Kas yra vektorių sandauga? Vienetų vektoriai

7.1. Kryžminio produkto apibrėžimas

Trys ne lygiaplaniai vektoriai a, b ir c, paimti nurodyta tvarka, sudaro dešiniarankį tripletą, jei nuo trečiojo vektoriaus c pabaigos trumpiausias posūkis nuo pirmojo vektoriaus a iki antrojo vektoriaus b. būti prieš laikrodžio rodyklę, o kairiarankis tripletas, jei pagal laikrodžio rodyklę (žr. .16 pav.).

Vektorių a ir vektoriaus b kryžminė sandauga vadinama vektoriumi c, kuris:

1. Statmenai vektoriams a ir b, ty c ^ a ir c ^ b ;

2. Jo ilgis skaitiniu požiūriu lygus lygiagretainio plotui, sudarytam iš vektorių a irb kaip ir šonuose (žr. 17 pav.), t.y.

3. Vektoriai a, b ir c sudaro dešiniarankį trigubą.

Kryžminė sandauga žymima a x b arba [a,b]. Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo, j Ir k

(žr. 18 pav.):
i x j = k, j x k = i, k x i = j. Pavyzdžiui, įrodykime tai

i xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j; 2) |k |=1, bet | i x j

| = |i | Ir|J | sin(90°)=1;

3) vektoriai i, j ir

suformuoti dešinįjį trigubą (žr. 16 pav.).

7.2. Kryžminio produkto savybės = -(1. Pertvarkant veiksnius vektorinė sandauga keičia ženklą, t.y.).

ir xb =(b xa) (žr. 19 pav.).

Vektoriai a xb ir b xa yra kolinearūs, turi tuos pačius modulius (lygiagretainio plotas išlieka nepakitęs), bet yra priešingos krypties (priešingos orientacijos trigubai a, b, a xb ir a, b, b x a). Todėl axb b xa b 2. Vektoriaus sandauga turi derinimo savybę skaliarinio koeficiento atžvilgiu, ty l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). b Tegul l >0. Vektorius l (a xb) yra statmenas vektoriams a ir b. Vektorius ( axb l axb a)x axb b xa b taip pat yra statmenas vektoriams a ir

(vektoriai a, axb bet guli toje pačioje plokštumoje). Tai reiškia, kad vektoriai axb(a xb) ir ( axb<0.

kolinearinis. Akivaizdu, kad jų kryptys sutampa. Jie yra vienodo ilgio: bŠtai kodėl<=>(a xb)=

a xb. Tai įrodoma panašiu būdu

3. Du nuliniai vektoriai a ir

(yra kolineariniai tada ir tik tada, kai jų vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui, t. y. a ||b ir xb =0. b Visų pirma, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorinė sandauga turi pasiskirstymo savybę:

7.3. Kryžminės sandaugos išreiškimas koordinatėmis

Mes naudosime vektorių i sandaugų lentelę, Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo, ir k:

jei trumpiausio kelio kryptis nuo pirmojo vektoriaus iki antrojo sutampa su rodyklės kryptimi, tai sandauga lygi trečiajam vektoriui, jei nesutampa, trečiasis vektorius imamas su minuso ženklu.

Tegu pateikti du vektoriai a =a x i +a y Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo,+a z Ir ir b =b x i+b y Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo,+b z Ir. Raskime šių vektorių vektorinę sandaugą, padaugindami juos iš daugianario (pagal vektorinės sandaugos savybes):

Gautą formulę galima parašyti dar trumpiau:

kadangi lygybės (7.1) dešinioji pusė atitinka trečiosios eilės determinanto plėtinį pagal pirmosios eilės elementus. Lygybę (7.2) lengva prisiminti.

7.4. Kai kurios kryžminio produkto taikymo sritys

Vektorių kolineariškumo nustatymas

Lygiagretainio ir trikampio ploto radimas

Pagal vektorių vektorinės sandaugos apibrėžimą A ir b |a xb | =|a | * |b |sin g, t.y. S poros = |a x b |. Ir todėl D S =1/2|a x b |.

Jėgos momento apie tašką nustatymas

Tegu taške A veikia jėga F = AB ir tegul APIE- tam tikras erdvės taškas (žr. 20 pav.).

Iš fizikos žinoma, kad jėgos momentas F taško atžvilgiu APIE vadinamas vektoriumi M, kuri eina per tašką APIE Ir:

1) statmenai plokštumai, einančiai per taškus O, A, B;

2) skaičiais lygus jėgos sandaugai, tenkančiai rankai

3) sudaro dešinįjį trigubą su vektoriais OA ir A B.

Todėl M = OA x F.

Linijinio sukimosi greičio nustatymas

Greitis v kampiniu greičiu besisukančio standaus kūno taškas M w aplink fiksuotą ašį, nustatomas pagal Eilerio formulę v =w xr, kur r =OM, kur O yra koks nors fiksuotas ašies taškas (žr. 21 pav.).

Apibrėžimas. Vektoriaus a (daugybinė) ir nekolinearinio vektoriaus (daugybinė) vektorinė sandauga yra trečiasis vektorius c (sandarinys), sudarytas taip:

1) jo modulis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio plotui Fig. 155), pastatyta ant vektorių, t. y. ji lygi krypčiai, statmenai minėto lygiagretainio plokštumai;

3) šiuo atveju pasirenkama vektoriaus c kryptis (iš dviejų galimų), kad vektoriai c sudarytų dešiniarankę sistemą (§ 110).

Pavadinimas: arba

Apibrėžimo papildymas. Jei vektoriai yra kolinearūs, tai laikant figūrą (sąlygiškai) lygiagretainiu, natūralu priskirti nulinį plotą. Todėl kolinearinių vektorių vektorinė sandauga laikoma lygia nuliniam vektoriui.

Kadangi nuliniam vektoriui gali būti priskirta bet kokia kryptis, šis susitarimas neprieštarauja apibrėžimo 2 ir 3 dalims.

1 pastaba. Termino „vektorinis sandauga“ pirmasis žodis nurodo, kad veiksmo rezultatas yra vektorius (priešingai nei skaliarinė sandauga; plg. § 104, 1 pastaba).

1 pavyzdys. Raskite vektorinę sandaugą, kurioje yra pagrindiniai dešiniosios koordinačių sistemos vektoriai (156 pav.).

1. Kadangi pagrindinių vektorių ilgiai lygūs vienam mastelio vienetui, lygiagretainio (kvadrato) plotas skaitine prasme lygus vienetui. Tai reiškia, kad vektorinės sandaugos modulis yra lygus vienetui.

2. Kadangi statmena plokštumai yra ašis, norima vektorinė sandauga yra vektorius, kolinearinis vektoriui k; ir kadangi jie abu turi 1 modulį, norima vektorinė sandauga yra lygi arba k, arba -k.

3. Iš šių dviejų galimų vektorių reikia pasirinkti pirmąjį, nes vektoriai k sudaro dešiniarankę sistemą (o vektoriai – kairiarankę).

2 pavyzdys. Raskite kryžminį sandaugą

Sprendimas. Kaip ir 1 pavyzdyje, darome išvadą, kad vektorius yra lygus k arba -k. Bet dabar turime pasirinkti -k, nes vektoriai sudaro dešiniarankę sistemą (o vektoriai sudaro kairiarankę). Taigi,

3 pavyzdys. Vektoriai turi atitinkamai 80 ir 50 cm ilgius ir sudaro 30° kampą. Laikydami metrą kaip ilgio vienetą, raskite vektorinės sandaugos a ilgį

Sprendimas. Ant vektorių pastatyto lygiagretainio plotas yra lygus Norimos vektorinės sandaugos ilgis lygus

4 pavyzdys Raskite tų pačių vektorių vektorinės sandaugos ilgį, ilgio vienetu imant centimetrus.

Sprendimas. Kadangi ant vektorių sudaryto lygiagretainio plotas yra lygus, vektorinės sandaugos ilgis lygus 2000 cm, t.y.

