Imties pasikliautinasis intervalas. Pasitikėjimo intervalo nustatymas

Pasitikėjimo intervalas

Pasitikėjimo intervalas- terminas, naudojamas matematinėje statistikoje statistinių parametrų intervaliniam (o ne taškiniam) įvertinimui, kuris yra pageidautinas, kai imties dydis yra mažas. Pasitikėjimo intervalas yra tas, kuris apima nežinomą parametrą tam tikru patikimumu.

Pasitikėjimo intervalų metodą sukūrė amerikiečių statistikas Jerzy Neumannas, remdamasis anglų statistiko Ronaldo Fisherio idėjomis.

Apibrėžimas

Parametro pasitikėjimo intervalas θ atsitiktinių kintamųjų skirstinys X su 100 patikimumo lygiu p%, sugeneruotas pagal pavyzdį ( x 1 ,…,x n), vadinamas intervalu su ribomis ( x 1 ,…,x n) ir ( x 1 ,…,x n), kurios yra atsitiktinių dydžių realizacijos L(X 1 ,…,X n) ir U(X 1 ,…,X n), toks

Pasikliautinio intervalo ribiniais taškais vadinami pasitikėjimo ribos.

Intuicija pagrįstas pasitikėjimo intervalo aiškinimas būtų toks: jeigu p yra didelis (tarkim 0,95 arba 0,99), tada pasikliautinasis intervalas beveik neabejotinai turi tikrąją reikšmę θ .

Kitas pasikliautinojo intervalo sąvokos aiškinimas: jį galima laikyti parametrų reikšmių intervalu θ suderinami su eksperimentiniais duomenimis ir jiems neprieštarauja.

Pavyzdžiai

• Įprastos imties matematinių lūkesčių pasitikėjimo intervalas;
• Įprastos imties dispersijos patikimumo intervalas.

Bajeso pasitikėjimo intervalas

Bajeso statistikoje yra panašus, bet skirtingas kai kurių pagrindinių detalių pasikliautinojo intervalo apibrėžimas. Čia pats įvertintas parametras laikomas atsitiktiniu dydžiu su tam tikru išankstiniu pasiskirstymu (paprasčiausiu atveju vienodu), o imtis yra fiksuota (klasikinėje statistikoje viskas yra visiškai priešingai). Bajeso pasikliautinasis intervalas yra intervalas, apimantis parametro reikšmę su užpakaline tikimybe:

Apskritai klasikiniai ir Bajeso pasikliautinieji intervalai skiriasi. Anglų kalbos literatūroje Bajeso pasikliautinasis intervalas paprastai vadinamas terminu patikimas intervalas ir klasikinis - pasitikėjimo intervalas.

Pastabos

Wikimedia fondas. 2010 m.

• Vaikai (filmas)
• Kolonistas

Pažiūrėkite, kas yra „pasitikėjimo intervalas“ kituose žodynuose:

Pasitikėjimo intervalas- intervalas, apskaičiuotas iš imties duomenų, kuris su nurodyta tikimybe (pasitikėjimu) apima nežinomą tikrąją įvertinto skirstinio parametro reikšmę. Šaltinis: GOST 20522 96: Dirvožemis. Rezultatų statistinio apdorojimo metodai... Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas

pasitikėjimo intervalas- skaliariniam populiacijos parametrui tai yra segmentas, kuriame greičiausiai yra šis parametras. Ši frazė yra beprasmė be tolesnio paaiškinimo. Kadangi pasikliautinojo intervalo ribos yra įvertinamos iš imties, natūralu, kad... ... Sociologinės statistikos žodynas

PASITIKĖJIMO INTERVALAS- parametrų įvertinimo metodas, kuris skiriasi nuo taško įvertinimo. Tegul pavyzdys x1, . . ., xn iš skirstinio, kurio tikimybės tankis yra f(x, α), o a*=a*(x1, . . ., xn) įvertina α, g(a*, α) tikimybių tankio įvertį. Ieškote…… Geologijos enciklopedija

PASITIKĖJIMO INTERVALAS- (pasitikėjimo intervalas) Intervalas, kuriame atrankinės apklausos pagrindu gautos populiacijos parametro vertės patikimumas turi tam tikrą tikimybę, pavyzdžiui, 95%, kurią lemia pati imtis. Plotis…… Ekonomikos žodynas

pasitikėjimo intervalas- – yra intervalas, kuriame yra tikroji nustatyto dydžio vertė su tam tikra pasikliovimo tikimybe. Bendroji chemija: vadovėlis / A. V. Zholnin ... Cheminiai terminai

Pasitikėjimo intervalas CI- Pasitikėjimo intervalas, CI * duomenų intervalas, CI * pasikliautinosios reikšmės intervalas, apskaičiuotas k.l. pasiskirstymo parametras (pavyzdžiui, vidutinė charakteristikos vertė) visoje imtyje ir su tam tikra tikimybe (pavyzdžiui, 95% 95% ... Genetika. enciklopedinis žodynas

PASITIKĖJIMO INTERVALAS- sąvoka, atsirandanti vertinant statistinį parametrą. pasiskirstymas pagal reikšmių intervalą. D. ir. parametrui q, atitinkančiam šį koeficientą. pasitikėjimas P, yra lygus tokiam intervalui (q1, q2), kad bet kokiam nelygybės tikimybių skirstiniui... ... Fizinė enciklopedija

pasitikėjimo intervalas- - Telekomunikacijų temos, pagrindinės sąvokos EN pasitikėjimo intervalas ... Techninis vertėjo vadovas

pasitikėjimo intervalas- pasikliovimo intervalo statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinkta tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: angl. pasitikėjimo intervalas vok. Vertrauensbereich, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

pasitikėjimo intervalas- pasikliovimo intervalo statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinkta tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: angl. pasitikėjimo intervalas rus. pasitikėjimo zona; pasitikėjimo intervalas... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Tikslas– išmokyti studentus statistinių parametrų pasikliautinųjų intervalų skaičiavimo algoritmų.

Statistiškai apdorojant duomenis, apskaičiuotas aritmetinis vidurkis, variacijos koeficientas, koreliacijos koeficientas, skirtumo kriterijai ir kita taškų statistika turėtų gauti kiekybines pasikliovimo ribas, kurios parodo galimus rodiklio svyravimus mažesnėmis ir didesnėmis kryptimis pasikliautinajame intervale.

3.1 pavyzdys . Anksčiau nustatytas kalcio pasiskirstymas beždžionių kraujo serume apibūdinamas šiais mėginio rodikliais: = 11,94 mg%; = 0,127 mg%; n= 100. Reikia nustatyti bendrojo vidurkio ( ) su patikimumo tikimybe P = 0,95.

Bendras vidurkis yra su tam tikra tikimybe intervale:

, Kur – imties aritmetinis vidurkis; t– Studento testas; – aritmetinio vidurkio paklaida.

Naudodami lentelę „Studento t-testo reikšmės“ randame reikšmę su 0,95 pasikliovimo tikimybe ir laisvės laipsnių skaičiumi k= 100-1 = 99. Jis lygus 1,982. Kartu su aritmetinio vidurkio ir statistinės paklaidos reikšmėmis jį pakeičiame į formulę:

arba 11.69 val
12,19

Taigi su 95% tikimybe galima teigti, kad bendras šio normalaus pasiskirstymo vidurkis yra tarp 11,69 ir 12,19 mg%.

3.2 pavyzdys . Nustatykite bendrosios dispersijos 95 % pasikliautinojo intervalo ribas ( ) kalcio pasiskirstymas beždžionių kraujyje, jei tai žinoma
= 1,60, at n = 100.

Norėdami išspręsti problemą, galite naudoti šią formulę:

Kur – statistinė dispersijos paklaida.

Atrankos dispersijos paklaidą randame naudodami formulę:
. Jis lygus 0,11. Reikšmė t- kriterijus su 0,95 pasikliovimo tikimybe ir laisvės laipsnių skaičiumi k= 100–1 = 99 žinomas iš ankstesnio pavyzdžio.

Naudokime formulę ir gaukime:

arba 1.38
1,82

Tiksliau, bendrosios dispersijos pasikliautinasis intervalas gali būti sudarytas naudojant (chi kvadratas) – Pirsono testas. Šio kriterijaus kritiniai taškai pateikti specialioje lentelėje. Naudojant kriterijų Pasikliautinajam intervalui sudaryti naudojamas dvipusis reikšmingumo lygis. Apatinės ribos reikšmingumo lygis apskaičiuojamas pagal formulę
, viršūnei –
. Pavyzdžiui, dėl pasitikėjimo lygio = 0,99= 0,010,= 0,990. Atitinkamai, pagal kritinių reikšmių pasiskirstymo lentelę , su apskaičiuotais pasitikėjimo lygiais ir laisvės laipsnių skaičiumi k= 100 – 1= 99, raskite reikšmes
Ir
. Mes gauname
lygus 135,80 ir
lygus 70,06.

Norėdami rasti bendrosios dispersijos patikimumo ribas, naudokite Naudokime formules: apatinei ribai
, viršutinei ribai
. Pakeiskime probleminius duomenis rastomis reikšmėmis į formules:
= 1,17;
= 2,26. Taigi, su patikimumo tikimybe P= 0,99 arba 99 % bendroji dispersija bus nuo 1,17 iki 2,26 mg % imtinai.

3.3 pavyzdys . Tarp 1000 elevatoriuje gautų kviečių sėklų iš partijos rasta 120 sėklų, užkrėstų skalsėmis. Būtina nustatyti tikėtinas bendros užkrėstų sėklų dalies tam tikroje kviečių partijoje ribas.

Patartina nustatyti bendrosios dalies patikimumo ribas visoms galimoms jos vertėms naudojant formulę:

,

Kur n – stebėjimų skaičius; m– vienos iš grupių absoliutus dydis; t– normalizuotas nuokrypis.

Užkrėstų sėklų dalis mėginyje yra
arba 12 proc. Su pasitikėjimo tikimybe R= 95 % normalizuotas nuokrypis ( t-Mokinio testas val k =
)t = 1,960.

Turimus duomenis pakeičiame į formulę:

Vadinasi, pasikliautinojo intervalo ribos yra lygios = 0,122–0,041 = 0,081, arba 8,1 %; = 0,122 + 0,041 = 0,163 arba 16,3%.

Taigi su 95% pasikliovimo tikimybe galima teigti, kad bendra užkrėstų sėklų dalis yra nuo 8,1 iki 16,3%.

3.4 pavyzdys . Variacijos koeficientas, apibūdinantis kalcio (mg%) kitimą beždžionių kraujo serume, buvo lygus 10,6%. Mėginio dydis n= 100. Būtina nustatyti 95 % pasikliautinojo intervalo ribas bendrajam parametrui Cv.

Bendrojo variacijos koeficiento pasikliautinojo intervalo ribos Cv nustatomi pagal šias formules:

Ir
, Kur K tarpinė vertė, apskaičiuota pagal formulę
.

Žinant tai su pasitikėjimo tikimybe R= 95% normalizuotas nuokrypis (studento testas k =
)t = 1,960, pirmiausia apskaičiuokime reikšmę KAM:

.

arba 9,3 proc.

arba 12,3 proc.

Taigi bendras variacijos koeficientas su 95% pasikliovimo lygiu yra intervale nuo 9,3 iki 12,3%. Atliekant pakartotinius mėginius, variacijos koeficientas neviršys 12,3% ir bus ne mažesnis kaip 9,3% 95 atvejais iš 100.

Klausimai savikontrolei:

Savarankiško sprendimo problemos.

1. Kholmogory mišrūnų karvių laktacijos metu vidutinis riebalų procentas piene buvo toks: 3,4; 3,6; 3,2; 3.1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4,0; 3,4; 4.1; 3,8; 3,4; 4,0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3.8. Nustatyti bendrojo vidurkio pasikliautinuosius intervalus esant 95 % pasikliovimo lygiui (20 taškų).

2. Ant 400 hibridinių rugių augalų pirmieji žiedai pasirodė vidutiniškai praėjus 70,5 dienos po sėjos. Standartinis nuokrypis buvo 6,9 dienos. Nustatykite bendrojo vidurkio ir dispersijos vidurkio ir pasikliautinųjų intervalų paklaidą reikšmingumo lygyje W= 0,05 ir W= 0,01 (25 taškai).

3. Tiriant 502 sodo braškių egzempliorių lapų ilgį, gauti šie duomenys: = 7,86 cm; σ = 1,32 cm, =± 0,06 cm. Nustatykite aritmetinės populiacijos vidurkio pasikliautinius intervalus, kurių reikšmingumo lygiai yra 0,01. 0,02; 0,05. (25 taškai).

4. Tyrime, kuriame dalyvavo 150 suaugusių vyrų, vidutinis ūgis buvo 167 cm, ir σ = 6 cm Kokios yra bendrojo vidurkio ir bendrosios dispersijos ribos, kai pasikliautinoji tikimybė yra 0,99 ir 0,95? (25 taškai).

5. Kalcio pasiskirstymas beždžionių kraujo serume apibūdinamas šiais atrankiniais rodikliais: = 11,94 mg%, σ = 1,27, n = 100. Sudarykite 95 % pasikliautinąjį intervalą bendrajam šio skirstinio vidurkiui. Apskaičiuokite variacijos koeficientą (25 taškai).

6. Ištirtas bendras azoto kiekis žiurkių albinosų kraujo plazmoje 37 ir 180 dienų amžiaus. Rezultatai išreiškiami gramais 100 cm3 plazmos. 37 dienų amžiaus 9 žiurkės turėjo: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. 180 dienų amžiaus 8 žiurkės turėjo: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1.12. Nustatykite skirtumo pasikliautinuosius intervalus 0,95 (50 taškų) patikimumo lygiu.

7. Nustatykite 95 % pasikliautinojo intervalo ribas bendrajai kalcio pasiskirstymo (mg %) dispersijai beždžionių kraujo serume, jei šiam pasiskirstymui imties dydis n = 100, imties dispersijos statistinė paklaida s σ 2 = 1,60 (40 taškų).

8. Nustatykite 40 kviečių spygliuočių pasiskirstymo išilgai bendrosios dispersijos 95 % pasikliautinojo intervalo ribas (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 taškai).

9. Rūkymas laikomas pagrindiniu veiksniu, lemiančiu obstrukcines plaučių ligas. Pasyvus rūkymas tokiu veiksniu nelaikomas. Mokslininkai abejojo ​​pasyvaus rūkymo nekenksmingumu ir tyrė nerūkančiųjų, pasyvių ir aktyvių rūkalių kvėpavimo takų praeinamumą. Kvėpavimo takų būklei apibūdinti paėmėme vieną iš išorinio kvėpavimo funkcijos rodiklių – maksimalų tūrinį tėkmės greitį iškvėpimo viduryje. Šio rodiklio sumažėjimas yra kvėpavimo takų obstrukcijos požymis. Apklausos duomenys pateikti lentelėje.

Naudodami lentelės duomenis raskite 95 % pasikliovimo intervalus bendram vidurkiui ir bendrai dispersijai kiekvienai grupei. Kokie skirtumai tarp grupių? Pateikite rezultatus grafiškai (25 taškai).

10. Nustatykite 95% ir 99% pasikliautinųjų intervalų ribas bendrajai paršelių skaičiaus dispersijai 64 paršiavimuose, jei imties dispersijos statistinė paklaida s σ 2 = 8,25 (30 taškų).

11. Yra žinoma, kad vidutinis triušių svoris yra 2,1 kg. Nustatykite 95 % ir 99 % pasikliovimo intervalų ribas bendrajam vidurkiui ir dispersijai esant n= 30, σ = 0,56 kg (25 taškai).

12. Varpos grūdų kiekis išmatuotas 100 varpų ( X), ausies ilgis ( Y) ir grūdų masė ausyje ( Z). Raskite bendrojo vidurkio ir dispersijos pasikliovimo intervalus P 1 = 0,95, P 2 = 0,99, P 3 = 0,999, jei = 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29,153, σ y 2 = 2, 111, σ z 2 = 0, 064. (25 taškai).

13. 100 atsitiktinai atrinktų žieminių kviečių varpų buvo suskaičiuotas spygliuočių skaičius. Imties visuma buvo apibūdinta šiais rodikliais: = 15 smaigalių ir σ = 2,28 vnt. Nustatykite, kokiu tikslumu buvo gautas vidutinis rezultatas ( ) ir sudaryti bendrojo vidurkio ir dispersijos pasikliautinąjį intervalą esant 95 % ir 99 % reikšmingumo lygiams (30 taškų).

14. Šonkaulių skaičius ant iškastinių moliuskų kriauklių Ortambonitai kaligrama:

Yra žinoma, kad n = 19, σ = 4,25. Nustatykite bendrojo vidurkio ir bendrosios dispersijos pasikliautinojo intervalo ribas reikšmingumo lygmenyje W = 0,01 (25 taškai).

15. Prekinio pieno ūkio pieno primilžiui nustatyti kasdien buvo nustatytas 15 karvių produktyvumas. Metų duomenimis, kiekviena karvė per dieną vidutiniškai davė tokį pieno kiekį (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; trisdešimt; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Sudarykite bendrosios dispersijos ir aritmetinio vidurkio pasikliautinuosius intervalus. Ar galime tikėtis, kad vidutinis metinis primilžis iš karvės bus 10 000 litrų? (50 taškų).

16. Siekiant nustatyti vidutinį kviečių derlių žemės ūkio įmonei, buvo šienaujama 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 ir 2 hektarų bandomuosiuose sklypuose. Produktyvumas (k/ha) iš sklypų 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39,3; 41,6; 33; 42; 29 atitinkamai. Sudarykite bendrosios dispersijos ir aritmetinio vidurkio pasikliautinuosius intervalus. Ar galima tikėtis, kad vidutinis žemės ūkio derlius bus 42 c/ha? (50 taškų).

Pasitikėjimo intervalas matematiniams lūkesčiams - tai intervalas, apskaičiuotas iš duomenų, kurie su žinoma tikimybe apima bendrosios populiacijos matematinius lūkesčius. Natūralus matematinio lūkesčio įvertis yra jo stebimų verčių aritmetinis vidurkis. Todėl visos pamokos metu vartosime terminus „vidutinė“ ir „vidutinė vertė“. Pasikliautinojo intervalo skaičiavimo uždaviniuose dažniausiai reikalaujamas atsakymas yra kažkas panašaus į „Vidutinio skaičiaus [reikšmė konkrečioje užduotyje] pasikliautinasis intervalas yra nuo [mažesnės reikšmės] iki [didesnės reikšmės]“. Naudodami pasikliautinąjį intervalą galite įvertinti ne tik vidutines reikšmes, bet ir specifinį tam tikros populiacijos charakteristikos svorį. Pamokoje aptariamos vidutinės reikšmės, dispersija, standartinis nuokrypis ir paklaida, per kurias pasieksime naujus apibrėžimus ir formules. Imties ir populiacijos charakteristikos .

Vidurkio taškiniai ir intervaliniai įverčiai

Jei vidutinė visumos reikšmė įvertinama skaičiumi (tašku), tai konkretus vidurkis, kuris apskaičiuojamas iš stebėjimų imties, imamas kaip nežinomos populiacijos vidutinės vertės įvertis. Šiuo atveju imties vidurkio – atsitiktinio dydžio – reikšmė nesutampa su vidutine bendrosios visumos reikšme. Todėl, nurodydami imties vidurkį, kartu turite nurodyti atrankos klaidą. Atrankos paklaidos matas yra standartinė paklaida, kuri išreiškiama tais pačiais vienetais kaip ir vidurkis. Todėl dažnai vartojamas toks žymėjimas: .

Jei vidurkio įvertį reikia susieti su tam tikra tikimybe, tai populiaciją dominantis parametras turi būti įvertintas ne vienu skaičiumi, o intervalu. Pasitikėjimo intervalas yra intervalas, kuriame su tam tikra tikimybe P randama apskaičiuoto gyventojų skaičiaus rodiklio reikšmė. Pasitikėjimo intervalas, kuriame tai tikėtina P = 1 - α randamas atsitiktinis dydis, apskaičiuojamas taip:

,

α = 1 - P, kurį galima rasti beveik bet kurios statistikos knygos priede.

Praktikoje populiacijos vidurkis ir dispersija nėra žinomi, todėl populiacijos dispersija pakeičiama imties dispersija, o populiacijos vidurkis – imties vidurkiu. Taigi, pasikliautinasis intervalas daugeliu atvejų apskaičiuojamas taip:

.

Pasitikėjimo intervalo formulė gali būti naudojama populiacijos vidurkiui įvertinti, jei

• žinomas populiacijos standartinis nuokrypis;
• arba visumos standartinis nuokrypis nežinomas, bet imties dydis yra didesnis nei 30.

Imties vidurkis yra nešališkas populiacijos vidurkio įvertinimas. Savo ruožtu imties dispersija nėra nešališkas populiacijos dispersijos įvertinimas. Norint gauti nešališką populiacijos dispersijos įvertinimą imties dispersijos formulėje, imties dydis n turėtų būti pakeistas n-1.

1 pavyzdys. Iš 100 atsitiktinai atrinktų tam tikro miesto kavinių buvo surinkta informacija, kad vidutinis darbuotojų skaičius jose yra 10,5 su standartiniu nuokrypiu 4,6. Nustatykite kavinės darbuotojų skaičiaus 95% pasikliautinąjį intervalą.

kur yra reikšmingumo lygio standartinio normaliojo skirstinio kritinė vertė α = 0,05 .

Taigi 95% pasikliautinasis intervalas vidutiniam kavinės darbuotojų skaičiui svyravo nuo 9,6 iki 11,4.

2 pavyzdys. Atsitiktinei imčiai iš 64 stebėjimų buvo apskaičiuotos šios bendros vertės:

reikšmių suma stebėjimuose,

reikšmių nuokrypių nuo vidurkio kvadrato suma .

Apskaičiuokite matematinio lūkesčio 95 % pasikliautinąjį intervalą.

Apskaičiuokime standartinį nuokrypį:

,

Apskaičiuokime vidutinę vertę:

.

Mes pakeičiame reikšmes į pasikliautinojo intervalo išraišką:

kur yra reikšmingumo lygio standartinio normaliojo skirstinio kritinė vertė α = 0,05 .

Mes gauname:

Taigi šios imties matematinio lūkesčio 95 % pasikliautinasis intervalas svyravo nuo 7,484 iki 11,266.

3 pavyzdys. Atsitiktinės 100 stebėjimų populiacijos imties apskaičiuotas vidurkis yra 15,2, o standartinis nuokrypis yra 3,2. Apskaičiuokite laukiamos vertės 95 % pasikliautinąjį intervalą, tada 99 % pasikliautinąjį intervalą. Jei imties galia ir jos kitimas nepasikeis, o pasikliovimo koeficientas padidės, pasikliautinasis intervalas susiaurės ar išsiplės?

Mes pakeičiame šias reikšmes į pasikliautinojo intervalo išraišką:

kur yra reikšmingumo lygio standartinio normaliojo skirstinio kritinė vertė α = 0,05 .

Mes gauname:

.

Taigi šios imties vidurkio 95 % pasikliautinasis intervalas svyravo nuo 14,57 iki 15,82.

Mes vėl pakeičiame šias reikšmes į pasikliautinojo intervalo išraišką:

kur yra reikšmingumo lygio standartinio normaliojo skirstinio kritinė vertė α = 0,01 .

Mes gauname:

.

Taigi šios imties vidurkio 99 % pasikliautinasis intervalas svyravo nuo 14,37 iki 16,02.

Kaip matome, didėjant pasitikėjimo koeficientui, didėja ir standartinio normaliojo skirstinio kritinė reikšmė, todėl intervalo pradžios ir pabaigos taškai yra toliau nuo vidurkio, todėl didėja matematinio lūkesčio pasikliautinasis intervalas. .

Taškiniai ir intervaliniai specifinio svorio įverčiai

Kai kurios imties požymio dalis gali būti interpretuojama kaip taškinis dalies įvertinimas p tos pačios savybės bendroje populiacijoje. Jei šią vertę reikia susieti su tikimybe, tuomet reikia apskaičiuoti savitojo svorio pasikliautinąjį intervalą p būdinga populiacijai su tikimybe P = 1 - α :

.

4 pavyzdys. Kai kuriuose miestuose yra du kandidatai A Ir B kandidatuoja į mero postą. Atsitiktiniu būdu buvo apklausta 200 miesto gyventojų, iš kurių 46% atsakė, kad balsuotų už kandidatą A, 26% – kandidatui B ir 28% nežino, už ką balsuos. Nustatykite kandidatą palaikančių miesto gyventojų dalies 95 % pasikliautinąjį intervalą A.

Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi šia paslauga galite nustatyti:

• Bendrojo vidurkio pasikliautinasis intervalas, dispersijos pasikliautinasis intervalas;
• pasikliautinasis intervalas standartiniam nuokrypiui, pasikliautinasis intervalas bendrajai akcijai;

1 pavyzdys. Kolūkyje iš visos 1000 avių bandos 100 avių buvo atliktas atrankinis kontrolinis kirpimas. Dėl to buvo nustatytas vidutinis 4,2 kg vilnos nukirpimas vienai avys. Su 0,99 tikimybe nustatykite mėginio vidutinę kvadratinę paklaidą nustatydami vidutinį vienos avies vilnos kirpimą ir ribas, kuriose yra kirpimo vertė, jei dispersija yra 2,5. Mėginys nesikartojantis.
2 pavyzdys. Iš importuotų produktų partijos Maskvos šiaurinės muitinės poste atsitiktinės kartotinės atrankos būdu paimta 20 prekės „A“ pavyzdžių. Atlikus bandymą, buvo nustatytas vidutinis produkto „A“ drėgmės kiekis mėginyje, kuris buvo lygus 6%, o standartinis nuokrypis yra 1%.
Su tikimybe 0,683 nustatykite produkto vidutinio drėgnumo ribas visoje importuojamų produktų partijoje.
3 pavyzdys. Apklausus 36 studentus paaiškėjo, kad vidutinis jų perskaitytų vadovėlių skaičius per mokslo metus buvo lygus 6. Darant prielaidą, kad studento per semestrą perskaitytų vadovėlių skaičius turi normalaus paskirstymo dėsnį, kurio standartinis nuokrypis lygus 6, raskite : A) su 0 ,99 intervalo patikimumu šio atsitiktinio dydžio matematiniam tikėjimui; B) su kokia tikimybe galime teigti, kad vidutinis studento per semestrą perskaitytų vadovėlių skaičius, skaičiuojamas iš šios imties, nuo matematinio lūkesčio absoliučia verte nukryps ne daugiau kaip 2.

Pasikliautinųjų intervalų klasifikacija

Pagal pavyzdžio tipą:

1. Pasitikėjimo intervalas begaliniam mėginiui;
2. Pasitikėjimo intervalas galutiniam mėginiui;

Atsitiktinės atrankos vidutinės atrankos paklaidos apskaičiavimas

Vidutinės atrankos klaidų formulės
perrinkimas		pakartoti pasirinkimą
vidutiniam	už dalį	vidutiniam	už dalį

Imties dydžio apskaičiavimo formulės naudojant grynai atsitiktinės atrankos metodą

Ankstesniuose poskyriuose nagrinėjome nežinomo parametro įvertinimo klausimą A vienas skaičius. Tai vadinama „taškiniu“ įvertinimu. Atliekant daugybę užduočių, reikia ne tik rasti parametrą A tinkama skaitinė vertė, bet ir įvertinti jos tikslumą ir patikimumą. Turite žinoti, kokių klaidų gali atsirasti pakeitus parametrą A jo taškinis įvertinimas A ir su kokiu pasitikėjimo laipsniu galime tikėtis, kad šios paklaidos neviršys žinomų ribų?

Tokio pobūdžio problemos ypač aktualios su nedideliu stebėjimų skaičiumi, kai taškinis įvertinimas ir į yra daugiausia atsitiktinis ir apytikslis a pakeitimas a gali sukelti rimtų klaidų.

Suteikti supratimą apie sąmatos tikslumą ir patikimumą A,

Matematinėje statistikoje naudojami vadinamieji pasikliautinieji intervalai ir pasitikėjimo tikimybės.

Leiskite parametrui A nešališkas įvertinimas, gautas iš patirties A. Norime įvertinti galimą klaidą šiuo atveju. Priskirkime pakankamai didelę tikimybę p (pavyzdžiui, p = 0,9, 0,95 arba 0,99), kad įvykį su tikimybe p būtų galima laikyti praktiškai patikimu, ir suraskime reikšmę s, kuriai

Tada praktiškai galimų paklaidos, atsirandančios pakeitimo metu, verčių diapazonas Aįjungta A, bus ± s; Didelės absoliučios vertės paklaidos atsiras tik su maža tikimybe a = 1 - p. Perrašykime (14.3.1) taip:

Lygybė (14.3.2) reiškia, kad su tikimybe p yra nežinoma parametro reikšmė A patenka į intervalą

Būtina atkreipti dėmesį į vieną aplinkybę. Anksčiau mes ne kartą svarstėme tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą neatsitiktinį intervalą. Čia situacija kitokia: dydis A nėra atsitiktinis, bet intervalas / p yra atsitiktinis. Jo padėtis x ašyje yra atsitiktinė, nulemta jos centro A; Apskritai intervalo 2s ilgis taip pat yra atsitiktinis, nes s reikšmė paprastai apskaičiuojama iš eksperimentinių duomenų. Todėl šiuo atveju p reikšmę geriau būtų interpretuoti ne kaip tikimybę „pataikyti“ į tašką A intervale / p, ir kaip tikimybę, kad atsitiktinis intervalas / p apims tašką A(14.3.1 pav.).

Ryžiai. 14.3.1

Tikimybe p paprastai vadinama pasitikėjimo tikimybė, ir intervalas / p - pasitikėjimo intervalas. Intervalų ribos Jeigu. a x = a- smėlis a 2 = a + ir yra vadinami pasitikėjimo ribos.

Pasikliautinojo intervalo sąvoką interpretuokime dar kitaip: jį galima laikyti parametrų reikšmių intervalu A, suderinami su eksperimentiniais duomenimis ir jiems neprieštarauja. Iš tiesų, jei sutinkame, kad įvykis, kurio tikimybė a = 1-p yra praktiškai neįmanomas, tada tos parametro a reikšmės, kurioms a - a> s turi būti pripažinti prieštaraujančiais eksperimentiniais duomenimis ir tie, kurių |a - A a t na 2 .

Leiskite parametrui A yra nešališkas įvertinimas A. Jei žinotume kiekio pasiskirstymo dėsnį A, užduotis rasti pasikliautinąjį intervalą būtų labai paprasta: užtektų rasti reikšmę s, kuriai

Sunkumas yra tas, kad įverčių paskirstymo įstatymas A priklauso nuo kiekio pasiskirstymo dėsnio X ir, atitinkamai, dėl jo nežinomų parametrų (ypač dėl paties parametro A).

Norėdami išspręsti šią problemą, galite naudoti tokį apytikslį metodą: pakeiskite nežinomus parametrus s išraiškoje jų taškiniais įverčiais. Su palyginti dideliu eksperimentų skaičiumi P(apie 20...30) naudojant šią techniką dažniausiai gaunami rezultatai, kurie yra patenkinami tikslumo požiūriu.

Kaip pavyzdį apsvarstykite matematinio lūkesčio pasikliautinojo intervalo problemą.

Tegul jis gaminamas P X, kurių charakteristikos yra matematinis lūkestis T ir dispersija D- nežinomas. Šiems parametrams gauti šie įverčiai:

Būtina sudaryti pasikliautinąjį intervalą / p, atitinkantį matematinio lūkesčio pasikliovimo tikimybę p T kiekiai X.

Spręsdami šią problemą, remsimės tuo, kad kiekis T reiškia sumą P nepriklausomi identiškai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai Xh o pagal centrinę ribinę teoremą pakankamai dideliam P jo pasiskirstymo dėsnis artimas normaliam. Praktikoje net ir esant santykinai nedideliam narių skaičiui (apie 10...20) sumos pasiskirstymo dėsnį galima apytiksliai laikyti normaliu. Mes manysime, kad vertė T paskirstytas pagal įprastą dėsnį. Šio dėsnio charakteristikos – matematinis lūkestis ir dispersija – atitinkamai yra vienodos T Ir

(žr. 13 skyriaus 13.3 poskyrį). Tarkime, kad vertė Džinome ir rasime vertę Ep, kuriai

Naudodami 6 skyriaus formulę (6.3.5) išreiškiame tikimybę kairėje (14.3.5) pusėje per normalaus pasiskirstymo funkciją

kur yra įverčio standartinis nuokrypis T.

Iš Eq.

Raskite Sp vertę:

kur arg Ф* (х) yra atvirkštinė Ф* funkcija (X), tie. tokia argumento reikšmė, kuriai lygi normaliojo skirstinio funkcija X.

Sklaida D, per kurį išreiškiamas kiekis A 1P, mes tiksliai nežinome; kaip apytikslę jo vertę galite naudoti sąmatą D(14.3.4) ir maždaug:

Taigi pasikliautinojo intervalo sudarymo problema buvo apytiksliai išspręsta, kuri yra lygi:

kur gp nustatomas pagal (14.3.7) formulę.

Norint išvengti atvirkštinės interpoliacijos funkcijos Ф* (l) lentelėse skaičiuojant s p, patogu sudaryti specialią lentelę (14.3.1 lentelė), kurioje pateikiamos kiekio reikšmės.

priklausomai nuo r. Reikšmė (p pagal normalųjį dėsnį nustato standartinių nuokrypių skaičių, kuris turi būti nubrėžtas į dešinę ir į kairę nuo dispersijos centro, kad tikimybė patekti į gautą sritį būtų lygi p.

Naudojant reikšmę 7 p, pasikliautinasis intervalas išreiškiamas taip:

14.3.1 lentelė

1 pavyzdys. Su kiekiu atlikta 20 eksperimentų X; rezultatai pateikti lentelėje. 14.3.2.

14.3.2 lentelė

Reikia rasti matematinio kiekio lūkesčio įvertinimą X ir sudaryti pasikliautinąjį intervalą, atitinkantį pasikliovimo tikimybę p = 0,8.

Sprendimas. Mes turime:

Atskaitos tašku pasirinkę l: = 10, naudodami trečiąją formulę (14.2.14) randame nešališką įvertį D :

Pagal lentelę 14.3.1 randame

Pasitikėjimo ribos:

Pasitikėjimo intervalas:

Parametrų reikšmės T, esantys šiame intervale yra suderinami su lentelėje pateiktais eksperimentiniais duomenimis. 14.3.2.

Dispersijos pasikliautinasis intervalas gali būti sudarytas panašiu būdu.

Tegul jis gaminamas P nepriklausomi eksperimentai su atsitiktiniu dydžiu X su nežinomais A ir dispersijos parametrais D buvo gautas nešališkas įvertinimas:

Būtina apytiksliai sudaryti dispersijos pasikliautinąjį intervalą.

Iš (14.3.11) formulės aišku, kad kiekis D atstovauja

suma P formos atsitiktiniai dydžiai . Šios vertybės nėra

nepriklausomas, nes bet kuris iš jų apima kiekį T, priklausomas nuo visų kitų. Tačiau galima įrodyti, kad didėjant P jų sumos pasiskirstymo dėsnis taip pat artėja prie normalaus. Beveik val P= 20...30 tai jau galima laikyti normaliu.

Tarkime, kad taip yra, ir raskime šio dėsnio charakteristikas: matematinį lūkestį ir dispersiją. Nuo įvertinimo D- Tada nešališkas M[D] = D.

Variacijos skaičiavimas D D yra susijęs su gana sudėtingais skaičiavimais, todėl pateikiame jo išraišką be išvedimo:

kur q 4 yra ketvirtasis centrinis dydžio momentas X.

Norėdami naudoti šią išraišką, turite pakeisti reikšmes\u003d 4 ir D(bent jau artimieji). Vietoj D galite pasinaudoti jo vertinimu D. Iš esmės ketvirtą centrinį momentą taip pat galima pakeisti įvertinimu, pavyzdžiui, formos reikšme:

tačiau toks pakeitimas duos itin mažą tikslumą, nes apskritai atliekant ribotą skaičių eksperimentų, aukšto laipsnio momentai nustatomi su didelėmis paklaidomis. Tačiau praktikoje dažnai atsitinka, kad kiekių paskirstymo įstatymo rūšis Xžinoma iš anksto: nežinomi tik jo parametrai. Tada galite pabandyti išreikšti μ 4 per D.

Paimkime dažniausiai pasitaikantį atvejį, kai reikšmė X paskirstytas pagal įprastą dėsnį. Tada jo ketvirtasis centrinis momentas išreiškiamas sklaida (žr. 6 skyriaus 6.2 poskyrį);

o formulė (14.3.12) suteikia arba

Nežinomo pakeitimas (14.3.14) D jo įvertinimas D, gauname: iš kur

Momentas μ 4 gali būti išreikštas per D taip pat kai kuriais kitais atvejais, kai vertės paskirstymas X nėra normalu, bet jo išvaizda žinoma. Pavyzdžiui, vienodo tankio dėsniui (žr. 5 skyrių) turime:

kur (a, P) yra intervalas, kuriame nurodytas dėsnis.

Vadinasi,

Naudodami formulę (14.3.12) gauname: kur randame maždaug

Tais atvejais, kai dydžio 26 pasiskirstymo dėsnio tipas nežinomas, apytiksliai apskaičiuojant reikšmę a/) vis tiek rekomenduojama naudoti formulę (14.3.16), nebent yra ypatingų priežasčių manyti, kad šis dėsnis. labai skiriasi nuo įprastos (turi pastebimą teigiamą arba neigiamą kurtozę) .

Jei apytikslė reikšmė a/) gaunama vienu ar kitu būdu, tada dispersijos pasikliautinąjį intervalą galime sudaryti taip pat, kaip jį sudarėme matematiniam lūkesčiui:

kur nuo duotosios tikimybės p priklausanti reikšmė randama pagal lentelę. 14.3.1.

2 pavyzdys. Raskite maždaug 80 % atsitiktinio dydžio dispersijos pasikliautinąjį intervalą X 1 pavyzdžio sąlygomis, jei žinoma, kad vertė X paskirstytas pagal dėsnį, artimą normaliam.

Sprendimas. Vertė išlieka tokia pati kaip lentelėje. 14.3.1:

Pagal formulę (14.3.16)

Naudodami formulę (14.3.18) randame pasikliautinąjį intervalą:

Atitinkamas standartinio nuokrypio verčių diapazonas: (0,21; 0,29).

14.4. Tikslūs atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį, parametrų pasikliautinųjų intervalų sudarymo metodai

Ankstesniame poskyryje išnagrinėjome apytikslius matematinių lūkesčių ir dispersijos pasikliovimo intervalų sudarymo metodus. Čia pateiksime idėją apie tikslius tos pačios problemos sprendimo būdus. Pabrėžiame, kad norint tiksliai rasti pasikliautinuosius intervalus, būtina iš anksto žinoti kiekio pasiskirstymo dėsnio formą X, kadangi taikant apytikslius metodus tai nėra būtina.

Tikslių metodų pasikliautiniesiems intervalams sudaryti idėja kyla taip. Bet koks pasikliautinasis intervalas randamas iš sąlygos, išreiškiančios tam tikrų nelygybių įvykdymo tikimybę, kuri apima mus dominantį įvertinimą A. Vertinimo paskirstymo dėsnis A bendru atveju priklauso nuo nežinomų kiekio parametrų X. Tačiau kartais iš atsitiktinio dydžio galima perkelti nelygybes A kuriai nors kitai stebimų verčių funkcijai X p X 2, ..., X p. kurio pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo nežinomų parametrų, o priklauso tik nuo eksperimentų skaičiaus ir nuo dydžio pasiskirstymo dėsnio tipo X. Tokie atsitiktiniai dydžiai atlieka svarbų vaidmenį matematinėje statistikoje; jie buvo išsamiai ištirti normalaus kiekio pasiskirstymo atveju X.

Pavyzdžiui, buvo įrodyta, kad esant normaliam vertės pasiskirstymui X atsitiktinė vertė

paklūsta vadinamajam Studentų skirstymo įstatymas Su P- 1 laisvės laipsnis; šio dėsnio tankis turi formą

kur G(x) yra žinoma gama funkcija:

Taip pat buvo įrodyta, kad atsitiktinis kintamasis

turi "%2 paskirstymą" su P- 1 laisvės laipsnis (žr. 7 skyrių), kurio tankis išreiškiamas formule

Neapsistodami prie skirstinių (14.4.2) ir (14.4.4) išvedžiojimų parodysime, kaip juos galima pritaikyti konstruojant parametrų pasikliautinuosius intervalus. tu D.

Tegul jis gaminamas P nepriklausomi eksperimentai su atsitiktiniu dydžiu X, paprastai paskirstytas su nežinomais parametrais T&O. Dėl šių parametrų buvo gauti įverčiai

Būtina sudaryti abiejų parametrų pasikliovimo intervalus, atitinkančius pasikliovimo tikimybę p.

Pirmiausia sukurkime matematinio lūkesčio pasikliautinąjį intervalą. Natūralu, kad šis intervalas yra simetriškas T; s p žymime pusę intervalo ilgio. Reikšmė s p turi būti parinkta taip, kad sąlyga būtų įvykdyta

Pabandykime nuo atsitiktinio dydžio pereiti į kairę lygybės (14.4.5) pusę Tį atsitiktinį dydį T, platinami pagal Studento įstatymą. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi nelygybės puses |m-w?|

teigiama verte: arba naudojant žymėjimą (14.4.1),

Raskime skaičių / p, kad reikšmę / p būtų galima rasti iš sąlygos

Iš (14.4.2) formulės aišku, kad (1) yra lyginė funkcija, todėl (14.4.8) suteikia

Lygybė (14.4.9) nustato reikšmę / p priklausomai nuo p. Jei turite integraliųjų verčių lentelę

tada /p reikšmę lentelėje galima rasti atvirkštine interpoliacija. Tačiau patogiau iš anksto sudaryti /p reikšmių lentelę. Tokia lentelė pateikta priede (5 lentelė). Šioje lentelėje pateikiamos reikšmės, priklausančios nuo pasitikėjimo lygio p ir laisvės laipsnių skaičiaus P- 1. Iš lentelės nustačius / p. 5 ir darant prielaidą

rasime pusę pasikliautinojo intervalo / p pločio ir patį intervalą

1 pavyzdys. Su atsitiktiniu dydžiu buvo atlikti 5 nepriklausomi eksperimentai X, paprastai paskirstytas su nežinomais parametrais T ir apie. Eksperimentų rezultatai pateikti lentelėje. 14.4.1.

14.4.1 lentelė

Rasti įvertinimą T matematiniam lūkesčiui ir sukonstruoti jam 90 % pasikliautinąjį intervalą / p (t. y. intervalą, atitinkantį pasikliovimo tikimybę p = 0,9).

Sprendimas. Mes turime:

Pagal prašymo 5 lentelę P - 1 = 4 ir p = 0,9 randame kur

Pasitikėjimo intervalas bus

2 pavyzdys. 14.3 poskyrio 1 pavyzdžio sąlygoms, darant reikšmę X paprastai pasiskirstę, raskite tikslų pasikliautinąjį intervalą.

Sprendimas. Pagal priedo 5 lentelę randame kada P - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; iš čia

Lyginant su 14.3 poskyrio 1 pavyzdžio sprendimu (e p = 0,072), esame įsitikinę, kad neatitikimas yra labai nežymus. Jei išlaikome tikslumą iki antrojo skaičiaus po kablelio, tada tiksliu ir apytiksliu metodu rasti pasikliautinieji intervalai sutampa:

Pereikime prie dispersijos pasikliovimo intervalo sudarymo. Apsvarstykite nešališką dispersijos įvertį

ir išreikšti atsitiktinį kintamąjį D per dydį V(14.4.3), kurio pasiskirstymas x 2 (14.4.4):

Kiekybės pasiskirstymo dėsnio žinojimas V, galite rasti intervalą /(1), į kurį jis patenka su nurodyta tikimybe p.

Paskirstymo dėsnis kn_x(v) I 7 dydis turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 14.4.1.

Ryžiai. 14.4.1

Kyla klausimas: kaip pasirinkti intervalą / p? Jei dydžių pasiskirstymo dėsnis V buvo simetriškas (kaip normalus dėsnis ar Stjudento skirstinys), natūralu intervalą /p imti simetrišku matematinio lūkesčio atžvilgiu. Šiuo atveju įstatymas k p_x (v) asimetriškas. Sutikime, kad intervalą /p pasirinktume taip, kad reikšmės tikimybė būtų V už intervalo į dešinę ir į kairę (14.4.1 pav. tamsesnės sritys) buvo vienodos ir vienodos

Norėdami sukurti intervalą /p su šia savybe, naudojame lentelę. 4 programos: jame yra skaičiai y) toks kad

už vertę V, turintis x 2 -skirstymą su r laisvės laipsniais. Mūsų atveju r = n- 1. Pataisykime r = n- 1 ir raskite atitinkamoje lentelės eilutėje. 4 dvi reikšmės x 2 - vienas atitinkantis tikimybę kitas – tikimybę Pažymėkime tai

vertybes 2 val Ir xl? Intervalas turi y 2, su kaire ir y~ dešinysis galas.

Dabar iš intervalo / p raskime norimą pasikliautinąjį intervalą /| dispersijai su ribomis D ir D2, kuri apima esmę D su tikimybe p:

Sukonstruokime intervalą / (, = (?> ь А), kuris apima tašką D jei ir tik tada, kai vertė V patenka į intervalą /r. Parodykime, kad intervalas

atitinka šią sąlygą. Tiesa, nelygybės yra lygiaverčiai nelygybėms

ir šios nelygybės tenkinamos tikimybe p. Taigi dispersijos pasikliautinasis intervalas buvo rastas ir išreiškiamas formule (14.4.13).

3 pavyzdys. Raskite dispersijos pasikliautinąjį intervalą 14.3 poskyrio 2 pavyzdžio sąlygomis, jei žinoma, kad reikšmė X paprastai paskirstytas.

Sprendimas. Mes turime . Pagal priedo 4 lentelę

randame adresu r = n - 1 = 19

Naudodami (14.4.13) formulę randame dispersijos pasikliautinąjį intervalą

Atitinkamas standartinio nuokrypio intervalas yra (0,21; 0,32). Šis intervalas tik šiek tiek viršija intervalą (0,21; 0,29), gautą 14.3 poskyrio 2 pavyzdyje apytiksliu metodu.

• 14.3.1 paveiksle pasikliautinasis intervalas yra simetriškas apie a. Apskritai, kaip matysime vėliau, tai nėra būtina.