円周が分かる円の直径。円の円周はどうやって求めますか?

§ 117. 円の円周と面積。

1. 円周。円は閉じた平らな曲線であり、そのすべての点は円の中心と呼ばれる 1 つの点 (O) から等距離にあります (図 27)。

円はコンパスを使用して描画されます。これを行うには、コンパスの鋭い脚を中心に置き、もう一方の脚（鉛筆を使用）を鉛筆の端が完全な円を描くまで最初の脚の周りに回転させます。中心から円上の任意の点までの距離は、 半径。この定義から、1 つの円のすべての半径は互いに等しいことがわかります。

円の任意の 2 点を結び、その中心を通る直線セグメント (AB) をと呼びます。直径。 1 つの円の直径はすべて互いに等しい。直径は 2 つの半径に等しい。

円の円周を求めるにはどうすればよいですか? ほとんどの場合、周囲長は直接測定することで求めることができます。これは、たとえば、比較的小さな物体 (バケツ、ガラスなど) の周囲を測定するときに実行できます。これを行うには、巻尺、編組、またはコードを使用できます。

数学では、円周を間接的に求める手法が使用されます。これは、既製の式を使用して計算することで構成されており、これから導き出します。

大小の丸い物体 (コイン、ガラス、バケツ、樽など) をいくつか取り、それぞれの円周と直径を測定すると、物体ごとに 2 つの数値が得られます (1 つは円周を測定し、もう 1 つは円周を測定します)。直径の長さ）。当然のことながら、小さなオブジェクトの場合、これらの数値は小さくなり、大きなオブジェクトの場合は大きくなります。

ただし、これらのそれぞれの場合で、得られた 2 つの数値 (円周と直径) の比率を取る場合、注意深く測定すると、ほぼ同じ数値が得られます。円の円周を文字で表しましょうと、直径文字の長さ D、すると、それらの比率は次のようになります CD。実際の測定には常に避けられない誤差が伴います。しかし、示された実験を完了し、必要な計算を行ったので、比率が得られます。 CDおよそ次の数字: 3.13; 3.14; 3.15。これらの数値は互いにほとんど違いがありません。

数学では、理論的考察を通じて、望ましい比率が CD決して変化せず、無限の非周期分数に等しく、その近似値は 10,000 分の 1 までの精度で次のようになります。 3,1416 。これは、すべての円がその直径の同じ倍の長さであることを意味します。この数字は通常、ギリシャ文字で表されます。 π (ピ)。すると、円周と直径の比率は次のようになります。 CD = π 。この数値を 100 分の 1 だけに制限します。 π = 3,14.

円周を求める公式を書いてみましょう。

なぜなら CD= π 、それ

C = πD

つまり、円周は数値の積に等しい π 直径あたり。

タスク1。円周を求めます ( と) 円形の部屋の直径が D= 5.5 メートル。

上記を考慮すると、この問題を解決するには直径を 3.14 倍に増やす必要があります。

5.5 3.14 = 17.27 (メートル)。

タスク2。円周125.6cmの車輪の半径を求めます。

このタスクは前のタスクの逆です。車輪の直径を調べてみましょう。

125.6：3.14＝40（cm）

では、車輪の半径を求めてみましょう。

40：2＝20（cm）となります。

2. 円の面積。円の面積を求めるには、紙に所定の半径の円を描き、それを透明な市松模様の紙で覆い、円内のセルを数えます（図28）。

しかし、この方法は多くの理由から不便です。まず、円の輪郭付近で、サイズを判断するのが難しい不完全なセルが多数得られます。次に、大きな物体（丸い花壇、プール、噴水など）を紙で覆うことはできません。第三に、セルを数えても、別の同様の問題を解決できるルールがまだ得られません。このため、私たちは異なる行動をとります。この円を私たちによく知られている図形と比較してみましょう。次のようにしてみましょう。紙から円を切り出し、まず直径に沿って半分に切り、次にそれぞれの半分を再度半分に切り、さらに四分の一をさらに半分に切ります。たとえば、円を歯のような形の 32 個の部分に切ります (図 29)。

次に、図 30 に示すようにそれらを折ります。つまり、最初に 16 個の歯を鋸の形に配置し、次に結果として得られた穴に 15 個の歯を入れ、最後に最後に残った歯を半径に沿って半分に切ります。一方の部品を左側に取り付け、もう一方の部品を右に取り付けます。すると、長方形に似た図形が得られます。

この図形（底辺）の長さは半円の長さにほぼ等しく、高さは半径にほぼ等しい。次に、そのような図形の面積は、半円の長さと半径の長さを表す数字を掛けることによって見つけることができます。円の面積を文字で表すと S、文字の周囲と、半径文字 rそうすると、円の面積を求める式を書くことができます。

これは次のようになります: 円の面積は、半円の長さに半径を掛けたものに等しくなります。

タスク。半径4cmの円の面積を求めます。まず円の長さを求め、次に半円の長さを求め、それに半径を掛けます。

1) 円周と = π D= 3.14 8 = 25.12 (cm)。

2) 半円の長さ C / 2 = 25.12: 2= 12.56 (cm)。

3) 円の面積 S = C / 2 r= 12.56 4 = 50.24 (平方センチメートル)。

§ 118. 円柱の表面と体積。

タスク1。底面直径20.6cm、高さ30.5cmの円柱の総表面積を求めます。

以下のものは円柱形をしています (図 31): バケツ、ガラス (ファセットなし)、鍋、その他多くの物体です。

円柱の完全な表面 (直方体の完全な表面と同様) は、側面と 2 つの底面の領域で構成されます (図 32)。

私たちが話していることを明確に想像するには、紙からシリンダーのモデルを慎重に作成する必要があります。このモデルから底辺 2 つ、つまり円 2 つを引いて、側面を縦に切って展開すれば、円柱の全面積の計算方法は完全に明らかになります。側面は、底辺が円の長さに等しい長方形に展開されます。したがって、問題の解決策は次のようになります。

1) 円周: 20.6 3.14 = 64.684 (cm)。

2) 横表面積: 64.684 30.5 = 1972.862 (cm2)。

3) 1 つのベースの面積: 32.342 10.3 = 333.1226 (平方センチメートル)。

4) シリンダー全表面:

1972.862 + 333.1226 + 333.1226 = 2639.1072 (平方センチメートル) ≈ 2639 (平方センチメートル)

タスク2。底面直径60cm、高さ110cmの円筒形の鉄樽の体積を求めます。

円柱の体積を計算するには、直方体の体積を計算した方法を覚えておく必要があります (§ 61 を読むと役に立ちます)。

体積測定の単位は立方センチメートルです。まず、底面積に何立方センチメートル配置できるかを調べて、その数値に高さを掛ける必要があります。

底面積に何立方センチメートル置くことができるかを調べるには、シリンダーの底面積を計算する必要があります。底辺は円なので、円の面積を求める必要があります。次に、体積を決定するには、それに高さを掛けます。問題の解決策は次のような形式になります。

1) 円周: 60 3.14 = 188.4 (cm)。

2) 円の面積: 94.2 30 = 2826 (平方センチメートル)。

3) シリンダー容積: 2826,110 = 310,860 (cc. cm)。

答え。バレル容積310.86立方メートル。 DMで。

円柱の体積を文字で表すと V、ベースエリア S、シリンダー高さ Hをクリックすると、円柱の体積を求める式を書くことができます。

V = S H

これは次のようになります: 円柱の体積は、底面の面積に高さを乗じたものに等しくなります。

§ 119. 直径による円の円周を計算するための表。

さまざまな製造上の問題を解決するとき、多くの場合、円周を計算する必要があります。指定された直径に従って丸い部品を製造する作業者を想像してみましょう。直径がわかるたびに、円周を計算する必要があります。時間を節約し、間違いを防ぐために、彼は直径と対応する円周長を示す既製の表を参照します。

このようなテーブルのほんの一部を紹介し、その使用方法を説明します。

円の直径が 5 m であることを、文字の下の縦の列の表で確認します。 D数字5。これは直径の長さです。この数字の隣 (右側の「円周」という列) に、15.708 (m) という数字が表示されます。まったく同じ方法で、次のことがわかります。 D= 10 cm、円周は 31.416 cm となります。

同じテーブルを使用して、逆計算を実行することもできます。円の円周がわかっている場合は、対応する直径を表で見つけることができます。円周を約 34.56 cm として、これに最も近い数値を表から見つけてください。これは 34.558 (差 0.002) になります。この円周に相当する直径は約11cmです。

ここで説明した表は、さまざまな参考書で入手できます。特に、それらは V.M. Bradis 著「Four-digit math tables」という本に記載されています。 S. A. ポノマレフと N. I. シルネヴァの算数問題集にもあります。

経済のどの領域で働いているかに関係なく、人は意識的にか無意識に、何世紀にもわたって蓄積された数学的知識を使用します。私たちは毎日、円を含む装置や仕組みに遭遇します。ホイールは丸い形をしており、ピザ、多くの野菜や果物は切ると円になります。また、皿やカップなども同様です。ただし、誰もが円周を正しく計算する方法を知っているわけではありません。

円の円周を計算するには、まず円とは何かを覚えておく必要があります。これは、この点から等距離にある平面のすべての点のセットです。そして、円は円の内側にある平面上の点の幾何学的軌跡です。上記から、円の周長と円周は同一であることがわかります。

円周を求める方法

円の周長を求める数学的な方法に加えて、実用的な方法もあります。

ロープまたはコードを取り出して、1回巻き付けます。
次にロープを測定し、得られた数値が円周になります。
丸い物体を1回転がして、その経路の長さを数えます。アイテムが非常に小さい場合は、麻ひもで数回巻き、糸をほどき、測定して巻き数で割ります。
次の式を使用して必要な値を見つけます。

L = 2πr = πD ,

ここで、L は必要な長さです。

π – 定数、ほぼ 3.14 に等しい。 r – 円の半径、円の中心から任意の点までの距離。

D は直径で、2 つの半径に等しくなります。

公式を適用して円の円周を求める

例 1: トレッドミルは半径 47.8 メートルの円を周回します。 π = 3.14 として、このトレッドミルの長さを求めます。

L = 2πr =2*3.14*47.8 ≒ 300(m)

答え：300メートル

例 2. 自転車の車輪は 10 回回転し、18.85 メートル進みました。車輪の半径を求めます。

18.85:10=1.885(m)はホイールの周長です。

1.885: π = 1.885: 3.1416 ≈ 0.6(m) – 必要な直径

答え: ホイールの直径 0.6 メートル

驚くべき数円周率

この公式は一見単純そうに見えますが、何らかの理由で多くの人にとってそれを覚えるのは困難です。どうやら、これは、式に無理数πが含まれているという事実によるものであり、これは、正方形、三角形、ひし形など、他の図形の面積の式には存在しません。これは定数、つまり直径に対する円周の比率を意味する定数であることを覚えておく必要があります。約4000年前、人々は円の周囲とその半径（または直径）の比率がすべての円で同じであることに気づきました。

古代ギリシャ人は、数値 π を 22/7 という分数で近似しました。長い間、π は円の内接多角形と外接多角形の長さの平均として計算されてきました。西暦 3 世紀に、中国の数学者が 3072 角形の計算を実行し、π = 3.1416 という近似値を得ました。 π はどの円に対しても常に一定であることを覚えておく必要があります。ギリシャ文字 π を使用した名称は 18 世紀に登場しました。これは、ギリシャ語のπεριφέρεια（円）と περίμετρος（周囲）の最初の文字です。 18 世紀に、この量は無理数である、つまり m/n (m は整数、n は自然数) の形式で表すことができないことが証明されました。

円は、中心から等距離にある多くの点で構成されます。これは平らな幾何学図形であり、その長さを見つけるのは難しくありません。人はどんな分野で働いていても、毎日輪と輪に遭遇します。 たくさんの野菜や果物、装置や機構、食器や家具は丸い形をしています。円は、円の境界内にある点の集合です。したがって、図形の長さは円の周囲長と等しくなります。

フィギュアの特徴

円の概念の説明が非常にシンプルであることに加えて、その特徴も理解しやすいです。彼らの助けを借りて、その長さを計算することができます。円の内側は多くの点で構成されており、そのうちの 2 つ (A と B) が直角に見えます。このセグメントは直径と呼ばれ、2 つの半径で構成されます。

円の中に点 X があります。、これは変化せず、比 AX/BX の 1 に等しくありません。円の場合、この条件が満たされなければなりません。そうでない場合、この図形は円の形状を持ちません。この規則は、図形を構成する各点に適用されます。これらの点から他の 2 つの点までの距離の二乗の合計は、常に、それらの間のセグメントの長さの半分を超えます。

サークル基本用語

図形の長さを知るには、それに関連する基本用語を知っておく必要があります。図形の主なパラメータは、直径、半径、弦です。半径は、円の中心とその曲線上の任意の点を結ぶ線分です。弦の大きさは、図の曲線上の 2 点間の距離に等しくなります。 直径 - 点間の距離、図の中心を通過します。

基本的な計算式

パラメータは、円の寸法を計算する式で使用されます。

計算式における直径

経済学や数学では、円の円周を求めることがよくあります。しかし、日常生活の中で、たとえば円形のプールの周りにフェンスを建てるときなど、このようなニーズに遭遇する可能性があります。直径から円の円周を計算するにはどうすればよいですか? この場合、式 C = π*D を使用します。ここで、C は目的の値、D は直径です。

たとえば、プールの幅は 30 メートルで、フェンスの支柱はプールから 10 メートルの距離に配置される予定です。この場合、直径の計算式は 30+10*2 = 50 メートルになります。必要な値 (この例では、フェンスの長さ): 3.14*50 = 157 メートル。フェンスの支柱が互いに 3 メートルの距離にある場合、合計 52 本の支柱が必要になります。

半径の計算

既知の半径から円の円周を計算するにはどうすればよいですか? これを行うには、C = 2*π*r という式を使用します。ここで、C は長さ、r は半径です。円の半径は直径の半分であり、このルールは日常生活で役立ちます。例えば、スライド形式でパイを準備する場合。

調理製品が汚れるのを防ぐために、装飾的な包装紙を使用する必要があります。適切なサイズの紙の円を切るにはどうすればよいですか?

数学に少し詳しい人は、この場合、数値 π に、使用する形状の半径の 2 倍を掛ける必要があることを理解しています。たとえば、形状の直径はそれぞれ 20 センチメートル、半径は 10 センチメートルです。これらのパラメーターを使用すると、円の必要なサイズが求められます: 2*10*3、14 = 62.8 センチメートル。

便利な計算方法

式を使用して円周を見つけることができない場合は、この値を計算するために利用可能な方法を使用する必要があります。

丸い物体が小さい場合は、ロープを1回巻き付けると長さがわかります。
大きな物体のサイズは次のように測定されます。ロープを平らな面に置き、それに沿って円を 1 回転がします。
現代の学生や学童は計算に電卓を使用します。オンラインでは、既知のパラメーターを使用して未知の量を見つけることができます。

人類の歴史の中の丸い物体

人類が最初に発明した丸い形の製品は車輪でした。最初の構造物は、車軸に取り付けられた小さな丸い丸太でした。次に、木製のスポークとリムで作られた車輪が登場しました。摩耗を軽減するために、徐々に金属部品が製品に追加されました。過去何世紀にもわたって科学者たちがこの値を計算する式を探していたのは、車輪の室内装飾用の金属ストリップの長さを調べるためでした。

ろくろは車輪の形をしています、複雑な機構のほとんどの部品、水車や糸車の設計。丸い物体は、ロマネスク建築様式の丸い窓の枠、船の舷窓など、建設現場でよく見られます。建築家、エンジニア、科学者、機械工、デザイナーは、専門的な活動の中で、円の寸法を計算する必要に毎日直面しています。

円計算機は、オンラインで図形の幾何学的寸法を計算するために特別に設計されたサービスです。このサービスのおかげで、円に基づいて図形のパラメータを簡単に決定できます。例: ボールの体積はわかっていますが、その面積を取得する必要があります。これ以上簡単なことはありません。適切なオプションを選択し、数値を入力して、「計算」ボタンをクリックします。このサービスは、計算結果を表示するだけでなく、計算に使用された計算式も提供します。当サービスを利用すると、半径、直径、円周（円周）、円と球の面積、球の体積を簡単に計算することができます。

半径の計算

半径の値を計算する問題は、最も一般的な問題の 1 つです。その理由は非常に単純で、このパラメータを知っていれば、円やボールの他のパラメータの値を簡単に決定できるからです。私たちのサイトはまさにこのスキームに基づいて構築されています。どの初期パラメータを選択したかに関係なく、最初に半径の値が計算され、その後のすべての計算はそれに基づいて行われます。計算の精度を高めるため、サイトでは小数点第 10 位を四捨五入した円周率を使用しています。

直径の計算

直径の計算は、計算機で実行できる最も単純なタイプの計算です。直径の値を手動で取得することはまったく難しいことではありません。インターネットに頼る必要はまったくありません。直径は、半径の値に 2 を乗じた値に等しくなります。直径は円の最も重要なパラメータであり、日常生活で非常に頻繁に使用されます。絶対に誰もが正しく計算して使用できるはずです。当社の Web サイトの機能を使用すると、数分の一秒で非常に正確に直径を計算できます。

円周を調べます

私たちの周りにはどれだけの丸い物体があり、それらが私たちの生活の中でどれほど重要な役割を果たしているか想像することさえできません。円周を計算する能力は、普通のドライバーから一流の設計エンジニアまで、誰にとっても必要です。円周を計算する式は非常に簡単です: D=2Pr。計算は紙上で、またはこのオンラインアシスタントを使用して簡単に行うことができます。後者の利点は、すべての計算を図で示していることです。そして何よりも、2 番目の方法ははるかに高速です。

円の面積を計算する

この記事に記載されているすべてのパラメータと同様、円の面積は現代文明の基礎です。円の面積を計算して知ることができることは、例外なく人口のすべてのセグメントにとって役立ちます。円の面積を知る必要がない科学技術分野を想像することは困難です。計算式も難しくありません: S=PR 2。この公式とオンライン計算機を使用すると、特別な努力をせずに円の面積を求めることができます。私たちのサイトは、高い計算精度とその超高速な実行を保証します。

球の面積を計算する

ボールの面積を計算する式は、前の段落で説明した式ほど複雑ではありません。Ｓ＝４Ｐｒ２．この単純な文字と数字のセットは、長年にわたり人々にボールの面積をかなり正確に計算する能力を与えてきました。これはどこに適用できますか? はい、どこでも！たとえば、地球の面積は 5 億 1,010 万平方キロメートルであることがわかります。この公式の知識がどこに適用できるかを列挙することは無意味です。球の面積を計算する式の範囲が広すぎます。

球の体積を計算する

ボールの体積を計算するには、式 V = 4/3 (Pr 3) を使用します。オンラインサービスを作成するために使用されました。このウェブサイトでは、半径、直径、円周、円の面積、またはボールの面積のいずれかのパラメータがわかっていれば、ボールの体積を数秒で計算できます。また、ボールの体積を知り、その半径または直径の値を取得するなど、逆計算にも使用できます。当社の円計算機の機能をご覧いただきありがとうございます。私たちのサイトを気に入っていただき、すでにブックマークしていただいていることを願っております。

円の円周は文字で示されます C次の式で計算されます。

C = 2πR、
どこ R - 円の半径。

円周を表す公式の導出

パス C と C’ は、半径 R と R’ の円の長さです。それぞれに正 n 角形を内接し、その周囲を P n と P" n で表し、側面を a n と a" n で表します。正 n 角形の辺を計算する式 a n = 2R sin (180°/n) を使用すると、次のようになります。
P n = n a n = n 2R sin (180°/n)、
P" n = n · a" n = n · 2R" sin (180°/n)。
したがって、
P n / P" n = 2R / 2R"。 (1)
この等価性は、n の任意の値に対して有効です。ここで、n を無制限に増やしていきます。 P n → C、P" n → C"、n → ∞ であるため、比率 P n / P" n の極限は C / C" に等しくなります。一方、等式 (1) により、この制限は 2R / 2R" に等しくなります。したがって、C / C" = 2R / 2R" となります。この等式から、C / 2R = C" / 2R" となります。、つまり。 円の円周と直径の比率は、すべての円で同じ数値になります。この数値は通常、ギリシャ文字の π (「パイ」) で表されます。
C / 2R = π という等式から、半径 R の円周を計算する式が得られます。
C = 2πR。