クラス： 9

目標: 凸多角形の角度の合計を求める公式を導き出します。

多角形の各頂点の外角の合計の問題を調べます。
認知活動に対する前向きな動機を形成する。
論理的思考を養う。
注意力、観察力、図面を分析する能力を養います。
獲得した知識を適用して問題を解決する能力を開発します。
生徒のコミュニケーション文化を育みます。

レッスンの進行状況

ロシアの偉大な科学者、ロシアの地の誇り、

ミハイロ・ワシリエヴィチ・ロモノーソフは、「不屈の努力は障害を克服する」と述べた。今日の授業で私たちの取り組みがあらゆる障害を克服するのに役立つことを願っています。

1. 基礎知識を更新する。（正面調査）

プレゼンテーション。 (スライド 2 ～ 4)

– ポリゴンの定義を作成し、その主要な要素に名前を付けます。
– 凸多角形の定義。
– 凸多角形である既知の四角形の例を挙げてください。
– 三角形は凸多角形とみなせますか?
– 凸多角形の外角とは何ですか?

2. 問題の説明 (レッスンの主題への終了)。

口腔正面作業。

これらの多角形の角度の合計を求めます (スライド 5 ～ 6)

– 三角形; 矩形：
– 台形; 任意の七角形。

難しい場合には、先生は次のように質問します。

– 台形の定義を定式化します。
– 台形の底辺に名前を付けます。
– 角度 A と D のペアについて何が言えますか?それらにはどのような特性がありますか?
– 図面内のいくつかの内部の一方的なキャッチにも名前を付けることは可能ですか?
– 七角形の角度の和を求めることができましたか? 質問は何ですか? (任意の多角形の角度の合計を求める公式はありますか?)

したがって、今日の私たちの知識がこの問題を解決するには十分ではないことは明らかです。

レッスンのテーマをどのように組み立てればよいでしょうか? – 角度の合計凸多角形。

3. 解決策問題。この質問に答えるために、少し調べてみましょう。

私たちは三角形の角度の和に関する定理をすでに知っています。何かの方法で使用できますか？

– そのためには何をする必要がありますか? (多角形を三角形に分割します。)

– 多角形を三角形に分割するにはどうすればよいでしょうか? それについて考え、話し合って、最善の選択肢を提案してください。

作業はグループで行われ、各グループは「Geo Gebra」プログラムがインストールされた別々のコンピューターで作業します。

作業の最後に、教師はグループの作業の結果を画面に表示します。 (スライド 7)

– 提案されたオプションを分析し、研究に最適なオプションを選択してみましょう。

選択基準を決めましょう: パーティションの結果として何を取得したいですか? (構築された三角形のすべての角度の合計は、多角形の角度の合計と等しくなければなりません。)

– すぐに破棄できる選択肢は何ですか? なぜ？

(オプション 1。すべての三角形の角度の合計が多角形の角度の合計と等しくないためです。)

– どのオプションが最も適していますか? なぜ？ (オプション 3)

どうやってこのオプションを入手しましたか? (多角形の 1 つの頂点から対角線を描きます)

描画	n – 多角形の頂点の数	1つの頂点から引かれる対角線の数	取得した三角形の数
	4
	5
	6
	7
	n

– 多角形の頂点の数、1つの頂点から描画できる対角線の数、および得られる三角形の数の関係を確立してみましょう。

各グループには、研究プロセス中に記入する必要がある表が渡されます。

グループで話し合った後、子供たちは次のような結論を導き出します。
n 角形の 1 つの頂点から、n – 3 個の対角線を描画できます (選択した頂点自体と隣接する 2 つの頂点に対角線を描画できないため)。この場合、n – 2 個の三角形が得られます。

したがって、凸多角形の角度の合計は 180 0 (n-2) になります。

– 多角形を三角形に分割するための提案されたオプションに戻りましょう。

この定理を証明するために、図 4 で提案されているバージョンを使用することは可能でしょうか?

– このパーティションで三角形はいくつ得られますか? ( nもの）
すべての三角形の角度の合計は、多角形の角度の合計とどのくらい異なりますか? (360 0時)
– この場合、多角形の角度の合計はどのように計算できますか?

(180n– 360 = 180p – 180x2 = 180(p -2))(Cリード8)

– 図 2 で提案されているオプションは、パーティショニングのために設定した主な要件を満たしていますか? （はい。）

– 多角形の角度の合計を求めるためにこれを使用することが推奨されないのはなぜですか? (得られる三角形の数を数えるのはさらに困難です。)

さて、レッスンの最初に解けなかった問題に戻りましょう。

(子供たちは口頭で七角形の角度の合計を計算し、さらに 2 つの同様の練習をします。) (スライド 9 と 10)

4. 得た知識の応用 .

凸多角形の内角の和を求める公式を導き出しました。次に、多角形の各頂点で取られる外角の合計について話しましょう。

そこで問題は、凸六角形と三角形の各頂点の外角の合計はどちらが大きいかということです。 (スライド 11)

子どもたちは自分の推測を表現します。先生は、この問題を解決するために研究をすることを提案します。

各グループは、独立して解決するタスクを受け取ります。

グループ1。

1) 正三角形の各頂点の外角の合計を求めます。
2) – 三角形の場合、角度の度値はそれぞれ 70 0、80 0、30 0 に等しくなります。

グループ2。

1) 長方形の各頂点の外角の合計を求めます。
2) – 内角がそれぞれ 70 0、80 0、120 0、90 0 に等しい四角形。

グループ3。

1) 正六角形の各頂点の外角の合計を求めます。
2) – 六角形の場合、その内角はそれぞれ 170 0、80 0、130 0、100 0、70 0、170 0 に等しくなります。

仕事が終わった後、子供たちは結果を報告し、教師はそれをテーブルに入力してスクリーンに表示します。 (スライド 12)

では、得られた結果からどのような結論が導き出せるでしょうか? (任意の多角形について、各頂点で 1 つずつ取られる外角の合計は 360 0 です。)

ここで、任意の n-gon についてこの事実を証明してみましょう。

問題が発生した場合は、証明計画について集合的に話し合います。

1. 多角形の内角をα、β、γなどで指定します。
2. 導入された表記法を使用して外角の度数を表現します
3. 多角形の外角の合計を求める式を作成します。
4. 結果の式を変換し、前に取得した多角形の内角の合計の式を使用します。

証明は黒板に書かれています。

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 p – (α+ β +γ + …) = 180 p – 180(p – 2) = 360

5. 研究した資料の統合。問題解決。

問題 1. 内角 45 0、68 0、73 0、56 0 を持つ凸多角形はありますか? 答えを説明してください。

矛盾証明をしてみましょう。凸多角形に 4 つの鋭角な内角がある場合、その外角の中には鈍角も 4 つあります。これは、多角形のすべての外角の合計が 4 * 90 0 = 360 0 より大きいことを意味します。私たちには矛盾があります。この発言は証明されました。

凸多角形は 3 つの角度が 80 度で、残りの角度は 150 度です。凸多角形には角度はいくつありますか?

なぜなら： 凸 n 角形の場合、角度の合計は 180°(n – 2) です。 , 次に、180(n – 2)=3*80 + x*150、ここで、問題の条件に従って 80 度の角度が 3 つ与えられますが、他の角度の数はまだ不明です。それらの番号を x で示します。

ただし、左側のエントリから多角形の角度の数を n と決定しました。問題の条件から 3 つの角度の値がわかっているため、x = n-3 であることは明らかです。

したがって、方程式は次のようになります: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

結果として得られる方程式を解きます

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

答え: 5 つのピークです。

6. レッスンをまとめます。

それで、要約しましょう。今日のレッスンの資料に基づいて、他のグループのメンバーへの質問を作成します。

どの質問が一番良いと思いますか?

グループの各メンバーの共同作業への参加の程度について話し合い、最も活発なメンバーの名前を挙げてください。

グループ内の誰の仕事が最も効果的でしたか?

7. 宿題:

1. タスク。

多角形では、3 つの角度はそれぞれ 113 度であり、残りの角度は等しく、その度数は整数です。多角形の頂点の数を求めます。

2. パラグラフ 114、169 ～ 171 ページ、Pogorelov A.V. 「ジオメトリー 7 ～ 9」

多角形の内角は、多角形の隣接する 2 つの辺によって形成される角度です。たとえば、∠ ABCは内角です。

多角形の外側の角は、多角形の一方の辺ともう一方の辺の延長部分によって形成される角度です。たとえば、∠ L.B.C.は外角です。

多角形の角の数は常にその辺の数と等しくなります。これは内隅と外隅の両方に当てはまります。多角形の各頂点に対して 2 つの等しい外角を構築できますが、常にそのうちの 1 つだけが考慮されます。したがって、多角形の角度の数を見つけるには、その辺の数を数える必要があります。

内角の和

凸多角形の内角の合計は、180°と辺の数から 2 を引いた積に等しくなります。

s = 2d(n - 2)

