Šinkarevas Egoras Aleksandrovičius
Problemų rinkimas
Nestandartinės judėjimo užduotys
Projekto mokslinė direktorė Natalija Nikolajevna Kudryavtseva
Kolekcijoje pateikiami išsamūs problemų sprendimai, tradiciškai suskirstyti į šias grupes: judesiai sukamaisiais judesiais, išplėstų kūnų judėjimas ir siūlomos savarankiško sprendimo problemos. Šis uždavinių pasirinkimas gali būti naudojamas ugdant tokio tipo uždavinių sprendimo įgūdžius ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui ir matematikos olimpiadoms. Kolekcija gali būti naudinga 8-11 klasių mokiniams, o mokytojams organizuojant judesio užduočių įtvirtinimą ir kartojimą tiek pamokoje, tiek popamokinėje veikloje.
Abakanas 2017 m
Įvadas____________________________________________________________________3
1 skyrius. Problemos, susijusios su judėjimu ratu
§ 1.1. Problemos, susijusios su judėjimu ratu, viena kryptimi, vienu metu, iš vieno taško____________________________________________________________________4
§ 1.2. Problemos, susijusios su judėjimu apskritimu, viena kryptimi, vienu metu iš diametraliai priešingų taškų___________________________6
§ 1.3. Problemos, susijusios su judėjimu apskritimu, viena kryptimi, skirtingu laiku iš vieno taško.………….7
§ 1.4. Problemos, susijusios su judėjimu apskritimu, priešingomis kryptimis, tuo pačiu metu iš vieno taško.…………………..8
2 skyrius. Išsiplėtusių kūnų judėjimo problemos
§ 2.1. Problemos, susijusios su dviejų išplėstų kūnų judėjimu viena kryptimi
§ 2.2. Problemos, susijusios su dviejų išplėstų kūnų judėjimu vienas kito link
§ 2.3. Problemos, susijusios su vieno išplėsto kūno judėjimu kito nejudančio kūno atžvilgiu
§ 2.4. Problemos, susijusios su išplėsto kūno judėjimu fiksuoto taško atžvilgiu
§ 2.5. Problemos dėl išplėsto kūno ir taško judėjimo vienas kito link
§ 2.6 problemos dėl ištiesto kūno ir taško judėjimo viena kryptimi______
Įvadas
Praktikoje yra daug įdomių judėjimo problemų. Įvairiose olimpiadose ir baigiamuosiuose egzaminuose siūlomos linksmos problemos. Šiame rinkinyje pateikiamos tik problemos, sąlyginai suskirstytos į šias grupes: judėjimo apskritime problemos, išplėstų kūnų judėjimo problemos.
Kiekviena grupė turi pogrupius, kurie skiriasi vienas nuo kito savo sprendimo metodais.
Šiame problemų rinkinyje pateikiamos kiekvieno tipo problemos su atsakymais. Kolekcijoje pateikiami išsamūs kiekvieno tipo problemų sprendimai ir pateikiamos užduotys savarankiškam sprendimui. Šis uždavinių pasirinkimas gali būti naudojamas ugdant tokio tipo uždavinių sprendimo įgūdžius ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui, vieningam valstybiniam egzaminui ir matematikos olimpiadoms. Kolekcija gali būti naudinga 8-11 klasių mokiniams, mokytojams organizuojant judesio užduočių įtvirtinimą ir kartojimą tiek pamokoje, tiek popamokinėje veikloje.
1 skyrius
Apskritimo judėjimo problemos§1.1 Problemos, susijusios su judėjimu apskritimu, viena kryptimi, vienu metu, iš vieno taško
Užduotis: Iš vieno taško žiedine trasa, kurios ilgis – 14 km, ta pačia kryptimi vienu metu pajudėjo du automobiliai. Pirmojo automobilio greitis siekia 80 km/h, o praėjus 40 minučių po starto jis vienu ratu lenkė antrąjį. Raskite antrojo automobilio greitį. Atsakymą pateikite km/val.
Sprendimas:
Greitis
Laikas
Atstumas
1-as automobilis
80 km/val
80*= km
2-as automobilis
X km/val
x ⋅ km
Žinodami, kad per 2/3 valandos pirmasis automobilis įveikė ratą, tai yra 14 km daugiau nei antrasis, sukurkime lygtį.
X ⋅ +14;
2x=160 −14 ⋅ 3;
x=59 .
Atsakymas: 59 km/val
1. Du bėgikai vienu metu startuoja ta pačia kryptimi iš tos pačios vietos žiedinėje trasoje kelių ratų lenktynėse. Po valandos, kai vienam iš jų iki pirmojo rato pabaigos liko 1 km, jam buvo pranešta, kad antrasis bėgikas pirmąjį ratą įveikė prieš 20 minučių. Raskite pirmojo bėgiko greitį, jei žinoma, kad jis yra 8 km/h mažesnis už antrojo greitį (13)(. )
2. Lenktynėse du vairuotojai. Jiems teks nuvažiuoti 60 ratų 3 km ilgio žiedine trasa. Abu lenktynininkai startavo vienu metu, o pirmasis finišą pasiekė 10 minučių anksčiau nei antrasis. Koks buvo antrojo vairuotojo vidutinis greitis, jei žinoma, kad pirmasis vairuotojas antrąjį vairuotoją aplenkė po 15 minučių? Atsakymą pateikite km/val. (108) ( )
3. Du vairuotojai turės nuvažiuoti 85 ratus aplink 8 km ilgio žiedinę trasą. Abu lenktynininkai startavo vienu metu, o pirmasis finišą pasiekė 17 minučių anksčiau nei antrasis. Koks buvo antrojo vairuotojo vidutinis greitis, jei žinoma, kad pirmas vairuotojas antrąjį pirmą kartą aplenkė po 48 minučių? Atsakymą pateikite km/val.
(150)( )
4. Du vairuotojai turės nuvažiuoti 68 ratus aplink 6 km ilgio žiedinę trasą. Abu lenktynininkai startavo vienu metu, o pirmasis finišą pasiekė 15 minučių anksčiau nei antrasis. Koks buvo antrojo vairuotojo vidutinis greitis, jei žinoma, kad pirmas vairuotojas antrą kartą aplenkė po 60 minučių? Atsakymą pateikite km/val.
(96 )( )
5.
Du taškai, judantys ratu ta pačia kryptimi, susitinka kas 12 minučių, o pirmasis apvažiuoja ratą 10 sekundžių greičiau nei antrasis. Kurią apskritimo dalį kiekvienas taškas apima per 1 s (1/80 ir 1/90 apskritimo)
)
§1.2. Problemos, susijusios su judėjimu apskritimu, viena kryptimi, vienu metu iš diametraliai priešingų taškų
Užduotis: Du motociklininkai vienu metu startuoja ta pačia kryptimi iš dviejų diametraliai priešingų taškų žiedinėje trasoje, kurios ilgis – 14 km. Per kiek minučių motociklininkai pirmą kartą susitiks vienas su kitu, jei vieno iš jų greitis 21 km/h didesnis už kito?
Sprendimas:
Greitis
Laikas
Atstumas
1-as motociklininkas
X km/val
t h
xt km
2-as motociklininkas
X + 21 km/val
t h
(x+21)t km
Tegul motociklininkai būna kelyje tiek pat laiko lygūs t
valandų. Kad motociklininkai pasivytų, greitesnis turi įveikti iš pradžių juos skiriantį atstumą, lygų pusei trasos ilgio, tai yra 14:2 = 7 km. Todėl antrojo motociklininko nueitas kelias yra 7 km ilgesnis nei pirmojo:
(x+21)t-xt=7;
21t=7
t=h
Taigi motociklininkai vienas kitą pasieks per t= valandas arba per 20 minučių.
Pateikime kitą sprendimą
Greitas motociklininkas, palyginti su lėtu, juda 21 km per valandą greičiu ir turi įveikti juos skiriančius 7 km. Todėl jam tai padaryti prireiks trečdalio valandos.
Atsakymas: 20 min
Užduotys savarankiškam sprendimui:
6.Du motociklininkai vienu metu startuoja ta pačia kryptimi iš dviejų diametraliai priešingų taškų žiedinėje trasoje, kurios ilgis – 22 km. Po kiek minučių motociklininkai susitiks pirmą kartą, jei vieno iš jų greitis bus 20 km/h didesnis nei kito (33)(https://www.metod-kopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-? 59657.htm)
7. Du motociklininkai vienu metu startuoja ta pačia kryptimi iš dviejų diametraliai priešingų taškų žiedinėje trasoje, kurios ilgis yra 5 km. Kiek minučių užtruks, kol motociklininkai pirmą kartą susitiks vienas su kitu, jei vieno iš jų greitis 5 km/h didesnis už kito greitį? (30) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
8 . Du motociklininkai vienu metu startuoja ta pačia kryptimi iš dviejų diametraliai priešingų taškų žiedinėje trasoje, kurios ilgis – 14 km. Per kiek minučių motociklininkai pirmą kartą susitiks vienas su kitu, jei vieno iš jų greitis 21 km/h didesnis už kito? (20)
9 . Du motociklininkai vienu metu startuoja ta pačia kryptimi iš dviejų diametraliai priešingų taškų žiedinėje trasoje, kurios ilgis – 27 km. Kiek minučių užtruks, kol motociklininkai pirmą kartą susitiks vienas su kitu, jei vieno iš jų greitis 27 km/h didesnis už kito? (trisdešimt)
10. Du motociklininkai vienu metu startuoja ta pačia kryptimi iš dviejų diametraliai priešingų taškų žiedinėje trasoje, kurios ilgis 6 km. Kiek minučių užtruks, kol motociklininkai pirmą kartą susitiks vienas su kitu, jei vieno iš jų greitis 9 km/h didesnis už kito greitį? (20)
§1.3. Problemos, susijusios su judėjimu ratu, viena kryptimi, skirtingu laiku iš vieno taško
Užduotis: Žiedinio tako A tašką išvažiavo dviratininkas, o po 30 minučių jį nusekė motociklininkas. Praėjus 10 minučių po išvykimo, jis pirmą kartą pasivijo dviratininką, o dar po 30 minučių – antrą kartą. Raskite motociklininko greitį, jei maršruto ilgis yra 30 km. Atsakymą pateikite km/val.
Sprendimas:
Greitis
Laikas
Atstumas
1 susitikimas
Dviratininkas
X km/val
40min=val
Motociklininkas
4X km/val
10 min=val
2 susitikimas
Dviratininkas
X km/val
Motociklininkas
4X km/val
Iki pirmojo lenkimo motociklininkas per 10 minučių nuvažiavo tiek pat, kiek dviratininkas per 40 minučių, todėl jo greitis yra 4 kartus didesnis. Todėl jei dviratininko greitis bus imtas x km/h, tai motociklininko greitis bus 4x km/h, o jų artėjimo greitis – 3x km/h.
Kita vertus, antrą kartą motociklininkas dviratininką pasivijo per 30 minučių, per tą laiką nuvažiavo 30 km daugiau. Vadinasi, jų artėjimo greitis yra 60 km/h.
Taigi, 3x=60 km/val., nuo kurių dviratininko greitis yra 20 km/val., o motociklininko – 80 km/val.
Atsakymas: 80 km/val.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
11 . Iš taškoIš žiedinės trasos išvažiavo dviratininkas, o po 10 minučių jį nusekė motociklininkas. Praėjus 2 minutėms po išvykimo, jis pirmą kartą pasivijo dviratininką, o po 3 minučių – antrą kartą. Raskite motociklininko greitį, jei maršruto ilgis yra 5 km. Atsakymą pateikite km/val. (6) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm
12. Iš taškoIš žiedinės trasos išvažiavo dviratininkas, o po 40 minučių jį nusekė motociklininkas. Praėjus 8 minutėms po išvykimo, jis pirmą kartą pasivijo dviratininką, o po to dar 36 minutes – antrą kartą. Raskite motociklininko greitį, jei maršruto ilgis yra 30 km. Atsakymą pateikite km/val. (60) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
13. Žiedinės trasos tašką „A“ išvažiavo dviratininkas, o po 50 minučių jį nusekė motociklininkas. Praėjus 10 minučių po išvykimo, jis pirmą kartą pasivijo dviratininką, o dar po 18 minučių – antrą kartą. Raskite motociklininko greitį, jei maršruto ilgis yra 15 km. Atsakymą pateikite km/val.(60)
14. Žiedinės trasos tašką „A“ išvažiavo dviratininkas, o po 30 minučių jį nusekė motociklininkas. Praėjus 8 minutėms po išvykimo, jis pirmą kartą pasivijo dviratininką, o dar po 12 minučių – antrą kartą. Raskite motociklininko greitį, jei maršruto ilgis yra 15 km. Pateikite savo atsakymą km/h (95)
15. Žiedinės trasos tašką „A“ išvažiavo dviratininkas, o po 40 minučių jį nusekė motociklininkas. Praėjus 10 minučių po išvykimo, jis pirmą kartą pasivijo dviratininką, o dar po 36 minučių – antrą kartą. Raskite motociklininko greitį, jei maršruto ilgis yra 36 km. Atsakymą pateikite km/val.(75)
§1.4. Problemos, susijusios su judėjimu apskritimu, priešingomis kryptimis, tuo pačiu metu iš vieno taško
Z pragaras acha 1: Tam tikras taškas A paimtas iš šio taško vienu metu išeina išilgai nurodyto apskritimo priešingomis kryptimis. Jų susitikimo metu paaiškėjo, kad pirmasis kūnas nukeliavo 10 metrų daugiau nei antrasis. Be to, pirmasis kūnas į tašką A atvyko po 9 sekundžių, o antrasis – po 16 sekundžių po susitikimo. Nustatykite apskritimą metrais.
Sprendimas:
Laikas
Atstumas
1 taškas
X km/val
t h
xt km
2 taškas
y km/h
t h
Ytkm
Tegul x yra vieno taško, judančio pagal laikrodžio rodyklę, greitis, o y – antrojo. Tada prieš susitikimą pirmasis taškas nukeliaus atstumą xt, o antrasis – atstumą yt.
Sutikus pirmąjį tašką į starto tašką, reikia nueiti tą patį atstumą, kurį nuėjo antrasis prieš susitikimą, o pirmas taškas praleidžia šį laiką lygus 10 s, o antrasis, atvirkščiai, turi eiti atstumas, kurį pirmasis nuėjo iki susitikimo, o šį laiką praleidžia 16 val. Gauname tokias lygybes:
Xt = 16 m
Yt = 9x
Išreikškime laiką, per kurį taškai pajuda, kol susitinka t
t= =
Iš kur mes tai gauname?
x=
Pagal būklę pirmasis kūnas nukeliavo 10 m daugiau nei antrasis, t
16y-9x=10
Mes pakeičiame vieną iš šios lygties nežinomųjų:
16 y-12 y =10
Ir randame Y=2.5 iš kur x= .
Bendras apskritimo ilgis: 70
Atsakymas: apimtis 70 m.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
16. Du kūnai, judantys skirtingomis kryptimis 500 m ilgio apskritimu pastoviu greičiu, susitinka kas 125 sekundes. Judant viena kryptimi, pirmasis kūnas pasiveja antrąjį kas 12,5 sekundės. Raskite kiekvieno kūno greitį. (22 ir 18)
17. Nuo apskritimo taško A du kūnai vienu metu pradeda tolygiai judėti priešingomis kryptimis. Kol jie susitiks, pirmasis kūnas nukeliauja 100 metrų daugiau nei antrasis ir grįžta į tašką A praėjus 9 minutėms po susitikimo. Raskite kelio ilgį metrais, jei antrasis kūnas grįžta į tašką A praėjus 16 minučių po susitikimo. (700)
18. Du kūnai, judantys ratu viena kryptimi, susitinka kas 112 minučių, o judantys priešingomis kryptimis – kas 16 minučių. Antruoju atveju atstumas tarp kūnų sumažėjo nuo 40 m iki 26 m per 12 s. Kiek metrų per minutę nukeliauja kiekvienas kūnas ir kokia jo apimtis (1120 m; 40 m/min, 30 m/min)?
19. V 2.4
20. V 2.4
2 skyrius
Išsiplėtusių kūnų judėjimo problemos
§2.1. Problemos, susijusios su dviejų išplėstų kūnų judėjimu viena kryptimi
Užduotis: Du sausakrūviai plaukia jūra lygiagrečiais kursais viena kryptimi: pirmasis yra 130 metrų ilgio, antrasis - 120 metrų. Iš pradžių antrasis krovininis laivas atsilieka nuo pirmojo, o tam tikru momentu atstumas nuo pirmojo krovininio laivo laivagalio iki antrojo laivagalio yra 600 metrų. Po 11 minučių pirmasis krovininis laivas atsilieka nuo antrojo taip, kad atstumas nuo antrojo krovininio laivo laivagalio iki pirmojo laivapriekio yra 800 metrų. Kiek kilometrų per valandą yra mažesnis nei antrojo krovininio laivo greitis (http://www.ug.ru/method_article/519)
Sprendimas:
Laikas
Atstumas
2 - 1
X m/min
11 min
600+130+120+800= 1650 m
Krovininio laivo laivapriekio 2 nuvažiuotas atstumas lygus: pradiniam atstumui nuo krovininio laivo laivapriekio 2 iki laivagalio 1(600) + ilgis 1(130) + ilgis 2(120) + galutinis atstumas nuo lankas 1 iki laivagalio 2(800) = 1650 m
V=S:t
V = 1650: 11 = 150 m/min = 9 km/h
Atsakymas: 9 km/val
Užduotys savarankiškam sprendimui:
21. Keleiviniai ir prekiniai traukiniai važiuoja dviem lygiagrečiais geležinkelio bėgiais ta pačia kryptimi atitinkamai 80 km/h ir 50 km/h greičiu. Prekinio traukinio ilgis – 800 metrų. Raskite keleivinio traukinio ilgį, jei krovininis traukinys pravažiuoja 2 minutes. Atsakymą pateikite metrais. (200)
22. Du sausakrūviai plaukia lygiagrečiais kursais ta pačia kryptimi per jūrą: pirmasis yra 110 metrų ilgio, antrasis - 70 metrų. Iš pradžių antrasis krovininis laivas atsilieka nuo pirmojo, o tam tikru momentu atstumas nuo pirmojo krovininio laivo laivagalio iki antrojo laivagalio yra 200 metrų. Po 8 minučių pirmasis krovininis laivas atsilieka nuo antrojo taip, kad atstumas nuo antrojo krovininio laivo laivagalio iki pirmojo laivapriekio yra 500 metrų. Kiek kilometrų per valandą pirmojo krovininio laivo greitis mažesnis už antrojo? (6.6)
( )
23. Dvi baržos eina lygiagrečiais kursais ta pačia kryptimi per jūrą: pirmoji yra 70 metrų ilgio, antroji yra 30 metrų ilgio. Pirma, antroji barža atsilieka nuo pirmosios, o tam tikru momentu atstumas nuo pirmosios baržos laivagalio iki antrosios laivagalio yra 250 metrų. Po 14 minučių pirmoji barža atsilieka nuo antrosios taip, kad atstumas nuo antrosios baržos laivagalio iki pirmosios laivagalio yra 350 metrų. Kiek kilometrų per valandą pirmosios baržos greitis mažesnis už antrosios? (3)
( )
24. Dvi baržos eina lygiagrečiais kursais ta pačia kryptimi per jūrą: pirmoji yra 60 metrų ilgio, antroji - 40 metrų. Pirma, antroji barža atsilieka nuo pirmosios, o tam tikru momentu atstumas nuo pirmosios baržos laivagalio iki antrosios laivagalio yra 200 metrų. Po 18 minučių pirmoji barža atsilieka nuo antrosios taip, kad atstumas nuo antrosios baržos laivagalio iki pirmosios laivagalio yra 300 metrų. Kiek kilometrų per valandą pirmosios baržos greitis mažesnis už antrosios? (2.1)
( )
25 . Du sausakrūviai plaukia lygiagrečiais kursais ta pačia kryptimi per jūrą: pirmasis yra 120 metrų ilgio, antrasis - 80 metrų. Iš pradžių antrasis krovininis laivas atsilieka nuo pirmojo, o tam tikru momentu atstumas nuo pirmojo krovininio laivo laivagalio iki antrojo laivagalio yra 400 metrų. Po 12 minučių pirmasis krovininis laivas atsilieka nuo antrojo taip, kad atstumas nuo antrojo krovininio laivo laivagalio iki pirmojo laivapriekio yra 600 metrų. Kiek kilometrų per valandą pirmojo krovininio laivo greitis mažesnis už antrojo? (6)
( )
§3
Skaitmeninio skaičių rašymo problemos
1 užduotis: Raskite mažiausią keturženklį skaičių, 11 kartotinį, kurio skaitmenų sandauga yra 12.
Sprendimas:
Skaičius turi būti kartotinis iš 11, tai yra, skirtumas tarp skaitmenų lyginėse ir skaitmenų nelyginėse padėtyse yra 11 kartotinis. Apsvarstykite atvejį, kai jų skirtumas yra 0. Atkreipkite dėmesį, kad 0 neturėtų atsirasti, nes padauginus iš 0 gauname 0 Kadangi skaičius yra mažiausias, imkime pirmąjį skaitmenį 1. Skaičius bus 1bcd. Taigi 1 + c = b + d ir c×b×d=12. Be to, jei įsivaizduosime 12 kaip 3 skaičių sandaugą, gausime 12 = 2×3×2, o 2+2 = 3+1 ir gausime 1232
Atsakymas: 1232
Užduotys savarankiškam sprendimui:
26. Raskite keturženklį skaičių, kuris yra 22 kartotinis, kurio skaitmenų sandauga yra 40. Atsakyme nurodykite vieną tokį skaičių.
27. Raskite keturženklį skaičių, kuris yra 22 kartotinis, kurio skaitmenų sandauga yra 60. Atsakyme nurodykite vieną tokį skaičių.
28. Raskite keturženklį skaičių, kuris yra 18 kartotinis, kurio skaitmenų sandauga yra 24. Atsakyme nurodykite vieną tokį skaičių.
29. Raskite keturženklį skaičių, kuris yra 33 kartotinis, kurio skaitmenų sandauga yra 40. Atsakyme nurodykite vieną tokį skaičių.
30. Raskite mažiausią keturženklį skaičių, 11 kartotinį, kurio skaitmenų sandauga yra 12
2 užduotis: Raskite šešiaženklį natūralųjį skaičių, kuris rašomas tik kaip 1 ir 0 ir dalijasi iš 24.
Sprendimas:
Kad skaičius dalytųsi iš 24, jis turi dalytis iš 3 ir 8.
Skaičius dalijasi iš 8, jei paskutiniai trys jo skaitmenys sudaro skaičių, dalijamą iš 8.
Skaičius, kurio ieškote, rašomas tik nuliais ir vienetais, o tai reiškia, kad jis baigiasi 000. Skaičius dalijasi iš 3, jei jo skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3. Kadangi paskutiniai trys skaičiaus skaitmenys yra nuliai, pirmieji trys turi būti vienetai. Taigi vienintelis problemos sąlygas tenkinantis skaičius yra skaičius 111 000.
Atsakymas: 111000
Užduotys savarankiškam sprendimui:
31. Raskite šešiaženklį natūralųjį skaičių, kuris rašomas tik iš 2 ir 0 ir dalijasi iš 120. Atsakyme nurodykite vieną tokį skaičių.
32. Raskite šešiaženklį natūralųjį skaičių, kuris rašomas tik iš 1 ir 5 ir dalijasi iš 45. Atsakyme nurodykite vieną tokį skaičių.
33. Raskite šešiaženklį natūralųjį skaičių, kuris rašomas tik kaip 2 ir 3 ir dalijasi iš 6.
34. Raskite šešiaženklį natūralųjį skaičių, kuris gali būti parašytas tik kaip 7 ir 3 ir dalijasi iš 11.
35. Raskite šešiaženklį natūralųjį skaičių, kurį galima parašyti tik kaip 3, 4, 9 ir 5 ir kuris dalijasi iš 9.
36. Raskite mažiausią natūralųjį skaičių, dalijantį iš 36, kurio žymėjime yra visi 10 skaitmenų.
37. Raskite šešiaženklį natūralųjį skaičių, dalijantį iš 47, kurį galima parašyti tik iš 2, 8 ir 0.
3 užduotis: Triženklio natūralaus skaičiaus A skaitmenų suma dalijama iš 12. Skaičiaus A+6 skaitmenų suma taip pat dalinama iš 12. Raskite mažiausią įmanomą skaičių A.
Sprendimas: Patogumui paskambinkime savo numeriu abc. Kiekviena raidė žymi atskirą skaičiaus A skaitmenį: a – šimtai, b – dešimtys, c – vienetai. Skaičių a + b + c suma turi dalytis iš 12. Tarkime, kad taip ir yra, ir pabandykime pasirinkti tokį skaičių A + 6, kad jo skaitmenų suma taip pat dalytųsi iš 12. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiaus A + 6 skaitmenų suma turi skirtis nuo skaičiaus A skaitmenų sumos iš 12, 24, ... Priešingu atveju ji nebus dalijama iš 12. Apsvarstykite visus galimus variantus:
1 variantas. Jei c<4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно: A + 6 = ab(c + 6) Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.
2 variantas. Jei c ≥ 4 ir b<9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно: A + 6 = a(b + 1)(c - 4) Разряд единиц получен следующим образом: c + 6 - 10 = c - 4 То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4. Сумма цифр этого числа равна a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3 Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.
3 variantas. Jei c ≥ 4, b = 9, a<9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно: A + 6 = (a + 1)0(c - 4) Сумма цифр нового числа равна: a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 Сумма цифр числа A при b = 9 равна: a + 9 + c получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.
4 variantas. Jei c ≥ 4, b = 9, a = 9, tai naujas skaičius A + 6 bus lygus: A + 6 = 100(c - 4) Šio skaičiaus skaitmenų suma yra: 1 + 0 + 0 + c - 4 = c - 3 Skaičiaus A, kurio a = 9 ir b = 9, skaitmenų suma yra lygi: 9 + 9 + c = c + 18 Pasirodo, šie 2 skaičiai skiriasi 21 (18 - (-3)). Ši parinktis neveiks. Taigi abc skaitmenys turi sutapti su c ≥ 4, b = 9, a< 9. Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24. Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты: c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра c = 5 и a = 10 - тоже c = 6 и a = 9, то есть число равно 996 c = 7 и a = 8, то есть число равно 897 c = 8 и a = 7, то есть число равно 798 c = 9 и a = 6, то есть число равно 699. Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно: 6 + 9 + 9 = 24; 24 / 12 = 2; 699 + 6 = 705; 7 + 0 + 5 = 12; 12 / 12 = 1
Atsakymas: 699
Užduotys savarankiškam sprendimui:
38. Natūralaus triženklio skaičiaus A skaitmenų suma dalijasi iš 13. Skaičiaus A+5 skaitmenų suma taip pat dalijasi iš 13. Raskite tokį skaičių A.
39. Natūralaus triženklio skaičiaus A skaitmenų suma dalijasi iš 12. Skaičiaus A+6 skaitmenų suma taip pat dalijasi iš 12. Raskite mažiausią skaičių A, kuris tenkina sąlygą A › 700.
40. Raskite triženklį skaičių A, kuris turi visas šias savybes:
skaičiaus A skaitmenų suma dalijama iš 6
A+3 skaitmenų suma taip pat dalijasi iš 6
skaičius A yra didesnis nei 350 ir mažesnis nei 400
Atsakyme nurodykite vieną tokį skaičių.
§4
Problemos, susijusios su skaičių perbraukimu ir pridėjimu
1 užduotis: Nubraukite tris skaitmenis skaičiuje 123456, kad gautas skaičius dalytųsi iš 27. Atsakyme nurodykite skaičių.
Sprendimas:
Pradėkime nuo skaičių, kurie prasideda skaičiumi 1, kad tvarka nebūtų pažeista:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.
Tarp šių skaičių 135 dalijasi iš 27 (13–8·5= –27)
Tada patikriname skaičius, prasidedančius skaičiumi 2:
234, 235, 236, 245, 246, 256
Tikriname skaičius, prasidedančius 3:
345, 346, 356.
Nė vienas skaičius nesidalija iš 27.
Pereikime prie skaičių, prasidedančių skaičiumi 4.
456: nesidalija iš 27.
Taigi gauname skaičių 135
Atsakymas: 135
Užduotys savarankiškam sprendimui:
41. Nubraukite tris skaitmenis skaičiuje 123456, kad gautas skaičius dalytųsi iš 35. Atsakyme nurodykite skaičių.
42. Nubraukite tris skaitmenis skaičiuje 123456, kad gautas skaičius dalytųsi iš 5. Atsakyme nurodykite skaičių.
43. Nubraukite tris skaitmenis skaičiuje 85417627, kad gautas skaičius dalytųsi iš 18. Atsakyme nurodykite tiksliai vieną gautą skaičių.
44. Nubraukite tris skaitmenis skaičiuje 141565041, kad gautas skaičius dalytųsi iš 30. Atsakymas yra prašome nurodyti tiksliai vienas gautas skaičius.
45. Nubraukite skaičių 181615121 sudaro trys skaitmenys, todėl gautas skaičius dalijasi iš 12. Atsakyme nurodykite vieną tokį skaičių.
2 užduotis: Prie skaičiaus 26 pridėkite skaičius kairėje ir dešinėje, kad gautas skaičius būtų 45 kartotinis.
Sprendimas:
Šio skaičiaus skaitmenų suma turi dalytis iš 9, pats skaičius turi dalytis iš 5, vadinasi, paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5, tada pasirenkame pirmąjį skaitmenį.
1260 ir 5265.
Atsakymas: 1260 arba 5262
Užduotys savarankiškam sprendimui:
46. Skaičiaus 374 kairėje ir dešinėje pridėkite po vieną skaitmenį, kad gautas skaičius dalytųsi iš 45.
47. Pridėkite po vieną skaitmenį kairėje ir dešinėje nuo 1022, kad gautas šešiaženklis skaičius dalytųsi iš 7, 8, 9.
48. Skaičiaus 15 kairėje ir dešinėje pridėkite po vieną skaitmenį, kad gautas skaičius dalytųsi iš 15.
49. Pridėkite vieną skaitmenį kairėje ir dešinėje skaičiaus 10, kad gautumėte skaičių, kuris yra 72 kartotinis.
50. Prie skaičiaus 2012 pridėkite du skaitmenis dešinėje, kad gautas šešiaženklis skaičius dalytųsi iš 36.
Atsakymai į problemas:
1. 1125
2. 1044
3. 1245
4. 3225
5. 4312
6. 6
7. 5
8. 3
9. 321 0
10. 3211
11. 11
12. 5
13. 1152
14. 1152
15. 2120
16. 20
17. 20
18. 10
19. 35
20. 10
21. 30
22. 24
23. 25
24. 24
25. 54
26. 1254
27. 2156
28. 3222
29. 2541
30. 1232
31. 222000
32. 111555
33. 333222
34. 377333
35. 333459
36. 1023457896
37. 282000
38. 899
39. 798
40. 369
41. 245
42. 12345
43. 54162
44. 115650
45. 181512
46. 43740
47. 910224
48. 1155
49. 4104
50. 420120
Bibliografija:
1) Mokyklos žinios – portalas [Elektroninis išteklius]. - Prieigos režimas: https://znanija.com/task/, nemokamas. - Pavadinimas iš ekrano.
2) Paštas. ru- portalas [Elektroninis išteklius]. - Prieigos režimas: https://otvet.mail.ru/question/, nemokama. - Pavadinimas iš ekrano.
3) Vieningas valstybinis egzaminas: 4000 uždavinių su atsakymais iš matematikos. Visos užduotys yra „Uždaras segmentas“. Pagrindiniai ir profilio lygiai / I. V. Yashchenko, I. R. Vysotsky, A. V. Zabelin, P. I. Zakharov, S. L. Krupetsky, V. B. Nekrasov, M. A. Positselskaya, S. E. Positselsky, E. A. Semenko, A. V. Semenov, V. N. .., V. N. A. Chovanskaja, S. A. Šestakovas, D. E. Shnol; Redaguota I. V. Jaščenka. – M.: Leidykla „Egzaminas“, 2015. – 686, p. (Serija „Vieningas valstybinis egzaminų bankas“)
4) Matematika – portalas [Elektroninis išteklius]. - Prieigos režimas: http://mathematichka.ru/, nemokama. - Pavadinimas iš ekrano.
5) Matematikos olimpiadų uždaviniai / I. L. Babinskaja. – M.: Leidyklos „Nauka“ pagrindinė fizinės ir matematinės literatūros redakcija, 1975. – 109, p.
6) Atviras vieningo valstybinio egzamino matematikos uždavinių bankas – portalas [Elektroninis išteklius]. - Prieigos režimas: http://base.mathege.ru/, nemokama. - Pavadinimas iš ekrano.
7) Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui – egzaminai vietoje – portalas [Elektroninis išteklius]. - Prieigos režimas: http://worksbase.ru/, nemokama. - Pavadinimas iš ekrano.
238 sprendimo variantas Larin Unified State Exam 2018. Detali 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 užduočių analizė iš svetainės alexlarin.net. Alexas Larinas 238 laikas: 7-12)5:34 13)15:15 14)18:05 15)26:51 Twitter:https://twitter.com/mrMathlesson
VK grupė: https://vk.com/mr.mathlesson
Interneto svetainė:
Užduočių pavyzdžiai: 1) Baseinas yra stačiakampio gretasienio formos. Jo ilgis, plotis ir gylis yra atitinkamai 25 m, 12 m ir 2 m Baseino dugnui ir sienoms iškloti buvo nuspręsta įsigyti plyteles už 500 rublių. vienam kvadratiniam metrui. Kiek rublių kainuos pirkinys, jei papildomai planuojama iš tų pačių plytelių per visą baseino perimetrą nutiesti stačiakampį 1 m pločio taką? 2) Grafike parodytas slėgio pokytis garo turbinoje po paleidimo. Abscisių ašyje laikas rodomas minutėmis, o ordinačių ašyje – slėgis atmosferoje. Iš grafiko nustatykite, kiek minučių praėjo nuo turbinos pradžios iki momento, kai slėgis pirmą kartą pasiekė aukščiausią vertę. 3) Raskite trikampio ABC plotą, jei langelio kraštinė yra 4. 4) Ant prekystalio yra 8 identiškos pirštinių poros, tačiau viena pora turi defektą abiejų pirštinių viduje, kuris yra nematomas iš išorės. Montavimo metu buvo sumaišytos visos pirštinės. Pardavėjas visas pirštines atsitiktinai suskirstė į 4 grupes po 4 vnt. Kokia tikimybė, kad abi sugedusios pirštinės priklauso tai pačiai grupei? 5) Išspręskite lygtį. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakykite mažesne šaknimi. 6) Raskite smailųjį kampą tarp stačiojo trikampio smailiųjų kampų bisektorių. Atsakymą pateikite laipsniais. 7) Paveiksle pavaizduotas grafikas y=f"(x) - intervale (-4;10) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinė. Raskite taškų skaičių, kuriame grafiko liestinė y=f (x) yra lygiagreti tiesei y= x arba su ja sutampa 8) Taisyklingos trikampės piramidės aukštis yra tris kartus mažesnis už pagrindo kraštinę Raskite kampą tarp šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos Iš piramidės Pateikite atsakymą laipsniais akmenukų kritimo laikas buvo 1,4 s. Iki kokio minimalaus aukščio vandens lygis po lietaus pasikeistų daugiau nei 0,2 s apskritimo taško A, du kūnai vienu metu pradėtų tolygiai judėti priešingomis kryptimis. Iki susitikimo pirmasis kūnas nukeliauja 200 m toliau nei antrasis ir grįžta į tašką A praėjus 25 minutėms po susitikimo, jei antrasis kūnas grįžta į tašką A praėjus 36 minutėms po susitikimo. 14) Trikampėje piramidėje ABCD visų briaunų ilgiai lygūs. Taškas P yra vienodu atstumu nuo viršūnių A ir D, ir yra žinoma, kad PB = PC, o tiesė PB yra statmena trikampio ACD, nukritusio iš viršūnės D, aukščiui. a) Įrodykite, kad taškas P yra piramidės ABCD aukščių sankirtoje. b) Apskaičiuokite piramidės ABCD tūrį, jei žinoma, kad Nuoroda į pirminį pasirinkimo šaltinį:
#mrMathleson #Larin #Naudojimas #profilis #matematika
Tos pačios formulės galioja: \[(\large(S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv))\]
iš vieno taško viena kryptimi su greičiais \(v_1>v_2\) .
Tada, jei \(l\) yra apskritimo ilgis, \(t_1\) yra laikas, po kurio jie pirmą kartą atsidurs viename taške, tada:
Tai reiškia, kad \(t_1\) pirmasis kūnas nuvažiuos \(l\) didesnį atstumą nei antrasis kūnas.
Jei \(t_n\) yra laikas, po kurio jie atsidurs tame pačiame taške \(n\)-ą kartą, tada galioja formulė: \[(\large(t_n=n\cdot t_1))\ ]
\(\blacktriangleright\) Tegul du kūnai pradeda judėti iš skirtingų taškų ta pačia kryptimi su greičiais \(v_1>v_2\) .
Tada problema lengvai sumažėja iki ankstesnio atvejo: pirmiausia reikia rasti laiką \(t_1\), po kurio jie pirmą kartą atsidurs tame pačiame taške.
Jeigu judėjimo pradžios momentu atstumas tarp jų \(\buildrel\smile\over(A_1A_2)=s\), Tai:
1 užduotis #2677
Užduoties lygis: lengvesnis nei vieningas valstybinis egzaminas
Du sportininkai startuoja ta pačia kryptimi iš diametraliai priešingų taškų žiedinėje trasoje. Jie važiuoja skirtingu, nevienodu greičiu. Yra žinoma, kad tuo metu, kai sportininkai pirmą kartą pasivijo, jie nutraukė treniruotes. Kiek daugiau ratų sportininkas nubėgo didesniu vidutiniu greičiu nei kitas sportininkas?
Pirmiausia pavadinkime sportininką, kurio vidutinis greitis didesnis. Pirmiausia pirmasis sportininkas turėjo nubėgti pusę rato, kad pasiektų antrojo sportininko starto tašką. Po to jis turėjo bėgti tiek, kiek nubėgo antras sportininkas (grubiai tariant, pirmam sportininkui nubėgus pusę rato, prieš susitikimą jis turėjo nubėgti kiekvieną trasos metrą, kurį nubėgo antras sportininkas, ir tiek pat kartų, kai antrasis sportininkas įveikė šį metrą).
Taigi pirmasis sportininkas nubėgo \(0,5\) daugiau ratų.
Atsakymas: 0,5
2 užduotis #2115
Užduoties lygis: lengvesnis nei vieningas valstybinis egzaminas
Katė Murzik bėga ratu nuo šuns Šariko. Murziko ir Šariko greičiai yra pastovūs. Yra žinoma, kad Murzikas bėga \(1,5\) karto greičiau nei Šarikas ir per \(10\) minutes iš viso nubėga du ratus. Kiek minučių Šarikui prireiks nubėgti vieną ratą?
Kadangi Murzikas bėga \(1,5\) karto greičiau nei Šarikas, tai per \(10\) minučių Murzikas ir Šarikas iš viso įveikia tą patį atstumą, kurį Šarikas nubėgtų \(10\cdot (1 + 1,5) ) = 25\) minučių. Vadinasi, Šarikas nubėga du ratus per \(25\) minutes, tada Šarikas vieną ratą nubėga per \(12,5\) minutes
Atsakymas: 12.5
3 užduotis #823
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Iš tolimos planetos žiedinės orbitos taško A du meteoritai vienu metu išskrido ta pačia kryptimi. Pirmojo meteorito greitis yra 10 000 km/h didesnis nei antrojo. Žinoma, kad pirmą kartą po išvykimo jie susitiko po 8 valandų. Raskite orbitos ilgį kilometrais.
Tą akimirką, kai jie susitiko pirmą kartą, jų nuskrietų atstumų skirtumas buvo lygus orbitos ilgiui.
Per 8 valandas skirtumas tapo \(8 \cdot 10000 = 80000\) km.
Atsakymas: 80 000
4 užduotis #821
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Rankinę pavogęs vagis žiediniu keliu bėga nuo rankinės savininko. Vagio greitis yra 0,5 km/h didesnis nei rankinės savininko, kuris bėga iš paskos. Po kiek valandų vagis antrą kartą pasivys rankinės savininką, jei kelio, kuriuo jie bėga, ilgis yra 300 metrų (tarkime, kad jis pirmą kartą pasivijo po rankinės vagystės). rankinė)?
Pirmas būdas:
Antrą kartą vagis pasivys rankinės savininką tuo momentu, kai jo bėgama distancija taps 600 metrų didesnė už atstumą, kurią nubėgs rankinės savininkas (nuo vagystės momento).
Kadangi jo greitis yra \(0,5\) km/h didesnis, tai per valandą jis nubėga 500 metrų daugiau, tada per \(1: 5 = 0,2\) valandas nubėga \(500: 5 = 100\) metrų daugiau. Jis nubėgs 600 metrų daugiau per \(1 + 0,2 = 1,2\) valandas.
Antras būdas:
Tegul \(v\) km/h yra rankinės savininko greitis
\(v + 0,5\) km/h – vagies greitis.
Tegul \(t\) h yra laikas, po kurio vagis antrą kartą pasivys rankinės savininką, tada
\(v\cdot t\) – atstumas, kurį rankinės savininkas nubėgs per \(t\) valandas,
\((v + 0,5)\cdot t\) – atstumas, kurį vagis įveiks per \(t\) valandas.
Antrą kartą vagis rankinės savininkę pasivys tą akimirką, kai šis nubėgs lygiai 2 ratais daugiau nei ji (tai yra \(600\) m = \(0,6\) km), tada \[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,6\qquad\Leftright rodyklė\qquad 0,5\cdot t = 0,6,\] iš kur \(t = 1,2\) h.
Atsakymas: 1.2
5 užduotis #822
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Du motociklininkai vienu metu startuoja iš vieno taško žiedine trasa skirtingomis kryptimis. Pirmojo motociklininko greitis yra dvigubai didesnis nei antrojo. Praėjus valandai po starto, jie susitiko trečią kartą (turėkime galvoje, kad pirmą kartą susitiko po starto). Raskite pirmojo motociklininko greitį, jei kelio ilgis yra 40 km. Atsakymą pateikite km/val.
Tuo metu, kai motociklininkai susitiko trečią kartą, bendras jų nuvažiuotas atstumas buvo \(3 \cdot 40 = 120\) km.
Kadangi pirmojo greitis yra 2 kartus didesnis už antrojo greitį, tai iš 120 km jis nuvažiavo 2 kartus didesnę nei antrojo dalį, tai yra 80 km.
Kadangi trečią kartą susitiko po valandos, pirmasis 80 km nuvažiavo per valandą. Jo greitis yra 80 km/val.
Atsakymas: 80
6 užduotis #824
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Du bėgikai vienu metu startuoja ta pačia kryptimi iš dviejų diametraliai priešingų taškų 400 metrų ilgio apskritoje trasoje. Kiek minučių užtruks, kol bėgikai susitiks pirmą kartą, jei pirmasis bėgikas per valandą nubėgs 1 kilometru daugiau nei antrasis?
Per valandą pirmasis bėgikas nubėga 1000 metrų daugiau nei antrasis, o tai reiškia, kad per \(60: 10 = 6\) minutes jis nubėgs 100 metrų daugiau.
Pradinis atstumas tarp bėgikų yra 200 metrų. Jos bus lygios, kai pirmasis bėgikas nubėgs 200 metrų daugiau nei antrasis.
Tai įvyks per \(2 \cdot 6 = 12\) minučių.
Atsakymas: 12
7 užduotis #825
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Turistas iš miesto M išvyko 220 kilometrų ilgio žiediniu keliu, o po 55 minučių vairuotojas nusekė jį iš miesto M. Praėjus 5 minutėms po išvykimo jis pirmą kartą pasivijo turistą, o dar po 4 valandų – antrą kartą. Raskite turisto greitį. Atsakymą pateikite km/val.
Pirmas būdas:
Po pirmojo susitikimo vairuotojas turistą (antrą kartą) pasivijo po 4 valandų. Iki antrojo susitikimo vairuotojas buvo nuvažiavęs ratą daugiau nei turistas (ty \(220\) km).
Kadangi per šias 4 valandas vairuotojas turistą aplenkė \(220\) km, vairuotojo greitis yra \(220: 4 = 55\) km/h didesnis nei turisto greitis.
Tegu dabar turisto greitis \(v\) km/h, tada jis spėjo paeiti iki pirmo susitikimo \ vairuotojas sugebėjo prasilenkti \[(v + 55)\dfrac(5) (60) = \dfrac(v + 55) (12)\ \text(km).\] Tada \[\dfrac(v + 55)(12) = v,\] iš kur randame \(v = 5\) km/h.
Antras būdas:
Tegul \(v\) km/h yra turisto greitis. Pratimo metu naudojant dydžius, susijusius su atstumu (greičiu, apskritimo ilgiu), juos galima išspręsti sumažinant iki judėjimo tiesia linija. Didžiausius sunkumus moksleiviams Maskvoje ir kituose miestuose, kaip rodo praktika, sukelia sukamaisiais judesiais vieningo valstybinio egzamino metu, kai atsakymo ieškojimas apima kampo naudojimą. Pratimui išspręsti perimetrą galima nurodyti kaip apskritimo dalį. Šias ir kitas algebrines formules galite pakartoti skyriuje „Teorinė pagalba“. Norėdami išmokti juos pritaikyti praktikoje, išspręskite pratimus šia tema „Kataloge“.
Tegul \(w\) km/h yra vairuotojo greitis. Nuo \(55\) minučių \(+ 5\) minučių \(= 1\) valandos, tada
\(v\cdot 1\) km yra atstumas, kurį turistas nuvažiavo iki pirmojo susitikimo. Nuo \(5\) minučių \(= \dfrac(1)(12)\) valandų, tada
\(w\cdot \dfrac(1)(12)\) km – atstumas, kurį vairuotojas nuvažiavo iki pirmojo susitikimo. Atstumai, kuriuos jie nukeliavo prieš pirmąjį susitikimą: \
Per kitas 4 valandas vairuotojas nuvažiavo daugiau nei turistas įveikė ratą (by \(220\)
\
\
į GBOU licėjaus Nr.1535 8 matematikos klasę.1 etapas
1) Raskite išraiškos reikšmę:
Sprendimas:
Paveikslėlyje parodytas turisto judėjimo iš miesto A į miestą B grafikas ir pakeliui jis sustojo. Apibrėžkite:
a) Kokiu atstumu (km) nuo miesto A sustojo turistas?
b) Koks buvo turisto greitis (km/h) po sustojimo?
c) Koks buvo vidutinis turisto greitis (km/h) judant iš A į B? 
Sprendimas: a) atsakymas: 9; b) 18-9=9, 7-5=2, o tai reiškia 9:2=4,5 km/h; c) 18:5=3,6 km/val.
3) Sukelkite daugianarį (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) į standartinę formą/
Sprendimas: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p 2 -16)-p(p 2 - p-16)=p 3 +3p 2 -16p-48- p 3 +p 2 +16p=4p 2 -48
4) Raskite išraiškos lygties šaknį: 8 15: x=4 17 2 6
Sprendimas: 
5) Naudodamiesi paveikslo duomenimis, raskite kampo α laipsnį 
Sprendimas: 136°+44°=180°, vadinasi, linijos lygiagrečios. Todėl ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, vadinasi, ∠α=180°-44°-56°=80°.
6) Kokia yra lygties šaknis? 
Sprendimas: padauginkite visus terminus iš 30, vardikliai panaikins: 
7) Raskite skaitinės išraiškos reikšmę: 
Sprendimas:
8) Jei viena iš gretimų kvadrato kraštinių sumažinama 2 cm, o antroji padidinama 6 cm, tada gausite stačiakampį, kurio plotas lygus stačiakampio plotui, kuris bus gautas iš to paties pradinio kvadrato, jei viena iš gretimų kraštinių nebus pakeista, o kita padidinama 3 cm. Koks (kvadratiniais centimetrais) yra pradinio kvadrato plotas?
Sprendimas. Leisti x- kvadrato pusė. Padarykime lygtį:
(x-2)(x+6)=x(x+3);
x 2 +4x-12=x 2 +3x;
x=12
Pradinio kvadrato plotas yra 12 · 12 = 144 cm 2 .
9) Naudodami formulę apibrėžkite tiesinę funkciją, kurios grafikas 0xy koordinačių sistemoje eina per tašką T(209,908) ir nesikerta su lygties 9x+3y=14 grafiku.
Sprendimas. Perrašykime lygtį į formą 
Bendroji tiesinės funkcijos formulė yra y=kx+b. Jei reikiamos lygties grafikas nesikerta su šios lygties grafiku, tai k=-3. Todėl 908=-3 209 + b, vadinasi, b=1535.
Norimos tiesinės funkcijos formulė: y=-3x+1535
10) Yra 24 kg bendros masės vario ir alavo lydinio gabalas, kuriame yra 45% vario. Kiek kilogramų gryno alavo reikia įpilti į šį lydinio gabalą, kad gautame naujame lydinyje būtų 40 % vario?
Sprendimas. Jei vario ir alavo lydinyje yra 45% vario, tai jame yra 55% alavo. Jei naujame lydinyje yra 40% vario, tai jame yra 60% alavo. Tegu x yra gryno alavo kg, kurį reikia pridėti į lydinį, skaičius. Padarykime lygtį:
0,55 24 + x = 0,6 (x + 24)
x-0,6x=0,6 24-0,55 24
0,4x=0,05 24
x=3
Atsakymas: 3 kg.
Matematikos mokytojo pastaba: Daugiau apie lydinių ir mišinių uždavinių sprendimo būdus galite perskaityti straipsnyje Įvairių lydinių ir mišinių uždavinių sprendimo metodų privalumai ir trūkumai
11) Pagal paveikslą, kuriame pavaizduoti dviejų tiesinių funkcijų ir parabolės grafikai, raskite taško T abscises. 
Sprendimas. Tiesė y=5x ir parabolė y=x 2 susikerta dviejuose taškuose. Raskime šių taškų abscises naudodami lygtį 5x=x 2. Vadinasi, x 1 =0; x 2 =5. Tai reiškia, kad susikirtimo taško ordinatė yra 25
Tiesi linija, kurioje yra taškas T, eina per taškus, kurių koordinatės (5;25) ir (0;27). Bendrosios formos tiesės lygtis: y=kx+b. Pakeitę tiesės taškų koordinates vietoj x ir y, gauname lygčių sistemą: 
Taško T ordinatė lygi nuliui. Vadinasi 
Atsakymas. 67.5.
12) Iš apskrito takelio taško A du objektai vienu metu pradeda tolygiai judėti priešingomis kryptimis. Kol jie susitiks, pirmasis objektas nukeliauja 100 metrų toliau nei antrasis ir grįžta į tašką A praėjus 9 minutėms po susitikimo. Raskite kelio ilgį metrais, jei antrasis objektas grįžta į tašką A praėjus 16 minučių po susitikimo.
Pastaba. Internete galite rasti svetainių, kuriose tokio pobūdžio problemos sprendžiamos naudojant kvadratinę lygtį. Tuo tarpu šis darbas skirtas stojantiems į 8 klasę. Tai yra, išspręsti šią problemą žinant kvadratinę lygtį, kurios mokoma 8 klasėje, yra neteisinga. Nėra prasmės keisti 8 klasės programą siekiant išspręsti 7 klasės mokiniams skirtą problemą. Žemiau pateikiamas sprendimas, kuriam nereikia kvadratinės lygties
Sprendimas. Tegu t laikas iki objektų susitikimo, v 1 – pirmojo objekto greitis, v 2 – antrojo objekto greitis.
Tada v 1 · t - v 2 · t = 100, nes susitikimo momentu pirmasis objektas pravažiavo dar 100 m. Kadangi v 2 t yra kelias, kurį nuėjo 1-asis objektas po susitikimo, v 1 yra jo greitis ir jis grįžo į tašką A po 9 minučių, galime sukurti lygtį
taip pat
. Trys lygtys sudaro trijų lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais: 
1-ąją lygtį padalinkime iš 2-osios. Tai paaiškės: 
kur
Taigi,
Pakeitę šią išraišką į pirmąją lygtį, gauname t=12 min
Paskutinę išraišką ir t=12 pakeitę trečiąja sistemos lygtimi, gauname: 
iš čia 
Pagal sąlygą maršruto ilgį metrais galima nustatyti pridedant pirmojo objekto kelią į susitikimą ir antrojo objekto kelią į susitikimą. Tai yra 
Atsakymas. 700 metrų
13) MNKL kvadrato ML pusėje sukonstruotas lygiakraštis trikampis MPL, kurio taškas P yra kvadrato viduje. Raskite kampo LPK laipsnio matą.
Sprendimas 
Pagal sąlygą ML=PL=KL; trikampis PLM yra lygiakraštis, o tai reiškia, kad visi kampai lygūs 60°, tai reiškia ∠ PLK=30°. Taigi, ∠LPK=(180°-30°): 2=75°.
14) Faktorizuoti: (sprendimai rašomi iš karto)
Aleksandras Anatoljevičius, matematikos mokytojas. 8-968-423-9589. Turiu sėkmingos patirties ruošiant mokinius šiam licėjui, taip pat 8-oje matematikos specializacijos klasėje ir kitų specializacijų klasėse. Besiruošiantiems stoti į licėjų Nr.1535, kaip ir į kitus licėjus, svarbu suprasti, kad realūs stojamųjų egzaminų variantai kiek skiriasi nuo parodomųjų. Todėl būtina mokėti spręsti kitas panašias užduotis.
