8 rasti tašką, simetrišką tiesės linijos atžvilgiu. Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje

Tiesi erdvė erdvėje visada gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija. Jei vienos plokštumos lygtis yra antrosios plokštumos lygtis, tada tiesės lygtis pateikiama kaip

Čia nekolinearinis
. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai erdvėje.

Kanoninės tiesės lygtys

Bet koks nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba jai lygiagretus, vadinamas šios tiesės krypties vektoriumi.

Jei esmė žinoma
tiesė ir jos krypties vektorius
, tada kanoninės linijos lygtys yra tokios formos:

. (9)

Parametrinės tiesės lygtys

Tegu pateiktos kanoninės tiesės lygtys

Iš čia gauname linijos parametrines lygtis:

(10)

Šios lygtys naudingos ieškant tiesės ir plokštumos susikirtimo taško.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis
Ir
turi formą:

Kampas tarp tiesių linijų

Kampas tarp tiesių linijų

lygus kampui tarp jų krypties vektorių. Todėl jį galima apskaičiuoti pagal (4) formulę:

Lygiagrečių linijų sąlyga:

Sąlyga, kad plokštumos būtų statmenos:

Taško atstumas nuo linijos

P tarkime, taškas duotas
ir tiesiai

Iš kanoninių tiesės lygčių žinome tašką
, priklausantis tiesei, ir jos krypties vektorius
. Tada taško atstumas
nuo tiesės lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, aukščiui Ir
. Vadinasi,

Sąlyga linijų susikirtimui

Dvi nelygiagrečios linijos

susikerta tada ir tik tada

Santykinė tiesės ir plokštumos padėtis.

Tegul yra nurodyta tiesi linija
ir lėktuvas. Kampas tarp jų galima rasti naudojant formulę

73 problema. Parašykite kanonines tiesės lygtis

(11)

Sprendimas. Norint užrašyti kanonines tiesės lygtis (9), reikia žinoti bet kurį tiesei priklausantį tašką ir tiesės krypties vektorių.

Raskime vektorių , lygiagrečiai šiai linijai. Kadangi jis turi būti statmenas šių plokštumų normaliesiems vektoriams, t.y.

,
, Tai

Iš bendrųjų tiesės lygčių turime tai
,
. Tada

Nuo taško
bet kurį tiesės tašką, tada jo koordinatės turi atitikti tiesės lygtis ir vieną iš jų galima nurodyti, pvz.
, randame kitas dvi koordinates iš sistemos (11):

Iš čia,
.

Taigi norimos linijos kanoninės lygtys turi tokią formą:

arba
.

74 problema.

Ir
.

Sprendimas. Iš pirmosios eilutės kanoninių lygčių žinomos taško koordinatės
priklausančios tiesei, ir krypties vektoriaus koordinates
. Iš antrosios eilutės kanoninių lygčių taip pat žinomos taško koordinatės
ir krypties vektoriaus koordinates
.

Atstumas tarp lygiagrečių tiesių yra lygus atstumui nuo taško
nuo antros tiesios linijos. Šis atstumas apskaičiuojamas pagal formulę

Raskime vektoriaus koordinates
.

Apskaičiuokime vektorinę sandaugą
:

75 problema. Raskite tašką simetriškas taškas
santykinai tiesus

Sprendimas. Užrašykime plokštumos, statmenos duotai tiesei ir einančios per tašką, lygtį . Kaip jo normalus vektorius galite paimti tiesės krypties vektorių. Tada
. Vadinasi,

Raskime tašką
šios tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas P. Tam, naudodami (10) lygtis, parašome tiesės parametrines lygtis, gauname

Vadinasi,
.

Leisti
taškas simetriškas taškui
šios linijos atžvilgiu. Tada nurodykite
vidurio taškas
. Norėdami rasti taško koordinates Mes naudojame atkarpos vidurio taško koordinačių formules:

,
,
.

Taigi,
.

76 problema. Parašykite plokštumos, einančios per tiesę, lygtį
Ir

a) per tašką
;

b) statmenai plokštumai.

Sprendimas. Užrašykime bendrąsias šios linijos lygtis. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite dvi lygybes:

Tai reiškia, kad norima plokštuma priklauso plokštumų pluoštui su generatoriais ir jos lygtį galima parašyti (8) forma:

a) Raskime
Ir nuo sąlygos, kad plokštuma eina per tašką
, todėl jo koordinatės turi tenkinti plokštumos lygtį. Pakeiskime taško koordinates
į krūvos plokštumų lygtį:

Rasta vertė
Pakeiskime jį į (12) lygtį. gauname norimos plokštumos lygtį:

b) Raskime
Ir nuo sąlygos, kad norima plokštuma yra statmena plokštumai. Duotos plokštumos normalusis vektorius
, norimos plokštumos normalusis vektorius (žr. plokštumų krūvos (12) lygtį).

Du vektoriai yra statmeni tada ir tik tada, kai jų taškinė sandauga yra lygi nuliui. Vadinasi,

Pakeiskime rastą vertę
į krūvos plokštumų lygtį (12). Gauname norimos plokštumos lygtį:

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

77 problema. Pateikite kanoninę linijų lygties formą:

1)
2)

78 problema. Parašykite tiesės parametrines lygtis
, Jei:

1)
,
; 2)
,
.

79 problema. Parašykite plokštumos, einančios per tašką, lygtį
statmena tiesei linijai

80 problema. Parašykite tiesės, einančios tašką, lygtis
statmenai plokštumai.

81 problema. Raskite kampą tarp tiesių:

1)
Ir
;

2)
Ir

82 problema.Įrodykite lygiagrečias tieses:

Ir
.

83 problema.Įrodykite linijų statmenumą:

84 problema. Apskaičiuokite taško atstumą
nuo tiesios linijos:

1)
; 2)
.

85 problema. Apskaičiuokite atstumą tarp lygiagrečių linijų:

Ir
.

86 problema. Tiesės lygtyse
apibrėžti parametrą kad ši tiesė susikirstų su linija ir raskite jų susikirtimo tašką.

87 problema. Parodykite, kad jis tiesus
lygiagrečiai plokštumai
, ir tiesia linija
slypi šioje plotmėje.

88 problema. Raskite tašką simetriškas taškas lėktuvo atžvilgiu
, Jei:

1)
, ;

2)
, ;.

89 problema. Parašykite statmens, nukritusio iš taško, lygtį
tiesiogiai
.

90 problema. Raskite tašką simetriškas taškas
santykinai tiesus
.

Duokime tam tikrą tiesę, nurodytą tiesine lygtimi, ir tašką, nurodytą jos koordinatėmis (x0, y0) ir nelydį šioje tiesėje. Būtina rasti tašką, kuris būtų simetriškas tam tikram taškui apie tam tikrą tiesę, tai yra, sutaptų su juo, jei plokštuma yra mintyse sulenkta per pusę išilgai šios tiesės.

Instrukcijos

1. Aišku, kad abu taškai – duotas ir norimas – turi gulėti toje pačioje tiesėje, o ši tiesė turi būti statmena duotajai. Taigi, pirmoji uždavinio dalis – atrasti tiesės, kuri būtų statmena kokiai nors duotai tiesei ir tuo pačiu eitų per tam tikrą tašką, lygtį.

2. Tiesią liniją galima nurodyti dviem būdais. Kanoninė linijos lygtis atrodo taip: Ax + By + C = 0, kur A, B ir C yra konstantos. Taip pat galite nustatyti tiesę naudodami tiesinę funkciją: y = kx + b, kur k yra kampinis rodiklis, b yra poslinkis. Šie du metodai yra keičiami ir galite pereiti nuo vieno prie kito. Jei Ax + By + C = 0, tai y = – (Ax + C)/B. Kitaip tariant, tiesinėje funkcijoje y = kx + b kampinis rodiklis k = -A/B, o poslinkis b = -C/B. Atliekant šią užduotį, patogiau samprotauti remiantis kanonine tiesės lygtimi.

3. Jei dvi tiesės yra statmenos viena kitai, o pirmosios eilutės lygtis yra Ax + By + C = 0, tada antrosios eilutės lygtis turėtų atrodyti taip: Bx – Ay + D = 0, kur D yra konstanta. Norint aptikti tam tikrą D reikšmę, reikia papildomai žinoti, per kurį tašką eina statmena linija. Šiuo atveju tai yra taškas (x0, y0). Vadinasi, D turi tenkinti lygybę: Bx0 – Ay0 + D = 0, tai yra, D = Ay0 – Bx0.

4. Aptikus statmeną tiesę, reikia apskaičiuoti jos susikirtimo su duotuoju tašku koordinates. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti tiesinių lygčių sistemą: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Jo sprendimas duos skaičius (x1, y1), kurie tarnauja kaip koordinatės tiesių susikirtimo taškas.

5. Norimas taškas turi gulėti ant aptiktos tiesės, o jo atstumas iki susikirtimo taško turi būti lygus atstumui nuo susikirtimo taško iki taško (x0, y0). Taigi simetriško taško (x0, y0) koordinates galima rasti sprendžiant lygčių sistemą: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Bet jūs galite tai padaryti lengviau. Jei taškai (x0, y0) ir (x, y) yra vienodu atstumu nuo taško (x1, y1), o visi trys taškai yra toje pačioje tiesėje, tai: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Vadinasi, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Pakeitus šias reikšmes į antrąją pirmosios sistemos lygtį ir supaprastinus išraiškas, nesunku įsitikinti, kad jos dešinioji pusė tampa tokia pati kaip ir kairioji. Be to, nėra prasmės toliau nagrinėti pirmąją lygtį, nes žinoma, kad taškai (x0, y0) ir (x1, y1) ją tenkina, o taškas (x, y) akivaizdžiai yra toje pačioje tiesėje. .

Užduotis – rasti taško, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu, koordinates . Siūlau veiksmus atlikti pačiam, bet pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:

1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.

2) Raskite linijų susikirtimo tašką: .

Abu veiksmai išsamiai aptariami šioje pamokoje.

3) Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Autorius atkarpos vidurio taško koordinačių formulės mes randame .

Būtų gerai patikrinti, ar atstumas taip pat yra 2,2 vnt.

Skaičiuojant čia gali kilti sunkumų, tačiau bokšte puikiai padeda mikroskaičiuotuvas, leidžiantis skaičiuoti paprastas trupmenas. Daug kartų jums patariau ir rekomenduosiu dar ne kartą.

Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?

9 pavyzdys

Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių

Tai dar vienas pavyzdys, kurį galite nuspręsti patys. Duosiu jums nedidelę užuominą: yra be galo daug būdų tai išspręsti. Aptarimas pamokos pabaigoje, bet geriau pabandyti atspėti patiems, manau, kad tavo išradingumas buvo gerai išvystytas.

Kampas tarp dviejų tiesių linijų

Kiekvienas kampas yra stakta:

Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių laikomas MAŽESNIU kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti bukas. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nelaikomas kampu tarp susikertančių linijų. Ir jo „žaliasis“ kaimynas arba priešingos krypties"aviečių" kampelis.

Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.

Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kryptis, kuria kampas yra „slenkamas“. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .

Kodėl aš tau tai sakiau? Atrodo, kad galime apsieiti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulės, pagal kurias rasime kampus, gali lengvai sukelti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę reikšmę. Brėžinyje, jei norite neigiamo kampo, būtinai nurodykite jo orientaciją rodykle (pagal laikrodžio rodyklę).

Kaip rasti kampą tarp dviejų tiesių? Yra dvi darbo formulės:

10 pavyzdys

Raskite kampą tarp eilučių

Sprendimas Ir Pirmasis metodas

Panagrinėkime dvi tieses, apibrėžtas lygtimis bendra forma:

Jei tiesiai ne statmenai, Tai orientuotas Kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę:

Atkreipkime dėmesį į vardiklį – būtent taip skaliarinis produktas tiesių linijų nukreipimo vektoriai:

Jei , tada formulės vardiklis tampa lygus nuliui, o vektoriai bus stačiakampiai, o linijos – statmenos. Štai kodėl formuluotėje buvo padaryta išlyga dėl tiesių linijų nestatumo.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, patogu sprendimą formalizuoti dviem etapais:

1) Apskaičiuokime tiesių krypties vektorių skaliarinę sandaugą:

2) Raskite kampą tarp tiesių naudodami formulę:

Naudojant atvirkštinę funkciją, lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame arctangento nelygumą (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės):

Atsakymas:

Atsakyme nurodome tikslią vertę, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.

Na, minusas, minusas, nieko tokio. Čia yra geometrinė iliustracija:

Nenuostabu, kad kampas pasirodė turintis neigiamą orientaciją, nes uždavinio teiginyje pirmasis skaičius yra tiesi ir kampo „atsukimas“ prasidėjo būtent nuo jo.

Jei tikrai norite gauti teigiamą kampą, turite sukeisti eilutes, tai yra, paimti koeficientus iš antrosios lygties , ir paimkite koeficientus iš pirmosios lygties. Trumpai tariant, reikia pradėti nuo tiesioginio .

Neslėpsiu, tiesias linijas renkuosi pati tokia tvarka, kad kampas būtų teigiamas. Taip gražiau, bet nieko daugiau.

Norėdami patikrinti savo sprendimą, galite paimti transporterį ir išmatuoti kampą.

Antras metodas

Jei tiesės pateiktos lygtimis su nuolydžiu ir ne statmenai, Tai orientuotas Kampą tarp jų galima rasti pagal formulę:

Tiesių statmenumo sąlyga išreiškiama lygybe, iš kurios, beje, išplaukia labai naudingas ryšys tarp statmenų tiesių kampinių koeficientų: , kuris naudojamas kai kuriuose uždaviniuose.

Sprendimo algoritmas yra panašus į ankstesnę pastraipą. Bet pirmiausia perrašykime savo tiesias linijas reikiama forma:

Taigi, šlaitai yra šie:

1) Patikrinkime, ar linijos yra statmenos:
, o tai reiškia, kad linijos nėra statmenos.

2) Naudokite formulę:

Atsakymas:

Antrasis metodas tinkamas naudoti, kai tiesių lygtys iš pradžių nurodomos kampiniu koeficientu. Pažymėtina, kad jei bent viena tiesė yra lygiagreti ordinačių ašiai, tai formulė iš viso netaikoma, nes tokioms tiesioms nuolydis nėra apibrėžtas (žr. straipsnį Tiesės lygtis plokštumoje).

Yra ir trečias sprendimas. Idėja yra apskaičiuoti kampą tarp tiesių krypties vektorių pagal pamokoje aptartą formulę Taškinė vektorių sandauga:

Čia jau kalbame ne apie orientuotą kampą, o „tik apie kampą“, tai yra, rezultatas tikrai bus teigiamas. Bėda ta, kad gali susidaryti bukas kampas (ne toks, kurio jums reikia). Tokiu atveju turėsite padaryti išlygą, kad kampas tarp tiesių yra mažesnis, ir atimti gautą lanko kosinusą iš „pi“ radianų (180 laipsnių).

Norintys gali problemą išspręsti trečiuoju būdu. Tačiau vis tiek rekomenduoju laikytis pirmojo požiūrio su orientuotu kampu, nes jis yra plačiai paplitęs.

11 pavyzdys

Raskite kampą tarp linijų.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pabandykite tai išspręsti dviem būdais.

Kažkaip pasaka pakeliui užgeso... Nes nėra Kaščejaus Nemirtingojo. Yra aš, ir aš nesu ypač garus. Tiesą sakant, maniau, kad straipsnis bus daug ilgesnis. Bet vis tiek pasiimsiu neseniai įsigytą kepurę ir akinius ir eisiu maudytis į rugsėjo mėnesio ežero vandenį. Puikiai pašalina nuovargį ir neigiamą energiją.

Greitai pasimatysime!

Ir atminkite, kad Baba Yaga nebuvo atšaukta =)

Sprendimai ir atsakymai:

3 pavyzdys:Sprendimas : Raskime linijos krypties vektorių :

Sudarykime norimos tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorius . Kadangi viena iš krypties vektoriaus koordinačių lygi nuliui, Eq. perrašykime į formą:

Atsakymas :

5 pavyzdys:Sprendimas :
1) Tiesės lygtis padarykime du taškus :

2) tiesės lygtis padarykime du taškus :

3) Atitinkami kintamųjų koeficientai neproporcinga: , o tai reiškia, kad linijos susikerta.
4) Raskite tašką :

Pastaba : čia pirmoji sistemos lygtis padauginama iš 5, tada 2-oji atimama iš 1-osios lygties.
Atsakymas :

Oi-oi-oi... na, sunku, lyg sau sakinį perskaitytų =) Tačiau vėliau padės atsipalaidavimas, juolab kad šiandien nusipirkau atitinkamus aksesuarus. Todėl pereikime prie pirmosios dalies, tikiuosi, kad iki straipsnio pabaigos išlaikysiu linksmą nuotaiką.

Santykinė dviejų tiesių padėtis

Taip būna, kai publika dainuoja kartu choru. Dvi tiesios linijos gali:

1) rungtynės;

2) būti lygiagrečiai: ;

3) arba susikerta viename taške: .

Pagalba manekenams : Atsiminkite matematinį sankryžos ženklą, jis pasirodys labai dažnai. Žymėjimas reiškia, kad tiesė kertasi su linija taške .

Kaip nustatyti santykinę dviejų linijų padėtį?

Pradėkime nuo pirmojo atvejo:

Dvi tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra skaičius „lambda“, kad lygybės būtų patenkintos

Panagrinėkime tiesias linijas ir iš atitinkamų koeficientų sukurkime tris lygtis: . Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad šios linijos sutampa.

Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai padauginkite iš –1 (pokyčio ženklai), ir visus lygties koeficientus supjaustę 2, gausite tą pačią lygtį: .

Antrasis atvejis, kai linijos lygiagrečios:

Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai yra proporcingi: , Bet.

Kaip pavyzdį apsvarstykite dvi tiesias linijas. Mes patikriname atitinkamų kintamųjų koeficientų proporcingumą:

Tačiau visiškai akivaizdu, kad.

Ir trečias atvejis, kai linijos susikerta:

Dvi tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai NĖRA proporcingi, tai yra, NĖRA tokios „lambda“ reikšmės, kad būtų tenkinamos lygybės

Taigi tiesioms linijoms sukursime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad , o iš antrosios lygties: , tai reiškia sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi kintamųjų koeficientai nėra proporcingi.

Išvada: linijos susikerta

Praktinėse problemose galite naudoti ką tik aptartą sprendimo schemą. Beje, tai labai primena vektorių kolineariškumo tikrinimo algoritmą, kurį žiūrėjome klasėje Vektorių tiesinės (ne)priklausomybės samprata. Vektorių pagrindas. Tačiau yra labiau civilizuota pakuotė:

1 pavyzdys

Sužinokite santykinę linijų padėtį:

Sprendimas remiantis tiesių linijų nukreipimo vektorių tyrimu:

a) Iš lygčių randame tiesių krypties vektorius: .

, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolinearūs ir linijos susikerta.

Tik tuo atveju, aš pastatysiu akmenį su ženklais sankryžoje:

Likusieji šokinėja per akmenį ir seka toliau, tiesiai į Kaščejų Nemirtingąjį =)

b) Raskite tiesių krypties vektorius:

Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba sutampa. Determinanto čia skaičiuoti nereikia.

Akivaizdu, kad nežinomųjų koeficientai yra proporcingi ir .

Išsiaiškinkime, ar lygybė yra tiesa:

Taigi,

c) Raskite tiesių krypties vektorius:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių:
, todėl krypties vektoriai yra kolineariniai. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.

Proporcingumo koeficientą „lambda“ lengva pamatyti tiesiai iš kolinearinių krypties vektorių santykio. Tačiau jį taip pat galima rasti pagal pačių lygčių koeficientus: .

Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė yra tiesa. Abi nemokamos sąlygos yra nulinės, todėl:

Gauta reikšmė tenkina šią lygtį (apskritai bet koks skaičius ją tenkina).

Taigi, linijos sutampa.

Atsakymas:

Labai greitai išmoksite (ar net jau išmokote) išspręsti žodžiu aptartą problemą pažodžiui per kelias sekundes. Šiuo atžvilgiu nematau prasmės ką nors pasiūlyti dėl nepriklausomo sprendimo, geriau kloti kitą svarbią plytą į geometrinį pamatą:

Kaip sukurti tiesę, lygiagrečią duotai?

Už šios paprasčiausios užduoties nežinojimą Lakštingala Plėšikas griežtai nubaudžia.

2 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi. Parašykite lygiagrečios tiesės, einančios per tašką, lygtį.

Sprendimas: Pažymėkime nežinomą eilutę raide . Ką apie ją sako būklė? Tiesi linija eina per tašką. O jei tiesės lygiagrečios, tai akivaizdu, kad tiesės krypties vektorius „tse“ tinka ir tiesei „de“ statyti.

Iš lygties išimame krypties vektorių:

Atsakymas:

Geometrijos pavyzdys atrodo paprastas:

Analitinis bandymas susideda iš šių etapų:

1) Patikriname, ar tiesės turi vienodą krypties vektorių (jei tiesės lygtis nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolineariniai).

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį.

Daugeliu atvejų analitinį testavimą galima nesunkiai atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai nustatys linijų lygiagretumą be jokio piešinio.

Nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai šiandien bus kūrybingi. Nes dar teks konkuruoti su Baba Yaga, o ji, žinai, yra įvairiausių mįslių mėgėja.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį

Yra racionalus ir ne toks racionalus būdas tai išspręsti. Trumpiausias kelias yra pamokos pabaigoje.

Šiek tiek dirbome su lygiagrečiomis linijomis ir prie jų grįšime vėliau. Sutampančių linijų atvejis mažai domina, todėl panagrinėkime problemą, kuri jums labai pažįstama iš mokyklos programos:

Kaip rasti dviejų tiesių susikirtimo tašką?

Jei tiesiai susikerta taške , tada jo koordinatės yra sprendimas tiesinių lygčių sistemos

Kaip rasti linijų susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.

Štai jums dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos geometrinė reikšmė- tai dvi susikertančios (dažniausiai) linijos plokštumoje.

4 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką

Sprendimas: Yra du sprendimo būdai – grafinis ir analitinis.

Grafinis metodas yra tiesiog nubrėžti nurodytas linijas ir sužinoti susikirtimo tašką tiesiai iš brėžinio:

Štai mūsų mintis: . Norėdami patikrinti, turėtumėte pakeisti jos koordinates į kiekvieną linijos lygtį, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Iš esmės mes žiūrėjome į grafinį sprendimą tiesinių lygčių sistemos su dviem lygtimis, dviem nežinomaisiais.

Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad septintokai taip nusprendžia, esmė ta, kad prireiks laiko sukurti teisingą ir TIKSLIĄ piešinį. Be to, kai kurias tiesias linijas nėra taip lengva nubrėžti, o pats susikirtimo taškas gali būti kažkur trisdešimtoje karalystėje už užrašų knygelės lapo.

Todėl sankirtos taško tikslingiau ieškoti analitiniu metodu. Išspręskime sistemą:

Sistemai išspręsti taikytas lygčių termino sudėjimo metodas. Norėdami lavinti atitinkamus įgūdžius, eikite į pamoką Kaip išspręsti lygčių sistemą?

Atsakymas:

Patikrinimas yra trivialus – susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti kiekvieną sistemos lygtį.

5 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jos susikerta.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Patogu užduotį skaidyti į kelis etapus. Būklės analizė rodo, kad būtina:
1) Užrašykite tiesės lygtį.
2) Užrašykite tiesės lygtį.
3) Išsiaiškinkite santykinę linijų padėtį.
4) Jei linijos susikerta, raskite susikirtimo tašką.

Veiksmų algoritmo kūrimas būdingas daugeliui geometrinių uždavinių, ir aš ne kartą sutelksiu dėmesį į tai.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje:

Net pora batų nebuvo nusidėvėję, kol patekome į antrąją pamokos dalį:

Statmenos linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp tiesių linijų

Pradėkime nuo tipiškos ir labai svarbios užduoties. Pirmoje dalyje išmokome nutiesti tiesią liniją, lygiagrečią šiai, o dabar namelis ant vištienos kojų pasisuks 90 laipsnių:

Kaip sukurti tiesę, statmeną duotai?

