Variabel acak terikat dan bebas. Peristiwa acak yang bergantung dan independen

Konsep ketergantungan dan independensi kejadian acak. Probabilitas bersyarat. Rumus penjumlahan dan perkalian peluang kejadian acak tak bebas dan tak bebas. Rumus kemungkinan penuh dan rumus Bayes.

Teorema penjumlahan probabilitas

Mari kita cari peluang jumlah kejadian A dan B (dengan asumsi kecocokan atau ketidakcocokan keduanya).

Teorema 2.1. Kemungkinan jumlahnya nomor terbatas Bukan acara bersama

sama dengan jumlah probabilitasnya:

P$A+B+\ltitik+N$=P$A$+P$B$+\ltitik+P$N$. Contoh 1.

Peluang suatu toko menjual sepasang sepatu pria ukuran 44 adalah 0,12; ke-45 - 0,04; 46 ke atas - 0,01. Tentukan peluang terjualnya sepasang sepatu pria dengan ukuran minimal 44. Larutan.

Peristiwa D yang diperlukan akan terjadi jika sepasang sepatu berukuran 44 (peristiwa A) atau 45 (peristiwa B) atau paling sedikit 46 (peristiwa C) terjual, yaitu peristiwa D adalah jumlah dari peristiwa A, B, C. Peristiwa A, B dan C tidak kompatibel. Oleh karena itu, berdasarkan teorema jumlah probabilitas, kita peroleh =0,\!17.

P$D$=P$A+B+C$=P$A$+P$B$+P$C$=0,\!12+0,\!04 +0,\!01 Contoh 2.

Peristiwa “sepasang sepatu berikutnya yang lebih kecil dari ukuran 44 akan dijual” dan “sepasang sepatu yang tidak lebih kecil dari ukuran 44 akan dijual” adalah kebalikannya. Oleh karena itu, menurut rumus (1.2), peluang terjadinya peristiwa yang diinginkan

P$\overline(D)$=1-P$D$=1-0,\!17=0,\!83.

karena P$D$=0,\!17 seperti yang ditemukan pada contoh 1. Teorema 2.1 penjumlahan probabilitas hanya berlaku untuk kejadian yang tidak kompatibel . Menggunakannya untuk mencari kemungkinan kejadian bersama dapat menghasilkan kesimpulan yang salah dan terkadang tidak masuk akal, yang terlihat jelas pada contoh berikut . Biarkan eksekusi pesanan tepat waktu oleh Electra Ltd diperkirakan dengan probabilitas 0,7. Berapa probabilitas bahwa dari tiga pesanan, perusahaan akan menyelesaikan setidaknya satu pesanan tepat waktu? Peristiwa dimana perusahaan akan menyelesaikan pesanan pertama, kedua, dan ketiga tepat waktu masing-masing kita nyatakan sebagai A, B, C. Jika kita menerapkan Teorema 2.1 penjumlahan probabilitas untuk mencari probabilitas yang diinginkan, kita peroleh. Kemungkinan kejadian tersebut ternyata lebih besar dari satu, dan ini tidak mungkin. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa kejadian A, B, C adalah gabungan. Memang, pemenuhan pesanan pertama tepat waktu tidak mengecualikan pemenuhan dua pesanan lainnya tepat waktu.

Mari kita rumuskan teorema untuk menjumlahkan probabilitas dalam kasus dua kejadian gabungan (probabilitas kejadian gabungannya akan diperhitungkan).

Teorema 2.2.

Peluang terjadinya jumlah dua kejadian gabungan sama dengan jumlah peluang kedua kejadian tersebut tanpa peluang terjadinya gabungan:

P$A+B$=P$A$+P$B$-P$AB$.

