Ką reiškia tiesiškai faktorizuoti? Faktoringo daugianario pavyzdžiai

Norint faktorizuoti, reikia supaprastinti išraiškas. Tai būtina, kad jį būtų galima dar labiau sumažinti. Polinomo plėtimas yra prasmingas, kai jo laipsnis yra ne mažesnis kaip du. Dauginamas su pirmuoju laipsniu vadinamas tiesiniu.

Straipsnyje bus aptariamos visos dekompozicijos sąvokos, teoriniai pagrindai ir daugianario faktoringo metodai.

teorija

1 teorema

Kai bet kuris n laipsnio daugianomas, turintis formą P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, pateikiami kaip sandauga su pastoviu koeficientu su didžiausiu a n laipsniu ir n tiesiniais koeficientais (x - x i), i = 1, 2, ..., n, tada P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kur x i, i = 1, 2, …, n yra daugianario šaknys.

Teorema skirta kompleksinio tipo x i, i = 1, 2, …, n šaknims ir kompleksiniams koeficientams a k, k = 0, 1, 2, …, n. Tai yra bet kokio skilimo pagrindas.

Kai a k, k = 0, 1, 2, …, n formos koeficientai yra tikrieji skaičiai, tai kompleksinės šaknys, kurios atsiras konjuguotose porose. Pavyzdžiui, šaknys x 1 ir x 2, susijusios su P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianario. . . + a 1 x + a 0 laikomi kompleksiniais konjugatais, tada kitos šaknys yra tikrosios, iš kurių gauname, kad daugianario forma yra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kur x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

komentuoti

Polinomo šaknys gali kartotis. Panagrinėkime algebros teoremos įrodymą, Bezouto teoremos pasekmę.

Pagrindinė algebros teorema

2 teorema

Bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną šaknį.

Bezouto teorema

Padalijus P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianarį. . . + a 1 x + a 0 ant (x - s), tada gauname likutį, kuri yra lygi polinomui taške s, tada gauname

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kur Q n - 1 (x) yra daugianaris, kurio laipsnis n - 1.

Bezouto teoremos išvada

Kai daugianario P n (x) šaknis laikoma s, tai P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Šios išvados pakanka, kai ji naudojama sprendimui apibūdinti.

Kvadratinio trinalio koeficientas

Formos a x 2 + b x + c kvadratinis trinaris gali būti padalytas į tiesinius koeficientus. tada gauname, kad a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kur x 1 ir x 2 yra šaknys (sudėtingos arba tikrosios).

Tai rodo, kad pats plėtimasis vėliau redukuojasi iki kvadratinės lygties sprendimo.

1 pavyzdys

Kvadratinio trinalio koeficientas.

Sprendimas

Būtina rasti lygties 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 šaknis. Norėdami tai padaryti, naudodami formulę turite rasti diskriminanto reikšmę, tada gausime D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Iš čia mes tai turime

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Iš to gauname, kad 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Norėdami atlikti patikrinimą, turite atidaryti skliaustus. Tada gauname formos išraišką:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Patikrinę pasiekiame pradinę išraišką. Tai yra, galime daryti išvadą, kad skaidymas buvo atliktas teisingai.

2 pavyzdys

Padalinkite kvadratinį trinarį formos 3 x 2 - 7 x - 11 .

Sprendimas

Mes nustatome, kad reikia apskaičiuoti gautą kvadratinę lygtį, kurios forma yra 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Norėdami rasti šaknis, turite nustatyti diskriminanto reikšmę. Mes tai gauname

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Iš to gauname, kad 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

3 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą 2 x 2 + 1.

Sprendimas

Dabar turime išspręsti kvadratinę lygtį 2 x 2 + 1 = 0 ir rasti jos šaknis. Mes tai gauname

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Šios šaknys vadinamos kompleksiniu konjugatu, o tai reiškia, kad pats išsiplėtimas gali būti pavaizduotas kaip 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

4 pavyzdys

Išskaidykite kvadratinį trinarį x 2 + 1 3 x + 1 .

Sprendimas

Pirmiausia reikia išspręsti x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formos kvadratinę lygtį ir rasti jos šaknis.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Gavę šaknis, rašome

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

komentuoti

Jei diskriminanto reikšmė yra neigiama, daugianariai liks antros eilės daugianariais. Iš to išplaukia, kad į tiesinius veiksnius jų neišplėsime.

