Potensi vektor medan magnet.

Dari teorema Gauss untuk bidang vektor V bentuk diferensial maka medan tersebut dapat direpresentasikan sebagai rotor dari medan vektor bantu yang disebut potensial vektor:

Karena . Perhatikan bahwa kemungkinan yang dijelaskan juga muncul ketika menganalisis hukum Biot-Savart-Laplace (persamaan 2 dari bagian 6.1) dengan mempertimbangkan hubungan (7) dari bagian 6.4. Hal ini wajar, karena teorema Gauss untuk medan vektor induksi magnet merupakan konsekuensi dari hukum Biot-Savart-Laplace. Makna fisis dalam magnetostatika dikaitkan dengan medan vektor, oleh karena itu potensial vektor, secara umum, ditentukan hingga gradien fungsi skalar apa pun. Memang benar jika , dimana adalah medan skalar, dan , maka kita mempunyai: , yaitu, untuk , karena . Kesewenang-wenangan dalam menentukan potensial vektor dapat dimanfaatkan dengan mewajibkan terpenuhinya syarat tambahan

Kondisi (2) disebut “Pengukur Coulomb potensial vektor medan magnet”. Kondisi (2) mempunyai konsekuensi yang luas, jadi pertanyaan apakah medan magnet memiliki sifat-sifat yang ditunjukkan dalam semua kasus sangatlah penting. Biarkan kondisinya terpenuhi

, .

Kami mengharuskan kondisi (2) dipenuhi:

Untuk fungsi skalar yang diinginkan, persamaan Poisson diketahui sisi kanan. Jika kita menganggapnya dalam ruang tak berbatas dan menggunakan homogen kondisi batas jenis pertama pada tak terhingga untuk fungsi yang diinginkan, kemudian dengan analogi dengan salah satu hasil utama elektrostatika

dapat dituliskan

.

Dengan demikian, ditunjukkan bahwa kalibrasi Coulomb terhadap potensial vektor dapat dilakukan dalam kondisi magnetostatik. Dia penggunaan praktis memerlukan kehati-hatian tertentu: jika kalibrasi Coulomb dari potensial vektor digunakan, implementasinya perlu ditelusuri secara konsisten dalam semua hubungan matematis dari masalah yang menggambarkan situasi fisik nyata.

Dari hukum Biot-Savart-Laplace dan hubungan (4) bagian 6.1 dapat disimpulkan bahwa medan magnet yang dibentuk oleh suatu titik muatan listrik yang bergerak dengan kecepatan konstan, memiliki bentuk:

. (2)

Berikut adalah vektor jari-jari posisi sesaat muatan listrik, adalah vektor jari-jari titik sewenang-wenang ruang, selisihnya adalah vektor yang ditarik dari ujung vektor (yaitu dari titik di mana muatan berada) ke ujung vektor (yaitu ke titik yang dibatasi dalam ruang).

Potensi vektor bidang tersebut dapat dijelaskan dengan ekspresi:

. (3)

Dalam magnetostatika modern tidak ada metode untuk menurunkan ekspresi (3), Anda hanya perlu menebaknya, tetapi Anda dapat memeriksanya:

Kami mengingatkan pembaca bahwa operasi membusuk dalam relasi (4) terpenuhi untuk variabel tak prima, yaitu menurut koordinat suatu titik sembarang dalam ruang. Membandingkan ekspresi (3) untuk potensial vektor dan ekspresi untuk potensial skalar medan elektrostatis muatan listrik titik terpisah

, (5)

kami mendapatkan ketergantungan:

. (6)

Ketergantungan (6) sangat dalam arti fisik: elektrostatika dan magnetostatika saling berhubungan secara internal; orang tidak boleh berpikir bahwa keduanya sepenuhnya independen satu sama lain.

Dari relasi (5) dan (3) kita peroleh:

, (7)

, (8)

di mana adalah kerapatan volume muatan listrik, adalah vektornya kepadatan massal arus, - elemen volume, - jarak antara elemen volume dan titik pengamatan. Jika arus listrik mengalir melalui suatu penghantar tipis, maka elemen garis lengkung yang diberi arus tersebut menghasilkan elemen potensial vektor pada ruang sekitarnya (Gbr. 1).

Yang sama dengan bidang vektor yang diberikan.

Secara formal, jika ay- bidang vektor, potensi vektor disebut bidang vektor A seperti yang

$\backslash mathbf(v)\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf(A).$

Jika A adalah potensial vektor lapangan ay, lalu dari identitas

$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf(A))\; =\; 0$

Untuk setiap medan vektor solenoida yang memenuhi kondisi tertentu, terdapat potensi vektor. Secara khusus, keberadaannya bergantung pada wilayah di mana bidang tersebut ditentukan - dalam kasus wilayah yang terhubung ganda, potensinya bidang pusaran biasanya tidak ada.

Dalil

$\backslash mathbf(v)\; :\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash ke\; \backslash mathbb\; R^3$

Ambiguitas dalam pemilihan potensi

Potensi vektor bidang vektor solenoidal ditentukan secara ambigu. Jika A adalah potensi vektor untuk ay, juga

$\backslash mathbf(A)\; +\; \backslash nabla\; m$

Di mana M- setiap terdiferensiasi secara terus menerus fungsi skalar. Ini adalah konsekuensi dari fakta bahwa gradien ikal adalah nol.

Dalam elektrodinamika, hal ini menimbulkan ambiguitas ketika menentukan potensial medan elektromagnetik dan diselesaikan dengan memaksakan potensi kondisi tambahan kalibrasi

Potensi vektor dalam fisika

persamaan Maxwell

Sebagaimana potensi skalar berkaitan dengan konsep energi, potensi vektor juga terungkap koneksi dekat dengan konsep momentum. Jadi, jika medan magnet mati dengan cepat, partikel yang berada di dalamnya menerima impuls tambahan qA.

Lihat juga

Tulis ulasan pada artikel "Potensi Vektor"

Kutipan yang mencirikan Potensi Vektor

Empat minggu telah berlalu sejak Pierre ditangkap. Terlepas dari kenyataan bahwa Prancis menawarkan untuk memindahkannya dari pos tentara ke pos perwira, dia tetap berada di pos yang dia masuki sejak hari pertama.
Di Moskow yang hancur dan terbakar, Pierre mengalami kesulitan yang hampir mencapai batas ekstrim yang dapat ditanggung seseorang; namun, berkat konstitusi dan kesehatannya yang kuat, yang belum dia sadari sampai sekarang, dan terutama karena fakta bahwa kekurangan ini terjadi begitu saja sehingga tidak mungkin untuk mengatakan kapan hal itu dimulai, dia tidak hanya menanggung situasinya dengan mudah, tapi juga dengan gembira. Dan pada saat inilah dia menerima kedamaian dan kepuasan diri yang telah dia perjuangkan dengan sia-sia sebelumnya. Untuk waktu yang lama dalam hidupnya dia mencari bersama sisi yang berbeda ketenangan ini, kesepakatan dengan dirinya sendiri, yang sangat mengejutkannya pada para prajurit di Pertempuran Borodino - dia mencari ini dalam filantropi, dalam Freemasonry, dalam penyebaran kehidupan sosial, dalam anggur, dalam tindakan heroik pengorbanan diri, di cinta romantis untuk Natasha; dia mencarinya melalui pemikiran, dan semua pencarian dan upaya ini semuanya menipu dia. Dan dia, tanpa memikirkannya, menerima kedamaian dan kesepakatan dengan dirinya sendiri hanya melalui kengerian kematian, melalui kesulitan dan melalui apa yang dia pahami di Karataev. Saat-saat mengerikan yang dialaminya selama eksekusi seolah terhapus selamanya dari imajinasi dan ingatannya pikiran cemas dan perasaan yang sebelumnya tampak penting baginya. Bahkan tidak terpikir olehnya tentang Rusia, atau perang, atau politik, atau Napoleon. Jelas baginya bahwa semua ini bukan urusannya, bahwa dia tidak dipanggil dan karena itu tidak dapat menilai semua ini. “Tidak ada waktu untuk Rusia, tidak ada persatuan,” dia mengulangi kata-kata Karataev, dan anehnya kata-kata ini meyakinkannya. Niatnya untuk membunuh Napoleon dan perhitungannya mengenai jumlah komplotan rahasia dan binatang Kiamat kini tampak tidak dapat dipahami dan bahkan menggelikan baginya. Kemarahannya terhadap istrinya dan kekhawatirannya agar tidak mempermalukan namanya kini baginya bukan hanya tidak penting, tetapi juga lucu. Apa pedulinya dia dengan kenyataan bahwa wanita ini menjalani kehidupan yang disukainya di suatu tempat di luar sana? Siapa, terutama dia, yang peduli apakah mereka mengetahui atau tidak bahwa nama tahanan mereka adalah Pangeran Bezukhov?
Sekarang dia sering mengingat percakapannya dengan Pangeran Andrei dan sepenuhnya setuju dengannya, hanya saja dia memahami pemikiran Pangeran Andrei dengan cara yang agak berbeda. Pangeran Andrei berpikir dan berkata bahwa kebahagiaan hanya bisa bersifat negatif, tetapi dia mengatakannya dengan nada pahit dan ironi. Seolah-olah, dengan mengatakan ini, dia mengungkapkan pemikiran lain - bahwa semua aspirasi kebahagiaan positif yang ditanamkan dalam diri kita ditanamkan hanya untuk menyiksa kita, bukan memuaskan kita. Tapi Pierre, tanpa berpikir dua kali, mengakui keadilannya. Tidak adanya penderitaan, terpuaskannya kebutuhan dan, sebagai akibatnya, kebebasan untuk memilih pekerjaan, yaitu cara hidup, bagi Pierre kini tampak sebagai kebahagiaan seseorang yang tidak diragukan lagi dan tertinggi. Di sini, baru untuk pertama kalinya, Pierre mengapresiasi sepenuhnya nikmatnya makan saat lapar, minum saat haus, tidur saat ingin tidur, kehangatan saat kedinginan, berbincang dengan seseorang saat ingin ngobrol dan mendengarkan suara manusia. Pemuasan kebutuhan - makanan enak, kebersihan, kebebasan - sekarang setelah dia kehilangan semua ini, bagi Pierre tampaknya merupakan kebahagiaan yang sempurna, dan pilihan pekerjaan, yaitu hidup, sekarang karena pilihan ini sangat terbatas, baginya tampak seperti itu. perkara mudahnya ia lupa bahwa kenyamanan hidup yang berlebihan menghancurkan segala kebahagiaan pemuasan kebutuhan, dan kebebasan yang lebih besar pilihan pekerjaan, kebebasan yang diberikan oleh pendidikan, kekayaan, kedudukan di dunia dalam hidupnya, bahwa kebebasan ini membuat pilihan pekerjaan menjadi sulit dan menghancurkan kebutuhan dan kemungkinan pekerjaan.