Palyginus 3 ir 4 pavyzdžius, aišku, kad vektoriaus ilgis priklauso ne tik nuo faktorių ilgių, bet ir nuo ilgio vieneto pasirinkimo.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė. Iš daugybės fizinių dydžių, kuriuos reprezentuoja vektorinė sandauga, atsižvelgsime tik į jėgos momentą.

Tegul A yra jėgos taikymo taškas. Jėgos momentas taško O atžvilgiu vadinamas vektorine sandauga. Kadangi šios vektorinės sandaugos modulis yra lygus lygiagretainio plotui, tada momento modulis yra lygus pagrindo ir aukščio sandaugai, ty jėgos, padaugintos iš atstumo nuo taško O iki tiesės, išilgai kurios veikia jėga.

Mechanikoje įrodyta, kad standaus kūno pusiausvyrai būtina, kad ne tik vektorių, vaizduojančių kūną veikiančias jėgas, suma būtų lygi nuliui, bet ir jėgų momentų suma. Tuo atveju, kai visos jėgos yra lygiagrečios vienai plokštumai, vektorių, vaizduojančių momentus, pridėjimą galima pakeisti jų dydžių sudėjimu ir atėmimu. Tačiau savavališkomis jėgų kryptimis toks pakeitimas neįmanomas. Atsižvelgiant į tai, vektorinė sandauga tiksliai apibrėžiama kaip vektorius, o ne kaip skaičius.

Prieš pateikiant vektorinės sandaugos sąvoką, pereikime prie sutvarkyto vektorių trigubo a →, b →, c → orientacijos trimatėje erdvėje klausimo.

Pirmiausia atidėkime vektorius a → , b → , c → iš vieno taško. Trigubo a → , b → , c → orientacija gali būti dešinė arba kairė, priklausomai nuo paties vektoriaus c → krypties. Trigubo tipas a → , b → , c → bus nustatomas pagal kryptį, kuria trumpiausias posūkis iš vektoriaus a → į b → nuo vektoriaus c → pabaigos.

Jei trumpiausias posūkis atliekamas prieš laikrodžio rodyklę, vektorių trigubas a → , b → , c → vadinamas teisingai, jei pagal laikrodžio rodyklę – paliko.

Tada paimkite du nekolinearinius vektorius a → ir b →. Tada pavaizduokime vektorius A B → = a → ir A C → = b → iš taško A. Sukonstruokime vektorių A D → = c →, kuris vienu metu yra statmenas ir A B →, ir A C →. Taigi, konstruodami patį vektorių A D → = c →, galime tai padaryti dviem būdais, suteikdami jam arba vieną kryptį, arba priešingą (žr. iliustraciją).

Sutvarkytas vektorių trigubas a → , b → , c → gali būti, kaip išsiaiškinome, dešinėje arba kairėje, priklausomai nuo vektoriaus krypties.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime pateikti vektorinės sandaugos apibrėžimą. Šis apibrėžimas pateiktas dviem vektoriams, apibrėžtiems trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje.

1 apibrėžimas

Dviejų vektorių a → ir b → vektorinė sandauga tokį vektorių, apibrėžtą trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, vadinsime taip, kad:

• jei vektoriai a → ir b → yra kolinearūs, tai bus lygus nuliui;
• jis bus statmenas ir vektoriui a → ​​​​ ir vektoriui b → t.y. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jo ilgis nustatomas pagal formulę: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• vektorių trigubas a → , b → , c → turi tokią pačią orientaciją kaip ir duotoji koordinačių sistema.

Vektorių a → ir b → vektorinė sandauga turi tokį žymėjimą: a → × b →.

Vektorinės sandaugos koordinatės

Kadangi bet kuris vektorius koordinačių sistemoje turi tam tikras koordinates, galime įvesti antrą vektorinės sandaugos apibrėžimą, kuris leis mums rasti jo koordinates naudojant nurodytas vektorių koordinates.

2 apibrėžimas

Trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje dviejų vektorių a → = (a x ; a y ; a z) ir b → = (b x ; b y ; b z) vektorinė sandauga vadinamas vektoriumi c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kur i → , j → , k → yra koordinačių vektoriai.

Vektorinė sandauga gali būti pavaizduota kaip trečios eilės kvadratinės matricos determinantas, kur pirmoje eilutėje yra vektoriai i → , j → , k → , antroje eilutėje yra vektoriaus a → koordinatės, o trečioje eilutėje yra vektoriaus b → koordinatės duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, tai matricos determinantas atrodo taip: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Išplėtę šį determinantą į pirmosios eilutės elementus, gauname lygybę: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = a · y b x b → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kryžminio produkto savybės

Yra žinoma, kad vektorinė sandauga koordinatėse vaizduojama kaip matricos c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z determinantas, tada remiantis matricos determinanto savybės rodomi šie vektoriaus produkto savybės:

1. antikomutatyvumas a → × b → = - b → × a → ;
2. pasiskirstymas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → arba a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociatyvumas λ a → × b → = λ a → × b → arba a → × (λ b →) = λ a → × b →, kur λ yra savavališkas realusis skaičius.

Šios savybės turi paprastus įrodymus.

Kaip pavyzdį galime įrodyti vektorinės sandaugos antikomutacinę savybę.

Antikomutatyvumo įrodymas

Pagal apibrėžimą a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ir b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . O jei dvi matricos eilutės sukeistos, tai matricos determinanto reikšmė turėtų pasikeisti į priešingą, todėl a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , kuri ir įrodo, kad vektorinė sandauga yra antikomutacinė.

Vektorinis produktas – pavyzdžiai ir sprendimai

Daugeliu atvejų yra trijų tipų problemos.

Pirmojo tipo uždaviniuose paprastai nurodomi dviejų vektorių ilgiai ir kampas tarp jų, ir reikia rasti vektorinės sandaugos ilgį. Šiuo atveju naudokite šią formulę c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

1 pavyzdys

Raskite vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgį, jei žinote a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Sprendimas

Nustatę vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgį, išsprendžiame šį uždavinį: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Atsakymas: 15 2 2 .

Antrojo tipo problemos turi ryšį su vektorių koordinatėmis, jose vektorine sandauga, jos ilgiu ir kt. ieškoma pagal žinomas duotųjų vektorių koordinates a → = (a x; a y; a z) Ir b → = (b x ; b y ; b z) .

Dėl tokio tipo problemų galite išspręsti daugybę užduočių parinkčių. Pavyzdžiui, galima nurodyti ne vektorių a → ir b → koordinates, o jų išplėtimus į formos koordinačių vektorius. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ir c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → arba vektoriai a → ir b → gali būti nurodyti jų pradžios koordinatėmis ir pabaigos taškai.

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius.

2 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikti du vektoriai: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Raskite jų kryžminį produktą.

Sprendimas

Pagal antrąjį apibrėžimą randame dviejų vektorių vektorinę sandaugą nurodytomis koordinatėmis: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jei vektorinį sandaugą rašome per matricos determinantą, tai šio pavyzdžio sprendimas atrodo taip: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Atsakymas: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

3 pavyzdys

Raskite vektorių i → - j → ir i → + j → + k → vektorinės sandaugos ilgį, kur i →, j →, k → yra stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos vienetiniai vektoriai.

Sprendimas

Pirmiausia suraskime duotos vektorinės sandaugos i → - j → × i → + j → + k → koordinates duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Yra žinoma, kad vektoriai i → - j → ir i → + j → + k → turi atitinkamai koordinates (1; - 1; 0) ir (1; 1; 1). Raskime vektorinės sandaugos ilgį naudodami matricos determinantą, tada turime i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Todėl vektorinė sandauga i → - j → × i → + j → + k → turi koordinates (- 1 ; - 1 ; 2) duotoje koordinačių sistemoje.

Vektorinės sandaugos ilgį randame naudodami formulę (žr. skyrių apie vektoriaus ilgio radimą): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Atsakymas: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

4 pavyzdys

Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje pateiktos trijų taškų A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinatės. Raskite kokį nors vektorių, statmeną A B → ir A C → vienu metu.

Sprendimas

Vektoriai A B → ir A C → turi šias koordinates (- 1 ; 2 ; 2) ir (0 ; 4 ; 1). Radus vektorių A B → ir A C → vektorinę sandaugą, akivaizdu, kad tai pagal apibrėžimą statmenas vektorius ir A B →, ir A C →, tai yra, tai yra mūsų problemos sprendimas. Raskime A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Atsakymas: - 6 i → + j → - 4 k → . - vienas iš statmenų vektorių.

Trečiojo tipo problemos yra orientuotos į vektorių vektorinės sandaugos savybių panaudojimą. Taikę tai, gausime pateiktos problemos sprendimą.

5 pavyzdys

Vektoriai a → ir b → yra statmeni, o jų ilgiai yra atitinkamai 3 ir 4. Raskite vektorinės sandaugos ilgį 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Sprendimas

Pagal vektorinės sandaugos skirstomąją savybę galime parašyti 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Pagal asociatyvumo savybę skaitinius koeficientus išimame iš vektorinių sandaugų ženklo paskutinėje išraiškoje: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorinės sandaugos a → × a → ir b → × b → lygios 0, nes a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ir b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, tada 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Iš vektorinės sandaugos antikomutatyvumo išplaukia - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis, gauname lygybę 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pagal sąlygą vektoriai a → ir b → yra statmeni, tai yra kampas tarp jų lygus π 2. Dabar belieka rastąsias reikšmes pakeisti atitinkamomis formulėmis: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Atsakymas: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Vektorių vektorinės sandaugos ilgis pagal apibrėžimą lygus a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Kadangi jau žinoma (iš mokyklos kurso), kad trikampio plotas yra lygus pusei jo dviejų kraštinių ilgių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp šių kraštinių sinuso. Vadinasi, vektorinės sandaugos ilgis yra lygus lygiagretainio plotui – padvigubinto trikampio, būtent kraštinių sandaugai vektorių a → ir b → pavidalu, išdėstytų iš vieno taško sinusu kampas tarp jų sin ∠ a →, b →.

Tai geometrinė vektorinės sandaugos reikšmė.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė

Mechanikoje, vienoje iš fizikos šakų, vektorinio produkto dėka galite nustatyti jėgos momentą erdvės taško atžvilgiu.

3 apibrėžimas

Pagal jėgos F → momentą, taikomą taškui B, taško A atžvilgiu, suprasime tokią vektorinę sandaugą A B → × F →.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Apibrėžimas Tvarkinga (x 1 , x 2 , ... , x n) n realiųjų skaičių rinkinys vadinamas n matmenų vektorius, ir skaičiai x i (i = ) - komponentai, arba koordinates,

Pavyzdys. Pavyzdžiui, jei tam tikra automobilių gamykla per pamainą turi pagaminti 50 automobilių, 100 sunkvežimių, 10 autobusų, 50 komplektų atsarginių dalių lengviesiems automobiliams ir 150 komplektų sunkvežimiams ir autobusams, tai šios gamyklos gamybos programą galima parašyti kaip vektorių. (50, 100, 10, 50, 150), turinčius penkis komponentus.

Žymėjimas. Vektoriai žymimi paryškintomis mažosiomis raidėmis arba raidėmis su juostele ar rodykle viršuje, pvz. a arba. Du vektoriai vadinami lygus, jei jie turi tą patį komponentų skaičių ir jų atitinkami komponentai yra vienodi.

Negalima sukeisti vektorių komponentų, pavyzdžiui, (3, 2, 5, 0, 1) ir (2, 3, 5, 0, 1) skirtingi vektoriai.
Veiksmai su vektoriais. Darbas x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) realiuoju skaičiumiλ vadinamas vektoriumiλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Sumax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ir y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) vadinamas vektoriumi x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

Vektorinė erdvė. N -matmenų vektorinė erdvė R n apibrėžiamas kaip visų n matmenų vektorių aibė, kuriai apibrėžtos daugybos iš realiųjų skaičių ir sudėjimo operacijos.

Ekonominė iliustracija. Ekonominė n-matės vektorinės erdvės iliustracija: prekių erdvė (prekes). Pagal prekes suprasime kokią nors prekę ar paslaugą, kuri tam tikru laiku buvo parduota tam tikroje vietoje. Tarkime, kad yra baigtinis turimų prekių skaičius n; kiekvienos iš jų vartotojo įsigytus kiekius apibūdina prekių rinkinys

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

čia x i žymi vartotojo įsigytos i-osios prekės kiekį. Darysime prielaidą, kad visos prekės turi savavališko dalijimosi savybę, kad būtų galima įsigyti bet kokį neneigiamą kiekvienos iš jų kiekį. Tada visos galimos prekių aibės yra prekių erdvės C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linijinė nepriklausomybė. Sistema e 1 , e 2 , ... , e vadinami m n matmenų vektoriai tiesiškai priklausomas, jei yra tokių skaičiųλ 1 , λ 2 , ... , λ m , iš kurių bent vienas yra ne nulis, kad lygybėλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; kitaip ši vektorių sistema vadinama tiesiškai nepriklausomas, tai yra, nurodyta lygybė galima tik tuo atveju, kai visi . Vektorių tiesinės priklausomybės geometrinė reikšmė R 3, interpretuojami kaip nukreipti segmentai, paaiškinkite šias teoremas.

1 teorema. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai šis vektorius yra lygus nuliui.

2 teorema. Tam, kad du vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų kolineariniai (lygiagrečiai).

3 teorema . Tam, kad trys vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų vienodi (gulėtų toje pačioje plokštumoje).

Kairysis ir dešinysis vektorių trigubai. Nevienaplanių vektorių trigubas a, b, c paskambino teisingai, jei stebėtojas iš jų bendros kilmės aplenkia vektorių galus a, b, c nurodyta tvarka, atrodo, vyksta pagal laikrodžio rodyklę. Priešingu atveju a, b, c -liko trys. Vadinami visi dešinieji (arba kairieji) vektorių trigubai tas pats orientuotas.

Pagrindas ir koordinatės. Troika e 1, e 2 , e 3 nevienaplaniai vektoriai in R 3 vadinamas pagrindu, ir patys vektoriai e 1, e 2 , e 3 - pagrindinis. Bet koks vektorius a gali būti vienareikšmiškai išplėsti į bazinius vektorius, tai yra, pavaizduoti formoje

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

skaičiai x 1 , x 2 , x 3 plėtinyje (1.1) vadinami koordinatesa pagrinde e 1, e 2 , e 3 ir yra pažymėti a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormalus pagrindas. Jei vektoriai e 1, e 2 , e 3 yra poromis statmenos ir kiekvieno iš jų ilgis lygus vienetui, tada vadinamas pagrindas ortonormalus, o koordinatės x 1 , x 2 , x 3 - stačiakampio formos. Ortonormalaus pagrindo baziniai vektoriai bus pažymėti i, j, k.

Mes manysime, kad erdvėje R 3 pasirinkta teisinga Dekarto stačiakampių koordinačių sistema (0, i, j, k}.

Vektorinis meno kūrinys. Vektorinis meno kūrinys Aį vektorių b vadinamas vektoriumi c, kuris nustatomas pagal šias tris sąlygas:

1. Vektoriaus ilgis c skaitine prasme lygi lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotui a Ir b, t.y.
c= |a||b| nuodėmė ( a^b).

2. Vektorius c statmenai kiekvienam vektoriui a Ir b.

3. Vektoriai a, b Ir c, paimti nurodyta tvarka, sudaro dešinįjį trigubą.

Dėl kryžminio produkto cįvedamas pavadinimas c =[ab] arba
c = a × b.

Jei vektoriai a Ir b yra kolineariniai, tada sin( a^b) = 0 ir [ ab] = 0, ypač [ aa] = 0. Vienetinių vektorių vektorinės sandaugos: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Jei vektoriai a Ir b nurodyta pagrinde i, j, k koordinates a(1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), tada

Mišrus darbas. Jei dviejų vektorių vektorinė sandauga A Ir b skaliariai padauginta iš trečiojo vektoriaus c, tada tokia trijų vektorių sandauga vadinama mišrus darbas ir yra pažymėtas simboliu a b c.

Jei vektoriai a, b Ir c pagrinde i, j, k pateiktos pagal jų koordinates
a(1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), tada

.

Mišrus sandauga turi paprastą geometrinį aiškinimą – tai skaliaras, absoliučia verte lygus gretasienio, pastatyto ant trijų duotųjų vektorių, tūriui.

Jei vektoriai sudaro dešinįjį trigubą, tada jų mišrusis sandauga yra teigiamas skaičius, lygus nurodytam tūriui; jei tai trejetas a, b, c - tada paliko a b c<0 и V = - a b c, todėl V =|a b c|.

Laikoma, kad vektorių, su kuriais susiduriama pirmojo skyriaus uždaviniuose, koordinatės pateiktos teisingo ortonormalaus pagrindo atžvilgiu. Vieneto vektorius kartu su vektoriumi A, pažymėtas simboliu A O. Simbolis r=OMžymimas taško M spindulio vektoriumi, simboliais a, AB arba|a|, | AB|žymimi vektorių moduliai A Ir AB.

Pavyzdys 1.2. Raskite kampą tarp vektorių a= 2m+4n Ir b= m-n, Kur m Ir n- vieneto vektoriai ir kampas tarp m Ir n lygus 120 o.

Sprendimas. Mes turime: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, vadinasi, a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, o tai reiškia, kad b = . Pagaliau turime: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

1.3 pavyzdys.Žinant vektorius AB(-3,-2,6) ir B.C.(-2,4,4),apskaičiuokite trikampio ABC aukščio AD ilgį.

Sprendimas. Trikampio ABC plotą pažymėdami S, gauname:
S = 1/2 pr. Kr. Tada AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, o tai reiškia vektorių A.C. turi koordinates
. .

Pavyzdys 1.4 . Pateikti du vektoriai a(11,10,2) ir b(4,0,3). Raskite vieneto vektorių c, statmenas vektoriams a Ir b ir nukreiptas taip, kad sutvarkytas vektorių trigubas a, b, c buvo teisus.

Sprendimas.Pažymime vektoriaus koordinates c atsižvelgiant į duotą teisingą ortonormalų pagrindą x, y, z atžvilgiu.

Nes c ⊥ a, c ⊥b, Tai apytiksliai= 0,cb= 0. Pagal uždavinio sąlygas reikia, kad c = 1 ir a b c >0.

Turime lygčių sistemą, skirtą rasti x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iš pirmosios ir antrosios sistemos lygčių gauname z = -4/3 x, y = -5/6 x. Pakeitę y ir z į trečiąją lygtį, gauname: x 2 = 36/125, iš kur
x =± . Naudojant sąlygą a b c > 0, gauname nelygybę

Atsižvelgdami į z ir y išraiškas, gautą nelygybę perrašome į formą: 625/6 x > 0, o tai reiškia, kad x>0. Taigi, x = , y = - , z =- .

Vieneto vektorius- Tai vektorius, kurios absoliuti reikšmė (modulis) lygi vienetui. Vieneto vektoriui žymėti naudosime indeksą e. Taigi, jei pateikiamas vektorius A, tada jo vieneto vektorius bus vektorius A e. Šis vieneto vektorius nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir pats vektorius A, o jo modulis lygus vienetui, tai yra, a e = 1.

Akivaizdu, A= a A e (a - vektorinis modulis A). Tai išplaukia iš taisyklės, pagal kurią atliekama skaliaro padauginimo iš vektoriaus operacija.

Vienetų vektoriai dažnai siejama su koordinačių sistemos koordinačių ašimis (ypač su Dekarto koordinačių sistemos ašimis). Šių kryptys vektoriai sutampa su atitinkamų ašių kryptimis, o jų ištakos dažnai derinamos su koordinačių sistemos pradžia.

Leiskite jums tai priminti Dekarto koordinačių sistema erdvėje tradiciškai vadinama viena kitai statmenų ašių, susikertančių taške, vadinamame koordinačių pradžia, trijulė. Koordinačių ašys paprastai žymimos raidėmis X, Y, Z ir atitinkamai vadinamos abscisių ašimi, ordinačių ašimi ir aplikacine ašimi. Pats Dekartas naudojo tik vieną ašį, ant kurios buvo nubraižytos abscisės. Naudojimo nuopelnas sistemos kirviai priklauso jo mokiniams. Todėl frazė Dekarto koordinačių sistema istoriškai neteisingas. Geriau pasikalbėti stačiakampio formos koordinačių sistema arba stačiakampė koordinačių sistema. Tačiau tradicijų nekeisime ir ateityje manysime, kad Dekarto ir stačiakampės (stačiakampės) koordinačių sistemos yra viena ir ta pati.

Vieneto vektorius, nukreiptas išilgai X ašies, žymimas i, vieneto vektorius, nukreiptas išilgai Y ašies, žymimas j, A vieneto vektorius, nukreiptas išilgai Z ašies, žymimas k. Vektoriai i, j, k yra vadinami orts(12 pav., kairėje), jie turi pavienius modulius, t
i = 1, j = 1, k = 1.

Kirviai ir vienetiniai vektoriai stačiakampė koordinačių sistema kai kuriais atvejais jie turi skirtingus pavadinimus ir pavadinimus. Taigi abscisių ašis X gali būti vadinama liestinės ašimi, o jos vieneto vektorius žymimas τ (graikų maža raidė tau), ordinačių ašis yra normalioji ašis, jos vieneto vektorius žymimas n, taikomoji ašis yra binormali ašis, pažymėtas jos vieneto vektorius b. Kam keisti vardus, jei esmė išlieka ta pati?

Faktas yra tas, kad, pavyzdžiui, mechanikoje, tiriant kūnų judėjimą, labai dažnai naudojama stačiakampė koordinačių sistema. Taigi, jei pati koordinačių sistema yra stacionari ir šioje stacionarioje sistemoje stebimas judančio objekto koordinačių pokytis, tada paprastai ašys žymimos X, Y, Z ir jų vienetiniai vektoriai atitinkamai i, j, k.

Tačiau dažnai, kai objektas juda kokiu nors kreiviniu keliu (pavyzdžiui, apskritimu), patogiau atsižvelgti į mechaninius procesus koordinačių sistemoje, judančius kartu su šiuo objektu. Būtent tokiai judančiajai koordinačių sistemai naudojami kiti ašių pavadinimai ir jų vienetų vektoriai. Tiesiog yra taip, kaip yra. Šiuo atveju X ašis yra nukreipta tangentiškai į trajektoriją taške, kuriame šiuo metu yra šis objektas. Ir tada ši ašis nebevadinama X ašimi, o liestinės ašimi, o jos vieneto vektorius nebėra žymimas i, A τ . Y ašis nukreipta išilgai trajektorijos kreivumo spindulio (judant apskritimu – į apskritimo centrą). O kadangi spindulys yra statmenas liestinei, ašis vadinama normaliąja ašimi (statmena ir normalioji yra tas pats). Šios ašies vieneto vektorius nebėra žymimas j, A n. Trečioji ašis (anksčiau Z) yra statmena ankstesnėms dviem. Tai binormalus su ortu b(12 pav., dešinėje). Beje, šiuo atveju toks stačiakampė koordinačių sistema dažnai vadinamas „natūraliu“ arba natūraliu.