Misalkan suatu bidang vektor kontinu a) k dan kontur berorientasi tertutup L diberikan dalam suatu domain G. Definisi 1. Sirkulasi suatu vektor a sepanjang kontur tertutup L disebut integral garis Jenis ke-2 dari vektor a sepanjang kontur L Disini dr adalah vektor yang panjangnya sama dengan selisih busur L, dan arahnya berimpit dengan arah garis singgung L, op- Gambar. 31 ditentukan oleh orientasi kontur (Gbr. 31); simbol f berarti integral diambil sepanjang kontur berselingan L. b Contoh 1. hitung sirkulasi bidang vektor sepanjang elips L: Berdasarkan definisi sirkulasi yang kita miliki Persamaan parametrik elips ini berbentuk: , dan, oleh karena itu, . Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (2), kita menemukan Sirkulasi bidang vektor. Rotor teorema vektor Stokes Rotor (pusaran) bidang vektor Definisi invarian bidang rotor Arti fisik rotor lapangan Aturan untuk menghitung rotor 8.1. Rotor (pusaran) medan vektor Perhatikan medan vektor P, Q, R yang kontinu dan mempunyai turunan parsial kontinu orde pertama terhadap semua argumennya. Definisi 2. Rotor vektor "(M) adalah vektor yang dilambangkan dengan simbol rot a dan didefinisikan oleh persamaan atau, dalam bentuk simbolis yang mudah diingat, Penentu ini diperluas dengan elemen baris pertama , sedangkan operasi perkalian elemen baris kedua dengan elemen baris ketiga dipahami sebagai operasi diferensiasi, misalnya Definisi 3. Jika pada suatu domain G kita mempunyai rot a = 0, maka bidang vektor a dalam domain G disebut irrotasional. Contoh 2. Carilah rotor vektor 4 Menurut rumus (3), kita mempunyai Karena rot a adalah vektor, kita dapat mempertimbangkan medan vektor - bidang rotor vektor a. Dengan asumsi bahwa koordinat vektor a memiliki turunan parsial kontinu orde kedua, kita menghitung divergensi vektor rot a. Kita memperoleh Jadi, bidang putaran vektor adalah solenoidal. Teorema 7 (Stokes). Sirkulasi vektor a sepanjang kontur tertutup yang berorientasi L sama dengan fluks rotor vektor ini melalui setiap permukaan E yang direntang oleh kontur L. Diasumsikan bahwa koordinat vektor a mempunyai turunan parsial kontinu di suatu daerah G dari ruang yang memuat permukaan E, dan orientasi vektor satuan normal n° terhadap permukaan EC G dikoordinasikan dengan orientasi kontur L sehingga dari ujung norma, rangkaian mengelilingi kontur pada suatu titik tertentu arah terlihat terjadi berlawanan arah jarum jam. Mengingat hal tersebut, dan dengan menggunakan definisi rotor (3), kita menulis ulang rumus (4) dalam bentuk berikut: Pertama-tama mari kita perhatikan kasus ketika permukaan halus E dan konturnya L diproyeksikan secara unik ke daerah D dari xOy bidang dan batasnya masing-masing adalah kontur A (Gbr. 32). Orientasi kontur L menimbulkan orientasi tertentu dari kontur A. Agar lebih pasti, kita asumsikan bahwa kontur L berorientasi sehingga permukaan E tetap ke kiri, sehingga vektor normal n terhadap permukaan E adalah sumbu Oz sudut lancip 7 (karena 7 >0). Misalkan persamaan permukaan E dan fungsi φ(x)y) kontinu dan mempunyai turunan parsial kontinu gf dan ^ in daerah tertutup D. Perhatikan garis integral L yang terletak pada permukaan E. Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan permukaan ini, kita dapat mengganti r di bawah tanda integral dengan ^(x, y). Koordinat titik variabel pada kurva A sama dengan koordinat titik yang bersesuaian pada kurva L, sehingga integrasi pada L dapat digantikan dengan integrasi pada A. Mari kita terapkan rumus Green pada integral di sebelah kanan. Sekarang kita berpindah dari integral daerah D ke integral permukaan E. Karena dS = cos 7 da, maka dari rumus (8) kita peroleh bahwa vektor normal n° terhadap permukaan E ditentukan oleh ekspresi k. Dari sini jelas bahwa. Oleh karena itu, persamaan (9) dapat ditulis ulang sebagai berikut: Mengingat E adalah permukaan halus yang menonjol secara unik pada ketiganya bidang koordinat, demikian