Kam lygi liestinė? Liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam iki liesties taško

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Pamokos tikslai

• Edukacinis – žinių kartojimas, apibendrinimas ir patikrinimas tema: „Ratelio liestinė“; pagrindinių įgūdžių ugdymas.
• Lavinamieji – ugdyti mokinių dėmesį, atkaklumą, atkaklumą, loginį mąstymą, matematinę kalbą.
• Ugdomasis - per pamoką ugdykite dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdykite gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą ir savarankiškumą.
• Supažindinti su liestinės, sąlyčio taško sąvoka.
• Apsvarstykite liestinės ir jos ženklo savybę ir parodykite jų taikymą sprendžiant gamtos ir technologijų problemas.

Pamokos tikslai

• Ugdykite liestinių konstravimo įgūdžius naudojant mastelio liniuotę, transporterį ir braižydami trikampį.
• Patikrinkite mokinių problemų sprendimo įgūdžius.
• Įsitikinkite, kad įvaldote pagrindinius algoritminius metodus, kaip sudaryti apskritimo liestinę.
• Ugdykite gebėjimą pritaikyti teorines žinias sprendžiant problemas.
• Ugdykite mokinių mąstymą ir kalbą.
• Ugdykite įgūdžius stebėti, pastebėti modelius, apibendrinti ir samprotauti pagal analogiją.
• Ugdyti susidomėjimą matematika.

Pamokos planas

1. Tangento sąvokos atsiradimas.
2. Tangento istorija.
3. Geometriniai apibrėžimai.
4. Pagrindinės teoremos.
5. Apskritimo liestinės konstravimas.
6. Konsolidavimas.

Tangento sampratos atsiradimas

Tangento sąvoka yra viena seniausių matematikoje. Geometrijoje apskritimo liestinė apibrėžiama kaip tiesė, kuri turi tiksliai vieną susikirtimo tašką su šiuo apskritimu. Senoliai, naudodami kompasus ir liniuotes, sugebėjo nubrėžti apskritimo, o vėliau ir kūginių pjūvių liestines: elipses, hiperboles ir paraboles.

Tangento istorija

Susidomėjimas tangentais atgijo šiais laikais. Tada buvo atrastos kreivės, kurios senovės mokslininkams nebuvo žinomos. Pavyzdžiui, Galilėjus pristatė cikloidą, o Dekartas ir Fermatas sukonstravo jo liestinę. Pirmajame XVII amžiaus trečdalyje. Jie pradėjo suprasti, kad liestinė yra tiesi linija, „arčiausiai esanti“ kreivės mažoje tam tikro taško kaimynystėje. Nesunku įsivaizduoti situaciją, kai neįmanoma sukonstruoti kreivės liestinės tam tikrame taške (pav.).

Geometriniai apibrėžimai

Apskritimas- geometrinis taškų lokusas plokštumoje, nutolęs nuo tam tikro taško, vadinamas jo centru.

ratas.

Susiję apibrėžimai

• Vadinamas atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo jo tašku (taip pat ir šios atkarpos ilgiu). spindulys apskritimai.
• Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama aplinkui.
• Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama atkarpa akordas. Vadinamas styga, einanti per apskritimo centrą skersmuo.
• Bet kurie du skirtingi taškai apskritime padalija jį į dvi dalis. Kiekviena iš šių dalių vadinama lankas apskritimai. Lanko matas gali būti jį atitinkančio centrinio kampo matas. Lankas vadinamas puslankiu, jei atkarpa, jungianti jo galus, yra skersmens.
• Vadinama tiesė, turinti tiksliai vieną bendrą tašką su apskritimu liestinėį apskritimą, o jų bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo liesties tašku.
• Vadinama tiesė, einanti per du apskritimo taškus sekantas.
• Centrinis apskritimo kampas yra plokštumos kampas, kurio centre yra viršūnė.
• Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta šį apskritimą, vadinamas įrašytas kampas.
• Vadinami du apskritimai, turintys bendrą centrą koncentrinis.

Tangentinė linija- tiesi linija, einanti per kreivės tašką ir sutampanti su juo šiame taške iki pirmos eilės.

Apskritimo liestinė yra tiesi linija, turinti vieną bendrą tašką su apskritimu.

Tiesi linija, einanti per apskritimo tašką toje pačioje plokštumoje, statmenoje šiam taškui nubrėžtam spinduliui vadinamas tangentu. Šiuo atveju šis apskritimo taškas vadinamas liesties tašku.

Kai mūsų atvejais „a“ yra tiesė, liečianti tam tikrą apskritimą, taškas „A“ yra liesties taškas. Šiuo atveju a⊥OA (tiesė a yra statmena spinduliui OA).

