x が無限大になる傾向がある場合に制限します。 機能制限

数列と関数の限界の概念。 数列の極限を求める必要がある場合は、lim xn=a のように記述します。 このような一連のシーケンスでは、xn は a になる傾向があり、n は無限大になる傾向があります。 シーケンスは通常、次のように系列として表されます。
x1、x2、x3...、xm、...、xn... 。
シーケンスは増加と減少に分けられます。 例えば:
xn=n^2 - 増加するシーケンス
yn=1/n - シーケンス
したがって、たとえば、シーケンス xn=1/n^ の極限は次のようになります。
lim 1/n^2=0

×→∞
n→∞ であるため、この制限はゼロに等しく、シーケンス 1/n^2 はゼロになる傾向があります。

一般に、可変量 x は有限の限界 a に向かう傾向があり、x は常に a に近づき、量 a は一定です。 これは次のように記述されます: limx =a ですが、n はゼロまたは無限大のいずれかになる傾向があります。 関数は無限にあり、その制限は無限大になる傾向があります。 他の場合、たとえば、関数が電車を減速させる場合、制限がゼロに近づく可能性があります。
制限には多くの特性があります。 通常、どの関数にも制限は 1 つだけあります。 これが極限の主なプロパティです。 その他は以下のとおりです。
* 限度額は以下の限度額の合計と等しくなります。
lim(x+y)=lim x+lim y
* 積の制限は、次の制限の積に等しいです。
lim(xy)=lim x*lim y
* 商の制限は、制限の商と同じです。
lim(x/y)=lim x/lim y
* 定数係数は限界記号の外側で取得されます。
lim(Cx)=C lim x
x → ∞ となる関数 1 /x が与えられると、その極限はゼロになります。 x→0 の場合、このような関数の極限は ∞ です。
三角関数には、次のような規則がいくつかあります。 関数 sin x はゼロに近づくと常に 1 になる傾向があるため、恒等式が成立します。
lim sin x/x=1

多くの関数には、限界を計算するときに不確実性が生じる関数、つまり限界を計算できない状況が存在します。 この状況を打開する唯一の方法はロピタルです。 不確実性には次の 2 種類があります。
* 0/0 の形式の不確かさ
* ∞/∞ の形式の不確実性
たとえば、次の形式の制限が与えられます: lim f(x)/l(x)、および f(x0)=l(x0)=0。 この場合、0/0 の形式の不確実性が生じます。 このような問題を解決するには、両方の関数を微分した後、結果の極限を求めます。 タイプ 0/0 の不確かさの制限は次のとおりです。
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0の場合)
同じ規則が、∞/∞ タイプの不確実性にも当てはまります。 ただし、この場合、次の等式が成り立ちます: f(x)=l(x)=∞
ロピタルのルールを使用すると、不確実性が現れる限界の値を見つけることができます。 の前提条件

ボリューム - 導関数を見つけるときにエラーが発生しません。 したがって、たとえば、関数 (x^2) の導関数は 2x に等しくなります。ここから、次のように結論付けることができます。
f"(x)=nx^(n-1)

いくつかの具体的な例を見てみましょう。

x を数値変数、X をその変化の面積とします。 X に属する各数値 x が特定の数値 y に関連付けられている場合、関数は集合 X 上で定義されていると言い、y = f(x) と書きます。
この場合の X セットは、0X と 0Y の 2 つの座標軸で構成される平面です。 たとえば、関数 y = x 2 を描いてみましょう。 0X 軸と 0Y 軸は X、つまりその変化の領域を形成します。 この図は、関数がどのように動作するかを明確に示しています。 この場合、関数 y = x 2 が集合 X に対して定義されていると言います。

関数のすべての部分値の集合 Y は、値の集合 f(x) と呼ばれます。 つまり、値のセットは、関数が定義される 0Y 軸に沿った間隔です。 描かれた放物線は、f(x) > 0 であることを明確に示しています。 x2 > 0。したがって、値の範囲は になります。 多くの値を0Yまでに見ていきます。

すべての x の集合は f(x) の定義域と呼ばれます。 0X による多くの定義を調べますが、この場合、許容される値の範囲は [-; +]。

点 a (a が属する、または X) は、点 a の近傍に a とは異なる集合 X の点がある場合、集合 X の限界点と呼ばれます。

関数の限界が何であるかを理解する時が来たのでしょうか?

x が数値 a に近づくように関数が従う純粋な b は、と呼ばれます。 機能の限界。 これは次のように書かれています。

たとえば、f(x) = x 2 となります。 関数が x 2 でどのような傾向にある (等しくない) かを調べる必要があります。まず、制限を書き留めます。

グラフを見てみましょう。

0X 軸上の点 2 を通り、0Y 軸に平行な線を引きましょう。 これは点 (2;4) でグラフと交差します。 この点から 0Y 軸に垂線を下ろし、点 4 に到達しましょう。これが関数が x 2 で目指すものです。ここで値 2 を関数 f(x) に代入しても、答えは同じになります。 。

次に進む前に 限界の計算, 基本的な定義を紹介しましょう。

19世紀にフランスの数学者オーギュスタン・ルイ・コーシーによって導入されました。

関数 f(x) が点 x = A を含む特定の区間で定義されているとします。ただし、f(A) の値を定義する必要はまったくありません。

次に、コーシーの定義によれば、 機能の限界すべての C > 0 に対して数 D > 0 が存在する場合、f(x) は特定の数 B となり、x は A に向かう傾向があります。

それらの。 x A における関数 f(x) が限界 B によって制限される場合、これは次のように書かれます。

シーケンス制限任意の小さな正の数 B > 0 に対して、n > N の場合のすべての値が不等式を満たす数 N がある場合、特定の数 A が呼び出されます。

この制限は次のようになります。

限界があるシーケンスは収束と呼ばれ、そうでない場合は発散と呼ばれます。

すでにお気づきのとおり、制限は lim アイコンで示され、その下に変数の条件が書き込まれ、その後関数自体が書き込まれます。 このような集合は「~の対象となる機能の限界」と読み替えられます。 例えば:

- x が 1 になる傾向がある関数の極限。

「1に近づく」とは、xが限りなく1に近づく値をとることを意味する。

この制限を計算するには、x を値 1 に置き換えるだけで十分であることがわかります。

特定の数値に加えて、x は無限大になる可能性もあります。 例えば:

x という表現は、x が常に増加し、際限なく無限大に近づくことを意味します。 したがって、x を無限大に置き換えると、関数 1-x は の傾向があることが明らかになりますが、符号が逆になります。

したがって、 限界の計算結局のところ、その特定の値、または制限によって制限された機能が該当する特定の領域を見つけることになります。

上記に基づいて、制限を計算するときは、いくつかのルールを使用することが重要であることがわかります。

理解 限界の本質そして基本的なルール 限界計算を参照すると、問題を解決する方法について重要な洞察が得られます。 制限によって問題が発生する場合は、コメントに書き込んでください。必ずお手伝いします。

