vidurinė linija figūros planimetrijoje – atkarpa, jungianti dviejų duotosios figūros kraštinių vidurio taškus. Sąvoka naudojama šioms figūroms: trikampis, keturkampis, trapecija.
Vidurinė trikampio linija
Savybės
- trikampio vidurio linija lygiagreti pagrindui ir lygi jo pusei.
- vidurinė linija nupjauna trikampį, panašų ir homotetinį į pradinį, kurio koeficientas yra 1/2; jo plotas lygus vienai ketvirtai pradinio trikampio ploto.
- trys vidurinės linijos padalija pradinį trikampį į keturis vienodus trikampius. Šių trikampių centrinė dalis vadinama papildomu arba viduriniu trikampiu.
Ženklai
- jei atkarpa yra lygiagreti vienai iš trikampio kraštinių ir jungia vienos trikampio kraštinės vidurio tašką su tašku, esančiu kitoje trikampio pusėje, tada tai yra vidurio linija.
Keturkampio vidurio linija
Keturkampio vidurio linija- atkarpa, jungianti priešingų keturkampio kraštinių vidurio taškus.
Savybės
Pirmoji linija jungia 2 priešingas puses. Antrasis jungia 2 kitas priešingas puses. Trečiasis jungia dviejų įstrižainių centrus (ne visuose keturkampiuose susikirtimo taške įstrižainės dalijamos pusiau).
- Jei išgaubtame keturkampyje vidurio linija sudaro lygius kampus su keturkampio įstrižainėmis, tai įstrižainės yra lygios.
- Keturkampio vidurio linijos ilgis yra mažesnis už pusę kitų dviejų kraštinių sumos arba lygus jai, jei šios kraštinės lygiagrečios, ir tik šiuo atveju.
- Savavališko keturkampio kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės. Jo plotas yra lygus pusei keturkampio ploto, o jo centras yra vidurinių linijų susikirtimo taške. Šis lygiagretainis vadinamas Varinjono lygiagretainiu;
- Paskutinis taškas reiškia: Išgaubtame keturkampyje galite nubrėžti keturis antros rūšies vidurio linijos. Antrosios rūšies vidurio linijos- keturi segmentai keturkampio viduje, einantys per gretimų kraštinių vidurio taškus lygiagrečiai įstrižainėms. Keturi antros rūšies vidurio linijos išgaubto keturkampio, supjaustykite jį į keturis trikampius ir vieną centrinį keturkampį. Šis centrinis keturkampis yra Varinjono lygiagretainis.
- Keturkampio vidurio linijų susikirtimo taškas yra jų bendras vidurio taškas ir dalija atkarpą, jungiančią įstrižainių vidurio taškus. Be to, tai yra keturkampio viršūnių centroidas.
- Savavališkame keturkampyje vidurio linijos vektorius yra lygus pusei bazių vektorių sumos.
Trapecijos vidurio linija
Trapecijos vidurio linija
Trapecijos vidurio linija- atkarpa, jungianti šios trapecijos kraštinių vidurio taškus. Atkarpa, jungianti trapecijos pagrindų vidurio taškus, vadinama antrąja trapecijos vidurio linija.
Jis apskaičiuojamas pagal formulę: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Kur REKLAMA Ir B.C.- trapecijos pagrindas.
Vidurinė trikampio linija
Savybės
- Vidurinė trikampio linija lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei.
- nubrėžus visas tris vidurines linijas, susidaro 4 vienodi trikampiai, panašūs (net homotetiški) į pradinį, kurio koeficientas yra 1/2.
- vidurinė linija nupjauna trikampį, panašų į šį, o jo plotas lygus vienam ketvirtadaliui pradinio trikampio ploto.
Keturkampio vidurio linija
Keturkampio vidurio linija- atkarpa, jungianti priešingų keturkampio kraštinių vidurio taškus.
Savybės
Pirmoji linija jungia 2 priešingas puses. Antrasis jungia 2 kitas priešingas puses. Trečiasis jungia dviejų įstrižainių centrus (ne visų keturkampių centrai susikerta)
- Jei išgaubtame keturkampyje vidurio linija sudaro lygius kampus su keturkampio įstrižainėmis, tai įstrižainės yra lygios.
- Keturkampio vidurio linijos ilgis yra mažesnis už pusę kitų dviejų kraštinių sumos arba lygus jai, jei šios kraštinės lygiagrečios, ir tik šiuo atveju.
- Savavališko keturkampio kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės. Jo plotas yra lygus pusei keturkampio ploto, o jo centras yra vidurinių linijų susikirtimo taške. Šis lygiagretainis vadinamas Varinjono lygiagretainiu;
- Keturkampio vidurio linijų susikirtimo taškas yra jų bendras vidurio taškas ir dalija atkarpą, jungiančią įstrižainių vidurio taškus. Be to, tai yra keturkampio viršūnių centroidas.
- Savavališkame keturkampyje vidurio linijos vektorius yra lygus pusei bazių vektorių sumos.
Trapecijos vidurio linija
Trapecijos vidurio linija- atkarpa, jungianti šios trapecijos kraštinių vidurio taškus. Atkarpa, jungianti trapecijos pagrindų vidurio taškus, vadinama antrąja trapecijos vidurio linija.
Savybės
- vidurio linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusinei sumai.
taip pat žr
Pastabos
Wikimedia fondas.
2010 m.
Pažiūrėkite, kas yra „Vidurinė linija“ kituose žodynuose: VIDURINĖ LINIJA - (1) trapecijos atkarpa, jungianti šoninių trapecijos kraštinių vidurio taškus. Trapecijos vidurio linija lygiagreti jos pagrindams ir lygi jų pusinei sumai; (2) trikampio, atkarpos, jungiančios dviejų šio trikampio kraštinių vidurio taškus: šiuo atveju trečioji kraštinė... ...
Trikampis (trapecija) yra atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių (trapecijos kraštinių) vidurio taškus... Didysis enciklopedinis žodynas
vidurinė linija- 24 centrinė linija: įsivaizduojama linija, einanti per sriegio profilį taip, kad peties storis būtų lygus griovelio pločiui. Šaltinis… Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas
Trikampis (trapecija), atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių (trapecijos kraštinių) vidurio taškus. * * * VIDURIO LINIJA VIDURIO LINIJA trikampio (trapecijos), atkarpos, jungiančios dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus (trapecijos šoninės kraštinės) ... enciklopedinis žodynas
vidurinė linija- vidurio linijos statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso tapo paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: angl. centrinė linija; midtrack linija vok. Mittellinie, f rus. vidurio linija...Sporto terminų žodynas
vidurinė linija- vidurio linijos statusas T sritis Kūno kultūra ir sporto apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: angl. centrinė linija; midtrack linija vok. Mittellinie, f rus. vidurio linija…Sporto terminų žodynas
vidurinė linija- vidurio linijos statusas T sritis Kūno kultūra ir sporto apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiausvyrą. atitikmenys: angl. centrinė linija; midtrack linija vok. Mittellinie, f rus. vidurio linija…Sporto terminų žodynas
1) S. l. trikampis – atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus (trečioji kraštinė vadinama pagrindu). S. l. trikampis yra lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei; trikampio dalių, į kurias jį dalija c, plotas. l.,...... Didžioji sovietinė enciklopedija
Trikampio atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus. Trečioji trikampio kraštinė vadinama trikampio pagrindas. S. l. trikampis yra lygiagretus pagrindui ir lygus pusei jo ilgio. Bet kuriame trikampyje S. l. nutraukia nuo...... Matematinė enciklopedija
Trikampis (trapecija), atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus (trapecijos kraštines) ... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas
Gomelio mokslinė ir praktinė matematikos, jos pritaikymo ir informacinių technologijų moksleivių konferencija „Paieška“
Mokomasis ir tiriamasis darbas
Centrinės geometrinių figūrų linijos
Morozova Elizaveta
Gomelis 2010 m
Įvadas
1.Vidurinių linijų savybės
2. Trikampis, keturkampis, lygiagretainis
3. Keturkampis, tetraedras. Masės centrai
4. Tetraedras, oktaedras, gretasienis, kubas
Išvada
Naudotos literatūros sąrašas
Taikymas
Įvadas
Geometrija yra neatsiejama bendrosios kultūros dalis, o geometriniai metodai yra pasaulio supratimo įrankis, prisideda prie mokslinių idėjų apie supančią erdvę formavimo, Visatos harmonijos ir tobulumo atradimo. Geometrija prasideda nuo trikampio. Jau du tūkstantmečius trikampis yra geometrijos simbolis, tačiau jis nėra simbolis. Trikampis yra geometrijos atomas. Trikampis yra neišsemiamas – nuolat atrandamos naujos jo savybės. Norėdami kalbėti apie visas žinomas jo savybes, jums reikia apimties, panašios į Didžiosios enciklopedijos tūrį. Norime pakalbėti apie geometrinių figūrų vidurio linijas ir jų savybes.
Mūsų darbas seka teoremų grandinę, apimančią visą geometrijos kursą. Jis prasideda teorema apie trikampio vidurio linijas ir veda prie įdomių tetraedro ir kitų daugiakampių savybių.
Figūros vidurio linija yra atkarpa, jungianti dviejų figūros kraštinių vidurio taškus.
1. Vidurio linijų savybės
Trikampio savybės:
Nubrėžus visas tris vidurines linijas, susidaro 4 vienodi trikampiai, panašūs į pirminį, kurio koeficientas yra 1/2.
vidurio linija lygiagreti trikampio pagrindui ir lygi jo pusei;
vidurinė linija nupjauna trikampį, panašų į šį, o jo plotas yra ketvirtadalis jo ploto.
Keturkampio savybės:
jei išgaubtame keturkampyje vidurio linija sudaro lygius kampus su keturkampio įstrižainėmis, tai įstrižainės yra lygios.
keturkampio vidurio linijos ilgis yra mažesnis už pusę kitų dviejų kraštinių sumos arba lygus jai, jei šios kraštinės lygiagrečios, ir tik šiuo atveju.
savavališko keturkampio kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės.
Jo plotas yra lygus pusei keturkampio ploto, o jo centras yra vidurinių linijų susikirtimo taške. Šis lygiagretainis vadinamas Varinjono lygiagretainiu;
Keturkampio vidurio linijų susikirtimo taškas yra jų bendras vidurio taškas ir dalija atkarpą, jungiančią įstrižainių vidurio taškus. Be to, tai yra keturkampio viršūnių centroidas.
Trapecijos savybės:
vidurio linija lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei;
Lygiašonės trapecijos kraštinių vidurio taškai yra rombo viršūnės.
Prie bet kurio trikampio KLM gali būti pritvirtinti trys vienodi trikampiai AKM, BLK, CLM, kurių kiekvienas kartu su trikampiu KLM sudaro lygiagretainį (1 pav.). Šiuo atveju AK = ML = KB, o viršūnė K yra greta trijų kampų, lygių trims skirtingiems trikampio kampams, iš viso 180°, todėl K yra atkarpos AB vidurys; taip pat L yra atkarpos BC vidurio taškas, o M yra atkarpos CA vidurio taškas.
1 teorema. Jei sujungsime bet kurio trikampio kraštinių vidurio taškus, gausime keturis vienodus trikampius, kurių vidurinis sudaro lygiagretainį su kiekvienu iš kitų trijų.
Ši formuluotė apima visas tris vidurines trikampio linijas vienu metu.
2 teorema. Atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, lygiagreti trečiajai trikampio kraštinei ir lygi jos pusei (žr. 1 pav.).
Būtent šios teoremos ir jos priešingos pusės – kad tiesė, lygiagreti pagrindui ir einanti per vienos trikampio kraštinės vidurį, kitą kraštinę dalija pusiau – dažniausiai reikia sprendžiant uždavinius.
Iš teoremos apie trikampio vidurio linijas seka trapecijos vidurio linijos savybė (2 pav.), taip pat teoremos apie atkarpas, jungiančias savavališko keturkampio kraštinių vidurio taškus.
3 teorema. Keturkampio kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės. Šio lygiagretainio kraštinės yra lygiagrečios keturkampio įstrižainėms, o jų ilgiai lygūs pusei įstrižainių ilgių.
Iš tikrųjų, jei K ir L yra kraštinių AB ir BC vidurio taškai (3 pav.), tai KL yra trikampio ABC vidurio linija, todėl atkarpa KL lygiagreti įstrižai AC ir lygi jos pusei; jei M ir N yra kraštinių CD ir AD vidurio taškai, tai atkarpa MN taip pat lygiagreti AC ir lygi AC/2. Taigi atkarpos KL ir MN yra lygiagrečios ir lygios viena kitai, vadinasi, keturkampis KLMN yra lygiagretainis.
Dėl 3 teoremos gauname įdomų faktą (4 dalis).
4 teorema. Bet kuriame keturkampyje atkarpos, jungiančios priešingų kraštinių vidurio taškus, yra padalintos per pusę iš susikirtimo taško.
Šiuose atkarpose matomos lygiagretainio įstrižainės (žr. 3 pav.), o lygiagretainyje įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško (šis taškas yra lygiagretainio simetrijos centras).
Matome, kad 3 ir 4 teoremos bei mūsų samprotavimai išlieka teisingi tiek neišgaubtam keturkampiui, tiek savaime besikertančiai keturkampei uždarai laužinei linijai (4 pav.; pastaruoju atveju gali pasirodyti, kad lygiagretainis KLMN yra „išsigimęs“). - taškai K, L, M, N yra toje pačioje tiesėje).
Parodykime, kaip iš 3 ir 4 teoremų galime išvesti pagrindinę teoremą apie trikampio medianas.
Teorema5 . Trikampio medianos susikerta viename taške ir padalija jį santykiu 2:1 (skaičiuojant nuo viršūnės, iš kurios brėžiama mediana).
Nubrėžkime dvi trikampio ABC medianas AL ir SC. Tegul O yra jų susikirtimo taškas. Neišgaubto keturkampio ABCO kraštinių vidurio taškai yra taškai K, L, M ir N (5 pav.) - lygiagretainio viršūnės, o jo įstrižainių KM ir LN susikirtimo taškas mūsų konfigūracijai bus medianų O susikirtimo taškas. Taigi, AN = NO = OL ir CM = MO = OK, t.y. taškas O padalija kiekvieną medianų AL ir CK santykiu 2:1.
Vietoj medianos SC galėtume atsižvelgti į medianą, nubrėžtą iš viršūnės B, ir įsitikinti, kad ji padalija medianą AL santykiu 2:1, tai yra, ji eina per tą patį tašką O.
3. Keturkampis ir tetraedras. Masės centrai
3 ir 4 teoremos taip pat galioja bet kuriai erdvinei uždarai laužtinei linijai, susidedančiai iš keturių grandžių AB, BC, CD, DA, kurių keturios viršūnės A, B, C, D nėra toje pačioje plokštumoje.
Tokį erdvinį keturkampį galima gauti iškirpus iš popieriaus keturkampį ABCD ir įstrižai jį sulenkus tam tikru kampu (6 pav., a). Aišku, kad trikampių ABC ir ADC vidurio linijos KL ir MN išlieka jų vidurio linijomis ir bus lygiagrečios atkarpai AC ir lygios AC/2. (Čia mes naudojame faktą, kad pagrindinė lygiagrečių tiesių savybė išlieka teisinga erdvei: jei dvi tiesės KL ir MN yra lygiagrečios trečiajai tiesei AC, tai KL ir MN yra toje pačioje plokštumoje ir yra lygiagrečios viena kitai.)
Taigi taškai K, L, M, N yra lygiagretainio viršūnės; Taigi atkarpos KM ir LN susikerta ir dalijamos per pusę susikirtimo taško. Vietoj keturkampio galime kalbėti apie tetraedrą – trikampę piramidę ABCD: jos briaunų AB, AC, CD ir DA vidurio taškai K, L, M, N visada yra toje pačioje plokštumoje. Pjaudami tetraedrą išilgai šios plokštumos (6 pav., b), gauname lygiagretainį KLMN, kurio dvi kraštinės lygiagrečios kraštinei AC ir lygios
AC/2, o kitos dvi lygiagrečios kraštinei BD ir lygios BD/2.
Tą patį lygiagretainį - tetraedro „vidurinį pjūvį“ - galima sukonstruoti kitoms priešingų briaunų poroms. Kiekvienas iš šių trijų lygiagretainių turi bendrą įstrižainę. Šiuo atveju įstrižainių vidurio taškai sutampa. Taigi gauname įdomią išvadą:
6 teorema. Trys atkarpos, jungiančios priešingų tetraedro briaunų vidurio taškus, susikerta viename taške ir juo dalijamos pusiau (7 pav.).
Šis ir kiti aukščiau aptarti faktai natūraliai paaiškinami mechanikos kalba – naudojant masės centro sąvoką. 5 teorema kalba apie vieną iš puikių trikampio taškų – medianų susikirtimo tašką; 6 teoremoje – apie nuostabų tašką keturioms tetraedro viršūnėms. Šie taškai yra atitinkamai trikampio ir tetraedro masės centrai. Pirmiausia grįžkime prie 5 teoremos dėl medianų.
Trikampio viršūnėse pastatykime tris vienodus svarmenis (8 pav.).
Paimkime kiekvieno masę kaip vieną. Raskime šios apkrovos sistemos masės centrą.
Pirmiausia panagrinėkime dvi apkrovas, esančias viršūnėse A ir B: jų masės centras yra atkarpos AB viduryje, todėl šiuos svorius galima pakeisti viena 2 masės apkrova, esančia atkarpos AB viduryje K ( 8 pav., a). Dabar reikia rasti dviejų apkrovų sistemos masės centrą: vienos masės 1 taške C, o antrosios masės 2 taške K. Pagal svirties taisyklę tokios sistemos masės centras yra ties taške C. taškas O, dalijant atkarpą SC santykiu 2:1 (arčiau apkrovos taške K su didesne mase - 8 pav., b).
Pirmiausia galėtume sujungti apkrovas taškuose B ir C, o tada gautą 2 masės apkrovą atkarpos BC viduryje L su apkrova taške A. Arba pirmiausia sujungti apkrovas A ir C, a. tada pridėkite B. Bet kuriuo atveju turėtume gauti tą patį rezultatą. Taigi masės centras yra taške O, kiekvieną medianą dalijant santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Panašiais samprotavimais būtų galima paaiškinti 4 teoremą – tai, kad atkarpos, jungiančios priešingų keturkampio kraštinių vidurio taškus, dalija viena kitą pusiau (tarnauja kaip lygiagretainio įstrižainės): užtenka keturkampio viršūnėse sudėti vienodus svorius ir sujungti. juos poromis dviem būdais (9 pav.).
Žinoma, keturis vienetinius svorius, esančius plokštumoje arba erdvėje (tetraedro viršūnėse), galima padalyti į dvi poras trimis būdais; masės centras yra viduryje tarp atkarpų, jungiančių šias taškų poras, vidurio taškų (10 pav.) – 6 teoremos paaiškinimas. (Plokščiam keturkampiui gautas rezultatas atrodo taip: dvi atkarpos, jungiančios priešingos kraštinės ir atkarpa, jungianti įstrižainių vidurio taškus, susikerta viename taške Oh ir padalija ją pusiau).
Per tašką O - keturių identiškų apkrovų masės centrą - praeina dar keturi segmentai, jungiantys kiekvieną iš jų su kitų trijų masės centru. Šios keturios atkarpos yra padalintos iš taško O santykiu 3:1. Norėdami paaiškinti šį faktą, pirmiausia turite rasti trijų svarmenų masės centrą ir tada pritvirtinti ketvirtąjį.
4. Tetraedras, oktaedras, gretasienis, kubas
Darbo pradžioje žiūrėjome į trikampį, vidurinėmis linijomis padalintą į keturis vienodus trikampius (žr. 1 pav.). Pabandykime tą pačią konstrukciją padaryti savavališkai trikampei piramidei (tetraedrui). Tetraedrą supjaustykime į gabalus taip: per trijų kraštų, išeinančių iš kiekvienos viršūnės, vidurius padarome plokščią pjūvį (11 pav., a). Tada iš tetraedro bus iškirpti keturi identiški maži tetraedrai. Pagal analogiją su trikampiu galima manyti, kad viduryje būtų dar vienas panašus tetraedras. Bet taip nėra: iš didžiojo tetraedro likęs, pašalinus keturis mažuosius, daugiakampis turės šešias viršūnes ir aštuonis paviršius – jis vadinamas oktaedru (11.6 pav.). Patogus būdas tai patikrinti yra naudoti tetraedro formos sūrio gabalėlį. Gautas oktaedras turi simetrijos centrą, nes priešingų tetraedro kraštų vidurio taškai susikerta bendrame taške ir yra perkirsti per pusę.
Viena įdomi konstrukcija siejama su trikampiu, padalytu vidurinėmis linijomis į keturis trikampius: šią figūrą galime laikyti tam tikro tetraedro raida.
Įsivaizduokime iš popieriaus iškirptą aštrų trikampį. Išlenkus jį išilgai vidurinių linijų taip, kad viršūnės susilietų viename taške, o popieriaus kraštus suklijuojant šioje vietoje susiliejančius, gauname tetraedrą, kuriame visi keturi paviršiai yra lygūs trikampiai; priešingos jo briaunos lygios (12 pav.). Toks tetraedras vadinamas pusiau taisyklingu. Kiekviena iš trijų šio tetraedro „vidurinių atkarpų“ – lygiagretainių, kurių kraštinės lygiagrečios priešingoms briaunoms ir lygios jų pusėms – bus rombas.
Todėl šių lygiagretainių įstrižainės – trys atkarpos, jungiančios priešingų briaunų vidurio taškus – yra statmenos viena kitai. Tarp daugybės pusiau taisyklingo tetraedro savybių atkreipiame dėmesį į tai: kampų, susiliejančių kiekvienoje jo viršūnėje, suma yra lygi 180° (šie kampai atitinkamai lygūs pradinio trikampio kampams). Visų pirma, jei pradedame nuo lygiakraščio trikampio, gauname taisyklingą tetraedrą su
Darbo pradžioje matėme, kad kiekvienas trikampis gali būti laikomas trikampiu, sudarytu iš didesnio trikampio vidurio linijų. Tokiai konstrukcijai tiesioginės analogijos erdvėje nėra. Bet pasirodo, kad bet kuris tetraedras gali būti laikomas gretasienio „šerdimi“, kuriame visos šešios tetraedro briaunos tarnauja kaip veidų įstrižainės. Norėdami tai padaryti, turite atlikti tokią konstrukciją erdvėje. Per kiekvieną tetraedro kraštą nubrėžiame plokštumą, lygiagrečią priešingam kraštui. Plokštumos, nubrėžtos per priešingas tetraedro briaunas, bus lygiagrečios viena kitai (jos yra lygiagrečios „vidurinės pjūvio“ plokštumai - lygiagrečiai, kurių viršūnės yra kitų keturių tetraedro kraštų viduryje). Taip gaunamos trys lygiagrečių plokštumų poros, kurių susikirtimo metu susidaro norimas gretasienis (dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečioji išilgai lygiagrečių tiesių). Tetraedro viršūnės tarnauja kaip keturios negretimos sukonstruoto gretasienio viršūnės (13 pav.). Priešingai, bet kuriame gretasienyje galite pasirinkti keturias ne gretimas viršūnes ir iš jo nupjauti kampinius tetraedrus, kurių plokštumos eina per kiekvieną iš jų. Po to liks „šerdis“ - tetraedras, kurio kraštai yra gretasienio veidų įstrižainės.
Jei pradinis tetraedras yra pusiau taisyklingas, tai kiekvienas sukonstruoto gretasienio paviršius bus lygiagretainis su lygiomis įstrižainėmis, t.y. stačiakampis.
Taip pat yra priešingai: stačiakampio gretasienio „šerdis“ yra pusiau taisyklingas tetraedras. Trys rombai – tokio tetraedro vidurinės dalys – yra trijose viena kitai statmenose plokštumose. Jie tarnauja kaip oktaedro simetrijos plokštumos, gautos iš tokio tetraedro, nupjaunant kampus.
Taisyklingo tetraedro atveju aplink jį aprašytas gretasienis bus kubas (14 pav.), o šio kubo paviršių centrai – tetraedro briaunų viduriai – bus taisyklingo oktaedro viršūnės, visos kurių veidai yra taisyklingi trikampiai. (Trys oktaedro simetrijos plokštumos kerta tetraedrą kvadratais.)
Taigi 14 paveiksle iš karto matome tris iš penkių platoniškų kietųjų kūnų (taisyklingųjų daugiakampių) – kubą, tetraedrą ir oktaedrą.
Išvada
Remiantis atliktu darbu, galima padaryti tokias išvadas:
Vidurinės linijos turi įvairių naudingų savybių geometrinėse figūrose.
Vieną teoremą galima įrodyti naudojant figūrų vidurio liniją, taip pat paaiškinti mechanikos kalba - naudojant masės centro sąvoką.
Naudodami vidurio linijas galite konstruoti įvairias planimetrines (lygiagretainis, rombas, kvadratas) ir stereometrines figūras (kubą, oktaedrą, tetraedrą ir kt.).
Vidurio linijų savybės padeda racionaliai išspręsti bet kokio lygio problemas.
Naudotų šaltinių ir literatūros sąrašas
Mėnesinis SSRS mokslų akademijos ir Pedagogikos mokslų akademijos literatūros fizikos ir matematikos populiarinimo žurnalas. „Kvantas Nr.6 1989 p. 46.
S. Aksimova. Linksma matematika. – Sankt Peterburgas, „Trigonas“, 1997 p. 526.
V.V.
Šlykovas, L.E. Zezetko. Praktinės geometrijos pamokos, 10 klasė: vadovas mokytojams - Mn.: TetraSystems, 2004 p.
68,76, 78.
Taikymas
Kodėl trapecijos vidurio linija negali eiti per įstrižainių susikirtimo tašką?
BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - gretasienis.
Taškai E ir F yra veidų įstrižainių susikirtimo taškai. AA1B 1 B ir BB 1 C 1 C atitinkamai, o taškai K ir T yra atitinkamai šonkaulių AD ir DC vidurio taškai.
Ar tiesa, kad tiesės EF ir CT yra lygiagrečios? Trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1 taškai O ir F yra atitinkamai kraštinių AB ir BC viduriai. Taškai T ir K yra atitinkamai atkarpų AB 1 ir BC 1 vidurys. Kaip yra tiesioginės linijos TK ir OF? ABCA 1 B 1 C 1 – taisyklinga trikampė prizmė, kurios visos briaunos yra lygios viena kitai. Taškas O yra briaunos CC 1 vidurys, o taškas F yra briaunoje BB] taip, kad BF: FB X =1:3. Kaip yra tiesioginės linijos TK ir OF? Sukurkite tašką K, kuriame tiesė l, einanti per tašką F, lygiagrečią tiesei AO, kerta plokštumą ABC. Apskaičiuokite bendrą prizmės paviršiaus plotą, jei KF = 1 cm. figūra Anksčiau. 2. Tai geometrinis figūra . Tai yra suformuotas uždaro
linija
. Yra išgaubtų ir neišgaubtų. U
figūros
yra pusės..., sektorius, rutulys, atkarpa, sinusas, vidurys,
vidutinis
linija
Nubrėžkime įstrižainę \(AC\), padalijančią šį keturkampį į du vienodus trikampius: \(ABC\) ir \(CDA\) . Šie trikampiai yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų (\(AC\) yra bendroji kraštinė, \(AB = CD\) pagal sąlygą, \(\kampas 1 = \kampas 2\) kaip kryžminiai kampai sankirtoje lygiagrečių linijų \ (AB\) ir \(CD\) sekantas \(AC\) ), taigi \(\kampas 3 = \kampas 4\) . Tačiau kampai \(3\) ir \(4\) yra kryžmiškai tiesių \(AD\) ir \(BC\) susikirtimo taške \(AC\), todėl \(AD\parallel BC \) . Taigi keturkampio \(ABCD\) priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios, todėl keturkampis \(ABCD\) yra lygiagretainis.
Teorema (antrasis lygiagretainio ženklas)
Jei keturkampyje priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.
vidutinis
Nubrėžkime šio keturkampio \(ABCD\) įstrižainę \(AC\), padalindami jį į trikampius \(ABC\) ir \(CDA\) .
Šie trikampiai yra lygūs iš trijų kraštinių (\(AC\) – bendra, \(AB = CD\) ir \(BC = DA\) pagal sąlygą, todėl \(\kampas 1 = \kampas 2\) – guli skersai ties \(AB\) ir \(CD\) ir sekant \(AC\) . Iš to išplaukia, kad \(AB\parallel CD\) . Kadangi \(AB = CD\) ir \(AB\parallel CD\) , tai pagal pirmąjį lygiagretainio kriterijų keturkampis \(ABCD\) yra lygiagretainis.
Teorema (trečiasis lygiagretainio ženklas)
Jei keturkampio įstrižainės susikerta ir yra padalintos per pusę iš susikirtimo taško, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.
vidutinis
Apsvarstykite keturkampį \(ABCD\), kuriame įstrižainės \(AC\) ir \(BD\) susikerta taške \(O\) ir yra padalijamos per šį tašką.
Trikampiai \(AOB\) ir \(COD\) yra lygūs pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą (\(AO = OC\), \(BO = OD\) pagal sąlygą, \(\angle AOB = \kampas COD\) kaip vertikalūs kampai), taigi \(AB = CD\) ir \(\kampas 1 = \kampas 2\) . Iš kampų lygybės \(1\) ir \(2\) (skersai yra ties \(AB\) ir \(CD\) ir sekantas \(AC\) ) išplaukia, kad \(AB\parallel CD \) .
Taigi keturkampyje \(ABCD\) kraštinės \(AB\) ir \(CD\) yra lygios ir lygiagrečios, o tai reiškia, kad pagal pirmąjį lygiagretainio kriterijų keturkampis \(ABCD\) yra lygiagretainis .
Lygiagretainio savybės:
1. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, o priešingi kampai yra lygūs.
2. Lygiagretainio įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško.
Lygiagretainio pusiausvyros savybės:
1. Lygiagretainio bisektorius iš jo atkerta lygiašonį trikampį.
2. Lygiagretainio gretimų kampų bisektoriai susikerta stačiu kampu.
3. Priešingų kampų bisektoriaus atkarpos yra lygios ir lygiagrečios.
vidutinis
1) Tegul \(ABCD\) yra lygiagretainis, \(AE\) yra kampo \(BAD\) pusiausvyra.
Kampai \(1\) ir \(2\) yra lygūs, yra skersai lygiagrečių linijų \(AD\) ir \(BC\) ir sekanto \(AE\). Kampai \(1\) ir \(3\) yra lygūs, nes \(AE\) yra pusiausvyra. Galų gale \(\kampas 3 = \kampas 1 = \kampas 2\), o tai reiškia, kad trikampis \(ABE\) yra lygiašonis.
2) Tegul \(ABCD\) yra lygiagretainis, \(AN\) ir \(BM\) yra atitinkamai kampų \(BAD\) ir \(ABC\) pusiausvyros.
Kadangi lygiagrečių tiesių ir skersinių vienpusių kampų suma yra lygi \(180^(\circ)\), tada \(\angle DAB + \angle ABC = 180^(\circ)\).
Kadangi \(AN\) ir \(BM\) yra pusiausvyros, tada \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), kur \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\).
3. Tegul \(AN\) ir \(CM\) yra lygiagretainio \(ABCD\) kampų pusiausvyros.
Kadangi lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs, tada \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \kampas 1\). Be to, kampai \(1\) ir \(3\) yra lygūs, kryžmiškai su lygiagrečiomis linijomis \(AD\) ir \(BC\) ir sekantu \(CM\), tada \(\kampas 2 = \kampas 3\) , o tai reiškia, kad \(AN\parallel CM\) . Be to, \(AM\parallel CN\) , tada \(ANCM\) yra lygiagretainis, taigi \(AN = CM\) .
Vadinamas keturkampis, kurio tik dvi kraštinės lygiagrečios trapecijos formos.
Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos priežastys, o tos kraštinės, kurios nėra lygiagrečios, vadinamos pusės. Jei kraštinės lygios, tai tokia trapecija yra lygiašonė. Atstumas tarp pagrindų vadinamas trapecijos aukščiu.
Vidurinės linijos trapecija
Vidurinė linija yra atkarpa, jungianti trapecijos kraštinių vidurio taškus. Trapecijos vidurio linija lygiagreti jos pagrindams.
Teorema:
Jei tiesė, kertanti vienos kraštinės vidurį, yra lygiagreti trapecijos pagrindams, tai ji dalija antrąją trapecijos kraštinę.
Teorema:
Vidurinės linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN vidurio linija, AB ir CD - bazės, AD ir BC - šoninės pusės
MN = (AB + DC)/2
Teorema:
Trapecijos vidurio linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui.
Pagrindinė užduotis: Įrodykite, kad trapecijos vidurio linija dalija atkarpą, kurios galai yra trapecijos pagrindų viduryje.
Vidurinė trikampio linija
Atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, vadinama trikampio vidurio linija. Jis yra lygiagretus trečiajai pusei, o jo ilgis yra lygus pusei trečiosios kraštinės ilgio.
Teorema: Jei tiesė, kertanti vienos trikampio kraštinės vidurio tašką, yra lygiagreti kitai trikampio kraštinei, tada ji padalija trečiąją kraštinę.
AM = MC ir BN = NC =>
Trikampio ir trapecijos vidurio linijos savybių taikymas
Segmento padalijimas į tam tikrą skaičių lygių dalių.
Užduotis: atkarpą AB padalinkite į 5 lygias dalis.
Sprendimas:
Tegul p yra atsitiktinis spindulys, kurio pradžia yra taškas A ir kuris nėra tiesėje AB. Mes paeiliui atidedame 5 vienodus segmentus p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Sujungiame A 5 su B ir per A 4, A 3, A 2 ir A 1 nubrėžiame tokias linijas, kurios yra lygiagrečios A 5 B. Jos kerta AB atitinkamai taškuose B 4, B 3, B 2 ir B 1. Šie taškai padalija atkarpą AB į 5 lygias dalis. Iš tiesų, iš trapecijos BB 3 A 3 A 5 matome, kad BB 4 = B 4 B 3. Lygiai taip pat iš trapecijos B 4 B 2 A 2 A 4 gauname B 4 B 3 = B 3 B 2
Nors iš trapecijos B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Tada iš B 2 AA 2 išeina, kad B 2 B 1 = B 1 A. Apibendrinant gauname:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Aišku, kad atkarpą AB padalyti į kitą lygių dalių skaičių, reikia tiek pat vienodų atkarpų projektuoti į spindulį p. Ir tada tęskite aukščiau aprašytu būdu.