Jie taip sako susilieja du apskritimai, jei jie turi vieną bendrą tašką. Šis taškas vadinamas apskritimų sąlyčio taškas. Per sąlyčio tašką galite nubrėžti vieno iš apskritimų liestinę, kuri taip pat yra ir kito apskritimo liestinė. Liečiami apskritimai gali būti vidiniai arba išoriniai.

Liečiama vadinama vidine, jei apskritimų centrai yra toje pačioje liestinės pusėje.

Liečiama vadinama išorine, jei apskritimų centrai yra priešingose ​​liestinės pusėse

a yra bendroji dviejų apskritimų liestinė, K yra liestinės taškas.

Pagrindinės teoremos

Teorema apie liestinę ir sekantą

Jeigu iš taško, esančio už apskritimo ribų, nubrėžta liestinė ir atkarpa, tai liestinės ilgio kvadratas yra lygus sekanto ir jo išorinės dalies sandaugai: MC 2 = MA MB.

Teorema. Spindulys, nubrėžtas į apskritimo liestinės tašką, yra statmenas liestinei.

Teorema. Jei spindulys yra statmenas tiesei taške, kur jis kerta apskritimą, tada ši linija yra šio apskritimo liestinė.

Įrodymas.

Norėdami įrodyti šias teoremas, turime atsiminti, kas yra statmuo nuo taško iki tiesės. Tai trumpiausias atstumas nuo šio taško iki šios linijos. Tarkime, kad OA nėra statmena liestinei, bet yra tiesi linija OS, statmena liestinei. Ilgis OS apima spindulio ilgį ir tam tikrą atkarpą BC, kuri tikrai yra didesnė už spindulį. Taigi, galima tai įrodyti bet kuriai eilutei. Darome išvadą, kad spindulys, spindulys, nubrėžtas iki sąlyčio taško, yra trumpiausias atstumas iki liestinės nuo taško O, t.y. OS yra statmena tangentei. Įrodydami atvirkštinę teoremą, vadovausimės tuo, kad liestinė turi tik vieną bendrą tašką su apskritimu. Tegul ši tiesė turi dar vieną bendrą tašką B su apskritimu. Trikampis AOB yra stačiakampis, o dvi jo kraštinės yra lygios spinduliams, o tai negali būti. Taigi, mes nustatome, kad ši tiesė neturi daugiau taškų su apskritimu, išskyrus tašką A, t.y. yra liestinė.

Teorema. Iš vieno taško į apskritimą nubrėžtos liestinės atkarpos yra lygios, o tiesė, jungianti šį tašką su apskritimo centru, padalija kampą tarp liestinių.

Įrodymas.

Įrodymas labai paprastas. Naudodamiesi ankstesne teorema, tvirtiname, kad OB yra statmenas AB, o OS yra statmenas AC. Statieji trikampiai ABO ir ACO yra lygūs kojoje ir hipotenuzėje (OB=OS - spindulys, AO - bendras). Todėl jų kraštinės AB=AC ir kampai OAC ir OAB yra lygūs.

Teorema. Kampo, sudaryto iš liestinės ir stygos, turinčios bendrą tašką apskritime, dydis yra lygus pusei lanko, esančio tarp jo kraštų, kampinio dydžio.

Įrodymas.

Apsvarstykite kampą NAB, kurį sudaro liestinė ir styga. Nubraižykime AC skersmenį. Liestinė yra statmena skersmeniui, nubrėžtam į sąlyčio tašką, todėl ∠CAN=90 o. Žinodami teoremą, matome, kad kampas alfa (a) yra lygus pusei lanko BC kampo vertės arba pusei kampo BOS. ∠NAB=90 o -a, iš čia gauname ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB arba = pusė lanko BA kampo vertės. ir tt

Teorema. Jei liestinė ir atkarpa nubrėžtos iš taško į apskritimą, tai liestinės atkarpos kvadratas nuo nurodyto taško iki liestinės taško yra lygus skersinių atkarpų ilgių sandaugai nuo tam tikro taško iki taško taškų. jo sankirta su apskritimu.

Įrodymas.

Paveiksle ši teorema atrodo taip: MA 2 = MV * MC. Įrodykime tai. Pagal ankstesnę teoremą, kampas MAC yra lygus pusei lanko AC kampo vertės, bet taip pat kampas ABC yra lygus pusei lanko AC kampo vertės pagal teoremą, todėl šie kampai yra lygūs kiekvienam kitas. Atsižvelgdami į tai, kad trikampiai AMC ir BMA turi bendrą kampą viršūnėje M, šių trikampių panašumą nurodome dviem kampais (antrasis ženklas). Iš panašumo gauname: MA/MB=MC/MA, iš kurios gauname MA 2 =MB*MC

Apskritimo liestinių konstravimas

Dabar pabandykime tai išsiaiškinti ir išsiaiškinti, ką reikia padaryti, kad būtų sukurta apskritimo liestinė.

