ランクとクラス。数字

自然数

数を数えるときに使われる数字を自然数といいます。たとえば、$1、2、3$ などです。自然数は自然数の集合を形成し、$N$ で表されます。この指定はラテン語に由来しています。 ナチュラリス-自然。

反対の数字

定義 1

2 つの数値が符号のみ異なる場合、それらは数学で呼ばれます 反対の数字。

たとえば、数値 $5$ と $-5$ は反対の数値です。それらは符号のみが異なります。

注1

どのような数であっても、反対の数は 1 つだけ存在します。

注2

数字のゼロはそれ自体の反対の数字です。

整数

定義 2

全体数値は自然数、その反対数、およびゼロです。

整数のセットには、自然数とその反対の数のセットが含まれます。

整数 $Z.$ を表す

小数

$\frac(m)(n)$ の形式の数値は、分数または分数と呼ばれます。分数は 10 進数形式で書くこともできます。小数の形式で。

例: $\ \frac(3)(5)$ 、 $0.08$ など。

整数と同様に、小数も正または負のいずれかになります。

有理数

定義 3

有理数整数と分数のセットを含む数値のセットです。

整数と分数の両方の有理数は、分数 $\frac(a)(b)$ として表すことができます。ここで、$a$ は整数、$b$ は自然数です。

したがって、同じ有理数を異なる方法で書くことができます。

例えば、

これは、任意の有理数が有限小数または無限小数周期分数として表現できることを示しています。

有理数の集合は $Q$ で表されます。

有理数に対して算術演算を実行すると、結果として得られる答えは有理数になります。普通の分数を足し算、引き算、掛け算、割り算すると普通の分数が得られるので、これを証明するのは簡単です。

無理数

数学のコースを勉強していると、合理的ではない数値を扱わなければならないことがよくあります。

たとえば、有理数以外の数値セットの存在を検証するには、方程式 $x^2=6$ を解いてみましょう。この方程式の根は、数値 $\surd 6$ と -$\surd 6$ になります。。これらの数字は合理的ではありません。

また、辺 $3$ の正方形の対角線を求める場合、ピタゴラスの定理を適用すると、対角線は $\surd 18$ に等しいことがわかります。この数字も合理的ではありません。

このような数字はこう呼ばれます 不合理な。

したがって、無理数は無限の非周期的な小数です。

頻繁に遭遇する無理数の 1 つは $\pi $ です。

無理数を使用して算術演算を実行すると、結果は有理数または無理数のいずれかになります。

無理数の積を求める例を使ってこれを証明してみましょう。見つけてみましょう:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

決定により

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

この例は、結果が有理数または無理数のいずれかになる可能性があることを示しています。

算術演算に有理数と無理数が同時に含まれる場合、結果は無理数になります (もちろん、$0$ による乗算は除きます)。

実数

実数の集合は、有理数と無理数の集合を含む集合です。

実数の集合は $R$ で表されます。記号的には、実数のセットは $(-?;+?).$ で表すことができます。

無理数は無限小数の非周期分数であると前述しましたが、あらゆる有理数は有限小数または無限小数の周期分数として表すことができるため、有限小数および無限小数は実数になります。

代数演算を実行するときは、次のルールに従います。

正の数を乗算および除算すると、結果の数は正になります。
負の数を乗算および除算すると、結果の数は正になります
負の数と正の数を掛けたり割ったりすると、結果の数は負になります。

実数同士を比較することもできます。

数値は、オブジェクトを定量化するために使用される抽象化です。数字は原始社会で、人々が物を数える必要性に関連して生まれました。時間が経つにつれ、科学が発展するにつれて、数字は最も重要な数学的概念になりました。

問題を解決したり、さまざまな定理を証明したりするには、数値にはどのような種類があるのかを理解する必要があります。数値の基本的な種類には、自然数、整数、有理数、実数が含まれます。

自然数- これらは、オブジェクトを自然に数えることによって、またはむしろそれらに番号を付けることによって得られる数です (「最初」、「2 番目」、「3 番目」...)。自然数の集合はラテン文字で表されます N （英語のナチュラルという単語に基づいて覚えることができます）。言えることは、 N ={1,2,3,....}

整数– これらはセットからの数値です (0、1、-1、2、-2、...)。このセットは、自然数、負の整数 (自然数の反対)、および数値 0 (ゼロ) の 3 つの部分で構成されます。整数はラテン文字で表されます Z 。言えることは、 Z ={1,2,3,....}.

有理数は分数で表される数値です。m は整数、n は自然数です。ラテン文字は有理数を表すために使用されます Q 。すべての自然数と整数は有理数です。

実数は連続量を測定するために使用される数値です。実数の集合はラテン文字 R で表されます。実数には、有理数と無理数が含まれます。無理数とは、有理数を使ってさまざまな演算（根を取る、対数を計算するなど）を行った結果得られるが、有理数ではない数値です。

1. 番号体系。

番号体系は、数字に名前を付けて書き込む方法です。数値を表現する方法に応じて、数値は位置 - 10 進数と非位置 - ローマ数字に分けられます。

PC では 2 桁、8 桁、16 桁の番号体系が使用されます。

違い: 16 進数法で数字を書くことは、他の書き方と比べてはるかに短いです。必要なビット容量が少なくなります。

位置番号体系では、各桁は数値内の位置に関係なく一定の値を保持します。位置番号体系では、各数字はその意味を決定するだけでなく、数字内でその数字が占める位置にも依存します。各記数体系は基数によって特徴付けられます。基数は、特定の記数法で数値を記述するために使用されるさまざまな桁数です。基数は、隣接する位置に移動したときに同じ桁の値が何回変化するかを示します。コンピューターは 2 ナンバーシステムを使用します。システムのベースは任意の数値にすることができます。任意の位置の数値の算術演算は、10 記数法と同様の規則に従って実行されます。番号 2 では、算術計算を実行するためにコンピューターに実装された 2 進数演算が使用されます。

2 進数の加算:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

減算:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

乗算:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

コンピュータでは、8 番号体系と 16 番号体系が広く使用されています。これらは 2 進数を短縮するために使用されます。

2. セットの概念。

「集合」の概念は数学の基本的な概念であり、定義はありません。あらゆるセットの生成の性質は多様で、特に周囲の物体、生きている自然などです。

定義 1: セットを形成するオブジェクトは次のように呼ばれます。 このセットの要素。セットを表すには、ラテンアルファベットの大文字が使用されます。たとえば、X、Y、Z、およびその要素は、(x,y,z) のように、カンマで区切られた中括弧内の小文字で記述されます。

セットとその要素の表記の例:

X = (x 1, x 2,…, x n) – n 個の要素で構成されるセット。要素 x が集合 X に属している場合は、xÎX と書く必要があります。そうでない場合、要素 x は集合 X に属していないため、xÏX と書かれます。抽象セットの要素には、たとえば、数字、関数、文字、図形などが考えられます。数学では、どの節でも集合の概念が使用されます。特に、いくつかの特定の実数セットを与えることができます。不等式を満たす実数 x のセット:

· a ≤ x ≤ b と呼ばれます セグメントで表されます。

a ≤ x< b или а < x ≤ b называется ハーフセグメント; で表されます。

・A< x < b называется 間隔(a,b) で表されます。

定義 2: 有限数の要素を持つ集合を有限といいます。例。 X = (x 1 、x 2 、x 3 )。

定義 3: セットは呼び出されます 無限の、それが無限の数の要素で構成されている場合。たとえば、すべての実数の集合は無限です。入力例。 X = (x 1、x 2、...)。

定義 4: 要素を 1 つも持たない集合は空集合と呼ばれ、記号 Æ で表されます。

セットの特徴はパワーの概念です。パワーはその要素の数です。 1 対 1 対応 y= f(x がある場合、セット Y=(y 1 , y 2 ,...) はセット X=(x 1 , x 2 ,...) と同じカーディナリティを持ちます。 ) これらのセットの要素の間にあります。このようなセットは同じカーディナリティを持つか、同じカーディナリティを持ちます。空のセットの基数はゼロです。

3. セットを指定する方法。

セットはその要素によって定義されると考えられています。 セットが与えられ、任意のオブジェクトについて言えるとしたら、それはこのセットに属するか、属さないかです。 次の方法でセットを指定できます。

1) セットが有限の場合、そのすべての要素をリストすることによって定義できます。したがって、セットの場合は、あ要素で構成されています 2, 5, 7, 12 、そして彼らは書きます A = (2、5、7、12)。集合の要素の数あ等しい 4 、彼らは書いています n(A) = 4。

ただし、セットが無限の場合、その要素を列挙することはできません。列挙による集合や多数の要素を含む有限集合を定義することは困難です。このような場合、セットを指定する別の方法が使用されます。

2) 集合は、その要素の固有のプロパティを示すことによって指定できます。 特徴的な性質- これは、セットに属するすべての要素が持つプロパティであり、セットに属さない単一の要素ではありません。たとえば、2 桁の数値の集合 X を考えてみましょう。この集合の各要素が持つ性質は、「2 桁の数値である」ということです。この特徴的なプロパティにより、オブジェクトが集合 X に属するか属さないかを決定することができます。たとえば、数字 45 はこのセットに含まれています。これは 2 桁であり、数字 4 は集合 X に属しません。これは明確であり、2 つの値を持ちません。同じセットが、その要素の異なる特性プロパティを示すことによって定義できる場合があります。たとえば、正方形のセットは、辺が等しい長方形のセットとして、また直角をもつひし形のセットとして定義できます。

集合の要素の特徴的なプロパティを記号形式で表現できる場合、対応する表記が可能です。セットならで以下のすべての自然数で構成されます 10, それから彼らは書きます B = (x N | x<10}.

2 番目の方法はより一般的で、有限セットと無限セットの両方を指定できます。

4. 数値セット。

数値 - 要素が数値であるセット。数値セットは実数 R の軸上で指定されます。この軸上でスケールが選択され、原点と方向が示されます。最も一般的な数値セットは次のとおりです。

· - 自然数のセット。

· - 整数のセット。

· - 有理数または分数のセット。

· - 実数のセット。

5. セットの力。有限集合と無限集合の例を挙げてください。

セット間に 1 対 1 または 1 対 1 の対応がある場合、つまりペアごとの対応がある場合、セットは同等に強力または同等であると呼ばれます。あるセットの各要素が別のセットの単一の要素に関連付けられている場合、またはその逆の場合、あるセットの異なる要素が別のセットの異なる要素に関連付けられている場合。

たとえば、30 人の生徒のグループを考え、30 枚のチケットが含まれるスタックから各生徒に 1 枚のチケットを与えるとします。このような 30 人の生徒と 30 枚のチケットのペアの対応は 1 対 1 になります。

同じ 3 番目のセットを持つ同じカーディナリティの 2 つのセットは、同じカーディナリティです。セット M と N のカーディナリティが等しい場合、これらのセット M と N のそれぞれのすべてのサブセットのセットもカーディナリティが同じになります。

特定のセットのサブセットとは、その各要素が特定のセットの要素となるようなセットです。したがって、車のセットとトラックのセットは、車のセットのサブセットになります。

実数の集合の累乗は連続体の累乗と呼ばれ、「alef」という文字で表されます。 א 。最小の無限領域は、自然数の集合の基数です。すべての自然数の集合の基数は通常、(alef-zero) で表されます。

べき乗は、しばしば基数と呼ばれます。この概念はドイツの数学者 G. カントールによって導入されました。集合が記号文字 M、N で表される場合、基数は m、n で表されます。 G. Cantor は、特定の集合 M のすべての部分集合の集合が、集合 M 自体よりも大きなカーディナリティを持つことを証明しました。

すべての自然数の集合に等しい集合を可算集合といいます。

6. 指定されたセットのサブセット。

セットからいくつかの要素を選択し、それらを個別にグループ化すると、これはセットのサブセットになります。サブセットを取得できる組み合わせは多数あり、組み合わせの数は元のセット内の要素の数にのみ依存します。

2 つのセット A と B があるとします。セット B の各要素がセット A の要素である場合、セット B は A のサブセットと呼ばれます。B ⊂ A で表されます。

集合 A=1;2;3 の部分集合はいくつありますか?

解決。セットの要素で構成されるサブセット。次に、サブセット内の要素の数には 4 つのオプションがあります。

サブセットは 1 つの要素、2 つ、または 3 つの要素で構成され、空にすることもできます。要素を順番に書き留めてみましょう。

1 つの要素のサブセット: 1、2、3

2 つの要素のサブセット: 1,2,1,3,2,3。

3 つの要素のサブセット: 1;2;3

空のセットもセットのサブセットであることを忘れないでください。すると、3+3+1+1=8 個の部分集合があることがわかります。

7. セットに対する操作。

特定の演算は、代数の実数に対する演算といくつかの点で似ており、集合に対して実行できます。したがって、集合代数について話すことができます。

協会セットの（接続）あそしてで少なくとも 1 つのセットに属するすべての要素で構成されるセット (象徴的にで示されます) あまたはで。からの形式で ×集合の和集合は次のように書かれます

エントリには次のように書かれています。あそしてで" または " あ、と組み合わせるで».

集合演算は、オイラー円を使用してグラフィカルに視覚的に表現されます (「ベン・オイラー図」という用語が使用されることもあります)。セットのすべての要素があサークル内に集中しますあ、およびセットの要素で- サークル内で、オイラー円を使用した統合演算は次の形式で表すことができます。

例1。多くの人の結合あ= (0、2、4、6、8) の偶数桁とセットで= (1, 3, 5, 7, 9) 奇数桁は、10 進数体系のすべての桁の集合 = =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) です。

8. セットのグラフィック表現。オイラー-ベン図。

オイラー-ベン図は集合の幾何学的表現です。図の構築は、普遍的な集合を表す大きな長方形を描くことで構成されます。 U、そしてその中に - セットを表す円 (または他の閉じた図形) があります。形状は問題で必要とされる最も一般的な方法で交差する必要があり、それに応じてラベルを付ける必要があります。図の異なる領域内にある点は、対応するセットの要素と見なすことができます。図を構築したら、特定の領域をシェーディングして、新しく形成されたセットを示すことができます。

セット操作は、既存のセットから新しいセットを取得するものと考えられます。

意味。協会セット A と B は、セット A、B の少なくとも 1 つに属するすべての要素で構成されるセットです (図 1)。

意味。 交差することでセット A と B は、セット A とセット B の両方に同時に属するすべての要素とそれらの要素のみで構成されるセットです (図 2)。

意味。 違いによるセット A と B は、A のすべての要素と、B に含まれない要素のみのセットです (図 3)。

意味。 対称的な違いセット A と B は、これらのセットのうち、セット A のみまたはセット B のみに属する要素のセットです (図 4)。

集合のデカルト (または直接) 積あそして Bこのような結果として得られる形式のペアのセット ( ×,y) セットの最初の要素があ、ペアの 2 番目の要素はセットからのものです。 B。一般的な名称:

あ× B={(×,y)|×∈あ,y∈B}

3 セット以上の製品は次のように構成できます。

あ× B× C={(×,y,z)|×∈あ,y∈B,z∈C}

形の製品あ× あ,あ× あ× あ,あ× あ× あ× あ等それを学位として書くのが通例です: あ 2 ,あ 3 ,あ 4 (次数の基数は乗数セット、指数は積の数)。彼らはそのようなエントリを「デカルト正方形」（立方体など）と読みます。メインセットには他の読み方もあります。たとえば、R n「えーんのえ」と読むのが一般的です。

プロパティ

デカルト積のいくつかの特性を考えてみましょう。

1. もしあ,Bが有限集合であれば、あ× B-最終。逆も同様で、因子セットの 1 つが無限である場合、その積の結果は無限セットになります。

2. デカルト積の要素の数は、因子セットの要素の数の積に等しくなります (もちろん、因子セットが有限である場合)。あ× B|=|あ|⋅|B| .

3. NP ≠(あん) p- 最初のケースでは、デカルト積の結果を次元 1x の行列として考慮することをお勧めします。 n.p.、2番目 - サイズの行列として n× p .

4. 交換法則は満たされません。デカルト積の結果の要素のペアは順序付けされます。あ× B≠B× あ .

5. 結合法則が満たされていません: ( あ× B)× C≠あ×( B× C) .

6. セットの基本演算に関しては分配性があります: ( あ∗B)× C=(あ× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

10. 発話の概念。基本ステートメントと複合ステートメント。

声明 true (I-1) または false (F-0) であると言えますが、両方であるとは言えないステートメントまたは宣言文です。

たとえば、「今日は雨が降っています」、「イワノフは物理学の実験課題 2 を完了しました」などです。

いくつかの初期ステートメントがある場合、それらから次を使用します。 論理結合 または粒子新しいステートメントを作成できますが、その真理値は、元のステートメントの真理値と、新しいステートメントの構築に関与する特定の接続詞と助詞にのみ依存します。「そして」、「または」、「ではない」、「もし...、その後」、「したがって」、「そしてその時だけ」という単語や表現がそのような接続詞の例です。元のステートメントは次のように呼ばれます。単純、および特定の論理積の助けを借りてそれらから構築された新しいステートメント - 複合。もちろん、「単純」という言葉は、元のステートメントの本質や構造とは何の関係もありません。元のステートメント自体は非常に複雑な場合があります。この文脈では、「シンプル」という言葉は「オリジナル」という言葉と同義です。重要なのは、単純なステートメントの真理値が既知であるか与えられていると想定されていることです。いずれにしても、それらはまったく議論されません。

「今日は木曜日ではありません」のようなステートメントは 2 つの異なる単純なステートメントで構成されませんが、構造の均一性のために、その真理値は「今日は木曜日です」という他のステートメントの真理値によって決定されるため、複合ともみなされます。」

例2。次のステートメントは複合とみなされます。

私は「モスコフスキー・コムソモレーツ」と「コメルサント」を読みました。

彼がそう言ったのなら、それは本当だ。

太陽は星ではありません。

晴れていて気温が25度を超える場合は電車または車で到着します

複合物に含まれる単純なステートメント自体は、完全に任意のものにすることができます。特に、それら自体は複合的なものになる可能性があります。以下で説明する複合ステートメントの基本的なタイプは、それらを形成する単純なステートメントとは独立して定義されます。

11. ステートメントの操作。

1. 否定演算。

その発言を否定することであ (「そうではない」と読みますあ"、"それは本当ではありませんあ")、これは次の場合に当てはまります。あ false と false の場合あ- 真実。

お互いを否定する発言あそして呼ばれます 反対。

2. 論理積演算.

接続詞ステートメントあそしてでで示されるステートメントと呼ばれます AB(「」と読みます) あそしてで")、その真の値は、両方のステートメントが満たされた場合にのみ決定されます。あそしてで本当です。

ステートメントの結合は論理積と呼ばれ、多くの場合次のように表されます。 AB。

声明を出しましょうあ- 「3月の気温は〜です」 0℃+に 7C」と言いましたで- 「ヴィチェプスクでは雨が降っています。」それから AB「3 月の気温は次のようになります。」 0℃+に 7Cそしてヴィチェプスクでは雨が降っています。」ステートメントがある場合、この接続詞は true になりますあそしてで真実。気温が下がったことが判明した場合 0℃あるいは、ヴィテブスクには雨が降らなかった AB偽になります。

3 。論理和演算.

論理和ステートメントあそしてで声明と呼ばれる AB (あまたはで)、これは、ステートメントの少なくとも 1 つが true と false である場合、つまり両方のステートメントが false の場合にのみ true になります。

ステートメントの論理和は論理和とも呼ばれます A+B。

声明「 4<5 または 4=5 」は本当です。という発言以来、 4<5 " は真実であり、ステートメント " 4=5 » – false、その場合 ABは真実の声明を表します」 4 5 ».

4 。含意の操作.

暗示的にステートメントあそしてで声明と呼ばれる AB（"もしあ、それで"、 "からあすべきで")、その値は次の場合にのみ false になります。あ本当だけど、で間違い。

暗示的に AB声明あ呼ばれた 基礎、または前提とステートメントで – 結果、または 結論。

12. ステートメントの真理値表。

真理値表は、論理関数に含まれるすべての可能な論理変数のセットと関数の値の間の対応関係を確立する表です。

真理値表は次の目的で使用されます。

複雑なステートメントの真偽を計算する。

ステートメントの等価性を確立する。

トートロジーの定義。

この記事では「実数」について説明します。この記事では、実数の定義を示し、座標線上での実数の位置を示し、数値式を使用して実数を指定する方法について説明します。

実数の定義

整数と分数は一緒になって有理数を構成します。次に、有理数と無理数が実数を構成します。実数とは何かを定義するにはどうすればよいでしょうか?

定義 1

実数- これらは有理数と無理数です。実数の集合は次のように表されます。 R.

この定義は、次の点を考慮して別の方法で記述することもできます。

有理数は、有限小数または無限周期小数として表すことができます。
無理数は無限の非周期的な小数です。

定義 2

実数- 有限または無限 (周期的または非周期的) 小数として記述できる数値。

実数とは、有理数および無理数のことです。そのような数値の例を次に示します。 0 ; 6; 458; 1863年。 0,578; - 3 8; 26 5; 0、145 (3); ログ 5 12 。

ゼロも実数です。定義上、実数には正と負の両方があります。ゼロは正でも負でもない唯一の実数です。

実数の別名は実数です。これらの数値を使用すると、連続的に変化する量の基準 (単位) 値を導入することなく、その量の値を説明することができます。

座標線と実数

非座標線上の各点は、特定の一意の実数に対応します。言い換えれば、実数は座標線全体を占めており、曲線の点と数値の間には 1 対 1 の対応関係があります。

実数表現

実数の定義には次のものが含まれます。

自然数。
整数。
小数の分数。
普通の分数。
混合数字。

また、実数は、べき乗、ルート、対数を使用した式として表されることがよくあります。実数の和、差、積、商も実数です。

実数で構成される式の値も実数になります。

たとえば、式 sin 2 3 π · e - 2 8 5 · 10 log 3 2 および t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 の値は実数です。

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実数の概念: 実数- (実数)、負でない任意の数値、またはゼロ。実数は、各物理量の測定値を表すために使用されます。

本物、または実数世界の幾何学的および物理的量を測定する必要性から生まれました。さらに、ルート抽出演算の実行、対数の計算、代数方程式の解法などを実行します。

数え方の発展とともに自然数が形成され、全体の一部を管理する必要性から有理数が形成され、その後、連続量を測定するために実数（実数）が使用されます。したがって、考慮される数のストックの拡張により、有理数に加えて、と呼ばれる他の要素で構成される実数の集合がもたらされました。 無理数.

実数のセット(示されている R) は、一緒に集められた有理数と無理数のセットです。

実数を割るラショナルそして 不合理な.

実数の集合は表示され、しばしば呼ばれます。本物または 数直線。実数は単純なオブジェクトで構成されます。全体そして 有理数.

比率として記述できる数値。メートルは整数であり、 n- 自然数は、有理数.

あらゆる有理数は、有限分数または無限周期小数として簡単に表すことができます。

例,

無限小数, は、小数点以下の桁数が無限にある小数です。

形式で表現できない数値は、 無理数.

例：

無理数は無限の非周期小数として簡単に表すことができます。

例,

有理数と無理数が生み出すもの 実数のセット。すべての実数は、座標線上の 1 つの点に対応します。 数直線.

数値セットの場合、次の表記が使用されます。

N- 自然数のセット;
Z- 整数のセット;
Q- 有理数のセット;
R- 実数のセット。

無限小数の理論。

実数は次のように定義されます 無限小数、つまり:

±a 0 、a 1 a 2 …a n …

ここで、±は記号 + または −、番号記号のいずれかです。

0 は正の整数です。

a 1 ,a 2 ,…a n ,…は、小数点以下の桁のシーケンスです。数値セットの要素 {0,1,…9}.

無限小数は、次のような数直線上の有理点の間にある数値として説明できます。

±a 0 、a 1 a 2 …a nそして ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n)みんなのために n=0,1,2,…

実数の無限小数としての比較は、場所ごとに行われます。 例えば 2 つの正の数が与えられたとします。

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

もし 0 0、それ α<β ; もし a0>b0それ α>β 。いつ a 0 =b 0次のカテゴリーの比較に移りましょう。等。いつ α≠β 、これは、有限数のステップの後に最初の数字が表示されることを意味します。 n、そのような a n ≠ b n。もしああ、それ α<β ; もし a n >b nそれ α>β .

しかし、その数に注意を払うのは面倒です。 a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 -n 。したがって、特定の桁から始まる比較対象の数値の 1 つのレコードが、ピリオドに 9 を含む周期的な小数である場合、ピリオドに 0 を含む同等のレコードに置き換える必要があります。

無限の小数を使用した算術演算は、有理数を使用した対応する演算の連続的な継続です。 例えば、実数の合計 α そして β は実数です α+β 、次の条件を満たします。

∀ a''、a''、b''、b''∈ Q(a'⩽ α ⩽ ああ）∧ (b'⩽ β ⩽ b'')⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a''+b'')

無限の小数を乗算する演算も同様に定義されます。

数字はクラスに分けられます。正の整数 - N = (1, 2, 3, ...) - は自然数のセットを構成します。多くの場合、0 は自然数とみなされます。

整数 Z のセットには、すべての自然数、数値 0、およびマイナス記号を付けたすべての自然数が含まれます: Z = (0, 1, -1, 2, -2, ...)。

各有理数 x は整数のペア (m, n) として指定できます。ここで、m は分子、n は数値の分母です: x = m/n。有理数の同等の表現は、位置 10 進表記で書かれた数値として表現することです。数値の小数部は有限または無限の周期分数になります。たとえば、数値 x = 1/3 = 0,(3) は無限の周期分数で表されます。

無限の非周期分数によって定義される数は、と呼ばれます。無理数。これらは、たとえば、vp という形式のすべての数値です。ここで、p は素数です。誰もが知っている数字と e は無理数です。

整数の集合、有理数と無理数の和集合が実数の集合を構成します。実数のセットの幾何学的イメージは直線、つまり実軸であり、軸上の各点は特定の実数に対応し、実数が実軸全体を高密度かつ連続的に満たします。

平面は、実数と虚数の 2 つの軸が導入された一連の複素数の幾何学的イメージを表します。実数のペアによって定義される各複素数は、x = a+b*i の形式で表現できます。ここで、a と b は実数であり、平面上の数値のデカルト座標と考えることができます。

除数と乗数

ここで、自然数の集合を 2 つの部分集合 (素数と合成数) に分割する分類を考えてみましょう。この分類は、自然数の割り切りの概念に基づいています。 n が d で割り切れる場合、d は n を「割る」と言い、次の形式で書きます。この定義は直観的な理解に対応していない可能性があることに注意してください。n が d で割り切れる場合、d は n を「割り算」しますが、その逆は成り立ちません。数値 d は n の約数と呼ばれます。すべての数値 n には、1 と n という 2 つの自明な因数があります。自明な約数以外の約数は n の因数と呼ばれます。数 n が自明な以外の約数を持たない場合、素数と呼ばれます。素数は 1 とそれ自体でのみ割り切れます。約数を持つ数を合成数といいます。数字 1 は素数でも合成数でもないため、特別な数です。負の数も素数にも合成数にも属しませんが、数値の法をいつでも考慮して素数または合成数として分類できます。

任意の合成数 N は、その因数の積として表すことができます。この表現は一意ではありません (例: 96 = 8*12 = 2*3*16)。ただし、各合成数 N には、素数のべき乗の積の形式で固有の表現が存在します: 。ここで、は素数とです。この表現は、数値 N の素因数への因数分解と呼ばれます。例えば .

との場合、 d は数値 m と n の公約数です。すべての公約数の中で、gcd(m,n) と表される最大公約数を区別できます。 gcd(m,n) = 1 の場合、数値 m と n は互いに素と呼ばれます。素数は相対的に素であるため、q と p が素数の場合、 gcd(q,p) =1 となります。

との場合、A は m と n の公倍数です。すべての公倍数の中で、LCM(m,n) として表される最小公倍数を区別できます。 LCM(m,n) = m*n の場合、数値 m と n は互いに素です。 q と p が素数の場合、LCM(q, p) =q*p。

数値 m と n のすべての素因数の集合を and で表すと、次のようになります。

数値 m と n を素因数に分解できれば、与えられた関係を使用して、GCD(m,n) と LCM(m,n) を簡単に計算できます。数値の因数分解を必要としない、より効率的なアルゴリズムもあります。

ユークリッドのアルゴリズム

GCD(m,n) を計算するための効果的なアルゴリズムは Euclid によって提案されました。これは GCD(m,n) の次の特性に基づいており、その証明は読者に委ねられます。

の場合、3 番目のプロパティに従って、値 n だけ減らすことができます。次に、2 番目の特性に従って、引数を交換して、以前に検討したケースに戻ることができる場合。これらの変換の結果、引数の値が等しくなると、解が見つかります。したがって、次のスキームを提案できます。

while(m != n) ( if(m< n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

ここで、swap プロシージャは引数の値を交換します。

少し考えてみると、値を交換する必要はまったくないことがわかります。ループの各ステップで最大値の引数を変更するだけで十分です。その結果、次の図が得られます。

while(m != n) ( if(m > n) m = m - n; else n = n - m; ) return(m);

もう少し考えてみると、まったく同じ条件が当てはまるループに移動することで、このスキームを改善できます。

while(true) ( if(m > n) m = m - n; else if (n > m) n = n - m; else return(m); )

最後の図は、このサイクルの完全性を証明する必要性を明確に示しているため、優れています。ループバリアントの概念を使用してループの完全性を証明することは難しくありません。このループの場合、オプションは整数関数 max(m,n) にすることができます。これは各ステップで減少し、常に正のままです。

このバージョンの Euclid アルゴリズムの利点は、各ステップで整数に対する基本的で高速な演算 (減算) が使用されることです。整数で割ったときの余りを計算する操作を許可すると、ループのステップ数を大幅に削減できます。次のプロパティは true です。

