間接測定の合計誤差の制限を計算する方法。間接測定の誤差の推定

物理量の測定誤差と

測定結果の処理

測定することで特別な技術的手段を使用して物理量の値を実験的に見つけることをいいます。測定は直接的または間接的です。で直接測定では、測定器を使用して物理量の目標値を直接求めます（たとえば、ノギスを使用して物体の寸法を測定します）。 間接的これは、測定された量と直接測定された量との間の既知の関数関係に基づいて、物理量の望ましい値が見つかる測定と呼ばれます。たとえば、円柱の体積 V を決定する場合、その直径 D と高さ H を測定し、次の公式に従います。 p D 2 /4 はその体積を計算します。

測定機器の不正確さと、測定中にすべての副作用を考慮することの難しさにより、測定誤差が必然的に発生します。 不正確または 間違い測定とは、測定された物理量の真の値からの測定結果の偏差を指します。

測定誤差は、測定量の真の値と同様に、通常は不明です。したがって、測定結果の基本処理のタスクは、所定の確率で測定された物理量の真の値が位置する区間を確立することです。

測定誤差の分類

エラーは 3 つのタイプに分類されます。

1) 失礼または失態、

2) 体系的、.

3) ランダム重大なエラー

- これらは、デバイスの不注意な読み取り、測定値の記録の判読不能の結果として生じる誤った測定値です。たとえば、結果を 2.65 ではなく 26.5 として記録します。 13 ではなく 18 のスケールで数えるなど。- 繰り返し測定中に一定のままであるか、または特定の法則に従って変化する誤差。これらの誤差は、測定方法の選択の誤り、機器の不完全性または誤動作（たとえば、ゼロがオフセットされている機器を使用した測定など）が原因である可能性があります。系統誤差をできる限り排除するために、常に測定方法を注意深く分析し、機器を標準と比較する必要があります。将来的には、機器の製造の不正確さや計数誤差によって引き起こされるものを除いて、すべての系統的誤差が排除されたと仮定します。このエラーをエラーと呼びます ハードウェア

ランダムエラー - 原因が事前に考慮できないエラーです。ランダムなエラーは、私たちの感覚の不完全さ、外部条件の変化（温度、圧力、湿度、空気振動など）の継続的な作用に依存します。ランダム誤差は取り除くことができず、すべての測定に必然的に存在しますが、確率論の方法を使用して評価できます。

直接測定結果の処理

物理量の直接測定の結果としてその値の多くが得られるとします。

x 1、x 2、... x n。

この一連の数値を知った上で、測定値の真の値に最も近い値を示し、ランダム誤差の大きさを見つける必要があります。

この問題は確率論に基づいて解決されますが、その詳細についてはコースの範囲を超えています。

. (1)

測定された物理量の最も確からしい値（真の値に近い値）を算術平均とみなします。ここで、x i は i 番目の測定の結果です。 n – 測定の数。ランダムな測定誤差は、絶対誤差の大きさによって推定できます。 D

, (2)

x、次の式を使用して計算されます。ここで、t(a,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数ある,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数。

信頼値実験者自身が尋ねた。

確率,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数ランダムイベントの「確率」は、同じように起こり得るケースの総数に対する、特定のイベントにとって有利なケースの数の比率です。

ある出来事が起こる確率は 1 ですが、ありえない出来事が起こる確率は 0 です。

特定の信頼確率に対応するスチューデントの係数値および特定の数の測定値 n がテーブルから見つかります。 1.	表1,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数
特定の信頼確率に対応するスチューデントの係数値および特定の数の測定値 n がテーブルから見つかります。 1.		0,95	0,98
	1,38	12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

番号,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数寸法n,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数 =0.95。

ただし、どの測定装置でも誤差が生じるため、単純に測定回数を増やしても全体の誤差をゼロにすることはできません。ここで、x i は i 番目の測定の結果です。 n – 測定の数。ランダムな測定誤差は、絶対誤差の大きさによって推定できます。絶対誤差という用語の意味を説明しましょう,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数 x と信頼確率数値軸を使用します。測定量の平均値とする(図 1)、および計算された絶対誤差 DX。 Dを脇に置いてください ×から - 右と左。 () から得られる数値間隔 D x) から ( +D x) と呼ばれます信頼区間

。この信頼区間の中に、測定値 x の真の値が入ります。

図1同じ条件下で同じ機器を使用して同じ量の測定が繰り返される場合、測定量 x ist の真の値は同じ信頼区間内に収まりますが、ヒットは信頼できませんが、確率は高くなります。

ａ．ここで、x i は i 番目の測定の結果です。 n – 測定の数。ランダムな測定誤差は、絶対誤差の大きさによって推定できます。絶対誤差の大きさを計算したら x 式 (2) によれば、測定された物理量の真の値 x は、x= と書くことができます。

±D×。 物理量の測定の精度を評価するには、次の計算を行います。相対誤差

. (3)

、通常はパーセンテージで表されます。

したがって、直接測定の結果を処理する場合は、次のことを行う必要があります。

1. n 回測定します。

2. 式 (1) を使用して算術平均を計算します。 3. 信頼水準を設定する

a (通常は a =0.95 とします)。,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数 4. 表 1 を使用して、指定された信頼確率に対応するスチューデント係数を見つけます。

と次元数 n。

5. 式 (2) を使用して絶対誤差を計算し、それを機器誤差と比較します。さらに計算するには、大きい方を採用します。

6. 式(3)を使用して、相対誤差を計算します。

e. 7. 最終結果を書き留めます x=±D ×。同じ条件下で同じ機器を使用して同じ量の測定が繰り返される場合、測定量 x ist の真の値は同じ信頼区間内に収まりますが、ヒットは信頼できませんが、確率は高くなります。

相対誤差を示す

と信頼確率

間接測定結果の処理ここで、x i は i 番目の測定の結果です。 n – 測定の数。ランダムな測定誤差は、絶対誤差の大きさによって推定できます。目的の物理量 y が関数依存性によって他の量 x 1、x 2、... x k に関連付けられているとします。±D Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

値 x 1 、 x 2 、... x k の中には、直接測定および表形式のデータから得られた値があります。絶対的なものを決める必要がある

. (5)

yと相対値 y にエラーがあります。ここで、x i は i 番目の測定の結果です。 n – 測定の数。ランダムな測定誤差は、絶対誤差の大きさによって推定できます。 x i – 値 x i の絶対誤差。 x i が直接測定の結果として得られる場合、その平均値そして絶対誤差ここで、x i は i 番目の測定の結果です。 n – 測定の数。ランダムな測定誤差は、絶対誤差の大きさによって推定できます。 x は式 (1) および (2) を使用して計算されます。すべての測定値 x i に対して、同じ信頼確率が指定されます,n) – 測定値 n と信頼水準に応じたスチューデントの係数。 p 式 (5) で二乗された項のいずれかが他の項よりも 1 桁 (10 倍) 小さい場合、それらは無視できます。

表形式の値を選択するときは、これを考慮する必要があります (

、g など）は相対誤差式に含まれます。それらの値は、相対誤差が最大の相対誤差よりも 1 桁小さくなるように選択する必要があります。最終結果を書き留めてみましょう。

y= ±Dy.ここ .

– 平均値xiを式（4）に代入して式（4）から得られる間接測定の平均値。

D y= e

. (6)

通常、実際の測定にはランダムな誤差と系統的な（ハードウェア）誤差の両方が存在します。直接測定の計算されたランダム誤差がゼロであるか、器差の 2 倍以上小さい場合、間接測定の誤差を計算するときに器差を考慮する必要があります。これらの誤差の差が 2 倍未満の場合、絶対誤差は次の式を使用して計算されます。例を見てみましょう。シリンダーの体積を計算する必要があるとしましょう。ここで、D は円柱の直径、H はその高さであり、目盛り値 0.1 mm のノギスで測定されます。繰り返し測定した結果、平均値が得られます。

, (7)

=10.0mmおよび =40.0mm。シリンダーの体積の間接測定の相対誤差は、次の式で求められます。ここで D D と D H – 直径と高さの直接測定の絶対誤差。式 (2) を使用して値を計算します。 D D=0.01 mm; D H=0.13mm。計算された誤差を、キャリパーの除算値に等しいハードウェア誤差と比較してみましょう。<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо ここで、x i は i 番目の測定の結果です。 n – 測定の数。ランダムな測定誤差は、絶対誤差の大きさによって推定できます。 D

D Dは0.01mmではなく0.1mmです。 p値相対誤差が小さくなるように選択する必要があります。 Dp/p 式 (7) は無視できます。測定値と計算された絶対誤差の分析から D D と D 体積測定における相対誤差への最大の寄与は、高さ測定における誤差によってもたらされることがわかります。相対高さ誤差を計算すると、次のようになります。 eH =0.01。したがって、値は

3.14 を取る必要があります。この場合

1. 測定が 1 回行われた場合、または複数の測定の結果が同じ場合、絶対測定誤差として器差を取る必要があります。これは、使用されるほとんどの機器の場合、デバイスの除算値に等しくなります (詳細については、器差については、「測定器」のセクションを参照してください)。

2. 表形式または実験データが誤差を示さずに与えられている場合、その数値の絶対誤差は最後の有効数字の桁の半分に等しいとみなされます。

おおよその数値を含むアクション

計算精度を過大評価すると多くの不要な作業が発生するため、計算精度を変えるという問題は非常に重要です。学生は必要な数量を 5 桁以上の有効数字で計算することがよくあります。この精度は過剰であることを理解してください。直接測定された量を決定する精度によって保証される精度の限界を超えて計算を実行しても意味がありません。測定値を処理した後、個々の結果の誤差を計算せず、この数値の正しい有効桁数を示すことによって値の近似値の誤差を判断することがよくあります。

有効数字近似数値はゼロを除くすべての数字であり、次の 2 つの場合はゼロです。

1) 有効数字の間にある場合 (たとえば、1071 という数字には有効数字が 4 つあります)。

2) 数字の末尾にある場合、および対応する桁の単位がこの数字に存在しないことがわかっている場合。例。数値 5.20 には有効数字が 3 つあり、これは測定時に単位だけでなく 10 分の 1 と 100 分の 1 も考慮したことを意味します。また、数値 5.2 には有効数字が 2 つしかなく、整数と 100 分の 1 だけを考慮したことを意味します。 10分の1。

概算の計算は、次のルールに従って行う必要があります。

1. 足したり引いたりするときその結果、小数点以下の桁数が最も少ない数値に含まれる小数点以下の桁数が格納されます。例: 0.8934+3.24+1.188=5.3214» 5.32

2. 金額は 100 分の 1 に四捨五入する必要があります。 5.32 に相当します。掛け算と割り算のときその結果、有効桁数が最も少ない近似値と同じ数の有効桁数が保持されます。たとえば、8.632 を乗算する必要があります。「2.8」

3.53。代わりにこの式を評価する必要があります

中間結果を計算する場合、ルールで推奨されている桁より 1 桁多い桁 (いわゆる予備桁) が保持されます。最終結果では、予備の桁は破棄されます。結果の最後の有効桁の値を明確にするには、その後の桁を計算する必要があります。それが 5 未満であることが判明した場合は、単純に破棄する必要があります。5 または 5 を超えた場合は、破棄した後、前の桁を 1 つ増やす必要があります。通常、絶対誤差は有効数字 1 桁のままで、測定値は絶対誤差の有効数字が位置する桁に丸められます。

3. 関数の値を計算した結果 x n , , log( ×) おおよその数字 ×数値と同数の有効数字を含める必要があります ×。例えば： .

グラフ化

実験室での作業中に得られた結果は多くの場合重要であり、グラフで表示する必要があります。グラフを作成するには、取得した測定値に基づいて、一方の量の各値が他方の量の特定の値に対応する表を作成する必要があります。

グラフは方眼紙で作成されます。グラフをプロットするときは、独立変数の値を横軸にプロットし、関数の値を縦軸にプロットする必要があります。各軸の近くに、描かれた量の指定を書き、それがどのような単位で測定されるかを示す必要があります（図2）。

図2

グラフを正しく作成するには、スケールの選択が重要です。曲線はシート全体を占め、グラフの長さと高さの寸法はほぼ同じになります。スケールはシンプルであるべきです。最も簡単な方法は、測定値の単位 (0.1、10、100 など) が 1、2、または 5 cm に対応するかどうかです。座標軸の交点は必ずしも一致する必要はないことに注意してください。プロットされた値のゼロ値（図2）。

得られた各実験値は、点や十字などの非常に目立つ方法でグラフ上にプロットされます。

測定値の誤差は、信頼区間の長さのセグメントの形で示され、その中心に実験点が配置されます。エラーを示すとグラフが乱雑になるため、これはエラーに関する情報が本当に必要な場合にのみ行われます。つまり、実験点を使用して曲線を作成するとき、グラフを使用してエラーを決定するとき、実験データを理論曲線と比較するときです (図 2)。多くの場合、1 つまたは複数のポイントのエラーを示すだけで十分です。

実験点を通る滑らかな曲線を描く必要があります。多くの場合、実験点は単純な破線で結ばれます。これは、量が何らかの突然の形で相互に依存していることを示しているようです。そして、これはありそうもないことです。曲線は滑らかでなければならず、マークされた点を通過するのではなく、マークされた点の近くを通過して、これらの点が曲線の両側に同じ距離にあるようにする必要があります。

いずれかの点がグラフから大きく外れている場合は、この測定を繰り返す必要があります。したがって、実験中に直接グラフを作成することをお勧めします。グラフは観察を制御し、改善するために役立ちます。

測定器とその誤差の計算Δ 物理量を直接測定するには測定器が使用されます。いかなる測定器も測定値の真の値を与えるわけではありません。Δ これは、第一に、装置のスケールで測定値を正確にカウントすることが不可能であるという事実、第二に、測定器の製造における不正確さによるものです。最初の要因を考慮するために、計数誤差 Δx o が導入され、2 番目の要因として許容誤差が導入されます。:

×d

。

これらの誤差の合計が、デバイスの機器誤差または絶対誤差を形成します。

× ± 許容される誤差は州の基準によって標準化されており、パスポートまたはデバイスの説明に示されています。読み取り誤差は通常、機器の目盛の目盛値の半分に等しいと見なされますが、一部の機器 (ストップウォッチ、アネロイド気圧計) では、機器の目盛値と等しくなります (これらの機器の矢印の位置は 1 目盛りずつジャンプして変化するため) ）、実験条件により自信を持って 1 つの目盛までカウントダウンできない場合（たとえば、太いポインタや不十分な照明の場合）、さらには複数の目盛の目盛でも使用できます。したがって、計数誤差は実験者自身によって確立され、特定の実験の条件を正確に反映します。

許容誤差が読み取り誤差より大幅に小さい場合は、無視できます。通常、デバイスの絶対誤差はデバイスのスケール分割と等しくみなされます。 ± (3 ～ 4) μm (測定範囲が 0 ～ 25 mm のマイクロメーターの場合)。計数誤差は除算値の半分とする。したがって、マイクロメータの絶対誤差は除算値と等しいとみなすことができます。 0.01mm。

計量時、工業用秤の許容誤差は荷重に応じて異なり、荷重が20～200gの場合は50mg、荷重が20g未満の場合は25mgです。

デジタル機器の誤差は精度等級によって決まります。

ほとんどの場合、実験中に複数の機器で複数の量が測定され、最終結果を得るには、これらの測定値を加算や乗算などの数学的演算を使用して処理する必要があります。したがって、実験の周辺誤差や平均二乗誤差を計算して、実験全体の精度を評価する必要があります。

最大相対実験誤差を計算するためのルール:

1. 合計の誤差は、項の相対誤差の最大値と最小値の間にあります。通常、最大誤差または算術平均値のいずれかが考慮されます (実験室での作業では算術平均値を使用します)。

2. 積または商の誤差は、それぞれ因数または被除数と除数の相対誤差の合計に等しくなります。

3. エラー n基底度の次数 nベースの相対誤差の倍。

間接測定結果の二乗平均平方根誤差を計算するには、測定結果の独立性を確保する必要があります。この場合、値を計算する際の二乗平均平方根誤差は W、これは直接測定されたパラメータの関数です ×, y, z, ... は次の式で決定されます。

ここで、パラメータの平均値で計算された関数の偏導関数は次のとおりです。 ×, y, z、…、 - それぞれ修正された分散 ×, y, z, ….

例。間接測定の誤差の決定

繰り返し測定した結果、3 つの相互に独立したパラメータの平均値と二乗平均平方根誤差が得られました。

a) 最大相対測定誤差と関数を決定する際の最大相対誤差

b) 関数決定の平均値と二乗平均平方根誤差

a) 最大相対測定誤差を求める ×, y, z式(13)によると：

関数を決定する際の最大相対誤差

実験の最大相対誤差を計算するためのルールに従って、次のことを見つけてみましょう。

b) 関数の平均値を計算します。

式 (14) を使用して関数を決定する際の二乗平均平方根誤差を計算するには、偏導関数を求めます。

平均値で計算します ×, y, z:

式 (14) に代入すると、次のようになります。

4. 線形回帰モデル特性の計算

要因間の関係を確立するための効果的な方法の 1 つは、相関回帰分析です。

相関回帰法のタスクは、結果として得られるパラメータ間の関係を特徴付ける経験式を見つけることです。 Y特定の入力要素を使用して ×.

コミュニケーションの一形態として Yそして ×線形依存は、計算が簡単であること、また他の多くの種類の依存を線形依存に帰着させることができるため、広く使用されています。

線形回帰モデルの計算には次の手順が含まれます。

1. 理論的な線形回帰式の計算。

2. つながりの強さを評価し、相関係数を計算します。

3. 相関係数の重要性の評価;

4. 回帰式係数の重要性を評価する。

5. 回帰式と信頼限界の妥当性を判断します。

線形回帰 Yの上 ×の形式は次のとおりです。

ここで、α と β は回帰パラメータです (β は回帰係数と呼ばれます)。

回帰パラメータ α および β の統計的推定値は、式によって計算された値が経験値にできるだけ近づくように選択されます。偏差の二乗和が近さの尺度として選択されます。同じ点における理論値からの経験値の偏差の二乗和を最小にしてパラメータを求める方法を最小二乗法といいます。

この方法に従って取得される最適なパラメーター値は、次の式によって決定されます。

ここで、とは平均値です ×そして Y、次の式を使用して計算されます。

(15) を考慮して、経験的回帰直線を次の形式で書きます。

線形相関依存性の強さ Yそして ×相関係数を特徴付ける r。係数 rはから 1 まで変化します。に近づくほど、線形関係が強くなります。 Yそして ×、限定的なケースでは、の場合、正確な線形関数依存性が存在します。 Yから ×。の場合、 Yそして ×相関関係はありません。相関係数を推定すると rはサンプル相関係数として機能し、次の式で計算されます。

サンプルデータから求められた相関係数は、一般母集団に対応する実際の値と一致しない場合があります。サンプル相関係数の有意性に関する統計的仮説を検定するには、次を使用します。 t- スチューデントの t 検定。観測値は次の式を使用して計算されます。

クリティカル値 t- 自由度の数と有意水準 α の基準は、スチューデント分布の臨界点の表から求められます。の場合、相関係数のゼロ値に関する仮定は確認されず、サンプルの相関係数は有意です。の場合、値 rゼロに近い。

実際の問題を解決する場合、回帰式 (16) に含まれるパラメータを推定するには、信頼区間の構築に限定できます。特定の信頼性 γ に対して、パラメーターの信頼区間と β は次の式で決定されます。

クリティカル値はどこにありますか t- 自由度の数と有意水準の基準。スチューデント分布の臨界点の表から求められます。 - 残差分散の平方根。次の式で求められます。

経験的に回帰式を取得したら、それが観測結果とどの程度一致しているかを確認します。回帰式の重要性に関する仮説をテストするには、次を使用します。 F-フィッシャー基準。その観測値は次の式を使用して計算されます。

修正された分散はどこにありますか Y、次の式で計算されます。

クリティカル値 F- 自由度の数と有意水準 α の基準は、Fisher-Snedecor 分布の臨界点の表から求められます。の場合、回帰式の有意性に関する仮説は確認されず、式は観測結果と一致します。の場合、結果として得られる方程式は重要ではありません。

経験式が特定の観測システムをどの程度うまく記述しているかを示す尺度のもう 1 つの特徴は、決定係数です。 d、次の式で計算されます。

係数が近いほど d 1 つにするほど、説明が良くなります。

モデルが構築されると、それは分析と予測に使用されます。予測は式 (17) に係数を代入することで実行されます。結果の点推定は次のようになります。

予測値の信頼区間は次のとおりです。

クリティカル値はどこにありますか t- 自由度の数と重要度の基準。スチューデント分布の臨界点の表から見つかります。

例。線形回帰モデルの構築

観測データに基づいて、線形回帰式のパラメータを決定します Yの上 ×。回帰係数と相関係数を見つけて、サンプルの相関係数の有意性に関する仮説を検証します。回帰式のパラメーターの信頼区間を見つけます。決定係数を決定します。結果として得られる回帰式の重要性に関する仮説をテストします。モデルによって予測された値を見つける yで x=x 0 を設定し、その信頼区間を見つけます。有意水準を 0.05 とします。

×
Y	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

回帰式のパラメータを取得するために、テーブルを作成しましょう。表2


0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7	0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
9,6			1,66	83,8		0,0479

表の最後の行には、計算に使用された列の合計が表示されます。

平均値を求めてみましょう ×そして Y式(16)によると：

式 (15) を使用して回帰係数を計算してみましょう。

そして、(17) に代入して経験的な回帰式を取得します。

式 (28) を使用して理論値を計算し、表 2 の最後の 2 列を記入します。

式 (18) を使用して相関係数を計算してみましょう。

そして、その重要性についての仮説を検証してみましょう。式 (19) を使用して、基準の観測値を求めます。

スチューデント分布の臨界点の表を使用して、自由度の数と有意水準を使用してスチューデント分布の臨界点を求め、比較します。したがって、相関係数は有意です。 Yそして ×は線形相関で結ばれています。

線形回帰式 (28) のパラメーターの信頼区間を決定するには、式 (22) を使用して残差分散を求めます。

式 (20) に代入して、の信頼区間を計算し、信頼性のある区間推定値を取得します。

式 (21) を使用して信頼区間を取得します。

したがって、信頼性のあるパラメータの間隔推定値は

結果として得られる回帰式の重要性に関する仮説を確認してみましょう。観測値を計算するには F-基準修正された分散を見つけます Y式 (24) を使用して: 式 (23) に代入すると、次の結果が得られます: 自由度および有意水準のフィッシャー・スネデコール分布の臨界点の表を使用して、次のことがわかります。観測値と臨界値を比較します。 Fしたがって、方程式が有意であることがわかります。

観測値に対する線形モデルの適切性を評価するために、式 (25) を使用して決定係数も求めます。

この結果は次のように解釈されます: 97.1% の変動性 Y因子の変化で説明される ×、残りのランダム要因は変動の 2.9% を占めます。ただし、この結論は、考慮された値の範囲に対してのみ有効です。 ×.

予測には式 (28) を使用します。のポイント推定値を使用すると、 y式 (28) に代入することで次の値が得られます。式 (27) から得られる信頼区間は次のとおりです。

最後に、信頼性のある間隔推定

問題は次のように提起されます: 必要な量を z他の量によって決定される a、b、c, ... 直接測定から得られる

z = f (a、b、c、...) (1.11)

関数の平均値とその測定値の誤差を見つける必要があります。信頼区間を求める

信頼性と相対誤差を備えています。

については、(11)の右辺に代入して求めます。 a、b、c、...それらの平均値

間接測定の絶対誤差は直接測定の絶対誤差の関数であり、次の式で計算されます。

(1.14)

ここで関数の偏導関数は f変数による a、b、 …

値が a、b、c、...関数に Z = f (a、b、c、...)さまざまな程度の因子の形で含まれます。

, (1.15)

その場合、最初に相対誤差を計算すると便利です。

, (1.16)

そして絶対的な

D の公式 zおよび e z は参考文献に記載されています。

3.14 を取る必要があります。この場合

1. 間接測定の場合、計算式には既知の物理定数 (重力加速度) が含まれる場合があります。 g、真空中の光の速度となど）、小数因数のような数値...。これらの値は計算中に四捨五入されます。この場合、当然ながら計算に誤差が生じます。 - 計算における丸め誤差。これは考慮する必要があります。

一般に、近似数値の丸め誤差は、この数値を四捨五入した桁の半分の単位に等しいと認められています。たとえば、p = 3.14159... 。 p = 3.1 の場合は Dp = 0.05、p = 3.14 の場合は Dp = 0.005 ...などとなります。近似値を何桁に四捨五入するかという問題は、次のように解決されます。丸めによって生じる相対誤差は、他のタイプの相対誤差の最大値と同じオーダーか、または 1 桁小さくなければなりません。表形式データの絶対誤差も同様に推定されます。たとえば、表では r = 13.6 × 10 3 kg/m 3 であるため、Dr = 0.05 × 10 3 kg/m 3 となります。

普遍的な定数の値の誤差は、平均としてとられた値とともに示されることがよくあります: ( と = m/s、ここで D と= 0.3×10 3 m/秒。

2. 間接的な測定では、実験条件が繰り返しの観察と一致しない場合があります。この場合、関数の値は z個々の測定値ごとに計算され、値全体にわたって信頼区間が計算されます。 z直接測定の場合と同じ（ここでのすべての誤差は、1 つのランダムな測定誤差に含まれます） z）。測定されていないが指定されている値（存在する場合）は、十分に高い精度で示す必要があります。

測定結果の処理手順

直接測定

1. の平均値を計算します。 n測定値

2. 個々の測定値の誤差を見つける .

3. 個々の測定値の二乗誤差とその合計を計算します。 .

4. 信頼性 a を設定し (目的のために a = 0.95 を採用します)、テーブルを使用してスチューデント係数を決定します。 tああ、 nと ta、¥ 。

5. 系統的誤差の評価: 機器 D ×測定値の丸め誤差D × env = D/2 (D は機器の除算値) を計算し、測定結果の合計誤差 (信頼区間の半値幅) を求めます。

6. 相対誤差の推定

7. 最終結果をフォームに書き込みます

ε = … % (a = ... の場合)

間接測定

1. 直接測定された各量について、必要な量を決定するための式に含まれます。、上記のような処理を行います。数量の範囲内であれば a、b、c, ... 型 p のテーブル定数または数値があり、 e、...、計算中に、導入される相対誤差が直接測定された量の最大相対誤差よりも 1 桁小さくなるように (可能であれば) 四捨五入する必要があります。