注: 法学は法の科学であり、紛争やその他の生活上の困難に役立ちます。

応用

学生や学童がカバーした内容を完全に統合するには、サイト上でオンラインに制限があります。 当社のリソースを使用してオンラインで制限を確認するにはどうすればよいですか? これは非常に簡単です。変数 x を使用して元の関数を正しく記述し、セレクターから目的の無限大を選択して、「解決」ボタンをクリックするだけです。 関数の極限をある点 x で計算する必要がある場合、まさにこの点の数値を指定する必要があります。 制限の解決策に対する答えは数秒以内に、つまり瞬時に得られます。 ただし、間違ったデータを提供した場合、サービスは自動的にエラーを通知します。 以前に導入した関数を修正し、極限まで正しい解を求めます。 極限を解くために、考えられるすべての手法が使用されますが、L'Hopital の方法は普遍的であり、関数の極限を計算する他の方法よりも速く答えが得られるため、特によく使用されます。 モジュールが存在する例を見るのは興味深いです。 ちなみに、私たちのリソースのルールによれば、モジュールは数学の古典的な縦棒「|」で表されます。 または、ラテン語の「絶対」からの Abs(f(x))。 多くの場合、数列の合計を計算するには、極限を解くことが必要になります。 誰もが知っているように、研究対象の数列の部分和を正しく表現するだけで済みます。部分和の制限値の計算が数値列の最終的な合計となるため、無料の Web サイト サービスのおかげですべてがはるかに簡単になります。 一般に、限界への通過理論はすべての数学的解析の基本概念です。 すべてはまさに限界への通過に基づいています。つまり、限界を解くことが数学的分析の基礎です。 積分では、理論に従って積分が無制限の数の領域の合計として表されるときに、極限への通過も使用されます。 何かの数が無限である場合、つまり、オブジェクトの数が無限になる傾向がある場合、極限遷移理論が常に有効になり、一般に受け入れられている形式では、これは誰もがよく知っている極限に対する解決策です。 サイト上でオンラインで制限を解決することは、リアルタイムで正確かつ即座に回答を受け取ることができるユニークなサービスです。 与えられた点における関数の限界 (関数の限界値)、つまり関数の定義領域の限界点は、その引数が与えられた値に向かう傾向があるため、問題の関数の値が向かう値です。ポイント。 数学的解析を勉強する際に、学生がオンラインで極限を解くという質問をすることは珍しいことではなく、非常に頻繁にあるとさえ言えます。 特殊な場合にのみ詳細な解決策を使用してオンラインで制限を解決することについて疑問に思うとき、制限計算ツールを使用せずに複雑な問題に対処できないことが明らかになります。 当社のサービスによる制限の解決は、正確さと単純さを保証するものです。関数の制限は、数列の制限の概念を一般化したものです。当初、ある点における関数の制限は、次の数列の制限として理解されていました。関数の値の領域の要素。指定された点(考慮されている限界)に収束する関数の定義領域の一連の要素の点の画像で構成されます。 そのような制限が存在する場合、関数は指定された値に収束すると言われます。 そのような制限が存在しない場合、関数は発散していると言われます。 Web サイトを使用してオンラインで制限を解決する方法を知っていれば、ユーザーにとって制限をオンラインで解決するのは簡単です。 集中力を維持し、ミスによって満足のいく成績が得られないというトラブルを引き起こさないようにしましょう。 オンラインでの制限に対する他の解決策と同様に、解決策を取得するためのすべての規則と規制に従って、問題は詳細な解決策とともに便利でわかりやすい形式で提示されます。 ほとんどの場合、関数の極限の定義は近傍言語で定式化されます。 ここで、関数の限界は、関数の定義領域を制限する点でのみ考慮されます。これは、特定の点の各近傍に、まさにこの関数の定義領域からの点が存在することを意味します。 これにより、特定の点に対する関数の引数の傾向について話すことができます。 しかし、定義域の極限点は定義域自体に属する必要はなく、これは極限を解くことで証明されます。たとえば、関数の極限は、次のような開区間の終点で考えることができます。関数が定義されています。 この場合、区間の境界自体は定義領域に含まれません。 この意味で、特定の点のパンクチャされた近傍のシステムは、そのような集合のベースの特殊なケースです。 詳細なソリューションによる制限の解決は、明示的に指定された形式でリアルタイムで行われ、時間と最も重要なことに費用を節約できます。これについては補償が求められません。 関数の定義領域のある点で限界があり、この限界の解がこの点での関数の値に等しい場合、関数はそのような点で連続であることがわかります。 当社の Web サイトでは、制限の解決策を 24 時間、毎日、毎分オンラインで利用できます。制限計算ツールを使用することは非常に重要であり、重要なことは、自分の知識をテストする必要があるときに常に使用することです。 学生はこれらすべての機能から明らかに恩恵を受けています。 国内の大学の数学科の経験豊富な学生が言うように、理論のみを使用して適用して限界を計算することは必ずしも簡単ではありません。 目標があれば、事実は事実のままです。 通常、見つかった限界に対する解は、問題の定式化に局所的に適用することはできません。 学生は、インターネット上で、自分だけでなく誰でも無料で利用できる制限計算ツールを見つけるとすぐに喜ぶでしょう。 一般的な理解では、その目的は数学とみなされるべきです。 オンラインで制限を詳細に見つける方法をインターネットで尋ねた場合、そのリクエストの結果として表示される大量のサイトは、私たちほど役に立ちません。 当事者間の相違は、インシデントの同等性によって倍増されます。 関数の元の正当な制限は、数学的問題自体の定式化によって決定されなければなりません。 ハミルトンは正しかったが、同時代の人々の発言を考慮する価値はある。 オンラインで限界値を計算することは、一見すると思われるほど難しい作業ではありません...揺るぎない理論の真実を壊さないように。 最初の状況に戻ると、限度額を迅速かつ効率的に、きちんとフォーマットされた形式で計算する必要があります。 それ以外の方法は可能でしょうか? このアプローチは明白であり、正当化されます。 限度額計算ツールは、知識を増やし、宿題の作成の質を向上させ、生徒たちの全体的な雰囲気を高めるために作成されたものなので、生徒たちにぴったりです。 できるだけ早く考えるだけで、心が勝利します。 オンライン補間項の制限について明示的に話すことは、その分野の専門家にとって非常に洗練された作業です。 空間内の点における計画外の差異のシステムの比率を予測します。 そして再び、初期式のアフィン変換後の関数の極限が無限大と、指定された x 軸上の局所点の特定の近傍に存在するという事実に基づいて、問題は不確実性に帰着します。 平面上および空間の上部にある点の上昇を分析することが容易になります。 一般的な状況では、現実にも理論にも数式の導出については言及されていないため、オンライン限度額計算ツールはその意味で本来の目的に使用されています。 オンラインで限界を定義しないと、曲線空間を研究する分野でそれ以上の計算を実行するのは難しいと思います。 本当の正解を見つけるという点では、これほど簡単なことはありません。 空間内の特定の点が事前に不確実な場合、極限を計算することは不可能ですか? 研究分野を超えた答えの存在に反論しましょう。 極限の解決は、軸上の点列の研究の始まりとして、数学的解析の観点から議論することができます。 単なる計算の事実は不適切である可能性があります。 数値は無限シーケンスとして表現可能であり、理論に従ってオンラインで極限を詳細に解いた後、最初の表記によって識別されます。 最良の値を優先して正当化されます。 関数制限の結果は、間違って定式化された問題における明らかなエラーとして、不安定なシステムの実際の機械的プロセスの概念を歪める可能性があります。 表示領域に直接意味を表現する能力。 オンライン制限を片側制限値の同様の表記と関連付けることにより、リダクション式を使用して明示的に表現することは避けた方がよいでしょう。 さらに、タスクの比例実行を開始します。 片側極限を計算して無限大に書き込めるようになったら、多項式を展開します。 シンプルな思考が数学的分析における真の結果をもたらします。 限界の単純な解決策は、多くの場合、実行された反対の数学的図解の異なる程度の等価性に帰着します。 