Didesnio nei du laipsnio daugianario faktorinavimo metodai

Skaidant daroma prielaida, kad yra universalus metodas. Dauguma atvejų yra pagrįsti Bezouto teoremos išvadomis. Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti šaknies x 1 reikšmę ir sumažinti jos laipsnį, padalydami iš daugianario iš 1, padalydami iš (x - x 1). Gautame daugianaryje reikia rasti šaknį x 2, o paieškos procesas vyksta cikliškai, kol gauname visišką išplėtimą.

Jei šaknis nerasta, tada naudojami kiti faktorizavimo būdai: grupavimas, papildomi terminai. Ši tema apima lygčių, turinčių didesnę galią ir sveikųjų skaičių koeficientus, sprendimą.

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Panagrinėkime atvejį, kai laisvasis narys lygus nuliui, tada daugianario forma tampa P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .

Matyti, kad tokio daugianario šaknis bus lygi x 1 = 0, tada daugianarį galima pavaizduoti kaip išraišką P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Laikoma, kad šis metodas išima bendrą veiksnį iš skliaustų.

5 pavyzdys

Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Sprendimas

Matome, kad x 1 = 0 yra duoto daugianario šaknis, tada galime pašalinti x iš visos išraiškos skliaustų. Mes gauname:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Pereikime prie kvadratinio trinalio 4 x 2 + 8 x - 1 šaknų paieškos. Raskime diskriminantą ir šaknis:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Tada iš to seka

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pirmiausia atsižvelkime į skaidymo metodą, kuriame yra sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientai. . . + a 1 x + a 0, kur aukščiausio laipsnio koeficientas yra 1.

Kai daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos laikomos laisvojo termino dalikliais.

6 pavyzdys

Išplėskite išraišką f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Sprendimas

Pasvarstykime, ar yra pilnos šaknys. Būtina užrašyti skaičiaus daliklius - 18. Gauname, kad ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Iš to išplaukia, kad šis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis. Galite patikrinti naudodami Hornerio schemą. Tai labai patogu ir leidžia greitai gauti daugianario plėtimosi koeficientus:

Iš to išplaukia, kad x = 2 ir x = - 3 yra pradinio daugianario šaknys, kurias galima pavaizduoti kaip formos sandaugą:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Mes tęsiame kvadratinio trinario, kurio forma yra x 2 + 2 x + 3, plėtimą.

Kadangi diskriminantas yra neigiamas, tai reiškia, kad nėra tikrų šaknų.

Atsakymas: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

komentuoti

Vietoj Hornerio schemos leidžiama naudoti šaknies pasirinkimą ir daugianario padalijimą iš daugianario. Pereikime prie daugianario, turinčio sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos, išplėtimo. . . + a 1 x + a 0 , iš kurių didžiausias lygus vienetui.

Šis atvejis pasitaiko racionaliosioms trupmenoms.

7 pavyzdys

Faktorizuoti f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Sprendimas

Būtina pakeisti kintamąjį y = 2 x, turėtumėte pereiti prie daugianario, kurio koeficientai yra lygūs 1 aukščiausiu laipsniu. Pradėti reikia padauginus išraišką iš 4. Mes tai gauname

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kai gautos formos g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jų vieta yra tarp laisvojo nario daliklių. Įrašas atrodys taip:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Pereikime prie funkcijos g (y) skaičiavimo šiuose taškuose, kad gautume nulį. Mes tai gauname

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Pastebime, kad y = - 5 yra y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formos lygties šaknis, o tai reiškia, kad x = y 2 = - 5 2 yra pradinės funkcijos šaknis.

8 pavyzdys

Būtina padalyti stulpeliu 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 iš x + 5 2.

Sprendimas

Užsirašykime ir gaukime:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Daliklių tikrinimas užtruks daug laiko, todėl gautą kvadratinį trinarį, kurio forma yra x 2 + 7 x + 3, naudingiau koeficientuoti. Prilyginę nuliui, randame diskriminantą.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Iš to išplaukia

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Dirbtiniai daugianario faktorinavimo būdai

Racionalios šaknys būdingos ne visiems daugianariams. Norėdami tai padaryti, turite naudoti specialius metodus, kad surastumėte veiksnius. Tačiau ne visi daugianariai gali būti išplėsti arba pavaizduoti kaip produktas.

Grupavimo metodas

Yra atvejų, kai galite sugrupuoti daugianario sąlygas, kad surastumėte bendrą veiksnį ir išdėliotumėte jį skliaustuose.