Šiuo atveju, kaip taisyklė, uždavinys suteikia apskritimą ir tašką. Ir jūs ir aš turime sukurti apskritimo liestinę, kad ši liestinė eitų per nurodytą tašką.

Tuo atveju, jei nežinome taško vietos, panagrinėkime galimų taškų vietų atvejus.

Pirma, taškas gali būti apskritimo viduje, kurį riboja tam tikras apskritimas. Šiuo atveju neįmanoma sudaryti liestinės per šį apskritimą.

Antruoju atveju taškas yra apskritime, o liestinę galime sukonstruoti nubrėžę spinduliui statmeną liniją, kuri nubrėžta į mums žinomą tašką.

Trečia, tarkime, kad taškas yra už apskritimo, kurį riboja apskritimas. Tokiu atveju, prieš konstruojant liestinę, reikia rasti apskritimo tašką, per kurį liestinė turi praeiti.

Tikiuosi, kad pirmuoju atveju jums viskas aišku, bet norėdami išspręsti antrąjį variantą, turime sukurti atkarpą tiesėje, ant kurios yra spindulys. Šis segmentas turi būti lygus spinduliui ir segmentui, kuris yra apskritime priešingoje pusėje.

Čia matome, kad apskritimo taškas yra atkarpos, kurios spindulys yra dvigubai didesnis, vidurys. Kitas žingsnis bus sudaryti du apskritimus. Šių apskritimų spindulys bus lygus dvigubam pradinio apskritimo spinduliui, o atkarpos galuose yra centrai, kurie yra lygūs dvigubam spinduliui. Dabar galime nubrėžti tiesią liniją per bet kurį šių apskritimų ir tam tikro taško susikirtimo tašką. Tokia tiesi linija yra mediana, statmena iš pradžių nubrėžto apskritimo spinduliui. Taigi matome, kad ši linija yra statmena apskritimui ir iš to išplaukia, kad ji yra apskritimo liestinė.

Trečiajame variante mes turime tašką, esantį už apskritimo, kurį riboja apskritimas. Tokiu atveju pirmiausia sukonstruojame atkarpą, kuri sujungs pateikto apskritimo centrą ir duotą tašką. Ir tada mes randame jo vidurį. Bet tam reikia sukonstruoti statmeną bisektorių. Ir jūs jau žinote, kaip jį sukurti. Tada turime nubrėžti apskritimą ar bent jo dalį. Dabar matome, kad duoto apskritimo ir naujai sukurto apskritimo susikirtimo taškas yra taškas, per kurį eina liestinė. Jis taip pat eina per tašką, kuris buvo nurodytas pagal problemos sąlygas. Ir galiausiai per du žinomus taškus galite nubrėžti liestinės liniją.

Ir galiausiai, norėdami įrodyti, kad mūsų sukonstruota tiesė yra liestinė, turime atkreipti dėmesį į kampą, kurį sudarė apskritimo spindulys ir atkarpa, žinoma pagal sąlygą ir jungiančią apskritimų susikirtimo tašką. su tašku, kurį suteikia problemos sąlyga. Dabar matome, kad gautas kampas remiasi puslankiu. Ir iš to išplaukia, kad šis kampas yra teisingas. Vadinasi, spindulys bus statmenas naujai pastatytai linijai, o ši linija yra liestinė.

Tangento konstravimas.

Tangentų konstravimas yra viena iš tų problemų, dėl kurių atsirado diferencialinis skaičiavimas. Pirmasis publikuotas darbas, susijęs su diferencialiniu skaičiavimu, kurį parašė Leibnizas, vadinosi „Naujas maksimumų ir minimumų, taip pat liestinių metodas, kuriam nei trupmeniniai, nei neracionalūs dydžiai, nei specialus skaičiavimo tipas nėra kliūtis“.

Senovės egiptiečių geometrinės žinios.

Jei neatsižvelgsime į labai kuklų senųjų slėnio tarp Tigro ir Eufrato bei Mažosios Azijos gyventojų indėlį, tai geometrija atsirado Senovės Egipte iki 1700 m. pr. Kr. Atogrąžų lietaus sezono metu Nilas papildė vandens atsargas ir išsiliejo. Vanduo apėmė dirbamos žemės plotus, o mokesčių tikslais reikėjo nustatyti, kiek žemės buvo prarasta. Matuotojai kaip matavimo priemonę naudojo tvirtai ištemptą virvę. Kita paskata egiptiečiams kaupti geometrines žinias buvo jų veikla, tokia kaip piramidžių statyba ir vaizduojamieji menai.

Apie geometrinių žinių lygį galima spręsti iš senovinių rankraščių, kurie yra specialiai skirti matematikai ir yra kažkas panašaus į vadovėlius, tiksliau – problemines knygas, kur pateikiami įvairių praktinių problemų sprendimai.

Seniausią matematinį egiptiečių rankraštį vienas studentas nukopijavo 1800–1600 m. pr. Kr. iš senesnio teksto. Papirusą rado rusų egiptologas Vladimiras Semenovičius Goleniščevas. Jis saugomas Maskvoje - Dailės muziejuje, pavadintame A.S. Puškinas ir vadinamas Maskvos papirusu.

Kitas matematinis papirusas, parašytas dviem ar trim šimtais metų vėliau nei Maskvos, saugomas Londone. Ji vadinasi: „Instrukcija, kaip pasiekti žinių apie visus tamsius dalykus, visas paslaptis, kurias daiktai slepia savyje... Pagal senus paminklus tai parašė raštininkas Ahmesas. Rankraštis vadinamas „Ahmeso papirusu“, arba Rhindo papirusas – pagal anglo, radusio ir įsigijusio šį papirusą Egipte, vardo. Ahmeso papirusas pateikia 84 problemų sprendimus, susijusius su įvairiais skaičiavimais, kurių gali prireikti praktikoje.

Apibrėžimas. Apskritimo liestinė yra tiesi plokštumos linija, turinti tiksliai vieną bendrą tašką su apskritimu.

Štai keletas pavyzdžių:

Galėtume čia ir baigti, tačiau praktika rodo, kad neužtenka tiesiog įsiminti apibrėžimą – reikia išmokti įžvelgti liestinės brėžiniuose, žinoti jų savybes, o be to, sprendžiant realias problemas tinkamai pasipraktikuoti šias savybes pritaikyti. Visa tai padarysime šiandien.

Pagrindinės liestinių savybės

Norėdami išspręsti bet kokią problemą, turite žinoti keturias pagrindines savybes. Du iš jų aprašyti bet kuriame žinyne/vadovelyje, bet paskutiniai du kažkaip pamiršti, bet veltui.

1. Iš vieno taško nubrėžtos liestinės atkarpos yra lygios

Šiek tiek aukščiau jau kalbėjome apie dvi liestes, nubrėžtas iš vieno taško M. Taigi:

Iš vieno taško nubrėžto apskritimo liestinės atkarpos yra lygios.

2. Liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į liesties tašką

Dar kartą pažiūrėkime į aukščiau esantį paveikslėlį. Nubrėžkime spindulius O.A. Ir O.B., po to mes nustatome, kad kampai OAM Ir O.B.M.- tiesiai.

Spindulys, nubrėžtas į sąlyčio tašką, yra statmenas liestinei.

Šis faktas gali būti naudojamas be įrodymų bet kokiai problemai:

Beje, atkreipkite dėmesį: jei piešiate segmentą OM, tada gauname du vienodus trikampius: OAM Ir O.B.M..

3. Tangento ir sekanto ryšys

Bet tai rimtesnis faktas, ir dauguma moksleivių to nežino. Apsvarstykite liestinę ir sekantą, einančius per tą patį bendrą tašką M. Natūralu, kad sekantas suteiks mums du segmentus: apskritimo viduje (segment B.C.- jis taip pat vadinamas akordu) ir išorėje (taip jie tai vadina - išorine dalimi). M.C.).

Viso sekanto ir jo išorinės dalies sandauga yra lygi liestinės atkarpos kvadratui

4. Kampas tarp liestinės ir stygos

Dar sudėtingesnis faktas, dažnai naudojamas sudėtingoms problemoms spręsti. Labai rekomenduoju paimti į servisą.

Kampas tarp liestinės ir stygos yra lygus įbrėžtam kampui, kurį sudaro ši styga.

Iš kur atsiranda esmė? B? Esant tikroms problemoms, jis paprastai „iššoka“ kažkur būsenoje. Todėl svarbu išmokti atpažinti šią konfigūraciją brėžiniuose.

Straipsnyje išsamiai paaiškinami apibrėžimai, geometrinė vedinio reikšmė su grafiniais užrašais. Pavyzdžiais bus nagrinėjama liestinės linijos lygtis, rastos 2 eilės kreivių liestinės lygtys.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas

Tiesės y = k x + b polinkio kampas vadinamas kampu α, kuris matuojamas nuo teigiamos x ašies krypties iki tiesės y = k x + b teigiama kryptimi.

Paveiksle x kryptis pažymėta žalia rodykle ir žalia lanku, o polinkio kampas – raudonu lanku. Mėlyna linija reiškia tiesią liniją.

