Pusat gravitasi suatu bangun simetris ditentukan oleh rumus. Menentukan koordinat titik berat bangun datar

Gambarlah diagram sistem dan tandai pusat gravitasinya. Jika pusat gravitasi yang ditemukan berada di luar sistem objek, Anda menerima jawaban yang salah. Anda mungkin telah mengukur jarak dari poin yang berbeda hitung mundur. Ulangi pengukurannya.

• Misalnya, jika anak-anak duduk di ayunan, pusat gravitasinya akan berada di antara anak-anak tersebut, dan bukan di kanan atau kiri ayunan. Selain itu, pusat gravitasi tidak akan pernah bertepatan dengan titik tempat anak duduk.
• Argumen-argumen ini valid dalam ruang dua dimensi. Gambarlah sebuah persegi yang berisi semua objek sistem. Pusat gravitasi harus berada di dalam kotak ini.

Memeriksa perhitungan matematis, jika Anda mendapatkan hasil yang kecil. Jika titik referensi berada di salah satu ujung sistem, hasil kecil akan menempatkan pusat gravitasi di dekat ujung sistem. Ini mungkin jawaban yang benar, namun dalam sebagian besar kasus, hasil ini menunjukkan kesalahan. Saat Anda menghitung momen, apakah Anda mengalikan berat dan jarak yang bersangkutan? Jika alih-alih mengalikan, Anda menambahkan bobot dan jarak, Anda akan mendapatkan hasil yang jauh lebih kecil.

Perbaiki kesalahan jika Anda menemukan beberapa pusat gravitasi. Setiap sistem hanya memiliki satu pusat gravitasi. Jika Anda menemukan beberapa pusat gravitasi, kemungkinan besar Anda tidak menjumlahkan semua momennya. Titik berat sama dengan rasionya momen “total” menjadi “total” berat. Tidak perlu membagi “setiap” momen dengan “setiap” bobot: dengan cara ini Anda akan menemukan posisi setiap benda.

Tujuan pekerjaan – menentukan pusat gravitasi suatu bangun kompleks secara analitis dan eksperimental.

Latar belakang teoritis. Badan material terdiri dari partikel elementer, yang posisinya dalam ruang ditentukan oleh koordinatnya. Kekuatan tarik-menarik setiap partikel ke Bumi dapat dianggap sebagai suatu sistem kekuatan paralel, resultan gaya-gaya tersebut disebut gaya gravitasi benda atau berat benda. Pusat gravitasi suatu benda adalah titik penerapan gravitasi.

Pusat gravitasinya adalah titik geometris, yang dapat ditempatkan di luar badan (misalnya, piringan berlubang, bola berlubang, dll.). Besar signifikansi praktis memiliki definisi pusat gravitasi pelat tipis datar homogen. Ketebalannya biasanya dapat diabaikan dan pusat gravitasinya dapat diasumsikan terletak pada suatu bidang. Jika bidang koordinat xOy sejajar dengan bidang gambar, maka posisi pusat gravitasi ditentukan oleh dua koordinat:

dimana adalah luas bagian gambar, ();

– koordinat pusat gravitasi bagian-bagian gambar, mm (cm).

Bagian dari sebuah gambar	A,mm 2	X c ,mm	Ya, mm
	bh	b/2	jam/2
	bh/2	b/3	jam/3
	R 2a
Pada 2α = π πR 2 /2

Prosedur kerja.

Gambarlah sebuah gambar bentuk yang kompleks, terdiri dari 3-4 angka sederhana(persegi panjang, segitiga, lingkaran, dll.) dengan skala 1:1 dan sebutkan dimensinya.

Gambarkan sumbu koordinat sehingga menutupi seluruh bangun, bagi bangun kompleks menjadi bagian-bagian sederhana, tentukan luas dan koordinat pusat gravitasi setiap bangun sederhana relatif terhadap sistem koordinat yang dipilih.

Hitung koordinat pusat gravitasi seluruh gambar secara analitis. Memotong angka ini dari karton tipis atau kayu lapis. Bor dua lubang, tepi lubang harus halus, dan diameter lubang harus sedikit lebih besar dari diameter jarum untuk menggantung gambar.

Pertama gantungkan gambar pada satu titik (lubang), gambarlah garis dengan pensil yang bertepatan dengan garis tegak lurus. Ulangi hal yang sama saat menggantung gambar di titik lain. Pusat gravitasi gambar yang ditemukan secara eksperimental harus bertepatan.

Tentukan koordinat pusat gravitasi pelat tipis homogen secara analitis. Periksa secara eksperimental

Algoritma solusi

1. Metode analitis.

a) Gambarlah gambar tersebut dengan skala 1:1.

b) Memecah suatu bangun kompleks menjadi bangun sederhana

c) Pilih dan gambarkan sumbu koordinat (bila bangun simetris, maka sepanjang sumbu simetri, sebaliknya sepanjang kontur bangun)

d) Hitung luas bangun sederhana dan seluruh bangun

e) Tandai posisi pusat gravitasi setiap bangun sederhana pada gambar

f) Hitung koordinat pusat gravitasi masing-masing bangun

(sumbu x dan y)

g) Hitung koordinat pusat gravitasi seluruh gambar menggunakan rumus

h) Tandai posisi pusat gravitasi pada gambar C (

2. Penentuan eksperimental.

Kebenaran solusi masalah dapat diverifikasi secara eksperimental. Gunting gambar ini dari karton tipis atau kayu lapis. Bor tiga lubang, tepi lubang harus halus, dan diameter lubang harus sedikit lebih besar dari diameter jarum untuk menggantung gambar.

Pertama gantungkan gambar pada satu titik (lubang), gambarlah garis dengan pensil yang bertepatan dengan garis tegak lurus. Ulangi hal yang sama saat menggantung gambar di titik lain. Nilai koordinat titik berat suatu bangun, diperoleh ketika bangun digantung pada dua titik: . Pusat gravitasi gambar yang ditemukan secara eksperimental harus bertepatan.

3. Kesimpulan posisi pusat gravitasi selama penentuan analitis dan eksperimental.

Latihan

Tentukan pusat gravitasi suatu bagian datar secara analitis dan eksperimental.

Contoh eksekusi

Tugas

Tentukan koordinat pusat gravitasi pelat tipis homogen.

I Metode analitis

1. Gambar digambar berdasarkan skala (dimensi biasanya diberikan dalam mm)

2. Kita memecah suatu bangun kompleks menjadi bangun sederhana.

1- Persegi panjang

2- Segitiga (persegi panjang)

3- Luas setengah lingkaran (tidak ada, tanda minus).

Kami menemukan posisi pusat gravitasi dari angka-angka sederhana, dan

3. Gambarkan sumbu koordinat sesuai keinginan dan tandai titik asal koordinat.

4. Hitung luas bangun sederhana dan luas seluruh bangun. [ukuran dalam cm]

(3. tidak, tanda tangan -).

Luas keseluruhan gambar

5. Temukan koordinat titik pusat. , dan dalam gambar.

6. Hitung koordinat titik C 1, C 2 dan C 3

7. Hitung koordinat titik C

8. Tandai sebuah titik pada gambar

II Berpengalaman

Koordinat pusat gravitasi secara eksperimental.

Pertanyaan tes.

1. Apakah mungkin untuk menganggap gaya gravitasi suatu benda sebagai sistem resultan gaya-gaya paralel?

2. Apakah pusat gravitasi seluruh benda dapat ditemukan?

3. Apa intisarinya penentuan eksperimental pusat gravitasi bangun datar?

4. Bagaimana cara menentukan pusat gravitasi suatu bangun kompleks yang terdiri dari beberapa bangun sederhana?

5. Bagaimana seharusnya suatu bangun datar kompleks dibagi secara rasional menjadi bangun datar sederhana ketika menentukan pusat gravitasi seluruh bangun datar?

6. Apa tanda luas lubang pada rumus menentukan pusat gravitasi?

7. Di perpotongan garis segitiga manakah pusat gravitasinya berada?

8. Jika suatu bangun sulit dipecah menjadi sejumlah kecil bangun sederhana, metode penentuan pusat gravitasi apa yang dapat memberikan jawaban tercepat?

Kerja praktek №6

“Memecahkan masalah yang kompleks”

Tujuan pekerjaan: mampu memecahkan masalah yang kompleks (kinematika, dinamika)

Latar belakang teoritis: Kecepatan adalah ukuran kinematik pergerakan suatu titik, yang mencirikan kecepatan perubahan posisinya. Kecepatan suatu titik adalah vektor yang mencirikan kecepatan dan arah pergerakan suatu titik saat ini waktu. Saat menentukan gerak suatu titik dengan persamaan proyeksi kecepatan pada sumbu Koordinat Kartesius sama:

Modulus kecepatan suatu titik ditentukan oleh rumus

Arah kecepatan ditentukan oleh arah kosinus:

Ciri-ciri laju perubahan kecepatan adalah percepatan a. Percepatan suatu titik sama dengan turunan waktu dari vektor kecepatan:

Saat menentukan gerak suatu titik, persamaan proyeksi percepatan pada sumbu koordinat adalah:

Modul akselerasi:

Modul akselerasi penuh

Modul percepatan tangensial ditentukan oleh rumus

Modulus percepatan normal ditentukan oleh rumus

dimana adalah jari-jari kelengkungan lintasan pada suatu titik tertentu.

Arah percepatan ditentukan oleh arah cosinus

Persamaan gerakan rotasi padat sekitar sumbu tetap sepertinya

Kecepatan sudut benda:

Terkadang kecepatan sudut dicirikan oleh jumlah putaran per menit dan dilambangkan dengan huruf . Ketergantungan antara dan berbentuk

Percepatan sudut benda:

Gaya yang sama dengan hasil kali massa suatu titik dengan percepatannya dan arah yang berlawanan langsung dengan percepatan suatu titik disebut gaya inersia.

Daya adalah usaha yang dilakukan oleh suatu gaya per satuan waktu.

Persamaan dasar dinamika gerak rotasi

– momen inersia benda terhadap sumbu rotasi, adalah jumlah hasil kali massa titik-titik material dengan kuadrat jaraknya ke sumbu tersebut

Latihan

Sebuah benda bermassa m, dengan bantuan lilitan kabel pada drum berdiameter d, bergerak ke atas atau ke bawah bidang miring dengan sudut kemiringan α. Persamaan gerak benda S=f(t), persamaan putaran gendang, dimana S dalam satuan meter; φ - dalam radian; t – dalam hitungan detik. P dan ω berturut-turut adalah daya dan kecepatan sudut pada poros tromol pada saat akhir percepatan atau awal pengereman. Waktu t 1 – waktu akselerasi (dari diam hingga kecepatan tertentu) atau pengereman (dari kecepatan tertentu hingga berhenti). Koefisien gesekan geser antara benda dan bidang adalah –f. Abaikan kerugian gesekan pada drum, serta massa drum. Saat menyelesaikan soal, ambil g=10 m/s 2

Contoh eksekusi

P, ω Masalah 1

(Gambar 1). Solusi 1. Gerakan bujursangkar (Gambar 1, a). Suatu titik yang bergerak secara seragam pada suatu titik waktu diterima hukum baru gerakan, dan setelah jangka waktu tertentu berhenti. Definisikan semuanya karakteristik kinematik pergerakan titik untuk dua kasus; a) gerakan bersama jalan lurus ; b) gerakan bersama lintasan lengkung

jari-jari kelengkungan konstan r=100cm

Gambar 1(a).

Hukum perubahan kecepatan titik

Kita mencari kecepatan awal suatu titik dari kondisi:

Kami menemukan waktu pengereman untuk berhenti dari kondisi:

di , dari sini .

Hukum gerak suatu titik dalam periode gerak beraturan

Jarak yang ditempuh suatu titik sepanjang lintasan selama periode pengereman adalah

Hukum perubahan percepatan tangensial suatu titik

maka selama periode pengereman, titik tersebut bergerak sama lambatnya, karena percepatan tangensialnya negatif dan nilainya konstan.

Percepatan normal suatu titik pada lintasan lurus adalah nol, yaitu. . Solusi 2.

Gerakan lengkung (Gambar 1, b).

Gambar 1(b) Dalam hal ini, dibandingkan dengan kasusnya gerakan bujursangkar

Semua karakteristik kinematik tetap tidak berubah, kecuali akselerasi normal.

Hukum perubahan percepatan normal suatu titik Percepatan normal suatu titik di momen awal

pengereman Penomoran posisi titik pada lintasan yang diterima dalam gambar: 1 – titik-titik dalam gerakan seragam sebelum pengereman dimulai; 2 – posisi titik pada saat pengereman; 3 – posisi titik saat ini selama periode pengereman; 4 – posisi akhir poin.

Tugas 2.

Beban (Gbr. 2, a) diangkat menggunakan drum winch. Diameter drum adalah d=0,3m dan hukum putarannya adalah .

Akselerasi drum berlangsung sampai kecepatan sudut. Tentukan semua karakteristik kinematik pergerakan drum dan beban.

Larutan. Hukum perubahan kecepatan sudut drum. Kita mencari kecepatan sudut awal dari kondisi: ; Oleh karena itu, percepatan dimulai dari keadaan istirahat. Kita akan mencari waktu percepatan dari kondisi: . Sudut putaran drum selama periode akselerasi.

Hukum Perubahan percepatan sudut drum, maka selama periode percepatan drum diputar dengan percepatan yang seragam.

Karakteristik kinematik beban sama dengan karakteristik yang sesuai dari setiap titik tali traksi, dan oleh karena itu titik A terletak di tepi drum (Gbr. 2, b). Sebagaimana diketahui, sifat linier suatu titik pada benda yang berputar ditentukan melalui sifat sudutnya.

Jarak yang ditempuh beban selama periode percepatan, . Kecepatan beban pada akhir percepatan.

Percepatan kargo.

Hukum pergerakan kargo.

Jarak, kecepatan dan percepatan beban dapat ditentukan dengan cara lain, melalui hukum gerak beban yang ditemukan:

Tugas 3. Beban, yang bergerak secara seragam ke atas sepanjang bidang pendukung miring, pada suatu saat menerima pengereman sesuai dengan hukum gerak yang baru , dimana s dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Massa beban m = 100 kg, koefisien gesekan geser antara beban dan bidang f = 0,25. Tentukan gaya F dan daya pada tali penarik untuk dua momen waktu: a) gerak seragam sebelum pengereman dimulai;

b) momen awal pengereman. Saat menghitung, ambil g=10 m/.

Larutan. Kami menentukan karakteristik kinematik pergerakan beban.

Hukum perubahan kecepatan beban

Kecepatan awal memuat (pada t=0)

Akselerasi kargo

Karena percepatannya negatif, maka pergerakannya lambat.

1. Pergerakan beban yang seragam.

Untuk menentukan penggerak F kita mempertimbangkan kesetimbangan beban, yang dipengaruhi oleh sistem gaya konvergen: gaya pada kabel F, gaya gravitasi beban G=mg, reaksi biasa permukaan pendukung N dan gaya gesekan yang diarahkan pada pergerakan benda. Menurut hukum gesekan, . Memilih arah sumbu koordinat, seperti yang ditunjukkan pada gambar, dan buatlah dua persamaan kesetimbangan untuk beban:

Daya pada kabel sebelum pengereman dimulai ditentukan oleh rumus terkenal

Dimana m/s.

2. Pergerakan kargo yang lambat.

Seperti diketahui, dengan tidak merata gerakan maju suatu benda, sistem gaya yang bekerja padanya dalam arah gerak tidak seimbang. Menurut prinsip d'Alembert (metode kinetostatik), benda dalam hal ini dapat dianggap berada dalam keseimbangan bersyarat jika kita menambahkan gaya inersia ke semua gaya yang bekerja padanya, yang vektornya berlawanan dengan vektor percepatan. Vektor percepatan dalam kasus kita berlawanan dengan vektor kecepatan, karena beban bergerak lambat. Kami membuat dua persamaan keseimbangan untuk beban:

Nyalakan kabel pada awal pengereman

Pertanyaan tes.

1. Cara menentukan nilai numerik dan arah kecepatan titik saat ini?

2. Apa ciri-ciri komponen normal dan tangensial percepatan total?

3. Bagaimana cara beralih dari menyatakan kecepatan sudut dalam min -1 ke menyatakannya dalam rad/s?

4. Apa yang disebut dengan berat badan? Sebutkan satuan ukuran massa

5. Pada gerakan apa poin materi apakah gaya inersia timbul? Berapa nilai numeriknya dan ke mana arahnya?

6. Prinsip State d'Alembert

7. Apakah gaya inersia timbul secara seragam gerakan lengkung poin materi?

8. Apa itu torsi?

9. Bagaimana hubungan antara torsi dan kecepatan sudut dinyatakan untuk daya yang ditransmisikan?

10. Persamaan dasar dinamika gerak rotasi.

Kerja Praktek No.7

"Perhitungan struktur berdasarkan kekuatan"

Tujuan pekerjaan: menentukan kekuatan, dimensi penampang dan beban yang diizinkan

Latar belakang teoritis.

Mengetahui faktor gaya dan karakteristik geometri suatu penampang selama deformasi tarik (kompresi), kita dapat menentukan tegangan dengan menggunakan rumus. Dan untuk memahami apakah bagian kita (poros, roda gigi, dll) dapat menahan beban eksternal. Penting untuk membandingkan nilai ini dengan tegangan yang diizinkan.

Jadi, persamaan kekuatan statis

Berdasarkan itu, 3 jenis masalah diselesaikan:

1) uji kekuatan

2) penentuan dimensi bagian

3) penentuan beban yang diijinkan

Jadi, persamaan kekakuan statis

Berdasarkan itu, 3 jenis masalah juga terpecahkan

Persamaan kuat tarik (tekan) statis

1) Tipe pertama - uji kekuatan

,

yaitu kita memutuskan sisi kiri dan bandingkan dengan tegangan yang diijinkan.

2) Tipe kedua - penentuan dimensi bagian

dari sisi kanan luas penampang

Lingkaran bagian

maka diameternya d

Bagian persegi panjang

Bagian persegi

A = a² (mm²)

Bagian setengah lingkaran

Bagian: saluran, balok-I, sudut, dll.

Nilai area - dari tabel, diterima menurut Gost

3) Tipe ketiga adalah menentukan beban yang diperbolehkan;

dibawa ke sisi yang lebih kecil, bilangan bulat

LATIHAN

Tugas

A) Pemeriksaan kekuatan (perhitungan pengujian)

Untuk balok tertentu, buatlah diagram gaya memanjang dan periksa kekuatan di kedua bagian. Untuk material kayu (baja St3) terima

B) Pemilihan bagian (perhitungan desain)

Untuk balok tertentu, buatlah diagram gaya memanjang dan tentukan dimensi penampang pada kedua bagian. Untuk material kayu (baja St3) terima

B) Penentuan gaya longitudinal yang diijinkan

Untuk balok tertentu, tentukan nilai beban yang diizinkan dan ,

buatlah diagram gaya longitudinal. Untuk material kayu (baja St3) terima . Saat menyelesaikan soal, asumsikan bahwa jenis pembebanan pada kedua bagian balok adalah sama.

Contoh menyelesaikan suatu tugas

P, ω Masalah 1

Periksa kekuatan kolom yang terbuat dari profil I dengan ukuran tertentu. Untuk material kolom (baja St3), terima tegangan tarik yang diijinkan dan selama kompresi . Jika terjadi kelebihan beban atau kekurangan beban yang signifikan, pilih ukuran balok I yang menjamin kekuatan kolom optimal.

Larutan.

Suatu balok tertentu mempunyai dua bagian 1, 2. Batas-batas bagian tersebut adalah bagian di mana kekuatan eksternal. Karena gaya-gaya yang memuat balok terletak di sepanjang sumbu longitudinal tengahnya, hanya satu faktor gaya internal yang muncul pada penampang - gaya longitudinal, yaitu. ada tegangan (kompresi) pada balok.

Untuk menentukan gaya longitudinal digunakan metode penampang. Secara mental menggambar suatu bagian dalam setiap bagian, kita akan membuang bagian bawah balok yang tetap dan membiarkannya untuk dipertimbangkan bagian atas. Pada bagian 1, gaya longitudinal adalah konstan dan sama

Tanda minus menunjukkan bahwa balok dikompresi pada kedua bagian.

Kami membuat diagram gaya longitudinal. Setelah menggambar garis dasar (nol) diagram yang sejajar dengan sumbu balok, kami memplot nilai yang diperoleh tegak lurus terhadapnya pada skala yang berubah-ubah. Seperti yang Anda lihat, diagram tersebut ternyata digambarkan dengan garis lurus yang sejajar dengan garis dasarnya.

Kami memeriksa kekuatan kayunya, mis. Kami menentukan tegangan yang dihitung (untuk setiap bagian secara terpisah) dan membandingkannya dengan tegangan yang diizinkan. Untuk melakukan ini, kami menggunakan kondisi kuat tekan

dimana luas merupakan ciri geometri dari kekuatan penampang. Dari tabel baja canai kami ambil:

untuk I-beam
untuk I-beam

Tes kekuatan:

Nilai gaya longitudinal diambil dalam nilai absolut.

Kekuatan kayu terjamin, namun terdapat kekurangan beban yang signifikan (lebih dari 25%), yang tidak dapat diterima karena konsumsi material yang berlebihan.

Dari kondisi kekuatan, kita menentukan dimensi baru balok-I untuk setiap bagian balok:
Oleh karena itu area yang dibutuhkan

Menurut tabel Gost, kami memilih I-beam No. 16, yang mana;

Oleh karena itu area yang dibutuhkan

Menurut tabel Gost, kami memilih I-beam No. 24, yang mana ;

Dengan ukuran balok-I yang dipilih, terjadi underload juga, namun tidak signifikan (kurang dari 5%)

Tugas No.2.

Untuk balok dengan dimensi penampang tertentu, tentukan nilai beban yang diizinkan dan . Untuk material kayu (baja St3), terima tegangan tarik yang diijinkan dan selama kompresi .

Larutan.

Balok yang diberikan memiliki dua bagian 1, 2. Ada tegangan (kompresi) pada balok.

Dengan menggunakan metode bagian, kami menentukan gaya memanjang, menyatakannya melalui gaya yang diperlukan dan. Melakukan bagian dalam setiap bagian, kita akan membuang bagian kiri balok dan membiarkannya untuk dipertimbangkan sisi kanan. Pada bagian 1, gaya longitudinal adalah konstan dan sama

Pada bagian 2, gaya longitudinal juga konstan dan sama

Tanda plus menunjukkan bahwa balok diregangkan pada kedua bagian.

Kami membuat diagram gaya longitudinal. Diagram digambarkan dengan garis lurus yang sejajar dengan alasnya.

Dari kondisi kuat tarik, kita tentukan nilai beban yang diijinkan dan setelah sebelumnya menghitung luas yang diberikan lintas bagian:

Pertanyaan tes.

1. Faktor gaya dalam apa yang timbul pada penampang balok selama tarik dan tekan?

2. Tuliskan kondisi kuat tarik dan tekan.

3. Bagaimana tanda-tanda gaya longitudinal dan tegangan normal ditentukan?

4. Bagaimana tegangan berubah jika luas penampang bertambah 4 kali lipat?

5. Apakah kondisi kekuatan untuk perhitungan tarik dan tekan berbeda?

6. Dalam satuan apa tegangan diukur?

7. Yang mana karakteristik mekanis dipilih sebagai tegangan ultimat untuk material ulet dan getas?

8. Apa perbedaan antara tegangan batas dan tegangan yang diperbolehkan?

Kerja Praktek No.8

“Menyelesaikan permasalahan untuk menentukan momen sentral utama inersia suatu bidang datar bentuk geometris»

Tujuan pekerjaan: tentukan secara analitis momen inersia tubuh datar bentuk yang kompleks

Latar belakang teoritis. Koordinat pusat gravitasi suatu penampang dapat dinyatakan dalam momen statis:

dimana relatif terhadap sumbu Ox

relatif terhadap sumbu Oy

Momen statis luas suatu bangun relatif terhadap sumbu yang terletak pada bidang yang sama, sama dengan produknya luas bangun dengan jarak pusat gravitasinya ke sumbu ini. Momen statis mempunyai dimensi. Momen statis dapat bersifat positif, negatif atau sama dengan nol(relatif terhadap sumbu pusat mana pun).

Momen inersia aksial suatu penampang adalah jumlah hasil kali atau integral luas dasar yang diambil seluruh penampang dengan kuadrat jaraknya terhadap sumbu tertentu yang terletak pada bidang penampang yang ditinjau.

Momen inersia aksial dinyatakan dalam satuan - . Momen inersia aksial adalah besaran yang selalu positif dan tidak sama dengan nol.

Sumbu yang melalui pusat gravitasi suatu bangun disebut pusat. Momen inersia terhadap sumbu pusat disebut titik pusat kelembaman.

Momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan titik pusat

6.1. Informasi umum

Pusat Kekuatan Paralel
Mari kita perhatikan dua gaya paralel yang diarahkan ke satu arah, dan , diterapkan pada benda di titik-titik A 1 dan A 2 (Gbr. 6.1). Sistem gaya-gaya ini mempunyai resultan, yang garis kerjanya melalui suatu titik tertentu DENGAN. Posisi titik DENGAN dapat ditemukan menggunakan teorema Varignon:

Jika Anda memutar kekuatan dan mendekati titik A 1 dan A 2 dalam satu arah dan pada sudut yang sama, kita peroleh sistem baru salas paralel memiliki modul yang sama. Dalam hal ini, resultannya juga akan melewati titik tersebut DENGAN. Titik ini disebut pusat gaya paralel.
Mari kita perhatikan sistem gaya-gaya paralel dan berarah sama yang diterapkan pada benda padat di titik-titik. Sistem ini mempunyai resultan.
Jika setiap gaya dalam sistem diputar di dekat titik penerapannya dalam arah yang sama dan pada sudut yang sama, maka akan diperoleh sistem baru dengan gaya paralel yang berarah sama dengan modulus dan titik penerapan yang sama. Resultan sistem tersebut akan mempunyai modulus yang sama R, tapi setiap saat arahnya berbeda. Setelah melipat kekuatanku F 1 dan F 2 kita menemukan bahwa resultannya R 1 yang selalu melalui titik tersebut DENGAN 1 yang kedudukannya ditentukan oleh persamaan . Lipat lebih jauh R 1 dan F 3, kita cari resultannya, yang selalu melewati titik tersebut DENGAN 2 berbaring pada garis lurus A 3 DENGAN 2. Setelah menyelesaikan proses penambahan gaya sampai akhir, kita akan sampai pada kesimpulan bahwa resultan semua gaya memang akan selalu melalui titik yang sama. DENGAN, yang posisinya relatif terhadap titik-titik tersebut tidak akan berubah.
Dot DENGAN, yang melaluinya garis kerja sistem resultan gaya-gaya paralel untuk setiap rotasi gaya-gaya ini di dekat titik penerapannya dalam arah yang sama pada sudut yang sama disebut pusat gaya paralel (Gbr. 6.2).

Gambar.6.2

Mari kita tentukan koordinat pusat gaya paralel. Karena posisi intinya DENGAN relatif terhadap suatu benda tidak berubah, maka koordinatnya tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat. Mari kita putar semua gaya di sekitar penerapannya sehingga menjadi sejajar dengan sumbu Oh dan menerapkan teorema Varignon pada gaya rotasi. Karena R" adalah resultan gaya-gaya ini, maka menurut teorema Varignon, kita punya , Karena , , kita dapatkan

Dari sini kita mencari koordinat pusat gaya paralel zc:

Untuk menentukan koordinatnya xc Mari kita buat ekspresi momen gaya terhadap sumbu Ons.

Untuk menentukan koordinatnya kamu mari kita putar semua gaya sehingga menjadi sejajar dengan sumbu Ons.

Posisi pusat gaya sejajar terhadap titik asal (Gbr. 6.2) dapat ditentukan oleh vektor jari-jarinya:

6.2. Pusat gravitasi benda tegar

Titik berat benda tegar adalah suatu titik yang selalu diasosiasikan dengan benda tersebut DENGAN, yang melaluinya garis kerja resultan gaya gravitasi suatu benda tertentu, untuk setiap posisi benda di ruang angkasa.
Pusat gravitasi digunakan untuk mempelajari kestabilan posisi keseimbangan benda dan kontinum, di bawah pengaruh gravitasi dan dalam beberapa hal lain, yaitu: dalam ketahanan bahan dan dalam mekanika struktur- saat menggunakan aturan Vereshchagin.
Ada dua cara untuk menentukan pusat gravitasi suatu benda: analitis dan eksperimental. Metode analisis untuk menentukan pusat gravitasi secara langsung mengikuti konsep pusat gaya paralel.
Koordinat pusat gravitasi sebagai pusat gaya paralel ditentukan dengan rumus:

Di mana R- seluruh berat badan; pk- berat partikel tubuh; xk, yk, zk- koordinat partikel tubuh.
Untuk benda homogen, berat seluruh benda dan bagian mana pun sebanding dengan volumenya P=Vγ, pk =vkγ, Di mana γ - berat per satuan volume, V- volume tubuh. Mengganti ekspresi P, pk ke dalam rumus menentukan koordinat pusat gravitasi dan dikurangi dengan pengganda umum γ , kita mendapatkan:

Dot DENGAN, yang koordinatnya ditentukan oleh rumus yang dihasilkan, disebut pusat gravitasi volume.
Jika benda berupa pelat tipis homogen, maka pusat gravitasi ditentukan dengan rumus:

Di mana S- luas seluruh pelat; sk- luas bagiannya; xk, ya- Koordinat pusat gravitasi bagian pelat.
Dot DENGAN V dalam hal ini disebut pusat gravitasi daerah tersebut.
Pembilang ekspresi yang menentukan koordinat pusat gravitasi angka datar, dipanggil dengan momen statis suatu luas relatif terhadap sumbu pada Dan X:

Maka pusat gravitasi suatu daerah dapat ditentukan dengan rumus:

Untuk benda yang panjangnya beberapa kali lebih besar dari dimensi penampang, pusat gravitasi garis ditentukan. Koordinat pusat gravitasi garis ditentukan dengan rumus:

Di mana L- panjang garis; lk- panjang bagian-bagiannya; xk, yk, zk- koordinat pusat gravitasi bagian-bagian garis.

6.3. Metode untuk menentukan koordinat pusat gravitasi suatu benda

Berdasarkan rumus yang diperoleh, kami dapat mengusulkan cara-cara praktis menentukan pusat gravitasi benda.
1. Simetri. Jika suatu benda mempunyai pusat simetri, maka pusat gravitasi berada pada pusat simetri.
Jika benda mempunyai bidang simetri. Misalnya bidang XOU, maka pusat gravitasinya terletak pada bidang tersebut.
2. Pemisahan. Untuk benda yang terdiri dari benda-benda yang bentuknya sederhana digunakan metode pemisahan. Tubuh dibagi menjadi beberapa bagian, yang pusat gravitasinya ditentukan dengan metode simetri. Pusat gravitasi seluruh benda ditentukan oleh rumus pusat gravitasi volume (luas).

Contoh. Tentukan pusat gravitasi pelat yang ditunjukkan pada gambar di bawah (Gbr. 6.3). Piring dapat dibagi menjadi persegi panjang dengan cara yang berbeda dan tentukan koordinat titik berat setiap persegi panjang beserta luasnya.

Gambar.6.3

Menjawab: XC=17,0cm; kamuC=18.0cm.

3. Tambahan. Metode ini merupakan kasus khusus dari metode partisi. Ini digunakan ketika benda memiliki potongan, irisan, dll., jika koordinat pusat gravitasi benda tanpa potongan tersebut diketahui.

Contoh. Tentukan pusat gravitasi pelat berbentuk lingkaran yang mempunyai jari-jari potongan R = 0,6 R(Gbr. 6.4).

Gambar.6.4

Sebuah pelat berbentuk bulat mempunyai pusat simetri. Mari kita letakkan titik asal koordinat di tengah pelat. Area pelat tanpa potongan, area potongan. Piring persegi dengan potongan; .
Pelat yang dipotong mempunyai sumbu simetri sekitar 1x, karena itu, kamu=0.

4. Integrasi. Jika tubuh tidak dapat dibagi menjadi nomor akhir bagian-bagian yang diketahui posisi pusat gravitasinya, benda dibagi menjadi volume-volume kecil yang berubah-ubah, yang rumusnya menggunakan metode partisi berbentuk: .
Kemudian mereka menuju ke batas, mengarahkan volume dasar ke nol, yaitu. mengontraksikan volume menjadi poin. Jumlah tersebut diganti dengan integral yang diperluas ke seluruh volume benda, maka rumus untuk menentukan koordinat pusat gravitasi volume berbentuk:

Rumus untuk menentukan koordinat pusat gravitasi suatu daerah:

Koordinat pusat gravitasi suatu daerah harus ditentukan ketika mempelajari kesetimbangan pelat, ketika menghitung integral Mohr dalam mekanika struktur.

Contoh. Tentukan pusat gravitasi busur lingkaran yang berjari-jari R Dengan sudut tengah AOB= 2α (Gbr. 6.5).

Beras. 6.5

Busur suatu lingkaran simetris terhadap sumbunya Oh, oleh karena itu, pusat gravitasi busur terletak pada sumbunya Oh, kamu = 0.
Menurut rumus titik berat suatu garis:

6.Metode eksperimental. Pusat gravitasi benda tak homogen dengan konfigurasi kompleks dapat ditentukan secara eksperimental: dengan metode digantung dan ditimbang. Cara pertama adalah dengan menggantungkan badan pada kabel di berbagai titik. Arah kabel tempat benda digantung akan memberikan arah gravitasi. Titik perpotongan arah ini menentukan pusat gravitasi benda.
Metode penimbangan melibatkan terlebih dahulu menentukan berat suatu benda, misalnya mobil. Kemudian tekanan poros belakang kendaraan pada penyangga ditentukan pada timbangan. Dengan menyusun persamaan kesetimbangan terhadap suatu titik, misalnya sumbu roda depan, Anda dapat menghitung jarak dari sumbu ini ke pusat gravitasi mobil (Gbr. 6.6).

Gambar.6.6

Terkadang saat memecahkan masalah sebaiknya Anda gunakan secara bersamaan metode yang berbeda menentukan koordinat pusat gravitasi.

6.4. Pusat gravitasi beberapa bangun geometri sederhana

Untuk menentukan pusat gravitasi benda dengan bentuk yang sering muncul (segitiga, busur lingkaran, sektor, segmen), akan lebih mudah menggunakan data referensi (Tabel 6.1).

Tabel 6.1

Koordinat pusat gravitasi beberapa benda homogen

DI DALAM praktik rekayasa Kebetulan perlu untuk menghitung koordinat pusat gravitasi suatu bangun datar kompleks yang terdiri dari unsur-unsur sederhana yang lokasi pusat gravitasinya diketahui. Tugas ini merupakan bagian dari tugas menentukan...

Ciri-ciri geometri penampang komposit balok dan batang. Seringkali dengan pertanyaan serupa insinyur desain pemotongan cetakan harus berurusan dengan penentuan koordinat pusat tekanan, dan pengembang skema pemuatan berbagai transportasi ketika menempatkan beban, bagi perancang struktur logam bangunan ketika memilih bagian-bagian elemen dan, tentu saja, bagi siswa ketika mempelajari disiplin ilmu “ Mekanika teoretis" dan "Kekuatan bahan".

Perpustakaan tokoh dasar.

Untuk bangun datar simetris, pusat gravitasinya berimpit dengan pusat simetrinya. Kelompok benda dasar yang simetris meliputi: lingkaran, persegi panjang (termasuk persegi), jajar genjang (termasuk belah ketupat), poligon beraturan.

Dari sepuluh angka yang disajikan pada gambar di atas, hanya dua yang merupakan angka dasar. Artinya, dengan menggunakan segitiga dan sektor lingkaran, Anda dapat menggabungkan hampir semua bentuk yang memiliki kepentingan praktis. Setiap kurva sembarang dapat dibagi menjadi beberapa bagian dan diganti dengan busur lingkaran.

Delapan angka sisanya adalah yang paling umum, itulah sebabnya angka-angka tersebut dimasukkan ke dalam perpustakaan unik ini. Dalam klasifikasi kami, elemen-elemen ini bukanlah elemen dasar. Persegi panjang, jajar genjang, dan trapesium dapat dibentuk dari dua buah segitiga. Segi enam adalah jumlah dari empat segitiga. Ruas lingkaran adalah selisih antara bidang lingkaran dan segitiga. Sektor annular suatu lingkaran adalah selisih antara dua sektor. Lingkaran adalah bidang lingkaran yang sudutnya α=2*π=360˚. Oleh karena itu, setengah lingkaran adalah bidang lingkaran dengan sudut α=π=180˚.

Perhitungan di Excel dari koordinat pusat gravitasi suatu bangun datar.

Selalu lebih mudah untuk menyampaikan dan memahami informasi dengan mempertimbangkan sebuah contoh daripada mempelajari suatu masalah dengan menggunakan perhitungan teoritis semata. Mari kita pertimbangkan solusi untuk masalah “Bagaimana menemukan pusat gravitasi?” menggunakan contoh bangun gabungan yang ditunjukkan pada gambar di bawah teks ini.

Penampang komposit berbentuk persegi panjang (dengan dimensi A1 =80mm, B1 =40 mm), yang ditambahkan di kiri atas segitiga sama kaki(dengan ukuran dasar A2 = 24 mm dan tinggi H2 =42 mm) dan darinya dipotong setengah lingkaran dari kanan atas (dengan pusat di titik dengan koordinat X03 =50mm dan kamu03 =40 mm, radius R3 = 26mm).

Kami akan menggunakan program untuk membantu Anda melakukan perhitungan MS Excel atau program OOo Kalkulasi . Salah satu dari mereka akan dengan mudah mengatasi tugas kita!

Di sel dengan kuning kami akan mengisinya pendahuluan tambahan perhitungan .

Kami menghitung hasilnya dalam sel dengan isian kuning muda.

Biru fontnya adalah sumber data .

Hitam fontnya adalah intermediat hasil perhitungan .

Merah fontnya adalah terakhir hasil perhitungan .

Kami mulai memecahkan masalah - kami mulai mencari koordinat pusat gravitasi bagian tersebut.

Data awal:

1. Nama-nama bangun dasar yang membentuk bagian komposit akan kita tuliskan sesuai dengan itu

ke sel D3: Persegi panjang

ke sel E3: Segi tiga

ke sel F3: Setengah lingkaran

2. Dengan menggunakan “Perpustakaan Gambar Dasar” yang disajikan dalam artikel ini, kita akan menentukan koordinat pusat gravitasi elemen-elemen pada bagian komposit xci Dan ya dalam mm relatif terhadap sumbu yang dipilih secara acak 0x dan 0y dan tulis

ke sel D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = A 1 /2

ke sel D5: =40/2 =20,000

kamu 1 = B 1 /2

ke sel E4: =24/2 =12,000

xc 2 = A 2 /2

ke sel E5: =40+42/3 =54,000

kamu 2 = B 1 + H 2 /3

ke sel F4: =50 =50,000

xc 3 = X03

ke sel F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

kamu 3 = kamu 03 -4* r3 /3/ π

3. Mari kita hitung luas unsur-unsurnya F 1 , F 2 , F3 dalam mm2, sekali lagi menggunakan rumus dari bagian “Perpustakaan Gambar Dasar”

di sel D6: =40*80 =3200

F1 = A 1 * B1

di sel E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

di sel F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Luas elemen ketiga - setengah lingkaran - negatif karena merupakan potongan - ruang kosong!

Perhitungan koordinat pusat gravitasi:

4. Mari kita definisikan luas keseluruhan angka terakhir F0 dalam mm2

di sel gabungan D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Mari kita hitung momen statis suatu bangun datar komposit Sx Dan sy dalam mm3 relatif terhadap sumbu yang dipilih 0x dan 0y

di sel gabungan D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

di sel gabungan D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Dan terakhir, mari kita hitung koordinat pusat gravitasi bagian komposit Xc Dan Yc dalam mm pada sistem koordinat yang dipilih 0x - 0y

di sel gabungan D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = sy / F0

di sel gabungan D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Masalahnya telah terpecahkan, perhitungan di Excel telah selesai - koordinat pusat gravitasi bagian tersebut, yang disusun menggunakan tiga elemen sederhana, telah ditemukan!

Kesimpulan.

Contoh dalam artikel dipilih sangat sederhana agar lebih mudah memahami metodologi penghitungan pusat gravitasi suatu bagian yang kompleks. Metodenya adalah setiap bangun kompleks harus dibagi elemen sederhana Dengan tempat-tempat terkenal lokasi pusat gravitasi dan membuat perhitungan akhir untuk seluruh bagian.

Jika bagian tersebut terdiri dari profil yang digulung - sudut dan saluran, maka tidak perlu membaginya menjadi persegi panjang dan bujur sangkar dengan potongan sektor melingkar “π/2”. Koordinat pusat gravitasi profil ini diberikan dalam tabel gost, yaitu, sudut dan saluran akan menjadi dasar dalam perhitungan bagian komposit Anda. elemen dasar(tidak ada gunanya membicarakan balok-I, pipa, batang, dan segi enam - ini adalah bagian yang simetris terpusat).

Letak sumbu koordinat tentu saja tidak mempengaruhi posisi pusat gravitasi gambar! Oleh karena itu, pilihlah sistem koordinat yang menyederhanakan perhitungan Anda. Jika, misalnya, saya memutar sistem koordinat 45˚ searah jarum jam dalam contoh kita, maka penghitungan koordinat pusat gravitasi persegi panjang, segitiga, dan setengah lingkaran akan berubah menjadi tahap penghitungan terpisah dan rumit yang tidak dapat dilakukan “ di kepala”.

Perhitungannya ditunjukkan di bawah ini berkas excel dalam hal ini bukan sebuah program. Sebaliknya, ini adalah sketsa kalkulator, algoritme, templat yang diikuti dalam setiap kasus tertentu buat rangkaian rumus Anda sendiri untuk sel dengan isian kuning cerah.

Jadi, sekarang Anda tahu cara menemukan pusat gravitasi di bagian mana pun! Perhitungan lengkap semua karakteristik geometris dari bagian komposit kompleks yang berubah-ubah akan dibahas dalam salah satu artikel mendatang di bagian “”. Ikuti beritanya di blog.

Untuk menerima informasi tentang rilis artikel baru dan untuk mengunduh file program yang berfungsi Saya meminta Anda untuk berlangganan pengumuman di jendela yang terletak di akhir artikel atau di jendela di bagian atas halaman.

Setelah memasukkan alamat Anda e-mail dan mengklik tombol “Terima pengumuman artikel”. JANGAN LUPA KONFIRMASI BERLANGGANAN ANDA dengan mengklik tautannya dalam surat yang akan segera sampai kepada Anda melalui surat yang ditentukan (terkadang di folder « Spam » )!

Sedikit penjelasan tentang kaca, koin, dan dua garpu, yang digambarkan dalam “ikon ilustrasi” di awal artikel. Banyak dari Anda pasti familiar dengan “trik” ini yang menimbulkan tatapan kagum dari anak-anak dan orang dewasa yang belum tahu. Topik artikel ini adalah pusat gravitasi. Dialah dan titik tumpunya, yang mempermainkan kesadaran dan pengalaman kita, yang hanya membodohi pikiran kita!

Pusat gravitasi sistem “garpu + koin” selalu berada pada posisi on tetap jarak vertikal ke bawah dari tepi mata uang, yang selanjutnya menjadi titik tumpu. Posisi ini keseimbangan yang stabil! Jika Anda menggoyangkan garpu, segera menjadi jelas bahwa sistem sedang berusaha untuk mengambil posisi stabil sebelumnya! Bayangkan sebuah pendulum - titik fiksasi (= titik tumpu koin di tepi gelas), batang - sumbu pendulum (= dalam kasus kita, sumbunya maya, karena massa kedua garpu dipisahkan oleh sisi yang berbeda ruang) dan beban di bagian bawah poros (= pusat gravitasi seluruh sistem “garpu + koin”). Jika Anda mulai membelokkan pendulum dari vertikal ke segala arah (maju, mundur, kiri, kanan), maka pendulum pasti akan kembali ke posisi semula di bawah pengaruh gravitasi. keadaan keseimbangan yang stabil(hal yang sama terjadi pada garpu dan koin kita)!

Jika Anda tidak mengerti, tetapi ingin memahami, cari tahu sendiri. Sangat menarik untuk “sampai di sana” sendiri! Saya akan menambahkan bahwa prinsip yang sama dalam menggunakan keseimbangan stabil juga diterapkan pada mainan Vanka-stand-up. Hanya pusat gravitasi mainan ini yang terletak di atas titik tumpu, tetapi di bawah pusat belahan permukaan penyangga.

Saya selalu senang melihat komentar Anda, para pembaca yang budiman!!!

Silakan MENGHORMATI karya penulis, unduh file SETELAH BERLANGGANAN untuk pengumuman artikel.

Berdasarkan hal di atas rumus umum, Anda dapat menentukan metode khusus untuk menentukan koordinat pusat gravitasi benda.

1. Simetri. Jika suatu benda homogen mempunyai bidang, sumbu, atau pusat simetri (Gbr. 7), maka pusat gravitasinya masing-masing terletak pada bidang simetri, sumbu simetri, atau pusat simetri.

Gambar.7

2. Pemisahan. Benda tersebut dibagi menjadi beberapa bagian (Gbr. 8), yang masing-masing bagiannya diketahui posisi pusat gravitasi dan luasnya.

Gambar.8

3.Metode area negatif. Kasus khusus dari metode partisi (Gbr. 9). Ini berlaku untuk benda yang mempunyai potongan jika pusat gravitasi benda tanpa potongan dan bagian yang dipotong diketahui. Benda yang berbentuk pelat dengan potongan diwakili oleh gabungan pelat padat (tanpa potongan) dengan luas S 1 dan luas bagian yang dipotong S 2 .

Gambar.9

4.Metode pengelompokan. Adalah tambahan yang bagus dua metode terakhir. Setelah membagi suatu bangun menjadi elemen-elemen penyusunnya, akan lebih mudah untuk menggabungkan kembali beberapa di antaranya untuk kemudian menyederhanakan penyelesaian dengan mempertimbangkan simetri kelompok ini.

Pusat gravitasi beberapa benda homogen.

1) Pusat gravitasi busur lingkaran. Pertimbangkan busurnya AB radius R dengan sudut tengah. Karena simetrinya, pusat gravitasi busur ini terletak pada sumbunya Sapi(Gbr. 10).

Gambar 10

Mari kita cari koordinatnya menggunakan rumus. Untuk melakukan ini, pilih pada busur AB elemen MM' panjang yang kedudukannya ditentukan oleh sudut. Koordinat X elemen MM' akan . Mengganti nilai-nilai ini X dan d aku dan dengan mengingat bahwa integral harus diperluas ke seluruh panjang busur, kita memperoleh:

Di mana L- panjang busur AB, sama dengan .

Dari sini kita akhirnya menemukan bahwa pusat gravitasi busur lingkaran terletak pada sumbu simetrinya agak jauh dari pusatnya TENTANG, setara

dimana sudut diukur dalam radian.

2) Pusat gravitasi luas segitiga. Perhatikan sebuah segitiga yang terletak pada bidang Oks, koordinat titik-titiknya diketahui: dan saya(x saya,kamu aku), (Saya= 1,2,3). Memecah segitiga menjadi potongan-potongan sempit, sejajar dengan sisinya A 1 A 2, kita sampai pada kesimpulan bahwa pusat gravitasi segitiga harus berada di median A 3 M 3 (Gbr. 11).

Gambar 11

Memecah segitiga menjadi potongan-potongan yang sejajar dengan sisinya A 2 A 3, kita dapat memverifikasi bahwa itu harus terletak di median A 1 M 1. Dengan demikian, pusat gravitasi suatu segitiga terletak pada titik potong mediannya, yang diketahui memisahkan sepertiga dari setiap median, dihitung dari sisi yang bersesuaian.

Khususnya untuk median A 1 M 1 kita peroleh, dengan mempertimbangkan koordinat titik tersebut M 1 adalah rata-rata aritmatika dari koordinat simpul A 2 dan A 3:

xc = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Jadi, koordinat pusat gravitasi segitiga adalah rata-rata aritmatika dari koordinat titik-titik sudutnya:

X C =(1/3)Σ x saya ; kamu C =(1/3)Σ kamu aku.

3) Pusat gravitasi daerah tersebut sektor melingkar. Perhatikan suatu bidang lingkaran yang berjari-jari R dengan sudut pusat 2α, letaknya simetris terhadap sumbu Sapi(Gbr. 12) .

Jelas sekali kamu C = 0, dan jarak dari pusat lingkaran tempat pemotongan sektor ini ke pusat gravitasinya dapat ditentukan dengan rumus:

Gambar 12

Cara termudah untuk menghitung integral ini adalah dengan membagi domain integrasi menjadi sektor-sektor dasar dengan suatu sudut Dφ. Tepat hingga orde pertama yang sangat kecil, sektor tersebut dapat digantikan oleh segitiga dengan alas yang sama dengan R× Dφ dan tinggi R. Luas segitiga tersebut dF=(1/2)R 2 ∙Dφ, dan pusat gravitasinya berada pada jarak 2/3 R dari titik puncak, oleh karena itu pada (5) kita masukkan X = (2/3)R∙cosφ. Menggantikan (5) F= α R 2, kita mendapatkan:

Dengan menggunakan rumus terakhir, kami menghitung, khususnya, jarak ke pusat gravitasi setengah lingkaran.

Substitusikan α = π/2 ke dalam (2), kita peroleh: X C = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Contoh 1. Mari kita tentukan pusat gravitasi benda homogen yang ditunjukkan pada Gambar. 13.

Gambar 13

Tubuhnya homogen, terdiri dari dua bagian dengan bentuk simetris. Koordinat pusat gravitasinya:

Volume mereka:

Oleh karena itu, koordinat pusat gravitasi benda

Contoh 2. Mari kita cari pusat gravitasi pelat yang dibengkokkan tegak lurus. Dimensi ada pada gambar (Gbr. 14).

Gambar 14

Koordinat pusat gravitasi:

Area:

Gambar 15

Dalam soal ini, akan lebih mudah untuk membagi tubuh menjadi dua bagian: persegi besar dan lubang persegi. Hanya luas lubang yang dianggap negatif. Maka koordinat titik berat lembaran yang berlubang :

koordinat karena benda mempunyai sumbu simetri (diagonal).

Contoh 4. Braket kawat (Gbr. 16) terdiri dari tiga bagian dengan panjang yang sama aku.

Gambar 16

Koordinat pusat gravitasi bagian:

Jadi, koordinat titik berat seluruh braket adalah:

Contoh 5. Tentukan posisi pusat gravitasi rangka yang semua batangnya mempunyai kerapatan linier yang sama (Gbr. 17).

Mari kita ingat bahwa dalam fisika massa jenis suatu benda ρ dan itu berat jenis g dihubungkan dengan relasi: γ= ρ G, Di mana G- akselerasi jatuh bebas. Untuk mencari massa benda homogen, Anda perlu mengalikan massa jenis dengan volumenya.

Gambar 17

Yang dimaksud dengan massa jenis “linier” atau “linier” adalah bahwa untuk menentukan massa suatu batang rangka, massa jenis linier harus dikalikan dengan panjang batang tersebut.

Untuk mengatasi masalah tersebut, Anda dapat menggunakan metode partisi. Dengan menyatakan suatu rangka batang sebagai jumlah dari 6 batang individu, kita peroleh:

Di mana aku panjang Saya batang rangka, dan x saya, kamu aku- koordinat pusat gravitasinya.

Penyelesaian masalah ini dapat disederhanakan dengan mengelompokkan 5 batang terakhir rangka. Sangat mudah untuk melihat bahwa mereka membentuk sebuah bangun datar dengan pusat simetri terletak di tengah-tengah batang keempat, di mana pusat gravitasi kelompok batang ini berada.

Dengan demikian, suatu rangka batang dapat direpresentasikan dengan kombinasi dua kelompok batang saja.

Kelompok pertama terdiri dari batang pertama, untuk itu L 1 = 4m, X 1 = 0 m, kamu 1 = 2 m Kelompok batang kedua terdiri dari lima batang, untuk itu L 2 = 20 m, X 2 = 3m, kamu 2 = 2 m.

Koordinat pusat gravitasi rangka dicari dengan menggunakan rumus:

X C = (L 1 ∙X 1 +L 2 ∙X 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2m;

kamu C = (L 1 ∙kamu 1 +L 2 ∙kamu 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2m.

Perhatikan bahwa pusatnya DENGAN terletak pada garis lurus yang menghubungkan DENGAN 1 dan DENGAN 2 dan membagi segmen tersebut DENGAN 1 DENGAN 2 tentang: DENGAN 1 DENGAN/SS 2 = (X C - X 1)/(X 2 - X C ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pertanyaan tes mandiri

Pusat gaya paralel disebut?

Bagaimana koordinat pusat gaya paralel ditentukan?

Bagaimana cara menentukan pusat gaya sejajar yang resultannya nol?

Properti apa yang dimiliki pusat gaya paralel?

Rumus apa yang digunakan untuk menghitung koordinat pusat gaya sejajar?

Berapakah pusat gravitasi suatu benda?

Mengapa gaya gravitasi bumi yang bekerja pada suatu titik pada suatu benda dapat dianggap sebagai sistem gaya paralel?

Tuliskan rumus menentukan posisi pusat gravitasi benda tak homogen dan homogen, rumus menentukan posisi pusat gravitasi bagian datar?

Tuliskan rumus menentukan posisi pusat gravitasi bangun ruang sederhana: persegi panjang, segitiga, trapesium, dan setengah lingkaran?

Berapakah momen statis suatu luas?

Berikan contoh suatu benda yang pusat gravitasinya terletak di luar benda tersebut.

Bagaimana sifat simetri digunakan dalam menentukan pusat gravitasi suatu benda?

Apa inti dari metode bobot negatif?

Dimana letak pusat gravitasi busur lingkaran?

Apa konstruksi grafis dapatkah kamu menemukan pusat gravitasi segitiga?

Tuliskan rumus yang menentukan pusat gravitasi suatu sektor lingkaran.

Dengan menggunakan rumus yang menentukan pusat gravitasi segitiga dan sektor lingkaran, turunkan rumus serupa untuk segmen lingkaran.

Rumus apa yang digunakan untuk menghitung koordinat pusat gravitasi benda homogen, bangun datar, dan garis?

Apa yang disebut momen statis luas bangun datar terhadap sumbu, bagaimana cara menghitungnya dan berapa dimensinya?

Bagaimana cara menentukan letak pusat gravitasi suatu daerah jika diketahui kedudukan pusat gravitasi masing-masing bagiannya?

Teorema bantu apa yang digunakan untuk menentukan posisi pusat gravitasi?