9 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Sprendimas

Kadangi koeficientai yra sveikieji skaičiai, tada šaknys taip pat gali būti sveikieji skaičiai. Norėdami patikrinti, paimkite reikšmes 1, - 1, 2 ir - 2, kad apskaičiuotumėte daugianario reikšmę šiuose taškuose. Mes tai gauname

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Tai rodo, kad nėra šaknų, būtina naudoti kitą išplėtimo ir sprendimo būdą.

Būtina sugrupuoti:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Sugrupavę pradinį daugianarį, turite jį pavaizduoti kaip dviejų kvadratinių trinarių sandaugą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti faktorių. mes tai gauname

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

komentuoti

Grupavimo paprastumas nereiškia, kad terminus pasirinkti pakankamai lengva. Specifinio sprendimo būdo nėra, todėl būtina naudoti specialias teoremas ir taisykles.

10 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Sprendimas

Pateiktas daugianomas neturi sveikųjų skaičių šaknų. Terminai turėtų būti sugrupuoti. Mes tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktorizavimo mes tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

Sutrumpintų daugybos formulių ir Niutono dvinario naudojimas daugianario koeficientui

Išvaizda dažnai ne visada aiškiai parodo, koks metodas turėtų būti naudojamas skaidant. Atlikę transformacijas, galite sukurti liniją, sudarytą iš Paskalio trikampio, kitaip jie vadinami Niutono dvinariu.

11 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Sprendimas

Būtina išraišką konvertuoti į formą

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sumos koeficientų seka skliausteliuose nurodoma išraiška x + 1 4 .

Tai reiškia, kad turime x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Pritaikę kvadratų skirtumą, gauname

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Apsvarstykite išraišką, esančią antrajame skliaustelyje. Aišku, kad riterių ten nėra, tad vėl reikėtų taikyti kvadratų skirtumo formulę. Gauname formos išraišką

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

12 pavyzdys

Faktorizuoti x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Sprendimas

Pradėkime transformuoti išraišką. Mes tai gauname

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių skirtumo dauginimo formulę. Mes gauname:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metodas kintamajam pakeičiant daugianarį

Keičiant kintamąjį, laipsnis sumažinamas, o daugianomas koeficientas.

13 pavyzdys

Padauginkite formos daugianarį x 6 + 5 x 3 + 6 .

Sprendimas

Pagal sąlygą aišku, kad reikia pakeisti y = x 3. Mes gauname:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Gautos kvadratinės lygties šaknys yra y = - 2 ir y = - 3, tada

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių sumos dauginimo formulę. Gauname formos išraiškas:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Tai yra, mes gavome norimą skaidymą.

Aukščiau aptarti atvejai padės įvairiais būdais apsvarstyti ir apskaičiuoti daugianarį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Daugiavardžius būtina skaičiuoti supaprastinant išraiškas (kad būtų galima atlikti redukciją), sprendžiant lygtis arba skaidant trupmeniškai racionalią funkciją į paprastas trupmenas.

Prasminga kalbėti apie daugianario faktorinavimą, jei jo laipsnis yra ne mažesnis kaip du.

Pirmojo laipsnio daugianario vadinamas linijinis.

Pirmiausia apsvarstykime teorinius pagrindus, tada pereikime tiesiai prie daugianario faktoringo metodų.

Puslapio naršymas.

Reikalinga teorija.

Teorema.

Bet koks laipsnio daugianomas n tipas pavaizduotas pastovaus koeficiento sandauga esant didžiausiai galiai ir n tiesiniai daugikliai, i = 1, 2, …, n, tai yra ir, i = 1, 2, …, n yra daugianario šaknys.

Ši teorema suformuluota sudėtingoms šaknims, i = 1, 2, …, n ir kompleksiniai koeficientai, k = 0, 1, 2, …, n. Tai yra bet kurio daugianario faktoriaus pagrindas.

Jei koeficientai k = 0, 1, 2, …, n yra realieji skaičiai, tada daugianario kompleksinės šaknys PRIVALO atsirasti sudėtingose konjuguotose porose.

Pavyzdžiui, jei daugianario šaknys yra sudėtingos konjuguotos, o likusios šaknys yra tikrosios, tada daugianomas bus pavaizduotas forma , kur

komentuoti.

Tarp daugianario šaknų gali būti pasikartojančių.

