Persamaan dalam teori probabilitas dengan solusi. Teori probabilitas

Banyak orang, ketika dihadapkan pada konsep “teori probabilitas”, menjadi takut, berpikir bahwa ini adalah sesuatu yang luar biasa, sangat kompleks. Namun sebenarnya semuanya tidak begitu tragis. Hari ini kita akan melihat konsep dasar teori probabilitas dan mempelajari cara memecahkan masalah menggunakan contoh-contoh spesifik.

Sains

Apa yang dipelajari oleh cabang matematika seperti “teori probabilitas”? Dia mencatat pola dan kuantitas. Para ilmuwan pertama kali tertarik pada masalah ini pada abad kedelapan belas, ketika mereka mempelajarinya berjudi. Konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa. Ini adalah fakta apa pun yang ditetapkan melalui pengalaman atau observasi. Tapi apakah pengalaman itu? Konsep dasar lain dari teori probabilitas. Artinya, rangkaian keadaan ini diciptakan bukan secara kebetulan, melainkan untuk tujuan tertentu. Sedangkan untuk observasi, di sini peneliti sendiri tidak ikut serta dalam percobaan, tetapi hanya menjadi saksi dari peristiwa tersebut; dia tidak mempengaruhi apa yang terjadi dengan cara apapun.

Acara

Kami mempelajari bahwa konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa, tetapi kami tidak mempertimbangkan klasifikasinya. Semuanya dibagi ke dalam kategori berikut:

• Dapat diandalkan.
• Mustahil.
• Acak.

Terlepas dari jenis peristiwa apa yang terjadi, diamati atau diciptakan selama pengalaman, semuanya termasuk dalam klasifikasi ini. Kami mengundang Anda untuk mengenal setiap jenis secara terpisah.

Acara yang dapat diandalkan

Ini adalah keadaan dimana serangkaian tindakan yang diperlukan telah diambil. Untuk lebih memahami esensinya, ada baiknya memberikan beberapa contoh. Fisika, kimia, ekonomi, dan matematika yang lebih tinggi. Teori probabilitas mencakup hal ini konsep penting, Bagaimana acara yang dapat diandalkan. Berikut beberapa contohnya:

• Kami bekerja dan menerima kompensasi dalam bentuk upah.
• Kami lulus ujian dengan baik, lulus kompetisi, untuk itu kami mendapat imbalan berupa masuk lembaga pendidikan.
• Kami menginvestasikan uang di bank, dan jika perlu, kami akan mendapatkannya kembali.

Peristiwa seperti itu dapat diandalkan. Jika kita sudah menyelesaikan semuanya kondisi yang diperlukan, maka kita pasti akan mendapatkan hasil yang diharapkan.

Peristiwa yang mustahil

Sekarang kita sedang mempertimbangkan elemen teori probabilitas. Kami mengusulkan untuk beralih ke penjelasan jenis kejadian berikutnya, yaitu kejadian yang mustahil. Untuk memulainya, mari kita tentukan yang paling banyak aturan penting- kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Seseorang tidak boleh menyimpang dari rumusan ini ketika memecahkan masalah. Untuk lebih jelasnya, berikut contoh peristiwa tersebut:

• Air membeku pada suhu plus sepuluh (ini tidak mungkin).
• Kurangnya listrik tidak mempengaruhi produksi dengan cara apapun (sama mustahilnya dengan contoh sebelumnya).

Tidak ada gunanya memberikan lebih banyak contoh, karena contoh yang dijelaskan di atas dengan jelas mencerminkan esensi dari kategori ini. Suatu kejadian mustahil tidak akan pernah terjadi selama percobaan dalam kondisi apapun.

Peristiwa Acak

Mempelajari unsur-unsur teori probabilitas, perhatian khusus layak untuk diperhatikan spesies ini acara. Inilah yang dia pelajari ilmu ini. Sebagai hasil dari pengalaman, sesuatu mungkin terjadi atau tidak. Selain itu, pengujian dapat dilakukan dalam jumlah yang tidak terbatas. Contoh nyata dapat melayani:

• Pelemparan koin adalah sebuah pengalaman atau ujian, pendaratan kepala adalah sebuah peristiwa.
• Mengeluarkan bola dari tas secara membabi buta adalah sebuah ujian; mendapatkan bola merah adalah sebuah peristiwa, dan seterusnya.

Contoh-contoh seperti itu jumlahnya tidak terbatas, tetapi, secara umum, esensinya harus jelas. Untuk meringkas dan mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh tentang peristiwa tersebut, disediakan tabel. Teori probabilitas hanya mempelajari jenis terakhir dari semua yang disajikan.

Hukum

Teori probabilitas adalah ilmu yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Seperti yang lainnya, ia memiliki beberapa aturan. Ada undang-undang berikut ini teori probabilitas:

• Konvergensi barisan variabel acak.
• Hukum bilangan besar.

Saat menghitung kemungkinan sesuatu yang kompleks, Anda dapat menggunakan kompleks tersebut peristiwa sederhana untuk mencapai hasil lebih mudah dan cara cepat. Perhatikan bahwa hukum dapat dengan mudah dibuktikan dengan menggunakan teorema tertentu. Kami menyarankan agar Anda mengenal hukum pertama terlebih dahulu.

Konvergensi barisan variabel acak

Perhatikan bahwa ada beberapa jenis konvergensi:

• Urutan variabel acak konvergen dalam probabilitas.
• Hampir mustahil.
• Konvergensi kuadrat rata-rata.
• Konvergensi distribusi.

Jadi, sangat sulit untuk memahami esensinya. Berikut adalah definisi yang akan membantu Anda memahami topik ini. Mari kita mulai dengan tampilan pertama. Urutannya disebut probabilitasnya konvergen, jika bertemu kondisi selanjutnya: n cenderung tak terhingga, bilangan yang cenderung barisan tersebut, lebih besar dari nol dan dekat dengan kesatuan.

Mari kita beralih ke tampilan berikutnya, hampir pasti. Barisan tersebut dikatakan konvergen hampir pasti ke variabel acak dengan n cenderung tak terhingga dan P cenderung nilai mendekati kesatuan.

Tipe berikutnya adalah konvergensi kuadrat rata-rata. Saat menggunakan konvergensi SC, mempelajari vektor proses acak turun untuk mempelajari proses acak koordinatnya.

Masih ada satu tipe terakhir, mari kita lihat secara singkat agar kita bisa langsung melanjutkan ke penyelesaian masalah. Konvergensi dalam distribusi memiliki nama lain - “lemah”; Konvergensi yang lemah adalah konvergensi fungsi distribusi pada semua titik kontinuitas fungsi distribusi pembatas.

Kami pasti akan menepati janji kami: konvergensi yang lemah berbeda dari semua hal di atas dalam hal itu variabel acak tidak ditentukan untuk ruang probabilitas. Hal ini dimungkinkan karena kondisi tersebut dibentuk secara eksklusif menggunakan fungsi distribusi.

Hukum Bilangan Besar

Teorema teori probabilitas, seperti:

• Ketimpangan Chebyshev.
• teorema Chebyshev.
• Teorema Chebyshev yang digeneralisasikan.
• teorema Markov.

Jika kita mempertimbangkan semua teorema ini, maka pertanyaan ini bisa bertahan beberapa lusin lembar. Tugas utama kami adalah menerapkan teori probabilitas dalam praktik. Kami menyarankan Anda melakukan ini sekarang. Namun sebelum itu, mari kita lihat aksioma teori probabilitas; mereka akan menjadi asisten utama dalam memecahkan masalah.

Aksioma

Kami sudah bertemu yang pertama ketika kami berbicara tentang peristiwa yang mustahil. Mari kita ingat: kemungkinan suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Kami memberikan contoh yang sangat jelas dan berkesan: salju turun pada suhu udara tiga puluh derajat Celcius.