Pada bab ini kita akan melanjutkan pembahasan tentang magnetostatika, yaitu tentang medan magnet konstan dan arus searah. Medan magnet dan arus listrik dihubungkan dengan persamaan dasar kita:

Kali ini kita perlu menyelesaikan persamaan ini secara matematis secara umum, daripada mengacu pada simetri atau intuisi khusus apa pun. Dalam elektrostatika kita telah menemukan cara langsung untuk menghitung medan dan posisi semua muatan listrik: Potensi skalar φ diberikan secara sederhana oleh integral muatan, seperti pada persamaan (4.25) di halaman 77. Jika diperlukan medan listrik, maka diperoleh dengan mendiferensiasikan φ. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa ada prosedur serupa untuk mencari medan B jika rapat arus j dari semua muatan yang bergerak diketahui.

Dalam elektrostatika, seperti yang telah kita lihat (karena fakta bahwa peluruhan dari E sama dengan nol di semua tempat), E selalu dapat direpresentasikan sebagai gradien dari bidang skalarφ. Tapi membusuk dari B tidak di semua tempat sama dengan nol, jadi secara umum tidak mungkin untuk menyatakannya sebagai gradien. Namun perbedaan B sama dengan nol di semua tempat, yang berarti kita dapat menyatakan B sebagai rotor dari bidang vektor lain. Sebab, seperti yang kita lihat di bab. 2, § 8, divergensi rotor selalu nol. Oleh karena itu, kita selalu dapat menyatakan B dalam suatu bidang, yang kita sebut A:

Atau, menjelaskan komponennya:

Penulisan B=vxA menjamin terpenuhinya (14.1), karena diperlukan

Bidang A disebut potensi vektor.

Ingatlah bahwa potensi skalar φ tidak terdefinisi sepenuhnya. Jika kita telah menemukan potensi φ untuk suatu permasalahan tertentu, maka kita selalu dapat menemukan potensi lain yang sama baiknya dengan menambahkan sebuah konstanta:

Potensial baru φ′ menghasilkan medan listrik yang sama, karena gradien vC adalah nol; φ′ dan φ berhubungan dengan gambar yang sama.

Dengan cara yang sama, kita dapat mempunyai beberapa potensial vektor A yang mengarah ke medan magnet yang sama. Sekali lagi, karena B diperoleh dari A melalui diferensiasi, menambahkan konstanta ke A tidak mengubah fisika materi. Tapi bagi A ada lebih banyak kebebasan. Kita dapat menambahkan ke A bidang apa pun yang merupakan gradien dari beberapa bidang skalar tanpa mengubah fisikanya. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut. Mari kita ambil A, yang ada di beberapa masalah nyata memberikan bidang B yang benar. Pertanyaannya adalah, dalam kondisi apa potensi vektor lain A′, yang disubstitusikan ke (14.3), memberikan sama bidang B. Artinya A dan A′ mempunyai rotor yang sama

Tetapi jika lengkungan suatu vektor adalah nol, maka vektor tersebut harus merupakan gradien suatu medan skalar, katakanlah ψ, jadi A′—A=vψ. Ini berarti bahwa jika A adalah potensial vektor yang berhubungan dengan suatu masalah tertentu, maka untuk sembarang ψ

juga akan menjadi potensial vektor, in pada tingkat yang sama memuaskan masalah ini dan mengarah ke bidang B yang sama.

Biasanya akan lebih mudah untuk mengurangi “kebebasan” A dengan secara sewenang-wenang menerapkan beberapa kondisi lain padanya (dengan cara yang hampir sama kita merasa nyaman - cukup sering - untuk memilih potensi φ sama dengan nol pada jarak jauh). Kita dapat, misalnya, membatasi A dengan menerapkan kondisi sedemikian rupa sehingga divergensi A sama dengan sesuatu. Kita selalu dapat melakukan hal ini tanpa mempengaruhi B. Hal ini terjadi karena, meskipun A′ dan A mempunyai rotor yang sama dan menghasilkan B yang sama, keduanya tidak harus mempunyai divergensi yang sama. Memang benar, v·A` = v·A+ v 2 ψ, dan dengan memilih ψ yang sesuai, kita dapat memberikan v·A′ nilai apa pun.

Apa yang harus disamakan dengan v·A? Pilihannya harus memberikan kemudahan matematis terbesar dan bergantung pada tugas kita. Untuk magnetostatik dan kami akan membuat pilihan sederhana

(Nanti, ketika kita beralih ke elektrodinamika, kita akan mengubah pilihan kita.) Jadi, pilihan kita definisi penuh Dan masuk saat ini ada vxA = B dan v A = 0.

Untuk membiasakan diri dengan potensial vektor, pertama-tama mari kita lihat apa yang dimaksud dengan medan magnet seragam B 0. Memilih sumbu z ke arah B 0, kita harus punya

Melihat persamaan ini, kita melihat bahwa salah satunya solusi yang mungkin Ada

Atau sebaiknya Anda mengambilnya

Solusi lain adalah kombinasi dari dua solusi pertama

Jelas bahwa untuk setiap bidang B potensi vektor A tidak unik; ada banyak kemungkinan.

Solusi ketiga [persamaan (14.8)] mempunyai seri properti yang menarik. Karena komponen x sebanding dengan -y, dan komponen y sebanding dengan +x, maka vektor A harus tegak lurus terhadap vektor yang ditarik dari sumbu z, yang dinotasikan dengan r′ (artinya bilangan prima adalah itu bukan vektor jarak dari titik asal). Selain itu, besaran A sebanding dengan √x 2 + y 2 dan karenanya sebanding dengan r`. Oleh karena itu A (untuk bidang homogen) dapat ditulis secara sederhana

Potensi vektor A sama besarnya Br′/2 dan berputar di sekitar sumbu z seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 14.1. Jika misalnya medan B adalah medan di dalam solenoid sepanjang sumbunya, maka potensial vektor bersirkulasi dengan cara yang persis sama dengan arus dalam solenoid.

Potensi vektor suatu medan seragam dapat diperoleh dengan cara lain. Sirkulasi A sepanjang loop tertutup D dapat dinyatakan dalam bentuk integral permukaan dari vХА menggunakan teorema Stokes [Persamaan (3.38), halaman 63]

Tapi integral di sebelah kanan sama dengan aliran Masuk melalui loop, jadi

Jadi, sirkulasi A bersama setiap loop sama dengan aliran B melalui loop. Jika kita mengambil lingkaran berjari-jari melingkar R' pada bidang yang tegak lurus terhadap bidang homogen B, maka fluksnya akan sama persis

Jika kita memilih titik asal di pusat lingkaran, sehingga A dapat dianggap berarah tangensial dan hanya merupakan fungsi dari r′, maka sirkulasinya akan sama dengan

Seperti sebelumnya, kita dapatkan

Mari kita perhatikan medan magnet dari arus stasioner. Biarkan rapat arus hanya bergantung pada koordinat dan menjadi bukan nol di wilayah ruang berhingga. Karena arus stasioner tidak mempunyai sumber, maka

dan garis kerapatan arus stasioner ditutup. Medan listrik dari distribusi muatan statis ditentukan oleh rumus § 27.

Medan magnet arus stasioner menurut (25.03) memenuhi persamaan

Persamaan terakhir menunjukkan bahwa medan magnet berbentuk pusaran. Oleh karena itu kita dapat menempatkan

Vektor A disebut vektor potensial medan magnet. Jika bidang stasioner Dan itu hanya bergantung pada koordinat titiknya.

Potensi vektor secara unik menentukan kekuatan medan magnet. Medan magnet menentukan potensial vektor hingga gradien beberapa skalar. Memang potensial vektor A sama dengan

di mana beberapa skalar mendefinisikan bidang yang sama:

Potensi vektor dapat dibuat jelas dengan memberikan kondisi tambahan padanya

disebut kondisi kalibrasi. Kondisi kalibrasi selalu dapat dipenuhi: jika maka selalu memungkinkan untuk memilih fungsi sedemikian rupa

Untuk menentukan potensial vektor, kita substitusikan B dari (34.03) ke persamaan pertama (34.02). Kemudian

Karena kondisi kalibrasi (34.05)

Persamaan ini menentukan potensial vektor menurut distribusi yang diberikan saat ini Hal ini mirip dengan persamaan Poisson (27.01) untuk potensi skalar. Karena fungsi Green untuk operator Laplace didefinisikan dalam § 27, solusi (34.06) dapat segera ditulis

Mari kita pastikan bahwa kondisi kalibrasi (34.05) terpenuhi. Mari kita nyatakan dengan V operator yang diambil menurut koordinat titik pengamatan, dan dengan V operator yang diambil menurut koordinat titik sumber. Perhatikan bahwa dalam penerapan fungsi dari

Yang sama dengan bidang vektor yang diberikan.

Secara formal, jika ay- bidang vektor, potensi vektor disebut bidang vektor A seperti yang

Jika A adalah potensial vektor lapangan ay, lalu dari identitas

Untuk setiap medan vektor solenoida yang memenuhi kondisi tertentu, terdapat potensi vektor. Secara khusus, keberadaannya bergantung pada wilayah di mana medan tersebut ditentukan - dalam kasus wilayah yang terhubung berganda, potensi medan pusaran biasanya tidak ada.

Dalil

Ambiguitas dalam pemilihan potensi

Potensi vektor bidang vektor solenoidal ditentukan secara ambigu. Jika A adalah potensi vektor untuk ay, juga

Di mana M- setiap fungsi skalar yang terdiferensiasi secara kontinyu. Ini adalah konsekuensi dari fakta bahwa gradien ikal adalah nol.

Dalam elektrodinamika, hal ini menimbulkan ambiguitas dalam menentukan potensi medan elektromagnetik dan diselesaikan dengan menerapkan kondisi kalibrasi tambahan pada potensi.

Potensi vektor dalam fisika

persamaan Maxwell

Sama seperti potensial skalar yang diasosiasikan dengan konsep energi, potensial vektor menunjukkan hubungan yang erat dengan konsep momentum. Jadi, jika medan magnet mati dengan cepat, partikel yang berada di dalamnya menerima impuls tambahan qA.

Lihat juga

• vektor Hertz

Catatan

Yayasan Wikimedia.

2010.

Potensi yang menentukan bagian pusaran dari vektor nol. Dalam elektrodinamika, medan bersifat magnetis. induksi B benar-benar pusaran; untuk bidang ini, potensial vektor A(B = rot A) ... diperkenalkan Ilmu pengetahuan alam. Kamus Ensiklopedis

potensi vektor- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Kamus Teknik Elektro dan Teknik Tenaga Inggris-Rusia, Moskow, 1999] Topik Teknik Elektro, Konsep Dasar EN Potensi Vektor... Panduan Penerjemah Teknis

potensi vektor- potensi kecepatan pusaran; industri potensial vektor Fungsi vektor A, yang rotornya sama dengan kecepatan gerakan pusaran cairan... Kamus Penjelasan Terminologi Politeknik

potensi vektor- vektorinis potensi statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis A, kurio rotorius lygus magnetinio srauto tankiui, t. kamu. B = busuk A. atitikmenys: ind. potensi vektor magnet vok. Vektorpotensial, dan rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas