Temukan arti sebenarnya dari pernyataan tersebut. Pernyataan yang kompleks

Di sini: 1 - benar, 0 - salah.

• 1.X: segitiga ABC- siku-siku. X : Tidak benar segitiga ABC lancip. Sama halnya dengan: X: segitiga ABC siku-siku atau tumpul
• 2. A: Ivanova M. mendapat nilai 4 dalam ujian matematika. : Tidak benar bahwa Ivanova M. mendapat nilai 4 dalam matematika.

Definisi: Disjungsi pernyataan A dan B adalah pernyataan AB yang benar dengan syarat paling sedikit salah satu pernyataan A atau B benar.

Bunyinya "A atau B".

Tabel kebenaran AB

Contoh: 1. Kali ini terdakwa muncul dan persidangan berlangsung. - BENAR

2.B segitiga siku-siku jumlah dua sudut mana pun lebih besar atau sama dengan sudut ketiga dan sisi miringnya lebih kecil dari kakinya. - berbohong

Definisi: Implikasi dari pernyataan A dan B adalah pernyataan AB yang salah hanya jika A benar dan B salah.

Bunyinya: “Jika A, maka B.”

Tabel kebenaran

Contoh: 1. Jika saya lulus ujian, saya akan pergi ke bioskop.

2. Jika suatu segitiga sama kaki, maka sudut-sudut pada alasnya sama besar. Definisi: Persamaan pernyataan A dan B adalah pernyataan AB yang benar jika dan hanya jika A dan B mempunyai kebenaran yang sama (yaitu keduanya benar atau keduanya salah).

Bunyinya: “Dan jika dan hanya jika B” atau “A perlu dan cukup untuk B”

Tabel kebenaran

Tugas kedua yang diselesaikan melalui aljabar proposisional adalah menentukan kebenaran suatu pernyataan tertentu berdasarkan penyusunan rumusnya (proses formalisasi) dan penyusunan tabel kebenaran.

Contoh: Jika Saratov terletak di tepi Sungai Neva, maka beruang kutub hidup di Afrika.

J: Saratov terletak di tepi Sungai Neva;

T: Beruang kutub tinggal di Afrika

Definisi: Rumus yang benar, berapa pun nilai yang diambil oleh variabel proposisional yang termasuk di dalamnya, disebut tautologi atau rumus yang identik benar.

Definisi: Rumus F 1 dan F 2 disebut ekuivalen jika ekuivalennya merupakan tautologi.

Definisi: Jika rumus F 1 dan F 2 ekuivalen, maka kalimat P 1 dan P 2 yang mengawali rumus tersebut disebut ekuivalen dalam logika proposisional.

Persamaan dasar yang paling sering muncul disebut hukum logika. Mari kita daftar beberapa di antaranya:

• 1. X X - hukum identitas
• 2. XL - hukum kontradiksi
• 3. XI - hukum pengecualian yang ketiga
• 4. X - hukum negasi ganda

• 5. hukum komutatifitas
• 6. Hukum asosiatif X (Y Z) (X Y) Z

X (Y Z) (X Y) Z hukum distributif

7. Hukum De Morgan

8. hukum artikulasi variabel dan konstanta

Dengan menggunakan hukum logika, Anda dapat mengubah rumus.

4. Dari sekian banyak rumus yang ekuivalen satu sama lain, mari kita perhatikan dua rumusnya. Ini adalah kata penghubung yang sempurna bentuk biasa(SCNF) dan bentuk normal disjungtif sempurna (SDNF). Mereka dibuat untuk rumus tertentu berdasarkan tabel kebenarannya.

Pembangunan SDNF:

• -- baris dipilih yang sesuai dengan nilai kebenaran (1) rumus ini;
• -- untuk setiap baris yang dipilih, kita membuat konjungsi variabel atau negasinya sehingga himpunan nilai variabel yang disajikan dalam baris tersebut sesuai dengan nilai sebenarnya dari konjungsi tersebut (untuk ini, variabel yang mengambil nilai salah (0) pada baris ini harus diambil dengan tanda negasi, dan variabelnya, mengambil nilai kebenaran (1) tanpa negasi);
• -- disjungsi dari konjungsi yang dihasilkan dikompilasi.

Dari algoritma tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk rumus apa pun dimungkinkan untuk membuat SDNF, dan terlebih lagi, SDNF yang unik, jika rumus tersebut tidak sepenuhnya salah, yaitu. hanya menerima nilai-nilai palsu.

Penyusunan SKNF dilakukan dengan algoritma sebagai berikut:

• -- sorot baris tabel yang rumusnya bernilai false (0);
• -- dari variabel di setiap baris tersebut, buat disjungsi yang bernilai - false (0). Untuk melakukan ini, semua variabel harus memasukkannya dengan nilai salah, oleh karena itu yang benar (1) harus diganti dengan negasinya;
• -- membentuk konjungsi dari disjungsi yang dihasilkan.

Jelasnya, rumus apa pun yang bukan tautologi memiliki SCNF.

SDNF dan SCNF digunakan untuk mendapatkan konsekuensi dari rumus ini.

Contoh: Buat tabel kebenaran SDNF dan SCNF dengan rumus: .

Tabel kebenaran SDNF dan SKNF

5. Perhatikan bentuk ekspresi “Sungai mengalir ke Laut Hitam”. Ini berisi satu variabel dan dapat direpresentasikan sebagai “Sungai x mengalir ke Laut Hitam.”

Bergantung pada nilai variabel X, kalimat tersebut bisa benar atau salah, yaitu. pemetaan himpunan sungai ke himpunan dua elemen ditentukan. Mari kita nyatakan pemetaan ini, lalu:

Jadi, kita memiliki fungsi yang semua nilainya termasuk dalam himpunan.

Definisi: Suatu fungsi yang semua nilainya termasuk dalam suatu himpunan disebut predikat.

Huruf yang menunjukkan predikat disebut simbol predikat.

Predikat dapat ditentukan:

a) rumus ekspresif,

b) rumus, yaitu menentukan interpretasi simbol predikat,

c) meja.

1) P - “mengalir ke Laut Hitam.”

Rumus ini berarti “Sungai a mengalir ke Laut Hitam”.

• 2) Predikat P diberikan dengan rumus ekspresif: “menjadi bilangan prima pada himpunan 15 bilangan asli pertama."
• 3) Dalam bentuk tabel, predikatnya berbentuk:

Domain definisi predikat dapat berupa himpunan apa saja.

Jika suatu predikat kehilangan maknanya untuk himpunan variabel masukan apa pun, maka secara umum diterima bahwa nilai L sesuai dengan himpunan ini.

Jika suatu predikat mengandung satu variabel, maka disebut predikat unary, dua variabel disebut predikat ganda, n variabel disebut predikat n-ary.

Untuk menerjemahkan teks ke dalam bahasa predikat dan menentukan kebenarannya, Anda harus masuk operasi logis atas predikator dan pembilang.

Operasi berikut juga dilakukan pada predikat: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, kesetaraan.

Definisi: Suatu himpunan bagian dari himpunan M yang diberi predikat P, terdiri dari elemen-elemen M tersebut dan hanya unsur-unsur M yang sesuai dengan nilai I dari predikat P, disebut himpunan kebenaran dari predikat P.

Himpunan kebenaran telah ditentukan.

Definisi: Negasi predikat P adalah predikat yang salah untuk himpunan nilai variabel yang mengubah P menjadi benar, dan benar untuk himpunan nilai variabel yang mengubah P menjadi predikat salah.

Negasi ditunjukkan.

Menjadi mahasiswa ABiK.

Bukan menjadi mahasiswa ABiK.

Jika, maka himpunan, dimana M adalah himpunan yang diberi predikat P dan Q.

Definisi: konjungsi predikat adalah predikat yang benar bagi predikat tersebut dan hanya nilai variabel yang termasuk di dalamnya yang membuat kedua predikat tersebut benar.

Jadilah pemain sepak bola

Jadilah seorang pelajar

: menjadi pemain sepak bola dan menjadi pelajar.

Definisi: disjungsi predikat adalah predikat yang salah untuk himpunan variabel yang termasuk di dalamnya yang membuat kedua predikat tersebut salah

Bersikaplah seimbang bilangan asli

Jadilah bilangan asli ganjil

: menjadi bilangan asli.

Definisi: Implikasi predikat adalah predikat yang salah bagi himpunan variabel yang termasuk di dalamnya dan hanya himpunan variabel yang berubah menjadi predikat benar dan menjadi salah.

Ditunjukkan oleh:

Jadilah bilangan prima di himpunan N

Menjadi bilangan ganjil

Salah untuk dan benar untuk bilangan asli lainnya.

Definisi: Kesetaraan predikat adalah predikat yang menjadi benar jika kedua predikatnya benar atau keduanya salah.

Ditunjukkan oleh:

- "menang", mis. x mengalahkan y

Lebih baik mengetahui sejarah catur, x lebih tahu dari pada y

menunjukkan bahwa x mengalahkan y dalam catur jika dan hanya jika dia mengetahui teorinya dengan lebih baik.

Definisi: Suatu predikat mengikuti suatu predikat jika implikasinya benar untuk setiap nilai variabel yang termasuk di dalamnya.

Berikut ini ditunjukkan: .

Jadilah seorang pelajar

Pergi ke kampus

Ada 2 cara untuk mengubah predikat menjadi pernyataan:

1) memberikan variabel arti tertentu

; x - pelajar

Ivanov adalah seorang pelajar.

2) Melampirkan bilangan - apa saja, setiap, setiap

Ada, ada.

Entri yang mempunyai sifat P berarti setiap benda x mempunyai sifat P. Atau dengan kata lain, “semua x mempunyai sifat P”.

Masuknya berarti ada benda x yang mempunyai sifat P.

Contoh 1. Tetapkan kebenaran pernyataan · C Solusi. Termasuk pernyataan yang kompleks mencakup 3 pernyataan sederhana: A, B, C.

Kolom pada tabel diisi dengan nilai (0, 1). Semua ditunjukkan situasi yang mungkin terjadi. Ucapan sederhana yang kompleks dipisahkan oleh garis vertikal ganda. Saat menyusun tabel, harus berhati-hati agar tidak membingungkan urutan tindakan; Saat mengisi kolom, Anda harus bergerak “dari dalam ke luar”, yaitu. dari rumus dasar ke hal-hal yang semakin kompleks; kolom terakhir yang diisi berisi nilai rumus aslinya.

Dari tabel tersebut jelas bahwa pernyataan ini benar hanya jika A=0, B=1, C=1. Dalam semua kasus lainnya, hal ini salah.

Anda juga dapat menemukan informasi yang Anda minati di mesin pencari ilmiah Otvety.Online. Gunakan formulir pencarian:

Lebih lanjut tentang topik 1. Menetapkan kebenaran pernyataan kompleks:

1. 29. Masalah solvabilitas pada aljabar proposisional (AB). Algoritma untuk memeriksa rumus aljabar proposisional untuk kebenaran identik: menyusun tabel kebenaran, melakukan transformasi setara (analisis CNF), algoritma reduksi, algoritma Quine. Keuntungan dan kerugian dari metode-metode ini.
2. Pertanyaan 6. Kalkulus proposisional. Aksioma. Aturan inferensi. Kesimpulan. Kebenaran yang sama dari rumus turunan (buktikan). Konsistensi kalkulus proposisional. Sebuah teorema tentang kelengkapan kalkulus proposisional. Masalah solvabilitas. Kalkulus proposisional. Masalah solvabilitas

Properti

Mari kita perhatikan beberapa properti produk Cartesian:

1. Jika A,B - himpunan terbatas, Itu A× B- terakhir. Begitu pula sebaliknya, jika salah satu himpunan faktor tak terhingga, maka hasil perkaliannya adalah himpunan tak terhingga.

2. Banyaknya elemen dalam hasil kali kartesius sama dengan hasil kali banyaknya elemen himpunan faktor (tentu saja jika terbatas): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. Sebuah np ≠(Sebuah) P- dalam kasus pertama, disarankan untuk mempertimbangkan hasil perkalian Cartesian sebagai matriks berdimensi 1× n.p., yang kedua - sebagai matriks ukuran N× P .

4. Hukum komutatif tidak terpenuhi, karena pasangan elemen hasil perkalian kartesius diurutkan: A× B≠B× A .

5. Hukum asosiatif tidak terpenuhi: ( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Terdapat distribusivitas terhadap operasi dasar pada himpunan: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

11. Konsep pernyataan. Pernyataan dasar dan majemuk.

Penyataan apakah ini pernyataan atau kalimat deklaratif, yang dapat kita katakan benar (I-1) atau salah (L-0), tetapi tidak keduanya sekaligus.

Misalnya, “Hari ini hujan”, “Ivanov menyelesaikan pekerjaan laboratorium Nomor 2 dalam fisika."

Jika kita mempunyai beberapa pernyataan awal, maka dari pernyataan tersebut, gunakan kesatuan yang logis atau partikel kita dapat membentuk pernyataan baru, yang nilai kebenarannya hanya bergantung pada nilai kebenaran pernyataan asli dan pada konjungsi serta partikel tertentu yang berpartisipasi dalam konstruksi pernyataan baru. Kata-kata dan ungkapan “dan”, “atau”, “tidak”, “jika… maka”, “oleh karena itu”, “kemudian dan hanya kemudian” adalah contoh dari konjungsi tersebut. Pernyataan asli disebut sederhana , dan pernyataan baru yang dibangun darinya menggunakan konjungsi logis tertentu - gabungan . Tentu saja, kata “sederhana” tidak ada hubungannya dengan esensi atau struktur pernyataan aslinya, yang bisa jadi cukup rumit. DI DALAM dalam konteks ini kata “sederhana” identik dengan kata “asli”. Yang penting adalah nilai kebenaran pernyataan sederhana diasumsikan diketahui atau diberikan; dalam hal apa pun, hal itu tidak dibahas dengan cara apa pun.

Meskipun pernyataan seperti “Hari ini bukan Kamis” tidak terdiri dari dua pernyataan sederhana yang berbeda, namun untuk keseragaman konstruksinya juga dianggap majemuk, karena nilai kebenarannya ditentukan oleh nilai kebenaran pernyataan lainnya “Hari ini adalah Kamis. ”

Contoh 2. Pernyataan berikut ini dianggap sebagai senyawa:

Saya membaca Moskovsky Komsomolets dan saya membaca Kommersant.

Jika dia mengatakannya, maka itu benar.

Matahari bukanlah bintang.

Jika cuaca cerah dan suhu melebihi 25 0, saya akan tiba dengan kereta api atau mobil

Pernyataan-pernyataan sederhana yang termasuk dalam senyawa bisa saja berubah-ubah. Secara khusus, mereka sendiri dapat berupa komposit. Tipe dasar dijelaskan di bawah ini pernyataan majemuk ditentukan secara independen dari pernyataan sederhana yang membentuknya.

12. Operasi pada pernyataan.

1. Operasi negasi.

Dengan meniadakan pernyataan tersebut A ( berbunyi “tidak A", "itu tidak benar A"), yang benar bila A salah dan salah kapan A- BENAR.

Pernyataan yang saling menyangkal A Dan dipanggil di depan.

2. Operasi konjungsi.

Konjungsi pernyataan A Dan DI DALAM disebut pernyataan yang dilambangkan dengan A B(membaca " A Dan DI DALAM"), nilai sebenarnya ditentukan jika dan hanya jika kedua pernyataan A Dan DI DALAM benar.

Konjungsi pernyataan disebut produk logis dan sering dilambangkan AB.

Biarkan pernyataan diberikan A- “pada bulan Maret suhu udara berkisar dari 0 C ke + 7C" dan berkata DI DALAM- “Hujan di Vitebsk.” Kemudian A B adalah sebagai berikut: “pada bulan Maret suhu udara adalah dari 0 C ke + 7C dan sedang hujan di Vitebsk.” Konjungsi ini akan benar jika terdapat pernyataan A Dan DI DALAM BENAR. Kalau ternyata suhunya kurang 0 C atau saat itu tidak ada hujan di Vitebsk A B akan salah.

3 . Operasi disjungsi.

Pemisahan pernyataan A Dan DI DALAM disebut pernyataan A B (A atau DI DALAM), yang benar jika dan hanya jika setidaknya salah satu pernyataan benar dan salah - jika kedua pernyataan salah.

Disjungsi pernyataan disebut juga penjumlahan logis A+B.

Pernyataan " 4<5 atau 4=5 " itu benar. Sejak pernyataan " 4<5 " benar, dan pernyataan " 4=5 » – salah kalau begitu A B mewakili pernyataan yang sebenarnya" 4 5 ».

4 . Operasi implikasi.

Implikasinya pernyataan A Dan DI DALAM disebut pernyataan A B("Jika A, Itu DI DALAM", "dari A sebaiknya DI DALAM"), yang nilainya salah jika dan hanya jika A benar, tapi DI DALAM PALSU.

Implikasinya A B penyataan A ditelepon dasar, atau premis, dan pernyataan DI DALAM – konsekuensi, atau kesimpulan.

13. Tabel kebenaran pernyataan.

Tabel kebenaran adalah tabel yang menetapkan korespondensi antara semua kemungkinan himpunan variabel logis yang termasuk dalam fungsi logika dan nilai fungsi tersebut.

Tabel kebenaran digunakan untuk:

Menghitung kebenaran pernyataan kompleks;

Menetapkan kesetaraan pernyataan;

Definisi tautologi.

Menetapkan kebenaran pernyataan yang kompleks.

Contoh 1. Menetapkan kebenaran suatu pernyataan · C

Larutan. Pernyataan kompleks mencakup 3 pernyataan sederhana: A, B, C. Kolom pada tabel diisi dengan nilai (0, 1). Semua kemungkinan situasi ditunjukkan. Pernyataan sederhana dipisahkan dari pernyataan kompleks dengan garis vertikal ganda.
Saat menyusun tabel, harus berhati-hati agar tidak membingungkan urutan tindakan; Saat mengisi kolom, Anda harus bergerak “dari dalam ke luar”, yaitu. dari rumus dasar hingga rumus yang semakin kompleks; kolom terakhir yang diisi berisi nilai rumus aslinya.

Tabel menunjukkan bahwa pernyataan ini benar hanya jika A = 0, B = 1, C = 1. Dalam semua kasus lainnya, hal ini salah.

14. Rumus yang setara.

Dua formula A Dan DI DALAM disebut ekuivalen jika mengambil nilai logika yang sama untuk himpunan nilai apa pun dari pernyataan dasar yang termasuk dalam rumus.

Kesetaraan ditunjukkan dengan tanda " ". Untuk mengubah rumus menjadi persamaan, peran penting dimainkan oleh persamaan dasar yang menyatakan beberapa operasi logis melalui yang lain, persamaan yang menyatakan hukum dasar aljabar logika.

Untuk formula apa pun A, DI DALAM, DENGAN kesetaraannya valid.

I. Kesetaraan dasar

hukum idempotensi

1-benar

0-salah

Hukum kontradiksi

Hukum kelompok menengah yang dikecualikan

hukum penyerapan

rumus pemisahan

hukum perekatan

II. Persamaan yang mengungkapkan beberapa operasi logis dalam kaitannya dengan operasi lain.

hukum de Morgan

AKU AKU AKU. Persamaan yang menyatakan hukum dasar aljabar logika.

hukum komutatif

hukum asosiatif

hukum distributif

15. Rumus logika proposisional.

Jenis rumus logika proposisi klasik– dalam logika proposisional, jenis rumus berikut dibedakan:

1. Hukum(rumus yang identik dengan kebenaran) – rumus yang, dalam interpretasi variabel proposisional apa pun, mempunyai nilai "BENAR";

2. Kontroversi(rumus yang identik salah) – rumus yang, dalam interpretasi variabel proposisional apa pun, mempunyai nilai "PALSU";

3. Formula yang memuaskan- yang memiliki makna "BENAR" untuk setidaknya satu set nilai kebenaran dari variabel proposisi penyusunnya.

Hukum dasar logika proposisional klasik:

1. Hukum identitas: ;

2. Hukum kontradiksi: ;

3. Hukum bagian tengah yang dikecualikan: ;

4. Hukum komutatifitas dan: , ;

5. Hukum distribusi terhadap , dan sebaliknya: , ;

6. Hukum penghilangan anggota konjungsi yang sebenarnya: ;

7. Hukum menghilangkan suku salah suatu disjungsi: ;

8. Hukum kontraposisi: ;

9. Hukum interekspresibilitas dari penghubung proposisional: , , , , , .

Prosedur penyelesaian- metode yang memungkinkan Anda menentukan untuk setiap rumus apakah rumus tersebut merupakan hukum, kontradiksi, atau rumus yang layak. Prosedur solvabilitas yang paling umum adalah metode tabel kebenaran. Namun, dia bukan satu-satunya. Metode solvabilitas yang efektif adalah metode bentuk biasa untuk rumus logika proposisional. Bentuk biasa Rumus logika proposisi adalah bentuk yang tidak mengandung tanda implikasi “”. Ada bentuk normal konjungtif dan disjungtif. Bentuk konjungtif hanya memuat tanda konjungsi " ". Jika suatu rumus direduksi menjadi bentuk normal konjungtif mengandung subrumus dari bentuk tersebut , maka keseluruhan rumus dalam hal ini adalah kontradiksi. Bentuk disjungtif hanya memuat tanda disjungsi " ". Jika suatu rumus yang direduksi menjadi bentuk normal disjungtif mengandung subrumus dari bentuk tersebut , maka keseluruhan rumus dalam hal ini adalah menurut hukum. Dalam semua kasus lainnya, rumusnya adalah formula yang memuaskan.

16. Predikat dan operasinya. Pengukur.

Sebuah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan, jika diberi nilai tertentu dari variabel tersebut, disebut pernyataan bentuk atau predikat ekspresif.

Tergantung pada jumlah variabel yang termasuk dalam penawaran, ada single, double, triple, dll. predikat, dilambangkan dengan demikian: A( X), DI DALAM( X, pada), DENGAN( X, pada, z).

Jika predikat tertentu diberikan, maka dua himpunan dikaitkan dengannya:

1. Himpunan (domain) definisi X, terdiri dari semua nilai variabel, jika disubstitusikan menjadi predikat, predikat berubah menjadi pernyataan. Saat menentukan predikat, domain definisinya biasanya ditunjukkan.

2. Kebenaran set T, terdiri dari semua nilai variabel tersebut, jika disubstitusikan ke dalam predikat, diperoleh pernyataan yang benar.

Himpunan kebenaran suatu predikat selalu merupakan bagian dari domain definisinya.

Anda dapat melakukan operasi yang sama pada predikat seperti pada pernyataan.

1. Penyangkalan predikat A( X), yang didefinisikan pada himpunan X, disebut predikat yang benar untuk nilai yang predikatnya A( X) berubah menjadi pernyataan yang salah, dan sebaliknya.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa predikat A( X) dan B( X) bukan merupakan negasi satu sama lain jika terdapat paling sedikit satu nilai yang predikatnya A( X) dan B( X) berubah menjadi pernyataan dengan nilai kebenaran yang sama.

Himpunan kebenaran predikat merupakan komplemen dari himpunan kebenaran predikat A( X). Mari kita nyatakan dengan T A himpunan kebenaran dari predikat A( X), dan melalui T - himpunan kebenaran predikat. Kemudian .

2. Konjungsi predikat A( X) dan B( XX) DI DALAM( X X X, dimana kedua predikat berubah menjadi pernyataan yang benar.

Himpunan kebenaran konjungsi predikat merupakan perpotongan himpunan kebenaran predikat A( X) DI DALAM( X). Jika kita menyatakan himpunan kebenaran predikat A(x) dengan T A, dan himpunan kebenaran predikat B(x) dengan T B, dan himpunan kebenaran predikat A(x) B(x) dengan , maka

3. Pemisahan predikat A( X) dan B( X), yang didefinisikan pada himpunan X, disebut predikat A( X) DI DALAM( X), yang berubah menjadi pernyataan yang benar untuk nilai-nilai itu dan hanya nilai-nilai itu X X, yang paling sedikit salah satu predikatnya berubah menjadi pernyataan benar.

Himpunan kebenaran disjungsi predikat adalah gabungan himpunan kebenaran dari predikat-predikat yang membentuknya, yaitu. .

4.Implikasinya predikat A( X) dan B( X), yang didefinisikan pada himpunan X, disebut predikat A( X) DI DALAM( X), yang salah untuk nilai-nilai tersebut dan hanya nilai-nilai variabel yang predikat pertamanya berubah menjadi pernyataan benar, dan predikat kedua menjadi pernyataan salah.

Himpunan kebenaran implikasi predikat merupakan gabungan dari himpunan kebenaran predikat B( X) dengan penambahan himpunan kebenaran predikat A( X), yaitu

5. Persamaan derajatnya predikat A( X) dan B( X), yang diberikan pada himpunan X, disebut predikat yang berubah menjadi pernyataan benar untuk semua itu dan hanya nilai-nilai variabel yang kedua predikatnya berubah menjadi pernyataan benar atau pernyataan salah.

Himpunan kebenaran kesetaraan predikat merupakan perpotongan himpunan kebenaran suatu predikat dengan himpunan kebenaran suatu predikat.

Operasi pembilang pada predikat

Suatu predikat dapat diterjemahkan menjadi suatu pernyataan dengan menggunakan metode substitusi dan metode “penambahan bilangan”.

Tentang bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 kita dapat mengatakan: a) Semua bilangan-bilangan ini adalah bilangan prima; B) beberapa dari angka-angka yang diberikan adalah genap.

Karena kalimat-kalimat tersebut dapat dikatakan benar atau salah, maka kalimat-kalimat yang dihasilkan adalah pernyataan.

Jika kita menghilangkan kata “semua” dari kalimat “a”, dan kata “beberapa” dari kalimat “b”, maka kita memperoleh predikat sebagai berikut: “bilangan-bilangan tertentu adalah bilangan prima”, “bilangan-bilangan tertentu ganjil”.

Kata “semua” dan “beberapa” disebut bilangan. Kata “quantifier” berasal dari bahasa Latin dan berarti “berapa banyak”, yaitu quantifier menunjukkan berapa banyak (semua atau beberapa) objek yang dibicarakan dalam kalimat tertentu.

Ada dua tipe utama dari quantifier: quantifier umum dan quantifier keberadaan.

Ketentuan “setiap”, “setiap”, “semua orang” dipanggil – pengukur universal. Dilambangkan dengan .

Misalkan A( X) – predikat tertentu yang ditentukan pada himpunan X. Di bawah ekspresi A( X) kita memahami pernyataan itu benar ketika A( X) bernilai benar untuk setiap elemen himpunan X, dan bernilai salah jika tidak.

Dalam contoh 1 untuk R 1 domain definisi: , kumpulan nilai - . Untuk R 2 domain definisi: , kumpulan nilai: .

Dalam banyak kasus, lebih mudah menggunakan representasi grafis dari relasi biner. Hal ini dilakukan dengan dua cara: menggunakan titik-titik pada bidang dan menggunakan panah.

Dalam kasus pertama, dua garis yang saling tegak lurus dipilih sebagai sumbu horizontal dan vertikal. Elemen-elemen himpunan diplot pada sumbu horizontal A dan tarik garis vertikal melalui setiap titik. Elemen-elemen himpunan diplot pada sumbu vertikal B, tarik garis horizontal melalui setiap titik. Titik perpotongan garis horizontal dan vertikal melambangkan unsur hasil kali langsung

18. Metode untuk menentukan relasi biner.

Subset apa pun dari hasil kali Kartesius A×B disebut relasi biner yang didefinisikan pada sepasang himpunan A dan B (dalam bahasa Latin, “bis” berarti “dua kali”). Dalam kasus umum, dengan analogi relasi biner, relasi n-ary juga dapat dianggap sebagai barisan terurut dari n elemen yang diambil dari salah satu dari n himpunan.

Untuk menyatakan relasi biner, digunakan tanda R. Karena R adalah himpunan bagian dari himpunan A×B, kita dapat menuliskan R⊆A×. Jika Anda perlu menunjukkan bahwa (a, b) ∈ R, yaitu terdapat relasi R antara elemen a ∈ A dan b ∈ B, maka tulislah aRb.

Metode untuk menentukan relasi biner:

1. Ini adalah penggunaan aturan yang dengannya semua elemen yang termasuk dalam hubungan tertentu ditunjukkan. Daripada menggunakan aturan, Anda dapat memberikan daftar elemen relasi tertentu dengan menghitungnya secara langsung;

2. Tabel, berupa grafik dan menggunakan bagian-bagian. Dasar dari metode tabel adalah sistem koordinat persegi panjang, di mana elemen-elemen dari satu himpunan diplot sepanjang satu sumbu, dan elemen-elemen dari himpunan lainnya diplot sepanjang sumbu kedua. Perpotongan koordinat membentuk titik-titik yang menunjukkan unsur-unsur hasil kali kartesius.

(Gambar 1.16) menunjukkan grid koordinat untuk himpunan. Titik potong tiga garis vertikal dengan enam garis horizontal merupakan elemen himpunan A×B. Lingkaran pada grid menandai elemen relasi aRb, dimana a ∈ A dan b ∈ B, R menyatakan relasi “membagi”.

Hubungan biner ditentukan oleh sistem koordinat dua dimensi. Jelaslah bahwa semua elemen hasil kali Cartesian dari tiga himpunan dapat direpresentasikan dengan cara yang sama dalam sistem koordinat tiga dimensi, empat himpunan dalam sistem empat dimensi, dan seterusnya;

3. Metode menentukan hubungan menggunakan bagian lebih jarang digunakan, jadi kami tidak akan mempertimbangkannya.

19. Refleksivitas hubungan biner. Contoh.

Dalam matematika, relasi biner pada suatu himpunan disebut refleksif jika setiap elemen himpunan tersebut mempunyai relasi dengan dirinya sendiri.

Sifat refleksivitas untuk relasi tertentu oleh suatu matriks dicirikan oleh fakta bahwa semua elemen diagonal matriks sama dengan 1; mengingat hubungan pada grafik, setiap elemen memiliki loop - busur (x, x).

Jika kondisi ini tidak terpenuhi untuk salah satu elemen himpunan, maka relasi tersebut disebut anti-refleksif.

Jika relasi anti refleksif diberikan oleh sebuah matriks, maka semua elemen diagonalnya adalah nol. Ketika hubungan seperti itu ditentukan oleh grafik, setiap titik tidak memiliki loop - tidak ada busur berbentuk (x, x).

Secara formal, sikap anti-refleksivitas diartikan sebagai: .

Jika kondisi refleksivitas tidak terpenuhi untuk semua elemen himpunan, maka relasi tersebut dikatakan non-refleksif.

©2015-2019 situs
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepenulisan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 12-04-2016

Konsep “ucapan” adalah yang utama. Secara logika, pernyataan merupakan kalimat deklaratif yang dapat dikatakan benar atau salah. Setiap pernyataan bisa benar atau salah, dan tidak ada pernyataan yang benar dan salah.

Contoh pernyataan: ada bilangan genap”, “1 bilangan prima”. Nilai kebenaran dari dua pernyataan pertama adalah “kebenaran”, nilai kebenaran dari dua pernyataan terakhir

Kalimat interogatif dan seruan bukanlah pernyataan. Definisi bukanlah pernyataan. Misalnya definisi “suatu bilangan bulat dikatakan genap jika habis dibagi 2” bukanlah suatu pernyataan. Namun, kalimat deklaratif “jika suatu bilangan bulat habis dibagi 2, maka bilangan tersebut genap” adalah pernyataan yang benar. Dalam logika proposisional, seseorang mengabstraksi isi semantik suatu pernyataan, membatasi dirinya untuk mempertimbangkannya dari posisi apakah pernyataan tersebut benar atau salah.

Berikut ini kita akan memahami pengertian suatu pernyataan sebagai nilai kebenarannya (“benar” atau “salah”). Kami akan menyatakan pernyataan dengan huruf Latin kapital, dan artinya, yaitu “benar” atau “salah”, masing-masing dengan huruf I dan L.

Logika proposisional mempelajari hubungan yang sepenuhnya ditentukan oleh cara beberapa pernyataan dibangun dari pernyataan lain, yang disebut pernyataan dasar. Dalam hal ini, pernyataan-pernyataan dasar dianggap sebagai keseluruhan, tidak dapat diuraikan menjadi bagian-bagian, yang struktur internalnya tidak menarik minat kita.

Operasi logis pada pernyataan.

Dari pernyataan dasar, dengan menggunakan operasi logika, Anda dapat memperoleh pernyataan baru yang lebih kompleks. Nilai kebenaran suatu pernyataan kompleks bergantung pada nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang menyusun pernyataan kompleks tersebut. Ketergantungan ini ditentukan dalam definisi di bawah ini dan tercermin dalam tabel kebenaran. Kolom kiri tabel ini berisi semua kemungkinan distribusi nilai kebenaran untuk pernyataan yang secara langsung merupakan pernyataan kompleks yang sedang dipertimbangkan. Pada kolom sebelah kanan, tuliskan nilai kebenaran pernyataan kompleks sesuai dengan distribusi pada setiap barisnya.

Misalkan A dan B adalah pernyataan sembarang yang kita asumsikan nilai kebenarannya tidak diketahui. Negasi pernyataan A adalah pernyataan baru yang benar jika dan hanya jika A salah. Negasi A ditandai dengan dan dibaca “bukan A” atau “tidak benar A”. Operasi negasi sepenuhnya ditentukan oleh tabel kebenaran

Contoh. Pernyataan “tidak benar bahwa 5 bilangan genap” yang bernilai AND merupakan negasi dari pernyataan salah “5 bilangan genap”.

Dengan menggunakan operasi konjungsi, dua pernyataan dibentuk menjadi satu pernyataan kompleks, dilambangkan A D B. Menurut definisi, pernyataan A D B benar jika dan hanya jika kedua pernyataan tersebut benar. Pernyataan A dan B masing-masing disebut anggota pertama dan kedua dari konjungsi A D B. Entri “A D B” dibaca “L dan B”. Tabel kebenaran konjungsi mempunyai bentuk

Contoh. Pernyataan “7 adalah bilangan prima dan 6 bilangan ganjil” adalah salah jika dua pernyataan digabungkan, salah satunya salah.

Disjungsi dua pernyataan A dan B adalah suatu pernyataan yang dilambangkan dengan , yang benar jika dan hanya jika paling sedikit salah satu pernyataan A dan B benar.

Oleh karena itu, pernyataan A V B salah jika dan hanya jika A dan B keduanya salah. Pernyataan A dan B masing-masing disebut suku pertama dan kedua dari disjungsi A V B. Entri A V B dibaca “A atau B”. Konjungsi “atau” dalam hal ini mempunyai arti yang tidak dapat dipisahkan, karena pernyataan A V B benar meskipun kedua suku benar. Disjungsi tersebut mempunyai tabel kebenaran sebagai berikut:

Contoh. Pernyataan “3 Suatu pernyataan yang dilambangkan dengan , salah jika dan hanya jika A benar dan B salah, disebut implikasi dengan premis A dan kesimpulan B. Pernyataan A-+ B dibaca “jika A, maka 5, ” atau “A menyiratkan B,” atau “dari A mengikuti B.” Tabel kebenaran implikasinya adalah:

Perhatikan bahwa mungkin tidak ada hubungan sebab-akibat antara premis dan kesimpulan, namun hal ini tidak dapat mempengaruhi benar atau salahnya implikasi. Misalnya, pernyataan “jika 5 adalah bilangan prima, maka garis bagi segitiga sama sisi adalah median” akan benar, meskipun dalam pengertian biasa, angka kedua tidak mengikuti yang pertama. Pernyataan “jika 2 + 2 = 5, maka 6 + 3 = 9” juga benar, karena kesimpulannya benar. Dengan adanya definisi ini, jika kesimpulannya benar, maka implikasinya akan benar terlepas dari nilai kebenaran premisnya. Jika premisnya salah, maka implikasinya akan benar, berapapun nilai kebenaran kesimpulannya. Keadaan tersebut dirumuskan secara singkat sebagai berikut: “kebenaran timbul dari apapun”, “segala sesuatu timbul dari kepalsuan”.

Nilai kebenaran