Kas yra darinys?

Darinių lentelė.

Išvestinė yra viena iš pagrindinių aukštosios matematikos sąvokų. Šioje pamokoje supažindinsime su šia sąvoka. Pažinkime vieni kitus, be griežtų matematinių formuluočių ir įrodymų.

Ši pažintis leis jums:

Suvokti paprastų užduočių su išvestiniais esmę;

Sėkmingai išspręskite šias paprasčiausias užduotis;

Pasiruoškite rimtesnėms pamokoms apie išvestines priemones.

Pirma - maloni staigmena.)

Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija ir dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinių pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!

Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Tai viskas. Tai mane džiugina.

Pradėkime susipažinti?)

Terminai ir pavadinimai.

Elementariojoje matematikoje yra daug įvairių matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių operacijų pridėsite dar vieną operaciją, elementarioji matematika taps aukštesnė. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.

Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra tiesiog matematinė funkcijos operacija. Paimame bet kokią funkciją ir pagal tam tikras taisykles ją transformuojame. Rezultatas bus nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.

Diferencijavimas- veiksmas pagal funkciją.

Darinys- šio veiksmo rezultatas.

Visai kaip pvz. suma- pridėjimo rezultatas. Arba privatus- padalijimo rezultatas.

Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotės yra tokios: rasti funkcijos išvestinę; paimti išvestinę; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir taip toliau. Tai viskas tas pats.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš problemos sprendimo žingsnių.

Išvestinė pažymėta brūkšneliu funkcijos viršuje, dešinėje. Kaip šitas: y" arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.

Skaitymas igrek insultas, ef insultas iš x, es insultas iš te, nu supranti...)

Pirminis dydis taip pat gali nurodyti tam tikros funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir tt Dažnai išvestinės yra žymimos diferencialais, tačiau tokio žymėjimo šioje pamokoje nenagrinėsime.

Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Belieka išmokti juos išspręsti.) Dar kartą priminsiu: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles. Keista, bet tokių taisyklių yra labai mažai.

Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių stovi visa diferenciacija. Štai šie trys ramsčiai:

1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.

3. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje pažvelgsime į išvestinių išvestinių lentelę.

Darinių lentelė.

Pasaulyje yra be galo daug funkcijų. Tarp šio rinkinio yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktiniam naudojimui. Šios funkcijos randamos visuose gamtos dėsniuose. Iš šių funkcijų, kaip iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.

Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. Remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija, tai gana daug darbo reikalaujantis dalykas. O matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Jie prieš mus apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestis. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)

Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairėje yra elementari funkcija, dešinėje - jos išvestinė.

	Funkcija y	Funkcijos y išvestinė y"
1	C (pastovi reikšmė)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – bet koks skaičius)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	nuodėmė x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	žurnalas a x
	ln x ( a = e)

Šioje išvestinių lentelėje rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę. Galios funkcijos išvestinė yra viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar suprantate užuominą?) Taip, išvestinių lentelę patartina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite išspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)

Išvestinės vertės lentelės radimas, kaip suprantate, nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba užduoties formuluotėje, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje...

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3

Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra bendros formos galios funkcijos išvestinė (trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame tris ir atidžiai užrašome rezultatą:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Viskas.

Atsakymas: y" = 3x 2

2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.

Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0į šį patį darinį. Būtent tokia tvarka! Priešingu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Išvestinė, leiskite man priminti, yra nauja funkcija.

Naudodami planšetinį kompiuterį randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:

y" = (sin x)" = cosx

Išvestinėje pakeičiame nulį:

y"(0) = cos 0 = 1

Tai bus atsakymas.

3. Atskirkite funkciją:

Ką, įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos nėra.

Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, ieškoti mūsų funkcijos išvestinės yra gana varginanti. Lentelė nepadeda...

Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra dvigubo kampo kosinusas, tada viskas iš karto pagerės!

Taip taip! Atminkite, kad pakeiskite pradinę funkciją prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Naudojant dvigubo kampo kosinuso formulę:

Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cosx. Ir tai yra lentelės funkcija. Iš karto gauname:

Atsakymas: y" = - sin x.

Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:

4. Raskite funkcijos išvestinę:

Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei prisimena elementarią matematiką, veiksmus su galiomis... Tada šią funkciją visai įmanoma supaprastinti. Kaip šitas:

O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Rašome tiesiai pagal formulę:

Tai viskas. Tai bus atsakymas.

Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos ramsčiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje mokysimės diferencijavimo taisyklių.

Vieno kintamojo funkcijos išvestinė.

Įvadas.

Šie metodiniai renginiai skirti Pramonės ir statybos inžinerijos fakulteto studentams. Jie buvo sudaryti atsižvelgiant į matematikos kurso programą skyriuje „Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis skaičiavimas“.

Patobulinimai sudaro vieną metodinį vadovą, apimantį: trumpą teorinę informaciją; „standartinės“ problemos ir pratimai su išsamiais šių sprendimų sprendimais ir paaiškinimais; testavimo parinktys.

Kiekvienos pastraipos pabaigoje yra papildomų pratimų. Dėl šios raidos struktūros jie tinka savarankiškam skyriaus įvaldymui su minimalia mokytojo pagalba.

§1. Išvestinės apibrėžimas.

Mechaninė ir geometrinė reikšmė

išvestinė.

Išvestinės sąvoka yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Ji atsirado dar XVII a. Išvestinės sąvokos formavimasis istoriškai siejamas su dviem problemomis: kintamo judėjimo greičio ir kreivės liestinės problema.

Šios problemos, nepaisant jų skirtingo turinio, lemia tą patį matematinį veiksmą, kurį reikia atlikti su funkcija. Ši operacija matematikoje gavo specialų pavadinimą. Tai vadinama funkcijos diferenciacijos operacija. Diferencijavimo operacijos rezultatas vadinamas išvestine.

Taigi funkcijos y=f(x) išvestinė taške x0 yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio riba (jei ji yra).
adresu
.

Išvestinė paprastai žymima taip:
.

Taigi, pagal apibrėžimą

Simboliai taip pat naudojami dariniams žymėti
.

Mechaninė vedinio reikšmė.

Jei s=s(t) yra materialaus taško tiesinio judėjimo dėsnis, tai
yra šio taško greitis laiko momentu t.

Geometrinė išvestinės reikšmė.

Jei funkcija y=f(x) taške turi išvestinę , tada funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas taške
lygus
.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę
taške =2:

1) Duokime tašką = 2 prieaugis
. Pastebėti, kad.

2) Raskite funkcijos prieaugį taške =2:

3) Sukurkime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykį:

Raskime santykio ribą ties
:

.

Taigi,
.

§ 2. Kai kurių išvestinių

paprasčiausias funkcijas.

Studentas turi išmokti skaičiuoti konkrečių funkcijų išvestines: y=x,y= ir apskritai = .

Raskime funkcijos y=x išvestinę.

tie. (x)′=1.

Raskime funkcijos išvestinę

Darinys

Leisti
Tada

Galios funkcijos išvestinių išraiškose nesunku pastebėti šabloną
su n=1,2,3.

Vadinasi,

. (1)

Ši formulė galioja bet kuriai realiai n.

Visų pirma, naudojant (1) formulę, turime:

;

.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

.

Ši funkcija yra ypatingas formos funkcijos atvejis

adresu
.

Naudodami formulę (1), turime

.

Funkcijų y=sin x ir y=cos x išvestinės.

Tegu y=sinx.

Padalijus iš ∆x, gauname

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, turime

Tegul y=cosx.

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, gauname

;
. (2)

§3. Pagrindinės diferenciacijos taisyklės.

Panagrinėkime diferenciacijos taisykles.

Teorema1 . Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taškex, tai šiame taške jų suma taip pat yra diferencijuojama, o sumos išvestinė lygi terminų išvestinių sumai : (u+v)"=u"+v.(3)

Įrodymas: apsvarstykite funkciją y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumento x prieaugis ∆x atitinka funkcijų u ir v priedus ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Tada funkcija y padidės

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Vadinasi,

Taigi, (u+v)"=u"+v.

Teorema2. Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taške, tai jų sandauga yra diferencijuojama tame pačiame taške Šiuo atveju sandaugos išvestinė randama pagal šią formulę: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Įrodymas: Tegu y=uv, kur u ir v yra kai kurios diferencijuojamos x funkcijos. Suteikime x ∆x prieaugį, tada u gaus ∆u prieaugį, v – ∆v, y – ∆y;

Turime y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), arba

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Todėl ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Iš čia

Pereinant prie ribos ties ∆x→0 ir atsižvelgiant į tai, kad u ir v nepriklauso nuo ∆x, turėsime

3 teorema. Dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios vardiklis lygus daliklio kvadratui, o skaitiklis yra skirtumas tarp dividendo išvestinės iš daliklio sandaugos ir daliklio sandaugos. dividendas daliklio išvestine, t.y.

Jeigu
Tai
(5)

4 teorema. Konstantos išvestinė lygi nuliui, t.y. jei y=C, kur C=const, tai y“=0.

5 teorema. Pastovųjį veiksnį galima ištraukti iš darinio ženklo, t.y. jei y=Cu(x), kur С=const, tai y"=Cu"(x).

1 pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

Ši funkcija turi formą
, kur u=x,v=cosx. Taikydami diferenciacijos taisyklę (4), randame

.

2 pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

Taikykime (5) formulę.

Čia
;
.

Užduotys.

Raskite šių funkcijų išvestinius:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Šiame straipsnyje pateiksime pagrindines sąvokas, kuriomis bus grindžiama visa tolesnė teorija apie vieno kintamojo funkcijos išvestinę.

Kelias x yra funkcijos f(x) argumentas ir yra mažas skaičius, kuris skiriasi nuo nulio.

(skaitykite „delta x“) vadinamas funkcijos argumento didinimas. Paveiksle raudona linija rodo argumento pokytį iš reikšmės x į reikšmę (iš čia ir yra argumento pavadinimo „prieaugis“ esmė).

Pereinant nuo argumento vertės prie funkcijos reikšmių, atitinkamai pasikeičia iš į, su sąlyga, kad funkcija yra monotoniška intervale. Skirtumas vadinamas funkcijos f(x) padidėjimas, atitinkantis šį argumento prieaugį. Paveiksle funkcijos prieaugis parodytas mėlyna linija.

Pažvelkime į šias sąvokas naudodami konkretų pavyzdį.

Paimkime, pavyzdžiui, funkciją . Pataisykime argumento tašką ir padidėjimą. Šiuo atveju funkcijos prieaugis pereinant nuo iki bus lygus

Neigiamas prieaugis rodo segmento funkcijos sumažėjimą.

Grafinė iliustracija

Funkcijos išvestinės taške nustatymas.

Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta intervale (a; b) ir ir yra šio intervalo taškai. Funkcijos f(x) taške išvestinė vadinama funkcijos prieaugio santykio su argumento prieaugio riba ties . Paskirta .

Kai paskutinė riba įgyja konkrečią galutinę reikšmę, kalbame apie egzistavimą baigtinė išvestinė taške. Jei riba yra begalinė, jie taip sako išvestinė yra begalinė tam tikrame taške. Jei riba neegzistuoja, tada funkcijos išvestinė šiame taške neegzistuoja.

Iškviečiama funkcija f(x). taške skiriasi, kai jame yra baigtinė išvestinė.

Jei funkcija f(x) yra diferencijuojama kiekviename tam tikro intervalo taške (a; b), tai funkcija vadinama diferencijuojama šiame intervale. Taigi bet kurį tašką x iš intervalo (a; b) galima susieti su funkcijos išvestinės reikšme šiame taške, tai yra, turime galimybę apibrėžti naują funkciją, kuri vadinama funkcijos f(x) išvestinė intervale (a; b).

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išskirkime funkcijos išvestinės taške ir intervale sąvokų pobūdį: funkcijos išvestinė taške yra skaičius, o funkcijos išvestinė iš intervalo yra funkcija.

Pažvelkime į tai su pavyzdžiais, kad vaizdas būtų aiškesnis. Diferencijuodami naudosime išvestinės apibrėžimą, tai yra, pereisime prie ribų nustatymo. Jei kyla sunkumų, rekomenduojame peržiūrėti teorijos skyrių.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę taške naudodami apibrėžimą.

Sprendimas.

Kadangi mes ieškome funkcijos išvestinės taške, atsakyme turi būti skaičius. Užrašykime funkcijos prieaugio santykio ir argumento prieaugio ribą ir naudokime trigonometrijos formules:

Kas yra darinys?
Išvestinės funkcijos apibrėžimas ir reikšmė

Daugelį nustebins netikėta šio straipsnio vieta mano autoriaus kurse apie vieno kintamojo funkcijos išvestinę ir jos taikymą. Juk kaip nuo mokyklos laikų: standartiniame vadovėlyje pirmiausia pateikiamas vedinio apibrėžimas, jo geometrinė, mechaninė reikšmė. Tada studentai randa funkcijų išvestinius pagal apibrėžimą ir, tiesą sakant, tik tada tobulina diferencijavimo techniką naudodami išvestinių lentelių.

Bet mano požiūriu, toks požiūris yra pragmatiškesnis: visų pirma, patartina GERAI SUPRASTAI funkcijos riba, ir ypač be galo maži kiekiai. Faktas yra tas išvestinės apibrėžimas grindžiamas ribos sąvoka, į kurį menkai atsižvelgiama mokyklos kurse. Štai kodėl nemaža dalis jaunųjų žinių granito vartotojų nesuvokia pačios darinio esmės. Taigi, jei mažai suprantate diferencialinį skaičiavimą arba išmintingos smegenys per daugelį metų sėkmingai atsikratė šio bagažo, pradėkite nuo funkcijų ribos. Tuo pačiu metu įvaldykite / prisiminkite jų sprendimą.

Tas pats praktinis pojūtis rodo, kad tai pirmiausia naudinga išmokti rasti išvestinius, įskaitant sudėtingų funkcijų dariniai. Teorija yra teorija, bet, kaip sakoma, visada norisi atskirti. Šiuo atžvilgiu geriau atlikti išvardytas pagrindines pamokas, o gal ir diferenciacijos meistras net nesuvokdami savo veiksmų esmės.

Perskaičius straipsnį rekomenduoju pradėti nuo šio puslapio medžiagos. Paprasčiausios problemos su išvestinėmis priemonėmis, kur visų pirma nagrinėjama funkcijos grafiko liestinės problema. Bet jūs galite palaukti. Faktas yra tas, kad daugeliui išvestinės taikymų nereikia jos suprasti, ir nenuostabu, kad teorinė pamoka pasirodė gana vėlai - kai reikėjo paaiškinti didėjančių/mažėjančių intervalų ir ekstremalų radimas funkcijas. Be to, jis gana ilgą laiką buvo šioje temoje. Funkcijos ir grafikai“, kol galiausiai nusprendžiau įdėti anksčiau.

Todėl, mieli arbatinukai, neskubėkite kaip alkani gyvūnai įsisavinti darinio esmės, nes sodrumas bus neskanus ir nepilnas.

Funkcijos didėjimo, mažėjimo, maksimumo, minimumo sąvoka

Daugelyje vadovėlių vedinių sąvoka pristatoma pasitelkiant keletą praktinių problemų, taip pat pateikiau įdomų pavyzdį. Įsivaizduokite, kad ruošiamės keliauti į miestą, kurį galima pasiekti įvairiais būdais. Iškart išmeskime vingiuotus kelius ir svarstykime tik tiesius greitkelius. Tačiau tiesiosios kryptys taip pat skiriasi: į miestą galite patekti lygiu greitkeliu. Arba kalvotu greitkeliu – aukštyn ir žemyn, aukštyn ir žemyn. Kitas kelias eina tik įkalnėn, o kitas visą laiką leidžiasi žemyn. Ekstremalūs entuziastai rinksis maršrutą per tarpeklį su stačiu skardžiu ir stačiu kopimu.

Bet kad ir kokie būtų jūsų pageidavimai, patartina žinoti vietovę arba bent jau turėti jos topografinį žemėlapį. O jei tokios informacijos trūksta? Juk galima rinktis, pavyzdžiui, lygų taką, bet dėl ​​to užklysti į slidinėjimo trasą su linksmais suomiais. Netiesa, kad navigatorius ar net palydovinė nuotrauka pateiks patikimus duomenis. Todėl būtų malonu įforminti tako reljefą naudojant matematiką.

Pažiūrėkime į kelią (vaizdas iš šono):

Tik tuo atveju primenu elementarų faktą: kelionė vyksta iš kairės į dešinę. Paprastumo dėlei darome prielaidą, kad funkcija tęstinis nagrinėjamoje teritorijoje.

Kokios yra šio grafiko ypatybės?

Protarpiais funkcija dideja, tai yra, kiekviena kita jo reikšmė daugiau ankstesnis. Grubiai tariant, tvarkaraštis yra žemyn aukštyn(lipame į kalną). O intervale funkcija mažėja– kiekviena kita reikšmė mažiau ankstesnis, o mūsų tvarkaraštis yra iš viršaus žemyn(leidžiame šlaitu žemyn).

Taip pat atkreipkime dėmesį į specialius dalykus. Taške, kurį pasiekiame maksimalus, tai yra egzistuoja tokia kelio atkarpa, kurioje reikšmė bus didžiausia (didžiausia). Tuo pačiu metu tai pasiekiama minimumas, Ir egzistuoja jos kaimynystėje, kurioje vertė yra mažiausia (mažiausia).

Klasėje pažvelgsime į griežtesnę terminologiją ir apibrėžimus. apie funkcijos kraštutinumą, bet kol kas išstudijuokime kitą svarbią savybę: intervalais funkcija didėja, bet didėja skirtingu greičiu. Ir pirmas dalykas, kuris patraukia jūsų dėmesį, yra tai, kad grafikas pakyla per intervalą daug šaunesnis, nei intervale . Ar įmanoma matematiniais įrankiais išmatuoti kelio statumą?

Funkcijos kitimo greitis

Idėja tokia: paimkime tam tikrą vertę (skaitykite "delta x"), kurį paskambinsime argumentų prieaugis, ir pradėkime „išbandyti“ įvairiuose savo kelio taškuose:

1) Pažiūrėkime į kairiausią tašką: pravažiuodami atstumą, lipame šlaitu į aukštį (žalia linija). Kiekis vadinamas funkcijos padidėjimas, ir šiuo atveju šis prieaugis yra teigiamas (reikšmių skirtumas išilgai ašies yra didesnis nei nulis). Sukurkime santykį, kuris bus mūsų kelio statumo matas. Akivaizdu, kad tai yra labai konkretus skaičius, ir kadangi abu žingsniai yra teigiami, tada .

Dėmesio! Pavadinimai yra VIENA simbolis, tai yra, negalite „nuplėšti“ „deltos“ nuo „X“ ir atsižvelgti į šias raides atskirai. Žinoma, komentaras taip pat susijęs su funkcijos prieaugio simboliu.

Ištirkime gautos trupmenos prigimtį prasmingiau. Iš pradžių būkime 20 metrų aukštyje (kairiame juodajame taške). Įveikę metrų atstumą (kairė raudona linija), atsidursime 60 metrų aukštyje. Tada funkcijos padidėjimas bus metrų (žalia linija) ir: . Taigi, ant kiekvieno metrošioje kelio atkarpoje ūgis didėja vidutinis 4 metrais...pamiršote laipiojimo įrangą? =) Kitaip tariant, sukonstruotas ryšys apibūdina funkcijos VIDUTINIĄ POKYČIŲ (šiuo atveju augimą) GRĄ.

Pastaba : nagrinėjamo pavyzdžio skaitinės reikšmės atitinka tik apytiksliai brėžinio proporcijas.

2) Dabar eikime tuo pačiu atstumu nuo dešiniojo juodojo taško. Čia kilimas yra laipsniškesnis, todėl prieaugis (raudonoji linija) yra palyginti mažas, o santykis, palyginti su ankstesniu atveju, bus labai kuklus. Santykinai kalbant, metrų ir funkcijos augimo greitis yra . Tai yra, čia yra kiekvienam kelio metrui vidutinis pusės metro aukščio.

3) Šiek tiek nuotykių kalno šlaite. Pažiūrėkime į viršutinį juodą tašką, esantį ordinačių ašyje. Tarkime, kad tai yra 50 metrų žyma. Vėl įveikiame distanciją, ko pasekoje atsiduriame žemiau – 30 metrų lygyje. Kadangi judėjimas atliekamas iš viršaus žemyn(ašies „priešinga“ kryptimi), tada galutinis funkcijos prieaugis (aukštis) bus neigiamas: metrų (rudas segmentas brėžinyje). Ir šiuo atveju mes jau kalbame apie mažėjimo greitis Funkcijos: , tai yra, kiekvienam šios atkarpos tako metrui aukštis mažėja vidutinis 2 metrais. Penktame taške pasirūpinkite savo drabužiais.

Dabar užduokime sau klausimą: kokią „matavimo etalono“ reikšmę geriausia naudoti? Tai visiškai suprantama, 10 metrų yra labai grubus. Ant jų nesunkiai telpa keliolika kauburėlių. Kad ir iškiltų nelygumai, apačioje gali būti gilus tarpeklis, o po kelių metrų – kita jo pusė su dar stačiu pakilimu. Taigi, su dešimties metrų negausime suprantamo tokių kelio atkarpų aprašymo per santykį .

Iš aukščiau pateiktos diskusijos daroma tokia išvada: tuo mažesnė vertė, tuo tiksliau aprašome kelio topografiją. Be to, teisingi šie faktai:

– Bet kam kėlimo taškai galite pasirinkti vertę (net jei labai mažą), kuri atitinka tam tikro padidėjimo ribas. Tai reiškia, kad atitinkamas aukščio prieaugis bus garantuotas teigiamas, o nelygybė teisingai parodys funkcijos augimą kiekviename šių intervalų taške.

- Taip pat, bet kuriamšlaito taškas, yra vertė, kuri visiškai tiks šiame šlaite. Vadinasi, atitinkamas aukščio padidėjimas yra aiškiai neigiamas, o nelygybė teisingai parodys funkcijos sumažėjimą kiekviename duoto intervalo taške.

– Ypač įdomus atvejis, kai funkcijos kitimo greitis lygus nuliui: . Pirma, nulinis aukščio padidėjimas () yra lygaus kelio ženklas. Antra, yra ir kitų įdomių situacijų, kurių pavyzdžius matote paveikslėlyje. Įsivaizduokite, kad likimas mus atvedė į pačią kalvos viršūnę su sklandančiais ereliais arba į daubos dugną su kurkiančiomis varlėmis. Jei žengsite nedidelį žingsnį bet kuria kryptimi, aukščio pokytis bus nereikšmingas, ir galime pasakyti, kad funkcijos kitimo greitis iš tikrųjų yra lygus nuliui. Būtent toks vaizdas matomas taškuose.

Taigi, mes pasiekėme nuostabią galimybę puikiai tiksliai apibūdinti funkcijos kitimo greitį. Mat matematinė analizė leidžia nukreipti argumento prieaugį į nulį: , tai yra padaryti jį be galo mažas.

Dėl to kyla kitas logiškas klausimas: ar įmanoma rasti kelią ir jo tvarkaraštį kita funkcija, kuris mums praneštų apie visas plokščias atkarpas, pakilimus, nusileidimus, viršūnes, slėnius, taip pat augimo/mažėjimo greitį kiekviename taške pakeliui?

Kas yra darinys? Išvestinės apibrėžimas.
Išvestinės ir diferencialo geometrinė reikšmė

Perskaitykite atidžiai ir ne per greitai – medžiaga paprasta ir visiems prieinama! Gerai, jei kai kuriose vietose kažkas neatrodo labai aišku, visada galite grįžti prie straipsnio vėliau. Pasakysiu daugiau, pravartu kelis kartus pastudijuoti teoriją, kad būtų nuodugniai perprasti visi dalykai (patarimas ypač aktualus „techniniams“ studentams, kuriems aukštoji matematika vaidina didelį vaidmenį ugdymo procese).

Natūralu, kad pačiame išvestinės apibrėžime tam tikru momentu jį pakeičiame taip:

Prie ko priėjome? Ir padarėme išvadą, kad funkcijai pagal įstatymą yra suderintas kita funkcija, kuris vadinamas išvestinė funkcija(arba tiesiog išvestinė).

Išvestinė charakterizuoja kitimo greitis funkcijas Kaip? Idėja eina kaip raudona gija nuo pat straipsnio pradžios. Panagrinėkime kai kuriuos dalykus apibrėžimo sritis funkcijas Tegul funkcija yra diferencijuojama tam tikrame taške. Tada:

1) Jei , tada funkcija didėja taške . Ir akivaizdu, kad yra intervalas(net ir labai mažas), kuriame yra taškas, kuriame funkcija auga, o jos grafikas eina „iš apačios į viršų“.

2) Jei , tada funkcija mažėja taške . Ir yra intervalas, kuriame yra taškas, kuriame funkcija mažėja (grafikas eina „iš viršaus į apačią“).

3) Jei , tada be galo artišalia taško funkcija palaiko pastovų greitį. Tai atsitinka, kaip pažymėta, esant nuolatinei funkcijai ir kritiniuose funkcijos taškuose, ypač minimaliais ir maksimaliais taškais.

Šiek tiek semantikos. Ką plačiąja prasme reiškia veiksmažodis „diferencijuoti“? Atskirti reiškia pabrėžti bruožą. Išskirdami funkciją, jos kitimo greitį „išskiriame“ funkcijos išvestinės formos pavidalu. Ką, beje, reiškia žodis „darinys“? Funkcija įvyko nuo funkcijos.

Sąvokas labai sėkmingai interpretuoja mechaninė vedinio reikšmė :
Panagrinėkime kūno koordinačių kitimo dėsnį, priklausantį nuo laiko, ir duoto kūno judėjimo greičio funkciją. Funkcija apibūdina kūno koordinačių kitimo greitį, todėl yra pirmoji funkcijos išvestinė laiko atžvilgiu: . Jei „kūno judėjimo“ sąvoka gamtoje neegzistuotų, tada jos nebūtų išvestinė„kūno greičio“ sąvoka.

Kūno pagreitis yra greičio kitimo greitis, todėl: . Jei pradinės sąvokos „kūno judėjimas“ ir „kūno greitis“ neegzistuotų gamtoje, tada jų nebūtų išvestinė„kūno pagreičio“ sąvoka.