数列と関数の限界の概念。 数列の極限を求める必要がある場合は、lim xn=a のように記述します。 このような一連のシーケンスでは、xn は a になる傾向があり、n は無限大になる傾向があります。 シーケンスは通常、次のように系列として表されます。
x1、x2、x3...、xm、...、xn... 。
シーケンスは増加と減少に分けられます。 例えば:
xn=n^2 - 増加するシーケンス
yn=1/n - シーケンス
したがって、たとえば、シーケンス xn=1/n^ の極限は次のようになります。
lim 1/n^2=0
×→∞
n→∞ であるため、この制限はゼロに等しく、シーケンス 1/n^2 はゼロになる傾向があります。
一般に、可変量 x は有限の限界 a に向かう傾向があり、x は常に a に近づき、量 a は一定です。 これは次のように記述されます: limx =a ですが、n はゼロまたは無限大のいずれかになる傾向があります。 関数は無限にあり、その制限は無限大になる傾向があります。 他の場合、たとえば、関数が電車を減速させる場合、制限がゼロに近づく可能性があります。
制限には多くの特性があります。 通常、どの関数にも制限は 1 つだけあります。 これが極限の主なプロパティです。 その他は以下のとおりです。
* 限度額は以下の限度額の合計と等しくなります。
lim(x+y)=lim x+lim y
* 積の制限は、次の制限の積に等しいです。
lim(xy)=lim x*lim y
* 商の制限は、制限の商と同じです。
lim(x/y)=lim x/lim y
* 定数係数は限界記号の外側で取得されます。
lim(Cx)=C lim x
x → ∞ となる関数 1 /x が与えられると、その極限はゼロになります。 x→0 の場合、このような関数の極限は ∞ です。
三角関数には、次のような規則がいくつかあります。 関数 sin x はゼロに近づくと常に 1 になる傾向があるため、恒等式が成立します。
lim sin x/x=1
多くの関数には、限界を計算するときに不確実性が生じる関数、つまり限界を計算できない状況が存在します。 この状況を打開する唯一の方法はロピタルです。 不確実性には次の 2 種類があります。
* 0/0 の形式の不確かさ
* ∞/∞ の形式の不確実性
たとえば、次の形式の制限が与えられます: lim f(x)/l(x)、および f(x0)=l(x0)=0。 この場合、0/0 の形式の不確実性が生じます。 このような問題を解決するには、両方の関数を微分した後、結果の極限を求めます。 タイプ 0/0 の不確かさの制限は次のとおりです。
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0の場合)
同じ規則が、∞/∞ タイプの不確実性にも当てはまります。 ただし、この場合、次の等式が成り立ちます: f(x)=l(x)=∞
ロピタルのルールを使用すると、不確実性が現れる限界の値を見つけることができます。 の前提条件
ボリューム - 導関数を見つけるときにエラーが発生しません。 したがって、たとえば、関数 (x^2) の導関数は 2x に等しくなります。ここから、次のように結論付けることができます。
f"(x)=nx^(n-1)
いくつかの具体的な例を見てみましょう。
x を数値変数、X をその変化の面積とします。 X に属する各数値 x が特定の数値 y に関連付けられている場合、関数は集合 X 上で定義されていると言い、y = f(x) と書きます。
この場合の X セットは、0X と 0Y の 2 つの座標軸で構成される平面です。 たとえば、関数 y = x 2 を描いてみましょう。 0X 軸と 0Y 軸は X、つまりその変化の領域を形成します。 この図は、関数がどのように動作するかを明確に示しています。 この場合、関数 y = x 2 が集合 X に対して定義されていると言います。
関数のすべての部分値の集合 Y は、値の集合 f(x) と呼ばれます。 つまり、値のセットは、関数が定義される 0Y 軸に沿った間隔です。 描かれた放物線は、f(x) > 0 であることを明確に示しています。 x2 > 0。したがって、値の範囲は になります。 多くの値を0Yまでに見ていきます。
すべての x の集合は f(x) の定義域と呼ばれます。 0X による多くの定義を調べますが、この場合、許容される値の範囲は [-; +]。
点 a (a が属する、または X) は、点 a の近傍に a とは異なる集合 X の点がある場合、集合 X の限界点と呼ばれます。
関数の限界が何であるかを理解する時が来たのでしょうか?
x が数値 a に近づくように関数が従う純粋な b は、と呼ばれます。 機能の限界。 これは次のように書かれています。
たとえば、f(x) = x 2 となります。 関数が x 2 でどのような傾向にある (等しくない) かを調べる必要があります。まず、制限を書き留めます。
グラフを見てみましょう。
0X 軸上の点 2 を通り、0Y 軸に平行な線を引きましょう。 これは点 (2;4) でグラフと交差します。 この点から 0Y 軸に垂線を下ろし、点 4 に到達しましょう。これが関数が x 2 で目指すものです。ここで値 2 を関数 f(x) に代入しても、答えは同じになります。 。
次に進む前に 限界の計算, 基本的な定義を紹介しましょう。
19世紀にフランスの数学者オーギュスタン・ルイ・コーシーによって導入されました。
関数 f(x) が点 x = A を含む特定の区間で定義されているとします。ただし、f(A) の値を定義する必要はまったくありません。
次に、コーシーの定義によれば、 機能の限界すべての C > 0 に対して数 D > 0 が存在する場合、f(x) は特定の数 B となり、x は A に向かう傾向があります。
それらの。 x A における関数 f(x) が限界 B によって制限される場合、これは次のように書かれます。
シーケンス制限任意の小さな正の数 B > 0 に対して、n > N の場合のすべての値が不等式を満たす数 N がある場合、特定の数 A が呼び出されます。
この制限は次のようになります。
限界があるシーケンスは収束と呼ばれ、そうでない場合は発散と呼ばれます。
すでにお気づきのとおり、制限は lim アイコンで示され、その下に変数の条件が書き込まれ、その後関数自体が書き込まれます。 このような集合は「~の対象となる機能の限界」と読み替えられます。 例えば:
- x が 1 になる傾向がある関数の極限。
「1に近づく」とは、xが限りなく1に近づく値をとることを意味する。
この制限を計算するには、x を値 1 に置き換えるだけで十分であることがわかります。
特定の数値に加えて、x は無限大になる可能性もあります。 例えば:
x という表現は、x が常に増加し、際限なく無限大に近づくことを意味します。 したがって、x を無限大に置き換えると、関数 1-x は の傾向があることが明らかになりますが、符号が逆になります。
したがって、 限界の計算結局のところ、その特定の値、または制限によって制限された機能が該当する特定の領域を見つけることになります。
上記に基づいて、制限を計算するときは、いくつかのルールを使用することが重要であることがわかります。
理解 限界の本質そして基本的なルール 限界計算を参照すると、問題を解決する方法について重要な洞察が得られます。 制限によって問題が発生する場合は、コメントに書き込んでください。必ずお手伝いします。
注: 法学は法の科学であり、紛争やその他の生活上の困難に役立ちます。
制限を計算するときは、次のことを考慮する必要があります。 以下の基本的なルール:
1. 関数の和(差)の極限は、項の極限の和(差)に等しい:
2. 関数の積の極限は、因子の極限の積に等しい。
3. 2 つの関数の比率の限界は、次の関数の限界の比率に等しいです。
.
4. 定数係数は限界記号を超えて取得できます。
.
5. 定数の限界は定数自体と同じです。
6. 連続関数の場合、極限記号と関数記号を交換できます。
.
関数の限界を見つけるには、関数の式に値を代入することから始める必要があります。 また、数値 0 または ¥ が得られれば、目的の制限が見つかったことになります。
例2.1。制限を計算します。
解決。
.
、 、 、 、 、の形式の式は呼び出されます。 不確実性.
の形式の不確実性が得られた場合、極限を見つけるには、この不確実性を明らかにするように関数を変換する必要があります。
形式の不確実性は、通常、2 つの多項式の比の制限が与えられた場合に得られます。 この場合、制限を計算するには、多項式を因数分解し、共通の因数で減らすことをお勧めします。 この乗数は限界値ではゼロになります × .
例2.2。制限を計算します。
解決。
を代入すると、不確実性が得られます。
.
分子と分母を因数分解してみましょう。
;
公約数で還元して得ましょう
.
2 つの多項式の比の制限が で与えられる場合、形式の不確実性が得られます。 この場合、それを計算するには、両方の多項式を次で割ることをお勧めします。 × 上級学位で。
例2.3。制限を計算します。
解決。∞ を代入すると、 の形式の不確実性が得られるため、式のすべての項を次のように除算します。 ×3.
.
ここでは、 ということが考慮されます。
根を含む関数の極限を計算するときは、関数をその共役で乗算および除算することをお勧めします。
例2.4。制限値の計算
解決。
形式または (1) ∞ の不確実性を明らかにするために限界を計算する場合、最初と 2 番目の顕著な限界がよく使用されます。
ある量の継続的な増加に伴う多くの問題は、2 番目の顕著な限界につながります。
Ya.I.ペレルマンの例を考えて、この数字の解釈を考えてみましょう。 e複利問題で。 貯蓄銀行では、利息が毎年固定資本に追加されます。 加入がより頻繁に行われると、より多くの金額が利子の形成に関与するため、資本はより速く成長します。 純粋に理論的な、非常に単純化した例を見てみましょう。
100 デニールを銀行に預けるとします。 単位 年率 100% に基づきます。 利息が 1 年後にのみ固定資本に追加される場合、この期間までに 100 デンになります。 単位 200通貨単位になります。
では、100 デニズがどのようになるかを見てみましょう。 利息が 6 か月ごとに固定資本に追加される場合の単位。 半年後には100デン。 単位 100 × 1.5 = 150 増加し、さらに 6 か月後には 150 × 1.5 = 225 (密度単位) 増加します。 加入が1年の1/3ごとに行われる場合、1年後には100デンになります。 単位 は 100 × (1 +1/3) 3 "237 (密度単位) になります。
利息の加算期間を0.1年、0.01年、0.001年などと延長していきます。 それから100デンから。 単位 1 年後は次のようになります。
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (密度単位)、
100 × (1+1/100) 100 » 270 (密度単位)、
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (密度単位)。
利息追加条件を無制限に削減すると、蓄積された資本は無限に増加するわけではありませんが、約 271 に等しい一定の制限に近づきます。 たとえ未払い利息が増加したとしても、年率 100% で預け入れられた資本は 2.71 倍を超えて増加することはできません。わずか 1 秒ごとに首都に追加されました。
例2.5。関数の極限を計算する
解決。
例2.6。関数の極限を計算する .
解決。代入すると、不確実性が得られます。
.
三角関数の公式を使用して、分子を積に変換します。
その結果、得られるのは
ここでは 2 番目の顕著な制限が考慮されます。
例2.7。関数の極限を計算する
解決。
.
形式の不確実性を明らかにするには、次の定理に基づくロピタルの規則を使用できます。
定理。 2 つの無限小関数または無限大関数の比の限界は、それらの導関数の比の限界と等しい
このルールは連続して複数回適用できることに注意してください。
例2.8。探す
解決。代入する場合、形式が不確かになります。 ロピタルのルールを適用すると、次のようになります。
機能の継続性
関数の重要な特性は連続性です。
意味。機能が考慮されています 継続的な、引数の値の小さな変化が関数の値の小さな変化を伴う場合。
数学的には、これは次のように書かれます。
と は変数の増分、つまり次の値と前の値の差を意味します: (図 2.3)
図 2.3 – 変数の増分 |
点で連続する関数の定義から、次のことがわかります。 。 この等価性は、次の 3 つの条件が満たされていることを意味します。
解決。機能について 点に不連続性があると疑われます。これを確認して片側限界を見つけてみましょう
したがって、 、 手段 - ブレークポイント
関数の導関数
機能制限- 番号 あるある可変量がその変化の過程で無限に近づく場合、それはその可変量の限界になります。 ある.
あるいは別の言葉で言えば、その数 あ関数の限界です y = f(x)時点で ×0、関数の定義領域からの点のシーケンスが等しくない場合 ×0、そして点に収束します x 0 (lim x n = x0)、対応する関数値のシーケンスは数値に収束します。 あ.
無限大になる傾向のある引数を与えた場合の極限が以下に等しい関数のグラフ L:
意味 あは 関数のlimit(限界値) f(x)時点で ×0一連の点の場合 、に収束します ×0、ただし、含まれていない ×0その要素の 1 つとして (つまり、穴が開いた付近に) ×0)、関数値のシーケンス に収束する あ.
コーシー関数の限界。
意味 あになるだろう 機能の限界 f(x)時点で ×0事前に取得した負でない数値の場合 ε 対応する非負の数値が見つかります δ = δ(ε) 各引数に対して ×、条件を満たす 0 < | x - x0 | < δ 、不等式は満たされます | f(x)A |< ε .
極限の本質とそれを見つけるための基本的なルールを理解していれば、それは非常に簡単になります。 関数の限界は何ですか f (x)で ×努力する ある等しい あ、次のように書かれています。
また、変数の傾向となる値は、 ×、数値だけでなく、無限大 (∞)、場合によっては +∞ または -∞、または制限がまったくない場合もあります。
その方法を理解するには 関数の限界を見つける、解決策の例を見るのが最善です。
関数の限界を見つける必要がある f (x) = 1/×で:
×→ 2, ×→ 0, ×→ ∞.
最初の制限に対する解を見つけてみましょう。 これを行うには、単に次のように置き換えることができます ×傾向のある数値、つまり 2、次のようになります。
関数の 2 番目の極限を見つけてみましょう。 ここでは代わりに純粋な 0 を代入します ×それは不可能です、なぜなら 0で割ることはできません。 ただし、0.01 など、ゼロに近い値を取ることもできます。 0.001; 0.0001; 0.00001 など、および関数の値 f (x)増加します: 100; 1000; 10000; 100,000など。 したがって、次のことが理解できます。 ×→ 0 限界記号の下にある関数の値は無制限に増加します。つまり、 無限に向かって努力する。 つまり:
3番目の制限について。 先ほどと同じ状況なので代替は不可能です ∞ 最も純粋な形で。 無制限に増加する場合を考慮する必要がある ×。 1000 を 1 つずつ置き換えます。 10000; 100000 など、関数の値が得られます。 f (x) = 1/×減少します: 0.001; 0.0001; 0.00001; など、ゼロになる傾向があります。 それが理由です:
関数の極限を計算する必要がある
2 番目の例を解き始めると、不確実性がわかります。 ここから分子と分母の最高次数を求めます。これは次のとおりです。 ×3、分子と分母の括弧から外して、次のように減算します。
答え
の最初のステップ この限界を見つける、代わりに値 1 を代入します ×、不確実性が生じます。 これを解決するには、二次方程式の根を求める方法を使用して分子を因数分解してみましょう。 ×2+2× - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
× 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;×2= 1.
したがって、分子は次のようになります。
答え
これは、関数が該当する特定の値または特定の領域の定義であり、制限によって制限されます。
制限を解決するには、次のルールに従います。
本質と要点を理解した上で、 限界を解くためのルール、それらを解決する方法の基本的な理解が得られます。