2 apibrėžimas

Tiesės y = k x + b nuolydis vadinamas skaitiniu koeficientu k.

Kampinis koeficientas lygus tiesės liestinei, kitaip tariant k = t g α.

• Tiesės polinkio kampas lygus 0 tik tada, kai ji lygiagreti x, o nuolydis lygus nuliui, nes nulio liestinė lygi 0. Tai reiškia, kad lygties forma bus y = b.
• Jei tiesės y = k x + b pasvirimo kampas yra smailus, tada tenkinamos sąlygos 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, o grafike yra padidėjimas.
• Jei α = π 2, tai tiesės vieta yra statmena x. Lygybė nurodoma x = c, kai reikšmė c yra tikrasis skaičius.
• Jei tiesės y = k x + b polinkio kampas yra bukas, tai jis atitinka sąlygas π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sekantas yra tiesė, einanti per 2 funkcijos f (x) taškus. Kitaip tariant, sekantas yra tiesi linija, nubrėžta per bet kuriuos du tam tikros funkcijos grafiko taškus.

Paveikslėlyje parodyta, kad A B yra sekantas, o f (x) yra juoda kreivė, α yra raudonas lankas, nurodantis sekanto pasvirimo kampą.

Kai tiesės kampinis koeficientas lygus polinkio kampo liestinei, aišku, kad stačiojo trikampio A B C liestinę galima rasti pagal priešingos kraštinės santykį su gretima.

4 apibrėžimas

Gauname formulę formos sekantui rasti:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kur taškų A ir B abscisės yra x A, x B ir f (x A), f (x) reikšmės B) yra reikšmių funkcijos šiuose taškuose.

Akivaizdu, kad sekanto kampinis koeficientas nustatomas naudojant lygybę k = f (x B) - f (x A) x B - x A arba k = f (x A) - f (x B) x A - x B , o lygtis turi būti parašyta taip y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) arba
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekantas vizualiai padalija grafiką į 3 dalis: į kairę nuo taško A, nuo A iki B, į dešinę nuo B. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kad yra trys sekantai, kurie laikomi sutampančiais, tai yra, jie nustatomi naudojant panaši lygtis.

Pagal apibrėžimą aišku, kad tiesė ir jos sekantas šiuo atveju sutampa.

Sekantas gali kelis kartus kirsti tam tikros funkcijos grafiką. Jei sekantei yra y = 0 formos lygtis, tai susikirtimo su sinusoidu taškų skaičius yra begalinis.

5 apibrėžimas

Funkcijos f (x) grafiko liestinė taške x 0 ; f (x 0) yra tiesė, einanti per nurodytą tašką x 0; f (x 0), kai yra segmentas, turintis daug x reikšmių, artimų x 0.

1 pavyzdys

Pažvelkime į toliau pateiktą pavyzdį atidžiau. Tada aišku, kad funkcija y = x + 1 apibrėžta tiesė laikoma liestine y = 2 x taške su koordinatėmis (1; 2). Siekiant aiškumo, reikia atsižvelgti į grafikus, kurių reikšmės yra artimos (1; 2). Funkcija y = 2 x rodoma juoda spalva, mėlyna linija yra liestinė, o raudonas taškas yra susikirtimo taškas.

Akivaizdu, kad y = 2 x susilieja su linija y = x + 1.

Norėdami nustatyti liestinę, turėtume atsižvelgti į liestinės A B elgesį, kai taškas B be galo artėja prie taško A Aiškumo dėlei pateikiame brėžinį.

Sekantas A B, pažymėtas mėlyna linija, yra linkęs į pačios liestinės padėtį, o sekanto pasvirimo kampas α pradės linkti į pačios liestinės polinkio kampą α x.

6 apibrėžimas

Funkcijos y = f (x) grafiko liestinė taške A laikoma sekanto A B ribine padėtimi, nes B linksta į A, tai yra, B → A.

Dabar pereikime prie funkcijos išvestinės taške geometrinės reikšmės.

Pereikime prie funkcijos f (x) sekanto A B, kur A ir B su koordinatėmis x 0, f (x 0) ir x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ir ∆ x yra žymimas kaip argumento padidėjimas . Dabar funkcija įgaus formą ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Aiškumo dėlei pateiksime piešinio pavyzdį.

Apsvarstykite gautą statųjį trikampį A B C. Spręsdami naudojame liestinės apibrėžimą, tai yra, gauname ryšį ∆ y ∆ x = t g α . Iš liestinės apibrėžimo išplaukia, kad lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Pagal išvestinės taške taisyklę gauname, kad išvestinė f (x) taške x 0 vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, kur ∆ x → 0 , tada pažymime kaip f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Iš to seka, kad f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kur k x žymimas liestinės nuolydžiu.

