Atsižvelgdami į diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, raskite reikšmę. Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai

Diskretus atsitiktinumas Kintamieji yra atsitiktiniai dydžiai, kurių reikšmės yra nutolusios viena nuo kitos ir kurias galima išvardyti iš anksto.
Paskirstymo dėsnis
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų atitinkamų tikimybių.
Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo serija yra jo galimų reikšmių ir atitinkamų tikimybių sąrašas.
Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra funkcija:
,
kiekvienai argumento x reikšmei nustatant tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis mažesnę už šį x reikšmę.

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis
,
kur yra diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmė; - tikimybė, kad atsitiktinis dydis priims X reikšmes.
Jei atsitiktinis kintamasis užima skaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį, tada:
.
Matematinė įvykio įvykių skaičiaus prognozė n nepriklausomų bandymų:
,

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija ir standartinis nuokrypis
Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersija:
arba .
Įvykio atvejų skaičiaus dispersija n nepriklausomų bandymų
,
čia p yra įvykio tikimybė.
Standartinis diskretinio atsitiktinio dydžio nuokrypis:
.

1 pavyzdys
Sudarykite diskretinio atsitiktinio dydžio (DRV) X tikimybių pasiskirstymo dėsnį – bent vieno „šešio“ atvejo k skaičių per n = 8 kauliukų poros metimus. Sukurkite paskirstymo daugiakampį. Raskite skirstinio skaitines charakteristikas (paskirstymo režimas, matematinė prognozė M(X), dispersija D(X), standartinis nuokrypis s(X)). Sprendimas:Įveskime žymėjimą: įvykis A – „metant kauliukų porą, šešetas pasirodo bent kartą“. Norint rasti įvykio A tikimybę P(A) = p, patogiau pirmiausia rasti priešingo įvykio tikimybę P(Ā) = q - „metant kauliukų porą, šešetukas niekada neatsirado“.
Kadangi tikimybė, kad metant vieną kauliuką neatsiras „šešetas“, yra 5/6, tai pagal tikimybių daugybos teoremą
P(Ā) = q = = .
Atitinkamai,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Problemoje atlikti testai pagal Bernulio schemą, todėl d.s.v. dydžio X- numeris k bent vieno šešetuko atsiradimas metant du kauliukus paklūsta tikimybių skirstinio dvinariui dėsniui:

kur = yra derinių skaičius n Autorius k.

Šiai užduočiai atlikti skaičiavimai gali būti patogiai pateikti lentelės pavidalu:
Tikimybių skirstinys d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

k

Pn(k)

Diskretaus atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio daugiakampis (daugiakampis). X parodyta paveiksle:

Ryžiai. Tikimybių skirstinio daugiakampis d.s.v. X=k.
Vertikali linija rodo matematinius pasiskirstymo lūkesčius M(X).

Raskime d.s.v tikimybių skirstinio skaitines charakteristikas. X. Paskirstymo režimas yra 2 (čia P 8(2) = daugiausia 0,2932). Matematinis lūkestis pagal apibrėžimą yra lygus:
M(X) = = 2,4444,
Kur xk = k– vertė paimta d.s.v. X. Dispersija D(X) paskirstymą randame naudodami formulę:
D(X) = = 4,8097.
Standartinis nuokrypis (RMS):
s( X) = = 2,1931.

2 pavyzdys
Diskretus atsitiktinis dydis X duota paskirstymo dėsnio

Raskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją.

Sprendimas. Jei , tada (trečioji savybė).
Jei, tada. tikrai, X gali gauti reikšmę 1 su 0,3 tikimybe.
Jei, tada. Iš tiesų, jei jis tenkina nelygybę
, tada lygi įvykio, kuris gali įvykti, tikimybei X ims reikšmę 1 (šio įvykio tikimybė yra 0,3) arba reikšmę 4 (šio įvykio tikimybė yra 0,1). Kadangi šie du įvykiai yra nesuderinami, tai pagal sudėjimo teoremą įvykio tikimybė yra lygi tikimybių sumai 0,3 + 0,1 = 0,4. Jei, tada. Iš tiesų įvykis yra tikras, todėl jo tikimybė lygi vienetui. Taigi paskirstymo funkciją galima analitiškai parašyti taip:

Šios funkcijos grafikas:
Raskime tikimybes, atitinkančias šias reikšmes. Pagal sąlygą įrenginių gedimo tikimybės yra lygios: tada tikimybė, kad įrenginiai veiks garantiniu laikotarpiu, yra vienoda:

Paskirstymo įstatymas turi tokią formą:

1 skyrius. Diskretus atsitiktinis dydis

§ 1. Atsitiktinio dydžio sąvokos.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.

Apibrėžimas : Atsitiktinis yra dydis, kuris dėl testavimo iš galimo reikšmių rinkinio paima tik vieną reikšmę, kuri iš anksto nežinoma ir priklauso nuo atsitiktinių priežasčių.

Yra dviejų tipų atsitiktiniai dydžiai: diskretieji ir nuolatiniai.

Apibrėžimas : vadinamas atsitiktiniu dydžiu X diskretiškas (nepertraukiamas), jei jo reikšmių rinkinys yra baigtinis arba begalinis, bet skaičiuojamas.

Kitaip tariant, galimas diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmes galima pernumeruoti.

Atsitiktinį kintamąjį galima apibūdinti naudojant jo pasiskirstymo dėsnį.

Apibrėžimas : Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis vadinti atitiktį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių.

Diskretaus atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, kurios pirmoje eilutėje didėjimo tvarka nurodomos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, o antroje – atitinkamos jų tikimybės. vertybes, t.y.

kur р1+ р2+…+ рn=1

Tokia lentelė vadinama diskretiškojo atsitiktinio dydžio skirstinio seka.

Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių aibė yra begalinė, tai eilutė p1+ p2+…+ pn+… suartėja ir jos suma lygi 1.

Grafiškai gali būti pavaizduotas diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis, kuriam stačiakampėje koordinačių sistemoje nubrėžiama trūkinė linija, nuosekliai jungianti taškus su koordinatėmis (xi; pi), i=1,2,…n. Gauta eilutė vadinama paskirstymo daugiakampis (1 pav.).

Organinė chemija" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organinė chemija yra atitinkamai 0,7 ir 0,8. Sudarykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – egzaminų, kuriuos mokinys išlaikys, skaičių.

Sprendimas. Atsitiktinis dydis X, kaip egzamino rezultatas, gali turėti vieną iš šių reikšmių: x1=0, x2=1, x3=2.

Raskime šių reikšmių tikimybę Pažymime įvykius:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Taigi, atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį pateikia lentelė:

Kontrolė: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Paskirstymo funkcija

Išsamų atsitiktinio dydžio aprašymą taip pat pateikia pasiskirstymo funkcija.

Apibrėžimas: Diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija vadinama funkcija F(x), kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis mažesnę nei x reikšmę:

F(x)=P(X<х)

Geometriškai pasiskirstymo funkcija interpretuojama kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, kuri skaičių tiesėje pavaizduota tašku, esančiu kairėje nuo taško x.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) yra nemažėjanti funkcija (-∞;+∞);

3) F(x) - ištisinis kairėje taškuose x= xi (i=1,2,...n) ir tolydis visuose kituose taškuose;

4) F(-∞) = P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Jei diskrečiojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis pateikiamas lentelės pavidalu:

tada paskirstymo funkcija F(x) nustatoma pagal formulę:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0, jei x≤ x1,

р1 prie x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 ties x2< х≤ х3

1 x>xn.

Jo grafikas parodytas 2 pav.

§ 3. Diskretaus atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.

Viena iš svarbių skaitinių charakteristikų yra matematinis lūkestis.

Apibrėžimas: Matematinis lūkestis M(X) Diskretusis atsitiktinis dydis X yra visų jo reikšmių ir atitinkamų tikimybių sandaugų suma:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio vidutinės vertės charakteristika.

Matematinės lūkesčių savybės:

1)M(C)=C, kur C yra pastovi reikšmė;

2) M(C X) = C M(X),

3) M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), kur X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai;

5)M(X±C)=M(X)±C, kur C yra pastovi reikšmė;

Diskretaus atsitiktinio dydžio galimų verčių sklaidos laipsniui apibūdinti apie jo vidutinę vertę naudojama dispersija.

Apibrėžimas: Dispersija D ( X ) Atsitiktinis kintamasis X yra matematinis atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio tikėjimo kvadratas:

Dispersijos savybės:

1)D(C)=0, kur C yra pastovi reikšmė;

2)D(X)>0, kur X yra atsitiktinis dydis;

3)D(C X)=C2 D(X), kur C yra pastovi reikšmė;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), kur X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai;

Apskaičiuojant dispersiją dažnai patogu naudoti formulę:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

kur M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Dispersija D(X) turi kvadratinio atsitiktinio dydžio dydį, o tai ne visada patogu. Todėl reikšmė √D(X) taip pat naudojama kaip galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos indikatorius.

Apibrėžimas: Standartinis nuokrypis σ(X) Atsitiktinis kintamasis X vadinamas dispersijos kvadratine šaknimi:

2 užduotis. Diskrečiasis atsitiktinis dydis X nurodomas skirstymo dėsniu:

Raskite P2, pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite jos grafiką, taip pat M(X), D(X), σ(X).

Sprendimas: Kadangi atsitiktinio dydžio X galimų reikšmių tikimybių suma yra lygi 1, tada

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Raskime skirstinio funkciją F(x)=P(X

Geometriškai ši lygybė gali būti aiškinama taip: F(x) yra tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, kurią skaičių ašyje vaizduoja taškas, esantis kairėje nuo taško x.

Jei x≤-1, tai F(x)=0, nes (-∞;x) nėra nė vienos šio atsitiktinio dydžio reikšmės;

Jei -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Jei 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) yra dvi reikšmės x1=-1 ir x2=0;

Jei 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Jei 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Jei x>3, tai F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, nes keturios reikšmės x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 patenka į intervalą (-∞;x) ir x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 ties x≤-1,

0,1 iki -1<х≤0,

0,2 prie 0<х≤1,

F(x) = 0,5 ties 1<х≤2,

0,7 prie 2<х≤3,

1, x>3

Pavaizduokime funkciją F(x) grafiškai (3 pav.):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Binominio skirstinio dėsnis

Diskretusis atsitiktinis dydis, Puasono dėsnis.

Apibrėžimas: Binominis vadinamas diskretiškojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsniu – įvykio A atvejų skaičius n nepriklausomų pakartotinių bandymų, kurių kiekviename įvykis A gali įvykti su tikimybe p arba neįvykti su tikimybe q = 1-p. Tada P(X=m) – tikimybė, kad įvykis A įvyks tiksliai m kartų per n bandymų, apskaičiuojama naudojant Bernulio formulę:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Atsitiktinio dydžio X, paskirstyto pagal dvejetainį dėsnį, matematinė tikėtis, sklaida ir standartinis nuokrypis randami atitinkamai naudojant formules:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Įvykio A tikimybė – „penketo išleidimas“ kiekviename bandyme yra tokia pati ir lygi 1/6 , t.y. P(A)=p=1/6, tada P(A)=1-p=q=5/6, kur

- „nesugebėjimas gauti A“.

Atsitiktinis dydis X gali turėti šias reikšmes: 0;1;2;3.

Kiekvienos galimos X reikšmės tikimybę randame naudodami Bernulio formulę:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Tai. atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis yra toks:

Kontrolė: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Raskime atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas:

M(X) = np = 3 (1/6) = 1/2,

D(X) = npq = 3 (1/6) (5/6) = 5/12,

4 užduotis. Automatinė mašina štampuoja dalis. Tikimybė, kad pagaminta dalis bus sugedusi, yra 0,002. Raskite tikimybę, kad tarp 1000 pasirinktų dalių bus:

a) 5 su defektais;

b) bent vienas yra sugedęs.

Sprendimas: Skaičius n=1000 yra didelis, tikimybė pagaminti sugedusią detalę p=0,002 maža, o nagrinėjami įvykiai (pasirodo, kad dalis sugedusi) yra nepriklausomi, todėl galioja Puasono formulė:

Рn(m)= e- λ λm

Raskime λ=np=1000 0,002=2.

a) Raskite tikimybę, kad bus 5 sugedusios dalys (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Raskite tikimybę, kad bus bent viena sugedusi dalis.

Įvykis A – „bent viena iš pasirinktų dalių yra sugedusi“ yra priešinga įvykiui – „visos pasirinktos dalys nėra sugedusios, todėl P(A) = 1-P(). Taigi norima tikimybė yra lygi: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Savarankiško darbo užduotys.

1.1

1.2. Išsklaidytas atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo dėsniu:

Raskite p4, pasiskirstymo funkciją F(X) ir nubraižykite jos grafiką, taip pat M(X), D(X), σ(X).

1.3. Dėžutėje yra 9 žymekliai, iš kurių 2 neberašo. Atsitiktinai paimkite 3 žymeklius. Atsitiktinis kintamasis X yra rašymo žymeklių skaičius tarp paimtų. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

1.4. Bibliotekos lentynoje atsitiktinai sustatyti 6 vadovėliai, iš kurių 4 įrišti. Bibliotekininkė atsitiktinai paima 4 vadovėlius. Atsitiktinis kintamasis X yra įrištų vadovėlių skaičius tarp paimtų. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

1.5. Ant bilieto yra dvi užduotys. Tikimybė teisingai išspręsti pirmąjį uždavinį yra 0,9, antrąjį - 0,7. Atsitiktinis kintamasis X yra teisingai išspręstų problemų skaičius biliete. Sudarykite pasiskirstymo dėsnį, apskaičiuokite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją, taip pat suraskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir sukurkite jos grafiką.

1.6. Trys šauliai šaudo į taikinį. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,5 pirmajam šauliui, 0,8 – antrajam, 0,7 – trečiajam. Atsitiktinis kintamasis X yra smūgių į taikinį skaičius, jei šauliai iššauna vieną šūvį vienu metu. Raskite pasiskirstymo dėsnį, M(X),D(X).

1.7. Krepšininkas meta kamuolį į krepšį, kurio kiekvieno metimo tikimybė yra 0,8. Už kiekvieną pataikymą jis gauna 10 taškų, o jei nepataiko, taškai jam neskiriami. Sudarykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – krepšininko surinktų taškų skaičių per 3 metimus. Raskite M(X),D(X), taip pat tikimybę, kad jis gaus daugiau nei 10 taškų.

1.8. Ant kortelių rašomos raidės, iš viso 5 balsės ir 3 priebalsiai. Atsitiktinai parenkamos 3 kortelės ir kiekvieną kartą paimta kortelė grąžinama atgal. Atsitiktinis kintamasis X yra balsių skaičius tarp paimtų balsių. Sudarykite pasiskirstymo dėsnį ir raskite M(X),D(X),σ(X).

1.9. Vidutiniškai mažiau nei 60% sutarčių draudimo bendrovė sumoka draudimo sumas, susijusias su įvykusiu draudiminiu įvykiu. Sudarykite atsitiktinio dydžio X paskirstymo dėsnį – sutarčių, už kurias buvo sumokėta draudimo suma, skaičius tarp keturių atsitiktinai atrinktų sutarčių. Raskite šio dydžio skaitines charakteristikas.

1.10. Radijo stotis tam tikrais intervalais siunčia šaukinius (ne daugiau kaip keturis), kol užmezgamas dvipusis ryšys. Tikimybė gauti atsakymą į šaukinį yra 0,3. Atsitiktinis kintamasis X yra išsiųstų šaukinių skaičius. Sudarykite paskirstymo dėsnį ir raskite F(x).

1.11. Yra 3 rakteliai, iš kurių tik vienas tinka spynai. Sudarykite atsitiktinio dydžio X bandymų atidaryti spyną skaičiaus pasiskirstymo dėsnį, jei bandytas raktas nedalyvauja tolesniuose bandymuose. Raskite M(X), D(X).

1.12. Siekiant užtikrinti patikimumą, atliekami nuoseklūs nepriklausomi trijų įrenginių bandymai. Kiekvienas paskesnis įrenginys išbandomas tik tuo atveju, jei ankstesnis pasirodė patikimas. Kiekvieno įrenginio testo išlaikymo tikimybė yra 0,9. Sudarykite atsitiktinio dydžio X išbandytų įrenginių pasiskirstymo dėsnį.

1.13 .Diskretusis atsitiktinis kintamasis X turi tris galimas reikšmes: x1=1, x2, x3 ir x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektroninio įrenginio bloke yra 100 identiškų elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė per laiką T yra 0,002. Elementai veikia savarankiškai. Raskite tikimybę, kad ne daugiau kaip du elementai suges per laiką T.

1.15. Vadovėlis išleistas 50 000 egzempliorių tiražu. Tikimybė, kad vadovėlis įrištas neteisingai, yra 0,0002. Raskite tikimybę, kad cirkuliacijoje yra:

a) keturios brokuotos knygos,

b) mažiau nei dvi brokuotos knygos.

1 .16. Kas minutę į PBX atvykstančių skambučių skaičius paskirstomas pagal Puasono dėsnį parametru λ=1,5. Raskite tikimybę, kad po minutės ateis:

a) du skambučiai;

b) bent vienas skambutis.

1.17.

Raskite M(Z),D(Z), jei Z=3X+Y.

1.18. Pateikiami dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai:

Raskite M(Z),D(Z), jei Z=X+2Y.

Atsakymai:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; 0, kai x≤-2,

0,3 iki -2<х≤0,

F(x) = 0,5 esant 0<х≤2,

0,9 prie 2<х≤5,

1 x>5

1.2. p4=0,1; 0 ties x≤-1,

0,3 prie -1<х≤0,

0,4 prie 0<х≤1,

F(x) = 0,6 ties 1<х≤2,

0,7 prie 2<х≤3,

1, x>3

M(X) = 1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 x ≤0,

0,03 prie 0<х≤1,

F(x) = 0,37 ties 1<х≤2,

1 x>2

M(X) = 2; D(X)=0,62

M(X) = 2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X) = 15/8; D(X) = 45/64; σ(Х) ≈

M(X) = 2,4; D(X) = 0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X) = 2; D(X) = 2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0,0189; b) 0,00049

1.16. a)0,0702; b)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

2 skyrius. Nuolatinis atsitiktinis dydis

Apibrėžimas: Nuolatinis yra dydis, kurio visos galimos reikšmės visiškai užpildo baigtinį arba begalinį skaičių eilutės intervalą.

Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis.

Ištisinis atsitiktinis dydis gali būti nurodytas naudojant paskirstymo funkciją.

Apibrėžimas: F paskirstymo funkcija ištisinis atsitiktinis kintamasis X vadinamas funkcija F(x), kuri kiekvienai reikšmei nustato xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R

Pasiskirstymo funkcija kartais vadinama kaupiamojo pasiskirstymo funkcija.

Paskirstymo funkcijos savybės:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra ištisinė bet kuriame taške ir diferencijuota visur, išskyrus, galbūt, atskirus taškus.

3) Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X pateks į vieną iš intervalų (a;b), [a;b], [a;b], yra lygi funkcijos F(x) reikšmių skirtumui. taškuose a ir b, t.y. R(a)<Х

4) Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X įgis vieną atskirą reikšmę, yra 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Ištisinio atsitiktinio dydžio nurodymas naudojant paskirstymo funkciją nėra vienintelis būdas. Įveskime tikimybių pasiskirstymo tankio (paskirstymo tankio) sąvoką.

Apibrėžimas : Tikimybių pasiskirstymo tankis f ( x ) ištisinio atsitiktinio dydžio X yra jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė, ty:

Tikimybių tankio funkcija kartais vadinama diferencinio pasiskirstymo funkcija arba diferencinio pasiskirstymo dėsniu.

Tikimybių tankio skirstinio f(x) grafikas vadinamas tikimybių pasiskirstymo kreivė .

Tikimybių tankio skirstinio savybės:

1) f(x) ≥0, adresu xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" aukštis ="62 src="> 0 x ≤2,

f(x)= c(x-2) ties 2<х≤6,

0 x>6.

Raskite: a) c reikšmę; b) pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją; c) P(3≤x<5)

Sprendimas:

+ ∞

a) C reikšmę randame iš normalizavimo sąlygos: ∫ f(x)dx=1.

Todėl -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

jei 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 x ≤2,

F(x)= (x-2) 2/16 ties 2<х≤6,

1 x>6.

Funkcijos F(x) grafikas parodytas 3 pav

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 x ≤0,

F(x)= (3 arctan x)/π esant 0<х≤√3,

1 x>√3.

Raskite diferencinio pasiskirstymo funkciją f(x)

Sprendimas: Kadangi f(x)= F’(x), tada

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Visos matematinio lūkesčio ir sklaidos savybės, aptartos anksčiau pasklidiesiems atsitiktiniams dydžiams, galioja ir tolydžiosioms.

Užduotis Nr.3. Atsitiktinis dydis X nurodomas diferencine funkcija f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6 = 31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 –

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Savarankiško sprendimo problemos.

2.1. Nuolatinis atsitiktinis kintamasis X nurodomas paskirstymo funkcija:

0, kai x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, jei x≤ π/6,

F(x)= – cos 3x ties π/6<х≤ π/3,

1, kai x> π/3.

Raskite diferencinio pasiskirstymo funkciją f(x), taip pat

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0, kai x≤2,

f(x)= c x ties 2<х≤4,

0 x>4.

2.4. Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo tankiu:

0, kai x≤0,

f(x)= c √x esant 0<х≤1,

0 x>1.

Raskite: a) skaičių c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> ties x,

0 ties x.

Raskite: a) F(x) ir sudarykite jos grafą; b) M(X), D(X), σ(X); c) tikimybę, kad keturiuose nepriklausomuose bandymuose X reikšmė lygiai 2 kartus viršys reikšmę, priklausančią intervalui (1;4).

2.6. Pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis:

f(x)= 2(x-2) ties x,

0 ties x.

Raskite: a) F(x) ir sudarykite jos grafą; b) M(X), D(X), σ (X); c) tikimybę, kad per tris nepriklausomus bandymus X reikšmė lygiai 2 kartus viršys segmentui priklausančią reikšmę.

2.7. F(x) funkcija pateikiama taip:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Funkcija f(x) pateikiama taip:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Raskite: a) konstantos c reikšmę, kuriai esant funkcija bus kokio nors atsitiktinio dydžio X tikimybės tankis; b) pasiskirstymo funkcija F(x).

2.9. Atsitiktinis dydis X, sutelktas į intervalą (3;7), nurodomas pasiskirstymo funkcija F(x)= . Raskite tikimybę, kad

Atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę: a) mažesnę nei 5, b) ne mažesnę nei 7.

2.10. Atsitiktinis kintamasis X, sutelktas į intervalą (-1;4),

pateikiama pasiskirstymo funkcija F(x)= . Raskite tikimybę, kad

Atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę: a) mažesnę nei 2, b) ne mažesnę nei 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Raskite: a) skaičių c; b) M(X); c) tikimybė P(X> M(X)).

2.12. Atsitiktinis dydis nurodomas diferencinio pasiskirstymo funkcija:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Raskite: a) M(X); b) tikimybė P(X≤M(X))

2.13. Rem skirstinys pateikiamas tikimybių tankiu:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0.

Įrodykite, kad f(x) iš tikrųjų yra tikimybės tankio funkcija.

2.14. Pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(4 pav.) (5 pav.)

2.16. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal „stačiojo trikampio“ dėsnį intervale (0;4) (5 pav.). Raskite tikimybės tankio f(x) analitinę išraišką visoje skaičių eilutėje.

Atsakymai

0, kai x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, jei x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x ties π/6<х≤ π/3,

0, kai x> π/3. Ištisinis atsitiktinis kintamasis X turi vienodą pasiskirstymo dėsnį tam tikrame intervale (a;b), kuriam priklauso visos galimos X reikšmės, jei tikimybių pasiskirstymo tankis f(x) šiame intervale yra pastovus ir lygus 0 išorėje. tai, t.y.

0 x≤a,

f(x)= a<х

0 x≥b.

Funkcijos f(x) grafikas parodytas pav. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Užduotis Nr.1. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai paskirstytas segmente. Rasti:

a) tikimybių pasiskirstymo tankį f(x) ir nubraižykite jį;

b) pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją;

c) M(X), D(X), σ(X).

Sprendimas: Naudodami aukščiau aptartas formules, kai a=3, b=7, randame:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7,

0 x>7

Sukurkime jo grafiką (3 pav.):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 x ≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4 pav.

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 at x<0,

f(x)= λе-λх, kai x≥0.

Atsitiktinio dydžio X, paskirstyto pagal eksponentinį dėsnį, pasiskirstymo funkcija pateikiama formule:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Taigi matematinis lūkestis ir eksponentinės skirstinio standartinis nuokrypis yra lygūs vienas kitam.

Tikimybė, kad X pateks į intervalą (a;b), apskaičiuojama pagal formulę:

P(a<Х

2 užduotis. Vidutinis įrenginio veikimo laikas be gedimų yra 100 valandų. Darant prielaidą, kad įrenginio veikimo laikas be gedimų turi eksponentinį pasiskirstymo dėsnį, raskite:

a) tikimybių pasiskirstymo tankis;

b) paskirstymo funkcija;

c) tikimybę, kad įrenginio veikimo be gedimų laikas viršys 120 valandų.

Sprendimas: Pagal sąlygą matematinis skirstinys M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x, kai x≥0.

b) F(x)= 0 ties x<0,

1-e -0,01x, kai x≥0.

c) Naudodami paskirstymo funkciją randame norimą tikimybę:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1,2)=e-1,2≈0,3.

§ 3.Normalaus paskirstymo dėsnis

Apibrėžimas: Ištisinis atsitiktinis dydis X turi normalaus paskirstymo dėsnis (Gauso dėsnis), jei jo pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

kur m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Normaliojo pasiskirstymo kreivė vadinama normalioji arba Gauso kreivė (7 pav.)

Normalioji kreivė yra simetriška tiesės x=m atžvilgiu, jos maksimumas yra ties x=a, lygi .

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija, paskirstyta pagal normalųjį dėsnį, išreiškiama Laplaso funkcija Ф (x) pagal formulę:

kur yra Laplaso funkcija.

komentaras: Funkcija Ф(x) yra nelyginė (Ф(-х)=-Ф(х)), be to, esant x>5 galime manyti, kad Ф(х) ≈1/2.

Pasiskirstymo funkcijos F(x) grafikas parodytas pav. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Tikimybė, kad absoliuti nuokrypio vertė yra mažesnė už teigiamą skaičių δ, apskaičiuojama pagal formulę:

Konkrečiai, m = 0 galioja ši lygybė:

„Trijų sigmų taisyklė“

Jei atsitiktinis dydis X turi normalaus skirstinio dėsnį su parametrais m ir σ, tai beveik neabejotina, kad jo reikšmė yra intervale (a-3σ; a+3σ), nes

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Naudokime formulę:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Naudodamiesi funkcijos Ф(х) reikšmių lentele, randame Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Taigi, norima tikimybė:

P(28

Savarankiško darbo užduotys

3.1. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai pasiskirstęs intervale (-3;5). Rasti:

b) pasiskirstymo funkcija F(x);

c) skaitinės charakteristikos;

d) tikimybė P(4<х<6).

3.2. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai paskirstytas segmente. Rasti:

a) pasiskirstymo tankis f(x);

b) pasiskirstymo funkcija F(x);

c) skaitinės charakteristikos;

d) tikimybė P(3≤х≤6).

3.3. Greitkelyje yra automatinis šviesoforas, kuriame žalias dega 2 minutes, geltonas 3 sekundes, raudonas 30 sekundžių ir tt Atsitiktiniu momentu greitkeliu važiuoja automobilis. Raskite tikimybę, kad automobilis nesustodamas pravažiuos pro šviesoforą.

3.4. Metro traukiniai reguliariai kursuoja 2 minučių intervalu. Keleivis į peroną patenka atsitiktiniu laiku. Kokia tikimybė, kad keleiviui traukinio teks laukti ilgiau nei 50 sekundžių? Raskite atsitiktinio dydžio X matematinį lūkestį – traukinio laukimo laiką.

3.5. Raskite pasiskirstymo funkcijos pateikto eksponentinio skirstinio dispersiją ir standartinį nuokrypį:

F(x) = 0 ties x<0,

1-8x, jei x≥0.

3.6. Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu:

f(x)= 0 ties x<0,

0,7 e–0,7 x, kai x≥0.

a) Įvardykite nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

b) Raskite pasiskirstymo funkciją F(X) ir atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas.

3.7. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal eksponentinį dėsnį, nurodytą tikimybių pasiskirstymo tankiu:

f(x)= 0 ties x<0,

0,4 e–0,4 x, kai x≥0.

Raskite tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš intervalo (2,5;5).

3.8. Ištisinis atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal pasiskirstymo funkcijos nurodytą eksponentinį dėsnį:

F(x) = 0 ties x<0,

1-0,6x, kai x≥0

Raskite tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš segmento.

3.9. Normalaus pasiskirstymo atsitiktinio dydžio numatoma vertė ir standartinis nuokrypis yra atitinkamai 8 ir 2 Raskite:

a) pasiskirstymo tankis f(x);

b) tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš intervalo (10;14).

3.10. Atsitiktinis dydis X paprastai pasiskirsto su 3,5 matematiniu lūkesčiu ir 0,04 dispersija. Rasti:

a) pasiskirstymo tankis f(x);

b) tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš atkarpos .

3.11. Atsitiktinis dydis X paprastai pasiskirsto M(X)=0 ir D(X)=1. Kuris iš įvykių: |X|≤0,6 ar |X|≥0,6 yra labiau tikėtinas?

3.12. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto normaliai, kai M(X)=0 ir D(X)=1. Iš kurio intervalo (-0,5;-0,1) arba (1;2) yra didesnė tikimybė paimti reikšmę per vieną testą?

3.13. Dabartinę vienos akcijos kainą galima modeliuoti naudojant normalų paskirstymo dėsnį, kai M(X)=10 den. vienetų ir σ (X)=0,3 den. vienetų Rasti:

a) tikimybė, kad dabartinė akcijos kaina bus nuo 9,8 den. vienetų iki 10,4 dienos vienetai;

b) naudodami „trijų sigmų taisyklę“ raskite ribas, kuriose bus dabartinė akcijų kaina.

3.14. Medžiaga sveriama be sisteminių klaidų. Atsitiktinėms svėrimo paklaidoms taikomas normalus dėsnis, kurio vidutinis kvadratinis santykis σ=5g. Raskite tikimybę, kad keturių nepriklausomų eksperimentų metu trijų svėrimų paklaida neatsiras absoliučia verte 3r.

3.15. Atsitiktinis dydis X paprastai skirstomas M(X)=12,6. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą (11,4;13,8), yra 0,6826. Raskite standartinį nuokrypį σ.

3.16. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto normaliai, kai M(X)=12 ir D(X)=36 Raskite intervalą, į kurį atsitiktinis dydis X pateks atlikus testą su tikimybe 0,9973.

3.17. Automatine mašina pagaminta detalė laikoma sugedusia, jeigu jos valdomo parametro nuokrypis X nuo vardinės vertės viršija modulo 2 matavimo vienetus. Daroma prielaida, kad atsitiktinis dydis X yra normaliai pasiskirstęs, kai M(X)=0 ir σ(X)=0,7. Kiek procentų sugedusių dalių gamina mašina?

3.18. Dalies X parametras paskirstomas normaliai, matematinė tikėtis 2 lygi vardinei vertei ir standartinis nuokrypis 0,014. Raskite tikimybę, kad X nuokrypis nuo nominalios vertės neviršys 1% vardinės vertės.

Atsakymai

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0, jei x≤-3,

F(x)= kairėje>

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Pateikta diskrečiojo atsitiktinio dydžio skirstinio serija. Raskite trūkstamą tikimybę ir nubraižykite pasiskirstymo funkciją. Apskaičiuokite šio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją.

Atsitiktinis dydis X turi tik keturias reikšmes: -4, -3, 1 ir 2. Kiekviena iš šių reikšmių įgauna tam tikrą tikimybę. Kadangi visų tikimybių suma turi būti lygi 1, trūkstama tikimybė yra lygi:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sudarykime atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkciją. Yra žinoma, kad pasiskirstymo funkcija , tada:

Vadinasi,

Nubraižykime funkciją F(x) .

Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra lygus atsitiktinio dydžio reikšmės ir atitinkamos tikimybės sandaugų sumai, t.y.

Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersiją randame naudodami formulę:

TAIKYMAS

Kombinatorikos elementai

Čia: - skaičiaus faktorialas

Veiksmai dėl įvykių

Įvykis yra bet koks faktas, kuris gali įvykti arba neįvykti dėl patirties.

Renginių sujungimas A Ir IN– tai įvykis SU kuri susideda iš pasirodymo ar įvykio A, arba įvykius IN, arba abu įvykius vienu metu.

Pavadinimas:
;

Perėjimo įvykiai A Ir IN– tai įvykis SU, kurį sudaro tuo pačiu metu vykstantys abu įvykiai.

Pavadinimas:
;

Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Įvykio tikimybė A yra eksperimentų skaičiaus santykis
, palankus įvykiui įvykti A, į bendrą eksperimentų skaičių
:

Tikimybių daugybos formulė

Įvykio tikimybė
galima rasti naudojant formulę:

- įvykio tikimybė A,

- įvykio tikimybė IN,

- įvykio tikimybė IN su sąlyga, kad įvykis A jau įvyko.

Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi (vieno įvykimas neturi įtakos kito įvykimui), tada įvykio tikimybė yra lygi:

Tikimybių pridėjimo formulė

Įvykio tikimybė
galima rasti naudojant formulę:

Įvykio tikimybė A,

Įvykio tikimybė IN,

- įvykių kooperacijos tikimybė A Ir IN.

Jei įvykiai A ir B yra nesuderinami (negali įvykti vienu metu), tada įvykio tikimybė yra lygi:

Bendrosios tikimybės formulė

Tegul įvykis A gali įvykti kartu su vienu iš įvykių
,
, …,
– pavadinkime jas hipotezėmis. Taip pat žinomas
- įvykdymo tikimybė i-oji hipotezė ir
- įvykio A atsiradimo tikimybė vykdant i- hipotezė. Tada įvykio tikimybė A galima rasti pagal formulę:

Bernulli schema

Tegul yra n nepriklausomų testų. Įvykio atsiradimo (sėkmės) tikimybė A kiekviename iš jų yra pastovus ir lygus p, gedimo tikimybė (t. y. įvykis neįvyks A) q = 1 - p. Tada atsitikimo tikimybė k sėkmė n testus galima rasti naudojant Bernulio formulę:

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius Bernoulli schemoje tai yra tam tikro įvykio, kurio tikimybė yra didžiausia, skaičius.

Galima rasti naudojant formulę:

Atsitiktiniai kintamieji

diskretiškas tęstinis

(pvz., mergaičių skaičius šeimoje, kurioje auga 5 vaikai) (pavyzdžiui, laikas, kai virdulys veikia tinkamai)

Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

Tegul diskretusis dydis pateikiamas paskirstymo serija:
X

R , , …, - atsitiktinio dydžio reikšmės;

, , … yra atitinkamos tikimybių reikšmės.

Paskirstymo funkcija , , …, - atsitiktinio dydžio reikšmės Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija , , …, - atsitiktinio dydžio reikšmės yra funkcija, apibrėžta visoje skaičių eilutėje ir lygi tikimybei, kad bus mažiau:

X

Klausimai egzaminui

Renginys. Atsitiktinių įvykių operacijos.

Įvykio tikimybės samprata.

Tikimybių pridėjimo ir dauginimo taisyklės.

Sąlyginės tikimybės.

Bendrosios tikimybės formulė. Bayeso formulė.

Bernulli schema.

Atsitiktinis dydis, jo pasiskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilutė.

Pagrindinės skirstymo funkcijos savybės.

Matematinis lūkestis. Matematinės lūkesčių savybės.

Sklaida. Sklaidos savybės.

Vienmačio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankis.

Skirstinių tipai: vienodas, eksponentinis, normalusis, dvinarinis ir Puasono skirstinys.

Lokalinės ir integralinės Moivre-Laplace teoremos.

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos dėsnis ir pasiskirstymo funkcija.

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo tankis.

Pavyzdys. Mėginių apdorojimas. Daugiakampis ir dažnio histograma. Empirinė pasiskirstymo funkcija.

Pasiskirstymo parametrų vertinimo samprata.

Reikalavimai vertinimui. Pasitikėjimo intervalas. Matematinės lūkesčių ir standartinio nuokrypio įvertinimo intervalų sudarymas.

Statistinės hipotezės. Sutikimo kriterijai.

1 apibrėžimas

Atsitiktinis kintamasis $X$ vadinamas diskrečiu (nepertraukiamu), jei jo reikšmių aibė yra begalinė arba baigtinė, bet skaičiuojama.

Kitaip tariant, dydis vadinamas diskrečiu, jei jo reikšmes galima sunumeruoti.

Atsitiktinį dydį galima apibūdinti naudojant pasiskirstymo dėsnį.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, kurios pirmoje eilutėje nurodomos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės didėjančia tvarka, o antroje eilutėje yra atitinkamos jų tikimybės. vertės:

1 pav.

kur $р1+ р2+ ... + рn = 1$. Ši lentelė yra.

netoli diskretinio atsitiktinio dydžio skirstinio

Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių aibė yra begalinė, tai eilutė $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ susilieja ir jos suma bus lygi $1$. paskirstymo daugiakampis.

Grafiškai gali būti pavaizduotas diskretinio atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnis, kuriam koordinačių sistemoje (stačiakampyje) sukonstruota laužta linija, kuri nuosekliai sujungia taškus su koordinatėmis $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Linija, kurią gavome, vadinama

2 pav.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį taip pat galima pavaizduoti analitiškai (naudojant formulę):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Operacijos su diskrečiomis tikimybėmis

Sprendžiant daugelį tikimybių teorijos uždavinių, reikia atlikti operacijas, kai diskrečiųjį atsitiktinį dydį dauginant iš konstantos, sudedant du atsitiktinius dydžius, padauginant, pakeičiant laipsniu. Tokiais atvejais būtina laikytis šių atsitiktinių atskirų kiekių taisyklių:

3 apibrėžimas Daugyba

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ konstanta $K$ yra diskrečiųjų atsitiktinių dydžių $Y=KX,$, kuris nustatomas pagal lygybes: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

4 apibrėžimas Iškviečiami du atsitiktiniai dydžiai $x$ ir $y$ nepriklausomas

, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes įgijo antrasis dydis.

5 apibrėžimas du nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami atsitiktiniu dydžiu $Z=X+Y,$ nustatomas lygybėmis: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

6 apibrėžimas

3 apibrėžimas du nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami atsitiktiniu dydžiu $Z=XY,$ nustatoma pagal lygybes: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Atsižvelkime į tai, kad kai kurie produktai $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ gali būti lygūs vienas kitam. Šiuo atveju sandaugos pridėjimo tikimybė yra lygi atitinkamų tikimybių sumai.

Pavyzdžiui, jei $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $, tikimybė $x_2y_3$ (arba to paties $x_5y_7$) bus lygi $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Tai, kas išdėstyta pirmiau, taip pat taikoma sumai. Jei $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, tada $x_1+\ y_2$ (arba to paties $x_4+\ y_6$) tikimybė bus lygi $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Atsitiktinius dydžius $X$ ir $Y$ nurodo skirstymo dėsniai:

3 pav.

Kur $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Tada sumos $X+Y$ pasiskirstymo dėsnis turės formą

4 pav.

Ir produkto $XY$ pasiskirstymo dėsnis turės formą

5 pav.

Paskirstymo funkcija

Išsamų atsitiktinio dydžio aprašymą taip pat pateikia pasiskirstymo funkcija.

Geometriškai pasiskirstymo funkcija paaiškinama kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgaus reikšmę, kurią skaičių eilutėje vaizduoja taškas, esantis kairėje nuo taško $x$.

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Atsitiktiniai kintamieji“.

Užduotis 1 . Į loteriją išleista 100 bilietų. Ištrauktas vienas 50 USD laimėjimas. ir dešimt laimėjimų po 10 USD. Raskite reikšmės X pasiskirstymo dėsnį – galimų laimėjimų kainą.

Sprendimas. Galimos X reikšmės: x 1 = 0; x 2 = 10 ir x 3 = 50. Kadangi „tušti“ bilietai yra 89, tai p 1 = 0,89, tikimybė laimėti 10 USD. (10 bilietų) – p 2 = 0,10 ir laimėti 50 USD -p 3 = 0,01. Taigi:


	0,89	0,10	0,01

Lengva valdyti: .

Užduotis 2. Tikimybė, kad pirkėjas iš anksto perskaitė prekės reklamą, yra 0,6 (p = 0,6). Atrankinė reklamos kokybės kontrolė atliekama apklausiant pirkėjus prieš pirmąjį iš anksto išstudijuotąjį reklamą. Sudarykite apklaustų pirkėjų skaičiaus paskirstymo eilutę.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas p = 0,6. Nuo: q=1 -p = 0,4. Pakeitę šias reikšmes, gauname: ir sudaryti paskirstymo seriją:


p i		0,24

Užduotis 3. Kompiuteris susideda iš trijų savarankiškai veikiančių elementų: sisteminio bloko, monitoriaus ir klaviatūros. Padidėjus įtampai vieną kartą, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Remdamiesi Bernulio paskirstymu, parenkite sugedusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį per tinklo galios viršįtampią.

Sprendimas. Pasvarstykime Bernulli paskirstymas(arba binominis): tikimybė, kad n testus, įvykis A pasirodys tiksliai k vieną kartą: , arba:


	q n					p n

IN Grįžkime prie užduoties.

Galimos X reikšmės (gedimų skaičius):

x 0 =0 – nė vienas elementas nepavyko;

x 1 =1 – vieno elemento gedimas;

x 2 =2 – dviejų elementų gedimas;

x 3 =3 – visų elementų gedimas.

Kadangi pagal sąlygą p = 0,1, tai q = 1 – p = 0,9. Naudodami Bernulio formulę gauname

, ,

, .

Valdymas:.

Todėl reikalingas platinimo įstatymas:


	0,729	0,243	0,027	0,001

4 problema. Pagaminta 5000 šovinių. Tikimybė, kad viena kasetė yra sugedusi . Kokia tikimybė, kad visoje partijoje bus lygiai 3 sugedusios kasetės?

Sprendimas. Taikoma Puasono pasiskirstymas: Šis skirstinys naudojamas norint nustatyti tikimybę, kad labai didelė

bandymų (masių testų), kurių kiekviename įvykio A tikimybė yra labai maža, įvykis A įvyks k kartų: , Kur.

Čia n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Randame , tada norimą tikimybę: .

5 problema. Šaudant iki pirmojo smūgio su pataikymo tikimybe p = 0,6 šaudant, reikia rasti tikimybę, kad pataikymas įvyks trečiuoju šūviu.

Sprendimas. Taikykime geometrinį skirstinį: atliksime nepriklausomus bandymus, kurių kiekviename įvykyje A yra tikimybė, kad įvyks p (o neįvyks q = 1 – p). Testas baigiasi, kai tik įvyksta įvykis A.

Tokiomis sąlygomis tikimybė, kad įvykis A įvyks k-tajame bandyme, nustatoma pagal formulę: . Čia p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Todėl .

6 problema. Pateikiame atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį:

Raskite matematinį lūkestį.

Sprendimas. .

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė.

7 problema. Raskite atsitiktinio dydžio X dispersiją pagal šį skirstymo dėsnį:

Sprendimas. Čia .

X vertės kvadrato paskirstymo dėsnis 2 :

X 2

Būtinas nuokrypis: .

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio nuokrypio (dispersijos) matą nuo jo matematinio lūkesčio.

8 problema. Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas skirstiniu:

			10m

Raskite jo skaitines charakteristikas.

Sprendimas: m, m 2 ,

M 2 , m.

Apie atsitiktinį dydį X galime pasakyti: jo matematinė lūkestis yra 6,4 m, o dispersija 13,04 m 2 , arba – jo matematinė prognozė yra 6,4 m su m nuokrypiu. Antroji formuluotė akivaizdžiai aiškesnė.

Užduotis 9. Atsitiktinis kintamasis X pateikta paskirstymo funkcija:
.