Peristiwa ketergantungan dan independen. Probabilitas bersyarat

Ada peristiwa dependen dan independen. Dua kejadian disebut saling bebas apabila terjadinya salah satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian yang lain. Misalnya, jika ada dua jalur otomatis yang beroperasi di suatu bengkel, yang tidak saling berhubungan karena kondisi produksi, maka pemberhentian jalur tersebut merupakan peristiwa yang berdiri sendiri. Contoh 3.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Peluang munculnya “lambang” pada percobaan pertama (peristiwa A) tidak bergantung pada muncul atau tidaknya “lambang” pada percobaan kedua (peristiwa B). Pada gilirannya, kemungkinan munculnya “lambang” pada percobaan kedua tidak bergantung pada hasil percobaan pertama. Jadi, kejadian A dan B saling bebas. Beberapa acara dipanggil mandiri secara kolektif

, jika salah satu darinya tidak bergantung pada kejadian lain atau kombinasi kejadian lainnya. Peristiwa tersebut disebut bergantung , jika salah satunya mempengaruhi probabilitas yang lain. Misalnya, dua pabrik produksi dihubungkan oleh satu siklus teknologi. Maka kemungkinan kegagalan salah satunya bergantung pada keadaan yang lain. Peluang suatu kejadian B, dihitung berdasarkan asumsi terjadinya kejadian lain A, disebut probabilitas bersyarat

peristiwa B dan dilambangkan dengan P$B|A$ . Syarat independensi kejadian B dari kejadian A ditulis dalam bentuk P$B|A$=P$B$ , dan syarat ketergantungannya - dalam bentuk P$B|A$\ne(P$B$)

. Mari kita perhatikan contoh penghitungan probabilitas bersyarat suatu peristiwa. Contoh 4.

Peluang suatu toko menjual sepasang sepatu pria ukuran 44 adalah 0,12; ke-45 - 0,04; 46 ke atas - 0,01. Tentukan peluang terjualnya sepasang sepatu pria dengan ukuran minimal 44. Kotak itu berisi 5 pemotong: dua sudah usang dan tiga baru. Dua ekstraksi berurutan dari gigi seri dilakukan. Tentukan peluang bersyarat munculnya pemotong aus pada ekstraksi kedua, dengan syarat pemotong yang dilepas pertama kali tidak dikembalikan ke kotaknya. Mari kita nyatakan dengan A ekstraksi pemotong yang sudah usang pada kasus pertama, dan \overline(A) dengan ekstraksi pemotong baru. Kemudian. Karena pemotong yang dilepas tidak dikembalikan ke kotaknya, rasio antara jumlah pemotong yang aus dan yang baru berubah. Oleh karena itu, kemungkinan melepas pemotong yang aus pada kasus kedua bergantung pada peristiwa yang terjadi sebelumnya.

Mari kita nyatakan dengan B peristiwa yang berarti pelepasan pemotong yang aus dalam kasus kedua. Kemungkinan kejadian ini adalah:

P$B|A$=\frac(1)(4),~~~P$B|\overline(A)$=\frac(2)(4)=\frac(1)(2 ).

Oleh karena itu, peluang kejadian B bergantung pada apakah kejadian A terjadi atau tidak.

Rumus perkalian probabilitas

Misalkan kejadian A dan B saling bebas, dan peluang kejadian-kejadian tersebut diketahui. Mari kita cari peluang penggabungan kejadian A dan B.

Teorema 2.3. Kemungkinan terjadinya dua kejadian bersamaan peristiwa yang bergantung

sama dengan hasil kali probabilitas kejadian-kejadian berikut:

P$AB$=P$A$\cdot P$B$.

Akibat wajar 2.1.

Peluang terjadinya gabungan beberapa kejadian yang tidak saling bergantung sama dengan hasil kali peluang kejadian-kejadian tersebut: P$A_1A_2\ldots(A_n)$=P$A_1$P$A_2$\ldots(P$A_n$).

Peluang suatu toko menjual sepasang sepatu pria ukuran 44 adalah 0,12; ke-45 - 0,04; 46 ke atas - 0,01. Tentukan peluang terjualnya sepasang sepatu pria dengan ukuran minimal 44. Contoh 5. Tiga kotak berisi 10 bagian. Kotak pertama berisi 8 bagian standar, kotak kedua – 7, dan kotak ketiga – 9. Satu bagian diambil secara acak dari setiap kotak. Temukan probabilitas bahwa ketiga bagian yang diambil akan menjadi standar. Peluang terambilnya bagian standar dari kotak pertama (kejadian A), P$A$=\frac(8)(10)=\frac(4)(5). Peluang terambilnya bagian standar dari kotak kedua (kejadian B), P$B$=\frac(7)(10). Peluang terambilnya bagian standar dari kotak ketiga (kejadian C),

P$C$=\frac(9)(10)

. Karena kejadian A, B, dan C saling bebas secara agregat, maka peluang yang diinginkan (menurut teorema perkalian)

P$ABC$=P$A$P$B$P$C$=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

Misalkan kejadian A dan B saling bergantung, dan probabilitas P$A$ dan P$B|A$ diketahui. Mari kita cari peluang hasil kali kejadian-kejadian ini, yaitu peluang munculnya kejadian A dan kejadian B.

Teorema 2.4. Probabilitas terjadinya gabungan dua peristiwa dependen sama dengan hasil kali probabilitas salah satu peristiwa tersebut dengan probabilitas bersyarat dari peristiwa lainnya, dihitung dengan asumsi bahwa peristiwa pertama telah terjadi: semua peristiwa lainnya, dan probabilitas setiap peristiwa berikutnya dihitung berdasarkan asumsi bahwa semua peristiwa sebelumnya telah terjadi.

Contoh 6. Guci tersebut berisi 5 bola putih, 4 hitam dan 3 biru. Setiap tes terdiri dari pengambilan satu bola secara acak tanpa mengembalikannya ke dalam guci. Temukan probabilitas bahwa pada tes pertama akan ada bola putih(peristiwa A), pada peristiwa kedua - hitam (peristiwa B) dan pada peristiwa ketiga - biru (peristiwa C).

Peluang suatu toko menjual sepasang sepatu pria ukuran 44 adalah 0,12; ke-45 - 0,04; 46 ke atas - 0,01. Tentukan peluang terjualnya sepasang sepatu pria dengan ukuran minimal 44. Peluang munculnya bola putih pada percobaan pertama P$A$=\frac(5)(12). Peluang munculnya bola hitam pada percobaan kedua, dihitung dengan asumsi munculnya bola putih pada percobaan pertama, yaitu peluang bersyarat P$B|A$=\frac(4)(11). Peluang munculnya bola biru pada percobaan ketiga, dihitung dengan asumsi munculnya bola putih pada percobaan pertama dan bola hitam pada percobaan kedua, P$C|AB$=\frac(3)(10). Probabilitas yang diperlukan

P$ABC$=P$A$P$B|A$P$C|AB$=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3 )(10).

Rumus Probabilitas Total

Teorema 2.5. Jika peristiwa A terjadi hanya jika salah satu peristiwa terbentuk kelompok penuh kejadian yang tidak sesuai, maka peluang kejadian A sama dengan jumlah hasil kali peluang masing-masing kejadian B_1,B_2,\ltitik(B_n) kejadian yang tidak sesuai, maka peluang kejadian A sama dengan jumlah hasil kali peluang masing-masing kejadian:

dengan probabilitas bersyarat yang sesuai dari kejadian tersebut

P$A$=\jumlah\batas_(i=1)^(n)P$B_i$P$A|B_i$.

Dalam hal ini, kejadian B_i,~i=1,\ldots,n disebut hipotesis, dan probabilitas P$B_i$ disebut apriori. Rumus ini disebut rumus probabilitas total. Contoh 7.

Peluang suatu toko menjual sepasang sepatu pria ukuran 44 adalah 0,12; ke-45 - 0,04; 46 ke atas - 0,01. Tentukan peluang terjualnya sepasang sepatu pria dengan ukuran minimal 44. Jalur perakitan menerima suku cadang dari tiga mesin. Produktivitas mesin tidak sama. Mesin pertama memproduksi 50% dari seluruh suku cadang, mesin kedua - 30%, dan mesin ketiga - 20%. Peluang perakitan berkualitas tinggi bila menggunakan suku cadang yang diproduksi pada mesin pertama, kedua, dan ketiga masing-masing adalah 0,98, 0,95, dan 0,8. Tentukan peluang bahwa rakitan yang keluar dari jalur perakitan memiliki kualitas tinggi.

Mari kita nyatakan dengan A peristiwa yang menunjukkan validitas node yang dirakit;
B_1, B_2 dan B_3 - peristiwa yang berarti bahwa bagian-bagian tersebut masing-masing dibuat pada mesin pertama, kedua, dan ketiga. Kemudian

P$B_1$=0,\!5;~~~~~P$B_2$=0,\!3;~~~~~P$B_3$=0,\!2;

P$A|B_1$=0,\!98;~P$A|B_2$=0,\!95;~P$A|B_3$=0,\!8 .

Probabilitas yang diperlukan rumus Bayes Rumus ini digunakan untuk menyelesaikannya kejadian yang tidak sesuai, maka peluang kejadian A sama dengan jumlah hasil kali peluang masing-masing kejadian masalah praktis kejadian yang tidak sesuai, maka peluang kejadian A sama dengan jumlah hasil kali peluang masing-masing kejadian, ketika suatu peristiwa A muncul bersamaan dengan salah satu peristiwa tersebut P$B_1$,P$B_2$,\ltitik(P$B_n$) diketahui. Diperlukan untuk menghitung probabilitas posterior (setelah percobaan), yaitu, pada dasarnya, Anda perlu mencari probabilitas bersyarat P$B_1|A$,P$B_2|A$,\ltitik(P$B_n|A$). Untuk hipotesis B_j, rumus Bayes terlihat seperti ini:

P$B_j|A$=\frac(P$B_j$ P$A|B_j$)(P$A$).

Memperluas P$A$ dalam persamaan ini menggunakan rumus probabilitas total (2.1), kita peroleh

P$B_j|A$=\dfrac(P$B_j$P$A|B_j$)(\jumlah\batas_(i=1)^(n)P$B_i$P$ A|B_i$).

Contoh 8. Berdasarkan kondisi Contoh 7, hitung probabilitas bahwa perakitan tersebut mencakup bagian yang diproduksi pada mesin pertama, kedua dan ketiga, jika rakitan yang keluar dari jalur perakitan berkualitas tinggi.

Sumber

Variabel acak disebut independen jika hukum distribusi salah satunya tidak bergantung pada nilai variabel acak lainnya. Konsep ketergantungan variabel acak sangat penting dalam teori probabilitas. Distribusi bersyarat dari variabel acak independen sama dengan distribusi tanpa syaratnya. Kami akan menentukan yang diperlukan dan kondisi yang cukup independensi variabel acak.

Dalil. Untuk variabel acak X dan Y saling bebas; fungsi distribusi sistem (X, Y) harus sama dengan hasil kali fungsi distribusi komponen-komponennya.

Teorema serupa dapat dirumuskan untuk kepadatan distribusi:

Dalil. Agar peubah acak X dan Y bebas, maka kepadatannya perlu dan mencukupi distribusi bersama sistem (X, Y) sama dengan produk kepadatan distribusi komponen.

Momen korelasi mxy peubah acak X dan Y disebut harapan matematis produk dari penyimpangan besaran-besaran ini.

Rumus berikut ini praktis digunakan:

Untuk variabel acak diskrit:

Untuk variabel acak kontinu:

Momen korelasi berfungsi untuk mencirikan hubungan antar variabel acak. Jika variabel acak bersifat independen, maka variabel tersebut momen korelasi sama dengan nol.

Momen korelasi mempunyai dimensi sama dengan produknya dimensi variabel acak X dan Y. Fakta ini merupakan kelemahan dari karakteristik numerik ini, karena pada unit yang berbeda pengukuran, diperoleh momen korelasi yang berbeda, sehingga sulit untuk membandingkan momen korelasi variabel acak yang berbeda.

Untuk menghilangkan kelemahan ini, karakteristik lain digunakan - koefisien korelasi.

Koefisien korelasi rxy variabel acak X dan Y adalah rasio momen korelasi terhadap produk rata-ratanya penyimpangan persegi jumlah ini.

Koefisien korelasi merupakan besaran yang tidak berdimensi. Koefisien korelasi variabel acak independen adalah nol.

Milik: Nilai mutlak momen korelasi dua variabel acak X dan Y tidak melebihi rata-rata geometri variansnya.

Properti: Nilai absolut dari koefisien korelasi tidak melebihi satu.

Variabel acak disebut berkorelasi jika momen korelasinya berbeda dengan nol, dan tidak berkorelasi jika momen korelasinya sama dengan nol.

Jika variabel acak bersifat independen, maka variabel tersebut tidak berkorelasi, tetapi dari ketidakterhubungan tersebut tidak dapat disimpulkan bahwa variabel tersebut independen.

Jika dua besaran saling bergantung, maka keduanya dapat berkorelasi atau tidak berkorelasi.

Seringkali oleh kepadatan tertentu distribusi suatu sistem variabel acak, seseorang dapat menentukan ketergantungan atau independensi variabel-variabel tersebut.

Selain koefisien korelasi, derajat ketergantungan variabel acak juga dapat dicirikan oleh besaran lain yang disebut koefisien kovarians. Koefisien kovarians ditentukan dengan rumus:

Contoh. Kepadatan distribusi sistem variabel acak X dan Y diberikan.

Cari tahu apakah variabel acak X dan Y independen.

Untuk mengatasi masalah ini, kami mengubah kepadatan distribusi:

Dengan demikian, kepadatan distribusi dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua fungsi, yang satu hanya bergantung pada x, dan yang lainnya hanya bergantung pada y. Itu. variabel acak X dan Y adalah independen. Tentu saja, keduanya juga tidak berkorelasi.

Dua variabel acak $X$ dan $Y$ disebut independen jika hukum distribusi satu variabel acak tidak berubah bergantung pada apa nilai yang mungkin mengambil variabel acak lain. Artinya, untuk setiap $x$ dan $y$ kejadian $X=x$ dan $Y=y$ bersifat independen. Karena kejadian $X=x$ dan $Y=y$ saling bebas, maka berdasarkan teorema hasil kali peluang kejadian bebas $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) kanan)\kanan)=P \kiri(X=x\kanan)P\kiri(Y=y\kanan)$.

Contoh 1 . Misalkan variabel acak $X$ menyatakan kemenangan tunai dari tiket satu lotere “Lotto Rusia”, dan variabel acak $Y$ menyatakan kemenangan tunai dari tiket lotere “Kunci Emas” lainnya. Jelas bahwa variabel acak $X,\Y$ akan independen, karena kemenangan dari tiket suatu lotere tidak bergantung pada hukum distribusi kemenangan dari tiket lotre lain. Dalam kasus di mana variabel acak $X,\Y$ akan menyatakan kemenangan lotere yang sama, maka, tentu saja, variabel acak ini akan bergantung.

Contoh 2 . Dua pekerja bekerja di bengkel yang berbeda dan menghasilkan produk berbeda yang tidak terkait satu sama lain dalam hal teknologi manufaktur dan bahan baku yang digunakan. Hukum pembagian jumlah produk cacat yang diproduksi oleh pekerja pertama per shift berbentuk sebagai berikut:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Jumlah \cacat\produk\x & 0 & 1\
\hline
Probabilitas & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(array)$

Jumlah produk cacat yang diproduksi oleh pekerja kedua per shift tergantung pada mengikuti hukum distribusi.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Jumlah \produk cacat\\y & 0 & 1\
\hline
Probabilitas & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(array)$

Mari kita cari hukum distribusi jumlah produk cacat yang dihasilkan oleh dua pekerja per shift.

Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah produk cacat yang diproduksi oleh pekerja pertama per shift, dan $Y$ adalah jumlah produk cacat yang diproduksi oleh pekerja kedua per shift. Dengan syarat, variabel acak $X,\Y$ adalah independen.

Banyaknya produk cacat yang dihasilkan oleh dua pekerja per shift adalah variabel acak $X+Y$. Nilai yang mungkin adalah $0,\ 1$ dan $2$. Mari kita cari probabilitas variabel acak $X+Y$ mengambil nilainya.

$P\kiri(X+Y=0\kanan)=P\kiri(X=0,\ Y=0\kanan)=P\kiri(X=0\kanan)P\kiri(Y=0\kanan) =0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\kiri(X+Y=1\kanan)=P\kiri(X=0,\ Y=1\ atau\ X=1,\ Y=0\kanan)=P\kiri(X=0\kanan )P\kiri(Y=1\kanan)+P\kiri(X=1\kanan)P\kiri(Y=0\kanan)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\kiri(X+Y=2\kanan)=P\kiri(X=1,\ Y=1\kanan)=P\kiri(X=1\kanan)P\kiri(Y=1\kanan) =0,2\cdot 0,3=0,06.$

Maka hukum distribusi jumlah produk cacat yang diproduksi oleh dua pekerja per shift:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Jumlah \cacat\produk & 0 & 1 & 2\
\hline
Probabilitas & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(array)$

Pada contoh sebelumnya, kita melakukan operasi pada variabel acak $X,\Y$, yaitu, kita menemukan jumlah $X+Y$. Sekarang mari kita berikan definisi yang lebih ketat tentang operasi (penjumlahan, selisih, perkalian) terhadap variabel acak dan memberikan contoh penyelesaiannya.

Definisi 1. Produk $kX$ dari variabel acak $X$ oleh nilai konstan$k$ adalah variabel acak yang mengambil nilai $kx_i$ dengan probabilitas yang sama $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.

Definisi 2. Jumlah (selisih atau hasil kali) variabel acak $X$ dan $Y$ adalah variabel acak yang mengambil semua kemungkinan nilai dalam bentuk $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ atau $x_i\cdot y_i$) , di mana $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, dengan probabilitas $p_(ij)$ bahwa variabel acak $X$ akan mengambil nilai $x_i$, dan $Y$ bernilai $y_j$:

$$p_(ij)=P\kiri[\kiri(X=x_i\kanan)\kiri(Y=y_j\kanan)\kanan].$$

Karena variabel acak $X,\Y$ adalah independen, maka menurut teorema perkalian probabilitas untuk kejadian independen: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ kanan)= p_i\cdot p_j$.

Contoh 3 . Variabel acak independen $X,\ Y$ ditentukan oleh hukum distribusi probabilitasnya.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(array)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(array)$

Mari kita rumuskan hukum distribusi variabel acak $Z=2X+Y$. Jumlah variabel acak $X$ dan $Y$ yaitu $X+Y$ adalah variabel acak yang mengambil semua kemungkinan nilai dalam bentuk $x_i+y_j$, dimana $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , dengan probabilitas $p_(ij)$ bahwa variabel acak $X$ akan mengambil nilai $x_i$, dan $Y$ nilai $y_j$: $p_(ij)=P\left [\kiri(X=x_i\kanan )\kiri(Y=y_j\kanan)\kanan]$. Karena variabel acak $X,\Y$ adalah independen, maka menurut teorema perkalian probabilitas untuk kejadian independen: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ kanan)= p_i\cdot p_j$.

Jadi, ia memiliki hukum distribusi untuk variabel acak $2X$ dan $Y$, masing-masing.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(array)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(array)$

Untuk kemudahan menemukan semua nilai jumlah $Z=2X+Y$ dan probabilitasnya, kami akan membuat tabel tambahan, di setiap sel yang akan kami tempatkan di sudut kiri nilai jumlah $ Z=2X+Y$, dan di sudut kanan - probabilitas nilai-nilai ini diperoleh dengan mengalikan probabilitas nilai-nilai yang sesuai dari variabel acak $2X$ dan $Y$.

Hasilnya, kita memperoleh distribusi $Z=2X+Y$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(array)$

Hukum distribusi bersyarat. Regresi.

Definisi. Hukum bersyarat Distribusi salah satu komponen satu dimensi dari variabel acak dua dimensi (X, Y) disebut hukum distribusinya, dihitung dengan syarat komponen lainnya mengambil nilai tertentu (atau berada dalam interval tertentu). Pada kuliah sebelumnya, kita membahas cara menemukan distribusi kondisional untuk variabel acak diskrit. Rumus probabilitas bersyarat juga diberikan di sana:

Dalam kasus variabel acak kontinu, perlu untuk menentukan kepadatan probabilitas dari distribusi kondisional j y (x) dan j X (y). Untuk tujuan ini, dalam rumus yang diberikan kami mengganti probabilitas kejadian dengan “ elemen probabilitas»,!

setelah direduksi sebesar dx dan dy diperoleh:

itu. kepadatan probabilitas bersyarat dari salah satu komponen satu dimensi dari variabel acak dua dimensi sama dengan rasio kepadatan gabungannya terhadap kepadatan probabilitas komponen lainnya. Hubungan-hubungan ini dituliskan dalam bentuk

disebut teorema (aturan) untuk mengalikan kepadatan distribusi.

Kepadatan bersyarat j y (x) dan j X (y). memiliki semua sifat kepadatan "tanpa syarat".

Saat mempelajari variabel acak dua dimensi, kami mempertimbangkan karakteristik numerik komponen satu dimensi X dan Y - ekspektasi dan varians matematis. Untuk variabel acak kontinu (X, Y), ditentukan dengan rumus:

Bersamaan dengan itu, karakteristik numerik dari distribusi bersyarat juga dipertimbangkan: ekspektasi matematis bersyarat M x (Y) dan M y (X) dan varians bersyarat D x (Y) dan DY (X). Karakteristik ini ditemukan dengan menggunakan rumus ekspektasi dan varians matematis yang biasa, yang menggunakan probabilitas bersyarat atau kepadatan probabilitas bersyarat, bukan probabilitas kejadian atau kepadatan probabilitas.

Ekspektasi matematis bersyarat dari variabel acak Y pada X = x, mis. M x (Y) merupakan fungsi dari x, disebut fungsi regresi atau sederhananya regresi Y terhadap X. Demikian pula M Y (X) disebut fungsi regresi atau sederhananya regresi X terhadap Y. Grafik fungsi-fungsi tersebut adalah disebut garis regresi (atau kurva regresi) Y masing-masing oleh X atau X oleh Y.

Variabel acak terikat dan bebas.

Definisi. Variabel acak X dan Y disebut bebas jika fungsi distribusi gabungannya F(x,y) direpresentasikan sebagai produk dari fungsi distribusi F 1 (x) dan F 2 (y) dari variabel acak tersebut, yaitu.

Jika tidak, variabel acak X dan Y disebut dependen.

Membedakan persamaan dua kali terhadap argumen x dan y, kita peroleh

itu. untuk variabel acak kontinu independen X dan Y mereka kepadatan sendi j(x,y) sama dengan produk kepadatan probabilitas j 1 (x) dan j 2 (y) dari variabel acak ini.

Sampai saat ini, kita telah menjumpai konsep hubungan fungsional antara variabel X dan Y, ketika setiap nilai x dari satu variabel berhubungan dengan nilai yang ditentukan secara ketat dari variabel lainnya. Misalnya, hubungan antara dua variabel acak - jumlah peralatan yang rusak selama periode waktu tertentu dan biayanya - bersifat fungsional.

DI DALAM kasus umum, dihadapkan pada jenis ketergantungan yang berbeda, tidak seketat fungsional.

Definisi. Hubungan antara dua variabel acak disebut probabilistik (stokastik atau statistik) jika masing-masing nilai salah satu variabel tersebut sesuai dengan distribusi (bersyarat) tertentu dari variabel lainnya.

Dalam kasus ketergantungan probabilistik (stokastik), mengetahui nilai salah satunya tidak mungkin untuk menentukan nilai yang lain secara akurat, tetapi Anda hanya dapat menunjukkan distribusi besaran lainnya. Misalnya, hubungan antara jumlah kerusakan peralatan dan biaya perbaikan preventif, berat dan tinggi badan seseorang, waktu yang dihabiskan anak sekolah untuk menonton program televisi dan membaca buku, dll. bersifat probabilistik (stokastik).

Pada Gambar. Gambar 5.10 menunjukkan contoh variabel acak dependen dan independen X dan Y.