Lingkaran dan sudut tertulis. Panduan visual (2019)

Istilah dasar.

Seberapa baik Anda mengingat semua nama yang terkait dengan lingkaran? Untuk berjaga-jaga, izinkan kami mengingatkan Anda - lihat gambarnya - segarkan pengetahuan Anda.

Pertama-tama - Pusat lingkaran adalah suatu titik yang jarak semua titik pada lingkaran adalah sama.

Kedua - radius - ruas garis yang menghubungkan pusat dan suatu titik pada lingkaran.

Jari-jarinya banyak (sebanyak jumlah titik pada lingkaran), tetapi Semua jari-jari mempunyai panjang yang sama.

Terkadang singkatnya radius mereka menyebutnya dengan tepat panjang segmen“pusatnya adalah sebuah titik pada lingkaran”, dan bukan ruas itu sendiri.

Dan inilah yang terjadi jika Anda menghubungkan dua titik pada sebuah lingkaran? Juga segmen?

Jadi, segmen ini disebut "akord".

Seperti halnya jari-jari, diameter sering kali merupakan panjang segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusatnya. Ngomong-ngomong, apa hubungan diameter dan jari-jari? Perhatikan baik-baik. Tentu saja radius sama dengan setengah diameter

Selain akord, ada juga garis potong.

Ingat hal paling sederhana?

Sudut pusat adalah sudut antara dua jari-jari.

Dan sekarang - sudut tertulis

Sudut tertulis - sudut antara dua tali busur yang berpotongan di suatu titik pada lingkaran.

Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa sudut tertulis bertumpu pada busur (atau tali busur).

Lihatlah gambar:

Pengukuran busur dan sudut.

Lingkar. Busur dan sudut diukur dalam derajat dan radian. Pertama, soal derajat. Tidak ada masalah untuk sudut - Anda perlu mempelajari cara mengukur busur dalam derajat.

Ukuran derajat (ukuran busur) adalah nilai (dalam derajat) dari sudut pusat yang bersesuaian

Apa arti kata “pantas” di sini? Mari kita perhatikan baik-baik:

Apakah Anda melihat dua busur dan dua sudut pusat? Ya, itu berhubungan dengan busur yang lebih besar sudut yang lebih besar(dan tidak apa-apa jika lebih besar), dan busur yang lebih kecil berarti sudut yang lebih kecil.

Jadi, kami sepakat: busur berisi jumlah derajat yang sama dengan sudut pusat yang bersesuaian.

Dan sekarang tentang hal yang menakutkan - tentang radian!

Binatang macam apa “radian” ini?

Membayangkan: Radian adalah cara mengukur sudut... dalam jari-jari!

Sudut yang mengukur radian adalah seperti ini sudut tengah, yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran.

Lalu timbul pertanyaan - berapa radian pada sudut lurus?

Dengan kata lain: berapa banyak jari-jari yang “muat” dalam setengah lingkaran? Atau dengan cara lain: berapa kali panjang setengah lingkaran? lebih besar dari radius?

Para ilmuwan menanyakan pertanyaan ini di Yunani Kuno.

Jadi, setelah melakukan pencarian yang lama, mereka menemukan bahwa rasio keliling terhadap jari-jari tidak ingin dinyatakan dalam angka “manusia”, seperti, dll.

Dan bahkan tidak mungkin untuk mengungkapkan sikap ini sampai ke akar-akarnya. Artinya, ternyata tidak mungkin mengatakan bahwa setengah lingkaran berukuran satu kali atau beberapa kali lebih besar dari jari-jarinya! Bisakah Anda bayangkan betapa menakjubkannya orang-orang yang menemukan hal ini untuk pertama kalinya?! Untuk perbandingan panjang setengah lingkaran dengan jari-jarinya, angka “normal” saja tidak cukup. Saya harus memasukkan surat.

Jadi, - ini adalah bilangan yang menyatakan perbandingan panjang setengah lingkaran dengan jari-jarinya.

Sekarang kita dapat menjawab pertanyaan: berapa radian pada sudut lurus? Ini mengandung radian. Justru karena setengah lingkaran kali lebih besar dari jari-jarinya.

Orang-orang kuno (dan tidak terlalu kuno) selama berabad-abad (!) mencoba menghitungnya dengan lebih akurat nomor misterius, lebih baik dinyatakan (setidaknya kira-kira) melalui angka “biasa”. Dan sekarang kami sangat malas - dua tanda setelah hari yang sibuk sudah cukup bagi kami, kami sudah terbiasa

Coba pikirkan, ini berarti, misalnya, panjang lingkaran dengan jari-jari satu kira-kira sama, tetapi panjang pasti ini tidak mungkin ditulis dengan angka "manusia" - Anda memerlukan surat. Dan keliling ini akan sama. Dan tentu saja kelilingnya sama dengan jari-jarinya.

Mari kita kembali ke radian.

Kita telah mengetahui bahwa sudut lurus mengandung radian.

Apa yang kami punya:

Artinya saya senang, yaitu saya senang. Dengan cara yang sama, diperoleh pelat dengan sudut paling populer.

Hubungan antara nilai sudut tertulis dan sudut pusat.

Ada fakta yang menakjubkan:

Sudut yang tertulis adalah setengah ukuran sudut pusat yang bersesuaian.

Lihat bagaimana pernyataan ini terlihat pada gambar. Sudut pusat yang “bersesuaian” adalah sudut yang ujung-ujungnya berimpit dengan ujung-ujung sudut yang tertulis, dan titik sudutnya berada di tengah. Dan pada saat yang sama, sudut pusat yang “sesuai” harus “melihat” pada tali busur yang sama () dengan sudut yang tertulis.

Mengapa demikian? Mari kita cari tahu dulu kasus sederhana. Biarkan salah satu akord melewati bagian tengah. Kadang-kadang terjadi seperti itu, bukan?

Apa yang terjadi di sini? Mari kita pertimbangkan. Bagaimanapun, itu sama kaki, dan - jari-jari. Jadi, (beri label pada mereka).

Sekarang mari kita lihat. Ini adalah sudut luarnya! Ingatlah bahwa sudut luar sama dengan jumlahnya dua yang internal, tidak berdekatan, dan tulis:

Yaitu! Efek yang tidak terduga. Namun ada juga sudut tengah untuk tulisan itu.

Artinya untuk kasus ini mereka membuktikan bahwa sudut pusat sama dengan dua kali sudut tertulis. Tapi itu terlalu menyakitkan kasus khusus: Bukankah tali busur tidak selalu lurus melalui titik tengah? Tapi tidak apa, sekarang kasus khusus ini akan banyak membantu kita. Lihat: kasus kedua: biarkan bagian tengahnya terletak di dalam.

Mari kita lakukan ini: gambar diameternya. Dan kemudian... kita melihat dua gambar yang telah dianalisis pada kasus pertama. Oleh karena itu kami sudah memilikinya

Artinya (dalam gambar, a)

Yah, aku tinggal kasus terakhir: tengah di luar sudut.

Kami melakukan hal yang sama: menggambar diameter melalui titik. Semuanya sama, tapi bukannya penjumlahan yang ada bedanya.

Itu saja!

Sekarang mari kita bentuk dua yang utama dan sangat konsekuensi penting dari pernyataan bahwa sudut yang tertulis adalah setengah sudut pusat.

Akibat wajar 1

Semua sudut tertulis yang bertumpu pada satu busur adalah sama besar satu sama lain.

Kami mengilustrasikan:

Ada banyak sudut bertulisan yang bertumpu pada busur yang sama (kita memiliki busur ini), mereka mungkin terlihat sangat berbeda, tetapi semuanya memiliki sudut pusat yang sama (), yang berarti bahwa semua sudut bertulisan ini sama besar satu sama lain.

Akibat wajar 2

Sudut yang dibentuk oleh diameter adalah sudut siku-siku.

Lihat: sudut mana yang menjadi pusatnya?

Tentu, . Tapi dia setara! Oleh karena itu, (dan juga banyak sudut tertulis lainnya yang bertumpu pada) dan sama besar.

Sudut antara dua tali busur dan garis potong

Namun bagaimana jika sudut yang kita minati TIDAK tertulis dan BUKAN pusat, melainkan misalnya seperti ini:

atau seperti ini?

Apakah mungkin untuk mengekspresikannya melalui beberapa sudut pusat? Ternyata hal itu mungkin saja terjadi. Lihat: kami tertarik.

a) (sebagai sudut luar untuk). Tapi - tertulis, bertumpu pada busur -. - tertulis, bertumpu pada busur - .

Untuk kecantikan mereka berkata:

Sudut antara tali busur sama dengan setengah jumlah nilai sudut busur yang berada pada sudut tersebut.

Mereka menulis ini agar singkatnya, tetapi tentu saja, saat menggunakan rumus ini, Anda perlu mengingat sudut pusatnya

b) Dan sekarang - “di luar”! Bagaimana ini bisa terjadi? Ya, hampir sama! Hanya sekarang (sekali lagi kita menerapkan properti sudut luar untuk). Itu sekarang.

Dan itu berarti... Mari kita hadirkan keindahan dan keringkasan pada catatan dan kata-katanya:

Sudut antara garis potong sama dengan setengah selisih nilai sudut busur yang berada pada sudut tersebut.

Nah, sekarang Anda sudah dibekali dengan segala pengetahuan dasar tentang sudut yang berhubungan dengan lingkaran. Silakan, terima tantangannya!

LINGKARAN DAN SUDUT DALAM. TINGKAT MENENGAH

Bahkan anak berusia lima tahun pun tahu apa itu lingkaran, bukan? Matematikawan, seperti biasa, memiliki definisi yang sulit tentang hal ini, tetapi kami tidak akan memberikannya (lihat), melainkan mari kita ingat apa yang disebut titik, garis, dan sudut yang berhubungan dengan lingkaran.

Ketentuan Penting

Pertama-tama:

pusat lingkaran- titik yang semua titik pada lingkaran mempunyai jarak yang sama.

Kedua:

Ada ungkapan lain yang diterima: “akord mengontraksikan busur.” Di sini, pada gambar, misalnya, tali busur menggantikan busur. Dan jika sebuah tali busur tiba-tiba melewati bagian tengah, maka tali busur tersebut telah melewatinya nama khusus: "diameter".

Ngomong-ngomong, apa hubungan diameter dan jari-jari? Perhatikan baik-baik. Tentu saja

Dan sekarang - nama sudutnya.

Alami, bukan? Sisi-sisi sudut memanjang dari pusat, yang berarti sudut tersebut berada di tengah.

Di sinilah kesulitan terkadang muncul. Perhatikan - TIDAK ADA sudut di dalam lingkaran yang tertulis, tetapi hanya satu yang titik sudutnya “berada” pada lingkaran itu sendiri.

Mari kita lihat perbedaannya pada gambar:

Cara lain yang mereka katakan:

Ada satu hal yang rumit di sini. Berapakah sudut pusat yang “bersesuaian” atau “sendiri”? Hanya sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran dan ujung-ujungnya berada di ujung busur? Tidak terlalu. Lihatlah gambarnya.

Namun, salah satunya bahkan tidak tampak seperti sudut - melainkan lebih besar. Tetapi sebuah segitiga tidak bisa memiliki lebih banyak sudut, tetapi sebuah lingkaran mungkin memiliki lebih banyak sudut! Jadi: busur AB yang lebih kecil berhubungan dengan sudut yang lebih kecil (oranye), dan busur yang lebih besar berhubungan dengan sudut yang lebih besar. Persis seperti itu, bukan?

Hubungan antara besar sudut tertulis dan sudut pusat

Ingatlah pernyataan yang sangat penting ini:

Di buku teks mereka suka menulis fakta yang sama seperti ini:

Bukankah rumusannya lebih sederhana dengan sudut tengah?

Namun tetap saja, mari kita temukan korespondensi antara kedua formulasi tersebut, dan pada saat yang sama belajar menemukan dalam gambar sudut pusat yang “bersesuaian” dan busur di mana sudut yang tertulis itu “bertumpu”.

Lihat: ini lingkaran dan sudut tertulis:

Di manakah sudut pusatnya yang “sesuai”?

Mari kita lihat lagi:

Apa aturannya?

Tetapi! Dalam hal ini, penting agar sudut tertulis dan sudut tengah “melihat” busur dari satu sisi. Di sini, misalnya:

Anehnya, biru! Karena busurnya panjang, lebih dari setengah lingkaran! Jadi jangan pernah bingung!

Konsekuensi apa yang dapat disimpulkan dari “setengah” sudut yang tertulis?

Tapi, misalnya:

Sudut diposisikan oleh diameter

Anda telah memperhatikan bahwa ahli matematika suka membicarakan hal yang sama. dengan kata yang berbeda? Mengapa mereka membutuhkan ini? Anda lihat, bahasa matematika, meskipun formal, tetap hidup, dan oleh karena itu, seperti halnya bahasa biasa, setiap kali saya ingin mengatakannya dengan cara yang lebih nyaman. Kita telah mengetahui apa yang dimaksud dengan “sudut bertumpu pada busur”. Dan bayangkan, gambar yang sama disebut “sudut bertumpu pada tali busur”. Yang mana? Ya, tentu saja, untuk orang yang mengencangkan busur ini!

Kapan lebih nyaman mengandalkan akord daripada busur?

Khususnya, ketika tali busur ini adalah diameternya.

Ada pernyataan yang sangat sederhana, indah dan berguna untuk situasi seperti ini!

Lihat: ini lingkaran, diameter dan sudut yang bertumpu padanya.

LINGKARAN DAN SUDUT DALAM. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

1. Konsep dasar.

3. Pengukuran busur dan sudut.

Sudut radian adalah sudut pusat yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran.

Ini adalah bilangan yang menyatakan perbandingan panjang setengah lingkaran dengan jari-jarinya.

Keliling jari-jarinya sama dengan.

4. Hubungan antara besar sudut tertulis dan sudut pusat.

Konsep sudut tertulis dan pusat

Mari kita perkenalkan dulu konsep sudut pusat.

Catatan 1

Perhatikan itu besar derajat suatu sudut pusat sama dengan besar derajat busur tempatnya bertumpu.

Sekarang mari kita perkenalkan konsep sudut tertulis.

Definisi 2

Sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran yang sama disebut sudut tertulis (Gbr. 2).

Gambar 2. Sudut tertulis

Teorema sudut tertulis

Teorema 1

Besar derajat suatu sudut tertulis sama dengan setengahnya ukuran derajat busur di mana ia bertumpu.

Bukti.

Misalkan kita diberi sebuah lingkaran yang berpusat di titik $O$. Mari kita nyatakan sudut tertulis $ACB$ (Gbr. 2). Tiga kasus berikut mungkin terjadi:

Sinar $CO$ berimpit dengan sisi mana pun dari sudut tersebut. Biarkan ini menjadi sisi $CB$ (Gbr. 3).

Gambar 3.

Dalam hal ini, busur $AB$ lebih kecil dari $(180)^(()^\circ )$, oleh karena itu sudut pusat $AOB$ sama dengan busur $AB$. Karena $AO=OC=r$, maka segitiga $AOC$ adalah segitiga sama kaki. Artinya sudut alas $CAO$ dan $ACO$ sama besar. Menurut teorema tentang sudut luar segitiga, kita mempunyai:

Sinar $CO$ terbelah sudut dalam pada dua sudut. Biarkan lingkaran tersebut memotong lingkaran di titik $D$ (Gbr. 4).

Gambar 4.

Kami mengerti

Sinar $CO$ tidak membagi sudut dalam menjadi dua sudut dan tidak berimpit pada salah satu sisinya (Gbr. 5).

Gambar 5.

Mari kita perhatikan sudut $ACD$ dan $DCB$ secara terpisah. Berdasarkan apa yang dibuktikan pada poin 1, kita peroleh

Kami mengerti

Teorema tersebut telah terbukti.

Mari kita memberi konsekuensi dari teorema ini.

Akibat wajar 1: Sudut-sudut bertulisan yang bertumpu pada busur yang sama adalah sama besar.

Akibat wajar 2: Sudut tertulis yang membentuk diameter adalah sudut siku-siku.

Sudut tengah adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran.
Sudut tertulis- sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotongnya.

Gambar tersebut menunjukkan sudut pusat dan sudut tertulis, serta sifat terpentingnya.

Jadi, besar sudut pusat sama dengan besar sudut busur tempat ia bertumpu. Artinya sudut pusat 90 derajat akan bertumpu pada busur yang besarnya 90°, yaitu lingkaran. Sudut pusat, sama dengan 60°, bertumpu pada busur 60 derajat, yaitu pada seperenam lingkaran.

Besarnya sudut tertulis adalah dua kali lebih kecil dari sudut pusat yang bertumpu pada busur yang sama.

Selain itu, untuk menyelesaikan masalah kita memerlukan konsep “akor”.

Sudut pusat yang sama membentuk tali busur yang sama besar.

1. Berapakah sudut tertulis yang dibatasi oleh diameter lingkaran? Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Sudut tertulis yang dibatasi oleh diameter adalah sudut siku-siku.

2. Sudut pusatnya 36° lebih besar dari sudut lancip yang dibentuk oleh busur lingkaran yang sama. Temukan sudut yang tertulis. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Misalkan sudut pusat sama dengan x, dan sudut bertuliskan busur yang sama sama dengan y.

Kita tahu bahwa x = 2y.
Jadi 2y = 36 + y,
kamu = 36.

3. Jari-jari lingkaran sama dengan 1. Tentukan nilai sudut tumpul yang dibentuk oleh tali busur, sama dengan . Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Misalkan tali busur AB sama dengan . Sudut tumpul yang tertulis berdasarkan tali busur ini akan dilambangkan dengan α.
Pada segitiga AOB, sisi AO dan OB sama dengan 1, sisi AB sama dengan . Kita telah menemukan segitiga seperti itu. Jelasnya, segitiga AOB adalah persegi panjang dan sama kaki, sehingga sudut AOB adalah 90°.
Maka busur ACB sama dengan 90°, dan busur AKB sama dengan 360° - 90° = 270°.
Sudut tertulis α bertumpu pada busur AKB dan sama dengan setengahnya besaran sudut busur ini, yaitu 135°.

Jawaban: 135.

4. Tali busur AB membagi lingkaran menjadi dua bagian yang nilai derajatnya mempunyai perbandingan 5:7. Pada sudut berapakah tali busur ini terlihat dari titik C yang termasuk dalam busur kecil lingkaran? Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Hal utama dalam tugas ini adalah penggambaran dan pemahaman kondisi yang benar. Bagaimana Anda memahami pertanyaan: “Pada sudut manakah tali busur terlihat dari titik C?”
Bayangkan Anda sedang duduk di titik C dan Anda ingin melihat segala sesuatu yang terjadi pada tali busur AB. Ibarat akord AB ibarat layar di bioskop :-)
Tentunya Anda perlu mencari sudut ACB.
Jumlah dua busur yang dilalui tali busur AB membagi lingkaran adalah 360°, yaitu
5x + 7x = 360°
Jadi x = 30°, dan sudut ACB terletak pada busur sebesar 210°.
Besar sudut yang tertulis sama dengan setengah besar sudut busur tempatnya berada, yang berarti sudut ACB sama dengan 105°.

Planimetri merupakan salah satu cabang geometri yang mempelajari sifat-sifat angka datar. Ini tidak hanya mencakup semua orang segitiga terkenal, persegi, persegi panjang, tetapi juga garis lurus dan sudut. Dalam planimetri juga terdapat konsep sudut dalam lingkaran: pusat dan tertulis. Tapi apa maksudnya?

Apa yang dimaksud dengan sudut pusat?

Untuk memahami apa itu sudut pusat, Anda perlu mendefinisikan lingkaran. Lingkaran adalah kumpulan semua titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (pusat lingkaran).

Sangat penting untuk membedakannya dari lingkaran. Perlu Anda ingat bahwa lingkaran adalah garis tertutup, dan lingkaran adalah bagian dari bidang yang dibatasi oleh garis tersebut. Sebuah poligon atau sudut dapat dituliskan dalam sebuah lingkaran.

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berimpit dengan pusat lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran di dua titik. Busur yang dibatasi oleh suatu sudut oleh titik potongnya disebut busur yang menjadi sandaran sudut tersebut.

Mari kita lihat contoh No.1.

Pada gambar, sudut AOB adalah pusat, karena titik sudut dan pusat lingkaran berada pada satu titik O. Titik tersebut bertumpu pada busur AB yang tidak memuat titik C.

Apa perbedaan sudut tertulis dengan sudut pusat?

Namun selain sudut pusat, ada juga sudut tertulis. Apa perbedaannya? Sama seperti sudut pusat, sudut pada lingkaran bertumpu pada busur tertentu. Namun titik puncaknya tidak berimpit dengan pusat lingkaran, melainkan terletak di atasnya.

Mari kita memberi contoh selanjutnya.

Sudut ACB disebut sudut pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik C termasuk dalam lingkaran, yaitu terletak di atasnya. Sudut tersebut bertumpu pada busur AB.

Agar berhasil mengatasi masalah geometri, tidak cukup hanya mampu membedakan antara sudut tertulis dan sudut pusat. Biasanya, untuk menyelesaikannya, Anda perlu tahu persis cara mencari sudut pusat dalam lingkaran dan bisa menghitung nilainya dalam derajat.

Jadi, sudut pusat sama dengan besar derajat busur tempat ia bertumpu.

Pada gambar, sudut AOB bertumpu pada busur AB sebesar 66°. Artinya sudut AOB juga 66°.

Jadi, sudut pusatnya diwakilkan oleh busur yang sama, sama.

Pada gambar, busur DC sama dengan busur AB. Jadi sudut AOB sama dengan sudut DOKTER.

Tampaknya sudut yang tertulis dalam lingkaran sama dengan sudut pusat yang ditopang oleh busur yang sama. Namun, ini merupakan kesalahan besar. Faktanya, bahkan hanya dengan melihat gambar dan membandingkan sudut-sudut ini satu sama lain, Anda dapat melihat berapa besaran derajatnya arti yang berbeda. Jadi berapakah sudut yang tertulis dalam lingkaran?

Besar derajat suatu sudut tertulis sama dengan setengah busur di mana sudut itu bertumpu, atau setengah sudut pusat jika keduanya bertumpu pada busur yang sama.

Mari kita lihat sebuah contoh. Sudut ASV bertumpu pada busur sebesar 66°.

Artinya sudut ACB = 66°: 2 = 33°

Mari kita perhatikan beberapa konsekuensi dari teorema ini.

Sudut-sudut tertulis, jika terletak pada busur, tali busur, atau busur-busur yang sama besar, adalah sama besar.
Jika sudut-sudut yang tertulis bertumpu pada satu tali busur, tetapi titik-titik sudutnya terletak sejajar sisi yang berbeda dari situ, jumlah besar derajat sudut-sudut tersebut adalah 180°, karena dalam hal ini kedua sudut bertumpu pada busur, yang besar derajatnya totalnya adalah 360° (seluruh lingkaran), 360°: 2 = 180°
Jika suatu sudut tertulis didasarkan pada diameter suatu lingkaran, maka besar derajatnya adalah 90°, karena diameternya membentuk busur sebesar 180°, 180°: 2 = 90°
Jika sudut-sudut pusat dan sudut-sudut dalam suatu lingkaran bertumpu pada busur atau tali busur yang sama, maka sudut-sudut yang tertulis sama dengan setengah sudut pusat.

Dimana permasalahan mengenai topik ini dapat ditemukan? Jenis dan solusinya

Karena lingkaran dan sifat-sifatnya adalah salah satu bagian terpenting dalam geometri, khususnya planimetri, sudut tertulis dan sudut pusat dalam lingkaran adalah topik yang dipelajari secara luas dan rinci di kursus sekolah. Masalah yang berkaitan dengan propertinya banyak ditemukan ujian negara(OGE) dan Ujian Negara Bersatu (USE). Biasanya, untuk menyelesaikan soal ini, Anda perlu mencari sudut pada lingkaran dalam derajat.

Sudut berdasarkan satu busur

Jenis masalah ini mungkin salah satu yang paling mudah, karena untuk menyelesaikannya Anda hanya perlu mengetahui dua hal properti sederhana: jika kedua sudut terletak pada tali busur yang sama, maka kedua sudut tersebut sama besar; jika salah satu sudut terletak di pusat, maka sudut yang bersesuaian sama dengan setengahnya. Namun, saat menyelesaikannya, Anda harus sangat berhati-hati: terkadang sulit untuk memperhatikan properti ini, dan siswa menemui jalan buntu saat memecahkan masalah sederhana seperti itu. Mari kita lihat sebuah contoh.

Tugas No.1

Diberikan sebuah lingkaran yang berpusat di titik O. Sudut AOB adalah 54°. Tentukan besar derajat sudut ASV.

Tugas ini diselesaikan dalam satu tindakan. Satu-satunya hal yang Anda perlukan untuk menemukan jawabannya dengan cepat adalah dengan memperhatikan bahwa busur tempat kedua sudut bertumpu adalah sama. Setelah melihat ini, Anda dapat menerapkan properti yang sudah familiar. Sudut ACB sama dengan setengah sudut AOB. Cara,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Jawaban: 54°.

Sudut-sudut yang dibentuk oleh busur-busur berbeda pada lingkaran yang sama

Terkadang kondisi permasalahan tidak secara langsung menyatakan ukuran busur yang menjadi sandaran sudut yang diinginkan. Untuk menghitungnya, Anda perlu menganalisis besarnya sudut-sudut ini dan membandingkannya properti yang diketahui lingkaran.

Masalah 2

Sebuah lingkaran berpusat di titik O, sudut AOC adalah 120° dan sudut AOB adalah 30°. Temukan sudut ANDA.

Pertama-tama, perlu dikatakan bahwa masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan properti segitiga sama kaki, namun, ini perlu dijalankan lagi operasi matematika. Oleh karena itu, berikut ini kami akan memberikan analisis penyelesaiannya menggunakan sifat-sifat pusat dan sudut tertulis pada suatu lingkaran.

Jadi sudut AOS bertumpu pada busur AC dan berada di pusat, artinya busur AC sama dengan sudut AOS.

Demikian pula sudut AOB bertumpu pada busur AB.

Mengetahui hal ini dan ukuran derajat seluruh lingkaran (360°), Anda dapat dengan mudah menemukan besar busur BC.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

Titik sudut CAB, titik A, terletak pada lingkaran. Artinya sudut CAB adalah sudut tertulis dan sama dengan setengah busur NE.

Sudut CAB = 210°: 2 = 110°

Jawaban: 110°

Masalah berdasarkan hubungan busur

Beberapa soal tidak memuat data nilai sudut sama sekali, sehingga Anda perlu mencarinya hanya berdasarkan teorema terkenal dan sifat-sifat lingkaran.

Masalah 1

Tentukan sudut pada lingkaran yang membentuk tali busur, sama dengan radiusnya lingkaran yang diberikan.

Jika Anda secara mental menggambar garis yang menghubungkan ujung-ujung ruas dengan pusat lingkaran, Anda akan mendapatkan sebuah segitiga. Setelah dicermati, terlihat bahwa garis-garis tersebut adalah jari-jari lingkaran, artinya semua sisi segitiga itu sama besar. Diketahui semua sudut segitiga sama sisi sama dengan 60°. Artinya busur AB yang memuat titik sudut segitiga sama dengan 60°. Dari sini kita menemukan busur AB di mana sudut yang diinginkan berada.

AB = 360° - 60° = 300°

Sudut ABC = 300°: 2 = 150°

Jawaban: 150°

Masalah 2

Pada lingkaran yang berpusat di titik O, perbandingan busurnya adalah 3:7. Temukan sudut tertulis terkecil.

Untuk menyelesaikannya, mari kita tentukan satu bagian sebagai X, maka satu busur sama dengan 3X, dan busur kedua berturut-turut adalah 7X. Mengetahui bahwa besar derajat suatu lingkaran adalah 360°, mari kita buat persamaannya.

3X + 7X = 360°

Sesuai dengan kondisinya, Anda perlu mencari sudut yang lebih kecil. Jelasnya, jika besar sudut berbanding lurus dengan busur tempatnya berada, maka sudut yang diinginkan (lebih kecil) sama dengan busur sebesar 3X.

Artinya sudut yang lebih kecil adalah (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54°

Jawaban: 54°

Pada sebuah lingkaran yang berpusat di titik O, sudut AOB adalah 60° dan panjang busur yang lebih kecil adalah 50. Hitunglah panjang busur yang lebih besar.

Untuk menghitung panjang busur yang lebih besar, Anda perlu membuat proporsi - bagaimana hubungan busur yang lebih kecil dengan busur yang lebih besar. Untuk melakukan ini, kami menghitung besarnya kedua busur dalam derajat. Busur yang lebih kecil sama dengan sudut yang bertumpu padanya. Ukuran derajatnya adalah 60°. Busur mayor sama dengan selisih antara ukuran derajat lingkaran (sama dengan 360° terlepas dari data lainnya) dan busur minor.

Busur utama adalah 360° - 60° = 300°.

Karena 300°: 60° = 5, busur yang lebih besar adalah 5 kali lebih besar dari busur yang lebih kecil.

Busur besar = 50 * 5 = 250

Jadi, tentu saja, ada pendekatan lain untuk menyelesaikannya tugas serupa, tetapi semuanya dalam satu atau lain cara didasarkan pada sifat-sifat sudut, segitiga, dan lingkaran pusat dan tertulis. Agar berhasil menyelesaikannya, Anda perlu mempelajari gambar dengan cermat dan membandingkannya dengan data soal, serta dapat menerapkannya. pengetahuan teoritis dalam praktek.

LINGKARAN DAN LINGKARAN. SILINDER.

§ 76. TERTULIS DAN BEBERAPA SUDUT LAINNYA.

1. Sudut tertulis.

Sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya merupakan tali busur disebut sudut tertulis.

Sudut ABC adalah sudut tertulis. Ia bertumpu pada busur AC, tertutup di antara sisi-sisinya (Gbr. 330).

Dalil. Sudut tertulis diukur dengan setengah busur tempat sudut itu berada.

Hal ini harus dipahami sebagai berikut: suatu sudut tertulis mengandung derajat sudut, menit, dan detik yang sama banyaknya dengan jumlah derajat busur, menit, dan detik yang terkandung dalam separuh busur tempat sudut itu berada.

Saat membuktikan teorema ini, ada tiga kasus yang harus dipertimbangkan.

Kasus pertama. Pusat lingkaran terletak pada sisi sudut yang tertulis (Gbr. 331).

Membiarkan / ABC adalah sudut tertulis dan pusat lingkaran O terletak pada sisi BC. Perlu dibuktikan bahwa besarnya setengah busur AC.

Mari kita hubungkan titik A ke pusat lingkaran. Kami mendapatkan sama kaki /\ AOB, di mana
AO = OB, sebagai jari-jari lingkaran yang sama. Karena itu, / SEBUAH = / DI DALAM. / Oleh karena itu, AOC berada di luar segitiga AOB / AOC = / SEBUAH+ / B (§ 39, paragraf 2), dan karena sudut A dan B sama besar, maka / B adalah 1/2 / AOC.

Tetapi / AOC diukur dengan busur AC, oleh karena itu, / B diukur dengan setengah busur AC.

Misalnya, jika AC berisi 60° 18", maka / B berisi 30°9".

Kasus kedua. Pusat lingkaran terletak di antara sisi-sisi sudut yang tertulis (Gbr. 332).

Membiarkan / ABD - sudut tertulis. Pusat lingkaran O terletak di antara sisi-sisinya. Hal ini diperlukan untuk membuktikannya / ABD diukur dengan setengah busur AD.

Untuk membuktikannya, mari kita gambar diameter matahari. Sudut ABD terbagi menjadi dua sudut: / 1 dan / 2.

/ 1 diukur dengan setengah busur AC, dan / 2 diukur dengan setengah dari arc CD, oleh karena itu keseluruhannya / ABD diukur dengan 1/2 AC + 1/2 CD, yaitu setengah busur AD.
Misalnya, jika AD berisi 124°, maka / B berisi 62°.

Kasus ketiga. Pusat lingkaran terletak di luar sudut tertulis (Gbr. 333).

Membiarkan / MAD - sudut tertulis. Pusat lingkaran O berada di luar sudut. Hal ini diperlukan untuk membuktikannya / MAD diukur dengan setengah busur MD.

Untuk membuktikannya, mari kita gambar diameter AB. / GILA = / MAV- / COLEK. Tetapi / MAV diukur pada 1/2 MV, dan / DAB diukur sebagai 1/2 DB. Karena itu, / MAD diukur
1/2 (MB - DB), yaitu 1/2 MD.
Misalnya, jika MD berisi 48° 38"16", maka / MAD berisi 24° 19" 8".

Konsekuensi. 1. Semua sudut-sudut tertulis yang berada pada busur yang sama adalah sama besar satu sama lain, karena sudut-sudut tersebut diukur dengan setengah busur yang sama (Gambar 334, a).

2. Sudut tertulis yang dikenai diameter adalah sudut siku-siku, karena sudut tersebut membentuk setengah lingkaran. Setengah lingkaran mempunyai 180 derajat busur, artinya sudut berdasarkan diameternya mengandung 90 derajat busur (Gbr. 334, b).

2. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan tali busur.

Dalil. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan tali busur diukur dengan setengah busur yang terletak di antara sisi-sisinya.

Membiarkan / CAB terdiri dari tali busur CA dan garis singgung AB (Gbr. 335). Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa itu diukur dengan setengah SA. Mari kita tarik garis lurus CD melalui titik C || AB. Tertulis / ACD diukur dengan setengah busur AD, tetapi AD = CA, karena terletak di antara garis singgung dan tali busur yang sejajar dengannya. Karena itu, / DCA diukur dengan setengah busur CA. Sejak ini / TAKSI = / DCA, maka diukur setengah busur CA.

Latihan.

1. Pada gambar 336, tentukan garis singgung lingkaran balok.

2. Berdasarkan gambar 337, buktikan bahwa sudut ADC diukur dengan setengah jumlah busur AC dan BC.

3. Dengan menggunakan gambar 337, b, buktikan bahwa sudut AMB diukur dengan setengah selisih busur AB dan CE.