どこ sは角度の合計、2 d- 2 つの直角 (つまり、2 90 = 180°)、および n- 辺の数。

上から描くとあポリゴン ABCDEF考えられるすべての対角線を計算してから、それを三角形に分割します。三角形の数は、多角形の辺より 2 つ少なくなります。

したがって、多角形の角度の合計は、結果として得られるすべての三角形の角度の合計と等しくなります。各三角形の角度の合計は 180° なので、(2 d)、すべての三角形の角度の合計は積 2 に等しくなります。 dそれらの量によって:

s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720°

この式から、内角の合計は定数値であり、多角形の辺の数に依存することがわかります。

外角の和

凸多角形の外角の和は 360° (または 4 d).

s = 4d

どこ s外角の合計、4 d- 4 つの直角 (つまり、4 90 = 360°)。

多角形の各頂点における外角と内角の合計は 180° (2 d)、それらは隣接する角度であるためです。たとえば、∠ 1 そして∠ 2 :

したがって、ポリゴンが nパーティー（そして n頂点)、すべての外角と内角の合計 n頂点は 2 になります DN。したがって、この金額のうち 2 DN外角の合計のみを取得するには、そこから内角の合計、つまり 2 を引く必要があります。 d(n - 2):

s = 2DN - 2d(n - 2) = 2DN - 2DN + 4d = 4d

ビデオチュートリアル 2: ポリゴン。問題解決

講義：ポリゴン。凸多角形の角度の和

ポリゴン- これらは私たちの周りのいたるところにある人物です - これはミツバチが蜂蜜を蓄える蜂の巣の形、建築構造などです。

前述したように、多角形は 3 つ以上の角度を持つ形状です。それらは閉じた破線で構成されます。

さらに、多角形の角度は外側と内側の角度にすることができます。たとえば、星は 10 個の角を持つ図形で、そのうちのいくつかは凸面で、他のものは凹面です。

凸多角形の例:

この図は正多角形を示していることに注意してください。これらは学校の数学コースで詳細に学習されるものです。

どの多角形にも、辺の数と同じ数の頂点があります。また、隣接する頂点とは、1 つの共通の側面を持つ頂点であることにも注意してください。たとえば、三角形にはすべての頂点が隣接しています。

正多角形の角度が多ければ多いほど、その次数の尺度は大きくなります。ただし、凸多角形の角度の度数は 180 度以上にすることはできません。

多角形の一般的な度数を決定するには、次の式を使用する必要があります。

ポリゴン。ポリゴンの種類。凸多角形の内角と外角。凸n角形の内角の和(定理)。凸n角形の外角の和(定理)。正多角形。正多角形に外接する円（定理、系1、2）

特定の頂点における凸多角形の内角は、この頂点で収束する辺によって形成される角度です。特定の頂点における凸多角形の外角は、この頂点における内角に隣接する角度です。内隅外隅

定理。凸多角形の内角の合計は (n – 2) · 180 ® です。ここで、n は多角形の辺の数です。与えられた: 凸 n 角形。証明: α = (n – 2) ·180 о 証明 n 角形の内側で、任意の点 O をとり、それをすべての頂点に接続します。多角形は、共通の頂点 O を持つ n 個の三角形に分割されます。各三角形の角度の合計は 180° であるため、すべての三角形の角度の合計は 180° n になります。この合計には、多角形のすべての内角の合計に加えて、頂点 O での三角形の角度の合計 (360 度に等しい) が含まれます。したがって、多角形のすべての内角の合計は、180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o に等しくなります。したがって、n = (n – 2) 180 o となります。等。 ○

定理。各頂点で 1 つずつ取得した凸多角形の外角の合計は、n に依存せず、360 に等しくなります。ここで、n は n 角形の辺の数です。証拠。多角形の外角は対応する内角に隣接しており、隣接する角の合計は 180 に等しいため、多角形の外角の合計は次のようになります。 180 о n – (n – 2) · 180® = 180®・n – 180®・n® = 360®。外部と内部内部したがって、凸多角形の各頂点で 1 つ取られる外角の合計は、n には依存せず、360° に等しくなります。ここで、n は n 角形の辺の数です。等。

定理。どの正多角形でも、円を内接することができるのは 1 つだけです。証拠。 A1,A2,…,A n を正多角形、O を外接円の中心とする。 OA1A2 = OA2A3 = OAnA1 であるため、頂点 O から引かれたこれらの三角形の高さも ОН1 = ОН2 =…= ОНn に等しくなります。したがって、中心 O と半径 OH1 の円は、点 H1、H2、...、Hn を通過し、これらの点で多角形の側面に接触します。円は指定された多角形に内接されます。 Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 アン

内接円は 1 つだけであることを証明しましょう。中心 O と半径 OA を持つ別の内接円があるとします。その場合、その中心は多角形の辺から等距離にあります。つまり、点 O1 は多角形の角の各二等分線上にあり、したがってこれらの二等分線の交点の点 O と一致します。この円の半径は、点 O から多角形の辺までの距離、つまり 0 に等しくなります。は OH1 に等しいことが証明されます。系 1 正多角形に内接する円は、多角形の辺の中点で接します。系２正多角形に外接する円の中心は、同じ多角形に内接する円の中心と一致する。

注記。この資料には、定理とその証明、および凸多角形の角度の和に関する定理の適用を実際の例を使用して説明するいくつかの問題が含まれています。.

凸多角形の角度の和に関する定理

証拠.

凸多角形の角度の和に関する定理を証明するには、三角形の角度の和は 180 度に等しいというすでに証明されている定理を使用します。

A 1 A 2... A n を特定の凸多角形とし、n > 3 とします。A 1 の頂点から多角形の対角線をすべて描画します。多角形を n – 2 個の三角形に分割します。 Δ A 1 A 2 A 3、Δ A 1 A 3 A 4、...、Δ A 1 A n – 1 A n 。多角形の角度の合計は、これらすべての三角形の角度の合計です。各三角形の角度の合計は 180°、三角形の数は (n – 2) です。 したがって、凸 n 角形 A 1 A 2...A n の角度の合計は 180° (n – 2) に等しくなります。

タスク。

凸多角形は 3 つの角度が 80 度で、残りの角度は 150 度です。凸多角形には角度はいくつありますか?

解決。

定理は次のように述べています。 凸 n 角形の場合、角度の合計は 180°(n-2) です。 .

したがって、私たちの場合は次のようになります。

180(n-2)=3*80+x*150、ここで

問題の条件に応じて 80 度の角度が 3 つ与えられますが、残りの角度の数はまだ不明なので、その数を x とします。

したがって、方程式は次のようになります。

180(n-2)=240+150(n-3)

結果として得られる方程式を解きます

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

答え： 5つのピーク

タスク。

各角度が 120 度未満の場合、多角形はいくつの頂点を持つことができますか?

解決。

この問題を解決するために、凸多角形の角度の和に関する定理を使用します。

定理は次のように述べています。 凸 n 角形の場合、すべての角度の合計は 180°(n-2) です。 .

これは、私たちのケースでは、最初に問題の境界条件を推定する必要があることを意味します。つまり、それぞれの角度が 120 度に等しいと仮定します。得られるものは次のとおりです。

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (この式については以下で個別に検討します)

得られた方程式に基づいて、角度が 120 度未満の場合、多角形の角度の数は 6 未満であると結論付けます。

説明：

式 180n - 120n = 360 に基づくと、右辺の減数が 120n 未満であれば、その差は 60n より大きくなるはずです。したがって、割り算の商は常に 6 より小さくなります。

答え：多角形の頂点の数は 6 つ未満になります。

タスク

多角形では、3 つの角度はそれぞれ 113 度であり、残りの角度は等しく、その度数は整数です。多角形の頂点の数を求めます。

解決。

この問題を解決するために、凸多角形の外角の和に関する定理を使用します。

定理は次のように述べています。 凸n角形の場合、すべての外角の合計は360°です。 .

したがって、

3*(180-113)+(n-3)x=360

式の右側は外角の合計、左側は 3 つの角度の合計が条件によって既知であり、残りの度数 (3 つの角度が既知であるため、それぞれの数は n-3) です。をxと指定します。

159 は、53 と 3 の 2 つの因数のみに分解されます。53 は素数です。つまり、他に因子のペアは存在しません。

したがって、ｎ－３＝３、ｎ＝６、すなわち、多角形の角の数は６つである。

答え：六隅

タスク

凸多角形が最大 3 つの鋭角を持つことができることを証明します。

解決

知られているように、凸多角形の外角の合計は 360 0 に等しくなります。矛盾証明をしてみましょう。凸多角形に少なくとも 4 つの鋭角な内角がある場合、その外角には少なくとも 4 つの鈍角が含まれます。これは、多角形のすべての外角の合計が 4 * 90 0 = 360 0 より大きいことを意味します。私たちには矛盾があります。この発言は証明されました。