Tai yra, mes nustatome, kad f ' (x) gali egzistuoti taške x 0 ir kaip duotosios funkcijos grafiko liestinė taške, lygiame x 0, f 0 (x 0), kur liestinės nuolydis taške lygus išvestinei taške x 0 . Tada gauname, kad k x = f " (x 0) .

Funkcijos išvestinės taške geometrinė reikšmė yra ta, kad ji suteikia grafiko liestinės egzistavimo sampratą tame pačiame taške.

Norint užrašyti bet kurios tiesės lygtį plokštumoje, būtina turėti kampo koeficientą su tašku, per kurį ji eina. Jo žymėjimas sankryžoje laikomas x 0.

Funkcijos y = f (x) grafiko liestinės lygtis taške x 0, f 0 (x 0) yra y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Tai reiškia, kad galutinė išvestinės f "(x 0) reikšmė gali nustatyti liestinės padėtį, tai yra vertikaliai, jei lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ir lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ arba visai nebuvimas su sąlyga lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Liestinės vieta priklauso nuo jos kampinio koeficiento k x = f "(x 0) reikšmės. Kai lygiagreti o x ašiai, gauname, kad k k = 0, kai lygiagreti maždaug y - k x = ∞, ir formos liestinės lygtis x = x 0 didėja, kai k x > 0, mažėja kaip k x< 0 .

2 pavyzdys

Sudarykite funkcijos y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 grafiko liestinės lygtį taške su koordinatėmis (1; 3) ir nustatykite pasvirimo kampą.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad funkcija apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Pastebime, kad taškas su koordinatėmis, nurodytomis sąlyga (1; 3), yra liesties taškas, tada x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Būtina rasti išvestinę taške, kurio reikšmė - 1. Mes tai gauname

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

F' (x) reikšmė liestinės taške yra liestinės nuolydis, lygus nuolydžio liestine.

Tada k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Iš to seka, kad α x = a r c t g 3 3 = π 6

Atsakymas: liestinės lygtis įgauna formą

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Aiškumo dėlei pateikiame pavyzdį grafinėje iliustracijoje.

Juoda spalva naudojama pradinės funkcijos grafikui, mėlyna yra liestinės vaizdas, o raudonas taškas yra liesties taškas. Paveikslėlis dešinėje rodo padidintą vaizdą.

3 pavyzdys

Nustatykite, ar yra duotosios funkcijos grafiko liestinė
y = 3 · x - 1 5 + 1 taške su koordinatėmis (1 ; 1) . Parašykite lygtį ir nustatykite pasvirimo kampą.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad tam tikros funkcijos apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.

Pereikime prie išvestinės paieškos

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jei x 0 = 1, tai f' (x) neapibrėžtas, bet ribos rašomos kaip lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ir lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, o tai reiškia taške (1; 1) yra vertikali liestinė.

Atsakymas: lygtis bus x = 1, kur pasvirimo kampas bus lygus π 2.

Kad būtų aiškumo, pavaizduokime jį grafiškai.

4 pavyzdys

Raskite funkcijos y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 grafiko taškus, kur

1. Nėra liestinės;
2. Liestinė lygiagreti x;
3. Liestinė lygiagreti tiesei y = 8 5 x + 4.

Sprendimas

Būtina atkreipti dėmesį į apibrėžimo apimtį. Pagal sąlygą turime, kad funkcija apibrėžta visų realiųjų skaičių aibėje. Išplečiame modulį ir sprendžiame sistemą intervalais x ∈ - ∞ ; 2 ir [-2; + ∞) . Mes tai gauname

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Būtina atskirti funkciją. Mes tai turime

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Kai x = - 2, tada išvestinė neegzistuoja, nes tame taške vienpusės ribos nėra lygios:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Apskaičiuojame funkcijos reikšmę taške x = - 2, kur tai gauname

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, tai yra, liestinė taške ( - 2; - 2) nebus.
2. Liestinė yra lygiagreti x, kai nuolydis lygus nuliui. Tada k x = t g α x = f "(x 0). Tai yra, reikia rasti tokio x reikšmes, kai funkcijos išvestinė paverčia ją nuliu. Tai yra f ' reikšmės. (x) bus lietimo taškai, kur liestinė lygiagreti x .

Kai x ∈ - ∞ ; - 2, tada - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, o x ∈ (- 2; + ∞) gauname 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = -12 + 4 2 = -5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Apskaičiuokite atitinkamas funkcijų reikšmes

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Vadinasi - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 laikomi reikiamais funkcijos grafiko taškais.

Pažiūrėkime į grafinį sprendimo vaizdą.

Juoda linija yra funkcijos grafikas, raudoni taškai yra lietimo taškai.

1. Kai tiesės lygiagrečios, kampiniai koeficientai yra lygūs. Tada funkcijos grafike reikia ieškoti taškų, kuriuose nuolydis bus lygus reikšmei 8 5. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti y formos lygtį "(x) = 8 5. Tada, jei x ∈ - ∞; - 2, gauname, kad - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, o jei x ∈ ( - 2 ; + ∞), tai 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Pirmoji lygtis neturi šaknų, nes diskriminantas yra mažesnis už nulį. Užsirašykime tai

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Kita lygtis turi dvi realias šaknis

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Pereikime prie funkcijos reikšmių paieškos. Mes tai gauname

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Taškai su reikšmėmis - 1; 4 15, 5; 8 3 yra taškai, kuriuose liestinės yra lygiagrečios tiesei y = 8 5 x + 4.

Atsakymas: juoda linija – funkcijos grafikas, raudona linija – y = 8 grafikas 5 x + 4, mėlyna linija – liestinės taškuose - 1; 4 15, 5; 8 3.

Tam tikroms funkcijoms gali būti begalinis liestinių skaičius.

5 pavyzdys

Parašykite visų galimų funkcijos y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 liestinių lygtis, kurios yra statmenos tiesei y = - 2 x + 1 2.

Sprendimas

Norint sudaryti liestinės lygtį, reikia rasti liestinės taško koeficientą ir koordinates, remiantis tiesių statmenumo sąlyga. Apibrėžimas yra toks: kampinių koeficientų, kurie yra statmeni tiesėms, sandauga yra lygi - 1, tai yra, parašyta kaip k x · k ⊥ = - 1. Iš sąlygos gauname, kad kampinis koeficientas yra statmenai tiesei ir yra lygus k ⊥ = - 2, tada k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Dabar reikia rasti kontaktinių taškų koordinates. Turite rasti x ir tada jo reikšmę duotai funkcijai. Atkreipkite dėmesį, kad iš geometrinės išvestinės reikšmės taške
x 0 gauname, kad k x = y "(x 0). Iš šios lygybės randame sąlyčio taškų x reikšmes.

Mes tai gauname

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ši trigonometrinė lygtis bus naudojama liestinių taškų ordinatėms apskaičiuoti.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk arba 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk arba 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk arba x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z yra sveikųjų skaičių aibė.

rasta x sąlyčio taškų. Dabar reikia pereiti prie y reikšmių paieškos:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 arba y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 arba y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 arba y 0 = - 4 5 + 1 3

Iš to gauname, kad 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 yra lietimo taškai.

Atsakymas: reikalingos lygtys bus parašytos kaip

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Norėdami vizualiai pavaizduoti, apsvarstykite funkciją ir liestinę koordinačių tiesėje.

Paveikslėlyje parodyta, kad funkcija yra intervale [-10; 10 ], kur juoda linija yra funkcijos grafikas, mėlynos linijos yra liestinės, kurios yra statmenos nurodytai y = - 2 x + 1 2 formos linijai. Raudoni taškai yra prisilietimo taškai.

2 eilės kreivių kanoninės lygtys nėra vienareikšmės funkcijos. Jų liestinės lygtys sudaromos pagal žinomas schemas.

Apskritimo liestinė

Apibrėžti apskritimą, kurio centras yra taške x c ​​e n t e r ; y c e n t e r ir spindulį R, taikykite formulę x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Šią lygybę galima parašyti kaip dviejų funkcijų sąjungą:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Pirmoji funkcija yra viršuje, o antroji – apačioje, kaip parodyta paveikslėlyje.

Sudaryti apskritimo lygtį taške x 0; y 0 , kuris yra viršutiniame arba apatiniame puslankiu, turėtumėte rasti y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r arba y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + formos funkcijos grafiko lygtį. y c e n t e r nurodytame taške.

Kai taškuose x c ​​e n t e r ; y c e n t e r + R ir x c e n t e r ; y c e n t e r - R liestinės gali būti pateiktos lygtimis y = y c e n t e r + R ir y = y c e n t e r - R , o taškuose x c ​​e n t e r + R ; y c e n t e r ir
x c e n t e r - R ; y c e n t e r bus lygiagreti o y, tada gauname x = x c e n t e r + R ir x = x c e n t e r - R formos lygtis.

Elipsės liestinė

Kai elipsė turi centrą x c e n t e r ; y c e n t e r su pusiau ašimis a ir b, tada ją galima nurodyti naudojant lygtį x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsė ir apskritimas gali būti žymimi sujungiant dvi funkcijas, būtent viršutinę ir apatinę puselipsę. Tada mes tai gauname

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Jei liestinės yra elipsės viršūnėse, tada jos yra lygiagrečios apie x arba apie y. Žemiau, kad būtų aiškumo, apsvarstykite paveikslą.

