Pasirenkamasis matematikos kursas „absoliuti vertė“. Mokomasis portalas Lygtys, kuriose yra absoliučios reikšmės ženklas

Pratimai savarankiškam darbui:

Išspręskite nelygybes:

№3. <3х–3,

Nr. 4. x 2 -3+2>0,

Nr. 5. x 2 x<3,

Nr. 6. x 2 -6x+7-<0,

Nr.7. 3+x2 –7>0,

№8. >.

Pamoka Nr.7. Nelygybių, turinčių absoliučią reikšmę, sprendimas su parametrais.

Pavyzdys. Kokiomis vertybėmis A nelygybė tiesa: ah 2 +4+a+3<0 ?

At x0 mes turime ah 2 +4x+a+3<0 . Senjorų koeficientas A turi būti neigiamas, diskriminantas turi būti mažesnis už nulį.

A<0, Д=16–4a (a+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; A<-4 Ir a>1;

parabolės viršūnės abscisė x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, kur A<-4 .

At X<0 mes turime ah 2 –4x+a+3<0 . Ginčiuodami panašiai, gauname: A<-4 .

Atsakymas: kada A<-4 ši nelygybė galioja visoms tikrosioms x reikšmėms.

Pratimai savarankiškam darbui:

Išspręskite nelygybes su parametrais:

Nr. 2. (ha)<0,

Nr. 3. Ar yra a reikšmių, kurioms taikoma nelygybė ah 2 > 2+5 neturi sprendimų?

8 - 9 pamokos. Intervalinis metodas lygtims ir nelygybėms, turinčioms modulį, spręsti.

Panagrinėkime intervalų metodą naudodamiesi lygties sprendimo pavyzdžiu

-+3-2=x+2.

Norint išspręsti šią nelygybę, būtina išplėsti modulius. Norėdami tai padaryti, pasirenkame intervalus, kurių kiekvienoje išraiškos po modulio ženklu įgauna tik teigiamas arba neigiamas reikšmes. Tokių intervalų radimas pagrįstas teorema: jei intervale (a; b) funkcija f yra ištisinė ir neišnyksta, tai šiame intervale ji išlaiko pastovų ženklą.

Norėdami paryškinti pastovaus ženklo intervalus, randame taškus, kuriuose po moduliu parašytos išraiškos tampa nuliais:

x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

Gauti taškai padalins liniją į reikiamus intervalus. Apibrėžkime posakių ženklus

x+1, x, x–1, x–2 šiais intervalais:

Atsižvelgdami į ženklus, išplėsime modulius. Dėl to gauname sistemų rinkinį, lygiavertį šiai lygčiai:

Paskutinis rinkinys sumažinamas iki formos:

Sistemų aibės ir šios lygties sprendinys: -2; X 2.

Naudojama technika vadinama intervalo metodas. Jis taip pat naudojamas sprendžiant nelygybes.

Išspręskite nelygybę: +x–2<0.

1) Raskite išraiškos nulius: x 2-3x.

x 1 = 0, x 2 = 3.

2) Padalinkime koordinačių liniją į intervalus ir nustatykime išraiškos ženklą x 2-3x kiekvienu intervalu:

3) Išplėskime modulį:

Pirmosios sistemos sprendimas: , antrosios sprendinys. Šios nelygybės sprendimas: .

Pratimai savarankiškam darbui:

№3

10 - 11 pamoka. Formos nelygybių sprendimas , per lygiaverčius perėjimus.

Panagrinėkime formos nelygybes ir . Priimkime šią teoremą be įrodymų: bet kuriai nelygybės verteiyra lygiavertis nelygybių ir nelygybės sistemaiyra lygiavertis nelygybių rinkiniui

Pažiūrėkime į pavyzdį: išspręskite nelygybę: >x+2.

Naudodamiesi suformuluota teorema, pereikime prie nelygybių aibės:

Sistema ir nelygybė 0x>2 neturi sprendimų. Todėl sprendimas dėl gyventojų (ir šios nelygybės) yra X.

Pratimai savarankiškam darbui:

Pamoka Nr.12. Absoliučios vertės savybių taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes.

Sprendžiant kai kurias užduotis, naudojamos modulio savybės. (Jei reikia, pakartokite juos, žr. pamoką Nr. 1).

Iliustruojame modulio savybių naudojimą sprendžiant šiuos pavyzdžius.

Sprendžiant nelygybes, kuriose yra nežinomasis po absoliučiu ženklu, naudojama ta pati technika, kaip ir sprendžiant lygtis, kuriose yra nežinomasis po absoliučiu ženklu, būtent: pradinės nelygybės sprendimas sumažinamas iki kelių nelygybių, nagrinėjamų reiškinių pastovaus ženklo intervalais po absoliučiu ženklu, sprendimas. absoliutus ženklas padidintas.

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę

Sprendimas: Panagrinėkime išraiškos x 2 - 2 pastovaus ženklo intervalus, stovinčius po absoliutaus dydžio ženklu.

1) Tarkime, kad

tada nelygybė (*) įgauna formą

Šios nelygybės sprendinių aibės ir nelygybės x 2 -2 0 sankirta parodo pirmąją pradinės nelygybės sprendinių rinkinį (1 pav.): x(-2; -].

• 2) Tarkime, kad x 2 - 2
• 2 - x 2 + x

Šios nelygybės sprendinių aibės ir nelygybės x 2 - 2 sankirta

Atsakymas: x(-2; -1).

Skirtingai nei lygtys, nelygybės negali būti tiesiogiai patikrintos. Tačiau daugeliu atvejų gautų rezultatų teisingumą galite patikrinti grafiškai. Iš tiesų, pavyzdžio nelygybę parašykime formoje

Sukurkime funkcijas y 1 = x 2 - 2 ir y 2 = -x, įtrauktas į nagrinėjamos nelygybės kairę ir dešinę puses, ir suraskime tas argumento reikšmes, kurioms y 1

Fig. 3, tamsesnėje x ašies srityje yra reikiamos x reikšmės. Nelygybių, turinčių absoliučios vertės ženklą, sprendimą kartais galima žymiai sumažinti naudojant lygybę x 2 = x 2.

3 pav

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę

Sprendimas: pradinė nelygybė visiems x -2 yra lygiavertė nelygybei

x - 1> x + 2. (**)

Abi nelygybės (**) puses padalijus kvadratu, suvedus panašius narius, gauname nelygybę

Atsižvelgdami į leistinų pradinės nelygybės reikšmių rinkinį, nustatytą sąlyga x -2, galiausiai gauname, kad nelygybė (*) tenkinama visiems x(-; -2)(-2; -1/2) .

Atsakymas: (-; -2) (-2; -1/2).

Pavyzdys: Raskite mažiausią sveikąjį skaičių x, kuris tenkina nelygybę:

Sprendimas: Kadangi x +1 0 ir pagal sąlygą x +1 0, ši nelygybė yra ekvivalentiška: 2x + 5 > x +1. Pastaroji, savo ruožtu, yra lygiavertė nelygybių sistemai -(2x + 5)

• -(2x + 5)
• 2x + 5 > x +1,

Mažiausias sveikasis skaičius x, kuris tenkina šią nelygybių sistemą, yra 0. Atkreipkite dėmesį, kad x yra -1, kitaip išraiška kairėje šios nelygybės pusėje neturi prasmės.

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę:

Atsakymas: [-1; 1].

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę

x2 – 3x + 2+ 2x + 1 5.

Sprendimas. x 2 – 3x + 2 yra neigiamas ties 1

• 2. - ? X? 1. Turime nelygybę x2 - x - 2? 0. Jo sprendimas yra -1? X? 2. Todėl visas segmentas -S? x? 1 tenkina nelygybę.
• 4. x? 2. Nelygybė tokia pati kaip ir 2 atveju. Tinka tik x = 2.

Atsakymas: 5 - 41 2 ? X? 2.

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8.

Sprendimas. Išspręskime šią nelygybę nestandartiniu būdu.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Kemerovas

Savivaldybės ugdymo įstaiga "37 vidurinė mokykla"

Pasirenkamasis kursas

10-11 klasių mokiniams

Lygtys, nelygybės ir sistemos,

Sudarė:

Kaplunova Zoja Nikolaevna

matematikos mokytojas

Aiškinamasis raštas…………………………………………..2 psl

Mokymosi programa ir teminis planas……………………………………p. 6

Raktinių žodžių sąrašas………………………………………………………………………………………………………………………

Literatūra mokytojams…………………………………………..8 psl

Literatūra studentams………………………………………8 p

Aiškinamasis raštas.

Pagrindinis matematikos mokymo mokykloje uždavinys – užtikrinti, kad mokiniai stipriai ir sąmoningai įsisavintų kasdieniame gyvenime ir darbe kiekvienam šiuolaikinės visuomenės nariui reikalingų matematinių žinių ir įgūdžių sistemą, kurios pakaktų susijusių disciplinų studijoms ir tęstiniam mokymuisi.

Kartu su pagrindinės problemos sprendimu, giliau studijuojant matematiką, mokiniuose formuojamas tvarus domėjimasis dalyku, identifikuojami ir ugdomi jų matematiniai gebėjimai, orientuojamasi į profesijas, reikšmingai susijusias su matematika, ruošiamasi studijuoti universitetai.

Tebėra aktualus matematikos mokymo diferencijavimo klausimas, leidžiantis, viena vertus, atlikti pagrindinį matematikos mokymą, kita vertus, patenkinti kiekvieno besidominčio šiuo dalyku poreikius.

Šio kurso programa „Lygtys, nelygybės ir sistemos, turinčios absoliučios reikšmės ženklą“ siūlo nagrinėti klausimus, kurie nėra visiškai įtraukti į pagrindinės mokyklos matematikos kursą, tačiau yra būtini tolesniam jo studijavimui.

Absoliučios vertės (modulio) sąvoka yra viena iš svarbiausių skaičiaus charakteristikų tiek realiųjų, tiek kompleksinių skaičių srityje. Ši sąvoka plačiai naudojama ne tik įvairiose mokyklinio kurso sekcijose, bet ir universitetuose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose. Pavyzdžiui, apytikslių skaičiavimų teorijoje vartojamos apytikslio skaičiaus absoliučios ir santykinės paklaidos sąvokos. Mechanikoje ir geometrijoje nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Matematinės analizės metu skaičiaus absoliučios vertės sąvoka yra įtraukta į tokių pagrindinių sąvokų, kaip riba, ribojama funkcija ir kt., apibrėžimai. Problemos, susijusios su absoliučiomis reikšmėmis, dažnai aptinkamos matematikos olimpiadose, stojamuosiuose egzaminuose į universitetus ir Vieningas valstybinis egzaminas.

Mokyklos matematikos kurso programoje nenumatytas studentų per visą studijų laikotarpį įgytų žinių apie modulius ir jų savybes apibendrinimas ir sisteminimas.

Todėl šis kursas „Lygtys, nelygybės ir sistemos, turinčios absoliučios vertės ženklą“ yra skirtas išplėsti bazinės algebros ir įvadinės analizės kursą ir suteikti studentams galimybę susipažinti su pagrindiniais užduočių, susijusių su moduliai. Sukelia mokslinį susidomėjimą šiomis problemomis, ugdo loginį mąstymą, padeda įgyti patirties dirbant su didesnio sudėtingumo nei reikalaujama sudėtingumo užduotimi.

Kursas „Lygtys, nelygybės ir sistemos, turinčios absoliučiosios reikšmės ženklą“ skirtas specializuotam 10-11 klasių mokinių mokymui ir yra skirtas 34 valandoms (1 val. per savaitę).

Šio kurso dėstymo procese siūloma taikyti įvairius studentų pažintinės veiklos aktyvinimo metodus, taip pat įvairias savarankiško darbo organizavimo formas.

Studijuodami šį kursą studentai įsisavina teorinę medžiagą ir atlieka praktines užduotis. Kurso programos įsisavinimo rezultatas – kūrybinių darbų pristatymas baigiamojoje pamokoje

Studijuojant kursą numatyta testo kontrolė.

Kurso tikslai:

*žinių tema „Absoliuti vertė“ apibendrinimas ir sisteminimas, plėtimas ir gilinimas;

*įgyti praktinių įgūdžių atliekant užduotis su moduliu;

*mokinių matematinio pasirengimo lygio kėlimas.

Kurso tikslai

* aprūpinti mokinius žinių sistema tema „Absoliuti vertė“

*ugdyti gebėjimus pritaikyti šias žinias sprendžiant įvairaus sudėtingumo problemas;

*rengti mokinius vieningam valstybiniam egzaminui;

*ugdyti savarankiško ir grupinio darbo įgūdžius;

*ugdyti darbo su informacine literatūra įgūdžius;

Reikalavimai mokomosios medžiagos įsisavinimo lygiui

Studijuodami kurso programą studentai gauna galimybę

žinoti ir suprasti:

*nelygybių lygčių ir sistemų su moduliu sprendimo apibrėžimai, sąvokos ir pagrindiniai algoritmai;

*funkcijų, turinčių absoliučios reikšmės ženklą, grafikų sudarymo taisyklės;

Gebėti:

*realiojo skaičiaus absoliučios reikšmės apibrėžimą, savybes taikyti realiojo skaičiaus sprendimui konkrečių uždavinių sprendimui;

*spręsti lygtis, nelygybes, lygčių sistemas ir nelygybes, turinčias kintamąjį po modulio ženklu;

*gebėti savarankiškai atlikti smulkius tyrimus.

1. Įvadas 1 val

Kurso tikslai ir uždaviniai. Kurse nagrinėjami klausimai ir jo struktūra. Susipažinimas su literatūra, kūrybinių darbų temomis.

2. (4 valandos)

Absoliučios vertės nustatymas. Geometrinis modulio sampratos aiškinimas. Operacijos su absoliučiomis vertėmis. . Modulio savybių taikymas sprendžiant uždavinius.

3. Funkcijų grafikai, kuriuose yra absoliučios reikšmės ženklas (8 valandos).

Funkcijų grafikų konstravimo taisyklės ir algoritmai. Lyginės funkcijos apibrėžimas. Funkcijų, turinčių modulio ženklą, grafikų geometrinės transformacijos. Grafų sudarymas naudojant paprasčiausių funkcijų pavyzdžius. Lygčių grafikai: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),kur f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Lygtys su absoliučiomis reikšmėmis. (10 valandų)

Modulio atskleidimas pagal apibrėžimą, perėjimas nuo pradinės lygties prie ekvivalentinės sistemos, abiejų lygties pusių kvadratūra, intervalų metodas, grafinis metodas, absoliučios vertės savybių panaudojimas. Formos lygtys: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Kintamųjų pakeitimo būdas sprendžiant lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Intervalinis metodas, skirtas spręsti lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Formos lygtys:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Grafinis lygčių, turinčių absoliučiąsias reikšmes, sprendimas.

5. Nelygybės su absoliučiomis reikšmėmis (10 valandų)

Nelygybės su vienu nežinomu. Pagrindiniai nelygybių sprendimo metodai

su moduliu |f(x)|>a. Formos a|f(x)|>g(x) nelygybės; |f(x)|>|g(x)|.

6. Paskutinė pamoka (1 val.)

Kūrybinių darbų pristatymas.

III skyrius. Edukacinis ir teminis planas

IV skyrius. Raktinių žodžių sąrašas.

Algoritmas, lygtis, nelygybė, modulis, grafikas, koordinačių ašys, lygiagretusis vertimas, centrinė ir ašinė simetrija, intervalo metodas, kvadratinis trinaris, polinomas, daugianario faktorių skaičiavimas, sutrumpintos daugybos formulės, simetrinės lygtys, abipusės lygtys, absoliučios vertės savybės, apibrėžimo sritis , priimtinų verčių diapazonas.

V skyrius. Literatūra mokytojams.

1. Bašmakovas M.I. Lygtys ir nelygybės. (Tekstas)/ M.I. Bašmakovas.-M.: VZMSH

Maskvos valstybiniame universitete, 1983.-138p.

2.Vilenkin N.Ya ir kt. Algebra ir matematinė analizė, 11 klasė. (Tekstas)/N.Ya.

Vilenkin-M.: Švietimas, 2007.-280 p.

3. Gaidukovas I.I. Absoliuti vertė. (Tekstas)/ Gaidukovas I.I. –M.: Išsilavinimas, 1968.-96 p.

4. Gelfand I. M. et al. Funkcijos ir grafikai (tekstas) / I. M. Gelfand - M.: MTsNMO,

5. Goldichas V.A. Zlotin S.E.t 3000 uždaviniai algebroje (tekstas) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350 p.

6. Kolesnikova S.I. Matematika. Intensyvus pasirengimo Vienam kursas

Valstybinis egzaminas. (Tekstas)/ Kolesnikova S.I. - M.: Iris-press 2004.-299 p.

7. Nikolskaya I.L. Pasirenkamas matematikos kursas. (Tekstas)/I.L. Nikolskaja-

M.: Švietimas, 1995.-80 p.

8.Olekhnik S.N. ir kiti lygtys ir nelygybės. Nestandartiniai sprendimo būdai.

(Tekstas)/ .Olekhnik S.N.-M.: Bustard, 2002.-219 p.

VI skyrius. Literatūra studentams

1. Goldichas V.A. Zlotin S.E.t 3000 uždaviniai algebroje (tekstas) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350 p.

2. Kolesnikova S.I. Matematika. Intensyvus pasirengimo Vienam kursas

... Užpasirinkimas vieno ar kito akademinio dalyko (programoje skyrius: „ Pasirenkamasiskursai") V 10 -11 klases... ir taip pat viduje sistema papildomas išsilavinimas. Užšios kategorijos studentai parengtas ir įgyvendintas tinklo mokymas kursaiAutorius visi...

Pagrindinio patiekalo turinys

Absoliuti skaičiaus reikšmė. Pagrindinės savybės (1 val.).

Skaičiaus ar modulio absoliučios reikšmės nustatymas. Analitinis apibrėžimo įrašas. Geometrinė reikšmė. Pagrindinės savybės. Istorinė informacija.

Pagrindinis tikslas – sisteminti ir apibendrinti mokinių žinias tema „Absoliuti vertė“, įgytas 6 ir 8 klasėse; atsižvelgti į geometrinę absoliučios vertės ir pagrindinių savybių reikšmę; pateikti istorinę informaciją apie terminų „modulis“ ir „modulio ženklas“ įvedimą; apsvarstykite pavyzdžius, kurių sprendimas pagrįstas modulio apibrėžimu.

Lygčių sprendimas moduliais (3 val.).

Spręsti tiesines, kvadratines lygtis su moduliais, taip pat lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės su parametrais.

Pagrindinis tikslas– geometrinė išraiškos interpretacija ir panaudojimas formos lygtims spręsti; apsvarstykite tiesinių lygčių sprendimą pagal modulio apibrėžimą; sprendžiant kvadratines lygtis, turinčias absoliučios reikšmės ženklą, taip pat grafiškai sprendžiant lygtis, turinčias absoliučią reikšmę su parametrais.

Nelygybių sprendimas moduliais (3 val.).

Spręsti tiesines, kvadratines nelygybes su moduliais, taip pat nelygybes, turinčias absoliučias reikšmes su parametrais.

Pagrindinis tikslas– ugdyti gebėjimą įvairiais būdais spręsti tiesines nelygybes su moduliu (naudojant geometrinę reikšmę, kvadratuojant nelygybę, naudojant dvigubą nelygybę); kvadratinės nelygybės, apimančios absoliučios reikšmės ženklą, naudojant kvadratinės funkcijos grafiko scheminį eskizą, taip pat intervalų metodą; suteikti idėją, kaip išspręsti nelygybes, susijusias su absoliučiomis reikšmėmis su parametrais.

Intervalinis metodas (2 val.).

Lygčių ir nelygybių, apimančių absoliučiąsias reikšmes, sprendimas naudojant intervalų metodą.

Pagrindinis tikslas – išmokyti moksleivius spręsti lygtis ir nelygybes, turinčias absoliučias reikšmes, naudojant intervalų metodą; suformuluoti teoremą, kuria grindžiama pastovaus ženklo intervalų paieška; modulio nulių radimas.

Formos nelygybės, išspręstos lygiaverčiais perėjimais (2 val.).

Formos nelygybių sprendimas lygiaverčiais perėjimais į nelygybių aibę, o nelygybes - į nelygybių sistemą.

Pagrindinis tikslas– įtvirtinti lygiavertiškumo sampratą, žinomą mokiniams nuo 8 klasės; suformuluoti (ir įrodyti „stipriojoje“ klasėje) ekvivalentinio perėjimo iš nelygybės į aibę ir iš nelygybės į sistemą savybę.

Absoliučios vertės savybių taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes (1 val.).

Lygčių ir nelygybių (tiesinių, kvadratinių, aukštesnių už du laipsnius), taip pat lygčių ir nelygybių sistemų sprendimas naudojant absoliučiąsias reikšmes.

Pagrindinis tikslas– jei reikia, pakartokite pagrindines modulio savybes; mokyti spręsti lygtis ir nelygybes (tiesines, kvadratines, laipsnius virš dviejų), taip pat lygčių ir nelygybių sistemas naudojant absoliučios vertės savybes; rašant atsakymą parodyti grafines technikas; išplėskite lygčių klasę su moduliu (apsvarstykite lygtį su dviem kintamaisiais).

Lygčių ir nelygybių su absoliučia reikšme sprendimas koordinačių tiesėje (1 val.).

Tiesinių lygčių ir nelygybių su absoliučia reikšme koordinačių tiesėje sprendimas.

Pagrindinis tikslas– pakartokite atstumo tarp dviejų taškų formulę A( x 1) ir B( x 2) koordinačių tiesė; mokyti studentus spręsti lygtis ir nelygybes su moduliu koordinačių tiesėje.

Modulis ir šaknų transformacija (1 val.).

Modulio sąvokos taikymas operuojant su aritmetinėmis šaknimis. Iracionalių reiškinių transformacija, kurios sprendimui naudojamas modulis.

Pagrindinis tikslas– ugdyti gebėjimą atlikti reiškinių, turinčių kvadratinę šaknį, transformacijas, kuriose naudojamas modulis.

Modulio ir iracionaliosios lygtys (2 val.).

Iracionalių lygčių sprendimas naudojant tobulo kvadrato išskyrimo arba naujo kintamojo įvedimo metodą.

Pagrindinis tikslas– kartoti 8 klasės mokiniams žinomą iracionaliųjų lygčių apibrėžimą; su pavyzdžiais parodykite neracionalių lygčių, susijusių su modulio naudojimo poreikiu, sprendimą.

Edukacinis ir teminis planas

Literatūros mokytojams sąrašas

• Golubevas V.I. Absoliuti matematikos konkursinių egzaminų skaičiaus vertė (remiantis pirmaujančių šalies universitetų medžiaga – Lvovas: Quantor, 1991).
• Golubev V. Veiksmingi problemų sprendimo būdai tema „Absoliuti vertė“ - M.: Chistye Prudy, 2006 m.
• Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. Išankstinis 9 klasės mokinių ruošimas matematikai - M.: 5 už žinias, 2006 m.
• Rurukin A.N. Intensyvaus pasiruošimo matematikos egzaminui vadovas „Baigimas, stojantysis, vieningas valstybinis egzaminas 5+“ - M.: VAKO, 2006 m.
• Smykalova E.V. Matematika (moduliai, parametrai, daugianariai), išankstinis profilio paruošimas, 8-9 klasės - Sankt Peterburgas: SMIO-Press, 2006 m.

Literatūros studentams sąrašas

• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika. Informacinė medžiaga - M.: Išsilavinimas, 1988 m.
• Dorofejevas G.V., Potapovas M.K., Rozovas N.Kh. Matematikos vadovas stojantiems į universitetus – M.: Nauka, 1973 m.
• Zorinas V.V. Matematikos žinynas stojantiems į universitetus – M.: Aukštoji mokykla, 1974 m.
• Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. Padidinto sudėtingumo problemos algebroje ir analizės principai - M.: Edukacija, 1990.
• Kalninas R.A. Algebra ir elementarios funkcijos, leidykla “Nauka”, pagrindinė fizinės ir matematinės literatūros redakcija – M.: Nauka, 1975 m.
• Krulikovskis N.N. Matematinės problemos kandidatams – Tomskas: red. Tomsko universitetas, 1973 m.
• Nesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K. Stojamųjų matematikos egzaminų tikslai - M.: Nauka, 1986 m.
• Sharygin I.F. Matematika aukštųjų mokyklų studentams, Maskva, „Drofa“, 1995 m.

Metodinė medžiaga

1 pamoka: Skaičiaus absoliučios reikšmės (skaičiaus modulio), geometrinės reikšmės ir pagrindinių savybių nustatymas.

Realiojo skaičiaus a absoliuti reikšmė (arba modulis) yra pats skaičius, jei jis yra neneigiamas, ir šis skaičius, paimtas su priešingu ženklu, jei jis yra neigiamas.

Skaičiaus modulis žymimas taip: Nustatę ryšį tarp skaičiaus modulio ir paties skaičiaus, gauname analitinį apibrėžimo žymėjimą:

=

Skaičiaus modulis taip pat yra atstumas nuo pradžios iki taško, vaizduojančio šį skaičių koordinačių tiesėje. Tai yra geometrine prasme modulis. Tai. Vartojami skaičiaus terminai „modulis“, „absoliuti vertė“ arba „absoliuti reikšmė“. Pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą = 5, = 3, =0. Skaičiaus modulis taip pat gali būti apibrėžtas kaip didžiausias iš skaičių a ir – a.

Istorinė informacija: terminą „modulis“ (iš lot. modulis - matas) įvedė anglų matematikas R. Cotesas (1682-1716), o modulio ženklą – vokiečių matematikas K. Weierstrassas (1815-1897), 1841 metais.

Pagrindinės modulio savybės:

Pažiūrėkime į pavyzdžius, kurių sprendimas pagrįstas modulio apibrėžimu.

Nr. 1. Išspręskite lygtį =4.

Pagal modulio apibrėžimą; X= 4 arba X=-4.

Nr. 2. Išspręskite lygtį: =3.

Lygtis yra lygiavertė dviejų lygčių deriniui:

Kur: x 1=2 ir x 2=-1.

Nr 3. Išspręskite lygtį: =-2.

Pagal 1 savybę: bet kurio realaus skaičiaus modulis yra neneigiamas skaičius, darome išvadą, kad sprendimo nėra.

Nr. 4. Išspręskite lygtį: = X–5.

Tam pačiam turtui 1: X–50, X 5.

Nr. 5. Išspręskite lygtį: + X=0.

=- x, X 0.

Nr. 6. Išspręskite lygtį: = X+2.

Skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, dešinėje šios lygties pusėje yra išraiška su kintamuoju. Todėl lygtis turi sprendinį su sąlyga X+20, t.y. x-2. Tada mes turime:

2x+1= x +2 arba

2x+1 = - x - 2.

Tai. adresu x -2, mes turime:

Išspręskite lygtis:

2 pamoka. Tiesinių lygčių sprendimas moduliais.

Sprendžiant tiesines lygtis, naudojama arba geometrinė skaičiaus modulio reikšmė, arba modulio ženklo atskleidimas. Pažiūrėkime į pavyzdį: išspręskite lygtį

a) Vartojame geometrinę skaičiaus modulio reikšmę. Parašykime lygtį tokia forma: +=7. Tada d=x–5- atstumas nuo taško Xį skaičių eilutės 5 tašką, f =x–(-2)- atstumas nuo taško X iki taško (-2) pagal uždavinio sąlygas šių atstumų suma d+f=7. Nubraižykime 5 ir -2 taškus skaičių tiesėje. Nesunku patikrinti, ar bet kuriam skaičiui iš intervalo [-2;5] atstumų suma d+f lygus atkarpos AB ilgiui, t.y. 7. Taip pat lengva nustatyti, kas už taškus x arba x>5 atstumų suma d+f>7. Todėl lygties sprendimas yra intervalas.

b) Išplėskime modulio ženklą. Norėdami tai padaryti, skaičių tiesėje nubrėžkite taškus -2 ir 5. Šie taškai padalija jį į tris intervalus. Panagrinėkime modulių ženklus kiekviename intervale.

1 intervale (x gauname: -(x–5)–(x+2)=7 arba –x+5–x–2=7 arba - 2x+3=7, iš kur gauname: x=-2. Tačiau šis taškas neįtrauktas į nagrinėjamą intervalą. Štai kodėl x=-2 nėra sprendimas.

2 intervale: X gauname: -(x–5)+(x+2)=7 arba 7=7. Kadangi lygybė yra teisinga, bet kuris šio intervalo taškas yra šios lygties sprendimas.

3 intervale (x>5) gauname: (x-5)+(x+2)=7 arba 2x-3=7, kur x=5. Taškas x=5 nėra įtrauktas į nagrinėjamą intervalą ir nėra lygties sprendimas.

Taigi šios lygties sprendimas yra toks: -2x5.

Išspręskite lygtis:

3 pamoka. Kvadratinių lygčių su moduliu sprendimas.

Apsvarstykime, kaip išspręsti kvadratines lygtis su moduliais naudojant pavyzdžius:

Nr. 1. Išspręskite lygtį

Pristatome pakaitalą =y, tada val y 0 lygtis įgauna tokią formą:

y 2 –6у+8=0, iš kur y 1 = 2 ir y 2 = 4. a x= 2 arba -2; 4 arba -4.

Nr. 2. Išspręskite lygtį:

Lygtis yra lygiavertė sistemai: Iš kur X=1.

Nr. 3. Išspręskite lygtį:

2X – 1.

Lygtis turi sprendinį su sąlyga, kad 2 X–10, o lygybė galima numatant: posakių reikšmes x 2 + x–1 ir 2 X–1 yra vienodi arba priešingi. Tai. mes turime: x0,5. Sudarykime lygtis: x 2 + x–1=2X– 1 arba x 2+X–1=-(2X–1); kurią išspręsdami gauname

Nr. 4. Raskite lygties šaknis: .

Pateikime šią lygtį forma: = X 2 – 1, iš kur:

x – 1 = x 2 – 1,

arba x – 1 = – (x 2 – 1).

x 2–1 val x - 1 Ir x 1.Spręsdami lygtis, gauname iš pirmos: x=0 Ir x=1, nuo antrojo: x=-2 Ir x=1.

Atsakymas: x=1; x=-2.

Nr. 5. Raskite visas lygties šaknis: = .

Naudodamiesi modulio apibrėžimu, darome išvadą, kad lygybė yra įmanoma, jei išraiškų reikšmės x–x 2–1 Ir 2x+3–2 lygus arba priešingas, t.y. ši lygtis yra lygi dviejų lygčių rinkiniui:

Išspręsdami aibę, gauname šios lygties šaknis: x=-4;-0,5;2. Tarp jų yra sveikieji skaičiai: -4 ir 2.

Nr. 6. Išspręskite lygtį: =2x 2 –3x+1.

Pažymėkime išraišką 3x-1-2x 2 laišką A. Tada ši lygtis bus tokia: =-a. Remiantis analitine modulio apibrėžimo žyma, galime daryti išvadą, kad ši lygtis yra lygiavertė nelygybei: 3x–1–2x 2 0, išspręsdami, gauname atsakymą: x0.5 Ir x1.

Pratimai savarankiškam darbui.

Išspręskite lygtį:

Nr.1.=x 2 + x–20.

Nr. 2. + 3x -5 = 0,

Nr. 3. =(x–1)(x+1),

Nr. 4. x 2 – 6+5=0,

Nr. 5. x 2 +8 = 9,

Nr. 6.=x 2 –6x+6,

Nr. 7. x = -8.

4 pamoka. Spręsti lygtis, turinčias absoliučią reikšmę su parametrais.

Panagrinėkime pavyzdį: išspręskite lygtį su parametru

Sukurkime funkcijų grafikus y=3–x Ir y=. Tvarkaraštis y=3–x yra fiksuotas ir nepriklauso nuo parametro. Tvarkaraštis y= gautas iš funkcijos grafiko y=, priklauso nuo parametro A. Taigi, panagrinėkime 3 atvejus:

Šis atvejis, kaip matyti iš paveikslo, bus kada A. Šių funkcijų grafikai susikerta viename taške B. Apsvarstykite trikampį ABC, kuriame kampas A lygus kampui B ir lygus 45 0, šiame trikampyje nubrėžkite aukštį VD. Nes trikampis ABC yra lygiašonis, tada BD taip pat yra šio trikampio mediana. Todėl taško D abscisė X=(a + 3)/2.

Šis atvejis atsiranda, kai A=3. Tada funkcijų grafikai sutampa išilgai atkarpos AB ir bet kurio šio spindulio taško abscisė yra šios lygties sprendimas, t.y. X

Šiuo atveju A>3. Matyti, kad funkcijų grafikai nesikerta, t.y. neturi bendrų taškų. Todėl lygtis neturi sprendimo.

Pratimai savarankiškam darbui:

Išspręskite lygtis:

Nr. 3. (a–2)=a–2,

Nr. 4. a 2 x 2 + a = 0.

5 pamoka. Tiesinių nelygybių sprendimas moduliais.

Nelygybės, turinčios kintamąjį po modulio ženklu, sprendžiamos įvairiais būdais; Pažvelkime į gana paprastą pavyzdį:

Nr. 1. Išspręskite nelygybę:

Pirmasis metodas: turime: >4,

Geometriškai išraiška reiškia atstumą koordinačių linijoje tarp taškų X ir 2.5. Tai reiškia, kad turime rasti visus tokius taškus X, kurie yra daugiau nei 2 atstumu nuo 2.5 taško, yra taškai iš intervalų x ir x>4,5.

Antrasis metodas: Kadangi abi duotosios nelygybės pusės yra neneigiamos, tai abi šios nelygybės puses kvadratu: 2 >4 2.

(2x–5) 2 > 4 2,

(2x–5) 2–16>0,

(2x–5–4) (2x–5+4)>0,

2 (x–4,5) 2 (x–0,5)>0,

(x–4,5) (x–0,5)>0.

Taikydami intervalo metodą gauname: x.5 ir x>4,5.

Trečias būdas: išraiška 2x-5 gali būti neneigiamas arba neigiamas. Tie. turime dviejų sistemų derinį:

Kur: x ir x>4,5.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

Pavyzdys Nr. 2. Išspręskite nelygybę:

Ši nelygybė prilygsta dviejų sistemų deriniui:

Iš pirmos sistemos gauname 2x, nuo antrojo -1-1

3 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: 3 x+3.

Ši nelygybė prilygsta dvigubai nelygybei -x-33x-3x+3 arba sistema

Turime : 0x3.

Pratimai savarankiškam darbui:

Išspręskite nelygybes:

№3. ->-2.

Pamoka Nr.6. Kvadratinių nelygybių sprendimas moduliais.

Pažiūrėkime į pavyzdį Nr. 1. Išspręskite nelygybę: +x–2.

Šią nelygybę galima išspręsti naudojant intervalų metodą. Apsvarstykime kitą sprendimą, pagrįstą šiuo teiginiu: bet kuriai a reikšmei nelygybė yra lygiavertė nelygybių sistemai: ,ir nelygybėyra lygiavertis nelygybių rinkiniui.

Todėl mūsų nelygybė yra lygiavertė nelygybių sistemai: išspręsdami, gauname:

Užrašykime atsakymą: (1-;2-).

2 pavyzdys. Raskite sveikuosius nelygybės sprendimus: 2x-x 2. Problema susijusi su dviejų nelygybių sistemų aibės sprendimu:

Išspręskime pirmąją sistemą: iš pirmosios nelygybės turime: x1; x2.

nuo antrojo: 2x 2 –5x+20, arba 0,5x2.

Koordinačių tiesėje pažymėję rastus pirmosios ir antrosios sistemos nelygybių sprendinius, randame sprendinių sankirtą.

Tai. 0,5x1 Ir x=2. Tai yra pirmosios sistemos sprendimas.

Išspręskime antrąją sistemą: iš pirmosios nelygybės turime: 1-(x 2 -3x+2) 2x-x 2, arba – x 2 +3x–2–2x+ x 2 0, arba x2.

Atsižvelgdami į rastus antrosios sistemos pirmosios ir antrosios nelygybių sprendinius koordinačių tiesėje, gauname: 1

Rastų sprendimų derinimas su nelygybių sistemomis 0,5x1; x=2; 1 0,5x2 ir tt bus visi sprendimai x=1 Ir x=2.

Pratimai savarankiškam darbui:

Išspręskite nelygybes:

Nr. 4. x 2 -3+2>0,

Nr. 6. x 2 -6x+7-

Nr.7. 3+x2 –7>0,

№8. >.

Pamoka Nr.7. Nelygybių, turinčių absoliučią reikšmę, sprendimas su parametrais.

Pavyzdys. Kokiomis vertybėmis A nelygybė tiesa: ah 2 +4+a+3?

At x0 mes turime ah 2 +4x+a+3. Senjorų koeficientas A turi būti neigiamas, diskriminantas turi būti mažesnis už nulį.

a 16–4a(a+3) 0; ai a>1;

parabolės viršūnės abscisė x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, kur A.

At x turime ah 2 –4x+a+3. Ginčiuodami panašiai, gauname: A.

Atsakymas: kada ir ši nelygybė galioja visoms tikrosioms x reikšmėms.

Pratimai savarankiškam darbui:

Išspręskite nelygybes su parametrais:

Nr. 3. Ar yra a reikšmių, kurioms taikoma nelygybė ah 2 > 2+5 neturi sprendimų?

8 - 9 pamokos. Intervalinis metodas lygtims ir nelygybėms, turinčioms modulį, spręsti.

Panagrinėkime intervalų metodą naudodamiesi lygties sprendimo pavyzdžiu

-+3-2=x+2.

Norint išspręsti šią nelygybę, būtina išplėsti modulius. Norėdami tai padaryti, pasirenkame intervalus, kurių kiekvienoje išraiškos po modulio ženklu įgauna tik teigiamas arba neigiamas reikšmes. Tokių intervalų radimas pagrįstas teorema: jei intervale (a; b) funkcija f yra ištisinė ir neišnyksta, tai šiame intervale ji išlaiko pastovų ženklą.

Norėdami paryškinti pastovaus ženklo intervalus, randame taškus, kuriuose po moduliu parašytos išraiškos tampa nuliais:

x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

Gauti taškai padalins liniją į reikiamus intervalus. Apibrėžkime posakių ženklus

x+1, x, x–1, x–2 šiais intervalais:

Atsižvelgdami į ženklus, išplėsime modulius. Dėl to gauname sistemų rinkinį, lygiavertį šiai lygčiai:

Paskutinis rinkinys sumažinamas iki formos:

Sistemų aibės ir šios lygties sprendinys: -2; X 2.

Naudojama technika vadinama intervalo metodas. Jis taip pat naudojamas sprendžiant nelygybes.

Išspręskite nelygybę: +x–2

1) Raskite išraiškos nulius: x 2-3x.

x 1 = 0, x 2 = 3.

2) Padalinkime koordinačių liniją į intervalus ir nustatykime išraiškos ženklą x 2-3x kiekvienu intervalu:

3) Išplėskime modulį:

Pirmosios sistemos sprendimas: , antrosios sprendinys. Šios nelygybės sprendimas: .

Pratimai savarankiškam darbui:

№3

10 - 11 pamoka. Formos nelygybių sprendimas , per lygiaverčius perėjimus.

Panagrinėkime formos ir nelygybes. Priimkime šią teoremą be įrodymų: bet kuriai nelygybės verteiyra lygiavertis nelygybių ir nelygybės sistemaiyra lygiavertis nelygybių rinkiniui

Pažiūrėkime į pavyzdį: išspręskite nelygybę: >x+2.

Naudodamiesi suformuluota teorema, pereikime prie nelygybių aibės:

Sistema ir nelygybė 0x>2 neturi sprendimų. Todėl sprendimas dėl gyventojų (ir šios nelygybės) yra X.

Pratimai savarankiškam darbui:

Pamoka Nr.12. Absoliučios vertės savybių taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes.

Sprendžiant kai kurias užduotis, naudojamos modulio savybės. (Jei reikia, pakartokite juos, žr. pamoką Nr. 1).

Aiškinamasis raštas

Matematika yra kalba, kuria kalba ne tik mokslas ir technologijos, matematika yra žmonių civilizacijos kalba. Jis praktiškai prasiskverbė į visas žmogaus gyvenimo sritis. Šiuolaikinė gamyba, visuomenės kompiuterizavimas, šiuolaikinių informacinių technologijų diegimas reikalauja matematinio raštingumo.

Matematinis išsilavinimas prisideda prie bendros žmogaus kultūros formavimo. Matematikos studijos prisideda prie estetinio žmogaus ugdymo, suvokiant matematinio samprotavimo grožį ir malonę.

Pasirenkamasis kursas „Lygtys ir nelygybės, turinčios absoliučios reikšmės ženklą“ sukurtas įgyvendinti 9 klasėse.

Kursas skirtas plėsti studentų žinias ir įgūdžius, susijusius su skaičiaus absoliučios vertės samprata, grafinėmis funkcijomis ir grafiniu lygčių bei nelygybių, kuriose yra absoliučios reikšmės ženklas, sprendimu.

Absoliučios vertės (modulio) sąvoka yra viena iš svarbiausių skaičiaus charakteristikų tiek realiųjų, tiek kompleksinių skaičių srityje. Ši sąvoka plačiai naudojama ne tik įvairiose mokyklinio matematikos kurso sekcijose, bet ir universitetuose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose. Pavyzdžiui, apytikslių skaičiavimų teorijoje vartojamos apytikslio skaičiaus absoliučios ir santykinės paklaidos sąvokos. Mechanikoje ir geometrijoje nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Matematinės analizės metu skaičiaus absoliučios vertės sąvoka yra įtraukta į tokių pagrindinių sąvokų, kaip riba, ribojama funkcija ir kt., apibrėžimus. Problemos, susijusios su absoliučiomis reikšmėmis, dažnai aptinkamos matematikos olimpiadose, stojamuosiuose į universitetus egzaminuose ir unifikuotoje. Valstybinis egzaminas.

Kursas padės mokytojui kuo geriau paruošti mokinius matematikos olimpiadoms, vieningam valstybiniam egzaminui, vieningam valstybiniam egzaminui ir stojimo į universitetus egzaminams.

Pasirenkamojo kurso programa apima supažindinimą su nagrinėjamų klausimų teorija ir praktika ir yra skirta 34 val.: 7,5 val. paskaitų ir 26,5 val. praktinių užsiėmimų.

Kurso turinį sudaro aštuoni skyriai, įskaitant įvadą ir baigiamąją pamoką. Dėstytojas, atsižvelgdamas į mokinių pasirengimo lygį, studijuojamos medžiagos sudėtingumo lygį ir mokinių suvokimą, gali ne visomis temomis mokytis, tuo pačiu didindamas kitų studijų valandų skaičių. Mokytojas taip pat gali pakeisti pateiktos medžiagos sudėtingumo lygį.

Programoje pateikiamos kūrybinių darbų temos ir literatūros sąrašas siūlomomis temomis.

Studijuojant šį kursą tikimasi naudoti įvairius moksleivių pažintinės veiklos aktyvinimo būdus, įvairias savarankiško darbo organizavimo formas.

Kurso programos įsisavinimo rezultatas – mokinių kūrybinių individualių ir grupinių darbų pristatymas paskutinėje pamokoje.

Kurso tikslai:

• ugdyti tvarų mokinių domėjimąsi matematika;
• specifinių matematinių žinių, reikalingų pritaikyti praktinėje veikloje, įvaldymas;
• pasirengimas sąmoningam algebros ir geometrijos sisteminio kurso įsisavinimui;
• žinių tema „Absoliuti vertė“ apibendrinimas ir sisteminimas, plėtimas ir gilinimas; įgyti praktinių įgūdžių atliekant užduotis su moduliu; moksleivių matematinio pasirengimo lygio didinimas.

Kurso tikslai:

• ugdyti studentų gebėjimus geometrinių transformacijų metodu sudaryti funkcijų, turinčių absoliučios reikšmės ženklą, grafikus, spręsti lygtis ir nelygybes su moduliais;
• ugdyti įgūdžius taikyti šias žinias sprendžiant įvairias įvairaus sudėtingumo problemas;
• rengia mokinius vieningam valstybiniam egzaminui;
• ugdyti savarankiško darbo ir darbo mažose grupėse įgūdžius;
• ugdyti darbo su žinynais ir kompiuteriais įgūdžius;
• ugdyti tiriamojo darbo įgūdžius ir gebėjimus;
• skatinti mokinių algoritminio mąstymo ugdymą;
• skatinti pažintinio susidomėjimo matematika formavimąsi.

(1 valanda per savaitę, iš viso 34 valandos)

1. Įvadas (1 val.)

Pasirenkamojo kurso tikslai ir uždaviniai. Kurse nagrinėjami klausimai ir jo struktūra. Susipažinimas su literatūra, kūrybinių darbų temomis. Reikalavimai kursų dalyviams. Aukcionas „Ką aš žinau apie absoliučią vertę?

2. Absoliuti tikrojo skaičiaus a reikšmė (4 valandos)

Absoliuti tikrojo skaičiaus a reikšmė. Priešingų skaičių moduliai. Modulio a sąvokos geometrinis aiškinimas. Realiųjų skaičių sumos modulis ir baigtinio skaičiaus skirtumo modulis. Dviejų skaičių modulių skirtumo modulis. Produkto modulis ir koeficiento modulis. Operacijos su absoliučiomis vertėmis. Išraiškų, turinčių kintamąjį po modulio ženklu, supaprastinimas. Modulio savybių taikymas sprendžiant olimpiados uždavinius.

3. Lygčių (įskaitant funkcijas) grafikai, kurių analitinėje išraiškoje yra absoliučios reikšmės ženklas (5 val.)

Kompiuterinės programos „Advanced Grapher“ taikymas konstruojant funkcijų grafikus, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas. Taisyklės ir algoritmai lygčių, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas, grafikų sudarymo. Lygčių grafikai

Kai kurių paprasčiausių funkcijų grafikai, nurodyti tiesiogiai ir netiesiogiai, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas. Lygčių (įskaitant funkcijas) grafikai, kurių analitinėje išraiškoje yra absoliučios reikšmės ženklas olimpiados uždaviniuose.

4. Lygtys su absoliučiomis reikšmėmis (11 valandų)

Pagrindiniai lygčių su moduliu sprendimo metodai. Modulio atskleidimas pagal apibrėžimą, perėjimas nuo pradinės lygties prie ekvivalentinės sistemos, abiejų lygties pusių kvadratūra, intervalų metodas, grafinis metodas, absoliučios vertės savybių panaudojimas. Formos lygtys

Kintamųjų pakeitimo būdas sprendžiant lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Intervalinis metodas, skirtas spręsti lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Formos lygtys

Metodas, skirtas nuosekliai atskleisti modulį sprendžiant lygtis, kuriose yra „modulis modulyje“. Grafinis lygčių, turinčių absoliučiąsias reikšmes, sprendimas. Absoliučios vertės savybių naudojimas sprendžiant lygtis. Lygtys su parametrais, kuriuose yra absoliučios reikšmės. Išspręstų olimpiados užduočių gynimas.

5. Nelygybės su absoliučiomis reikšmėmis (7 valandos)

Formos nelygybės

Formos nelygybės

Nelygybių, turinčių modulio ženklą, sprendimo intervalų metodas. Nelygybės su parametrais, kuriuose yra absoliučios reikšmės. Nelygybės su dviem kintamaisiais.

Lygčių ir nelygybių sistemos, turinčios absoliučias reikšmes.

Kiti klausimai, kuriuose vartojama absoliučios vertės sąvoka.

6. Paskutinė pamoka (1 val.)

Kalendorius ir teminis planavimas

Mokomosios ir metodinės medžiagos sąrašas

1. Bašmakovas M.I. Lygtys ir nelygybės. – M.: VZMSH Maskvos valstybiniame universitete, 1983 m.

2. Vilenkin N.Ya. ir kt., Algebra ir matematinė analizė. 11 klasė – M.: Išsilavinimas, 1993 m.

3. Gaidukovas I.I. Absoliuti vertė. – M.: Išsilavinimas, 1968 m.

4. Galitsky M.L. ir kt. uždavinių rinkinys algebroje 8 – 9 kl. – M.: Išsilavinimas, 1995 m.

5. Govorovas V.M. ir kiti matematikos uždavinių rinkinys – M.: Prosveshchenie, 1983.

6. Gornšteinas P.I. ir kitos problemos su parametrais. – M.: Ileksa, Charkovas: Gimnazija, 2003 m.

7. Kolesnikova S.I. Matematika. Intensyvus pasirengimo vieningai valstybei kursas

Egzaminas. M.: Iris-press, 2004 m.

8. Merzlyak A.G. ir kiti algebrinis simuliatorius. – M.: Ileksa, 2001 m.

9. Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasė – M.: Mnemosyne, 2000 m.

10. Neškovas K.I. ir kiti rinkiniai. Santykiai. Skaičiai. Kiekiai. – M.: Išsilavinimas, 1978 m.

11. Nikolskaya I.L. Pasirenkamas matematikos kursas. – M.: Išsilavinimas, 1995 m.

12. Olehnik S.N. ir kiti lygtys ir nelygybės. Nestandartiniai sprendimo būdai. 10 – 11 klasės –

M.: Bustardas, 1995 m.

13. Šaryginas I.F. Pasirenkamasis matematikos kursas 10 – 11 kl. – M.: Išsilavinimas, 1989 m.

14. Elektroninis vadovėlis „Algebra 7 – 11“.

15. Yastrebinetsky G.A. Problemos su parametrais. – M.: Išsilavinimas, 1986 m.

Kūrybinių darbų temos

1. Modulio taikymas mechanikoje ir vektorinėje algebroje.
2. Ribinės apibrėžimo modulis.
3. Klaidos.
4. Lygčių (įskaitant funkcijas) grafikų sudarymo taisyklių ir algoritmų atmintinės projektas, kurio analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas.
5. Žaidimo „Matematinė loto“ kūrimas tema „Lygčių grafikai, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas“.
6. Atskaitos signalų projektas apie lygčių ir nelygybių su moduliu sprendimo būdus.
7. Paprasčiausios tiesiogiai ir netiesiogiai nurodytos funkcijos, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas, ir jų grafikai.

„Modulio“ funkcijos grafikų sudarymo užduotys ir parametrų uždaviniai tradiciškai yra viena sunkiausių matematikos temų, todėl ji visada įtraukiama į aukštesniojo ir aukšto lygio valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino užduotis.

„Modulio“ sąvoka mokoma mokykloje nuo 6 klasės ir tik apibrėžimų ir skaičiavimų lygmeniu, nepaisant to, kad ji plačiai naudojama daugelyje mokyklinio matematikos kurso skyrių, pavyzdžiui, studijuojant absoliučią. ir apytikslio skaičiaus santykinės paklaidos; geometrijoje ir fizikoje bus nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Modulio sąvokos vartojamos aukštosiose mokyklose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose.

Absolventai susiduria su problema sėkmingai išlaikyti valstybinį egzaminą 9 klasėje, o vėliau ir vieningą valstybinį egzaminą.

Šiais metais matematikos pamokose susipažinome su tiesinės funkcijos samprata ir mokėmės braižyti jos grafiką. Buvo parodyta, kad šis jo grafikas yra naudojamas kaip modulio funkcijos konstravimo pagrindas. Be to, mokytojas sakė, kad lygtys yra su vienu ir keliais moduliais. Šią temą nusprendžiau panagrinėti giliau, juolab kad ji man pravers laikant egzaminus.

Tema "Grafinis lygčių, turinčių absoliučią vertę, sprendimo metodas"

Darbo tikslas: galimybė racionaliai sudaryti grafikus su moduliais lygtims, turinčioms modulį ir parametrą, spręsti

Studijuoti lygčių su moduliu sprendimo metodų teoriją.

Išmokite išspręsti 1-ojo laipsnio lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės ženklas.

Klasifikuoti grafinius lygčių sprendimo būdus.

Išanalizuoti įvairių modulio funkcijos grafikų braižymo metodų privalumus ir trūkumus.

Sužinokite, kas yra parametras

Taikyti racionalius metodus lygtims su parametru išspręsti

Objektas – lygčių su moduliu sprendimo metodai

Tema: grafinis lygčių sprendimo metodas

Tyrimo metodai: teoriniai ir praktiniai:

teorinis – tai literatūros tiriama tema studijavimas; Interneto informacija;

praktinis - tai informacijos, gautos studijuojant literatūrą, analizė, rezultatai, gauti įvairiais būdais sprendžiant lygtis su moduliu;

lygčių sprendimo metodų palyginimas yra jų panaudojimo racionalumo dalykas sprendžiant įvairias lygtis su moduliu.

Sąvokos ir apibrėžimai

1.1. Modulio sąvoka plačiai vartojama daugelyje mokyklinio matematikos kurso skyrių, pavyzdžiui, tiriant apytikslio skaičiaus absoliučiąsias ir santykines paklaidas; geometrijoje ir fizikoje nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Modulio sąvokos vartojamos aukštosiose mokyklose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose.

Žodis „modulis“ kilęs iš lotyniško žodžio „modulus“, kuris reiškia „matuoti“. Šis žodis turi daug reikšmių ir vartojamas ne tik matematikoje, fizikoje ir technologijose, bet ir architektūroje, programavime bei kituose tiksliuosiuose moksluose Manoma, kad šį terminą pasiūlė Niutono mokinys Cotesas. Modulio ženklą XIX amžiuje pristatė Weierstrass.

Architektūroje modulis yra pradinis matavimo vienetas, nustatytas tam tikrai architektūrinei struktūrai. Matematikoje modulis turi keletą reikšmių, bet aš jį vertinsiu kaip absoliučią skaičiaus reikšmę.

Apibrėžimas : Realiojo skaičiaus modulis (absoliuti reikšmė). A pats šis skaičius vadinamas if A≥0 arba priešingas skaičius – A, Jei o nulio modulis lygus nuliui.

Modulis yra atstumas koordinačių tiesėje nuo nulio iki taško.

1.2. Lygtis su moduliu yra lygtis, kurioje yra kintamasis po absoliučios reikšmės ženklu (po modulio ženklu). Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad šaknų nėra. Modulio lygčių sprendimo būdai:

1. Pagal modulio apibrėžimą – „modulio pašalinimas“. Sprendimas priimamas remiantis apibrėžimu.

2. Analitinis metodas – lygčių sprendimas naudojant į lygtį įtrauktų reiškinių transformacijas ir modulio savybes.

3. Intervalų metodas: modulio išplėtimas ant intervalų ir pusintervalų, suformuotų iš modulių „nulių“.

4.Grafinis metodas. Šio metodo esmė yra sudaryti šių funkcijų grafikus, vaizduojančius kairę ir dešinę lygties puses. Jei grafikai susikerta, tada šių grafikų susikirtimo taškų abscisės bus šios lygties šaknys.

1.3.Funkcijų su moduliu braižymo metodai

1.3.1. Pagal apibrėžimą. Dvi eilutės sudaromos y=khx+b, kur x>0, y=-khx+b, kur x

1.3.2 Simetrijos metodas. Nubraižytas grafikas y=kx+b, kai x>0 tiesės dalis

1.3.3.Funkcijų konvertavimas:

a) y=|x |+n grafikas pasislenka aukštyn išilgai ordinačių ašies vienetais

b) y=|x |-n grafikas pasislenka žemyn išilgai ordinatės

c) y=|x +n | grafikas pasislenka į kairę išilgai abscisių ašies

d)у=|x -n | grafikas pasislenka į dešinę išilgai abscisių ašies

1.3.4. Intervalinis metodas. Koordinačių linija modulio nuliais dalijama į intervalus ir pusintervalus. Toliau, naudodamiesi modulio apibrėžimu, kiekvienai iš rastų sričių gauname lygtį, kurią reikia išspręsti tam tikrame intervale ir gauti funkciją.

1.3.5. Nulinių sričių išplėtimo metodas. Tuo atveju, kai yra keli moduliai, patogiau ne išplėsti modulius, o naudoti tokį teiginį: algebrinė modulių suma n tiesinės išraiškos yra padalinė tiesinė funkcija, kurios grafikas susideda iš n+1 tiesūs segmentai.

Tada grafiką galima sudaryti pagal n+2 taškai, n iš kurių reiškia intramodulinių išraiškų šaknis, kitas yra savavališkas taškas, kurio abscisė yra mažesnė už mažesnę iš šių šaknų, o paskutinis taškas, kurio abscisė yra didesnė už didžiąją šaknį.

1.4. Mes turime lygtį kirvis+b=c.Šioje lygtyje X– nežinomas, a,b,c– koeficientai, kurie gali įgauti skirtingas skaitines reikšmes. Taip nurodyti koeficientai vadinami parametrais. Viena lygtis su parametrais apibrėžia daug lygčių (visoms galimoms parametrų reikšmėms).

tai visos lygtys, kurias nurodo lygtis su parametrais kirvis+b=c.

Išspręsti lygtį su parametrais reiškia:

Nurodykite, kokiomis parametrų reikšmėmis lygtis turi šaknis ir kiek jų yra skirtingoms parametrų reikšmėms.

Raskite visas šaknų išraiškas ir kiekvienai iš jų nurodykite tas parametrų reikšmes, kuriose ši išraiška nustato lygties šaknį.

1.5.Išvados:

Taigi egzistuoja skirtingi grafų su moduliu sudarymo metodai, kuriuos reikia ištirti racionalaus jų panaudojimo galimybėms.

Funkcijų, kuriose yra modulis ir programa, grafikų sudarymo metodų analizė

3. Intervalinis metodas

4.Analitinis

3.Įdėtieji moduliai

|||x n| m||= a

1.Pagal modulio apibrėžimą

2.Grafika

Išvada: taigi, lygčių klasifikacija suteikia mums bendrus visų tipų lygčių sprendimo būdus - tai pagal apibrėžimą yra modulis ir grafinis metodas.

2.2.Grafikų analizė.

2.2.1. Tipas 1. Konstrukcija y=|x |

2.2.1.1.Pagal apibrėžimą.

1. Sukurkite tiesę y=x

2. Pažymėkite linijos dalį ties x 0

3.Sukonstruoti tiesę y=-x

4. Pasirinkite dalį eilutės ties x

2.2.1.2. Simetrijos metodas

1. Sukurkite tiesę y=x

2. Sukuriame simetriją apie abscisių ašį ties x

5. Pažymėkite eilučių dalis intervalais

2.2.2.2.Nulinio ploto išplėtimo metodas

1. Nuliai: 3 ir 1; išplėstas plotas: 2,4,0

2. Mes apskaičiuojame reikšmes: 3,1,2,4,0 tai yra: -2, -2, -2, 0, 0

3. Sudėkite taškus su jų koordinatėmis ir sujunkite

Išvada: Nulių srities išplėtimo metodas yra racionalesnis

2.2.3. 3 tipas. Įdėti moduliai – „matryoshka“

IR Išnagrinėkime y=||x|-1| konstrukciją

2.2.3.1.Pagal modulio apibrėžimą

Pagal pagrindinio modulio apibrėžimą turime:

1) x>0 y=|x|-1

2. „Pašalinkite“ šį modulį:

Modulis: y=x-1, x>0 ir y=-x+1 x

y=-x+1 x>0 y=x-1 x

3. Kuriame grafikus

2.2.3.2.Simetrijos metodas

1. y=|x|-1

y=x-1, simetrija

2. Simetrija apie grafiko dalies abscisių ašį, kur x-1

Išvada: simetrijos metodas yra racionalesnis.

2.2.4. Rezultatų analizę apibendrinkime lentelėje:

Žinios ir įgūdžiai

Trūkumai

Pagal apibrėžimą

Modulio apibrėžimas

Žinokite: kaip nustatomos tiesių linijų taškų koordinatės

Gebėti atpažinti tiesės dalį naudojant nelygybę

Tūriniai sprendimai

Didelio kiekio žinių pritaikymas

„Pašalinant“ modulį galima padaryti klaidų

Simetrijos metodas

Žinoti ir mokėti taikyti funkcijų transformaciją

Sukurkite simetriją aplink abscisių ašį

Intervalinis metodas

Raskite modulio nulius

Apibrėžkite intervalus ir pusinius intervalus

Išskleisti modulius

Apskaičiuokite modulius

Pateikite panašias sąlygas

Sukurkite tiesias linijas

Tūriniai sprendimai

Daug skaičiavimų ir transformacijų šalinant nulius

Atima daug laiko

Teisingas intervalų ir pusintervalų apibrėžimas

Nulinio ploto išplėtimo metodas

Raskite modulio nulius

Gebėti išplėsti nulių plotą

Mokėti apskaičiuoti modulius šiuose taškuose

Gebėti konstruoti taškus pagal jų koordinates

Skaičiavimo klaidų leidimas

Funkcijų transformacijos metodas

Žinokite konvertavimo algoritmą

Gebėti konstruoti taškus pagal jų koordinates

Mokėti apskaičiuoti taškų koordinates

Mokėti taikyti konvertavimo algoritmą

Grafų konvertavimo algoritmų išmanymas

Išvada: išanalizavę lentelę darome išvadą, kad simetrijos ir nulių srities išplėtimo metodas yra racionaliausias, nes turi mažiausiai statybos etapų, o tai reiškia, kad jie taupo laiką.

2.3.Racionaliųjų grafinių metodų taikymas sprendžiant lygtis su moduliu ir parametru

2.3.1. Išspręskite lygtį:

Mes statome y=

ir y = 0,5

2.Išplėstas plotas: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4.Nubraižykite atkarpas ir spindulius

2.3.2. Vieningas valstybinis egzaminas 2009 m Raskite visas a reikšmes, kurių kiekvienos lygtis

, turi lygiai 1 šaknį.a =7. Atlikto darbo metu galėjome išstudijuoti ir analizuoti įvairius grafikų sudarymo metodus. Atlikus grafinių metodų analizę ir palyginimą, buvo padarytos šios išvados:

Algebrinės problemos vertimas į kalbą G Rafikovas leidžia išvengti sudėtingų sprendimų;

Sprendžiant lygtis, kuriose yra modulis ir parametras, grafinis metodas yra vizualesnis ir santykinai paprastesnis;

Kuriant grafikus, kuriuose yra 2 moduliai ir „matrioška“, simetrijos metodas yra praktiškesnis;

Nors grafinis lygčių sprendimo būdas yra apytikslis, nes tikslumas priklauso nuo pasirinkto vieneto segmento, pieštuko storio, linijų susikirtimo kampų ir pan., tačiau šis metodas leidžia įvertinti lygčių šaknų skaičių, sprendžiant lygtis su parametru.

Atsižvelgiant į tai, kad vieni iš populiariausių Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino užduočių yra lygtys su moduliu, mano pagrindinis rezultatas yra tai, kad galiu grafiškai išspręsti lygtis su moduliu ir parametru.

Nuorodos

1.Dankova I. “Išankstinis pasiruošimas matematikoje”, Maskva, 2006 m.

2. Užklasinis darbas matematikos srityje. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratovas: licėjus, 2003 m.

3.Matematika. Vadovėlis, kurį redagavo Ant L.Ya., Maskvos tiltas, 1994 m.

4. Matematika. 8-9 klasės: pasirenkamųjų dalykų rinkinys. 2 leidimas Autorius-sudarytojas: M.E. Kozina, Volgogradas: Mokytojas, 2007 m

5. Yastrebinetsky G.A. Problemos su parametrais. M, 2006 m

„Modulio“ funkcijos grafikų sudarymo užduotys ir parametrų uždaviniai tradiciškai yra viena sunkiausių matematikos temų, todėl ji visada įtraukiama į aukštesniojo ir aukšto lygio valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino užduotis.

„Modulio“ sąvoka mokoma mokykloje nuo 6 klasės ir tik apibrėžimų ir skaičiavimų lygmeniu, nepaisant to, kad ji plačiai naudojama daugelyje mokyklinio matematikos kurso skyrių, pavyzdžiui, studijuojant absoliučią. ir apytikslio skaičiaus santykinės paklaidos; geometrijoje ir fizikoje bus nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Modulio sąvokos vartojamos aukštosiose mokyklose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose.

Absolventai susiduria su problema sėkmingai išlaikyti valstybinį egzaminą 9 klasėje, o vėliau ir vieningą valstybinį egzaminą.

Šiais metais matematikos pamokose susipažinome su tiesinės funkcijos samprata ir mokėmės braižyti jos grafiką. Buvo parodyta, kad šis jo grafikas yra naudojamas kaip modulio funkcijos konstravimo pagrindas. Be to, mokytojas sakė, kad lygtys yra su vienu ir keliais moduliais. Šią temą nusprendžiau panagrinėti giliau, juolab kad ji man pravers laikant egzaminus.

Tema "Grafinis lygčių, turinčių absoliučią vertę, sprendimo metodas"

Darbo tikslas : galimybė racionaliai sudaryti grafikus su moduliais lygtims, turinčioms modulį ir parametrą, spręsti

Studijuoti lygčių su moduliu sprendimo metodų teoriją.

Išmokite išspręsti 1-ojo laipsnio lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės ženklas.

Klasifikuoti grafinius lygčių sprendimo būdus.

Išanalizuoti įvairių modulio funkcijos grafikų braižymo metodų privalumus ir trūkumus.

Sužinokite, kas yra parametras

Taikyti racionalius metodus lygtims su parametru išspręsti

Objektas – lygčių su moduliu sprendimo metodai

Tema: grafinis lygčių sprendimo metodas

Tyrimo metodai: teoriniai ir praktiniai:

teorinis – tai literatūros tiriama tema studijavimas; Interneto informacija;

praktinis - tai informacijos, gautos studijuojant literatūrą, analizė, rezultatai, gauti įvairiais būdais sprendžiant lygtis su moduliu;

lygčių sprendimo metodų palyginimas yra jų panaudojimo racionalumo dalykas sprendžiant įvairias lygtis su moduliu.

I skyrius

Sąvokos ir apibrėžimai

1.1. Modulio sąvoka plačiai vartojama daugelyje mokyklinio matematikos kurso skyrių, pavyzdžiui, tiriant apytikslio skaičiaus absoliučiąsias ir santykines paklaidas; geometrijoje ir fizikoje nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Modulio sąvokos vartojamos aukštosiose mokyklose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose.

Žodis „modulis“ kilęs iš lotyniško žodžio „modulus“, kuris reiškia „matuoti“. Šis žodis turi daug reikšmių ir vartojamas ne tik matematikoje, fizikoje ir technologijose, bet ir architektūroje, programavime bei kituose tiksliuosiuose moksluose Manoma, kad šį terminą pasiūlė Niutono mokinys Cotesas. Modulio ženklą XIX amžiuje pristatė Weierstrass.

Architektūroje modulis yra pradinis matavimo vienetas, nustatytas tam tikrai architektūrinei struktūrai. Matematikoje modulis turi keletą reikšmių, bet aš jį vertinsiu kaip absoliučią skaičiaus reikšmę.

Apibrėžimas : Realiojo skaičiaus modulis (absoliuti reikšmė). A pats šis skaičius vadinamas if A≥0 arba priešingas skaičius – A, Jei A<0; nulio modulis lygus nuliui.

Modulis yra atstumas koordinačių tiesėje nuo nulio iki taško.

1.2. Lygtis su moduliu yra lygtis, kurioje yra kintamasis po absoliučios reikšmės ženklu (po modulio ženklu). Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad šaknų nėra. Modulio lygčių sprendimo būdai:

1. Pagal modulio apibrėžimą – „modulio pašalinimas“. Sprendimas priimamas remiantis apibrėžimu.

2. Analitinis metodas – lygčių sprendimas naudojant į lygtį įtrauktų reiškinių transformacijas ir modulio savybes.

3. Intervalų metodas: modulio išplėtimas ant intervalų ir pusintervalų, suformuotų iš modulių „nulių“.

4.Grafinis metodas. Šio metodo esmė yra sudaryti šių funkcijų grafikus, vaizduojančius kairę ir dešinę lygties puses. Jei grafikai susikerta, tada šių grafikų susikirtimo taškų abscisės bus šios lygties šaknys.

1.3.Funkcijų su moduliu braižymo metodai

1.3.1. Pagal apibrėžimą. Dvi eilutės sudaromos y=khx+b, kur x>0, y=-khx+b, kur x<0

1.3.2 Simetrijos metodas. Nubraižytas grafikas y=kx+b, kai x>0 tiesės dalis<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3.Funkcijų konvertavimas:

a) y=|x |+n grafikas pasislenka aukštyn išilgai ordinačių ašies vienetais

b) y=|x |-n grafikas pasislenka žemyn išilgai ordinatės

c) y=|x +n | grafikas pasislenka į kairę išilgai abscisių ašies

d )y=|x -n | grafikas pasislenka į dešinę išilgai abscisių ašies

1.3.4. Intervalinis metodas. Koordinačių linija modulio nuliais dalijama į intervalus ir pusintervalus. Toliau, naudodamiesi modulio apibrėžimu, kiekvienai iš rastų sričių gauname lygtį, kurią reikia išspręsti tam tikrame intervale ir gauti funkciją.

1.3.5. Nulinių sričių išplėtimo metodas. Tuo atveju, kai yra keli moduliai, patogiau ne išplėsti modulius, o naudoti tokį teiginį: algebrinė modulių suma n tiesinės išraiškos yra padalinė tiesinė funkcija, kurios grafikas susideda iš n+1 tiesūs segmentai.

Tada grafiką galima sudaryti pagal n+2 taškai, n iš kurių reiškia intramodulinių išraiškų šaknis, kitas yra savavališkas taškas, kurio abscisė yra mažesnė už mažesnę iš šių šaknų, o paskutinis taškas, kurio abscisė yra didesnė už didžiąją šaknį.

1.4. Mes turime lygtį kirvis+b=c.Šioje lygtyje X– nežinomas, a,b,c– koeficientai, kurie gali įgauti skirtingas skaitines reikšmes. Taip nurodyti koeficientai vadinami parametrais. Viena lygtis su parametrais apibrėžia daug lygčių (visoms galimoms parametrų reikšmėms).

tai visos lygtys, kurias nurodo lygtis su parametrais kirvis+b=c.

Išspręsti lygtį su parametrais reiškia:

Nurodykite, kokiomis parametrų reikšmėmis lygtis turi šaknis ir kiek jų yra skirtingoms parametrų reikšmėms.

Raskite visas šaknų išraiškas ir kiekvienai iš jų nurodykite tas parametrų reikšmes, kuriose ši išraiška nustato lygties šaknį.

1.5.Išvados:

Taigi egzistuoja skirtingi grafų su moduliu sudarymo metodai, kuriuos reikia ištirti racionalaus jų panaudojimo galimybėms.

II skyrius

Funkcijų, kuriose yra modulis ir programa, grafikų sudarymo metodų analizė

« Grafikas yra kalbanti linija

kuri gali daug pasakyti“

M.B.Balkas

2.1. Tyrinėdami lygčių tipus su moduliu pamatėme, kad jas galima suskirstyti į tipus ir sprendimo būdus.

Lentelė. Lygčių tipų klasifikacija ir jų sprendimo būdai.

Lygties tipas

Lygties tipas

Sprendimo metodas

1. Lygtis su vienu moduliu

|x n|=a

|x| n=a

1.Pagal modulio apibrėžimą

2.Grafika

3.Analitinis

2. Lygtis, kurią sudaro 2 moduliai

|x n| |x m|=a

1.Pagal modulio apibrėžimą

2.Grafika

3. Intervalinis metodas

4.Analitinis

3.Įdėtieji moduliai

|||x n| m||= A

1.Pagal modulio apibrėžimą

2.Grafika

Išvada: taigi, lygčių klasifikacija suteikia mums bendrus visų tipų lygčių sprendimo būdus - tai pagal apibrėžimą yra modulis ir grafinis metodas.

2.2.Grafikų analizė.

2.2.1. Tipas 1. Konstrukcija y=|x |

2.2.1.1.Pagal apibrėžimą.

1. Sukurkite tiesę y=x

2. Pažymėkite linijos dalį ties x 0

3.Sukonstruoti tiesę y=-x

4. Pasirinkite dalį eilutės ties x<0

2.2.1.2. Simetrijos metodas

1. Sukurkite tiesę y=x

2. Sukuriame simetriją apie abscisių ašį ties x<0

2.2.1.3. Konstrukcija y=|x -2|

1. Sukurkite tiesę y=x-2

2. Pasirinkite tiesės dalį ties x-2 0

3.Sukonstruoti tiesę y=-x+2

4. Pasirinkite tiesės dalį ties x-2<0

Išvada: simetrijos metodas yra racionalesnis

2.2.2. 2 tipas.

Užduotis: sudaryti y= grafiką

2.2.2.1.Intervalinis metodas

1. įjungta
gauname y=-x+3+1-x-4; y = -2x

2. įjungta
gauname=-x+3-1+x-4; y = -2

3. įjungta
gauname y=x-3-1+x-4; y = 2x-8

4. Statome visas tiesias linijas.

5. Pažymėkite eilučių dalis intervalais

2.2.2.2.Nulinio ploto išplėtimo metodas

1. Nuliai: 3 ir 1; išplėstas plotas: 2,4,0

2. Mes apskaičiuojame reikšmes: 3,1,2,4,0 tai yra: -2, -2, -2, 0, 0

3. Sudėkite taškus su jų koordinatėmis ir sujunkite

Išvada: Nulių srities išplėtimo metodas yra racionalesnis

2.2.3. 3 tipas. Įdėti moduliai – „matryoshka“

IR Išnagrinėkime y=||x|-1| konstrukciją

2.2.3.1.Pagal modulio apibrėžimą

Pagal pagrindinio modulio apibrėžimą turime:

1) x>0 y=|x|-1

2) x<0 у=-|х|+1

2. „Pašalinkite“ šį modulį:

Modulis: y=x-1, x>0 ir y=-x+1 x<0

y=-x+1 x>0 y=x-1 x<0

3. Kuriame grafikus

2.2.3.2.Simetrijos metodas

1. y=|x|-1
y=x-1, simetrija

2. Simetrija apie grafiko dalies abscisių ašį, kur x-1<0

Išvada: simetrijos metodas yra racionalesnis.

2.2.4. Rezultatų analizę apibendrinkime lentelėje:

Žinios ir įgūdžiai

Trūkumai

Pagal apibrėžimą

Modulio apibrėžimas

Žinokite: kaip nustatomos tiesių linijų taškų koordinatės

Gebėti atpažinti tiesės dalį naudojant nelygybę

Tūriniai sprendimai

Didelio kiekio žinių pritaikymas

„Pašalinant“ modulį galima padaryti klaidų

Simetrijos metodas

Žinoti ir mokėti taikyti funkcijų transformaciją

Sukurkite simetriją aplink abscisių ašį

Grafų konvertavimo algoritmų išmanymas

Intervalinis metodas

Raskite modulio nulius

Apibrėžkite intervalus ir pusinius intervalus

Išskleisti modulius

Apskaičiuokite modulius

Pateikite panašias sąlygas

Gebėti konstruoti taškus pagal jų koordinates

Sukurkite tiesias linijas

Tūriniai sprendimai

Daug skaičiavimų ir transformacijų šalinant nulius

Atima daug laiko

Teisingas intervalų ir pusintervalų apibrėžimas

Nulinio ploto išplėtimo metodas

Raskite modulio nulius

Gebėti išplėsti nulių plotą

Mokėti apskaičiuoti modulius šiuose taškuose

Gebėti konstruoti taškus pagal jų koordinates

Skaičiavimo klaidų leidimas

Funkcijų transformacijos metodas

Žinokite konvertavimo algoritmą

Gebėti konstruoti taškus pagal jų koordinates

Mokėti apskaičiuoti taškų koordinates

Mokėti taikyti konvertavimo algoritmą

Grafų konvertavimo algoritmų išmanymas

Išvada: išanalizavę lentelę darome išvadą, kad simetrijos ir nulių srities išplėtimo metodas yra racionaliausias, nes turi mažiausiai statybos etapų, o tai reiškia, kad jie taupo laiką.

2.3.Racionaliųjų grafinių metodų taikymas sprendžiant lygtis su moduliu ir parametru

2.3.1. Išspręskite lygtį:

Mes statome y=
ir y = 0,5

2.Išplėstas plotas: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4.Nubraižykite atkarpas ir spindulius

2.3.2. Vieningas valstybinis egzaminas 2009 m Raskite visas a reikšmes, kurių kiekvienos lygtis
, turi lygiai 1 šaknį.a =7. Atlikto darbo metu galėjome išstudijuoti ir analizuoti įvairius grafikų sudarymo metodus. Atlikus grafinių metodų analizę ir palyginimą, buvo padarytos šios išvados:

Algebrinės problemos vertimas į kalbą G Rafikovas leidžia išvengti sudėtingų sprendimų;

Sprendžiant lygtis, kuriose yra modulis ir parametras, grafinis metodas yra vizualesnis ir santykinai paprastesnis;

Kuriant grafikus, kuriuose yra 2 moduliai ir „matrioška“, simetrijos metodas yra praktiškesnis;

Nors grafinis lygčių sprendimo būdas yra apytikslis, nes tikslumas priklauso nuo pasirinkto vieneto segmento, pieštuko storio, linijų susikirtimo kampų ir pan., tačiau šis metodas leidžia įvertinti lygčių šaknų skaičių, sprendžiant lygtis su parametru.

Atsižvelgiant į tai, kad vieni iš populiariausių Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino užduočių yra lygtys su moduliu, mano pagrindinis rezultatas yra tai, kad galiu grafiškai išspręsti lygtis su moduliu ir parametru.

Nuorodos

1.Dankova I. “Išankstinis pasiruošimas matematikoje”, Maskva, 2006 m.

2. Užklasinis darbas matematikos srityje. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratovas: licėjus, 2003 m.

3.Matematika. Vadovėlis, kurį redagavo Ant L.Ya., Maskvos tiltas, 1994 m.

4. Matematika. 8-9 klasės: pasirenkamųjų dalykų rinkinys. 2 leidimas Autorius-sudarytojas: M.E. Kozina, Volgogradas: Mokytojas, 2007 m

5. Yastrebinetsky G.A. Problemos su parametrais. M, 2006 m