ラインとフィボナッチ数はオンラインで限界計算を解読しました。これに応じて、無制限の計算を注文でき、おそらく複雑さは背景に消えます。 3 次元空間のスライス内の平面上にグラフを展開するプロセスが進行中です。 これにより、複雑な数学的問題についてさまざまな見方が必要になりました。 ただし、結果が出るのはそう遠くないでしょう。 ただし、上昇する積を実現する進行中のプロセスでは、行のスペースが歪み、問題の定式化に慣れるためにオンラインで制限を書き留めます。 問題を蓄積するプロセスの自然さによって、数学分野のあらゆる分野の知識の必要性が決まります。 優れた限度計算ツールは、熟練した学生にとって不可欠なツールとなり、デジタル進歩の類似物と比べてその利点をすべて理解するでしょう。 学校では、何らかの理由で、オンラインの制限は教育機関とは異なる呼び方で呼ばれます。 引数が変化すると関数の値が増加します。 ロピタルはまた、関数の限界を見つけることは戦いの半分にすぎず、問題を論理的に結論づけ、拡張された形で答えを提示する必要がある、とも述べた。 現実性は、事件に事実が存在するのに十分です。 オンラインの制限は数学分野の歴史的に重要な側面に関連しており、数論の研究の基礎を形成します。 数式でのページ エンコードは、ブラウザーのクライアント言語で使用できます。 関数を X 軸方向に強制的に変更せずに、許容可能な合法的な方法を使用して制限を計算する方法。 一般に、空間の現実性は、関数の凸性または凹性だけに依存するわけではありません。 問題からすべての未知数を排除し、限界を解決すると、利用可能な数学的リソースの支出が最小限に抑えられます。 記載された問題を解決すると、機能が 100% 修正されます。 結果として得られる数学的期待により、最小の有意な特殊比からの偏差に関する制限がオンラインで詳細に明らかになります。 科学に有利な数学的決定が下されてから 3 日が経過しました。 これは本当に役立つアクティビティです。 理由がなければ、オンライン制限がないことは、状況の問題を解決するための全体的なアプローチの相違を意味します。 将来的には、不確実性が 0/0 の片側制限のより適切な名前が求められるでしょう。 リソースは美しく優れているだけでなく、制限を計算できるので便利です。 偉大な科学者は学生時代、科学論文を書くための関数を研究しました。 10年が経ちました。 さまざまなニュアンスの前に、関数の極限がプリンシパルの発散を借用するという事実を支持する数学的期待について明確にコメントする価値があります。 彼らは注文されたテスト作業に対応しました。 数学では、奇妙なことに、相互に排他的な第三者関係を持つオンラインの限界の研究が、教育における例外的な地位を占めています。 通常の場合に起こることです。 何も再現する必要はありません。 学生の数学理論へのアプローチを分析した上で、極限の解法は最終段階まで徹底的に任せます。 これは次の意味です。本文を読んでください。 屈折は受け取った情報の本質としての数式を一意に決定します。 オンライン限界は、多方向ベクトルの相対性理論の数学的システムの真の位置を決定する本質です。 そういう意味で、私は自分の意見を述べたいと思います。 前のタスクと同様に。 特徴的なオンライン制限は、研究分野におけるプログラム解析の逐次研究の数学的観点にまでその影響を詳細に拡張します。 理論という文脈では、数学は単なる科学よりも高度なものです。 忠誠心は行動によって示されます。 制限が誤って計算された場合、上昇を開始する連続した数字の連鎖を意図的に中断することは依然として不可能です。 両面を自然な形のまま原寸大で表現しています。 数学的解析を探索する機能により、関数の制限が、特定の点におけるイプシロン近傍としての一連の関数シリーズに制限されます。 関数理論とは対照的に、計算上のエラーは排除されませんが、これは状況によって規定されます。 オンライン制限による除算問題は、3 次元空間の非線形システムの高速積に対する変数発散関数を使用して作成できます。 些細なケースが操作の基本です。 このケースを分析するのに学生である必要はありません。 進行中の計算の瞬間の全体、最初の限界の解は、複数の数値の縦軸に沿った進行の積分システム全体の機能として定義されます。 可能な最小の数学的値を基本値として採用します。 結論は明らかです。 重要性の亜極面の発散計算方法の使用には固有の意味がないため、平面間の距離はオンライン限界の理論を拡張するのに役立ちます。 優れた選択肢です。限界計算機がサーバー上にある場合は、領域の表面変化の重要性を歪めることなく、これをそのまま使用できます。そうでない場合は、線形性の問題が大きくなります。 完全な数学的解析により、点の最小近傍の領域におけるシステムの不安定性とその記述が明らかになりました。 縦軸と横軸の交点軸に沿った関数の制限と同様に、研究プロセスの機能の分布に従って、オブジェクトの数値を何らかの最小近傍に囲むことが可能です。 タスクをポイントごとに書き留めてみましょう。 執筆にはいくつかの段階に分かれています。 極限の計算が非常に難しい、あるいはまったく簡単ではないという学術的主張は、例外なくすべての学部生と大学院生の数学的見解の分析によって裏付けられています。 中間結果が間もなく得られる可能性があります。 上記の限界は、それを超えると数学空間の線形性が歪む、オブジェクトのシステム差の絶対最小値としてオンラインで詳細に研究されます。 領域のより大きな領域の分割は、生徒が減算用のオンライン制限計算機を記録した後、複数の不一致を計算するために使用されません。 数学の空間環境学習の問題については、開始後は復習を禁止します。 関数の限界はすでに見つかっているので、平面上でその研究のグラフを構築しましょう。 縦軸を特別な色で強調表示し、線の方向を示しましょう。 安定感があります。 回答を書く間、不確実性が長期間にわたって存在します。 初期条件下での無限遠での極限の差を分析するだけで、ある点での関数の極限を計算します。 この方法はすべてのユーザーに知られているわけではありません。 数学的な分析が必要です。 限界を解決することは、今後何世代にもわたって経験を蓄積します。 プロセスを複雑にしないことは不可能です。 あらゆる世代の学生がその結論に責任を負います。 計算能力の違いという点で限界計算機よりも遅れをとっている特定の点の周りで関数の位置を固定する引数が存在しない場合、上記のすべてが変化し始める可能性があります。 結果の答えを得るために関数を調べてみましょう。 結論は明らかではありません。 数式を変換した後、合計数から陰関数を除外した後、オンラインで正確かつ高精度に極限値を求める最後のステップが残ります。 発行された決定が受け入れられるかどうかは検証の対象となります。 プロセスは続行されます。 数学者は、関数から切り離して数列を特定し、その膨大な経験を利用して、研究の正しい方向性を正当化するために極限を計算しなければなりません。 このような結果には理論的な強化は必要ありません。 数学の記述問題の下で、限界計算オンライン変数空間傾斜角に向かって、X 軸上のゼロ以外の点の特定の近傍内の数値の割合を変更します。 空間内の 2 つの領域を接続しましょう。 関数の極限が空間内の片側値の特性をどのように獲得するかに関するソルバー間の意見の相違は、生徒たちの熱心な教師付きパフォーマンスによって無視されることはできません。 数学のオンライン制限の方向性は、これらの制限そのものの計算における不確実性に関して、最も議論の少ない立場の 1 つをとっています。 二等辺三角形および円の 3 つの半径を一辺とする立方体の高さのオンライン限界計算ツールは、科学の初期段階で学生が暗記するのに役立ちます。 研究面の側から機能する数学的弱体化システムの研究における限界を解決するかどうかは、学生の良心に任せましょう。 数論に対する学生の見解は曖昧です。 誰もが自分の意見を持っています。 先進国の大学と同様に、数学の勉強を正しい方向に進めれば、本当の意味での極限値の計算が可能になります。 数学におけるコタンジェントは極限計算機として計算され、他の 2 つの基本三角関数、つまり引数のコサインとサインの比です。 これはセグメントを半分にする解決策です。 別のアプローチでは、過去の瞬間を有利にして状況を解決できる可能性は低いです。 オンラインの制限を理解せずに詳細に解決するのは非常に困難で無駄であることについては、長い間話し合うことができますが、このアプローチは学生の内部規律をより良い方向に高める傾向があります。

制限を計算するときは、次のことを考慮する必要があります。 以下の基本的なルール:

1. 関数の和(差)の極限は、項の極限の和(差)に等しい:

2. 関数の積の極限は、因子の極限の積に等しい。

3. 2 つの関数の比率の限界は、次の関数の限界の比率に等しいです。

.

4. 定数係数は限界記号を超えて取得できます。

.

5. 定数の限界は定数自体と同じです。

6. 連続関数の場合、極限記号と関数記号を交換できます。

.

関数の限界を見つけるには、関数の式に値を代入することから始める必要があります。 また、数値 0 または ¥ が得られれば、目的の制限が見つかったことになります。

例2.1。制限を計算します。

解決。

.

、 、 、 、 、の形式の式は呼び出されます。 不確実性.

の形式の不確実性が得られた場合、極限を見つけるには、この不確実性を明らかにするように関数を変換する必要があります。

形式の不確実性は、通常、2 つの多項式の比の制限が与えられた場合に得られます。 この場合、制限を計算するには、多項式を因数分解し、共通の因数で減らすことをお勧めします。 この乗数は限界値ではゼロになります × .

例2.2。制限を計算します。

解決。

を代入すると、不確実性が得られます。

.

分子と分母を因数分解してみましょう。

;

公約数で還元して得ましょう

.

2 つの多項式の比の制限が で与えられる場合、形式の不確実性が得られます。 この場合、それを計算するには、両方の多項式を次で割ることをお勧めします。 × 上級学位で。

例2.3。制限を計算します。

解決。∞ を代入すると、 の形式の不確実性が得られるため、式のすべての項を次のように除算します。 ×3.

.

ここでは、 ということが考慮されます。

根を含む関数の極限を計算するときは、関数をその共役で乗算および除算することをお勧めします。

例2.4。制限値の計算

解決。

形式または (1) ∞ の不確実性を明らかにするために限界を計算する場合、最初と 2 番目の顕著な限界がよく使用されます。



ある量の継続的な増加に伴う多くの問題は、2 番目の顕著な限界につながります。

Ya.I.ペレルマンの例を考えて、この数字の解釈を考えてみましょう。 e複利問題で。 貯蓄銀行では、利息が毎年固定資本に追加されます。 加入がより頻繁に行われると、より多くの金額が利子の形成に関与するため、資本はより速く成長します。 純粋に理論的な、非常に単純化した例を見てみましょう。

100 デニールを銀行に預けるとします。 単位 年率 100% に基づきます。 利息が 1 年後にのみ固定資本に追加される場合、この期間までに 100 デンになります。 単位 200通貨単位になります。

では、100 デニズがどのようになるかを見てみましょう。 利息が 6 か月ごとに固定資本に追加される場合の単位。 半年後には100デン。 単位 100 × 1.5 = 150 増加し、さらに 6 か月後には 150 × 1.5 = 225 (密度単位) 増加します。 加入が1年の1/3ごとに行われる場合、1年後には100デンになります。 単位 は 100 × (1 +1/3) 3 "237 (密度単位) になります。

利息の加算期間を0.1年、0.01年、0.001年などと延長していきます。 それから100デンから。 単位 1 年後は次のようになります。

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (密度単位)、

100 × (1+1/100) 100 » 270 (密度単位)、

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (密度単位)。

利息追加条件を無制限に削減すると、蓄積された資本は無限に増加するわけではありませんが、約 271 に等しい一定の制限に近づきます。 たとえ未払い利息が増加したとしても、年率 100% で預け入れられた資本は 2.71 倍を超えて増加することはできません。わずか 1 秒ごとに首都に追加されました。

例2.5。関数の極限を計算する

解決。

例2.6。関数の極限を計算する .

解決。代入すると、不確実性が得られます。

.

三角関数の公式を使用して、分子を積に変換します。

その結果、得られるのは

ここでは 2 番目の顕著な制限が考慮されます。

例2.7。関数の極限を計算する

解決。

.

形式の不確実性を明らかにするには、次の定理に基づくロピタルの規則を使用できます。

定理。 2 つの無限小関数または無限大関数の比の限界は、それらの導関数の比の限界と等しい

このルールは連続して複数回適用できることに注意してください。

例2.8。探す

解決。代入する場合、形式が不確かになります。 ロピタルのルールを適用すると、次のようになります。

機能の継続性

関数の重要な特性は連続性です。

意味。機能が考慮されています 継続的な、引数の値の小さな変化が関数の値の小さな変化を伴う場合。

数学的には、これは次のように書かれます。

と は変数の増分、つまり次の値と前の値の差を意味します: (図 2.3)

図 2.3 – 変数の増分

点で連続する関数の定義から、次のことがわかります。 。 この等価性は、次の 3 つの条件が満たされていることを意味します。

解決。機能について 点に不連続性があると疑われます。これを確認して片側限界を見つけてみましょう

したがって、 、 手段 - ブレークポイント


関数の導関数

機能制限- 番号 あるある可変量がその変化の過程で無限に近づく場合、それはその可変量の限界になります。 ある.

あるいは別の言葉で言えば、その数 関数の限界です y = f(x)時点で ×0、関数の定義領域からの点のシーケンスが等しくない場合 ×0、そして点に収束します x 0 (lim x n = x0)、対応する関数値のシーケンスは数値に収束します。 .

無限大になる傾向のある引数を与えた場合の極限が以下に等しい関数のグラフ L:

意味 関数のlimit(限界値) f(x)時点で ×0一連の点の場合 、に収束します ×0、ただし、含まれていない ×0その要素の 1 つとして (つまり、穴が開いた付近に) ×0)、関数値のシーケンス に収束する .

コーシー関数の限界。

意味 になるだろう 機能の限界 f(x)時点で ×0事前に取得した負でない数値の場合 ε 対応する非負の数値が見つかります δ = δ(ε) 各引数に対して ×、条件を満たす 0 < | x - x0 | < δ 、不等式は満たされます | f(x)A |< ε .

極限の本質とそれを見つけるための基本的なルールを理解していれば、それは非常に簡単になります。 関数の限界は何ですか f (x)×努力する ある等しい 、次のように書かれています。

また、変数の傾向となる値は、 ×、数値だけでなく、無限大 (∞)、場合によっては +∞ または -∞、または制限がまったくない場合もあります。

その方法を理解するには 関数の限界を見つける、解決策の例を見るのが最善です。

関数の限界を見つける必要がある f (x) = 1/×で:

×→ 2, ×→ 0, ×∞.

最初の制限に対する解を見つけてみましょう。 これを行うには、単に次のように置き換えることができます ×傾向のある数値、つまり 2、次のようになります。

関数の 2 番目の極限を見つけてみましょう。 ここでは代わりに純粋な 0 を代入します ×それは不可能です、なぜなら 0で割ることはできません。 ただし、0.01 など、ゼロに近い値を取ることもできます。 0.001; 0.0001; 0.00001 など、および関数の値 f (x)増加します: 100; 1000; 10000; 100,000など。 したがって、次のことが理解できます。 ×→ 0 限界記号の下にある関数の値は無制限に増加します。つまり、 無限に向かって努力する。 つまり:

3番目の制限について。 先ほどと同じ状況なので代替は不可能です 最も純粋な形で。 無制限に増加する場合を考慮する必要がある ×。 1000 を 1 つずつ置き換えます。 10000; 100000 など、関数の値が得られます。 f (x) = 1/×減少します: 0.001; 0.0001; 0.00001; など、ゼロになる傾向があります。 それが理由です:

関数の極限を計算する必要がある

2 番目の例を解き始めると、不確実性がわかります。 ここから分子と分母の最高次数を求めます。これは次のとおりです。 ×3、分子と分母の括弧から外して、次のように減算します。

答え

の最初のステップ この限界を見つける、代わりに値 1 を代入します ×、不確実性が生じます。 これを解決するには、二次方程式の根を求める方法を使用して分子を因数分解してみましょう。 ×2+2× - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 D=√16 = 4

× 1.2 = (-2±4)/2x 1 = -3;×2= 1.

したがって、分子は次のようになります。

答え

これは、関数が該当する特定の値または特定の領域の定義であり、制限によって制限されます。

制限を解決するには、次のルールに従います。

本質と要点を理解した上で、 限界を解くためのルール、それらを解決する方法の基本的な理解が得られます。



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