Teoremos įrodymas atliekamas naudojant Pagrindinė algebros teorema Ir Bezouto teoremos išvados.

Pagrindinė algebros teorema.

Bet koks laipsnio daugianomas n turi bent vieną šaknį (sudėtingą arba tikrą).

Bezouto teorema.

Dalijant daugianarį iš (x-s) likusi dalis lygi daugianario reikšmei taške s, tai yra, kur yra laipsnio daugianario n-1.

Bezouto teoremos išvada.

Jeigu s yra daugianario šaknis, tada .

Šią išvadą gana dažnai naudosime aprašydami pavyzdžių sprendimus.

Kvadratinio trinalio koeficientas.

Kvadratinis trinaris išskaidomas į du tiesinius veiksnius: , kur ir yra šaknys (sudėtingos arba tikrosios).

Taigi kvadratinio trinalio faktorius sumažinamas iki kvadratinės lygties sprendimo.

Pavyzdys.

Kvadratinio trinalio koeficientas.

Sprendimas.

Raskime kvadratinės lygties šaknis .

Lygties diskriminantas yra lygus, todėl

Taigi, .

Norėdami patikrinti, galite išplėsti skliaustus: . Tikrindami pasiekėme pradinį trinarį, todėl išskaidymas buvo teisingas.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Atitinkama kvadratinė lygtis yra .

Raskime jo šaknis.

Štai kodėl, .

Pavyzdys.

Dauginamojo koeficientas.

Sprendimas.

Raskime kvadratinės lygties šaknis.

Gavome porą sudėtingų konjuguotų šaknų.

Dauginamo išplėtimas turės formą .

Pavyzdys.

Kvadratinio trinalio koeficientas.

Sprendimas.

Išspręskime kvadratinę lygtį .

Štai kodėl,

komentaras:

Toliau su neigiamu diskriminantu paliksime antros eilės daugianario pradinę formą, tai yra, neskaidysime jų į tiesinius veiksnius su sudėtingais laisvaisiais terminais.

Didesnio nei du laipsnio daugianario faktorinavimo metodai.

Apskritai ši užduotis reikalauja kūrybiško požiūrio, nes nėra universalaus metodo, kaip ją išspręsti. Tačiau pabandykime duoti keletą patarimų.

Daugeliu atvejų daugianario faktorizavimas yra pagrįstas Bezout teoremos padariniu, ty randama arba pasirenkama šaknis, o daugianario laipsnis sumažinamas vienu dalijant iš . Ieškoma gauto daugianario šaknies ir procesas kartojamas iki visiško išsiplėtimo.

Jei šaknies rasti nepavyksta, naudojami specifiniai išplėtimo metodai: nuo grupavimo iki papildomų vienas kitą paneigiančių terminų įvedimo.

Tolesnis pristatymas pagrįstas įgūdžiais su sveikųjų skaičių koeficientais.

Išskirkite bendrą veiksnį.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo, kai laisvasis narys lygus nuliui, tai yra, daugianario forma yra .

Akivaizdu, kad tokio daugianario šaknis yra , tai yra, galime pavaizduoti daugianarį formoje .

Šis metodas yra ne kas kita, kaip bendrąjį veiksnį iškeldami iš skliaustų.

Pavyzdys.

Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas.

Sprendimas.

Akivaizdu, kas yra daugianario šaknis, tai yra X galima išimti iš skliaustų:

Raskime kvadratinio trinalio šaknis

Taigi,

Racionaliųjų šaknų daugianario faktorinavimas.

Pirmiausia panagrinėkime daugianario išplėtimo metodą su sveikųjų skaičių koeficientais formos , aukščiausio laipsnio koeficientas yra lygus vienetui.

Šiuo atveju, jei daugianario šaknys yra sveikosios, tai jos yra laisvojo termino dalikliai.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Pažiūrėkime, ar yra nepažeistų šaknų. Norėdami tai padaryti, užrašykite skaičiaus daliklius -18 : . Tai yra, jei daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos yra tarp įrašytų skaičių. Patikrinkime šiuos skaičius paeiliui pagal Hornerio schemą. Jo patogumas taip pat slypi tuo, kad galiausiai gauname daugianario plėtimosi koeficientus:

tai yra x=2 Ir x=-3 yra pradinio daugianario šaknys ir galime jį pavaizduoti kaip sandaugą:

Belieka išplėsti kvadratinį trinarį.

Šio trinalio diskriminantas yra neigiamas, todėl neturi realių šaknų.

Atsakymas:

komentaras:

Vietoj Hornerio schemos galima naudoti šaknies pasirinkimą ir vėlesnį daugianario padalijimą iš daugianario.

Dabar apsvarstykite daugianario išplėtimą su sveikaisiais formos koeficientais, o aukščiausio laipsnio koeficientas nėra lygus vienetui.

Šiuo atveju daugianomas gali turėti trupmeniškai racionalias šaknis.

Pavyzdys.

Įvertinkite išraišką.

Sprendimas.

Atlikdami kintamąjį pakeitimą y = 2x, pereikime prie daugianario, kurio koeficientas lygus vienetui aukščiausiu laipsniu. Norėdami tai padaryti, pirmiausia padauginkite išraišką iš 4 .

Jei gauta funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jos yra tarp laisvojo termino daliklių. Užsirašykime juos:

Paeiliui apskaičiuokime funkcijos reikšmes g(y)šiuose taškuose, kol pasiekiamas nulis.

tai yra y=-5 yra šaknis , todėl yra pradinės funkcijos šaknis. Padalinkime daugianarį stulpeliu (kampu) į dvinarį.

Taigi,

Nepatartina ir toliau tikrinti likusių daliklių, nes gautą kvadratinį trinarį lengviau koeficientuoti

Vadinasi,

Dirbtiniai daugianario faktorinavimo būdai.

Polinomai ne visada turi racionalias šaknis. Šiuo atveju faktoringo metu tenka ieškoti specialių metodų. Tačiau, kad ir kaip norėtume, kai kurie daugianariai (tiksliau didžioji dauguma) negali būti pavaizduoti kaip produktas.

Grupavimo metodas.

Kartais paaiškėja, kad daugianario terminai yra sugrupuoti, o tai leidžia rasti bendrą veiksnį ir išimti jį iš skliaustų.

Pavyzdys.

Išplėsti daugianarį pagal daugiklius.

Sprendimas.

Kadangi koeficientai yra sveikieji skaičiai, tarp laisvojo termino daliklių gali būti sveikųjų skaičių šaknų. Patikrinkime vertes 1 , -1 , 2 Ir -2 , apskaičiuojant daugianario reikšmę šiuose taškuose.

Tai yra, nėra ištisų šaknų. Ieškokime kito skaidymo būdo.

Sugrupuokime:

Po sugrupavimo pradinis daugianomas buvo pavaizduotas kaip dviejų kvadratinių trinarių sandauga. Įvertinkime juos.

Kvadratas III

§ 54. Kvadratinio trinalio išskaidymas į tiesinius veiksnius

Šiame skyriuje nagrinėsime tokį klausimą: kokiu atveju yra kvadratinis trinaris kirvis 2 + bx + c gali būti pavaizduotas kaip produktas

(a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2)

dvi tiesinės santykinės X daugikliai su realiaisiais koeficientais a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?

1. Tarkime, kad duotasis kvadratinis trinaris kirvis 2 + bx + c pavaizduokime jį formoje

kirvis 2 + bx + c = (a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2). (1)

Dešinė formulės (1) pusė išnyksta, kai X = - b 1 / a 1 ir X = - b 2 / a 2 (a 1 ir a 2 pagal sąlygą nėra lygūs nuliui). Bet šiuo atveju skaičiai yra b 1 / a 1 ir - b 2 / a 2 yra lygties šaknys

kirvis 2 + bx + c = 0.

Todėl kvadratinio trinalio diskriminantas kirvis 2 + bx + c turi būti ne neigiamas.

2. Ir atvirkščiai, tarkime, kad diskriminantas D = b 2 - 4ac kvadratinis trinaris kirvis 2 + bx + c neneigiamas. Tada šis trinaris turi tikras šaknis x 1 ir x 2. Naudodami Vietos teoremą gauname:

kirvis 2 + bx + c =A (x 2 + b / a X + c / a ) = A [x 2 - (x 1 + x 2) X + x 1 x 2 ] =

= A [(x 2 - x 1 x ) - (x 2 x - x 1 x 2)] = A [X (X - x 1) - x 2 (X - x 1) =

=a (X - x 1)(X - x 2).

kirvis 2 + bx + c = a (X - x 1)(X - x 2), (2)

Kur x 1 ir x 2 - trinario šaknys kirvis 2 + bx + c . Koeficientas A gali būti priskirtas bet kuriam iš dviejų tiesinių veiksnių, pvz.

a (X - x 1)(X - x 2) = (ai - kirvis 1)(X - x 2).