6 pavyzdys

Parašykite elipsės liestinės x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 lygtį taškuose, kurių x reikšmės yra lygios x = 2.

Sprendimas

Būtina rasti liestinės taškus, atitinkančius reikšmę x = 2. Mes pakeičiame esamą elipsės lygtį ir randame

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Tada 2; 5 3 2 + 5 ir 2; - 5 3 2 + 5 yra liestinės taškai, priklausantys viršutinei ir apatinei puselipsei.

Pereikime prie elipsės lygties y atžvilgiu radimo ir sprendimo. Mes tai gauname

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 m - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Akivaizdu, kad viršutinė puselipsė nurodoma naudojant y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 formos funkciją, o apatinė puselipsė y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Taikykime standartinį algoritmą, kad sukurtume funkcijos grafiko liestinės taške lygtį. Parašykime, kad pirmosios liestinės lygtis taške 2; 5 3 2 + 5 atrodys taip

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Mes nustatome, kad antrosios liestinės su reikšme taške lygtis
2 ; - 5 3 2 + 5 įgauna formą

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiškai liestinės žymimos taip:

Hiperbolės liestinė

Kai hiperbolė turi centrą x c e n t e r ; y c e n t e r ir viršūnės x c e n t e r + α ; y c e n t e r ir x c e n t e r - α ; y c e n t e r , vyksta nelygybė x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, jei su viršūnėmis x c e n t e r ; y c e n t e r + b ir x c e n t e r ; y c e n t e r - b , tada nurodoma naudojant nelygybę x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbolė gali būti pavaizduota kaip dvi kombinuotos formos funkcijos

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r arba y = b a · (x - t + t e r) y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Pirmuoju atveju liestinės yra lygiagrečios y, o antruoju - x.

Iš to seka, kad norint rasti hiperbolės liestinės lygtį, reikia išsiaiškinti, kuriai funkcijai priklauso liesties taškas. Norint tai nustatyti, būtina pakeisti lygtis ir patikrinti tapatybę.

7 pavyzdys

Parašykite lygtį hiperbolės liestinės x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 taške 7; - 3 3 - 3 .

Sprendimas

Norint rasti hiperbolę, reikia transformuoti sprendimo įrašą naudojant 2 funkcijas. Mes tai gauname

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ir y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Būtina nustatyti, kuriai funkcijai priklauso duotas taškas su koordinatėmis 7; - 3 3 - 3 .

Akivaizdu, kad norint patikrinti pirmąją funkciją, reikia y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, tada taškas nepriklauso grafikui, nes lygybė negalioja.

Antrajai funkcijai turime, kad y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, tai reiškia, kad taškas priklauso duotam grafikui. Iš čia turėtumėte rasti šlaitą.

Mes tai gauname

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Atsakymas: liestinės lygtis gali būti pavaizduota kaip

y = – 3 x – 7 – 3 3 – 3 = – 3 x + 4 3 – 3

Tai aiškiai pavaizduota taip:

Parabolės liestinė

Norėdami sukurti parabolės y = a x 2 + b x + c liestinės lygtį taške x 0, y (x 0), turite naudoti standartinį algoritmą, tada lygtis bus y = y "(x) 0) x - x 0 + y ( x 0) tokia liestinė viršūnėje lygiagreti x.

Turėtumėte apibrėžti parabolę x = a y 2 + b y + c kaip dviejų funkcijų sąjungą. Todėl turime išspręsti y lygtį. Mes tai gauname

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Pavaizduokime jį grafiškai taip:

Norėdami sužinoti, ar taškas x 0, y (x 0) priklauso funkcijai, švelniai elkitės pagal standartinį algoritmą. Tokia liestinė bus lygiagreti o y parabolės atžvilgiu.

8 pavyzdys

Parašykite grafiko x - 2 y 2 - 5 y + 3 liestinės lygtį, kai liestinės kampas yra 150 °.

Sprendimas

Sprendimą pradedame pavaizduodami parabolę kaip dvi funkcijas. Mes tai gauname

2 m. 2 - 5 m + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Nuolydžio reikšmė lygi išvestinės reikšmei šios funkcijos taške x 0 ir lygi pasvirimo kampo liestinei.

Mes gauname:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Iš čia nustatome sąlyčio taškų x reikšmę.

Pirmoji funkcija bus parašyta kaip

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Akivaizdu, kad tikrų šaknų nėra, nes gavome neigiamą reikšmę. Darome išvadą, kad tokiai funkcijai nėra liestinės su 150° kampu.

Antroji funkcija bus parašyta kaip

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Turime, kad sąlyčio taškai yra 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Atsakymas: liestinės lygtis įgauna formą

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Pavaizduokime jį grafiškai taip:

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter