Sifat-sifat pertidaksamaan dengan satu variabel. Pertidaksamaan linier, contoh, solusi

PELAJARAN: “MENYELESAIKAN KETIMPANGAN DENGAN SATU VARIABEL”

Barang: Aljabar
Subjek: Menyelesaikan pertidaksamaan dengan satu variabel

Tujuan pelajaran:

Pendidikan:

mengatur kegiatan siswa dalam memahami, memahami, dan pada awalnya mengkonsolidasikan konsep-konsep seperti penyelesaian pertidaksamaan dengan satu variabel, pertidaksamaan yang setara, penyelesaian pertidaksamaan; memeriksa kemampuan siswa dalam menerapkan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh pada pelajaran sebelumnya untuk memecahkan masalah pada pelajaran ini.

Pendidikan:

mengembangkan minat terhadap matematika melalui pemanfaatan TIK dalam praktik; menumbuhkan kebutuhan kognitif siswa; untuk membentuk kualitas pribadi seperti tanggung jawab, ketekunan dalam mencapai tujuan, kemandirian.

Kemajuan pelajaran

I. Momen organisasi

II. Penyelidikan pekerjaan rumah(Memperbarui pengetahuan dasar)

1. Dengan menggunakan garis koordinat, carilah perpotongan interval: a) (1;8) dan (5;10); b) (-4;4) dan [-6;6]; c) (5;+∞) dan [-∞;4]

Jawaban: a) (1;5); b) (-4;4); c) tidak ada persimpangan

2. Tuliskan interval yang ditunjukkan pada gambar:

2)

3)

Jawaban: 1) (2; 6); b) (-1;7]; c) .

Contoh3, selesaikan pertidaksamaan 3(x-1)<-4+3х.

Mari kita buka tanda kurung di sisi kiri pertidaksamaan: 3x-3<-4+3х.

Mari kita pindahkan suku 3x yang berlawanan tanda dari ruas kanan ke kiri, dan suku -3 dari ruas kiri ke kanan dan berikan anggota serupa: 3x-3x<-4+3,

Seperti yang bisa kita lihat, ini ketimpangan numerik tidak benar untuk nilai x apa pun. Artinya pertidaksamaan kita dengan satu variabel tidak ada solusinya.

Simulator

Selesaikan pertidaksamaan dan tandai solusinya:

f) 7x-2.4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Jawaban: a) (-8; +∞); b) [-1.5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); saya) (3; +∞); J) ; aku) (2; +∞).

IV. Kesimpulan

Penyelesaian pertidaksamaan satu variabel adalah nilai variabel yang mengubahnya menjadi pertidaksamaan numerik sebenarnya. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menemukan semua solusinya atau membuktikan bahwa tidak ada solusi. Pertidaksamaan yang penyelesaiannya sama disebut ekuivalen. Ketimpangan yang tidak mempunyai solusi juga dianggap ekuivalen. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi sama angka negatif, mengubah tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya. Dalam kasus lain, hal itu tetap sama.

V.Ujian akhir

1) Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel disebut...

a) nilai variabel yang mengubahnya menjadi pertidaksamaan sejati;

b) nilai variabel, yang mengubahnya menjadi angka yang benar

ketidaksamaan;

c) variabel yang mengubahnya menjadi pertidaksamaan numerik sebenarnya.

2) Bilangan manakah yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan 8+5y>21+6y:

a) 2 dan 5 b) -1 dan 8 c) -12 dan 1 d) -15 dan -30?

3) Tentukan himpunan solusi pertidaksamaan 4(x+1)>20:

a) (- ∞; 4); B) (4; +∞); c) " title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

dapat digambarkan seperti ini:

1) Kami memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, yang diketahui ke sisi lain dengan tanda berlawanan:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

2) Jika bilangan di depan X tidak sama dengan nol (a-c≠0), bagilah kedua ruas pertidaksamaan dengan a-c.

Jika a-c>0, tanda pertidaksamaan tidak berubah:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Jika a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Jika a-c=0, maka - kasus khusus. Kami akan mempertimbangkan kasus-kasus khusus dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier secara terpisah.

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Ini adalah ketimpangan linier. Kami memindahkan yang tidak diketahui ke satu arah, yang diketahui ke arah lain dengan tanda yang berlawanan:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan angka di depan X. Sejak -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Karena , 10 pada garis bilangan ditandai dengan titik berlubang. , hingga minus tak terhingga.

Karena pertidaksamaannya tegas dan tidak ada titik, kita tuliskan 10 pada jawaban dengan tanda kurung.

Ini adalah ketimpangan linier. Tidak diketahui - di satu arah, diketahui - di sisi lain dengan tanda berlawanan:

Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan angka di depan X. Sejak 10>

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Karena pertidaksamaannya tidak tegas, kita tandai -2,3 pada garis bilangan dengan titik terisi. Bayangan dari -2,3 mengarah ke kanan, hingga tak terhingga.

Karena pertidaksamaannya tegas dan titiknya diarsir, kita tuliskan -2,3 pada jawaban dengan braket persegi.

Ini adalah ketimpangan linier. Tidak diketahui - di satu arah, diketahui - di arah lain tanda yang berlawanan.

Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan angka di depan X. Karena 3>0, tanda pertidaksamaan tidak berubah:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Karena pertidaksamaannya sangat ketat, kita nyatakan x=2/3 pada garis bilangan sebagai titik tertusuk.

Karena pertidaksamaannya tegas dan tidak ada titik, kita tuliskan 2/3 pada jawaban dengan tanda kurung.

Nilai variabel X dari banyak X, yang pertidaksamaannya berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya disebut keputusan. Memecahkan pertidaksamaan berarti menemukan banyak solusi terhadap pertidaksamaan tersebut.

Dasar penyelesaian pertidaksamaan dengan satu variabel adalah konsep kesetaraan.

Kedua pertidaksamaan tersebut disebut setara, jika himpunan penyelesaiannya sama.

Teorema tentang kesetaraan pertidaksamaan dan konsekuensinya mirip dengan teorema tentang kesetaraan persamaan. Pembuktiannya menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan numerik yang sebenarnya.

Teorema 1. Biarkan ketimpangan F(X) > G(X) ditentukan di set X Dan H(X) adalah ekspresi yang didefinisikan pada himpunan yang sama. Lalu kesenjangan F(X) > G(X) Dan F(X) + H(X) > G(X)+ jam(X) setara di set X.

Dari teorema ini berikut ini konsekuensi, yang sering digunakan saat menyelesaikan pertidaksamaan:

1) Jika pada kedua sisi pertidaksamaan F(X) > G(X) tambahkan nomor yang sama D, maka kita mendapatkan pertidaksamaannya F(X) + D > G(X)+d, setara dengan yang asli.

2) Jika suatu suku (atau ekspresi dengan variabel) dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya, dengan mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya, maka kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Teorema 2. Biarkan ketimpangan F(X) > G(X) ditentukan di set X Dan H(X X dari banyak X ekspresi H(X) menerima nilai-nilai positif. Lalu kesenjangan F(X) > G(X) Dan F(X) × H(X) > G(X) × jam(X) setara di set X.

Akibat wajar berikut dari teorema ini: jika kedua sisi pertidaksamaan F(X) > G(X) kalikan dengan bilangan positif yang sama D, maka kita mendapatkan pertidaksamaannya F(X) × D > G(X) ×d, setara dengan yang ini.

Teorema 3. Biarkan ketimpangan F(X) > G(X) ditentukan di set X Dan H(X) - ekspresi yang ditentukan pada himpunan yang sama, dan untuk semua X dari banyak X ekspresi H(X) menerima nilai-nilai negatif. Lalu kesenjangan F(X) > G(X) Dan F(X) × H(X) < G(X) × jam(X) setara di set X.

Dari teorema ini berikut ini konsekuensi: jika kedua sisi pertidaksamaan F(X) > G(X) dikalikan dengan angka negatif yang sama D dan ubah tanda pertidaksamaan menjadi kebalikannya, kita peroleh pertidaksamaannya F(X) × D < G(X) ×d, setara dengan yang ini.

Tugas. Apakah nomornya X= 5 penyelesaian pertidaksamaan 2 X+ 7 > 10 - x, xtentang R? Temukan banyak solusi untuk ketimpangan ini.

Larutan. Nomor X= 5 adalah solusi pertidaksamaan
2X + 7 > 10 - X, karena 2×5 + 7 > 10 - 5 adalah pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Dan himpunan penyelesaiannya adalah interval (1; ¥), yang dicari dengan melakukan transformasi pertidaksamaan 2 X+ 7 > 10 - XÞ 3X> 3Þ X > 1.

Tugas. Mengatasi ketimpangan 5 X- 5 < 2X+ 16 dan membenarkan semua transformasi yang akan dilakukan selama proses solusi.

Larutan.

Persamaan dengan satu variabel. Persamaan yang mengandung variabel disebut persamaan dengan satu variabel, atau persamaan dengan variabel yang tidak diketahui. Misalnya persamaan dengan satu variabel adalah 3(2x+7)=4x-1.

Akar atau solusi suatu persamaan adalah nilai suatu variabel yang persamaannya menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.

Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan semua akarnya atau membuktikan bahwa tidak ada akar.

Persamaan disebut ekuivalen jika semua akar persamaan pertama merupakan akar persamaan kedua dan sebaliknya semua akar persamaan kedua merupakan akar persamaan pertama atau kedua persamaan tidak mempunyai akar. Misalnya, persamaan x-8=2 dan x+10=20 adalah ekuivalen, karena akar persamaan pertama x=10 juga merupakan akar persamaan kedua, dan kedua persamaan mempunyai akar yang sama.

Teorema tentang kesetaraan persamaan. Tiga teorema pertama adalah “tenang”, mereka menjamin kesetaraan transformasi tanpa transformasi apa pun ketentuan tambahan, penggunaannya tidak menimbulkan masalah bagi penentu.

Teorema 1. Jika suatu suku persamaan dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya yang bertanda berlawanan, maka akan diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan bagian persamaan tersebut.

Teorema 2. Jika kedua ruas persamaan dipangkatkan menjadi sama derajat ganjil, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan ini.

Teorema 3. Persamaan eksponensial

Tiga teorema berikutnya “merepotkan”; teorema ini hanya berfungsi dalam kondisi tertentu, yang berarti dapat menyebabkan beberapa masalah saat menyelesaikan persamaan.

Domain definisi persamaan f(x) = g(x) atau domain nilai-nilai yang dapat diterima(ODZ) suatu variabel adalah himpunan nilai-nilai variabel x yang ekspresi f(x) dan g(x) secara bersamaan masuk akal.

Teorema 4. Jika kedua ruas persamaan f(x)=g(x) dikalikan dengan ekspresi yang sama h(x), maka:

a) masuk akal di mana pun dalam domain definisi (dalam domain nilai yang dapat diterima) persamaan f(x) = g(x);

b) tidak berubah menjadi 0 di mana pun di wilayah ini - maka kita mendapatkan persamaan f(x) h(x) = g(x) h(x), setara dengan persamaan yang diberikan.

Konsekuensi dari Teorema 4 adalah pernyataan “tenang” lainnya: jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Teorema 5. Jika kedua ruas persamaan f(x) = g(x) adalah non-negatif pada daerah definisi persamaan, maka setelah menaikkan kedua ruasnya ke pangkat genap yang sama n, kita memperoleh ekuivalen persamaan untuk ini: f(x)n = g ( x)n .

Teorema 6. Jika f(x) > 0 dan g(x) > 0, maka persamaan logaritma

Setara dengan persamaan f(x) = g(x).

Ketimpangan linier dengan satu variabel. Jika variabel x diberikan sembarang nilai numerik, maka kita mendapatkan pertidaksamaan numerik yang menyatakan pernyataan benar atau salah. Misalnya, terdapat pertidaksamaan 5x-1>3x+2. Untuk x=2 kita mendapatkan 5·2-1>3·2+2 – pernyataan yang benar(pernyataan nomor yang benar); untuk x=0 kita mendapatkan 5·0-1>3·0+2 – pernyataan yang salah. Nilai apa pun dari variabel di mana ketimpangan ini dengan suatu variabel berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya disebut penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Menyelesaikan pertidaksamaan dengan suatu variabel berarti mencari himpunan semua penyelesaiannya.

Dua pertidaksamaan dengan variabel x yang sama dikatakan ekuivalen jika himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut berimpit.

Gagasan utama penyelesaian pertidaksamaan adalah sebagai berikut: kita mengganti pertidaksamaan tertentu dengan pertidaksamaan lain yang lebih sederhana, tetapi setara dengan pertidaksamaan tertentu; kita kembali mengganti pertidaksamaan yang dihasilkan dengan pertidaksamaan sederhana yang setara dengannya, dan seterusnya.

Penggantian tersebut dilakukan berdasarkan pernyataan berikut.

Teorema 1. Jika suatu suku pertidaksamaan dengan satu variabel dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lain yang bertanda berlawanan, dengan tetap membiarkan tanda pertidaksamaan tidak berubah, maka akan diperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Teorema 2. Jika kedua ruas pertidaksamaan dengan satu variabel dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, tanpa mengubah tanda pertidaksamaan, maka akan diperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Teorema 3. Jika kedua ruas pertidaksamaan dengan satu variabel dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, sambil mengubah tanda pertidaksamaan menjadi kebalikannya, maka akan diperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Pertidaksamaan berbentuk ax+b>0 disebut linier (masing-masing ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.