pula kita yakin akan keabsahan rumus Sirkulasi bidang vektor. Rotor vektor Teorema Stokes Rotor (pusaran) medan vektor Definisi invarian rotor suatu medan Arti fisis rotor suatu medan Aturan menghitung rotor Dengan menjumlahkan persamaan suku demi suku, kita memperoleh rumus Stokes ( 5), atau singkatnya, Catatan 1. Kita telah menunjukkan bahwa bidang putaran vektor adalah solenoida, dan oleh karena itu, aliran putaran vektor tidak bergantung pada jenis permukaan E yang direntang oleh kontur L. Catatan 2 . Rumus (4) diturunkan dengan asumsi bahwa permukaan £ diproyeksikan secara unik ke ketiga bidang koordinat. Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka £ kita bagi menjadi beberapa bagian sehingga masing-masing bagian kondisi yang ditentukan terpenuhi, dan kemudian kita menggunakan aditif integral. Contoh 3. Hitung sirkulasi suatu vektor sepanjang garis 1) menggunakan definisi; 2) menurut teorema Stokes. 4 1) Mari kita definisikan garis L secara parametrik: Kemudian 2) Temukan rotasi: Mari kita regangkan sebuah bidang ke kontur L Kemudian. Definisi invarian dari rotor medan Dari teorema Stokes, seseorang dapat memperoleh definisi invarian dari rotor medan, tidak berhubungan dengan pilihan sistem koordinat. Teorema 8. Proyeksi rotor a ke segala arah tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat dan sama dengan kepadatan permukaan sirkulasi vektor a sepanjang kontur platform, tegak lurus arah ini, Di sini (E) adalah platform datar, tegak lurus terhadap vektor aku; 5 - area situs ini; L - kontur situs, diorientasikan sehingga bypass kontur terlihat dari ujung vektor n berlawanan arah jarum jam; (E) M berarti luas (E) berkontraksi ke titik M, di mana vektor rot a dianggap, dan vektor normal n terhadap luas ini tetap sama sepanjang waktu (Gbr. 33). 4 Pertama-tama mari kita terapkan teorema Stokes pada sirkulasi (a,dr) dari vektor a, dan kemudian pada hasil integral ganda- teorema nilai rata-rata: di mana (produk skalar diambil pada titik tengah Mf platform (E)). Karena luas (E) tertarik ke titik M, titik rata-rata A/c juga cenderung ke titik M dan, karena asumsi kontinuitas turunan parsial dari koordinat vektor a (dan karenanya kontinuitas rot a), kita memperoleh Karena proyeksi putaran vektor a ke arah sembarang tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat, maka putaran vektor itu sendiri adalah invarian terhadap pilihan ini. Dari sini kita memperoleh definisi invarian dari rotor medan berikut: rotor medan adalah suatu vektor yang panjangnya sama dengan kerapatan sirkulasi permukaan terbesar pada suatu titik tertentu, diarahkan tegak lurus terhadap luas di mana rotor medan tersebut berada. kepadatan tertinggi sirkulasi tercapai; dalam hal ini orientasi vektor putaran sesuai dengan orientasi kontur yang sirkulasinya positif, menurut aturan sekrup kanan. 8.3. Arti fisis dari rotor medan Biarkan benda tegar berputar sumbu tetap I dengan kecepatan sudut dan. Tanpa kehilangan keumumannya, kita dapat berasumsi bahwa sumbu I bertepatan dengan sumbu Oz (Gbr. 34). Misalkan M(r) adalah titik tubuh yang sedang dipelajari, dimana Vektor kecepatan sudut dalam kasus kita sama dengan dari = wk, hitung vektor v kecepatan linier titik M, Oleh karena itu sirkulasi medan vektor. Rotor teorema vektor Stokes Rotor (pusaran) medan vektor Definisi invarian rotor suatu medan Arti fisis rotor suatu medan Aturan untuk menghitung rotor Jadi, pusaran medan kecepatan putar padat sama di semua titik medan, sejajar dengan sumbu rotasi dan sama dengan dua kali kecepatan sudut rotasi. 8.4. Aturan penghitungan rotor 1. Rotor vektor konstan c sama dengan vektor nol, 2. Rotor mempunyai sifat linearitas bilangan konstan. 3. Rotor produk fungsi skalar u(M) ke vektor a(M) dihitung dengan rumus
Mengetahui di setiap titik S, Anda dapat mengetahui sirkulasinya dengan G sekitar S. Mari kita uraikan S pada S:
Dan 
- elemen normal ke permukaan
S.
Biarkan semuanya S 0 , Kemudian:
Teorema Stokes:
Vektor sirkulasi 
sepanjang kontur sewenang-wenang G sama dengan fluks vektor 
melalui permukaan yang sewenang-wenang S, dibatasi oleh kontur ini.
3.7 Sirkulasi dan rotor medan elektrostatis
Kerja gaya elektrostatik sepanjang rangkaian tertutup adalah nol.
itu. sirkulasi medan elektrostatis sepanjang rangkaian apa pun adalah nol.
Mari kita ambil permukaan apa pun S, berdasarkan kontur G.
Menurut teorema Stokes:
;
karena ini untuk permukaan apa pun S, Itu
Ada identitas:
itu. garis medan elektrostatis tidak bersirkulasi di ruang angkasa.
3.8 Teorema Gauss
Kami akan menemukannya 
medan elektrostatis. Untuk muatan titik, kerapatan garis secara numerik sama dengan 
Mengalir 
melalui suatu permukaan tertutup sama dengan jumlah garis yang keluar, yaitu dimulai dengan muatan “+” dan diakhiri dengan muatan “-“:
Tanda arus sesuai dengan tandanya Q, dimensinya sama.
Biarlah ada N biaya poin Q Saya .
Aliran vektor kuat medan elektrostatik melalui permukaan tertutup sama dengan jumlah aljabar muatan yang terkandung di dalam permukaan tersebut, dibagi dengan 0.
4 Menghitung bidang menggunakan teorema Gauss
4.1 Bidang pelat tak hingga yang bermuatan seragam.
4.2 Bidang permukaan bola bermuatan seragam.
4.3 Bidang dua bidang sejajar tak terhingga bermuatan berlawanan
4.4 Bidang bola bermuatan volumetrik
4.1 Bidang pelat tak hingga yang bermuatan seragam
DI DALAM 
memperkenalkan konsep kepadatan permukaan
- muatan per satuan permukaan.
Pelat tak terhingga bermuatan dengan kerapatan permukaan konstan + . Garis tegangan tegak lurus terhadap bidang yang ditinjau dan diarahkan ke kedua arah.
Sebagai permukaan tertutup, kita akan membuat sebuah silinder, yang alasnya sejajar dengan bidang, dan sumbunya tegak lurus terhadapnya, karena generatris silinder sejajar E, Itu karena =0 dan fluks yang melalui permukaan samping adalah 0, dan aliran penuh melalui silinder sama dengan jumlah aliran yang melalui alasnya.
E'=E''=E,
Itu F= 2E S;
q = S
Oleh karena itu E tidak tergantung pada panjang silinder, mis. Permukaan lapangan pada jarak berapa pun memiliki nilai absolut yang sama, yaitu. Bidang pelat yang bermuatan seragam adalah seragam.
4.2 Bidang permukaan bola bermuatan seragam
DENGAN 
radius permukaan bola R dengan muatan umum Q.
Karena muatannya terdistribusi secara merata, maka medan tersebut mempunyai simetri bola, yaitu garis bidang diarahkan secara radial.
Mari kita secara mental membangun sebuah bola berjari-jari R R. Karena R R, maka seluruh muatan jatuh ke dalam permukaan, menurut teorema Gauss:
Pada R R bidang berkurang dengan bertambahnya jarak R menurut hukum yang sama dengan muatan titik.
Jika R' R, maka permukaan tertutup tersebut tidak mengandung muatan di dalamnya, sehingga tidak ada medan elektrostatis di dalam permukaan bola bermuatan seragam E=0.
4.3 Bidang dua bidang sejajar tak terhingga bermuatan berlawanan
Biarkan bidang-bidang tersebut bermuatan seragam dengan muatan berlawanan dengan kepadatan permukaan + Dan - .
Kami menemukan bidang sebagai superposisi yang dibuat oleh masing-masing bidang secara terpisah.
Keluar dari piring E = 0(margin dikurangi karena garisnya saling berhadapan).
Di area antar pesawat
E = E + + E -
Kemudian 
Teorema ini memungkinkan Anda menghitung sirkulasi suatu vektor sepanjang kontur dengan panjang berhingga menggunakan rotor vektor ini.
Sirkulasi bidang vektor sepanjang kontur tertutup berorientasi positif L sama dengan aliran rotor bidang ini melalui permukaan halus apa pun S , berdasarkan kontur ini:
.
(2.12)
Untuk membuktikan teorema tersebut, perhatikan sebuah kontur dengan luas yang dicakupnya (Gbr. 2.6). Seluruh kontur dibagi menjadi kontur dasar dengan orientasi yang sama (Gbr. 2.10).
Sirkulasi sepanjang rangkaian dasar adalah sama dengan 
.
Semua kontur yang berdekatan ( 1 Dan 2 pada Gambar. 2.10) mempunyai ciri sebagai berikut: pada suatu batas bersama dengan nilai medan yang sama, sumbangan sirkulasi sepanjang setiap kontur yang berdekatan akan terjadi dengan perubahan tanda (untuk kontur 1 -A B , dan untuk 2 - B A ). Akibatnya, kontribusi terhadap sirkulasi semua bagian dalam sirkuit saling dikompensasi, dan hanya bagian-bagian yang termasuk dalam sirkuit yang tetap tidak diberi kompensasi. L , yang pada akhirnya menghasilkan (2.12) .
Kasus khusus (2.12) dalam hal kontur terletak pada bidang adalah rumus D. Green (M. Ostrogradsky-D. Green):
.
(2.13)
Rumus (2.12) dan (2.13) memungkinkan kita untuk mereduksi perhitungan integral lengkung jenis kedua menjadi perhitungan integral ganda melintasi wilayah S .
Transisi terbalik menurut (2.12) dilakukan dengan cara yang sama seperti (2.8).
2.4. Operator pengamat dan operator Laplace
Penulisan rumus analisis vektor disederhanakan saat digunakan operator radar
(operator W. Hamilton), yang merupakan vektor 
. Vektor ini sendiri tidak memiliki arti, tetapi memungkinkan kita untuk menulis rumus (2.3), (2.5) dan (2.9) secara kompak:
;
;
. (2.14)
Selain itu, operator nabla memungkinkan penyederhanaan penghitungan operator diferensial orde tinggi.
Perlu dicatat bahwa dengan harus ditangani dengan hati-hati, dan saat menggunakannya, Anda harus ingat bahwa operator ini tidak hanya vektor , tapi juga diferensial .
Misalnya, mari kita temukan 
. Menggunakan kita dapatkan 
. Menurut aturan diferensiasi
operator produk bertindak pertama Pertama
pengganda dan kemudian oleh Kedua: . Hasilnya kita dapatkan. Prosedur penghitungan melalui koordinat vektor akan memerlukan operasi yang lebih banyak.
Cobalah untuk mendapatkan sendiri rumus pemuaian yang tidak termasuk dalam (2.15) 
. Jawaban yang benar diberikan di akhir aplikasi 1
.
Beberapa identitas dan operasi urutan kedua.
;
;
;
;
Operator Laplace ( , Laplacian ) adalah operator orde kedua.
Menyukai , berlaku untuk skalar dan vektor.
.
(2.17)
Jika sistem kartesius koordinat (2.18) disederhanakan:
Informasi tentang sistem koordinat lengkung sering digunakan dalam teori EMF ( berbentuk silinder Dan bulat ) dan operasi vektor di dalamnya diberikan Lampiran 2 .
2.5. Klasifikasi bidang vektor
Bidang vektor 
diberikan secara unik jika rotor dan divergensinya sebagai fungsi koordinat spasial diketahui.
Tergantung pada nilai fungsi-fungsi ini, ada potensi , pusaran (solenoida ) bidang dan bidang generik .
Bidang vektor 
berpotensi
, jika ada beberapa fungsi skalar kamu
, yang dikaitkan dengan 
sebagai berikut: 
. Fungsi kamu
ditelepon potensi medan skalar
.
Kondisi perlu dan cukup kemampuan
adalah rotor sama dengan nol
(
).
Solenoida
(pusaran
) disebut bidang vektor 
, di setiap titiknya 
(kondisi perlu dan cukup), 
.
