Pabandykite nuspręsti patys!
Jei kas nors nepavyksta, nenusiminkite, atsakymas ir sprendimas yra žemiau.

1. Kiek kartų per dieną laikrodžio rodmenys turi savybę, kad sukeitę minučių ir valandų rodykles sulauksime prasmingo laikrodžio rodmens?

2. Kiek kartų per dieną valandų ir minučių rodyklės sudaro stačią kampą?

3. Po kiek minučių (įprastos) laikrodžio rodyklės vėl sutaps po išlyginimo?

4. Kiek kartų yra skaičius, rodantis, kiek kartų antros rodyklės greitis yra didesnis už minutinės rodyklės greitį, didesnis už skaičių, rodantį, kiek kartų minutės rodyklės greitis yra didesnis už valandos rodyklės greitį?

5. Kiek kartų valandinės rodyklės bus viena ant kitos per 12 valandų?

6. Kai kurie darbai buvo pradėti penktą valandą, o baigti aštuntą, o laikrodžio rodmenys darbo pradžioje ir pabaigoje paverčiami vienas į kitą, jei sukeičiamos valandų ir minučių rodyklės. Nustatykite darbo trukmę ir parodykite, kad darbo pradžioje ir pabaigoje rodyklės buvo vienodai nukrypusios nuo vertikalios krypties.

7. Kiek kartų per dieną minučių rodyklė lenkia valandų rodyklę? O kaip sekundė?

8. Laikrodis išmušė vidurnaktį. Kiek kartų ir kokiais laiko momentais iki kito vidurnakčio bus sulygiuotos valandų ir minučių rodyklės?

9. Tarp kokių skaičių yra sekundės rodyklė, kai valandos rodyklė pirmą kartą sutampa su minučių rodykle popiet?

10. Kodėl laikrodžio rodyklės juda iš kairės į dešinę (pagal laikrodžio rodyklę), o ne atvirkščiai?

11. Laikrodžio su trimis rodyklėmis – valandos, minutės ir sekundės – 12 valandą visos trys rodyklės sutampa. Ar yra kitų kartų, kai visos trys rodyklės sutampa?

12. Siūloma problema Lewisas Carrollas : Kurie laikrodžiai tiksliau rodo laiką: tie, kurie atsilieka minute per dieną, ar tie, kurie visai nevažiuoja?

13. Kiek laipsnių per minutę pasisuka minutinė rodyklė? Valandos rodyklė?

14. Nustatykite kampą tarp laikrodžio valandų ir minučių rodyklių, rodančių 1 valandą 10 minučių, jei abi rodyklės juda pastoviu greičiu.

15.

16. Tačiau tikriausiai pastebėjote, kad tai ne vienintelis momentas, kai susitinka laikrodžių rodyklės: per dieną jos kelis kartus aplenkia. Ar galite nurodyti, kada taip nutinka?

17. Kada bus kitas susitikimas?

18. 6 valandą, atvirkščiai, abi rankos nukreiptos priešingomis kryptimis. Bet ar tai atsitinka tik 6 valandą, ar yra kitų momentų, kai rankos yra taip išdėstytos?

19. Pažiūrėjau į laikrodį ir pastebėjau, kad abi rodyklės yra vienodu atstumu nuo skaičiaus 6, abiejose jo pusėse. Kiek tai buvo valanda?

20. Kuriuo metu minučių rodyklė lenkia valandų rodyklę lygiai tiek pat, kiek valandų rodyklė lenkia skaičių 12 ciferblate? O gal tokių akimirkų per dieną būna keletas arba jų visai nėra?

21. Kokį kampą laiko laikrodžio rodyklė 12:20?

22. Raskite kampą tarp valandų ir minučių rodyklių a) ties 9 valanda 15 minučių; b) 14:12?

23. Kai kampas tarp laikrodžio valandų ir minučių rodyklių yra didesnis nei a) 13:45 arba 22:15; b) 13:43 arba 22:17; c) t minučių po vidurdienio ar t minučių iki vidurnakčio?

24. Laikrodžio rodyklės ką tik sulygiuotos. Po kiek minučių jie „žiūrės“ į priešingas puses?

25. Kaip galime paaiškinti, kad veikiančiame laikrodyje minučių rodyklė per vieną sekundę praėjo 6 minutes?

26. Tiksliu chronometru nustatyta, kad vienodai (bet netinkamu greičiu!) einančio laikrodžio valandų ir minučių rodyklės sutampa kas 66 minutes. Kiek minučių per valandą šis laikrodis yra greitas ar lėtas?

27. Italijoje jie gamina laikrodžius, kuriuose valandinė rodyklė daro vieną apsisukimą per dieną, o minučių rodyklė – 24 apsisukimus per dieną, ir, kaip įprasta, minučių rodyklė yra ilgesnė nei valandų rodyklė (įprastame laikrodyje valandų rodyklė daro du apsisukimai per dieną, o minučių rodyklė sudaro 24). Panagrinėkime visas dviejų rodyklių ir nulinio padalijimo padėtis, kurios yra tiek itališkuose, tiek įprastuose laikrodžiuose. Kiek tokių nuostatų yra? (Nulinis ženklas žymi 24 valandas itališkuose laikrodžiuose ir 12 valandų įprastuose laikrodžiuose).

28. Vasya matavo matuokliu ir užrašė į sąsiuvinį kampus tarp valandų ir minučių rodyklių, pirmiausia 8:20, o paskui 9:25. Po to Petya paėmė savo transporterį. Padėkite Vasjai rasti kampus tarp rodyklių 10:30 ir 11:35.

29. Kiek kartų laikrodžio minučių ir valandų rodyklės sutampa nuo 12:00 iki 23:59?

30. Dabar vidurdienis. Kada kitą kartą valandų ir minučių rodyklės sutaps?

31. Nurodykite bent vieną laiko tašką, išskyrus 6:00 ir 18:00, kai teisingai veikiančio laikrodžio valandų ir minučių rodyklės rodo priešingas puses.

32. Kai Petya pradėjo spręsti šią problemą, jis pastebėjo, kad jo laikrodžio valandų ir minučių rodyklės sudaro stačią kampą. Kol jis sprendė, kampas visada buvo bukas, o kai Petja baigė jį spręsti, kampas vėl tapo teisingas. Kiek laiko Petya praleido spręsdama šią problemą?

33. Petya pabudo aštuntą valandą ryto ir pastebėjo, kad jo žadintuvo valandinė rodyklė dalija kampą tarp minučių rodyklės ir varpo rodyklės, rodančios skaičių 8. Po kiek laiko turėtų suskambėti žadintuvas?

34. Kolia eidavo grybauti nuo aštuntos iki devintos valandos ryto tuo metu, kai jo laikrodžio valandos ir minučių rodyklės buvo sulygiuotos. Namo jis grįžo tarp antros ir trečios valandos po pietų, o laikrodžio rodyklės buvo nukreiptos priešingomis kryptimis. Kiek truko Kolios pasivaikščiojimas?

35. Mokinys uždavinį pradėjo spręsti tarp 9 ir 10 val., baigė 12 – 13 val. Kiek laiko jam prireikė išspręsti problemą, jei per tą laiką laikrodžio valandų ir minučių rodyklės apsikeitė vietomis?

36. Kiek kartų per dieną tinkamai veikiančio laikrodžio valandų ir minučių rodyklės sudaro 30 laipsnių kampą?

37. Priešais jus stovi laikrodis. Kiek yra rankų pozicijų, kurios negali pasakyti laiko, nebent žinote, kuri ranka yra valandų rodyklė, o kuri – minučių rodyklė? (Manoma, kad kiekvienos rodyklės padėtį galima tiksliai nustatyti, tačiau neįmanoma stebėti, kaip jos juda.)

38. Antipodų pasaulyje laikrodžio minutinė rodyklė juda įprastu greičiu, bet priešinga kryptimi. Kiek kartų per dieną antipodinių laikrodžių rodyklės a) sutampa; b) priešingai?

39. Kiek kartų per dieną antipodiniai laikrodžiai gali nesiskirti nuo įprastų (jei nežinote, koks laikas iš tikrųjų)?

40. Vidurdienį musė atsisėdo ant laikrodžio antrosios rodyklės ir nuvažiavo, laikydamasi šių taisyklių: jei aplenkia kokią nors rodyklę arba aplenkia kokia nors rodyklė (laikrodis turi valandų ir minučių rodykles) , tada musė šliaužia ant šios rankos. Kiek apskritimų musė nukeliaus per valandą?

Laiko modelis

Išsiaiškinkite laikrodžio laiko pokyčio modelį ir nustatykite, ką turėtų rodyti penktuoju numeriu pažymėtas laikrodis.

OGE užduotys

Vieningų valstybinių egzaminų užduotys

1. Laikrodis su rodyklėmis rodo 8 valandas 00 minučių. Po kiek minučių minučių rodyklė sutaps ketvirtą kartą su valandos rodykle?

Ši užduotis nėra sunkesnė už užduotį judėti ratu. Mūsų valandų ir minučių rodyklės juda ratu. Minučių rodyklė per valandą apeina visą ratą, tai yra 360°. Reiškia, jo greitis yra 360° per valandą. Valandų rodyklė juda 30° kampu per valandą (tai kampas tarp dviejų gretimų ciferblato skaičių). Reiškia, jo greitis yra 30° per valandą.

8:00 val. atstumas tarp rankų yra 240°:

Tegul minučių rodyklė pirmą kartą susitinka su valandų rodykle po t valandų. Per šį laiką minučių rodyklė nukeliaus 360°t, o valandų rodyklė 30°t, o minučių rodyklė 240° daugiau nei valandų rodyklė. Gauname lygtį:

360°t-30°t = 240°

t = 240°/330° = 8/11

Tai yra, po 8/11 valandos rankos pirmą kartą susidurs.

Dabar, prieš kitą susitikimą, minučių rodyklė nukeliaus 360° daugiau nei valandos rodyklė. Tegul tai įvyksta per x valandas.

Gauname lygtį:

360°x-30°x=360°. Taigi x=12/11. Ir taip dar du kartus.

Gauname, kad minučių rodyklė ketvirtą kartą lygiuos su valandų rodykle per 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 valandas = 240 minučių.

Atsakymas: 240 min.

2. Laikrodis su rodyklėmis rodo 1 valandą 35 minutes. Po kiek minučių minučių rodyklė susidės su valandų rodykle dešimtą kartą?

Šiame uždavinyje rodyklių judėjimo greitį išreikšime laipsniais/min.

Minutės rodyklės greitis yra 360˚/60=6˚ per minutę.

Valandinės rodyklės greitis yra 30˚/60=0,5˚ per minutę.

0 valandą valandų ir minučių rodyklės padėtis sutapo. 1 valanda 35 minutės yra 95 minutės. Per šį laiką minučių rodyklė pasislinko 95x6=570˚=360˚+210˚, o valandų rodyklė 95x0,5˚=47,5˚. Ir mes turime tokį paveikslėlį:

Rodyklės pirmą kartą susidurs po to, kai valandinė rodyklė pasisuks , o minučių rodyklė pasisuks 150˚+47,5˚ daugiau. Gauname lygtį:

Kitą kartą rodyklės susitinka, kai minučių rodyklė aplenkia vieną ratą ilgiau nei valandų rodyklė:

Ir taip 9 kartus.

Dešimtą kartą minučių rodyklė bus lygiuojama su valandos rodykle minučių

1. per 12 valandų 132, per 24 valandas 264 akimirkos plius 22 perdangos, iš viso 286

2. Valandų rodyklė daro 2 apsisukimus per dieną, o minučių rodyklė – 24 apsisukimus. Nuo čia minučių rodyklė valandinę lenkia 22 kartus ir kiekvieną kartą su valandų rodykle susidaro du stačiakampiai, t.y. atsakymas - 44 .

3. Nesunku suprasti, kad tai įvyks po 1 valandos 5 5/11 minučių, tai yra, po 2 valandų 10 10/11 minučių. Kitas – po dar 1 valandos 5 5/11 minučių, tai yra 3 val. 16 4/11 minučių ir tt Visi susitikimai, kaip nesunkiai matote, bus 11; 11-oji įvyks 11/11 -12 valandų po pirmosios, tai yra 12 val.; kitaip tariant, tai sutampa su pirmuoju susitikimu, o tolimesni susitikimai bus kartojami tais pačiais momentais.

Štai visos susitikimų akimirkos:

1 susitikimas – 1 valanda 5 5/11 min

2 - "2 valandos 10/11"

3-ioji "-"3 valandos 16 4/11"

4 - "4 valandos 21/11"

5 - "5 val. 27 3/11"

6 " - "6 val. 32 8/11"

2 valandos 46 153 min.

7. Valandinė rodyklė daro 2 apsisukimus per dieną, o minučių rodyklė – 24 apsisukimus. Nuo čia minučių rodyklė aplenkia valandų rodyklę 22 laikai.

9 . 4 ir 5

10. Būtent taip šešėlis juda pačiomis pirmomis valandomis – saulė. O tada mechaniniai laikrodžiai nukopijavo rankų judėjimo kryptį. Beje, pietiniame pusrutulyje yra atvirkščiai – šešėlis saulės laikrodyje juda prieš laikrodžio rodyklę. Per valandą minutinė rodyklė padaro visišką apsisukimą. Tai reiškia, kad per minutę jis pasisuka 1/60 360° kampo, tai yra 6°. Valandinė rodyklė per valandą apvažiuoja 1/12 apskritimo, tai yra, juda 12 kartų lėčiau nei minučių rodyklė. Per minutę jis pasisuka 0,5°.

14 . 1:00 minučių rodyklė buvo 30° atsilikusi nuo valandos rodyklės. Per 10 minučių, praėjusių nuo šio momento, valandų rodyklė „nukeliaus“ 5°, o minučių rodyklė – 60°, taigi kampas tarp jų yra 60° – 30° – 5° = 25°.

15 . Tegu x yra laiko tarpas minutėmis, kuris turi praeiti, kol rodyklės bus pastatytos toje pačioje tiesėje ir nukreiptos skirtingomis kryptimis. Per šį laiką minučių rodyklė turės laiko nukeliauti x ciferblato minučių padalomis, o valandų rodyklė – x/12 minučių. Kai rodyklės yra išdėstytos toje pačioje tiesėje ir nukreiptos skirtingomis kryptimis, jos bus atskirtos ciferblato 30 minučių padalomis. Tai reiškia, kad šiuo metu x – x/12 = 30, taigi x = 32 (8/11). Po 32 (8/11) minučių rodyklės „žiūrės“ į priešingas puses.

16 . Pradėkime stebėti rankų judėjimą 12 val. Šiuo metu abi strėlės dengia viena kitą. Kadangi valandų rodyklė juda 12 kartų lėčiau nei minučių rodyklė (nurodo pilną ratą 12 val., o minučių rodyklė 1 valandą), tai, žinoma, kitą valandą rodyklės negali susitikti. Bet praėjo valanda; valandinė rodyklė yra 1 skaičiuje, padariusi 1/12 viso apsisukimo; Minutės laikrodis padarė pilną apsisukimą ir vėl stovi ties 12 – 1/12 apskritimo už valandos laikrodžio. Dabar varžybų sąlygos kitokios nei anksčiau: valandos rodyklė juda lėčiau nei minučių rodyklė, tačiau ji yra priekyje, o minučių rodyklė turi ją pasivyti. Jei varžybos truktų visą valandą, tai per tą laiką minučių rodyklė apsuktų visą ratą, o valandų rodyklė sudarytų 1/12 apskritimo, tai yra, minutinė rodyklė apsuktų 11/12 apskritimo daugiau. Tačiau norint pasivyti valandų rodyklę, minučių rodyklė turi nukeliauti daugiau nei valandų rodyklė, tik ta 1/12 apskritimo, kuri jas skiria. Tai užtruks ne visą valandą, o tiek pat laiko, kiek 1/12 yra mažiau nei 11/12, tai yra 11 kartų. Tai reiškia, kad rankos susitiks per 1/11 valandos, tai yra per 60/11 = 5 5/11 minučių. Taigi rankų susitikimas įvyks praėjus 5 5/11 minučių po 1 valandos, tai yra, 5 5/11 sekundės minučių.

21. Atsakymas: Nesunku suprasti, kad tai įvyks po 1 valandos 5 5/11 minučių, tai yra, po 2 valandų 10 10/11 minučių. Kitas – po dar 1 valandos 5 5/11 minučių, tai yra 3 val. 16 4/11 minučių ir tt Visi susitikimai, kaip nesunkiai matote, bus 11; 11-oji įvyks 11/11 -12 valandų po pirmosios, tai yra 12 val.; kitaip tariant, tai sutampa su pirmuoju susitikimu, o tolimesni susitikimai bus kartojami tais pačiais momentais. Štai visi susitikimų momentai:

24. Tegul abi rodyklės stovi ties 12, o tada laikrodis nutolsta nuo 12 tam tikra pilno apsisukimo dalimi, kurią pažymėsime raide x. Per tą patį laiką minučių rodyklė pasisuko 12 kartų. Jei praėjo ne daugiau kaip valanda, tada, kad būtų įvykdytas mūsų užduoties reikalavimas, būtina, kad minutinė rodyklė būtų nutolusi nuo viso apskritimo galo tokiu pačiu atstumu, kiek valandos rodyklė turėtų laiko pasitraukti nuo pradžia; kitaip tariant: 1 - 12 x = x Vadinasi 1 = 13 x. Todėl x = 1/13 viso posūkio. Valandinė rodyklė užbaigia šią apsisukimo dalį 12/13 val., ty rodo 55 5/13 minučių po vidurnakčio. Minutės rodyklė tuo pačiu metu nukeliavo 12 kartų daugiau, tai yra 12/13 visos apsisukimo; abi rodyklės, kaip matote, yra vienodai nutolusios nuo 12, taigi vienodai nutolusios nuo 6 priešingose ​​pusėse. Radome vieną rodyklių padėtį – būtent tokią, kuri būna per pirmą valandą. Per antrą valandą panaši situacija pasikartos; rasime jį, samprotaudami pagal ankstesnįjį, iš lygybės 1 - (12x - 1) = x, arba 2 - 12x = x, iš kur 2 = 13x, taigi, x = 2/13 viso apsisukimo . Šioje padėtyje rodyklės bus 1 11/13 val., ty 50 10/13 minučių. Trečią kartą rodyklės užims reikiamą padėtį, kai valandinė rodyklė pasislenka nuo 12 iki 3/13 viso apskritimo, tai yra 2 10/13 valandų ir pan. Yra 11 pozicijų, o po 6 val. rodyklės keičiasi vietomis: valandinė rodyklė užima tas vietas, kur anksčiau buvo minučių rodyklė, o minučių rodyklė – valandos rodyklės vietą aprašyta dabar: valandos rodyklė tiek pat lenkia minučių rodyklę, kiek minutė pajudėjo į priekį nuo skaičiaus 12. Kada tai įvyksta? Atsakymas: Pirmą kartą reikiamas rankų išdėstymas bus tuo momentu, kurį lemia lygybė: 12x - 1 = x/2, iš kur 1 = 11 ½ x arba x = 2/23 visumos apsisukimas, tai yra, 1 1/23 valandos po 12. Tai reiškia, kad 1 valandą 21 4/23 minutes rankos bus išdėstytos taip, kaip reikia. Iš tiesų, minučių rodyklė turėtų būti viduryje tarp 12 ir 1 1/23 val., ty 12/23 val., tai yra lygiai 1/23 viso apsisukimo (valandinė rodyklė nukeliaus 2/ 23 visos revoliucijos). Antrą kartą rodyklės bus išdėstytos reikiama tvarka šiuo metu, kuri nustatoma iš lygybės: 12x - 2= x/2, iš kurios 2 = 11 1/2 x ir x = 4/23; reikalingas momentas yra 2 valandos 5/23 minutės Trečiasis norimas momentas yra 3 valandos 7 19/23 minutės ir t.t.

Problema dėl laikrodžio rodyklių. 11 užduotis

1. 11 užduotis (Nr. 99600)

Laikrodis su rodyklėmis rodo 8 valandas 00 minučių. Po kiek minučių minučių rodyklė sutaps ketvirtą kartą su valandos rodykle?

Ši užduotis nėra sunkesnė už užduotį judėti ratu. Mūsų valandų ir minučių rodyklės juda ratu. Minučių rodyklė per valandą apeina visą ratą, tai yra 360°. Reiškia, jo greitis yra 360° per valandą. Valandų rodyklė juda 30° kampu per valandą (tai kampas tarp dviejų gretimų ciferblato skaičių). Reiškia, jo greitis yra 30° per valandą.

8:00 val. atstumas tarp rankų yra 240°:

Tegul minučių rodyklė pirmą kartą susitinka su valandų rodykle po t valandų. Per šį laiką minučių rodyklė nukeliaus 360°t, o valandų rodyklė 30°t, o minučių rodyklė 240° daugiau nei valandų rodyklė. Gauname lygtį:

360°t-30°t = 240°

t = 240°/330° = 8/11

Tai yra, po 8/11 valandos rankos pirmą kartą susidurs.

Dabar, prieš kitą susitikimą, minučių rodyklė nukeliaus 360° daugiau nei valandos rodyklė. Tegul tai įvyksta per x valandas.

Gauname lygtį:

360°x-30°x=360°. Taigi x=12/11. Ir taip dar du kartus.

Gauname, kad minučių rodyklė ketvirtą kartą lygiuos su valandų rodykle per 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 valandas = 240 minučių.

Atsakymas: 240 min.

2. 11 užduotis (№ 114773). Laikrodis su rodyklėmis rodo 1 valandą 35 minutes. Po kiek minučių minučių rodyklė susidės su valandų rodykle dešimtą kartą?

Šiame uždavinyje rodyklių judėjimo greitį išreikšime laipsniais/min.

Minutės rodyklės greitis yra 360˚/60=6˚ per minutę.

Valandinės rodyklės greitis yra 30˚/60=0,5˚ per minutę.

0 valandą valandų ir minučių rodyklės padėtis sutapo. 1 valanda 35 minutės yra 95 minutės. Per šį laiką minučių rodyklė pasislinko 95x6=570˚=360˚+210˚, o valandų rodyklė 95x0,5˚=47,5˚. Ir mes turime tokį paveikslėlį:

Rodyklės pirmą kartą susidurs po to, kai valandinė rodyklė pasisuks , o minučių rodyklė pasisuks 150˚+47,5˚ daugiau. Gauname lygtį:

Šeštas numeris

Dauguma neįspėtų žmonių atsakydami į klausimą; Norėdami atlikti šią užduotį, nubrėžkite vieną iš kontūrų: 6 arba VI.

Tai rodo, kad jūs galite pamatyti daiktą 100 tūkstančių kartų ir vis tiek jo nežinote. Faktas yra tas, kad dažniausiai ant ciferblato (vyriškų laikrodžių) nėra šeštojo skaičiaus, nes jo vietoje dedamas antras.

Trečia valanda

Per 720 dienų. Per šį laiką antrasis laikrodis atsiliks 720 minučių, tai yra lygiai 12 valandų; trečiasis laikrodis pajudės tiek pat. Tada visi trys laikrodžiai rodys tą patį kaip sausio 1 d., tai yra teisingą laiką.

Dvi valandos

Žadintuvas per valandą suskamba 3 minutėmis, palyginti su sieniniu laikrodžiu. 1 valandą, tai yra, 60 minučių, jis praeina per 20 valandų. Tačiau per šias 20 valandų žadintuvas pajudėjo 20 minučių į priekį, palyginti su teisingu laiku. Tai reiškia, kad rodyklės buvo teisingai nustatytos prieš 19 valandų 20 minučių, tai yra, 11 valandų 40 minučių.

Kiek dabar valandų?

Nuo 3 iki 6 valandų 180 minučių. Nesunku suprasti, kad minučių, likusių iki 6 valandų, skaičius bus rastas, jei 180-50, tai yra 130, bus padalinta į dvi dalis, iš kurių viena yra keturis kartus didesnė už kitą. Tai reiškia, kad turime rasti penktadalį iš 130. Taigi, buvo 26 minutės iki šešių.

Išties, prieš 50 minučių iki 6 valandų buvo likę 26 + 50 - 76 minutės, taigi, po 3 valandų buvo praėję 180-76 = 104 minutės; tai keturis kartus daugiau nei dabar liko iki šešių minučių.

Kada susitinka strėlės?

Pradėkime stebėti rankų judėjimą 12 val. Šiuo metu abi strėlės dengia viena kitą. Kadangi valandų rodyklė juda 12 kartų lėčiau nei minučių rodyklė (nurodo pilną ratą 12 val., o minučių rodyklė 1 valandą), tai, žinoma, kitą valandą rodyklės negali susitikti. Bet praėjo valanda; valandinė rodyklė yra 1 skaičiuje, padariusi 1/12 viso apsisukimo; Minutės laikrodis padarė pilną apsisukimą ir vėl stovi ties 12 – 1/12 apskritimo už valandos laikrodžio. Dabar varžybų sąlygos kitokios nei anksčiau: valandos rodyklė juda lėčiau nei minučių rodyklė, tačiau ji yra priekyje, o minučių rodyklė turi ją pasivyti. Jei varžybos truktų visą valandą, tai per tą laiką minučių rodyklė apsuktų visą ratą, o valandų rodyklė sudarytų 1/12 apskritimo, tai yra, minutinė rodyklė apsuktų 11/12 apskritimo daugiau. Tačiau norint pasivyti valandų rodyklę, minučių rodyklė turi nukeliauti daugiau nei valandų rodyklė, tik ta 1/12 apskritimo, kuri jas skiria. Tai užtruks ne visą valandą, o tiek pat laiko, kiek 1/12 yra mažiau nei 11/12, tai yra 11 kartų. Tai reiškia, kad rankos susitiks per 1/11 valandos, tai yra per 60/11 = 5 5/11 minučių.

Taigi rankų susitikimas įvyks praėjus 5 5/11 minučių po 1 valandos, tai yra, 5 5/11 sekundės minučių.

Kada bus kitas susitikimas?

Nesunku suprasti, kad tai įvyks po 1 valandos 5 5/11 minučių, tai yra, po 2 valandų 10 10/11 minučių. Kitas - dar po 1 valandos 5 5/11 minučių, tai yra 3 val. 16 4/11 minučių ir tt Visi susitikimai, kaip nesunkiai matote, bus 11; 11-oji įvyks 11/11 -12 valandų po pirmosios, tai yra 12 val.; kitaip tariant, tai sutampa su pirmuoju susitikimu, o tolimesni susitikimai bus kartojami tais pačiais momentais.

Štai visos susitikimų akimirkos:

1 susitikimas – 1 valanda 5 5/11 min

2-asis“ – „2 valandos 10/11“

3“ – „3 valandos 16 4/11“

4-oji“ – „4 val. 21 9/11“

5-oji“ – „5 val. 27 3/11“

6“ – „6 val. 32 8/11“

7-oji“ – „7 valanda 38 2/11“

8“ – „8 val. 43 7/11“

9-oji“ – „9 valanda 49 1/11“

10“ – „10 val.54 6/11“

11-12 val

Kada rodyklės nukreiptos viena nuo kitos?

Ši problema išspręsta labai panašiai kaip ir ankstesnė. Vėl pradėkime 12 val., kai abi rankos sutampa. Reikia paskaičiuoti, per kiek laiko minutinė rodyklė aplenks valandos rodyklę lygiai puse apskritimo – tada abi rodyklės bus nukreiptos tiksliai priešingomis kryptimis. Jau žinome (žr. ankstesnę problemą), kad per visą valandą minutinė rodyklė aplenkia valandos rodyklę 11/12 viso apskritimo; aplenkti ją vos 1/2 rato, tai užtruks mažiau laiko nei visa valanda – mažiau kiek 1/2 yra mažiau nei 11/12, tai yra, užtruks tik 6/11 valandų. Tai reiškia, kad po 12 valandos rodyklės pirmą kartą padėtos viena priešais kitą po 6/11 valandų arba 32 8/11 minučių. Pažiūrėkite į laikrodį 32 8/11 minučių po pirmo ir pamatysite, kad rodyklės yra nukreiptos į priešingas puses.

Ar tai vienintelis kartas, kai rodyklės išdėstytos taip? Žinoma ne. Rankos užima šią poziciją praėjus 32 8/11 minučių po kiekvieno susitikimo. Ir mes jau žinome, kad per 12 valandų yra 11 susitikimų; Tai reiškia, kad rankos per 12 valandų taip pat yra išdėstytos viena nuo kitos 11 kartų. Nesunku rasti šias akimirkas:

12 valanda + 32 8/11 min. = 12 valandų. 32 8/11 min.

1 valanda 5 5/11 min. + 32 8/11 min. = 1 valanda 38 2/11 min.

2 valandos 10 10/11 min. + 32 8/11 min. = 2 valandos 43 7/11 min.

3 valandos 16 4/11 min. + 32 8/11 min. = 3 valandos 49 1/11 minučių ir kt.

Paliksiu jums pačiam apskaičiuoti likusias akimirkas.

Abiejose šešių pusėse

Ši problema išspręsta taip pat, kaip ir ankstesnė. Įsivaizduokime, kad abi rodyklės stovėjo ties 12, o valandinis laikrodis nuo 12 nukrypo tam tikra pilno apsisukimo dalimi, kurią pažymėsime raide x. Per tą patį laiką minutinė rodyklė sugebėjo pasisukti 12 x;. Jei praėjo ne daugiau kaip valanda, tada, kad būtų įvykdytas mūsų užduoties reikalavimas, būtina, kad minutinė rodyklė būtų nutolusi nuo viso apskritimo galo tokiu pačiu atstumu, kiek valandos rodyklė turėtų laiko pasitraukti nuo pradžia; kitaip tariant:

1–12 x = x

Taigi 1 = 13 x (nes 13 x - 12 x - x). Todėl x = 1/13 viso posūkio. Valandinė rodyklė užbaigia šią apsisukimo dalį 12/13 val., ty rodo 55 5/13 minučių po vidurnakčio. Minutės rodyklė tuo pačiu metu nukeliavo 12 kartų daugiau, tai yra 12/13 visos apsisukimo; abi rodyklės, kaip matote, yra vienodai nutolusios nuo 12, taigi vienodai nutolusios nuo 6 priešingose ​​pusėse.

Radome vieną rodyklių padėtį – būtent tokią, kuri būna per pirmą valandą. Per antrą valandą panaši situacija pasikartos; rasime jį, samprotaudami pagal ankstesnįjį, iš lygybės

1 – (12x – 1) = x arba 2–12x = x,

iš kur 2 = 13x (nes 13x - 12x = x), taigi x = 2/13 viso apsisukimo. Šioje padėtyje rodyklės bus 1 11/13 val., ty 50 10/13 minučių.

Trečią kartą rodyklės užims reikiamą padėtį, kai valandinė rodyklė pasislenka nuo 12 iki 3/13 viso apskritimo, tai yra 2 10/13 valandų ir pan. Yra 11 pozicijų, o po 6 val. rodyklės keičiasi vietomis: valandinė rodyklė paima tas vietas, kur prieš tai buvo minutė, o minutinė – valandos pirmąją.

Kokiu laiku?

Jeigu rodykles pradedame stebėti lygiai 12 val., tai per pirmą valandą norimos vietos nepastebėsime. Kodėl? Nes valandų rodyklė nukeliauja 1/12 to, ką nukeliauja minučių rodyklė, todėl atsilieka nuo jos daug daugiau nei reikia norimai vietai. Kad ir kokiu kampu minutinė rodyklė nutoltų nuo 12, valandų rodyklė pasisuks 1/12 šio kampo, o ne 1/2, kaip mums reikia. Bet praėjo valanda; Dabar minučių rodyklė yra ties 12, valandų rodyklė – 1, 1/12 viso posūkio lenkia minučių rodyklę. Pažiūrėkime, ar toks rankų išdėstymas gali įvykti antrą valandą. Tarkime, kad šis momentas įvyko valandinei rodyklei nutolus nuo skaičiaus 12 apsisukimo dalimi, kurią žymime x. Minutės rodyklė per tą patį laiką sugebėjo nukeliauti 12 kartų toliau, tai yra 12 kartų. Jei iš čia atimsite vieną pilną apsisukimą, likusioji dalis 12x - 1 turi būti dvigubai didesnė už x, tai yra, lygi 2x. Todėl matome, kad 12x - 1 = 2x, iš ko išplaukia, kad vienas visas apsisukimas yra lygus 10x (iš tikrųjų 12x -10x = 2x).

Bet jei 10x yra lygus visam apsisukimui, tai 1x = 1/10 apsisukimo. Čia yra problemos sprendimas: valandos rodyklė nuo skaičiaus 12 nutolusi 1/10 visos apsisukimo, o tam reikia 12/10 valandos arba 1 valandos. 12 minučių. Minutės rodyklė bus dvigubai toliau nuo 12, tai yra, 1/5 posūkio atstumu; tai atsako 60/5 = 12 minučių, kaip ir turėtų būti.

Mes radome vieną problemos sprendimą. Tačiau yra ir kitų: rankos vienodai dedamos ne vieną kartą, o kelis kartus per 12 valandų. Pabandykime ieškoti kitų sprendimų.

Norėdami tai padaryti, palauksime 2 valandas; minučių rodyklė yra ties 12, o valandų rodyklė yra ties 2. Samprotaudami iš ankstesnės, gauname lygybę:

iš kur du sveiki apsisukimai yra lygūs 10x, taigi x = 1/5 viso apsisukimo. Tai atitinka momentą 12/5 = 2 valandos 24 minutės.

Tolimesnius taškus galite lengvai apskaičiuoti patys. Tada pamatysite, kad rodyklės yra išdėstytos pagal problemos reikalavimą šiuose 10 taškų:

1 valandą 12 minučių 7 valandą 12 minučių

« 2 valandos 24 « « 8 « 24 «

"3"36"" 9"36"

"4"48"" 10"48"

"6 valanda"12"

Atsakymai: „6 val.“ ir „12 val.“ gali pasirodyti neteisingi, bet tik iš pirmo žvilgsnio. Iš tiesų: 6 valandą valandų rodyklė yra 6, o minučių rodyklė yra 12, tai yra lygiai dvigubai toliau. 12 valandą valandos rodyklė iš 12 pašalinama „nuliu“, o minučių rodyklė, jei norite, „du nuliai“ (nes dvigubas nulis yra tas pats, kas nulis); Tai reiškia, kad šis atvejis iš esmės tenkina problemos sąlygas.

Priešingai

Po ankstesnių paaiškinimų išspręsti šią problemą nebėra sunku. Nesunku suprasti, samprotaujant kaip ir anksčiau, kad pirmą kartą reikiamas rodyklių išdėstymas bus tuo momentu, kurį lemia lygybė:

iš kur 1 = 11 ½ x arba x = 2/23 viso apsisukimo, tai yra, 1 1/23 valandos po 12. Tai reiškia, kad po 1 valandos 21 4/23 minutės rankos bus išdėstytos reikiama tvarka. Iš tiesų, minučių rodyklė turėtų būti viduryje tarp 12 ir 1 1/23 val., ty 12/23 val., tai yra lygiai 1/23 viso apsisukimo (valandinė rodyklė nukeliaus 2/ 23 visos revoliucijos). Antrą kartą rodyklės bus išdėstytos reikiama tvarka, kuri nustatoma iš lygybės:

iš kur 2 = 11 1/2 x ir x = 4/23; reikalingas momentas yra 2 valandos 5 5/23 minutės.

Trečias reikalingas momentas yra 3 valandos 7 19/23 minutės ir kt.

Trys ir septyni

Paprastai atsakymas yra: „7 sekundės“. Tačiau šis atsakymas, kaip dabar matysime, yra neteisingas.

Kai laikrodis muša tris, stebime du intervalus:

1) tarp pirmojo ir antrojo smūgio;

2) tarp antro ir trečio smūgio.

Abu intervalai trunka 3 sekundes; Tai reiškia, kad kiekvienas trunka perpus trumpiau – lygiai 1 1/2 sekundės.

Kai laikrodis muša septynis, tokie intervalai būna šeši. Šešis kartus 1 1/2 sekundės prilygsta 9 sekundėms. Todėl laikrodis „muša septynis“ (tai yra, daro septynis smūgius) po 9 sekundžių.

Laikrodis tiksi

Paslaptingi laikrodžio tiksėjimo trukdžiai atsiranda tiesiog dėl klausos nuovargio. Mūsų klausa, pavargusi, nublanksta kelioms sekundėms – ir per šiuos intervalus negirdime tiksėjimo. Po trumpo laiko nuovargis praeina ir atsistato buvęs jautrumas – tada vėl girdime tiksintį laikrodį. Tada vėl užklumpa nuovargis ir pan.

Šeštas skaičius Paklauskite vyresnio žmogaus, kurį žinote, kiek laiko jis turi kišeninį laikrodį. Tarkime, paaiškėja, kad jis laikrodį turi 15 metų. Tada tęskite pokalbį maždaug taip: – Kiek kartų per dieną žiūrite į laikrodį? . „Tikriausiai apie 20 kartų“, – ateina atsakymas. -...

Grįžkime prie mokyklinių ir žvalgybos užduočių. Viena iš šių užduočių yra išsiaiškinti, kokį kampą tarp savęs sudaro minutinės ir valandos rodyklės mechaniniame laikrodyje 16 valandų 38 minutes, arba vienas iš variantų yra sužinoti, kiek laiko bus po pirmos dienos pradžios. kai valandų ir minučių rodyklės sudaro 70 laipsnių kampą.

Paprasčiausias klausimas, į kurį daugelis žmonių sugeba atsakyti neteisingai. Koks kampas tarp valandų ir minučių rodyklių ant laikrodžio 15:15?

Atsakymas nulis laipsnių nėra teisingas atsakymas :)

Išsiaiškinkime.

Per 60 minučių minučių rodyklė visiškai apsisuka aplink ciferblatą, tai yra, pasisuka 360 laipsnių. Per tą patį laiką (60 minučių) valandos rodyklė nukeliaus tik vieną dvyliktąją apskritimo, tai yra, judės 360/12 = 30 laipsnių

Kalbant apie minutę, viskas yra labai paprasta. Kompiliavimas proporcija minutės yra susijusios su įveikiamu kampu, nes visas apsisukimas (60 minučių) yra 360 laipsnių.

Taigi, minučių rodyklės nukeliamas kampas bus minutės/60*360 = minutės*6

Dėl to išvada Kiekviena prabėgusi minutė perkelia minučių rodyklę 6 laipsniais

Puiku! O dabar kaip su sargybiniu. Bet principas tas pats, tik reikia sutrumpinti laiką (valandas ir minutes) iki valandos dalių.

Pavyzdžiui, 2 valandos 30 minučių yra 2,5 valandos (2 valandos su puse), 8 valandos ir 15 minučių yra 8,25 (8 valandos ir ketvirtis valandos), 11 valandos 45 minutės yra 11 valandų ir trys ketvirtadaliai valandos, kad yra 8,75)

Taigi, laikrodžio rodyklės kertamas kampas bus valandos (valandos dalimis) * 360,12 = valandos * 30

Ir dėl to išvada Kiekviena prabėgusi valanda pasislenka 30 laipsnių kampu

kampas tarp rankų = (valanda+(minutės /60))*30 -minučių*6

Kur valanda+(min. /60)- tai padėtis pagal laikrodžio rodyklę

Taigi atsakymas į problemą: kokiu kampu rodys rodyklės, kai laikrodis rodys 15 valandų 15 minučių, bus toks:

15 valandų 15 minučių atitinka rankų padėtį 3 valandas ir 15 minučių, todėl kampas bus lygus (3+15/60)*30-15*6=7,5 laipsnio

Nustatykite laiką pagal kampą tarp rodyklių

Ši užduotis yra sunkesnė, nes ją išspręsime bendra forma, tai yra, nustatysime visas poras (valandą ir minutę), kai jos sudaro tam tikrą kampą.

Taigi, prisiminkime. Jei laikas išreiškiamas kaip HH:MM (valanda:minutė), kampas tarp rodyklių išreiškiamas formule

Dabar, jei kampą pažymėsime raide U ir konvertuoti viską į alternatyvią formą, gauname tokią formulę

Arba, atsikratę vardiklio, gauname pagrindinė formulė, susijusi su kampu tarp dviejų rodyklių ir šių rodyklių padėtimi ciferblate.

atkreipkite dėmesį, kad kampas gali būti ir neigiamas, t.y. o, per valandą mes galime du kartus sutikti tą patį kampą, pavyzdžiui, 7,5 laipsnių kampas gali būti 15 valandų 15 minučių ir 15 valandų ir 17,72727272 minučių

Jei, kaip ir pirmoje užduotyje, mums buvo suteiktas kampas, tada gauname lygtį su dviem kintamaisiais. Iš esmės to negalima išspręsti, nebent būtų priimta sąlyga, kad valanda ir minutė gali būti tik sveikieji skaičiai.

Esant šiai sąlygai, gauname klasikinę Diofanto lygtį. Kurio sprendimas yra labai paprastas. Kol kas jų nesvarstysime, o iš karto pateiksime galutines formules

kur k yra savavališkas sveikasis skaičius.

Natūralu, kad imame valandų modulo 24 rezultatą ir minučių modulo 60 rezultatą

Suskaičiuokime visus variantus, kai valandos ir minučių rodyklės sutampa? Tai yra, kai kampas tarp jų yra 0 laipsnių.

Mes žinome mažiausiai du tokius taškus: 0 valandų ir 0 minučių bei 12 val. 0 minučių. O kaip su likusiais??

Sukurkime lentelę, rodančią rodyklių padėtis, kai kampas tarp jų yra nulis laipsnių

Oi! trečioje eilutėje turime klaidą 10 val., rodyklės nesutampa Tai matosi pažiūrėjus į ciferblatą. Kas nutiko?? Atrodo, viskas buvo teisingai apskaičiuota.

Tačiau esmė ta, kad intervale nuo 10 iki 11 valandos, kad minučių ir valandų rodyklės sutaptų, minučių rodyklė turi būti kažkur trupmeninėje minutės dalyje.

Tai galima lengvai patikrinti naudojant formulę, vietoj kampo pakeičiant skaičių nuliu, o vietoj valandos - skaičių 10.

gauname, kad minučių rodyklė bus tarp (!!) 54 ir 55 divizijų (būtent 54,545454 minutės pozicijoje).

Štai kodėl mūsų naujausios formulės neveikė, nes manėme, kad valandos ir minutės yra sveikieji skaičiai (!).

Problemos, atsirandančios atliekant vieningą valstybinį egzaminą

Nagrinėsime problemas, kurių sprendimus galima rasti internete, tačiau pasirinksime kitą kelią. Galbūt tai palengvins tai daliai moksleivių, kurie ieško paprasto ir lengvo problemų sprendimo būdo.

Juk kuo daugiau skirtingų problemų sprendimo variantų, tuo geriau.

Taigi, mes žinome tik vieną formulę ir naudosime tik ją.

Laikrodis su rodyklėmis rodo 1 valandą 35 minutes. Po kiek minučių minučių rodyklė susidės su valandų rodykle dešimtą kartą?

„Spręstojų“ samprotavimai kituose interneto šaltiniuose mane šiek tiek pavargo ir sumišo. Tokiems „pavargusiams“, kaip aš, šią problemą sprendžiame kitaip.

Nustatykime, kada pirmą (1) valandą minučių ir valandų rodyklės sutampa (kampas 0 laipsnių)? Pakeičiame žinomus skaičius į lygtį ir gauname

tai yra 1 valanda ir beveik 5,5 minutės. ar tai anksčiau nei 1 valanda 35 minutės? Taip! Puiku, tada tolimesniuose skaičiavimuose į šią valandą neatsižvelgiame.

Turime rasti 10 minučių ir valandų rodyklės sutapimą, pradedame analizuoti:

pirmą kartą valandų rodyklė bus 2 valanda ir kiek minučių,

antrą kartą 3 valandą ir kiek minučių

aštuntą kartą 9 valandą ir kelias minutes

devintą kartą 10 valandą ir kelias minutes

devintą kartą 11 valandą ir kelioms minutėms

Dabar belieka tik surasti, kur 11 val. bus minutinė rodyklė, kad rodyklės sutaptų

O dabar padauginame 10 kartų apsisukimą (tai yra kas valandą) iš 60 (perskaičiavus į minutes) ir gauname 600 minučių. ir apskaičiuokite skirtumą tarp 60 minučių ir 35 minučių (kurios buvo nurodytos)

Galutinis atsakymas buvo 625 minutės.

Q.E.D. Nereikia jokių lygčių, proporcijų ar kuri iš strėlių kokiu greičiu judėjo. Visa tai blizgučiai. Pakanka žinoti vieną formulę.

Įdomesnė ir sudėtingesnė užduotis skamba taip. 20 val. kampas tarp valandų ir minučių rodyklių yra 31 laipsnis. Kiek laiko rodyklė rodys laiką po to, kai minučių ir valandų rodyklės sudarys stačią kampą 5 kartus?

Taigi mūsų formulėje vėl žinomi du iš trijų parametrų: 8 ir 31 laipsnis. Pagal formulę nustatome minučių rodyklę ir gauname 38 minutes.

Kada artimiausias laikas, kai rodyklės sudarys stačią (90 laipsnių) kampą?

Tai yra, 8 valandas 27,27272727 minutes tai yra pirmasis stačias kampas šią valandą, o 8 valandas ir 60 minučių – antras stačiakampis šią valandą.

Pirmasis stačias kampas jau praėjo nurodyto laiko atžvilgiu, todėl jo neskaičiuojame.

Pirmieji 90 laipsnių 8 valandas 60 minučių (galime sakyti, kad tiksliai 9-00) - vieną kartą

9 valandą ir kiek minučių – tai dvi

10 valandą ir kiek minučių yra trys

vėl 10, o kiek minučių yra 4, taigi yra du sutapimai 10 val.

ir 11 valandą ir kiek minučių yra penkios.

Tai dar lengviau, jei naudojame robotą. Įveskite 90 laipsnių ir gaukite šią lentelę

tai yra, 11 valandų 10,90 minučių bus tik penktas kartas, kai tarp valandų ir minučių rodyklių vėl susidaro stačias kampas.

Tikimės, kad ši analizė padės jums suformuluoti užduotis studentams ir lengvai išspręsti panašius vieningo valstybinio egzamino intelekto testus.

Sėkmės atliekant skaičiavimus!