これにより、次の図が得られます。

内部温度; if(n>m) 温度 = m; m = n; n = 温度; //swap(m,n) while(m != n) ( temp = m; m = n; n = temp%n; )

少し考えてみると、サイクルを開始する前にチェックを実行する必要はまったくないことがわかります。これにより、通常は実際に使用される、より単純な GCD 計算スキームが得られます。

内部温度; while(m != n) ( temp = m; m = n; n = temp%n; )

LCM(m, n) を計算するには、次の関係を使用できます。

乗算と除算を使用せずに LCM(m, n) を計算することは可能ですか? GCD(m,n) を計算しながら LCM(m,n) を同時に計算できることがわかります。対応する図は次のとおりです。

int x = v = m、y = u = n、; while(x != y) ( if(x > y)( x = x - y; v = v + u;) else (y = y - x; u = u + v;) ) GCD = (x + y )/2; LCM = (u+v)/2;

このスキームが GCD を正しく計算するという証明は、以前に与えられた GCD の特性から得られます。 LCM 計算の正確性はそれほど明らかではありません。これを証明するには、ループの不変条件が次の式であることに注目してください。

この関係は、ループが実行を開始する前に変数が初期化された後に満たされます。サイクルの終わりに、x と y が gcd に等しくなるとき、スキームの正しさは不変式の真理から導き出されます。ループ本体のステートメントがステートメントを true のままにすることを確認するのは簡単です。証明の詳細は読者に任せます。

GCD と LCM の概念は、すべての整数に対して定義することで拡張できます。次の関係が有効です。

拡張ユークリッドアルゴリズム

gcd(m,n) を m と n の線形結合として表すと便利な場合があります。

特に、係数 a と b の計算は、RSA アルゴリズム (公開キー暗号化) で必要です。トリプル (d、a、b) の最大公約数と展開係数を計算できるアルゴリズム図を示します。アルゴリズムは再帰的プロシージャとして簡単に実装できます。

ExtendedEuclid(int m, int n, ref int d, ref int a, ref int b),

これは、入力引数 m および n が与えられると、引数 d、a、b の値を計算します。このプロシージャの非再帰的分岐は n = 0 の場合に対応し、結果として値 d = m、a = 1、b = 0 を返します。再帰的分岐は呼び出しを行います。

ExtendedEuclid(n, m % n, ref d, ref a, ref b)

そして、結果として得られる a と b の値を次のように変更します。

このアルゴリズムの正しさの証明を構築するのは難しくありません。非再帰的分岐の場合、正しさは明らかであり、再帰的分岐の場合、再帰呼び出しによって返された結果の真実性から、値を再計算した後の入力引数についてもそれが真であることを示すのは簡単です。 aとbの

この手順はどのように機能するのでしょうか? まず、n が 0 になるまで再帰的降下が発生します。

この時点で初めて d の値とパラメータ a と b の値が計算されます。この後、上昇が始まり、パラメータ a と b が再計算されます。

タスク

49. m と n が自然数であるとします。 gcd(m, n)を計算します。計算を行うときは、乗算と除算を使用しないでください。
50. m と n が自然数であるとします。 LCM(m, n)を計算します。
51. m と n が自然数であるとします。 LCM(m, n)を計算します。計算を行うときは、乗算と除算を使用しないでください。
52. m と n が整数であるとします。 gcd(m, n)を計算します。計算を行うときは、乗算と除算を使用しないでください。
53. m と n が整数であるとします。 LCM(m, n)を計算します。計算を行うときは、乗算と除算を使用しないでください。
54. m と n が整数であるとします。 gcd(m, n)を計算します。計算するときは、整数で割った余りを求める演算を使用します。
55. m と n が整数であるとします。 LCM(m, n)を計算します。計算するときは、整数で割った余りを求める演算を使用します。
56. m と n が整数であるとします。拡張ユークリッドアルゴリズムを使用して、3 つの数値 (d, a, b) を計算します。
57. m と n が自然数であるとします。 GCD(m, n) は m と n の線形結合であると考えてください。
58. m と n が整数であるとします。 GCD(m, n) は m と n の線形結合であると考えてください。
59. m と n が整数であるとします。数値 m と n が互いに素であるかどうかを確認します。

素数

偶数の中には素数が 1 つだけあり、これは 2 です。素数の奇数は好きなだけあります。連続する素数が素数であることを証明することは難しくありません。したがって、素数が構築されている場合は、より大きい別の素数を構築できます。したがって、素数のセットは無制限であるということになります。例: 数値 N = 2*3*5*7 + 1 = 211 は素数です。

エラトステネスのふるい

N が素数であることをどうやって判断するのでしょうか? N % m という演算が有効で、N を数値 m で除算したときの余りが得られる場合、最も単純なアルゴリズムは、N を N より小さいすべての数値 m で割ったときに剰余が 0 に等しくないことをチェックすることです。アルゴリズムはテスト範囲を縮小することです。範囲内の数値 m を考慮するだけで十分です。

紀元前3世紀に遡ります。ギリシャの数学者エラトステネスは、除算演算を必要としない範囲内の素数を見つけるアルゴリズムを提案しました。このアルゴリズムは「エラトステネスの篩」と呼ばれます。コンピュータ版では、このアルゴリズムの考え方は次のように説明できます。配列 Numbers を作成しましょう。その要素には、3 から始まる連続する奇数が含まれています。最初は、この配列内のすべての数値は取り消し線が引かれていないとみなされます。この配列の最初の交差していない数値を SimpleNumbers 配列に入れてみましょう。これが最初の奇数の素数 (3) になります。次に、ふるい分けを実行し、見つかった素数と等しいステップで Numbers 配列を調べ、このパス中に見つかったすべての数値を取り消します。最初のパスでは、数字 3 と 3 の倍数のすべての数字が取り消し線で消去され、次のパスでは、次の素数 5 が素数の表に入力され、5 の倍数の数字が入力されます。このプロセスは、配列内のすべての数値が数値配列から取り消されるまで繰り返されます。その結果、SimpleNumbers 配列には、N 未満の最初の素数のテーブルが含まれます。

このアルゴリズムは、比較的小さな素数を見つけるのに適しています。しかし、有効数字 20 桁の素数を見つける必要がある場合、コンピューターのメモリでは対応する配列を保存するのに十分ではなくなります。最新の暗号化アルゴリズムでは、数百桁を含む素数が使用されることに注意してください。

プライム密度

素数の数が無限であることを示しました。奇数よりも数が少ないのは明らかですが、どの程度少ないのでしょうか? 素数の密度はどれくらいですか? n 未満の素数の数を返す関数としましょう。この関数を正確に指定することはできませんが、適切な推定値はあります。次の定理が成り立ちます。

関数は上から限界に漸近するため、推定値はわずかに過小評価されます。この推定値をエラトステネスのふるいアルゴリズムで使用すると、Numbers 配列の次元が与えられたときに SimpleNumbers 配列の次元を選択できます。逆に、素数表の次元が与えられたときに、その配列に適切な次元を選択できます。数値配列。

数値の素数性を決定するための表形式のアルゴリズム

最大の素数が M である素数のテーブル SimpleNumbers を保持している場合、N より小さい数が素数であるかどうかを簡単に判断できます。 N が M より小さい場合は、数値 N が SimpleNumbers テーブルにあるかどうかを確認するだけで十分です。 N が M より大きい場合は、数値 N が vN の値を超えない SimpleNumbers テーブルの数値で割り切れるかどうかを確認するだけで十分です。数値 N に vN より小さい素因数がない場合、数値 N が素数であることは明らかです。

素数テーブルを使用するには、十分なコンピューターメモリが必要となるため、アルゴリズムの機能が制限され、大きな素数を見つけるために使用できなくなります。

自明なアルゴリズム

N が奇数の場合、数値の素数の定義に基づいて素数であることを確認できます。この場合、数字の表を保存するためのメモリは必要ありません。しかし、いつものように、メモリ内で勝ちますが、時間とともに負けます。実際、数値 N が範囲内の連続する奇数で割り切れるかどうかを確認するだけで十分です。数値 N に少なくとも 1 つの因数がある場合、それは合成であり、それ以外の場合は素数です。

ここで説明したすべてのアルゴリズムは、数値が数値を表現するためのコンピューターのビットグリッドを超えると効果的に機能しなくなります。そのため、System.Int64 の範囲外の整数を扱う必要がある場合、そのような数値の素数性を判断する作業は困難になります。シンプルから。数値が合成であるかどうかを判断するためのレシピがいくつかあります。少なくとも学生時代から知られているアルゴリズムを思い出してみましょう。数値の最後の 1 桁が 2 で割り切れる場合、その数値は 2 で割り切れます。数値の最後の 2 桁が 4 で割り切れる場合、その数値は 4 で割り切れます。各桁の合計がで割り切れる場合、その数値は 4 で割り切れます。 3 (by 9) の場合、その数値は 3 (by 9) で割り切れます。最後の桁が 0 または 5 の場合、その数値は 5 で割り切れます。数学者は、ある数値が素数である (または素数ではない) ことを証明するために多大な努力を費やしてきました。特定の型の数値が素数であることを証明できる特別なテクニックが登場しました。

タスク

素数の最も適切な候補は、の形式の数値です。ここで、p は素数です。たとえば、6000 桁を超える数値は素数であることが証明されていますが、どの素数がその数値の最近傍であるかを言うことはできません。

プロジェクト
68. さまざまな測定システムを使用できるようにする「距離」クラスを構築します。クラスを操作するためのインターフェイスをサポートする Windows プロジェクトを構築します。
69. クラス「素数」を構築します。クラスを操作するためのインターフェイスをサポートする Windows プロジェクトを構築します。
70. 「数値システム」というクラスを作成します。指定された記数法での計算をサポートする Windows 電卓を構築します。
71. クラス「有理数」を構築します。これらの数値を使用した計算をサポートする Windows 電卓を構築します。
72. クラス「複素数」を構築します。これらの数値を使用した計算をサポートする Windows 電卓を構築します。