Bidang vektor solenoida 
dapat direpresentasikan sebagai 
. Dalam hal ini, besaran vektor 
ditelepon potensi medan vektor
(
).
Nama bidang dari jenis ini dapat dijelaskan oleh fakta bahwa itu ditemukan di solenoida , – sebuah induktor (bisa dengan atau tanpa inti), yang panjangnya jauh melebihi diameternya.
Jika bidang vektor 
Dan 
, maka ini - bidang generik
.
Bidang vektor sembarang tipe umum dapat direpresentasikan sebagai jumlah bagian potensial dan bagian pusaran: 
, – di mana 
termasuk sumber lapangan
(
), dan di 
–pusaran lapangan
(
).
Sekarang, setelah mempelajari operasi integral dan diferensial serta teorema dasar analisis vektor, kita dapat mulai mempelajari dasar teori EMF - sistem persamaan Maxwell .
Mengetahui rotor vektor a pada setiap titik pada permukaan S (tidak harus datar), kita dapat menghitung sirkulasi vektor ini sepanjang kontur yang membatasi S (kontur juga bisa tidak datar). Untuk melakukan ini, kita membagi permukaan menjadi elemen-elemen yang sangat kecil. Karena ukurannya yang kecil, elemen-elemen ini dapat dianggap datar.
Oleh karena itu, sesuai dengan (11.23), sirkulasi vektor a sepanjang kontur batas dapat direpresentasikan dalam bentuk
dimana adalah normal positif elemen permukaan
Sesuai dengan rumus (11.21), menjumlahkan ekspresi (11.29) secara keseluruhan , kita memperoleh sirkulasi vektor a sepanjang kontur Г, membatasi
Setelah melewati batas, di mana semua AS cenderung nol (jumlahnya bertambah tanpa batas), kita sampai pada rumus
(11.30)
Relasi (11.30) disebut teorema Stokes. Artinya adalah sirkulasi vektor a sepanjang kontur sembarang sama dengan aliran putaran vektor melalui permukaan sembarang S yang dibatasi oleh kontur tertentu.
Operator observatorium Penulisan rumus analisis vektor akan sangat disederhanakan dan dipermudah jika Anda memperkenalkan operator diferensial vektor, yang dilambangkan dengan simbol dan disebut operator Nabla atau operator Hamilton. Operator ini berarti vektor dengan komponen Oleh karena itu,
Vektor ini sendiri tidak mempunyai arti. Ia mempunyai makna jika digabungkan dengan fungsi skalar atau vektor yang dapat dikalikan secara simbolis. Jadi, jika Anda mengalikan vektor y dengan skalar, Anda mendapatkan vektornya
yang merupakan gradien fungsi (lihat (11.1)).
Jika vektor y dikalikan secara skalar dengan vektor a, maka hasilnya adalah skalar
yang tidak lain adalah divergensi vektor a (lihat (11.14)).
Terakhir, jika Anda mengalikan y dengan vektor, Anda mendapatkan vektor dengan komponen: dst., yang bertepatan dengan rotasi komponen (lihat (11.25) - (11.27)).
Oleh karena itu, gunakan notasi produk vektor dengan menggunakan determinan, kita dapat menulis
(11-34)
Jadi, ada dua cara untuk menyatakan gradien, divergensi, dan rotor:
Notasi menggunakan y memiliki sejumlah keunggulan. Oleh karena itu, berikut ini kita akan menggunakan notasi tersebut. Anda harus membiasakan diri untuk mengidentifikasi simbol dengan kata “gradien” (yaitu, bukan “nabla” tetapi “gradien phi”), simbol dengan kata “divergence a” dan, terakhir, simbol dengan kata “rotor a ”.
Saat menggunakan vektor y, Anda harus mengingatnya operator diferensial, bertindak pada semua fungsi di sebelah kanannya. Oleh karena itu, saat mengonversi ekspresi yang menyertakan y, Anda perlu mempertimbangkan kedua aturan tersebut aljabar vektor, begitu juga aturannya kalkulus diferensial. Misalnya, turunan dari hasil kali fungsi sama dengan
Sesuai dengan ini
Juga
Gradien suatu fungsi adalah fungsi vektor. Oleh karena itu, operasi divergensi dan rotor dapat diterapkan padanya.