Yang kedua adalah sebagai berikut: suatu peristiwa yang dapat diandalkan terjadi dengan suatu probabilitas sama dengan satu. Sekarang kami akan menunjukkan cara menulisnya menggunakan bahasa matematika: P(B)=1.

Ketiga: Peristiwa acak mungkin terjadi atau tidak, tetapi kemungkinannya selalu berkisar antara nol sampai satu. Bagaimana nilai lebih dekat untuk satu, semakin besar peluangnya; jika nilainya mendekati nol, kemungkinannya sangat rendah. Mari kita tuliskan ini bahasa matematika: 0<Р(С)<1.

Mari kita perhatikan aksioma terakhir, keempat, yang bunyinya seperti ini: peluang jumlah dua kejadian sama dengan jumlah peluangnya. Kita menuliskannya dalam bahasa matematika: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksioma teori probabilitas merupakan aturan paling sederhana yang tidak sulit untuk diingat. Mari kita coba menyelesaikan beberapa masalah berdasarkan pengetahuan yang telah kita peroleh.

Tiket lotere

Pertama, mari kita lihat contoh paling sederhana - lotere. Bayangkan Anda membeli satu tiket lotre untuk keberuntungan. Berapa probabilitas Anda akan memenangkan setidaknya dua puluh rubel? Secara total, seribu tiket berpartisipasi dalam pengundian, salah satunya berhadiah lima ratus rubel, sepuluh di antaranya masing-masing bernilai seratus rubel, lima puluh berhadiah dua puluh rubel, dan seratus berhadiah lima. Masalah probabilitas didasarkan pada pencarian kemungkinan keberuntungan. Sekarang bersama-sama kita akan menganalisis solusi dari tugas di atas.

Jika kita menggunakan huruf A untuk menunjukkan kemenangan lima ratus rubel, maka peluang mendapatkan A akan sama dengan 0,001. Bagaimana kita mendapatkan ini? Anda hanya perlu membagi jumlah tiket “beruntung” dengan jumlah totalnya (dalam hal ini: 1/1000).

B adalah kemenangan seratus rubel, kemungkinannya adalah 0,01. Sekarang kita bertindak dengan prinsip yang sama seperti pada tindakan sebelumnya (10/1000)

C - kemenangannya adalah dua puluh rubel. Kami menemukan probabilitasnya, itu sama dengan 0,05.

Kami tidak tertarik dengan sisa tiket, karena dana hadiahnya kurang dari yang ditentukan dalam ketentuan. Mari kita terapkan aksioma keempat: Peluang memenangkan setidaknya dua puluh rubel adalah P(A)+P(B)+P(C). Huruf P menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu; kita telah menemukannya pada tindakan sebelumnya. Tinggal menjumlahkan data yang diperlukan, dan jawaban yang kita dapatkan adalah 0,061. Nomor ini akan menjadi jawaban dari pertanyaan tugas.

Dek kartu

Permasalahan dalam teori probabilitas bisa jadi lebih kompleks; misalnya, mari kita ambil tugas berikut. Di depan Anda ada setumpuk tiga puluh enam kartu. Tugas Anda adalah menggambar dua kartu berturut-turut tanpa mengocok tumpukan, kartu pertama dan kedua harus kartu As, jenisnya tidak masalah.

Pertama, mari kita cari peluang terambilnya kartu pertama kartu as, untuk ini kita membagi empat dengan tiga puluh enam. Mereka mengesampingkannya. Kami mengambil kartu kedua, itu akan menjadi kartu as dengan probabilitas tiga tiga puluh lima. Kemungkinan kejadian kedua tergantung pada kartu mana yang kita ambil pertama kali, kita bertanya-tanya apakah itu kartu as atau bukan. Oleh karena itu, kejadian B bergantung pada kejadian A.

Langkah selanjutnya adalah mencari peluang terjadinya secara bersamaan, yaitu kita mengalikan A dan B. Hasil kali keduanya adalah sebagai berikut: kita mengalikan peluang suatu kejadian dengan peluang bersyarat dari kejadian lain, yang kita hitung, dengan asumsi bahwa kejadian pertama peristiwa terjadi, yaitu kita mengambil kartu as dengan kartu pertama.

Untuk memperjelas semuanya, mari kita beri sebutan pada elemen seperti peristiwa. Dihitung dengan asumsi peristiwa A telah terjadi. Dihitung sebagai berikut: P(B/A).

Mari kita lanjutkan menyelesaikan soal kita: P(A * B) = P(A) * P(B/A) atau P(A * B) = P(B) * P(A/B). Probabilitasnya sama dengan (4/36) * ((3/35)/(4/36). Kita hitung dengan membulatkan ke perseratus terdekat. Kita mendapatkan: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Peluang terambilnya dua kartu as berturut-turut adalah sembilan per seratus. Nilainya sangat kecil, artinya peluang terjadinya peristiwa tersebut sangat kecil.

Nomor yang terlupakan

Kami mengusulkan untuk menganalisis beberapa varian tugas yang dipelajari oleh teori probabilitas. Anda telah melihat contoh penyelesaian beberapa di antaranya di artikel ini. Mari kita coba selesaikan masalah berikut: anak laki-laki itu lupa digit terakhir nomor telepon temannya, tetapi karena panggilan itu sangat penting, dia mulai menelepon semuanya satu per satu. . Kita perlu menghitung kemungkinan dia akan menelepon tidak lebih dari tiga kali. Pemecahan masalah paling sederhana jika aturan, hukum, dan aksioma teori probabilitas diketahui.

Sebelum melihat solusinya, coba selesaikan sendiri. Kita tahu bahwa digit terakhir bisa dari nol sampai sembilan, yaitu total sepuluh nilai. Peluang terambilnya jawaban yang benar adalah 1/10.

Selanjutnya kita perlu mempertimbangkan pilihan asal usul kejadian tersebut, misalkan anak tersebut menebak dengan benar dan langsung mengetik yang benar, kemungkinan terjadinya kejadian tersebut adalah 1/10. Opsi kedua: panggilan pertama meleset, dan panggilan kedua tepat sasaran. Mari kita hitung kemungkinan kejadian seperti itu: kalikan 9/10 dengan 1/9, dan sebagai hasilnya kita juga mendapatkan 1/10. Opsi ketiga: panggilan pertama dan kedua ternyata berada di alamat yang salah, hanya pada panggilan ketiga anak itu sampai ke tempat yang diinginkannya. Kami menghitung kemungkinan kejadian seperti itu: 9/10 dikalikan 8/9 dan 1/8, menghasilkan 1/10. Kami tidak tertarik dengan pilihan lain sesuai dengan kondisi soal, jadi kita tinggal menjumlahkan hasil yang didapat, pada akhirnya kita mendapat 3/10. Jawaban: peluang anak laki-laki tersebut menelepon tidak lebih dari tiga kali adalah 0,3.

Kartu dengan angka

Ada sembilan kartu di depan Anda, yang masing-masingnya tertulis angka satu sampai sembilan, angkanya tidak berulang. Mereka dimasukkan ke dalam kotak dan diaduk rata. Anda perlu menghitung kemungkinannya

• angka genap akan muncul;
• dua digit.

Sebelum melanjutkan ke penyelesaian, mari kita tetapkan bahwa m adalah jumlah kasus yang berhasil, dan n adalah jumlah total pilihan. Mari kita cari peluang munculnya bilangan genap. Tidak akan sulit untuk menghitung bahwa ada empat bilangan genap, ini adalah m kita, total ada sembilan opsi yang memungkinkan, yaitu m=9. Maka probabilitasnya adalah 0,44 atau 4/9.

Mari kita pertimbangkan kasus kedua: jumlah pilihan adalah sembilan, dan tidak ada hasil yang berhasil sama sekali, yaitu m sama dengan nol. Peluang terambilnya kartu berisi dua angka juga nol.

PERKENALAN

Banyak hal yang tidak dapat kita pahami bukan karena konsep kita lemah;
tetapi karena hal-hal tersebut tidak termasuk dalam jangkauan konsep kami.
Kozma Prutkov

Tujuan utama mempelajari matematika di lembaga pendidikan khusus menengah adalah untuk memberikan siswa seperangkat pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan untuk mempelajari disiplin program lain yang menggunakan matematika sampai tingkat tertentu, untuk kemampuan melakukan perhitungan praktis, untuk pembentukan dan pengembangan. dari pemikiran logis.

Dalam karya ini, semua konsep dasar bagian matematika “Dasar-dasar Teori Probabilitas dan Statistik Matematika”, disediakan oleh program dan Standar Pendidikan Negara Pendidikan Kejuruan Menengah (Kementerian Pendidikan Federasi Rusia. M., 2002 ), diperkenalkan secara konsisten, teorema utama dirumuskan, yang sebagian besar tidak terbukti . Masalah utama dan metode penyelesaiannya serta teknologi untuk menerapkan metode ini dalam memecahkan masalah praktis dipertimbangkan. Presentasi tersebut disertai dengan komentar rinci dan banyak contoh.

Petunjuk metodologis dapat digunakan untuk pengenalan awal dengan materi yang dipelajari, ketika membuat catatan perkuliahan, untuk mempersiapkan kelas praktek, untuk mengkonsolidasikan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang diperoleh. Selain itu, buku pedoman ini juga akan berguna bagi mahasiswa S1 sebagai alat referensi, sehingga mereka dapat dengan cepat mengingat kembali apa yang telah dipelajari sebelumnya.

Di akhir pekerjaan terdapat contoh dan tugas yang dapat dilakukan siswa dalam mode pengendalian diri.

Pedoman ini ditujukan untuk siswa paruh waktu dan penuh waktu.

KONSEP DASAR

Teori probabilitas mempelajari pola obyektif dari peristiwa acak massal. Merupakan landasan teori statistik matematika, yang berkaitan dengan pengembangan metode pengumpulan, deskripsi, dan pengolahan hasil observasi. Melalui observasi (tes, eksperimen), yaitu. pengalaman dalam arti luas, pengetahuan tentang fenomena dunia nyata terjadi.

Dalam kegiatan praktis kita sering menjumpai fenomena-fenomena yang hasilnya tidak dapat diprediksi, yang hasilnya bergantung pada kebetulan.

Suatu fenomena acak dapat dicirikan oleh perbandingan jumlah kemunculannya dengan jumlah percobaan yang masing-masing percobaan, dalam kondisi yang sama dari semua percobaan, dapat terjadi atau tidak terjadi.

Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari fenomena (peristiwa) acak dan mengidentifikasi pola ketika fenomena tersebut diulang secara massal.

Statistika matematika adalah salah satu cabang matematika yang pokok bahasannya adalah ilmu yang mempelajari metode pengumpulan, sistematisasi, pengolahan dan penggunaan data statistik untuk memperoleh kesimpulan yang didasarkan pada ilmu pengetahuan dan pengambilan keputusan.

Dalam hal ini data statistik dipahami sebagai sekumpulan angka-angka yang mewakili ciri-ciri kuantitatif dari ciri-ciri objek yang diteliti yang menarik perhatian kita. Data statistik diperoleh sebagai hasil eksperimen dan observasi yang dirancang khusus.

Data statistik pada hakikatnya bergantung pada banyak faktor acak, oleh karena itu statistik matematika erat kaitannya dengan teori probabilitas yang menjadi landasan teorinya.

I. PROBABILITAS. TEOREMA PENAMBAHAN DAN PERKALIAN PROBABILITAS

1.1. Konsep dasar kombinatorik

Dalam cabang matematika yang disebut kombinatorika, beberapa masalah yang berkaitan dengan pertimbangan himpunan dan komposisi berbagai kombinasi elemen himpunan tersebut diselesaikan. Misalnya, jika kita mengambil 10 angka berbeda 0, 1, 2, 3,: , 9 dan menggabungkannya, kita akan mendapatkan angka yang berbeda, misalnya 143, 431, 5671, 1207, 43, dst.

Kita melihat bahwa beberapa kombinasi ini hanya berbeda dalam urutan digitnya (misalnya, 143 dan 431), yang lain - dalam digit yang disertakan di dalamnya (misalnya, 5671 dan 1207), dan yang lainnya juga berbeda dalam jumlah digitnya. (misalnya, 143 dan 43).

Dengan demikian, kombinasi yang dihasilkan memenuhi berbagai kondisi.

Tergantung pada aturan komposisi, tiga jenis kombinasi dapat dibedakan: permutasi, penempatan, kombinasi.

Mari kita kenali dulu konsepnya faktorial.

Hasil kali semua bilangan asli dari 1 sampai n inklusif disebut n-faktorial dan menulis.

Hitung: a) ; B) ; DI DALAM) .

Larutan. A) .

b) Sejak , lalu kita bisa mengeluarkannya dari tanda kurung

Lalu kita dapatkan

V) .

Penataan ulang.

Gabungan n unsur yang berbeda satu sama lain hanya pada urutan unsurnya disebut permutasi.

Permutasi ditunjukkan dengan simbol hal , dimana n adalah banyaknya elemen yang termasuk dalam setiap permutasi. ( R- huruf pertama dari kata Perancis permutasi- penataan ulang).

Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus

atau menggunakan faktorial:

Mari kita ingat itu 0!=1 dan 1!=1.

Contoh 2. Dalam berapa cara enam buku yang berbeda dapat disusun dalam satu rak?

Larutan. Banyaknya cara yang diperlukan sama dengan banyaknya permutasi 6 elemen, yaitu.

Penempatan.

Postingan dari M elemen di N di masing-masing senyawa tersebut disebut senyawa yang berbeda satu sama lain baik berdasarkan unsur-unsurnya sendiri (setidaknya satu), atau berdasarkan urutan susunannya.

Penempatan ditunjukkan dengan simbol dimana M- jumlah semua elemen yang tersedia, N- jumlah elemen dalam setiap kombinasi. ( A- huruf pertama dari kata Perancis pengaturan, yang artinya “penempatan, penataan”).

Pada saat yang sama, diyakini demikian nm.

Jumlah penempatan dapat dihitung menggunakan rumus

,

itu. jumlah semua kemungkinan penempatan dari M elemen oleh N sama dengan produknya N bilangan bulat berurutan, yang mana yang terbesar adalah M.

Mari kita tulis rumus ini dalam bentuk faktorial:

Contoh 3. Berapa banyak pilihan untuk mendistribusikan tiga voucher ke sanatorium dari berbagai profil yang dapat dibuat untuk lima pelamar?

Larutan. Jumlah pilihan yang diperlukan sama dengan jumlah penempatan 5 elemen dari 3 elemen, yaitu.

.

Kombinasi.

Kombinasi adalah semua kemungkinan kombinasi dari M elemen oleh N, yang berbeda satu sama lain dengan setidaknya satu elemen (di sini M Dan N- bilangan asli, dan nm).

Jumlah kombinasi dari M elemen oleh N dilambangkan dengan ( DENGAN-huruf pertama dari kata Perancis kombinasi- kombinasi).

Secara umum, jumlah M elemen oleh N sama dengan jumlah penempatan dari M elemen oleh N, dibagi dengan jumlah permutasi dari N elemen:

Dengan menggunakan rumus faktorial untuk banyaknya penempatan dan permutasi, diperoleh:

Contoh 4. Dalam tim yang terdiri dari 25 orang, Anda perlu mengalokasikan empat orang untuk bekerja di area tertentu. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Larutan. Karena urutan empat orang yang dipilih tidak menjadi masalah, ada cara untuk melakukan ini.

Kami menemukannya menggunakan rumus pertama

.

Selain itu, saat menyelesaikan masalah, rumus berikut digunakan, yang menyatakan sifat dasar kombinasi:

(menurut definisi mereka berasumsi dan);

.

1.2. Memecahkan masalah kombinatorial

Tugas 1. Ada 16 mata pelajaran yang dipelajari di fakultas. Anda perlu memasukkan 3 mata pelajaran ke dalam jadwal Anda untuk hari Senin. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Larutan. Ada banyak cara untuk menjadwalkan tiga item dari 16 item sebanyak Anda dapat mengatur penempatan 16 item dengan 3.

Tugas 2. Dari 15 objek, Anda perlu memilih 10 objek. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Tugas 3. Empat tim mengikuti kompetisi. Berapa banyak pilihan untuk mendistribusikan kursi di antara mereka yang mungkin?

.

Soal 4. Berapa cara patroli yang terdiri dari tiga prajurit dan satu perwira dapat dilakukan jika terdapat 80 prajurit dan 3 perwira?

Larutan. Anda dapat memilih seorang prajurit yang sedang berpatroli

cara, dan petugas dengan cara. Karena perwira mana pun dapat pergi dengan setiap tim prajurit, ada banyak cara.

Tugas 5. Temukan , jika diketahui bahwa .

Sejak , kita dapatkan

,

,

Menurut definisi kombinasi maka , . Itu. .

1.3. Konsep kejadian acak. Jenis acara. Kemungkinan kejadian

Setiap tindakan, fenomena, pengamatan dengan beberapa hasil berbeda, yang diwujudkan dalam serangkaian kondisi tertentu, akan disebut tes.

Hasil dari tindakan atau pengamatan ini disebut peristiwa .

Jika suatu peristiwa pada kondisi tertentu dapat terjadi atau tidak terjadi, maka disebut acak . Bila suatu peristiwa pasti terjadi, maka disebut dapat diandalkan , dan jika hal ini jelas-jelas tidak dapat terjadi, - mustahil.

Peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel , jika hanya satu yang dapat muncul setiap saat.

Peristiwa tersebut disebut persendian , jika, dalam kondisi tertentu, terjadinya salah satu peristiwa ini tidak mengecualikan terjadinya peristiwa lain selama pengujian yang sama.

Peristiwa tersebut disebut di depan , jika dalam kondisi pengujian, hasil satu-satunya, tidak sesuai.

Peristiwa biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C, D, : .

Sistem kejadian yang lengkap A 1 , A 2 , A 3 , : , A n adalah himpunan kejadian-kejadian yang tidak sesuai, yang terjadinya paling sedikit salah satu di antaranya adalah wajib selama pengujian yang diberikan.

Jika suatu sistem lengkap terdiri dari dua kejadian yang tidak kompatibel, maka kejadian tersebut disebut berlawanan dan diberi nama A dan .

Contoh. Kotak tersebut berisi 30 bola bernomor. Tentukan kejadian mana di bawah ini yang mustahil, dapat diandalkan, atau bertentangan:

mengeluarkan bola bernomor (A);

mendapat bola yang bilangan genap (DI DALAM);

mendapat bola yang bernomor ganjil (DENGAN);

mendapat bola tanpa nomor (D).

Manakah di antara mereka yang membentuk kelompok lengkap?

Larutan . A- acara yang dapat diandalkan; D- peristiwa yang mustahil;

Di dan DENGAN- kejadian yang berlawanan.

Kelompok acara lengkap terdiri dari A Dan D, V Dan DENGAN.

Probabilitas suatu peristiwa dianggap sebagai ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu peristiwa acak.

1.4. Definisi klasik tentang probabilitas

Bilangan yang menyatakan ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu peristiwa disebut kemungkinan peristiwa ini dan ditandai dengan simbol R(A).

Definisi. Kemungkinan kejadian tersebut A adalah rasio jumlah hasil m yang mendukung terjadinya suatu peristiwa tertentu A, ke nomor tersebut N semua hasil (tidak konsisten, hanya mungkin dan sama-sama mungkin), mis. .

Oleh karena itu, untuk mencari peluang suatu kejadian, setelah mempertimbangkan berbagai hasil pengujian, perlu menghitung semua kemungkinan hasil yang tidak konsisten. N, pilih jumlah hasil m yang kita minati dan hitung rasionya M Ke N.

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi ini:

Probabilitas suatu tes adalah angka non-negatif yang tidak melebihi satu.

Memang, jumlah m dari kejadian yang diperlukan berada dalam . Membagi kedua bagian menjadi N, kita dapatkan

2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu, karena .

3. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol, karena .

Soal 1. Dalam lotere 1000 tiket, ada 200 tiket yang menang. Satu tiket diambil secara acak. Berapa peluang tiket ini menjadi pemenang?

Larutan. Jumlah total hasil yang berbeda adalah N=1000. Banyaknya hasil yang menguntungkan untuk menang adalah m=200. Menurut rumus yang kita peroleh

.

Soal 2. Dalam kumpulan 18 bagian, ada 4 bagian yang rusak. 5 bagian dipilih secara acak. Temukan probabilitas bahwa dua dari 5 bagian ini rusak.

Larutan. Jumlah semua kemungkinan hasil independen yang sama N sama dengan banyaknya kombinasi 18 kali 5 yaitu

Mari kita hitung bilangan m yang mendukung kejadian A. Di antara 5 bagian yang diambil secara acak, harus ada 3 bagian yang baik dan 2 bagian yang cacat. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian yang cacat dari 4 bagian cacat yang ada sama dengan banyaknya kombinasi 4 kali 2:

Banyaknya cara untuk memilih tiga komponen berkualitas dari 14 komponen berkualitas yang tersedia adalah sama

.

Setiap kelompok suku cadang yang baik dapat digabungkan dengan kelompok suku cadang mana pun yang cacat, sehingga jumlah total kombinasinya M berjumlah

Probabilitas yang diperlukan dari kejadian A sama dengan rasio jumlah hasil m yang menguntungkan kejadian ini dengan jumlah n dari semua kemungkinan hasil independen yang sama:

.

Jumlah sejumlah kejadian berhingga adalah kejadian yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu kejadian tersebut.

Jumlah dua kejadian dilambangkan dengan simbol A+B dan jumlah N kejadian dengan simbol A 1 +A 2 + : +A n.

Teorema penjumlahan probabilitas.

Peluang jumlah dua kejadian yang tidak sejalan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.

Akibat wajar 1. Jika kejadian A 1, A 2, :,A n membentuk sistem lengkap, maka jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut sama dengan satu.

Akibat wajar 2. Jumlah peluang kejadian yang berlawanan dan sama dengan satu.

.

Soal 1. Ada 100 tiket lotre. Diketahui bahwa 5 tiket memenangkan masing-masing 20.000 rubel, 10 tiket memenangkan 15.000 rubel, 15 tiket memenangkan 10.000 rubel, 25 tiket memenangkan 2.000 rubel. dan tidak ada apa pun untuk sisanya. Temukan probabilitas bahwa tiket yang dibeli akan menerima kemenangan minimal 10.000 rubel.

Larutan. Misalkan A, B, dan C adalah kejadian yang terdiri dari fakta bahwa tiket yang dibeli menerima kemenangan masing-masing sebesar 20.000, 15.000, dan 10.000 rubel. karena kejadian A, B dan C tidak sejalan, maka

Tugas 2. Departemen korespondensi sekolah teknik menerima tes matematika dari kota A, B Dan DENGAN. Kemungkinan menerima tes dari kota A sama dengan 0,6, dari kota DI DALAM- 0,1. Tentukan peluang bahwa ujian berikutnya akan datang dari kota tersebut DENGAN.

Mata kuliah matematika menyiapkan banyak kejutan bagi anak sekolah, salah satunya adalah soal teori probabilitas. Siswa memiliki masalah dalam menyelesaikan tugas-tugas tersebut di hampir seratus persen kasus. Untuk memahami dan memahami masalah ini, Anda perlu mengetahui aturan dasar, aksioma, dan definisinya. Untuk memahami teks dalam buku, Anda perlu mengetahui semua singkatannya. Kami menawarkan untuk mempelajari semua ini.

Ilmu pengetahuan dan penerapannya

Karena kami menawarkan kursus kilat tentang “teori probabilitas untuk boneka”, pertama-tama kami perlu memperkenalkan konsep dasar dan singkatan huruf. Untuk memulainya, mari kita definisikan konsep “teori probabilitas”. Ilmu macam apa ini dan mengapa dibutuhkan? Teori probabilitas merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari fenomena dan besaran acak. Dia juga mempertimbangkan pola, properti, dan operasi yang dilakukan dengan variabel acak ini. Untuk apa? Ilmu pengetahuan telah tersebar luas dalam studi fenomena alam. Segala proses alam dan fisik tidak dapat berjalan tanpa adanya peluang. Sekalipun hasilnya dicatat seakurat mungkin selama percobaan, jika pengujian yang sama diulangi, kemungkinan besar hasilnya tidak akan sama.

Kami pasti akan melihat contoh tugas, Anda bisa melihatnya sendiri. Hasilnya bergantung pada banyak faktor berbeda yang hampir mustahil untuk diperhitungkan atau dicatat, namun faktor tersebut memiliki dampak yang sangat besar pada hasil eksperimen. Contoh nyata termasuk tugas menentukan lintasan planet atau menentukan ramalan cuaca, kemungkinan bertemu orang yang dikenal saat bepergian ke tempat kerja, dan menentukan ketinggian lompatan seorang atlet. Teori probabilitas juga memberikan bantuan besar kepada broker di bursa saham. Suatu permasalahan dalam teori probabilitas yang penyelesaiannya sebelumnya mempunyai banyak permasalahan, akan menjadi hal yang sepele bagi Anda setelah tiga atau empat contoh diberikan di bawah ini.

Acara

Seperti yang dinyatakan sebelumnya, sains mempelajari peristiwa. Teori probabilitas, kita akan melihat contoh pemecahan masalah nanti, hanya mempelajari satu jenis - acak. Namun perlu Anda ketahui bahwa peristiwa dapat terdiri dari tiga jenis:

• Mustahil.
• Dapat diandalkan.
• Acak.

Kami mengusulkan untuk membahasnya sedikit masing-masing. Peristiwa mustahil tidak akan pernah terjadi, dalam kondisi apapun. Contohnya meliputi: membekukan air pada suhu di atas nol, menarik kubus dari sekantong bola.

Peristiwa yang dapat diandalkan selalu terjadi dengan jaminan 100% jika semua kondisi terpenuhi. Misalnya: Anda menerima gaji atas pekerjaan yang dilakukan, menerima ijazah pendidikan profesi yang lebih tinggi jika Anda belajar dengan sungguh-sungguh, lulus ujian dan mempertahankan ijazah, dan sebagainya.

Semuanya menjadi sedikit lebih rumit: selama percobaan hal ini dapat terjadi atau tidak, misalnya, menarik kartu as dari setumpuk kartu setelah melakukan tidak lebih dari tiga kali percobaan. Anda bisa mendapatkan hasilnya pada percobaan pertama atau tidak sama sekali. Ini adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang dipelajari oleh sains.

Kemungkinan

Secara umum, ini adalah penilaian terhadap kemungkinan hasil yang sukses dari suatu pengalaman di mana suatu peristiwa terjadi. Probabilitas dinilai pada tingkat kualitatif, terutama jika penilaian kuantitatif tidak mungkin atau sulit dilakukan. Masalah dalam teori probabilitas dengan solusi, atau lebih tepatnya dengan perkiraan, melibatkan penemuan bagian yang sangat mungkin dari hasil yang sukses. Probabilitas dalam matematika adalah karakteristik numerik suatu peristiwa. Dibutuhkan nilai dari nol sampai satu, dilambangkan dengan huruf P. Jika P sama dengan nol, maka peristiwa tersebut tidak dapat terjadi; jika satu, maka peristiwa tersebut akan terjadi dengan probabilitas seratus persen. Semakin P mendekati satu maka semakin besar peluang keberhasilannya, begitu pula sebaliknya jika mendekati nol maka kejadian tersebut akan terjadi dengan probabilitas yang rendah.

Singkatan

Masalah probabilitas yang akan segera Anda hadapi mungkin berisi singkatan berikut:

• P dan P(X);
• A, B, C, dst;

Beberapa penjelasan lain juga dimungkinkan: penjelasan tambahan akan diberikan jika diperlukan. Kami menyarankan, pertama-tama, untuk memperjelas singkatan-singkatan yang disajikan di atas. Yang pertama dalam daftar kami adalah faktorial. Agar lebih jelas, kita berikan contoh: 5!=1*2*3*4*5 atau 3!=1*2*3. Selanjutnya himpunan tertentu ditulis dalam tanda kurung kurawal, misalnya: (1;2;3;4;..;n) atau (10;140;400;562). Notasi berikut adalah himpunan bilangan asli, yang cukup sering ditemukan dalam tugas-tugas teori probabilitas. Seperti telah disebutkan sebelumnya, P adalah peluang, dan P(X) adalah peluang terjadinya suatu kejadian X. Peristiwa dilambangkan dengan huruf kapital abjad latin, contoh: A - bola putih tertangkap, B - biru , C - merah atau, masing-masing, . Huruf kecil n adalah jumlah semua kemungkinan hasil, dan m adalah banyaknya hasil yang berhasil. Dari sini kita mendapatkan aturan untuk mencari probabilitas klasik dalam permasalahan dasar: P = m/n. Teori probabilitas “untuk boneka” mungkin terbatas pada pengetahuan ini. Sekarang, untuk konsolidasi, mari kita beralih ke solusinya.

Soal 1. Kombinatorik

Kelompok mahasiswa terdiri dari tiga puluh orang, yang darinya perlu dipilih seorang ketua, wakilnya, dan ketua serikat pekerja. Penting untuk menemukan sejumlah cara untuk melakukan tindakan ini. Tugas serupa mungkin muncul di Unified State Examination. Teori probabilitas, pemecahan masalah yang sekarang kita pertimbangkan, dapat mencakup masalah-masalah dari mata kuliah kombinatorik, mencari probabilitas klasik, probabilitas geometris, dan masalah-masalah pada rumus dasar. Dalam contoh ini, kami menyelesaikan tugas dari kursus kombinatorik. Mari beralih ke solusinya. Tugas ini adalah yang paling sederhana:

1. n1=30 - kemungkinan prefek kelompok siswa;
2. n2=29 - mereka yang dapat menduduki jabatan wakil;
3. n3=28 orang melamar posisi anggota serikat pekerja.

Yang harus kita lakukan hanyalah mencari jumlah pilihan yang mungkin, yaitu mengalikan semua indikator. Hasilnya, kita mendapatkan: 30*29*28=24360.

Ini akan menjadi jawaban atas pertanyaan yang diajukan.

Masalah 2. Penataan Ulang

Peserta yang berbicara dalam konferensi ini berjumlah 6 orang, urutannya ditentukan melalui undian. Kita perlu menemukan jumlah kemungkinan opsi undian. Dalam contoh ini, kita mempertimbangkan permutasi enam elemen, yaitu kita perlu mencari 6!

Di paragraf singkatan, kami telah menyebutkan apa itu dan bagaimana cara menghitungnya. Totalnya ternyata ada 720 pilihan gambar. Sekilas, tugas yang sulit memiliki solusi yang sangat singkat dan sederhana. Ini adalah tugas-tugas yang dipertimbangkan oleh teori probabilitas. Kita akan melihat cara menyelesaikan masalah tingkat tinggi dalam contoh berikut.

Masalah 3

Sekelompok dua puluh lima siswa harus dibagi menjadi tiga subkelompok yang terdiri dari enam, sembilan dan sepuluh orang. Kita mempunyai: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Tetap mengganti nilai ke dalam rumus yang diperlukan, kita mendapatkan: N25(6,9,10). Setelah perhitungan sederhana, kita mendapatkan jawabannya - 16.360.143.800. Jika soal tidak menyatakan perlunya memperoleh solusi numerik, maka dapat diberikan dalam bentuk faktorial.

Masalah 4

Tiga orang menebak angka dari satu sampai sepuluh. Temukan probabilitas bahwa nomor seseorang akan cocok. Pertama kita harus mengetahui jumlah semua hasil - dalam kasus kita jumlahnya seribu, yaitu sepuluh pangkat tiga. Sekarang mari kita cari banyaknya pilihan ketika setiap orang telah menebak angka yang berbeda, untuk melakukan ini kita mengalikan sepuluh, sembilan dan delapan. Dari mana angka-angka ini berasal? Yang pertama menebak sebuah angka, dia punya sepuluh pilihan, yang kedua sudah punya sembilan, dan yang ketiga harus memilih dari delapan yang tersisa, jadi kita mendapatkan 720 opsi yang memungkinkan. Seperti yang sudah kita hitung sebelumnya, total ada 1000 pilihan, dan tanpa pengulangan ada 720, oleh karena itu, kita tertarik pada 280 sisanya. Sekarang kita memerlukan rumus untuk mencari probabilitas klasik: P = . Kami menerima jawabannya: 0,28.

Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola fenomena acak: kejadian acak, variabel acak, sifat-sifatnya, dan operasinya.

Untuk waktu yang lama, teori probabilitas tidak memiliki definisi yang jelas. Itu baru dirumuskan pada tahun 1929. Munculnya teori probabilitas sebagai ilmu dimulai pada Abad Pertengahan dan upaya pertama analisis matematis perjudian (flake, dadu, roulette). Matematikawan Perancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre Fermat, saat mempelajari prediksi kemenangan dalam perjudian, menemukan pola probabilistik pertama yang muncul saat melempar dadu.

Teori probabilitas muncul sebagai ilmu dari keyakinan bahwa kejadian acak massal didasarkan pada pola tertentu. Teori probabilitas mempelajari pola-pola ini.

Teori probabilitas berkaitan dengan studi tentang peristiwa-peristiwa yang kejadiannya tidak diketahui secara pasti. Hal ini memungkinkan Anda untuk menilai tingkat kemungkinan terjadinya beberapa peristiwa dibandingkan dengan peristiwa lainnya.

Misalnya: tidak mungkin untuk menentukan dengan jelas hasil “kepala” atau “ekor” akibat pelemparan sebuah koin, tetapi dengan pelemparan yang berulang-ulang, jumlah “kepala” dan “ekor” yang muncul kira-kira sama, yang berarti bahwa probabilitas bahwa “kepala” atau “ekor” akan jatuh ", sama dengan 50%.

Tes dalam hal ini disebut terpenuhinya sekumpulan syarat tertentu, yaitu dalam hal ini pelemparan sebuah mata uang logam. Tantangan ini dapat dimainkan berkali-kali tanpa batas. Dalam hal ini, himpunan kondisi mencakup faktor acak.

Hasil tesnya adalah peristiwa. Peristiwa tersebut terjadi:

1. Dapat diandalkan (selalu terjadi sebagai hasil pengujian).
2. Tidak mungkin (tidak pernah terjadi).
3. Acak (mungkin terjadi atau tidak sebagai hasil tes).

Misalnya, saat melempar koin, peristiwa yang mustahil terjadi - koin akan mendarat di tepinya, peristiwa acak - munculnya "kepala" atau "ekor". Hasil tes spesifik disebut acara dasar. Sebagai hasil dari tes tersebut, hanya kejadian-kejadian dasar yang terjadi. Himpunan semua hasil tes yang mungkin, berbeda, dan spesifik disebut ruang acara dasar.

Konsep dasar teori

Kemungkinan- derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Jika alasan terjadinya suatu peristiwa yang mungkin terjadi lebih besar daripada alasan yang berlawanan, maka peristiwa tersebut disebut mungkin terjadi, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin terjadi.

Variabel acak- ini adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu, dan tidak diketahui sebelumnya yang mana. Misalnya: jumlah per stasiun pemadam kebakaran per hari, jumlah tembakan dengan 10 tembakan, dll.

Variabel acak dapat dibagi menjadi dua kategori.

1. Variabel acak diskrit adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu dengan probabilitas tertentu, sehingga membentuk himpunan terhitung (himpunan yang unsur-unsurnya dapat diberi nomor). Himpunan ini bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran merupakan variabel acak diskrit, karena besaran ini dapat mempunyai jumlah nilai yang tidak terbatas, meskipun dapat dihitung.
2. Variabel acak kontinu adalah besaran yang dapat mengambil nilai apa pun dari suatu interval berhingga atau tak terhingga. Jelasnya, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas.

Ruang probabilitas- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada tahun 30-an abad ke-20 memformalkan konsep probabilitas, yang memunculkan pesatnya perkembangan teori probabilitas sebagai disiplin matematika yang ketat.

Ruang probabilitas adalah rangkap tiga (terkadang diapit tanda kurung siku: , di mana

Ini adalah himpunan arbitrer, yang elemen-elemennya disebut peristiwa, hasil, atau titik dasar;
- aljabar sigma dari himpunan bagian yang disebut peristiwa (acak);
- ukuran probabilitas atau probabilitas, mis. ukuran terbatas aditif sigma sedemikian rupa sehingga .

Teorema De Moivre-Laplace- salah satu teorema limit teori probabilitas, yang ditetapkan oleh Laplace pada tahun 1812. Dinyatakan bahwa jumlah keberhasilan ketika mengulangi percobaan acak yang sama berulang kali dengan dua kemungkinan hasil kira-kira terdistribusi normal. Ini memungkinkan Anda menemukan perkiraan nilai probabilitas.

Jika untuk masing-masing percobaan bebas peluang terjadinya suatu kejadian acak sama dengan () dan merupakan banyaknya percobaan dimana kejadian tersebut benar-benar terjadi, maka peluang terjadinya pertidaksamaan tersebut mendekati (untuk nilai yang besar) dengan nilai integral Laplace.

Fungsi distribusi dalam teori probabilitas- fungsi yang mengkarakterisasi distribusi variabel acak atau vektor acak; probabilitas bahwa variabel acak X akan bernilai kurang dari atau sama dengan x, dengan x adalah bilangan real sembarang. Jika kondisi yang diketahui terpenuhi, maka variabel acak akan ditentukan sepenuhnya.

Ekspektasi- nilai rata-rata variabel acak (ini adalah distribusi probabilitas variabel acak, yang dipertimbangkan dalam teori probabilitas). Dalam literatur berbahasa Inggris dilambangkan dengan , dalam bahasa Rusia - . Dalam statistika, notasi sering digunakan.

Biarkan ruang probabilitas dan variabel acak yang ditentukan di dalamnya diberikan. Itu, menurut definisi, adalah fungsi yang dapat diukur. Kemudian, jika terdapat integral Lebesgue pada ruang angkasa, maka disebut ekspektasi matematis, atau nilai rata-rata, dan dinotasikan dengan .

Varians dari variabel acak- ukuran penyebaran variabel acak tertentu, yaitu penyimpangannya dari ekspektasi matematis. Itu ditunjuk dalam literatur Rusia dan asing. Dalam statistika, notasi atau sering digunakan. Akar kuadrat dari varians disebut deviasi standar, deviasi standar, atau penyebaran standar.

Misalkan suatu variabel acak didefinisikan pada ruang probabilitas tertentu. Kemudian

dimana simbol menunjukkan ekspektasi matematis.

Dalam teori probabilitas, dua kejadian acak disebut mandiri, jika kemunculan salah satu dari peristiwa tersebut tidak mengubah peluang terjadinya peristiwa lainnya. Demikian pula, dua variabel acak dipanggil bergantung, jika nilai salah satunya mempengaruhi probabilitas nilai lainnya.

Bentuk paling sederhana dari hukum bilangan besar adalah teorema Bernoulli, yang menyatakan bahwa jika peluang suatu kejadian sama di semua percobaan, maka dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi kejadian cenderung ke peluang kejadian dan tidak lagi acak.

Hukum bilangan besar dalam teori probabilitas menyatakan bahwa rata-rata aritmatika dari sampel berhingga dari suatu distribusi tetap mendekati rata-rata teoretis dari distribusi tersebut. Tergantung pada jenis konvergensi, perbedaan dibuat antara hukum bilangan besar yang lemah, ketika konvergensi terjadi karena probabilitas, dan hukum bilangan besar yang kuat, ketika konvergensi hampir pasti.

Arti umum dari hukum bilangan besar adalah bahwa aksi gabungan dari sejumlah besar faktor acak yang identik dan independen menghasilkan hasil yang, sampai batas tertentu, tidak bergantung pada kebetulan.

Metode untuk memperkirakan probabilitas berdasarkan analisis sampel terbatas didasarkan pada sifat ini. Contoh nyatanya adalah perkiraan hasil pemilu berdasarkan survei terhadap sampel pemilih.

Teorema limit pusat- kelas teorema dalam teori probabilitas yang menyatakan bahwa jumlah sejumlah besar variabel acak yang bergantung lemah yang memiliki skala yang kira-kira sama (tidak ada istilah yang mendominasi atau memberikan kontribusi yang menentukan terhadap jumlah tersebut) memiliki distribusi mendekati normal.

Karena banyak variabel acak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor acak yang bergantung lemah, distribusinya dianggap normal. Dalam hal ini harus dipenuhi syarat bahwa tidak ada satupun faktor yang dominan. Teorema limit pusat dalam kasus ini membenarkan penggunaan distribusi normal.

Munculnya teori probabilitas dimulai pada pertengahan abad ke-17, ketika matematikawan menjadi tertarik pada masalah yang ditimbulkan oleh para penjudi dan sampai sekarang tidak mempelajari matematika. Dalam proses pemecahan masalah ini, konsep-konsep seperti probabilitas dan ekspektasi matematis mengkristal. Pada saat yang sama, para ilmuwan pada masa itu - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) dan Bernoulli (1654-1705) yakin bahwa pola yang jelas dapat muncul berdasarkan pola acak yang sangat besar. acara. Dan hanya keadaan ilmu pengetahuan alam yang mengarah pada fakta bahwa untuk waktu yang lama perjudian terus menjadi satu-satunya bahan konkret yang menjadi dasar penciptaan konsep dan metode teori probabilitas. Keadaan ini juga meninggalkan jejaknya pada peralatan matematika formal yang dengannya masalah-masalah yang timbul dalam teori probabilitas diselesaikan: ia direduksi secara eksklusif menjadi metode aritmatika dan kombinatorial dasar.

Tuntutan serius dari ilmu pengetahuan alam dan praktik sosial (teori kesalahan observasi, masalah teori penembakan, masalah statistik, terutama statistik populasi) menyebabkan perlunya pengembangan lebih lanjut dari teori probabilitas dan penggunaan peralatan analitis yang lebih maju. Peran yang sangat penting dalam pengembangan metode analisis teori probabilitas dimainkan oleh Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840). Dari sisi analitis formal, karya pencipta geometri non-Euclidean, Lobachevsky (1792-1856), didedikasikan untuk teori kesalahan pengukuran pada bola dan dilakukan dengan tujuan untuk menetapkan sistem geometri yang mendominasi alam semesta. , berbatasan dengan arah yang sama.

Teori probabilitas, seperti cabang matematika lainnya, dikembangkan dari kebutuhan praktik: dalam bentuk abstrak, teori ini mencerminkan pola yang melekat pada peristiwa acak yang bersifat massal. Pola-pola ini memainkan peran yang sangat penting dalam fisika dan bidang ilmu pengetahuan alam lainnya, berbagai disiplin ilmu teknis, ekonomi, sosiologi, dan biologi. Sehubungan dengan meluasnya perkembangan perusahaan-perusahaan yang memproduksi produk massal, hasil teori probabilitas mulai digunakan tidak hanya untuk menolak produk yang sudah diproduksi, tetapi juga untuk mengatur proses produksi itu sendiri (kontrol statistik dalam produksi).

Konsep dasar teori probabilitas

Teori probabilitas menjelaskan dan mengeksplorasi berbagai pola yang mengatur kejadian acak dan variabel acak. Peristiwa adalah fakta apa pun yang dapat dinyatakan sebagai hasil pengamatan atau pengalaman. Pengamatan atau pengalaman adalah realisasi kondisi tertentu di mana suatu peristiwa dapat terjadi.

Pengalaman berarti bahwa rangkaian keadaan tersebut diciptakan secara sadar. Selama pengamatan, kompleks pengamatan dari kondisi-kondisi ini tidak menciptakan atau mempengaruhinya. Itu diciptakan oleh kekuatan alam atau oleh orang lain.

Apa yang perlu Anda ketahui untuk menentukan probabilitas kejadian

Semua peristiwa yang diamati atau diciptakan sendiri oleh orang dibagi menjadi:

• acara yang dapat diandalkan;
• peristiwa yang mustahil;
• peristiwa acak.

Peristiwa yang dapat diandalkan selalu terjadi ketika serangkaian keadaan tertentu tercipta. Misalnya, jika kita bekerja, kita menerima imbalan untuk itu; jika kita lulus ujian dan lulus kompetisi, kita dapat diandalkan untuk dimasukkan dalam jumlah siswa. Peristiwa yang dapat dipercaya dapat diamati dalam fisika dan kimia. Dalam ilmu ekonomi, peristiwa yang dapat diandalkan dikaitkan dengan struktur sosial dan peraturan perundang-undangan yang ada. Misalnya kita menyimpan uang di bank dan menyatakan keinginan untuk menerimanya dalam jangka waktu tertentu, maka kita akan menerima uang tersebut. Ini dapat dianggap sebagai peristiwa yang dapat diandalkan.

Peristiwa yang mustahil pasti tidak terjadi jika serangkaian kondisi tertentu telah tercipta. Misalnya air tidak membeku jika suhu ditambah 15 derajat Celcius, produksi tidak dapat dilakukan tanpa listrik.

Peristiwa Acak Ketika serangkaian kondisi tertentu terwujud, kondisi tersebut mungkin terjadi atau tidak. Misalnya, jika kita melempar koin satu kali, lambang negaranya mungkin rontok atau tidak, tiket lotre mungkin dimenangkan atau tidak, produk manufaktur mungkin cacat atau mungkin tidak. Munculnya produk cacat merupakan peristiwa acak, lebih jarang terjadi dibandingkan produksi produk yang sesuai.

Frekuensi kejadian acak yang diharapkan berkaitan erat dengan konsep probabilitas. Pola terjadinya dan tidak terjadinya peristiwa acak dipelajari dengan teori probabilitas.

Jika serangkaian kondisi yang diperlukan hanya diwujudkan satu kali, maka kita menerima informasi yang tidak mencukupi tentang peristiwa acak, karena peristiwa itu mungkin terjadi atau tidak. Jika serangkaian kondisi diterapkan berkali-kali, maka pola yang diketahui akan muncul. Misalnya, tidak mungkin mengetahui mesin kopi mana di toko yang akan dibutuhkan pelanggan berikutnya, namun jika merek mesin kopi yang paling banyak diminati sejak lama diketahui, maka berdasarkan data ini dimungkinkan untuk mengetahui mengatur produksi atau pasokan untuk memenuhi permintaan.

Pengetahuan tentang pola yang mengatur peristiwa acak massal memungkinkan kita memprediksi kapan peristiwa tersebut akan terjadi. Misalnya seperti yang telah disebutkan sebelumnya, hasil pelemparan sebuah uang logam tidak dapat diperkirakan sebelumnya, namun jika uang logam tersebut dilempar berkali-kali, maka dapat diperkirakan lambangnya akan rontok. Kesalahannya mungkin kecil.

Metode teori probabilitas banyak digunakan dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan alam, fisika teoretis, geodesi, astronomi, teori kendali otomatis, teori observasi kesalahan, dan dalam banyak ilmu teoretis dan praktis lainnya. Teori probabilitas banyak digunakan dalam perencanaan dan organisasi produksi, analisis kualitas produk, analisis proses teknologi, asuransi, statistik populasi, biologi, balistik dan industri lainnya.

Peristiwa acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet latin A, B, C, dst.

Peristiwa acak dapat berupa:

• tidak kompatibel;
• persendian.

Peristiwa A, B, C...disebut tidak kompatibel , jika sebagai hasil dari suatu pengujian salah satu peristiwa tersebut dapat terjadi, tetapi dua peristiwa atau lebih tidak dapat terjadi.

Jika terjadinya suatu peristiwa acak tidak mengecualikan terjadinya peristiwa lain, maka peristiwa tersebut disebut persendian . Misalnya, jika bagian lain dikeluarkan dari ban berjalan dan kejadian A berarti “bagian tersebut memenuhi standar” dan kejadian B berarti “bagian tersebut tidak memenuhi standar”, maka A dan B merupakan kejadian yang tidak kompatibel. Jika acara C berarti “diambil sebagian kelas II”, maka acara tersebut digabungkan dengan acara A, tetapi tidak sesuai dengan acara B.

Jika dalam setiap observasi (tes) terjadi satu dan hanya satu kejadian acak yang tidak sesuai, maka kejadian tersebut merupakan kejadian set lengkap (sistem) peristiwa .

Acara yang dapat diandalkan adalah terjadinya paling sedikit satu peristiwa dari serangkaian peristiwa yang lengkap.

Jika peristiwa-peristiwa itu membentuk himpunan peristiwa yang lengkap berpasangan tidak konsisten , maka sebagai hasil observasi hanya satu dari peristiwa tersebut yang dapat terjadi. Misalnya, seorang siswa harus menyelesaikan dua soal tes. Satu-satunya peristiwa berikut yang pasti akan terjadi:

• masalah pertama akan terpecahkan dan masalah kedua tidak akan terpecahkan;
• masalah kedua akan terpecahkan dan masalah pertama tidak akan terpecahkan;
• kedua masalah tersebut akan terpecahkan;
• tidak ada masalah yang akan terpecahkan.

Peristiwa-peristiwa ini terbentuk serangkaian peristiwa yang tidak kompatibel .

Jika himpunan lengkap kejadian hanya terdiri dari dua kejadian yang tidak kompatibel, maka kejadian tersebut disebut saling berlawanan atau alternatif acara.

Peristiwa yang berlawanan dengan peristiwa tersebut dilambangkan dengan . Misalnya, dalam kasus pelemparan satu koin, pecahan () atau lambang () dapat muncul.

Peristiwa disebut sama mungkinnya , jika tidak satupun dari mereka memiliki keunggulan obyektif. Peristiwa-peristiwa tersebut juga merupakan rangkaian peristiwa yang lengkap. Artinya, sebagai hasil observasi atau pengujian, paling sedikit pasti terjadi salah satu kejadian yang sama mungkinnya.

Misalnya, kumpulan peristiwa lengkap dibentuk oleh hilangnya pecahan dan lambang pada satu kali pelemparan koin, adanya kesalahan 0, 1, 2, 3 dan lebih dari 3 pada satu halaman teks yang dicetak.

Definisi dan sifat probabilitas

Definisi klasik tentang probabilitas. Peluang atau kasus yang menguntungkan adalah kasus ketika, selama pelaksanaan serangkaian keadaan tertentu, suatu peristiwa terjadi A terjadi. Definisi klasik dari probabilitas melibatkan penghitungan langsung jumlah kasus atau peluang yang menguntungkan.

Probabilitas klasik dan statistik. Rumus probabilitas: klasik dan statistik

Kemungkinan kejadian tersebut A sebutkan rasio jumlah peluang yang menguntungkan bagi peristiwa tertentu dengan jumlah semua peristiwa yang sama-sama mungkin tidak sesuai N yang dapat terjadi sebagai akibat dari satu percobaan atau pengamatan. Rumus probabilitas acara A:

Jika sudah jelas sekali berapa peluang suatu kejadian yang dibicarakan, maka peluang tersebut dilambangkan dengan huruf kecil P, tanpa menentukan penunjukan acara.

Untuk menghitung probabilitas menurut definisi klasik, perlu untuk menemukan jumlah semua kejadian yang sama-sama mungkin tidak kompatibel dan menentukan berapa banyak dari mereka yang mendukung definisi kejadian tersebut. A.

Contoh 1. Tentukan peluang terambilnya angka 5 pada pelemparan sebuah dadu.

Larutan. Diketahui, keenam wajah tersebut mempunyai peluang yang sama untuk menjadi yang teratas. Angka 5 hanya ditandai pada satu sisi saja. Banyaknya semua kejadian yang sama-sama mungkin tidak kompatibel adalah 6, dan hanya satu kemungkinan yang menguntungkan adalah angka 5 ( M= 1). Artinya peluang yang diinginkan untuk menggelindingkan angka 5

Contoh 2. Sebuah kotak berisi 3 bola merah dan 12 bola putih berukuran sama. Satu bola diambil tanpa melihat. Tentukan peluang terambilnya bola merah.

Larutan. Probabilitas yang diperlukan

Temukan sendiri kemungkinannya dan lihat solusinya

Contoh 3. Dadu dilempar. Peristiwa B- menggulung bilangan genap. Hitung peluang kejadian ini.

Contoh 5. Ada 5 bola putih dan 7 bola hitam dalam sebuah guci. 1 bola diambil secara acak. Peristiwa A- sebuah bola putih diambil. Peristiwa B- sebuah bola hitam ditarik keluar. Hitung probabilitas kejadian-kejadian ini.

Probabilitas klasik disebut juga probabilitas prior karena dihitung sebelum memulai suatu tes atau observasi. Dari sifat apriori probabilitas klasik, kelemahan utamanya adalah sebagai berikut: hanya dalam kasus yang jarang terjadi, sebelum dimulainya observasi, seseorang dapat menghitung semua kemungkinan kejadian yang tidak sesuai, termasuk kejadian yang menguntungkan. Peluang seperti itu biasanya muncul dalam situasi yang mirip dengan permainan.

Kombinasi. Jika urutan kejadian tidak penting, jumlah kejadian yang mungkin dihitung sebagai jumlah kombinasi:

Contoh 6. Ada 30 siswa dalam kelompok. Tiga siswa harus pergi ke departemen ilmu komputer untuk mengambil dan membawa komputer dan proyektor. Hitung peluang bahwa tiga siswa tertentu akan melakukan hal ini.

Larutan. Kami menghitung jumlah kejadian yang mungkin terjadi menggunakan rumus (2):

Peluang bahwa tiga siswa tertentu akan masuk ke jurusan:

Contoh 7. Dijual 10 Handphone. 3 di antaranya cacat. Pembeli memilih 2 ponsel. Hitung probabilitas kedua ponsel yang dipilih akan mengalami cacat.

Larutan. Banyaknya semua kejadian yang mungkin terjadi dicari dengan menggunakan rumus (2):

Dengan menggunakan rumus yang sama, kita mencari jumlah peluang yang menguntungkan suatu peristiwa:

Probabilitas yang diinginkan bahwa kedua ponsel yang dipilih akan mengalami cacat.