Sąvoka „nuostabi riba“ yra plačiai vartojama vadovėliuose ir mokymo priemonėse, norint pažymėti svarbias tapatybes, kurios labai padeda. supaprastinti savo darbą ieškant ribų.

Bet į galės atnešti jūsų riba iki nepaprasto, reikia gerai į tai pažvelgti, nes jie randami ne tiesiogine forma, o dažnai pasekmių pavidalu, aprūpinti papildomais terminais ir veiksniais. Tačiau pirmiausia teorija, tada pavyzdžiai, ir jums pavyks!

Pirma nuostabi riba

ar patiko? Pridėti prie žymių

Pirmoji žymi riba parašyta taip (formos neapibrėžtis $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1.

$$

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1.

$$

Sprendimų pavyzdžiai: 1 nuostabi riba

1 pavyzdys. Apskaičiuokite ribą $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $3/8$.

Sprendimas. Pirmas žingsnis visada yra tas pats – į funkciją pakeičiame ribinę reikšmę $x=0$ ir gauname:

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Gavome formos $\left[\frac(0)(0)\right]$ neapibrėžtį. Supaprastinkime ribą naudodami pirmąją nuostabią ribą (tris kartus!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Apskaičiuokite ribą $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $9/16$.

3 pavyzdys. Raskite ribą $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. Ką daryti, jei pagal trigonometrinę funkciją yra sudėtinga išraiška? Nesvarbu, čia elgiamės taip pat. Pirmiausia patikrinkime neapibrėžties tipą, pakeiskite $x=0$ į funkciją ir gaukime:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Gavome formos $\left[\frac(0)(0)\right]$ neapibrėžtį. Padauginkite ir padalykite iš $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Vėl gavome neapibrėžtumo, bet šiuo atveju tai tik dalis. Sumažinkime skaitiklį ir vardiklį $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Apskaičiuokite ribą $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $3/5$.

Antra nuostabi riba

Antroji žymi riba parašyta taip (formos $1^\infty$ neapibrėžtis):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\iki 0) \kairė(1+x\dešinė)^(1/x)=e.

$$

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab).

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\iki 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1.

$$

Gavome formos $\left$ neapibrėžtį. Ribą galima sumažinti iki antro nuostabaus dalyko. Konvertuokime:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\į \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Išraiška skliausteliuose iš tikrųjų yra antroji žymi riba $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, tik $t= - 3x/2$, taigi

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Apskaičiuokite ribą $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$$e^(-2/3)$.

5 pavyzdys. Raskite ribą $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. Funkcijoje pakeičiame $x=\infty$ ir gauname formos $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ neapibrėžtį. Ir mums reikia $\left$. Taigi pradėkime transformuodami skliausteliuose esančią išraišką:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\iki \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Išraiška skliausteliuose iš tikrųjų yra antroji žymi riba $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, tik $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, todėl

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Šioje temoje analizuosime tas formules, kurias galima gauti naudojant antrą nuostabią ribą (yra tema, skirta tiesiai antrajai nuostabiai ribai). Leiskite jums priminti dvi formuluotes antrosios žymios ribos, kurios bus reikalingos šiame skyriuje: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ ir $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

Paprastai formules pateikiu be įrodymų, bet šiam puslapiui, manau, padarysiu išimtį. Esmė ta, kad antrosios nepaprastos ribos pasekmių įrodyme yra keletas metodų, kurie yra naudingi tiesiogiai sprendžiant problemas. Na, paprastai tariant, patartina žinoti, kaip ta ar kita formulė įrodoma. Tai leidžia geriau suprasti jo vidinę struktūrą, taip pat taikymo ribas. Bet kadangi įrodymai gali būti ne visiems skaitytojams įdomūs, paslėpsiu juos po užrašais, esančiais po kiekvienos pasekmės.

Išvada #1

1 pasekmės įrodymas: rodyti\slėpti

Kadangi nuo $x\iki 0$ turime $\ln(1+x)\iki 0$, tai nagrinėjamoje riboje yra $\frac(0)(0)$ formos neapibrėžtis. Norėdami atskleisti šį neapibrėžtumą, pateiksime išraišką $\frac(\ln(1+x))(x)$ tokia forma: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Dabar įvertinkime $\frac(1)(x)$ į išraiškos $(1+x)$ laipsnį ir pritaikykime antrąją nepaprastą ribą:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Dar kartą turime formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį. Remsimės jau įrodyta formule. Kadangi $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, tada $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Išvada #2

Išvados Nr. 2 įrodymas: rodyti\slėpti

Kadangi nuo $x\iki 0$ turime $e^x-1\iki 0$, tai nagrinėjamoje riboje yra $\frac(0)(0)$ formos neapibrėžtis. Norėdami atskleisti šį neapibrėžtumą, pakeisime kintamąjį, žymintį $t=e^x-1$. Nuo $x\iki 0$, tada nuo $t\iki 0$. Toliau iš formulės $t=e^x-1$ gauname: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\left | \begin(lygiuotas) & t=e^x-1;\; t\iki 0.\\ & x=\ln(1+t).\pabaiga (sulygiuota) \right|= \lim_(t\iki 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Dar kartą turime formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį. Pasikliausime formule, kurią jau įrodėme. Kadangi $a^x=e^(x\ln a)$, tada:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\iki 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Išvada #3

Išvados Nr. 3 įrodymas: rodyti\slėpti

Dar kartą susiduriame su formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtumu. Kadangi $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, gauname:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

1 pavyzdys

Apskaičiuokite ribą $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Turime formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį. Norėdami atskleisti šį neapibrėžtumą, naudosime formulę. Kad atitiktume šios formulės ribą, turėtume turėti omenyje, kad $e$ galios ir vardiklio išraiškos turi sutapti. Kitaip tariant, vardiklyje nėra vietos sinusui. Vardiklis turi būti $9x$. Be to, šio pavyzdžio sprendime bus naudojama pirmoji žymi riba.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ į\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Atsakymas: $\lim_(x\to\0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite ribą $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Turime formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį (priminsiu, kad $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Norėdami atskleisti šį neapibrėžtumą, naudosime formulę. Pirmiausia atsižvelkime į tai, kad $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (žr. spaudinį apie trigonometrines funkcijas). Dabar $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, taigi vardiklyje turėtume gauti išraišką $-2\sin^2 \ frac(x)(2)$ (kad mūsų pavyzdys atitiktų formulę). Tolesniame sprendime bus naudojama pirmoji žymi riba.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x) )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Atsakymas: $\lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Raskite nuostabias ribas Sunku ne tik daugeliui pirmo ir antro kurso studentų, studijuojančių ribų teoriją, bet ir kai kuriems dėstytojams.

Pirmosios nepaprastos ribos formulė

Pirmosios nepaprastos ribos pasekmės rašykime formulėmis
1. 2. 3. 4. Tačiau pačios bendros žymių ribų formulės niekam nepadeda nei egzamine, nei įskaitoje. Esmė ta, kad tikrosios užduotys yra sukonstruotos taip, kad vis tiek reikia pasiekti aukščiau parašytas formules. Ir dauguma studentų, kurie praleidžia pamokas, studijuoja šį kursą nedalyvaujant arba turi mokytojus, kurie patys ne visada supranta, ką jie aiškina, negali suskaičiuoti elementariausių pavyzdžių iki nepaprastų ribų. Iš pirmosios žymiosios ribos formulių matome, kad jų pagalba galima tirti nulinio tipo neapibrėžtis, padalytą iš nulio išraiškoms su trigonometrinėmis funkcijomis. Pirmiausia panagrinėkime keletą pirmosios reikšmingos ribos pavyzdžių, o tada išnagrinėkime antrąją reikšmingą ribą.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos sin(7*x)/(5*x) ribą
Sprendimas: Kaip matote, funkcija žemiau ribos yra arti pirmos reikšmingos ribos, tačiau pačios funkcijos riba tikrai nėra lygi vienetui. Atliekant tokias užduotis apie ribas, vardiklyje reikia pasirinkti kintamąjį su tuo pačiu koeficientu, kuris yra kintamajame po sinusu. Tokiu atveju padalinkite ir padauginkite iš 7

Kai kuriems tokia smulkmena atrodys nereikalinga, tačiau daugumai studentų, kuriems sunku nustatyti ribas, tai padės geriau suprasti taisykles ir įsisavinti teorinę medžiagą.
Be to, jei yra atvirkštinė funkcijos forma, tai taip pat yra pirmoji nuostabi riba. Ir viskas todėl, kad nuostabi riba yra lygi vienai

Ta pati taisyklė galioja ir 1-osios žymiosios ribos pasekmėms. Todėl, jei jūsų paklaus: „Kokia yra pirmoji nuostabi riba? Turėtumėte nedvejodami atsakyti, kad tai yra vienetas.

2 pavyzdys. Raskite funkcijos sin(6x)/tan(11x) ribą
Sprendimas: norėdami suprasti galutinį rezultatą, parašykite funkciją formoje

Norėdami taikyti ypatingos ribos taisykles, padauginkite ir padalinkite iš koeficientų

Toliau funkcijų sandaugos ribą rašome per ribų sandaugą

Be sudėtingų formulių radome trigonometrinių funkcijų ribą. Norėdami įvaldyti paprastas formules, pabandykite sugalvoti ir rasti 2 ir 4 ribą, formulę, išplaukiančią iš 1 nuostabios ribos. Išnagrinėsime sudėtingesnes problemas.

3 pavyzdys: apskaičiuokite ribą (1-cos(x))/x^2
Sprendimas: Tikrindami pakeitimu, gauname 0/0 neapibrėžtį. Daugelis žmonių nežino, kaip tokį pavyzdį sumažinti iki vienos nepaprastos ribos. Čia reikia naudoti trigonometrinę formulę

Tokiu atveju riba pavirs į aiškią formą

Mums pavyko sumažinti funkciją iki nepaprastos ribos kvadrato.

4 pavyzdys. Raskite ribą
Sprendimas: Keisdami gauname pažįstamą funkciją 0/0. Tačiau kintamasis linkęs į Pi, o ne į nulį. Todėl, norėdami pritaikyti pirmąją žymiąją ribą, atliksime tokį kintamojo x pakeitimą, kad naujasis kintamasis būtų lygus nuliui. Norėdami tai padaryti, vardiklį pažymime kaip naują kintamąjį Pi-x=y

Taigi, naudojant ankstesnėje užduotyje pateiktą trigonometrinę formulę, pavyzdys sumažinamas iki 1 nepaprastos ribos.

5 pavyzdys: Apskaičiuokite ribą
Sprendimas: Iš pradžių neaišku, kaip supaprastinti ribas. Bet kadangi yra pavyzdys, turi būti ir atsakymas. Tai, kad kintamasis eina į vienybę, keičiant suteikia nulio formos požymį, padaugintą iš begalybės, todėl liestinė turi būti pakeista naudojant formulę

Po to gauname reikiamą neapibrėžtį 0/0. Toliau atliekame kintamųjų keitimą riboje ir naudojame kotangento periodiškumą

Paskutiniai keitimai leidžia naudoti 1 reikšmingos ribos išvadą.

Antroji žymi riba yra lygi eksponentui

Tai klasika, kurią ne visada lengva pasiekti sprendžiant tikras ribas.
Skaičiavimuose jums reikės ribos yra antrosios nepaprastos ribos pasekmės:
1. 2. 3. 4.
Dėl antrosios nepaprastos ribos ir jos pasekmių galima ištirti neapibrėžtumus, tokius kaip nulis padalintas iš nulio, vienas iki begalybės laipsnio ir begalybė padalintas iš begalybės, ir netgi tokiu pat laipsniu.

Pradėkime nuo paprastų pavyzdžių.

6 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Sprendimas: tiesioginis 2-osios reikšmingos ribos taikymas neveiks. Pirmiausia turėtumėte paversti eksponentą taip, kad jis atrodytų kaip atvirkštinis termino skliausteliuose

Tai yra sumažinimo iki 2-osios reikšmingos ribos ir iš esmės 2-osios ribos pasekmės formulės išvedimo metodas.

7 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Sprendimas: turime užduočių, skirtų nuostabios ribos 2 pasekmės 3 formulei. Pakeitus nulį, gaunamas 0/0 formos singuliarumas. Norėdami padidinti ribą iki taisyklės, vardiklį pasukame taip, kad kintamasis turėtų tokį patį koeficientą kaip ir logaritmas

Taip pat lengva suprasti ir atlikti egzaminą. Mokinių sunkumai skaičiuojant ribas prasideda nuo šių problemų.

8 pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos ribą[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Sprendimas: turime 1 tipo singuliarumą iki begalybės laipsnio. Jei netikite manimi, visur galite pakeisti „X“ begalybe ir tuo įsitikinti. Norėdami sudaryti taisyklę, skaitiklį padalijame iš vardiklio, esančio skliausteliuose, pirmiausia atliekame manipuliacijas

Pakeiskime išraišką riba ir paverskime ją 2 nuostabiomis ribomis

Riba lygi 10 eksponenlinei galiai. Konstantos, kurios yra terminai su kintamuoju skliausteliuose ir laipsniu, neįveda jokio „oro“ - tai reikia atsiminti. Ir jei jūsų mokytojai jūsų paklaus: „Kodėl jūs nekonvertuojate rodiklio? (Šiam pavyzdžiui x-3), tada pasakykite: „Kai kintamasis linkęs į begalybę, net pridėkite prie jo 100 arba atimkite 1000, ir riba išliks tokia, kokia buvo!
Yra antras būdas apskaičiuoti šio tipo ribas. Apie tai pakalbėsime kitoje užduotyje.

9 pavyzdys. Raskite ribą
Sprendimas: Išimkime skaitiklio ir vardiklio kintamąjį ir vieną požymį paverskime kita. Norėdami gauti galutinę vertę, naudojame 2 išvados formulę, skirtą nepaprastai ribai

10 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Sprendimas: ne visi gali rasti nurodytą ribą. Norėdami padidinti ribą iki 2, įsivaizduokite, kad sin (3x) yra kintamasis ir jums reikia pasukti eksponentą

Toliau indikatorių įrašome kaip laipsnį į galią


Tarpiniai argumentai aprašyti skliausteliuose. Naudodami pirmąją ir antrąją reikšmingas ribas, gavome eksponentą kube.

11 pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos ribą sin(2*x)/ln(3*x+1)
Sprendimas: turime 0/0 formos neapibrėžtį. Be to, matome, kad funkcija turėtų būti konvertuota į abi nuostabias ribas. Atlikime ankstesnes matematines transformacijas

Be to, be sunkumų riba paims vertę

Taip laisvai jausitės vykdydami užduotis, testus, modulius, jei išmoksite greitai užsirašyti funkcijas ir sumažinti jas iki pirmos ar antros nuostabios ribos. Jei jums sunku įsiminti pateiktus limitų nustatymo būdus, visada galite pas mus užsisakyti bandomąjį darbą apie ribas.
Norėdami tai padaryti, užpildykite formą, pateikite duomenis ir pridėkite failą su pavyzdžiais. Mes padėjome daugeliui studentų – galime padėti ir jums!

Dabar ramia siela pereikime prie svarstymo nuostabios ribos.
atrodo kaip.

Vietoj kintamojo x gali būti įvairių funkcijų, svarbiausia, kad jos linkusios į 0.

Būtina apskaičiuoti ribą

Kaip matote, ši riba yra labai panaši į pirmąją puikią, tačiau tai nėra visiškai tiesa. Apskritai, jei riboje pastebite nuodėmę, turėtumėte nedelsdami pagalvoti, ar galima pasinaudoti pirmąja nuostabia riba.

Pagal mūsų taisyklę Nr. 1 vietoj x pakeičiame nulį:

Sulaukiame netikrumo.

Dabar pabandykime patys suorganizuoti pirmąjį nuostabų limitą. Norėdami tai padaryti, atlikime paprastą derinį:

Taigi skaitiklį ir vardiklį išdėstome taip, kad paryškintume 7x. Dabar jau pasirodė pažįstama nuostabi riba. Patartina tai pabrėžti priimant sprendimą:

Pakeiskime sprendimą pirmuoju nuostabiu pavyzdžiu ir gaukime:

Supaprastinus trupmeną:

Atsakymas: 7/3.

Kaip matote, viskas yra labai paprasta.

Atrodo , kur e = 2,718281828... yra neracionalus skaičius.

Vietoj kintamojo x gali būti įvairių funkcijų, svarbiausia, kad jos linkusios .

Būtina apskaičiuoti ribą

Čia matome laipsnio buvimą po ribos ženklu, o tai reiškia, kad galima naudoti antrą reikšmingą ribą.

Kaip visada, vietoj:

Matyti, kad ties x laipsnio bazė yra , o eksponentas yra 4x > , t.y. gauname formos neapibrėžtį:

Išnaudokime antrąją nuostabią ribą, kad atskleistume savo netikrumą, bet pirmiausia turime ją sutvarkyti. Kaip matote, turime pasiekti buvimą indikatoriuje, kurio bazę pakeliame iki 3x galios ir tuo pačiu iki 1/3x galios, kad išraiška nepasikeistų:

Nepamirškite pabrėžti mūsų nuostabios ribos:

Tokie jie iš tikrųjų yra nuostabios ribos!
Jei vis dar turite klausimų apie pirmoji ir antroji nuostabios ribos, tada nedvejodami paklauskite jų komentaruose.
Visiems atsakysime kiek galėsime.

Šia tema taip pat galite dirbti su mokytoju.
Džiaugiamės galėdami Jums pasiūlyti kvalifikuoto mokytojo atrankos jūsų mieste paslaugas. Mūsų partneriai greitai parinks jums gerą mokytoją palankiomis sąlygomis.

Nepakanka informacijos? - Tu gali!

Galite rašyti matematinius skaičiavimus bloknotuose. Daug maloniau rašyti individualiai į sąsiuvinius su logotipu (http://www.blocnot.ru).

Šis internetinis matematikos skaičiuotuvas padės jums, jei to prireiks apskaičiuokite funkcijos ribą. Programa sprendimo ribos ne tik duoda atsakymą į problemą, bet ir veda išsamus sprendimas su paaiškinimais, t.y. rodomas limito skaičiavimo procesas.

Ši programa gali praversti bendrojo lavinimo mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą.

O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Apskaičiuokite limitą
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.

Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas. Palaukite

sek... Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą
, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje. Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką.

įveskite laukelius

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Funkcijos riba x->x 0

Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta tam tikroje aibėje X ir tegul taškas \(x_0 \in X\) arba \(x_0 \notin X\)
Paimkime iš X taškų seką, skirtingą nuo x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
suartėja su x*. Funkcijų reikšmės šios sekos taškuose taip pat sudaro skaitinę seką
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)

ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą. Apibrėžimas

. Skaičius A vadinamas funkcijos f(x) riba taške x = x 0 (arba x -> x 0), jei bet kuriai argumento x reikšmių sekai (1) skiriasi nuo x 0 konverguojant į x 0, atitinkama reikšmių seka (2) konverguoja į skaičių A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Funkcija f(x) taške x 0 gali turėti tik vieną ribą. Tai išplaukia iš to, kad seka

(f(x n)) turi tik vieną ribą.

ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą. Skaičius A vadinamas funkcijos f(x) riba taške x = x 0, jei bet kuriam skaičiui \(\varepsilon > 0\) yra skaičius \(\delta > 0\), kad visiems \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), tenkinant nelygybę \(|x-x_0| Naudojant loginius simbolius, šis apibrėžimas gali būti parašytas kaip
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Atkreipkite dėmesį, kad nelygybės \(x \neq x_0) , \; x-x_0 | \(\varepsilon - \delta \)“.
Šie du funkcijos ribos apibrėžimai yra lygiaverčiai ir galite naudoti bet kurį iš jų, priklausomai nuo to, kuris yra patogesnis sprendžiant konkrečią problemą.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos ribos apibrėžimas „sekų kalba“ dar vadinamas funkcijos ribos apibrėžimu pagal Heine, o funkcijos ribos apibrėžimas „kalba \(\varepsilon - \delta \)“ dar vadinamas funkcijos ribos apibrėžimu pagal Koši.

Funkcijos riba x->x 0 - ir x->x 0 +

Toliau naudosime vienpusių funkcijos ribų sąvokas, kurios apibrėžiamos taip.

ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą. Skaičius A vadinamas dešiniąja (kairiąja) funkcijos f(x) riba taške x 0, jei bet kuriai sekai (1), konverguojančiai į x 0, kurios elementai x n yra didesni (mažesni už) x 0, atitinkama seka. (2) sutampa su A.

Simboliškai parašyta taip:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Galime pateikti lygiavertį funkcijos vienpusių ribų apibrėžimą „kalba \(\varepsilon - \delta \)“:

ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą. skaičius A vadinamas dešiniąja (kairiąja) funkcijos f(x) riba taške x 0, jei bet kuriam \(\varepsilon > 0\) yra \(\delta > 0\) taip, kad visus x atitinka nelygybės \(x_0 simboliniai įrašai: