Persamaan logaritma logaritma pangkat. Persamaan logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang tidak diketahui (x) dan ekspresi yang menyertainya berada di bawah tanda fungsi logaritma. Larutan persamaan logaritma berasumsi bahwa Anda sudah familiar dengan dan .
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?

Persamaan paling sederhana adalah log a x = b, dimana a dan b adalah suatu bilangan, x adalah suatu bilangan yang tidak diketahui.
Memecahkan persamaan logaritma adalah x = a b dengan ketentuan: a > 0, a 1.

Perlu diperhatikan bahwa jika x berada di luar logaritma, misalnya log 2 x = x-2, maka persamaan tersebut disebut campuran dan diperlukan pendekatan khusus untuk menyelesaikannya.

Kasus yang ideal adalah ketika Anda menemukan persamaan yang hanya bilangan-bilangannya yang berada di bawah tanda logaritma, misalnya x+2 = log 2 2. Di sini cukup mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikannya. Namun keberuntungan seperti itu tidak sering terjadi, jadi bersiaplah untuk hal-hal yang lebih sulit.

Tapi pertama-tama, mari kita mulai persamaan sederhana. Untuk mengatasinya, diinginkan untuk memiliki yang maksimal gagasan umum tentang logaritma.

Memecahkan persamaan logaritma sederhana

Ini termasuk persamaan tipe log 2 x = log 2 16. Dapat dilihat dengan mata telanjang bahwa dengan menghilangkan tanda logaritma kita mendapatkan x = 16.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang lebih kompleks, biasanya direduksi menjadi penyelesaian persamaan biasa persamaan aljabar atau ke penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana log a x = b. Dalam persamaan paling sederhana, hal ini terjadi dalam satu gerakan, oleh karena itu disebut persamaan paling sederhana.

Metode menghilangkan logaritma di atas adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Ada aturan tertentu atau batasan untuk operasi semacam ini:

• logaritma mempunyai basis numerik yang sama
• Logaritma di kedua ruas persamaan bebas, yaitu. tanpa koefisien dan lainnya berbagai jenis ekspresi.

Katakanlah dalam persamaan log 2 x = 2log 2 (1 - x) potensiasi tidak berlaku - koefisien 2 di sebelah kanan tidak mengizinkannya. DI DALAM contoh berikut log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) salah satu batasan juga tidak terpenuhi - ada dua logaritma di sebelah kiri. Jika hanya ada satu, masalahnya akan sangat berbeda!

Secara umum, logaritma hanya dapat dihilangkan jika persamaannya berbentuk:

log a (...) = log a (...)

Benar-benar semua ekspresi dapat ditempatkan dalam tanda kurung; ini sama sekali tidak berpengaruh pada operasi potensiasi. Dan setelah menghilangkan logaritma, persamaan yang lebih sederhana akan tetap ada - linier, kuadrat, eksponensial, dll., yang saya harap Anda sudah tahu cara menyelesaikannya.

Mari kita ambil contoh lain:

catatan 3 (2x-5) = catatan 3x

Kami menerapkan potensiasi, kami mendapatkan:

log 3 (2x-1) = 2

Berdasarkan pengertian logaritma yaitu bahwa logaritma adalah bilangan yang harus dipangkatkan basisnya agar diperoleh ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma, yaitu. (4x-1), kita peroleh:

Sekali lagi kami menerima jawaban yang indah. Di sini kita melakukannya tanpa menghilangkan logaritma, tetapi potensiasi juga berlaku di sini, karena logaritma dapat dibuat dari bilangan berapa pun, dan persis dengan bilangan yang kita butuhkan. Metode ini sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan khususnya pertidaksamaan.

Mari kita selesaikan persamaan logaritma log 3 (2x-1) = 2 menggunakan potensiasi:

Bayangkan bilangan 2 sebagai logaritma, misalnya log 3 9 ini, karena 3 2 =9.

Kemudian log 3 (2x-1) = log 3 9 dan sekali lagi kita mendapatkan persamaan yang sama 2x-1 = 9. Saya harap semuanya jelas.

Jadi kita melihat bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, yang sebenarnya sangat penting karena menyelesaikan persamaan logaritma, bahkan yang paling buruk dan memutarbalikkan, pada akhirnya selalu berujung pada penyelesaian persamaan yang paling sederhana.

Dalam segala hal yang kami lakukan di atas, kami sangat melewatkan satu hal poin penting, yang selanjutnya akan dimiliki peran yang menentukan. Faktanya adalah bahwa solusi persamaan logaritma apa pun, bahkan persamaan paling dasar sekalipun, terdiri dari dua bagian yang sama. Yang pertama adalah penyelesaian persamaan itu sendiri, yang kedua adalah mengerjakan luas nilai-nilai yang dapat diterima(ODZ). Inilah bagian pertama yang telah kita kuasai. Di atas contoh DL tidak mempengaruhi jawaban dengan cara apapun, jadi kami tidak mempertimbangkannya.

Mari kita ambil contoh lain:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Secara lahiriah, persamaan ini tidak berbeda dengan persamaan dasar, yang dapat diselesaikan dengan sangat sukses. Tapi ini tidak sepenuhnya benar. Tidak, tentu saja kami akan menyelesaikannya, tetapi kemungkinan besar salah, karena berisi penyergapan kecil di mana siswa kelas C dan siswa berprestasi langsung terjerumus ke dalamnya. Mari kita lihat lebih dekat.

Katakanlah Anda perlu mencari akar persamaan atau jumlah akar-akarnya, jika ada beberapa:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Kami menggunakan potensiasi, ini dapat diterima di sini. Hasilnya, kami mendapatkan yang biasa persamaan kuadrat.

Menemukan akar persamaan:

Ternyata dua akar.

Jawaban: 3 dan -1

Sekilas semuanya benar. Tapi mari kita periksa hasilnya dan gantikan ke dalamnya persamaan asli.

Mari kita mulai dengan x 1 = 3:

catatan 3 6 = catatan 3 6

Pengecekan berhasil, sekarang antriannya x 2 = -1:

catatan 3 (-2) = catatan 3 (-2)

Oke, berhenti! Di luar semuanya sempurna. Satu hal - tidak ada logaritma dari bilangan negatif! Artinya akar x = -1 tidak cocok untuk menyelesaikan persamaan kita. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah 3, bukan 2, seperti yang kami tulis.

Di sinilah ODZ memainkan peran fatalnya yang selama ini kita lupakan.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa rentang nilai yang dapat diterima mencakup nilai x yang diperbolehkan atau masuk akal untuk contoh aslinya.

Tanpa ODZ, solusi apa pun, bahkan solusi yang sepenuhnya benar, dari persamaan apa pun berubah menjadi lotere - 50/50.

Bagaimana kami bisa terjebak ketika memutuskan apa yang tampaknya terjadi contoh dasar? Namun justru pada momen potensiasi. Logaritma menghilang, dan dengan itu semua batasan.

Apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Menolak untuk menghilangkan logaritma? Dan sepenuhnya menolak menyelesaikan persamaan ini?

Tidak, kami hanya, seperti pahlawan sejati dari satu lagu terkenal, akan mengambil jalan memutar!

Sebelum kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma apa pun, kita akan menuliskan ODZ-nya. Namun setelah itu, Anda dapat melakukan apa pun yang diinginkan hati Anda dengan persamaan kami. Setelah mendapat jawabannya, kami cukup membuang akar-akar yang tidak termasuk dalam ODZ kami dan menuliskan versi finalnya.

Sekarang mari kita putuskan bagaimana cara merekam ODZ. Untuk melakukan ini, kita hati-hati memeriksa persamaan asli dan mencari tempat yang mencurigakan di dalamnya, seperti pembagian dengan x, akar genap, dll. Sampai kita menyelesaikan persamaan tersebut, kita tidak tahu x sama dengan apa, tapi kita tahu pasti bahwa ada x yang, jika disubstitusikan, akan menghasilkan pembagian dengan 0 atau ekstraksi akar kuadrat dari angka negatif jelas tidak cocok sebagai jawaban. Oleh karena itu, x tersebut tidak dapat diterima, sedangkan sisanya merupakan ODZ.

Mari kita gunakan persamaan yang sama lagi:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Seperti yang Anda lihat, tidak ada pembagian dengan 0, juga tidak ada akar kuadrat, tetapi ada ekspresi dengan x di badan logaritma. Mari kita segera mengingat bahwa ekspresi di dalam logaritma harus selalu >0. Kondisi ini kami tuliskan dalam bentuk ODZ:

Itu. Kami belum menyelesaikan apa pun, tetapi kami telah menuliskan kondisi wajib untuk seluruh ekspresi sublogaritma. Penjepit berarti syarat-syarat tersebut harus dipenuhi secara bersamaan.

ODZ sudah dituliskan, tetapi sistem ketidaksetaraan yang dihasilkan juga perlu diselesaikan, itulah yang akan kami lakukan. Kami mendapatkan jawabannya x > v3. Sekarang kita tahu pasti x mana yang tidak cocok untuk kita. Dan kemudian kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma itu sendiri, seperti yang kita lakukan di atas.

Setelah mendapat jawaban x 1 = 3 dan x 2 = -1, mudah untuk melihat bahwa hanya x1 = 3 yang cocok untuk kita, dan kita menuliskannya sebagai jawaban akhir.

Untuk masa depan, sangat penting untuk mengingat hal berikut: kita menyelesaikan persamaan logaritma apa pun dalam 2 tahap. Yang pertama adalah menyelesaikan persamaan itu sendiri, yang kedua adalah menyelesaikan kondisi ODZ. Kedua tahapan tersebut dilakukan secara independen satu sama lain dan dibandingkan hanya pada saat penulisan jawabannya, yaitu. buang semua yang tidak perlu dan tuliskan jawaban yang benar.

Untuk memperkuat materi, kami sangat menyarankan menonton video:

Video ini menunjukkan contoh lain penyelesaian log. persamaan dan mengerjakan metode interval dalam praktik.

Untuk pertanyaan ini, cara menyelesaikan persamaan logaritma Itu saja untuk saat ini. Jika sesuatu diputuskan oleh log. persamaannya masih belum jelas atau tidak bisa dipahami, tulis pertanyaan Anda di komentar.

Catatan: Academy of Social Education (ASE) siap menerima mahasiswa baru.

instruksi

Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma mempunyai bilangan dasar e, maka tuliskan persamaannya: ln b – logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan pokoknya untuk memperoleh bilangan b.

Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;

Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberikan fungsi yang kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi dalaman dan turunan dari yang eksternal. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi di titik tertentu kamu"(1)=8*e^0=8

Video tentang topik tersebut

Saran yang berguna

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat waktu secara signifikan.

Sumber:

• turunan dari suatu konstanta

Jadi, apa bedanya? ir persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar kuadrat, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

instruksi

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode membangun kedua ruas persamaan menjadi persegi. Namun. hal ini wajar, hal pertama yang perlu Anda lakukan adalah menghilangkan tanda tersebut. Cara ini secara teknis tidak sulit, namun terkadang dapat menimbulkan masalah. Misalnya persamaannya adalah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi diperoleh 2x-5=4x-7. Memecahkan persamaan seperti itu tidaklah sulit; x=1. Namun nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan satu ke dalam persamaan dan bukan nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal. Nilai ini tidak berlaku untuk akar kuadrat. Oleh karena itu, 1 adalah akar asing, sehingga persamaan ini tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode mengkuadratkan kedua sisinya. Dan setelah menyelesaikan persamaan tersebut, perlu untuk memotongnya akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya.

Pertimbangkan yang lain.
2х+vх-3=0
Tentu saja persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti persamaan sebelumnya. Pindahkan Senyawa persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, di sisi kanan lalu gunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan rasional dan akar yang dihasilkan. Tapi juga satu lagi yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vх=y. Oleh karena itu, Anda akan menerima persamaan dalam bentuk 2y2+y-3=0. Artinya, persamaan kuadrat biasa. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai akar; dari persamaan pertama kita mengetahui bahwa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup sederhana. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan transformasi identitas sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan yang paling sederhana operasi aritmatika tugas yang ada akan terpecahkan.

Anda akan membutuhkan

• - kertas;
• - pena.

instruksi

Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkat aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak dan rumus trigonometri, yang pada dasarnya merupakan identitas yang sama.

Memang, kuadrat dari jumlah dua suku sama dengan persegi bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kedua dan ditambah kuadrat bilangan kedua, yaitu (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Sederhanakan keduanya

Prinsip umum penyelesaiannya

Metode Penggantian Variabel

Menyelesaikan integral jenis kedua

Pergantian batas integrasi

Perkenalan

Logaritma diciptakan untuk mempercepat dan menyederhanakan perhitungan. Gagasan tentang logaritma, yaitu gagasan untuk menyatakan bilangan sebagai pangkat dari basis yang sama, adalah milik Mikhail Stiefel. Namun pada masa Stiefel, matematika belum begitu berkembang dan gagasan tentang logaritma belum berkembang. Logaritma kemudian ditemukan secara bersamaan dan independen satu sama lain oleh ilmuwan Skotlandia John Napier (1550-1617) dan Jobst Burgi dari Swiss (1552-1632) adalah orang pertama yang menerbitkan karyanya pada tahun 1614. dengan judul “Deskripsi Tabel Logaritma yang Menakjubkan”, teori logaritma Napier diberikan secara cukup lengkap, metode penghitungan logaritma diberikan yang paling sederhana, oleh karena itu kelebihan Napier dalam penemuan logaritma lebih besar dibandingkan dengan Bürgi. Bürgi bekerja di meja pada waktu yang sama dengan Napier, tapi untuk waktu yang lama merahasiakannya dan baru menerbitkannya pada tahun 1620. Napier menguasai gagasan logaritma sekitar tahun 1594. meskipun tabel tersebut diterbitkan 20 tahun kemudian. Mula-mula dia menyebut logaritmanya sebagai “bilangan buatan” dan baru kemudian mengusulkan “ angka buatan“untuk menyebut satu kata “logaritma”, yang dalam terjemahan dari bahasa Yunani berarti “bilangan berkorelasi”, diambil satu dari barisan aritmatika, dan yang lainnya dari barisan geometri yang dipilih khusus untuk itu. Tabel pertama dalam bahasa Rusia diterbitkan pada tahun 1703. dengan partisipasi seorang guru luar biasa abad ke-18. L.F.Magnitsky. Dalam perkembangan teori logaritma nilai yang besar memiliki karya akademisi St. Petersburg Leonhard Euler. Dia adalah orang pertama yang menganggap logaritma sebagai kebalikan dari pangkat; dia memperkenalkan istilah "basis logaritma" dan "mantissa". Briggs menyusun tabel logaritma dengan basis 10. Tabel desimal lebih nyaman untuk penggunaan praktis, begitulah teorinya lebih sederhana dari logaritma Napier. Itu sebabnya logaritma desimal kadang-kadang disebut brig. Istilah "karakterisasi" diperkenalkan oleh Briggs.

Di masa lalu, ketika orang bijak pertama kali mulai berpikir tentang persamaan yang mengandung jumlah yang tidak diketahui, mungkin tidak ada koin atau dompet. Tapi ada tumpukan, serta pot dan keranjang, yang sempurna untuk peran tempat penyimpanan yang dapat menampung barang dalam jumlah yang tidak diketahui. Di zaman dahulu masalah matematika Mesopotamia, India, Cina, Yunani, jumlah yang tidak diketahui menyatakan jumlah burung merak di taman, jumlah sapi jantan dalam kawanan, totalitas hal-hal yang diperhitungkan saat membagi properti. Juru tulis, pejabat, dan inisiat terlatih dengan baik dalam ilmu akuntansi pengetahuan rahasia Para pendeta cukup berhasil mengatasi tugas-tugas seperti itu.

Sumber-sumber yang sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan zaman dahulu memilikinya teknik umum memecahkan masalah dengan besaran yang tidak diketahui. Namun, tidak ada satu pun papirus, tidak satu pun tablet tanah liat tidak ada deskripsi tentang teknik ini yang diberikan. Para penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar yang minim seperti: “Lihat!”, “Lakukan ini!”, “Anda menemukan yang tepat.” Dalam pengertian ini, pengecualiannya adalah "Aritmatika" dari matematikawan Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - kumpulan masalah untuk menyusun persamaan dengan presentasi sistematis dari solusinya.

Namun, panduan pemecahan masalah pertama yang dikenal luas adalah karya ilmuwan Bagdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata "al-jabr" dari nama Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Kitab restorasi dan oposisi") - seiring berjalannya waktu berubah menjadi kata terkenal "aljabar", dan karya tersebut karya al-Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak berkembangnya ilmu penyelesaian persamaan.

Persamaan dan pertidaksamaan logaritma

1. Persamaan logaritma

Persamaan yang mengandung suatu hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma atau pada basisnya disebut persamaan logaritma.

Persamaan logaritma yang paling sederhana adalah persamaan bentuk

mencatat A X = B . (1)

Pernyataan 1. Jika A > 0, A≠ 1, persamaan (1) untuk sembarang real B memiliki satu-satunya solusi X = sebuah b .

Contoh 1. Selesaikan persamaan:

a)catatan 2 X= 3, b) catatan 3 X= -1,c)

Larutan. Dengan menggunakan Pernyataan 1, kita memperoleh a) X= 2 3 atau X= 8; B) X= 3 -1 atau X= 1 / 3 ; C)

Mari kita sajikan sifat dasar logaritma.

P1. Dasar-dasar identitas logaritma:

Di mana A > 0, A≠ 1 dan B > 0.

hal2. Logaritma produk faktor positif sama dengan jumlahnya logaritma faktor-faktor ini:

mencatat A N 1 · N 2 = catatan A N 1 + catatan A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Jika N 1 · N 2 > 0, maka properti P2 berbentuk

mencatat A N 1 · N 2 = catatan A |N 1 | + catatan A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

hal3. Logaritma hasil bagi dua angka positif sama dengan perbedaannya logaritma dividen dan pembagi

Komentar. Jika

hal4. Logaritma pangkat bilangan positif sama dengan produknya eksponen per logaritma angka ini:

mencatat A N k = k mencatat A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Komentar. Jika k - bilangan genap (k = 2S), Itu

mencatat A N 2S = 2S mencatat A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

hal5. Rumus pindah ke base lain:

khususnya jika N = B, kita dapatkan

Dengan menggunakan properti P4 dan P5, mudah untuk mendapatkan properti berikut

dan, jika dalam (5) C- bilangan genap ( C = 2N), bertahan

Mari kita daftar properti utama dari fungsi logaritma F (X) = catatan A X :

1. Daerah definisi fungsi logaritma adalah himpunan bilangan positif.

2. Rentang nilai fungsi logaritma adalah himpunan bilangan real.

3. Kapan A > 1 fungsi logaritma meningkat secara ketat (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2), dan pada 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > catatan A X 2).

4.log A 1 = 0 dan catat A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya negatif ketika X(0;1) dan positif pada X(1;+∞), dan jika 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) dan negatif pada X (1;+∞).

6. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya cembung ke atas, dan jika A(0;1) - cembung ke bawah.

Pernyataan berikut (lihat, misalnya,) digunakan saat menyelesaikan persamaan logaritma.

Aljabar kelas 11

Topik: “Metode penyelesaian persamaan logaritma”

Tujuan pelajaran:

pendidikan: pembentukan pengetahuan tentang dengan cara yang berbeda memecahkan persamaan logaritma, keterampilan untuk menerapkannya di masing-masing persamaan situasi tertentu dan pilih metode apa pun untuk menyelesaikannya;

perkembangan: pengembangan keterampilan mengamati, membandingkan, menerapkan pengetahuan situasi baru, mengidentifikasi pola, menggeneralisasi; mengembangkan keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri;

pendidikan: menumbuhkan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, persepsi penuh perhatian terhadap materi dalam pelajaran, pencatatan yang cermat.

Jenis pelajaran: pelajaran memperkenalkan materi baru.

“Penemuan logaritma, sekaligus mengurangi pekerjaan para astronom, juga memperpanjang umurnya.”
Matematikawan Perancis dan astronom P.S. Laplace

Kemajuan pelajaran

I. Menetapkan tujuan pelajaran

Definisi logaritma yang dipelajari, sifat-sifat logaritma, dan fungsi logaritma akan memungkinkan kita menyelesaikan persamaan logaritma. Semua persamaan logaritma, betapapun rumitnya, diselesaikan menggunakan algoritma yang seragam. Kita akan melihat algoritma ini dalam pelajaran hari ini. Jumlahnya tidak banyak. Jika Anda menguasainya, maka persamaan apa pun dengan logaritma dapat dilakukan oleh Anda masing-masing.

Tuliskan topik pelajaran di buku catatan Anda: “Metode penyelesaian persamaan logaritma.” Saya mengundang semua orang untuk bekerja sama.

II. Memperbarui pengetahuan latar belakang

Mari bersiap untuk mempelajari topik pelajaran. Anda menyelesaikan setiap tugas dan menuliskan jawabannya; Anda tidak perlu menulis kondisinya. Bekerja berpasangan.

1) Untuk nilai x berapakah fungsi tersebut masuk akal:

(Jawaban diperiksa untuk setiap slide dan kesalahan diselesaikan)

2) Apakah grafik fungsinya bertepatan?

3) Tulis ulang persamaan tersebut sebagai persamaan logaritma:

4) Tuliskan bilangan-bilangan tersebut sebagai logaritma dengan basis 2:

5) Hitung:

6) Cobalah untuk memulihkan atau menambah unsur-unsur yang hilang dalam persamaan ini.

AKU AKU AKU. Pengenalan materi baru

Pernyataan berikut ditampilkan di layar:

“Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua wijen matematika.”
Matematikawan Polandia modern S. Kowal

Cobalah merumuskan definisi persamaan logaritma. (Persamaan yang mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma).

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana:mencatatAx = b(di mana a>0, a ≠ 1). Karena fungsi logaritma bertambah (atau berkurang) pada himpunan bilangan positif dan mengambil semuanya nilai-nilai nyata, maka dengan teorema akar maka untuk sembarang b persamaan ini mempunyai, dan terlebih lagi, hanya satu, solusi, dan solusi positif.

Ingat definisi logaritma. (Logaritma suatu bilangan x ke basis a merupakan indikator pangkat yang harus dipangkatkan dari bilangan a untuk memperoleh bilangan x). Dari definisi logaritma langsung berikut ini AV adalah solusi seperti itu.

Tuliskan judulnya: Metode penyelesaian persamaan logaritma

1. Menurut definisi logaritma.

Beginilah cara persamaan bentuk paling sederhana diselesaikan.

Mari kita pertimbangkan No.514(a)): Selesaikan persamaannya

Bagaimana Anda mengusulkan untuk menyelesaikannya? (Menurut definisi logaritma)

Larutan. , Jadi 2x - 4 = 4; x = 4.

Dalam tugas ini, 2x - 4 > 0, karena > 0, sehingga tidak ada akar asing yang muncul, dan tidak perlu dilakukan pengecekan. Kondisi 2x - 4 > 0 tidak perlu dituliskan dalam tugas ini.

2. Potensiasi(transisi dari logaritma ekspresi tertentu ke ekspresi itu sendiri).

Mari kita pertimbangkan Nomor 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Fitur apa yang Anda perhatikan? (Basisnya sama dan logaritma kedua ekspresi tersebut sama.) Apa yang bisa dilakukan? (Potensi).

Perlu diingat bahwa solusi apa pun terdapat di antara semua x yang ekspresi logaritmanya positif.

Solusi: ODZ:

X2+8>0 adalah pertidaksamaan yang tidak perlu

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Mari kita potensikan persamaan aslinya

kita mendapatkan persamaan x2+8= 8x+8

Mari kita selesaikan: x2-8x=0

Jawaban: 0; 8

DI DALAM pandangan umum transisi ke sistem yang setara:

Persamaan

(Sistem berisi kondisi yang berlebihan - salah satu ketidaksetaraan tidak perlu dipertimbangkan).

Pertanyaan untuk kelas: Manakah dari tiga solusi berikut yang paling Anda sukai? (Diskusi metode).

Anda berhak memutuskan dengan cara apa pun.

3. Pengenalan variabel baru.

Mari kita pertimbangkan No.520(g). .

Apa yang kamu perhatikan? (Ini adalah persamaan kuadrat terhadap log3x) Ada saran? (Perkenalkan variabel baru)

Larutan. ODZ: x > 0.

Misalkan , maka persamaannya berbentuk :. Diskriminan D > 0. Akar menurut teorema Vieta :.

Mari kita kembali ke penggantinya: atau.

Setelah menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, kita mendapatkan:

Jawaban: 27;

4. Logaritma kedua ruas persamaan.

Selesaikan persamaan :.

Penyelesaian: ODZ: x>0, ambil logaritma kedua ruas persamaan dengan basis 10:

Mari kita terapkan properti logaritma suatu pangkat:

(logx + 3) logx = 4

Misal logx = y, maka (y + 3)y = 4

, (D > 0) akar menurut teorema Vieta: y1 = -4 dan y2 = 1.

Mari kita kembali ke penggantinya, kita mendapatkan: lgx = -4,; lgx = 1, .

Jawaban: 0,0001; 10.

5. Pengurangan menjadi satu basis.

Nomor 523(c). Selesaikan persamaan:

Solusi: ODZ: x>0. Mari kita beralih ke basis 3.

6. Metode grafis fungsional.

№ 509(d). Selesaikan persamaan secara grafis: = 3 - x.

Bagaimana Anda mengusulkan penyelesaiannya? (Buatlah grafik dua fungsi y = log2x dan y = 3 - x menggunakan titik dan cari absis titik potong grafik tersebut).

Lihatlah solusi Anda pada slide.

Ada cara untuk menghindari pembuatan grafik . Ini adalah sebagai berikut : jika salah satu fungsinya kamu = f(x) meningkat, dan lainnya kamu = g(x) berkurang pada interval X, maka persamaannya f(x)= g(x) mempunyai paling banyak satu akar pada interval X.

Jika ada root maka bisa ditebak.

Dalam kasus kita, fungsinya meningkat untuk x>0, dan fungsi y = 3 - x menurun untuk semua nilai x, termasuk untuk x>0, yang berarti persamaan tersebut tidak memiliki lebih dari satu akar. Perhatikan bahwa pada x = 2 persamaan tersebut berubah menjadi persamaan sejati, karena .

« Penggunaan yang benar metode dapat dipelajari
hanya dengan menerapkannya berbagai contoh».
Sejarawan matematika Denmark G.G. Zeiten

SAYAV. Pekerjaan rumah

P. 39 perhatikan contoh 3, selesaikan No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)

V. Menyimpulkan pelajaran

Metode penyelesaian persamaan logaritma apa yang kita pelajari di kelas?

Dalam pelajaran berikutnya kita akan melihat lebih banyak persamaan kompleks. Untuk mengatasinya, metode yang dipelajari akan bermanfaat.

Slide terakhir ditampilkan:

“Apa yang lebih dari apapun di dunia ini?
Ruang angkasa.
Apa hal yang paling bijaksana?
Waktu.
Apa bagian terbaiknya?
Raih apa yang kamu inginkan."
Thales

Saya berharap semua orang mencapai apa yang mereka inginkan. Terima kasih atas kerja sama dan pengertian Anda.

Persamaan logaritma. Kami terus mempertimbangkan masalah dari Bagian B Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Kami telah mempertimbangkan solusi untuk beberapa persamaan di artikel “”, “”. Pada artikel ini kita akan melihat persamaan logaritma. Saya akan segera mengatakan bahwa tidak akan ada transformasi rumit saat menyelesaikan persamaan seperti itu pada Ujian Negara Bersatu. Itu sederhana.

Cukup mengetahui dan memahami identitas dasar logaritma, mengetahui sifat-sifat logaritma. Harap dicatat bahwa setelah menyelesaikannya, Anda HARUS melakukan pengecekan - substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan asli dan hitung, pada akhirnya Anda akan mendapatkan persamaan yang benar.

Definisi:

Logaritma suatu bilangan dengan basis b adalah eksponen,ke mana b harus dipangkatkan untuk mendapatkan a.

Misalnya:

Log 3 9 = 2, karena 3 2 = 9

Sifat-sifat logaritma:

Kasus khusus logaritma:

Mari kita selesaikan masalah. Pada contoh pertama kita akan melakukan pengecekan. Lakukan pemeriksaan selanjutnya sendiri.

Temukan akar persamaan: log 3 (4–x) = 4

Karena log b a = x b x = a, maka

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Penyelidikan:

catatan 3 (4–(–77)) = 4

catatan 3 81 = 4

3 4 = 81 Benar.

Jawaban: – 77

Putuskan sendiri:

Temukan akar persamaan: log 2 (4 – x) = 7

Temukan akar persamaan log 5(4 + x) = 2

Kami menggunakan identitas logaritma dasar.

Karena log a b = x b x = a, maka

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Penyelidikan:

catatan 5 (4 + 21) = 2

catatan 5 25 = 2

5 2 = 25 Benar.

Jawaban: 21

Carilah akar persamaan log 3 (14 – x) = log 3 5.

Terjadi properti berikutnya, artinya sebagai berikut: jika pada ruas kiri dan kanan persamaan terdapat logaritma dasar yang sama, maka kita bisa menyamakan ekspresi di bawah tanda logaritma.

14 – x = 5

x=9

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 9

Putuskan sendiri:

Carilah akar persamaan log 5 (5 – x) = log 5 3.

Temukan akar persamaan: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Jika log c a = log c b, maka a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 6

Carilah akar persamaan log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Lakukan pemeriksaan.

Tambahan kecil - properti digunakan di sini

derajat ().

Jawaban: – 51

Putuskan sendiri:

Temukan akar persamaan: log 1/7 (7 – x) = – 2

Carilah akar persamaan log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Mari kita ubah sisi kanan. Mari gunakan properti:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Jika log c a = log c b, maka a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: – 21

Putuskan sendiri:

Temukan akar persamaan: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Selesaikan persamaan log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jika log c a = log c b, maka a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 2.75

Putuskan sendiri:

Carilah akar persamaan log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Selesaikan persamaan log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Diperlukan dengan sisi kanan persamaan mendapatkan ekspresi dalam bentuk:

catatan 2 (......)

Kami mewakili 1 sebagai logaritma basis 2:

1 = catatan 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Kami mendapatkan:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Jika log c a = log c b, maka a = b, maka

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 0,4

Putuskan sendiri: Selanjutnya Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat. Omong-omong,

akar-akarnya adalah 6 dan – 4.

Akar "-4" bukanlah solusi karena basis logaritmanya pasti lebih besar dari nol, dan kapan"– 4" itu sama dengan " – 5". Solusinya adalah root 6.Lakukan pemeriksaan.

Jawaban: 6.

R makan sendiri:

Selesaikan log persamaan x –5 49 = 2. Jika persamaan mempunyai lebih dari satu akar, jawablah dengan akar yang lebih kecil.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada transformasi rumit dengan persamaan logaritmaTIDAK. Cukup mengetahui sifat-sifat logaritma dan mampu menerapkannya. DI DALAM Masalah Ujian Negara Bersatu terkait dengan transformasi ekspresi logaritmik, transformasi yang lebih serius dilakukan dan diperlukan keterampilan solusi yang lebih dalam. Kita akan melihat contoh-contoh seperti itu, jangan sampai ketinggalan!Semoga beruntung untukmu!!!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.