungan diberikan oleh rumus Di mana

- determinan matriks dispersi D,

dengan ij – elemen matriks C=D -1.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa dalam kasus khusus n=2 definisi ini bertepatan dengan definisi (25); Untuk melakukannya, Anda perlu menggunakan rumus (28) untuk matriks D dan rumus inversi untuk matriks orde kedua dengan determinan bukan nol:

(Kami mendorong pembaca untuk memeriksanya sendiri).

Pernyataan berikut ini benar: jika  1,  2,….,ξ n berdistribusi normal gabungan, maka masing-masing secara terpisah juga normal; jika masing-masing ξ i normal dan pada saat yang sama  1,  2,....,ξ n saling bebas, maka distribusi gabungannya juga normal, dan rumusnya berlaku

dimana f i (x) adalah kepadatan probabilitas ξ i . Dalam situasi umum, normalitas setiap individu ξ i tidak berarti normalitas distribusi gabungan.

Bab 5. Hukum bilangan besar. Batasi teorema

Konsep distribusi normal gabungan memainkan peran penting dalam penerapan teori probabilitas. hukum bilangan besar Di bawah besar sekali fenomena acak, ketika interaksi sejumlah besar faktor acak menghasilkan hasil yang tidak acak. Contoh pola jenis ini diberikan dalam pendahuluan: proporsi kemunculan suatu peristiwa acak dalam serangkaian percobaan identik independen yang panjang praktis tidak acak. Contoh luar biasa lainnya: ternyata dalam beberapa kasus hukum distribusi jumlah sejumlah besar suku acak tidak bergantung pada hukum distribusi suku dan dapat diprediksi! Tujuan dari teorema limit dalam teori probabilitas adalah untuk memberikan rumusan dan justifikasi yang tegas terhadap berbagai bentuk hukum bilangan besar. Dalam bab ini kita akan melihat secara singkat jenis hasil ini.

§1. Hukum bilangan besar dalam bentuk Chebyshev

Dalam prakteknya dikenal pola berikut, yang dapat dirumuskan sebagai berikut: mean aritmatika suatu bilangan besar mandiridari tipe yang sama faktor acak praktis bukan suatu kebetulan. Misalnya, rata-rata aritmatika dari sejumlah besar pengukuran besaran yang sama secara praktis tidak berbeda dari nilai sebenarnya dari besaran ini; energi kinetik rata-rata dari sejumlah besar molekul yang bergerak secara kacau praktis tidak acak dan menjadi ciri suhu suatu benda.

Metode teori probabilitas memungkinkan kita memberikan rumusan matematis yang ketat dari hukum ini.

Misalkan ada barisan variabel acak yang tak terhingga

 1 , 2 , … , N , … (29)

Mari kita sebut secara singkat variabel acak (29) tipe yang sama jika mereka mempunyai ekspektasi matematis yang sama A dan varians yang sama D.

Dalil. Misalkan variabel acak (29) bertipe sama dan independen, maka relasinya berlaku

pada N, (30)

Di mana A=kepatuhan[ k ],k= 1, 2, …, – bilangan positif kecil apa pun.

Artinya: dengan ukuran yang cukup besar N dengan kepastian praktis (dengan probabilitas100%) kesetaraan

.

Teorema ini pertama kali dibuktikan oleh ahli matematika Rusia P.L. Chebyshev. Pembuktian teorema ini didasarkan pada tiga lemma.

Lemma 1. Misalkan variabel acak≥ 0. Maka pertidaksamaan tersebut benar

R(≥) ≤, (31)

dimana  adalah sembarang bilangan positif.

Bukti Mari kita lakukan untuk variabel acak kontinu. Kepadatan probabilitas suatu variabel acak F(X) = 0 pada X< 0, так как≥ 0.

Berdasarkan definisi ekspektasi matematis kita mempunyai:

≥
≥

(≥),

dari situlah pertidaksamaan (31) terjadi.

Lemma 2. Misalkan adalah variabel acak dengan karakteristik numerik ( A,D), maka pertidaksamaan berikut ini benar:

R(|– A| < ) ≥ 1 – .

Bukti. Kita punya

R(|– A| ≥ ) =P ((– A) 2 ≥ 2) ≤
.

Disini kita menggunakan pertidaksamaan (31) dengan  = ( – A) 2 ,  =  2 .

Dari ketimpangan yang dihasilkan berikut ini

R(|– A| < ) = 1 –R(|– A| ≥ ) ≥ 1 – .

Lemma 3. Misal 1 , 2 , …, N- variabel acak independen berjenis sama dengan karakteristik numerik ( A,D). Kemudian untuk setiap>0 ketimpangan memang benar adanya

≥ 1 – . (32)

Di mana  – bilangan positif apa pun, A = cov(; ) =[ Saya ],D = D[ Saya ],Saya= 1, 2, …,N..

Pertidaksamaan (32) disebut Ketimpangan Chebyshev.

Bukti. Mari kita tunjukkan

.

Dari sifat-sifat ekspektasi matematis dan varians variabel acak bebas sebagai berikut:

Jadi, variabel acak mempunyai karakteristik numerik
; Menerapkan Lemma 2 padanya, kita memperoleh pertidaksamaan yang diperlukan (32).

Bukti teorema Chebyshev.

Berdasarkan ketidaksetaraan Chebyshev (32) kita mempunyai persamaan untuk semua N ketimpangan ganda

1 ≥
≥ 1 – .

Menuju batas di Ndan dengan mempertimbangkan teorema perbandingan dari teori limit, kita memperoleh relasi yang diperlukan (30).

Komentar. Mari kita perkenalkan istilah yang tepat. Biarkan ada urutan variabel acak

 1 , 2 , …, N , … . (33)

Mereka mengatakan bahwa urutan (33) konvergen dalam probabilitas ke nilai non-acak A dan menulis

pada N,

jika untuk sembarang > 0 relasinya terpenuhi

R(| N –A| < )1 jam N.

Jelasnya, teorema Chebyshev dapat dirumuskan sebagai berikut: mean aritmatika dari variabel acak independen dari jenis yang sama, dengan peningkatan jumlah suku yang tidak terbatas, konvergen dalam probabilitas ke ekspektasi matematika umum mereka.

Contoh. Berapa banyak pengukuran independen yang berpresisi sama terhadap suatu besaran tertentu yang harus dilakukan untuk menjamin, dengan probabilitas paling sedikit 0,95, bahwa rata-rata aritmatika dari pengukuran tersebut menyimpang dari nilai sebenarnya dari besaran tersebut tidak lebih dari 1 (dalam nilai absolut), jika simpangan baku setiap pengukuran tidak melebihi 5?

Larutan. Biarkan Saya- hasil Saya dimensi ke ( Saya= 1,2,…,N),A– nilai sebenarnya dari besaran yang diukur, yaitu cov(; ) =[ Saya ] =A kapan saja Saya; dengan mempertimbangkan kesetaraan pengukuran Saya memiliki dispersi yang sama D≤ 25. Karena independensi pengukuran Saya adalah variabel acak independen.

Perlu menemukan N, di mana

≥ 0,95.

Sesuai dengan pertidaksamaan Chebyshev (32), pertidaksamaan ini akan terpenuhi jika

1 – ≥ 1– ≥ 0,95, mudah ditemukan

N≥500 pengukuran.