6 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi. Parašykite lygtį, statmeną tiesei, einančia per tašką.

Sprendimas: Pagal sąlygą žinoma, kad . Būtų malonu rasti linijos nukreipimo vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, gudrybė paprasta:

Iš lygties „pašaliname“ normalųjį vektorių: , kuris bus tiesės krypties vektorius.

Sudarykime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Atsakymas:

Išplėskime geometrinį eskizą:

Hmm... Oranžinis dangus, oranžinė jūra, oranžinis kupranugaris.

Analitinis tirpalo patikrinimas:

1) Iš lygčių išimame krypties vektorius ir su pagalba vektorių skaliarinė sandauga darome išvadą, kad tiesės iš tiesų yra statmenos: .

Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį .

Testą, vėlgi, lengva atlikti žodžiu.

7 pavyzdys

Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma ir laikotarpis.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Uždavinyje yra keli veiksmai, todėl sprendimą patogu formuluoti taškas po taško.

Mūsų įdomi kelionė tęsiasi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Prieš mus yra tiesi upės ruožas ir mūsų užduotis yra pasiekti ją trumpiausiu keliu. Kliūčių nėra, o optimaliausias maršrutas bus judėti statmenai. Tai reiškia, kad atstumas nuo taško iki linijos yra statmenos atkarpos ilgis.

Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide „rho“, pavyzdžiui: – atstumas nuo taško „em“ iki tiesės „de“.

Atstumas nuo taško iki linijos išreikšta formule

8 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško iki linijos

Sprendimas: viskas, ką jums reikia padaryti, tai atsargiai pakeisti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:

Atsakymas:

Padarykime piešinį:

Rastas atstumas nuo taško iki linijos yra tiksliai raudonos atkarpos ilgis. Jei piešiate piešinį ant languoto popieriaus 1 vieneto masteliu. = 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprasta liniuote.

Apsvarstykime kitą užduotį, pagrįstą tuo pačiu piešiniu:

Užduotis – rasti taško, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu, koordinates . Siūlau veiksmus atlikti pačiam, bet pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:

1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.

2) Raskite linijų susikirtimo tašką: .

Abu veiksmai išsamiai aptariami šioje pamokoje.

3) Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Autorius atkarpos vidurio taško koordinačių formulės mes randame .

Būtų gerai patikrinti, ar atstumas taip pat yra 2,2 vnt.

Skaičiuojant čia gali kilti sunkumų, tačiau bokšte puikiai padeda mikroskaičiuotuvas, leidžiantis skaičiuoti paprastas trupmenas. Daug kartų jums patariau ir rekomenduosiu dar ne kartą.

Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?

9 pavyzdys

Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių

Kampas tarp dviejų tiesių linijų

Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.

Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kryptis, kuria kampas yra „slenkamas“. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .

Kaip rasti kampą tarp dviejų tiesių? Yra dvi darbo formulės:

10 pavyzdys

Raskite kampą tarp eilučių

Sprendimas Ir Pirmasis metodas

Panagrinėkime dvi tieses, apibrėžtas lygtimis bendra forma:

Jei tiesiai ne statmenai, Tai orientuotas Kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę:

Atkreipkime dėmesį į vardiklį – būtent taip skaliarinis produktas tiesių linijų nukreipimo vektoriai:

Jei , tada formulės vardiklis tampa lygus nuliui, o vektoriai bus stačiakampiai, o linijos – statmenos. Štai kodėl formuluotėje buvo padaryta išlyga dėl tiesių linijų nestatumo.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, patogu sprendimą formalizuoti dviem etapais:

1) Apskaičiuokime tiesių krypties vektorių skaliarinę sandaugą:
, o tai reiškia, kad linijos nėra statmenos.

2) Raskite kampą tarp tiesių naudodami formulę:

Naudojant atvirkštinę funkciją, lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame arctangento nelygumą (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės):

Atsakymas:

Atsakyme nurodome tikslią vertę, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.

Na, minusas, minusas, nieko tokio. Čia yra geometrinė iliustracija:

Nenuostabu, kad kampas pasirodė neigiamos orientacijos, nes uždavinio teiginyje pirmasis skaičius yra tiesi linija ir kampo „atsukimas“ prasidėjo būtent nuo jo.

Problemos formulavimas. Raskite simetriško taško koordinates lėktuvo atžvilgiu.

Sprendimo planas.

1. Raskite tiesės, statmenos duotajai plokštumai ir einančios per tašką, lygtį . Kadangi tiesė yra statmena duotai plokštumai, tai jos krypties vektoriumi galima paimti normalųjį plokštumos vektorių, t.y.

Todėl tiesės lygtis bus tokia

2. Raskite tašką tiesios linijos sankirta ir plokštumos (žr. 13 uždavinį).

3. Taškas yra atkarpos, kurioje taškas, vidurio taškas yra taškas, simetriškas taškui , Štai kodėl

14 problema. Raskite tašką, simetrišką taškui plokštumos atžvilgiu.

Tiesios linijos, einančios per tašką, statmeną nurodytai plokštumai, lygtis bus tokia:

Raskime tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką.

Kur – tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas yra atkarpos vidurys

Tie. .

Homogeninės plokštumos koordinatės. Afininės transformacijos plokštumoje.

Leisti M X Ir adresu

M(X, adresuMae (X, adresu, 1) erdvėje (8 pav.).

Mae (X, adresu

Mae (X, adresu hu.

(hx, hy, h), h  0,

komentuoti

h(Pavyzdžiui, h

Tiesą sakant, atsižvelgiant į h

komentuoti

1 pavyzdys.

b) kampu (9 pav.).

1 žingsnis.

2 žingsnis. Pasukite kampu 

atitinkamos transformacijos matrica.

3 žingsnis. Perkėlimas į vektorių A(a, b)

atitinkamos transformacijos matrica.

3 pavyzdys

 išilgai x ašies ir

1 žingsnis.

atitinkamos transformacijos matrica.

2 žingsnis.

3 žingsnis.

pagaliau sulauksime

komentuoti

[R], [D], [M], [T],

Leisti M- savavališkas plokštumos taškas su koordinatėmis X Ir adresu, apskaičiuotas tam tikros tiesinės koordinačių sistemos atžvilgiu. Vienarūšės šio taško koordinatės yra bet koks vienu metu nulinių skaičių x 1, x 2, x 3 trigubas, susietas su nurodytais skaičiais x ir y šiais ryšiais:

Sprendžiant kompiuterinės grafikos uždavinius vienarūšės koordinatės dažniausiai įvedamos taip: į savavališką tašką M(X, adresu) plokštumai priskiriamas taškas Mae (X, adresu, 1) erdvėje (8 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad savavališkas taškas tiesėje, jungiančioje pradinį tašką 0(0, 0, 0), su tašku Mae (X, adresu, 1), gali būti pateiktas formos skaičių trigubu (hx, hy, h).

Vektorius su koordinatėmis hx, hy yra tiesės, jungiančios taškus 0 (0, 0, 0) ir Mae (X, adresu, 1). Ši linija kerta z = 1 plokštumą taške (x, y, 1), kuris vienareikšmiškai apibrėžia koordinačių plokštumos tašką (x, y). hu.

Taigi tarp savavališko taško su koordinatėmis (x, y) ir formos skaičių trigubų rinkinio

(hx, hy, h), h  0,

nustatomas (vienas su vienu) atitikimas, leidžiantis skaičius hx, hy, h laikyti naujomis šio taško koordinatėmis.

komentuoti

Plačiai naudojamos projekcinėje geometrijoje, vienarūšės koordinatės leidžia efektyviai apibūdinti vadinamuosius netinkamus elementus (iš esmės tuos, kurių projekcinė plokštuma skiriasi nuo pažįstamos Euklido plokštumos). Išsamiau apie naujas galimybes, kurias suteikia įvestos vienarūšės koordinatės, aptariama ketvirtoje šio skyriaus dalyje.

Projekcinėje geometrijoje vienarūšėms koordinatėms priimamas toks žymėjimas:

x:y:1 arba, apskritai, x1:x2:x3

(atminkite, kad čia būtina, kad skaičiai x 1, x 2, x 3 tuo pačiu metu netaptų nuliu).

Vienarūšių koordinačių naudojimas pasirodo patogus net ir sprendžiant paprasčiausias problemas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, su masto pokyčiais susijusius klausimus. Jei rodymo įrenginys veikia tik su sveikaisiais skaičiais (arba jei jums reikia dirbti tik su sveikaisiais skaičiais), tada pasirenkama savavališka reikšmė h(Pavyzdžiui, h= 1) taškas su vienarūšėmis koordinatėmis

neįmanoma įsivaizduoti. Tačiau pagrįstai pasirinkus h, galima užtikrinti, kad šio taško koordinatės būtų sveikieji skaičiai. Visų pirma, h = 10 nagrinėjamam pavyzdžiui turime

Panagrinėkime kitą atvejį. Kad transformacijos rezultatai nesukeltų aritmetinio perpildymo, taškui su koordinatėmis (80000 40000 1000) galite paimti, pavyzdžiui, h=0,001. Rezultate gauname (80 40 1).

Pateikti pavyzdžiai parodo vienarūšių koordinačių naudojimo naudingumą atliekant skaičiavimus. Tačiau pagrindinis homogeninių koordinačių įvedimo kompiuterinėje grafikoje tikslas yra neabejotinas jų patogumas taikant geometrines transformacijas.

Naudojant vienarūšių koordinačių trigubus ir trečiosios eilės matricas, galima aprašyti bet kokią afininę plokštumos transformaciją.

Tiesą sakant, atsižvelgiant į h= 1, palyginkite du įrašus: pažymėtus simboliu * ir toliau pateiktą matricą:

Nesunku pastebėti, kad padauginus paskutinio ryšio dešinėje pusėje esančias išraiškas, gauname ir formules (*), ir teisingą skaitinę lygybę 1=1.

komentuoti

Kartais literatūroje naudojamas kitas žymėjimas - stulpelis:

Šis žymėjimas yra lygiavertis aukščiau pateiktam žymėjimui eilutė po eilutės (ir gaunamas iš jo perkeliant).

Savavališkos afininės transformacijos matricos elementai neturi aiškios geometrinės reikšmės. Todėl norint įgyvendinti tą ar kitą kartografavimą, tai yra rasti atitinkamos matricos elementus pagal pateiktą geometrinį aprašymą, reikia specialių technikų. Paprastai šios matricos kūrimas, atsižvelgiant į nagrinėjamos problemos sudėtingumą ir aukščiau aprašytus specialius atvejus, yra padalintas į kelis etapus.

Kiekviename etape ieškoma matricos, atitinkančios vieną ar kitą iš aukščiau paminėtų A, B, C arba D atvejų, kurie turi tiksliai apibrėžtas geometrines savybes.

Užrašykime atitinkamas trečiosios eilės matricas.

A. Sukimosi matrica

B. Dilatacinė matrica

B. Atspindžio matrica

D. Perkėlimo matrica (vertimas)

Panagrinėkime afininių plokštumos transformacijų pavyzdžius.

1 pavyzdys.

Sukurkite sukimosi matricą aplink tašką A (a,b) kampu (9 pav.).

1 žingsnis. Perkelkite į vektorių – A (-a, -b), kad sukimosi centras būtų suderintas su koordinačių pradžia;

atitinkamos transformacijos matrica.

2 žingsnis. Pasukite kampu 

atitinkamos transformacijos matrica.

3 žingsnis. Perkėlimas į vektorių A(a, b) grąžinti sukimosi centrą į ankstesnę padėtį;

atitinkamos transformacijos matrica.

Padauginkime matricas ta pačia tvarka, kokia jos parašytos:

Dėl to matome, kad reikalinga transformacija (matricos žymėjimu) atrodys taip:

Gautos matricos elementus (ypač paskutinėje eilutėje) įsiminti nėra taip paprasta. Tuo pačiu metu kiekvieną iš trijų padaugintų matricų galima lengvai sudaryti iš atitinkamo atvaizdavimo geometrinio aprašymo.

3 pavyzdys

Sukurkite tempimo matricą su tempimo koeficientais išilgai x ašies ir išilgai ordinačių ašies, o centras yra taške A(a, b).

1 žingsnis. Perkelkite į vektorių -A(-a, -b), kad sulygintumėte tempimo centrą su koordinačių pradžia;

atitinkamos transformacijos matrica.

2 žingsnis. Tempimas išilgai koordinačių ašių su koeficientais  ir  atitinkamai; transformacijos matrica turi formą

3 žingsnis. Perkelkite į vektorių A(a, b), kad grąžintumėte tempimo centrą į ankstesnę padėtį; atitinkamos transformacijos matrica –

Matricų dauginimas ta pačia tvarka

pagaliau sulauksime

komentuoti

Samprotavimas panašiu būdu, tai yra, siūlomos transformacijos suskaidymas į matricomis palaikomus etapus[R], [D], [M], [T], pagal geometrinį aprašymą galima sukurti bet kurios afininės transformacijos matricą.

Shift įgyvendinamas sudėjus, o mastelio keitimas ir pasukimas – daugybos būdu.

Mastelio keitimo transformacija (išsiplėtimas), palyginti su kilme, turi tokią formą:

arba matricos forma:

Kur Dx,Dy yra mastelio koeficientai išilgai ašių ir

- mastelio matrica.

Kai D > 1, įvyksta plėtimasis, kai 0<=D<1- сжатие

Sukimosi transformacija pagal kilmę turi tokią formą:

arba matricos forma:

čia φ yra sukimosi kampas ir

- sukimosi matrica.

komentaras: Sukimosi matricos stulpeliai ir eilutės yra tarpusavyje stačiakampiai vienetiniai vektoriai. Tiesą sakant, eilučių vektorių ilgių kvadratai yra lygūs vienetui:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 ir (-sinφ) (-sinφ) + cosφ cosφ = 1,

o eilučių vektorių skaliarinė sandauga yra

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Kadangi vektorių skaliarinė sandauga A · B = |A| ·| B| ·cosψ, kur | A| - vektoriaus ilgis A, |B| - vektoriaus ilgis B, o ψ yra mažiausias teigiamas kampas tarp jų, tada iš dviejų 1 ilgio eilučių vektorių skaliarinės sandaugos lygybės 0 išplaukia, kad kampas tarp jų yra 90 °.