Bet tai reiškia, kad nagrinėjamu atveju kvadratinis trinalis kirvis 2 + bx + c pavaizduokite jį kaip dviejų tiesinių veiksnių sandaugą su realiais koeficientais.

Sujungę 1 ir 2 dalyse gautus rezultatus, gauname tokią teoremą.

Teorema. Kvadratinis trinaris kirvis 2 + bx + c tada ir tik tada galima pavaizduoti kaip dviejų tiesinių veiksnių sandaugą su realiais koeficientais,

kirvis 2 + bx + c = (ai - kirvis 1)(X - x 2),

kai šio kvadratinio trinalio diskriminantas yra neneigiamas (tai yra, kai šis trinaris turi realias šaknis).

1 pavyzdys. Tiesinis koeficientas 6 x 2 - X -1.

Šio kvadratinio trinalio šaknys yra lygios x 1 = 1/2 ir x 2 = - 1 / 3 .

Todėl pagal (2) formulę

6x 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3x + 1).

2 pavyzdys. Tiesinė faktorizacija x 2 + X + 1. Šio kvadratinio trinalio diskriminantas yra neigiamas:

D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.

Todėl šio kvadratinio trinalio negalima išplėsti į tiesinius veiksnius su realiais koeficientais.

Pratimai

Padalinkite šias išraiškas į tiesinius koeficientus (Nr. 403 - 406):

403. 6x 2 - 7X + 2. 405. x 2 - X + 1.

404. 2x 2 - 7Oi + 6A 2 . 406. x 2 - 3Oi + 2A 2 - ab - b 2 .

Sumažinti frakcijas (Nr. 407, 408):

Išspręskite lygtis:

Pirmiausia atkreipkime dėmesį į kai kuriuos įprastus pavadinimus. Panagrinėkime daugianarius, kuriuose yra tik viena raidė, pavyzdžiui, raidė x. Tada paprasčiausias yra daugianario, kuriame yra du terminai, ir viename iš jų yra raidė x iki pirmo laipsnio, o kitame iš viso nėra raidės x, pavyzdžiui, 3x – 5 arba 15 – 7x arba 8z + 7 (čia vietoj raidės x laikoma raidė z) ir tt Tokie daugianariai vadinami tiesiniai dvinariai .

3x² – 5x + 7 arba x² + 2x – 1
arba 5y² + 7y + 8 arba z² – 5z – 2 ir kt.

Tokie daugianariai vadinami kvadratiniai trinariai.

Tada galime sudaryti kubinį keturnarį, pavyzdžiui:

x³ + 2x² – x + 1 arba 3x³ – 5x² – 2x – 3 ir tt,

ketvirtojo laipsnio daugianario, pavyzdžiui:

x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5 ir kt.

Taip pat galima žymėti koeficientus ties x, x², x³ ir tt taip pat raidėmis, pavyzdžiui, raidėmis a, b, c ir tt Tada gauname:

1) bendroji dvinario ax + b forma, tiesinė x atžvilgiu,

2) bendroji kvadratinio trinalio forma (x santykyje): ax² + bx + c,

3) bendroji kubinio trinalio forma (x santykyje): ax³ + bx² + cx + d ir kt.

Šiose formulėse raides a, b, c, d... pakeitę skirtingais skaičiais, gauname visokius tiesinius dvinarius, kvadratinius trinarius ir pan. Pavyzdžiui, formulėje ax² + bx + c, kuri išreiškia bendrąjį kvadratinio trinalio formą, raidę a pakeičiame skaičiumi + 3, raidę b skaičiumi –2 ir raidę –1, gauname kvadratinį trinalį 3x² – 2x – 1. Konkrečiu atveju, taip pat galima gauti dvinarį pakeičiant vieną iš raidžių nuliu, pavyzdžiui, jei a = +1, b = 0 ir c = –3, tai gauname kvadratinį dvinarį x² – 3.

Galite išmokti gana greitai padalyti kai kuriuos kvadratinius trinalius į tiesinius veiksnius. Tačiau mes apsiribosime nagrinėdami tik tuos kvadratinius trinalius, kurie atitinka šias sąlygas:

1) priekinės dalies koeficientas (x²) yra +1,

2) galite rasti du sveikuosius skaičius (su ženklais arba du santykinius sveikuosius skaičius), kad jų suma būtų lygi x koeficientui iki pirmojo laipsnio, o sandauga būtų lygi terminui be x (kur nėra x raidės visi).

Pavyzdžiai. 1. x² + 5x + 6; Lengva mintyse rasti du skaičius (su ženklais), kad jų suma būtų lygi +5 (x koeficientas) ir kad jų sandauga būtų +6 (terminas be x) – šie skaičiai yra: +2 ir + 3 [iš tikrųjų Tiesą sakant, +2 + 3 = +5 ir (+2) ∙ (+3) = +6]. Naudodami šiuos du skaičius +5x terminą pakeičiame dviem terminais, būtent: +2x + 3x (žinoma, +2x + 3x = +5x); tada mūsų techninis terminas bus dirbtinai paverstas keturių terminų x² + 2x + 3x + 6. Dabar pritaikykime jam grupavimo techniką, pirmus du terminus priskirdami vienai grupei, o paskutinius du – kitai:

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).

Pirmoje grupėje iš skliaustos išėmėme x, o antroje – +3, gavome du narius, kurie turėjo bendrą koeficientą (x + 2), kurį taip pat išėmėme iš skliausto, ir mūsų trinalį x² + 5x + 6 suskaidomi į 2 tiesinius koeficientus: x + 2 ir x + 3.

2. x² – x – 12. Čia reikia rasti du skaičius (santykinius), kad jų suma būtų lygi –1, o sandauga būtų lygi –12. Šie skaičiai yra: –4 ir +3.

Patikrinkite: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. Naudodamiesi šiais skaičiais, terminą –x pakeičiame dviem terminais: –x = –4x + 3x, – gauname:

x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).

3. x² – 7x + 6; čia reikalingi skaičiai: –6 ir –1. [Patikrinti: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].

x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).

Čia antrosios grupės nariai –x + 6 turėjo būti rašomi skliausteliuose, prieš juos su minuso ženklu.

4. x² + 8x – 48. Čia reikia rasti du skaičius, kad jų suma būtų +8, o sandauga –48. Kadangi sandauga turi turėti minuso ženklą, reikiami skaičiai turi turėti skirtingus ženklus, kadangi mūsų skaičių suma turi + ženklą, tai teigiamo skaičiaus absoliuti reikšmė turi būti didesnė. Išplėtę aritmetinį skaičių 48 į du veiksnius (ir tai galima padaryti įvairiais būdais), gauname: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Iš šių išplėtimų nesunku pasirinkti tą, kuris atitinka mūsų reikalavimus, būtent: 48 = 4 ∙ 12. Tada mūsų skaičiai yra: +12 ir –4. Likusi dalis paprasta:

x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).

5. x² + 7x – 12. Čia reikia rasti 2 skaičius, kad jų suma būtų +7, o sandauga = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Matyt, tinkami skaičiai būtų 3 ir 4, tačiau jie turi būti imami su skirtingais ženklais, kad jų sandauga būtų lygi –12, o tada jų suma jokiu būdu negali būti būti +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Kitos faktorizacijos taip pat neduoda reikiamų skaičių; Todėl darome išvadą, kad šių kvadratinių trinarių dar negalime išskaidyti į tiesinius veiksnius, nes mūsų technika jam netaikoma (ji netenkina antrosios iš pradžioje nustatytų sąlygų).

Šioje pamokoje sužinosime, kaip kvadratinius trinalius paversti tiesiniais faktoriais. Norėdami tai padaryti, turime prisiminti Vietos teoremą ir jos priešingą pusę. Šis įgūdis padės mums greitai ir patogiai išplėsti kvadratinius trinalius į tiesinius veiksnius, taip pat supaprastins trupmenų, susidedančių iš išraiškų, sumažinimą.

Taigi grįžkime prie kvadratinės lygties, kur .

Tai, ką turime kairėje pusėje, vadinama kvadratiniu trikampiu.

Teorema teisinga: Jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada tapatybė galioja

Kur yra pagrindinis koeficientas, yra lygties šaknys.

Taigi, turime kvadratinę lygtį – kvadratinį trinalį, kur kvadratinės lygties šaknys dar vadinamos kvadratinio trinalio šaknimis. Todėl, jei turime kvadratinio trinalio šaknis, tai šį trinalį galima išskaidyti į tiesinius veiksnius.

Įrodymas:

Šio fakto įrodymas atliktas naudojant Vietos teoremą, kurią aptarėme ankstesnėse pamokose.

Prisiminkime, ką mums sako Vietos teorema:

Jei yra kvadratinio trinalio šaknys, kurioms Tada .

Iš šios teoremos išplaukia toks teiginys:

Matome, kad pagal Vietos teoremą, t. y. šias reikšmes pakeitę į aukščiau pateiktą formulę, gauname tokią išraišką

Q.E.D.

Prisiminkite, kad įrodėme teoremą, kad jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tai plėtinys galioja.

Dabar prisiminkime kvadratinės lygties pavyzdį, kurios šaknis pasirinkome naudodami Vietos teoremą. Iš šio fakto įrodytos teoremos dėka galime gauti tokią lygybę:

Dabar patikrinkime šio fakto teisingumą tiesiog atidarydami skliaustus:

Matome, kad faktorinavome teisingai, ir bet kuris trinaris, jeigu jis turi šaknis, pagal šią teoremą gali būti padalytas į tiesinius koeficientus pagal formulę

Tačiau patikrinkime, ar tokia faktorizacija įmanoma bet kuriai lygčiai:

Paimkite, pavyzdžiui, lygtį. Pirmiausia patikrinkime diskriminacinį ženklą

Ir mes prisimename, kad norint įvykdyti teoremą, kurią išmokome, D turi būti didesnis nei 0, todėl šiuo atveju faktorizacija pagal išmoktą teoremą yra neįmanoma.

Todėl suformuluojame naują teoremą: jei kvadratinis trinaris neturi šaknų, tai jo negalima išskaidyti į tiesinius veiksnius.

Taigi, mes pažvelgėme į Vietos teoremą, galimybę išskaidyti kvadratinį trinarį į tiesinius veiksnius, ir dabar išspręsime keletą problemų.

Užduotis Nr.1

Šioje grupėje mes išspręsime problemą atvirkščiai. Turėjome lygtį, kurios šaknis radome ją įvertinę. Čia mes darysime priešingai. Tarkime, kad turime kvadratinės lygties šaknis

Atvirkštinė problema yra tokia: parašykite kvadratinę lygtį naudodami jos šaknis.

Yra 2 būdai, kaip išspręsti šią problemą.

Kadangi yra lygties šaknys, tada yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys yra pateiktos skaičiais. Dabar atidarykime skliaustus ir patikrinkime:

Tai buvo pirmasis būdas, kuriuo sukūrėme kvadratinę lygtį su nurodytomis šaknimis, kuri neturi jokių kitų šaknų, nes bet kuri kvadratinė lygtis turi daugiausia dvi šaknis.

Šis metodas apima atvirkštinės Vietos teoremos naudojimą.

Jei yra lygties šaknys, tada jie atitinka sąlygą, kad .

Dėl sumažintos kvadratinės lygties , , t.y. šiuo atveju ir .

Taigi, mes sukūrėme kvadratinę lygtį, kuri turi nurodytas šaknis.

2 užduotis

Būtina sumažinti frakciją.

Mes turime trinarį skaitiklyje ir trinarį vardiklyje, o trinalius gali būti arba neskaičiuojamas. Jei skaičiuojamas ir skaitiklis, ir vardiklis, tai tarp jų gali būti lygių veiksnių, kuriuos galima sumažinti.

Visų pirma, reikia apskaičiuoti skaitiklį.

Pirmiausia turite patikrinti, ar šią lygtį galima suskaidyti į faktorius, raskime diskriminantą. Kadangi , ženklas priklauso nuo sandaugos (turi būti mažesnis nei 0), šiame pavyzdyje, t. y. duota lygtis turi šaknis.

Norėdami išspręsti, naudojame Vietos teoremą:

Šiuo atveju, kadangi mes susiduriame su šaknimis, bus gana sunku tiesiog pasirinkti šaknis. Bet matome, kad koeficientai yra subalansuoti, tai yra, jei darysime prielaidą, kad , ir pakeisime šią reikšmę į lygtį, gausime tokią sistemą: , ty 5-5=0. Taigi, mes pasirinkome vieną iš šios kvadratinės lygties šaknų.

Antrosios šaknies ieškosime lygčių sistemoje pakeisdami tai, kas jau žinoma, pavyzdžiui, , t.y. .

Taigi, mes radome abi kvadratinės lygties šaknis ir galime pakeisti jų reikšmes į pradinę lygtį, kad ją koeficientu: