Trikampis yra geometrinė figūra, kurią sudaro trys tiesios linijos, jungiančios taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Linijų sujungimo taškai yra trikampio viršūnės, kurios žymimos lotyniškomis raidėmis (pavyzdžiui, A, B, C). Trikampio jungiamosios tiesės vadinamos atkarpomis, kurios taip pat dažniausiai žymimos lotyniškomis raidėmis. Išskiriami šie trikampių tipai:
- Stačiakampis.
- Bukas.
- Ūmus kampinis.
- Universalus.
- Lygiakraščiai.
- Lygiašonis.
Bendrosios trikampio ploto skaičiavimo formulės
Trikampio ploto formulė pagal ilgį ir aukštį
S = a*h/2,
kur a yra trikampio, kurio plotą reikia rasti, kraštinės ilgis, h yra aukščio, nubrėžto iki pagrindo, ilgis.
Garnio formulė
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
čia √ – kvadratinė šaknis, p – trikampio pusperimetras, a,b,c – kiekvienos trikampio kraštinės ilgis. Trikampio pusperimetras gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę p=(a+b+c)/2.
Trikampio ploto formulė pagal atkarpos kampą ir ilgį
S = (a*b*sin(α))/2,
čia b,c yra trikampio kraštinių ilgis, sin(α) yra kampo tarp dviejų kraštinių sinusas.
Trikampio ploto formulė, atsižvelgiant į įbrėžto apskritimo spindulį ir tris kraštines
S=p*r,
čia p yra trikampio, kurio plotą reikia rasti, pusperimetras, r yra į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys.
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir aplink jį apibrėžto apskritimo spinduliu
S = (a*b*c)/4*R,
kur a,b,c yra kiekvienos trikampio kraštinės ilgis, R yra apskritimo, apibrėžiamo aplink trikampį, spindulys.
Trikampio ploto formulė, pagrįsta Dekarto taškų koordinatėmis
Dekarto taškų koordinatės yra xOy sistemos koordinatės, kur x yra abscisė, y yra ordinatė. Dekarto koordinačių sistema xOy plokštumoje yra viena kitai statmenos skaitinės ašys Ox ir Oy, turinčios bendrą pradžią taške O. Jei taškų koordinatės šioje plokštumoje pateiktos A(x1, y1), B(x2, y2) forma. ) ir C(x3, y3), tada galite apskaičiuoti trikampio plotą naudodami šią formulę, kuri gaunama iš dviejų vektorių vektorinės sandaugos.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kur || reiškia modulį.
Kaip rasti stačiojo trikampio plotą
Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas kampas yra 90 laipsnių. Trikampis gali turėti tik vieną tokį kampą.
Stačiojo trikampio iš dviejų pusių ploto formulė
S = a*b/2,
kur a, b yra kojų ilgis. Kojos yra šonai, besiribojantys su stačiu kampu.
Stačiojo trikampio ploto formulė, pagrįsta hipotenuze ir smailiu kampu
S = a*b*sin(α)/2,
čia a, b yra trikampio kojos, o sin(α) yra kampo, kuriuo susikerta tiesės a, b sinusas.
Stačiojo trikampio ploto formulė, pagrįsta kraštiniu ir priešingu kampu
S = a*b/2*tg(β),
čia a, b yra trikampio kojos, tan(β) yra kampo, kuriuo sujungtos kojos a, b, liestinė.
Kaip apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą
Lygiašonis trikampis yra tas, kuris turi dvi lygias kraštines. Šios pusės vadinamos šonais, o kita pusė yra pagrindas. Norėdami apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą, galite naudoti vieną iš šių formulių.
Pagrindinė lygiašonio trikampio ploto skaičiavimo formulė
S=h*c/2,
čia c – trikampio pagrindas, h – trikampio, nuleisto iki pagrindo, aukštis.
Lygiašonio trikampio formulė, pagrįsta kraštine ir pagrindu
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kur c yra trikampio pagrindas, a yra vienos iš lygiašonio trikampio kraštinių dydis.
Kaip rasti lygiakraščio trikampio plotą
Lygiakraštis trikampis yra trikampis, kurio visos kraštinės yra lygios. Norėdami apskaičiuoti lygiakraščio trikampio plotą, galite naudoti šią formulę:
S = (√3*a*a)/4,
čia a yra lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis.
Aukščiau pateiktos formulės leis jums apskaičiuoti reikiamą trikampio plotą. Svarbu atsiminti, kad norint apskaičiuoti trikampių plotą, reikia atsižvelgti į trikampio tipą ir turimus duomenis, kuriuos galima naudoti skaičiuojant.
Kartais gyvenime pasitaiko situacijų, kai ieškant seniai pamirštų mokyklinių žinių tenka gilintis į savo atmintį. Pavyzdžiui, reikia nustatyti trikampio formos sklypo plotą arba atėjo laikas kitai renovacijai bute ar privačiame name ir reikia apskaičiuoti, kiek medžiagos reikės paviršiui su trikampio formos. Buvo laikas, kai tokią problemą galėjote išspręsti per porą minučių, bet dabar desperatiškai bandote prisiminti, kaip nustatyti trikampio plotą?
Nesijaudink dėl to! Juk visai normalu, kai žmogaus smegenys nusprendžia ilgai nenaudotas žinias perkelti kur nors į atokų kampelį, iš kurio kartais ne taip paprasta jas ištraukti. Kad jums nereikėtų ieškoti pamirštų mokyklinių žinių, kad išspręstumėte tokią problemą, šiame straipsnyje pateikiami įvairūs metodai, padedantys lengvai rasti reikiamą trikampio plotą.
Gerai žinoma, kad trikampis yra daugiakampio tipas, apribotas iki minimalaus galimo kraštinių skaičiaus. Iš esmės bet kurį daugiakampį galima padalyti į kelis trikampius, jo viršūnes sujungiant atkarpomis, kurios nesikerta jo kraštinių. Todėl, žinodami trikampį, galite apskaičiuoti beveik bet kurios figūros plotą.
Tarp visų galimų gyvenime pasitaikančių trikampių galima išskirti šiuos konkrečius tipus: ir stačiakampius.
Lengviausias būdas apskaičiuoti trikampio plotą yra tada, kai vienas iš jo kampų yra stačiakampis, tai yra, stačiakampio trikampio atveju. Nesunku pastebėti, kad tai pusė stačiakampio. Todėl jo plotas yra lygus pusei kraštinių, kurie sudaro stačiu kampu vienas su kitu, sandaugos.
Jei žinome trikampio, nuleisto nuo vienos jo viršūnės į priešingą kraštinę, aukštį ir šios kraštinės, vadinamos pagrindu, ilgį, tai plotas skaičiuojamas kaip pusė aukščio ir pagrindo sandaugos. Tai parašyta naudojant šią formulę:
S = 1/2*b*h, kuriame
S yra reikalingas trikampio plotas;
b, h - atitinkamai trikampio aukštis ir pagrindas.
Taip lengva apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą, nes aukštis bus padalintas į priešingą pusę ir gali būti lengvai išmatuotas. Jei plotas yra nustatytas, tada kaip aukštį patogu paimti vienos iš kraštinių, sudarančių stačią kampą, ilgį.
Visa tai, žinoma, gerai, bet kaip nustatyti, ar vienas iš trikampio kampų yra teisingas, ar ne? Jei mūsų figūros dydis mažas, tuomet galime naudoti konstrukcinį kampą, piešimo trikampį, atviruką ar kitą stačiakampio formos daiktą.
Bet ką daryti, jei turime trikampį žemės sklypą? Tokiu atveju elkitės taip: nuo tariamo stačiojo kampo viršaus vienoje pusėje suskaičiuokite atstumo kartotinį 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), o kitoje pusėje išmatuokite atstumo kartotinį iš 4 proporcija (40 cm, 160 cm, 4 m). Dabar reikia išmatuoti atstumą tarp šių dviejų segmentų galinių taškų. Jei rezultatas yra 5 kartotinis (50 cm, 250 cm, 5 m), tada galime sakyti, kad kampas yra teisingas.
Jei žinomas kiekvienos iš trijų mūsų figūros kraštinių ilgis, tada trikampio plotą galima nustatyti naudojant Herono formulę. Kad ji būtų paprastesnė, naudojama nauja reikšmė, kuri vadinama pusiau perimetru. Tai yra visų mūsų trikampio kraštinių suma, padalinta per pusę. Apskaičiavę pusperimetrą, galite pradėti nustatyti plotą naudodami formulę:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kur
sqrt - kvadratinė šaknis;
p - pusiau perimetro reikšmė (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - trikampio briaunos (kraštinės).
Bet ką daryti, jei trikampis yra netaisyklingos formos? Čia yra du galimi būdai. Pirmasis iš jų – pabandyti tokią figūrą padalinti į du stačiuosius trikampius, kurių plotų suma apskaičiuojama atskirai, o po to pridedama. Arba, jei kampas tarp dviejų kraštinių ir šių kraštinių dydis yra žinomi, taikykite formulę:
S = 0,5 * ab * sinC, kur
a,b - trikampio kraštinės;
c yra kampo tarp šių kraštinių dydis.
Pastarasis atvejis praktikoje yra retas, tačiau nepaisant to, gyvenime viskas įmanoma, todėl aukščiau pateikta formulė nebus nereikalinga. Sėkmės atliekant skaičiavimus!
Ploto samprata
Bet kurios geometrinės figūros, ypač trikampio, ploto sąvoka bus susieta su tokia figūra kaip kvadratas. Bet kurios geometrinės figūros ploto vienetui imsime kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotą. Norėdami išsamumo, prisiminkime dvi pagrindines geometrinių figūrų plotų sąvokos savybes.
1 nuosavybė: Jei geometrinės figūros lygios, tai jų plotai taip pat lygūs.
2 nuosavybė: Bet kurią figūrą galima suskirstyti į kelias figūras. Be to, pradinės figūros plotas yra lygus visų ją sudarančių figūrų plotų sumai.
Pažiūrėkime į pavyzdį.
1 pavyzdys
Akivaizdu, kad viena iš trikampio kraštinių yra stačiakampio įstrižainė, kurios vienos kraštinės ilgis yra $5$ (kadangi yra $5$ langelių), o kitos - $6$ (kadangi yra $6$ langelių). Todėl šio trikampio plotas bus lygus pusei tokio stačiakampio. Stačiakampio plotas yra
Tada trikampio plotas lygus
Atsakymas: 15 USD.
Toliau apsvarstysime kelis trikampių plotų radimo būdus, būtent naudojant aukštį ir pagrindą, naudojant Herono formulę ir lygiakraščio trikampio plotą.
Kaip rasti trikampio plotą naudojant jo aukštį ir pagrindą
1 teorema
Trikampio plotą galima rasti kaip pusę kraštinės ilgio ir aukščio iki tos pusės sandaugos.
Matematiškai tai atrodo taip
$S=\frac(1)(2)αh$
kur $a$ yra kraštinės ilgis, $h$ yra jos aukštis.
Įrodymas.
Apsvarstykite trikampį $ABC$, kuriame $AC=α$. Į šią pusę nubrėžtas aukštis $BH$, kuris lygus $h$. Pastatykime jį iki kvadrato $AXYC$, kaip parodyta 2 paveiksle.
Stačiakampio $AXBH$ plotas yra $h\cdot AH$, o stačiakampio $HBYC$ plotas yra $h\cdot HC$. Tada
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Todėl reikalingas trikampio plotas pagal savybę 2 yra lygus
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorema įrodyta.
2 pavyzdys
Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite trikampio plotą, jei langelio plotas lygus vienetui
Šio trikampio pagrindas lygus $9$ (nes $9$ yra $9$ kvadratai). Aukštis taip pat yra 9 USD. Tada pagal 1 teoremą gauname
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Atsakymas: 40,5 USD.
Garnio formulė
2 teorema
Jei mums pateikiamos trys trikampio kraštinės $α$, $β$ ir $γ$, tai jo plotą galima rasti taip
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
čia $ρ$ reiškia šio trikampio pusperimetrą.
Įrodymas.
Apsvarstykite šį paveikslą:
Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio $ABH$ gauname
Iš trikampio $CBH$ pagal Pitagoro teoremą turime
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Iš šių dviejų santykių gauname lygybę
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kadangi $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tada $α+β+γ=2ρ$, o tai reiškia
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Pagal 1 teoremą gauname
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Instrukcijos
1. Dviems kojoms S = a * b/2, a, b – kojos,
Antrasis ploto skaičiavimo variantas naudoja žinomų kampų sinusus, o ne kotangentus. Šioje versijoje kvadratas yra lygus žinomos kraštinės ilgio kvadratui, padaugintam iš kiekvieno kampo sinusų ir padalijus iš šių kampų dvigubo sinuso: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *sin(α + β)). Pavyzdžiui, tam pačiam trikampiui, kurio žinoma kraštinė yra 15 cm, ir šalia jo kampus esant 40° ir 60°, ploto apskaičiavimas atrodys taip: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 kvadratinių centimetrų.
Trikampio ploto skaičiavimo versija apima kampus. Plotas bus lygus žinomos kraštinės ilgio kvadratui, padaugintam iš kiekvieno kampo liestinių ir padalijus iš dvigubos šių kampų liestinių sumos: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Pavyzdžiui, ankstesniuose žingsniuose naudotam trikampiui, kurio kraštinė yra 15 cm ir greta kampus esant 40° ir 60°, ploto apskaičiavimas atrodys taip: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 kvadratinių centimetrų.
Trikampis yra paprasčiausias daugiakampis, turintis tris viršūnes ir tris kraštines. Trikampis, kurio vienas kampas yra tiesus, vadinamas stačiu trikampiu. Stačiakampiams trikampiams taikomos visos bendrųjų trikampių formulės. Tačiau juos galima modifikuoti, atsižvelgiant į stačiojo kampo savybes.
Instrukcijos
Pagrindinis norint rasti sritį trikampis per pagrindą taip: S = 1/2 * b * h, kur b yra pusė trikampis ir h – trikampis. Aukštis trikampis yra statmenas, nubrėžtas iš viršūnės trikampisį eilutę, kurioje yra priešingybė. Skirtas stačiakampiui trikampis aukštis k b sutampa su koja a. Taip gausite formulę plotui apskaičiuoti trikampis su kampu: S = 1/2 * a * b.
Apsvarstykite. Tegu stačiakampyje a = 3, b = 4. Tada S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Apskaičiuokite kvadratas tas pats trikampis, bet dabar tebūnie žinoma tik viena kraštinė, b = 4. Taip pat žinomas kampas α, tan α = 3/4. Tada iš trigonometrinės funkcijos liestinės α išraiškos išreikškite koją a: tg α = a/b => a = b * tan α. Pakeiskite šią vertę į formulę, kad apskaičiuotumėte stačiakampio plotą trikampis ir gauname: S = 1/2 * a * b = 1/2 * b^ 2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
Apsvarstykite ypatingu atveju lygiašonio stačiakampio ploto apskaičiavimą trikampis. Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės yra lygios viena kitai. Stačiakampio atveju trikampis pasirodo a = b. Užrašykite Pitagoro teoremą šiuo atveju: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Tada pakeiskite šią reikšmę į formulę, skirtą plotui apskaičiuoti taip: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .
Jei žinomi įbrėžto apskritimo r ir apskritimo R spinduliai, tai kvadratas stačiakampio formos trikampis apskaičiuojamas pagal formulę S = r^2 + 2 * r * R. Tegul trikampyje įbrėžto apskritimo spindulys yra r = 1, apibrėžtojo apskritimo spindulys trikampis apskritimas R = 5/2. Tada S = 1 + 2 * 1 * 5/2 = 6.
Video tema
Naudingas patarimas
Aplink stačiąjį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus pusei hipotenuzės: R = c / 2. Į stačiąjį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys randamas pagal formulę r = (a + b – c) / 2.
Tai viena iš paprasčiausių geometrinių figūrų, kurioje trys atkarpos, jungiančios tris taškus poromis, riboja plokštumos dalį. Kai kurių trikampio parametrų (kraštinių ilgių, kampų, įbrėžto ar apibrėžto apskritimo spindulių, aukščio ir kt.) žinojimas įvairiais deriniais leidžia apskaičiuoti šios ribotos plokštumos atkarpos plotą.
Instrukcijos
Jei žinomi trikampio dviejų kraštinių ilgiai (A ir B) ir jų kampo dydis (γ), tai trikampio plotas (S) bus lygus pusei trikampio kraštinių ilgių sandaugos ir žinomo kampo sinusas: S=A∗B∗sin(γ)/2.
Jei yra žinomi visų trijų savavališko trikampio kraštinių (A, B ir C) ilgiai, tada norint apskaičiuoti jo plotą (S), patogiau įvesti papildomą kintamąjį - pusperimetrą (p). Šis kintamasis apskaičiuojamas per pusę visų kraštinių ilgių sumos: p=(A+B+C)/2. Naudojant šį kintamąjį galima apibrėžti kaip kvadratinę šaknį iš šio kintamojo pusperimetro sandaugos ir kraštinių ilgio: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
Jei be visų kraštinių ilgių (A, B ir C), taip pat žinomas šalia savavališko trikampio apriboto apskritimo spindulio (R), tada galite apsieiti be pusperimetro - ploto. (S) bus lygus visų kraštinių ilgių sandaugos ir apskritimo keturgubo spindulio sandaugai: S=A ∗B∗C/(4∗R).
Jei žinomos visų trikampio kampų reikšmės (α, β ir γ) ir vienos iš jo kraštinių ilgis (A), tada plotas (S) bus lygus kvadrato sandaugos santykiui. žinomos kraštinės ilgio dviejų jai besiribojančių kampų sinusais su priešingo vieno kampo dvigubu sinusu: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).
Jei žinomos visų savavališko trikampio kampų reikšmės (α, β ir γ) ir apibrėžto apskritimo spindulys (R), tada plotas (S) bus lygus dvigubam spindulio kvadratui ir visų kampų sinusai: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).
Video tema
Rasti trikampio tūrį yra tikrai nebanali užduotis. Faktas yra tas, kad trikampis yra dvimatė figūra, t.y. jis yra visiškai vienoje plokštumoje, o tai reiškia, kad jis tiesiog neturi tūrio. Žinoma, jūs negalite rasti to, ko nėra. Bet nepasiduokime! Galime sutikti su tokia prielaida: dvimatės figūros tūris yra jos plotas. Ieškosime trikampio ploto.
Jums reikės
- popieriaus lapas, pieštukas, liniuotė, skaičiuotuvas
Instrukcijos
Pieškite ant popieriaus lapo naudodami liniuotę ir pieštuką. Atidžiai ištyrę trikampį galite įsitikinti, kad jame tikrai nėra trikampio, nes jis nupieštas plokštumoje. Pažymėkite trikampio kraštines: tegul viena kraštinė yra „a“, kita – „b“, o trečioji – „c“. Pažymėkite trikampio viršūnes raidėmis "A", "B" ir "C".
Išmatuokite bet kurią trikampio kraštinę liniuote ir užrašykite rezultatą. Po to atkurkite statmeną išmatuotai pusei iš priešingos viršūnės, toks statmuo bus trikampio aukštis. Paveiksle pavaizduotu atveju statmenas "h" atkuriamas į "c" pusę nuo viršūnės "A". Išmatuokite gautą aukštį liniuote ir užrašykite matavimo rezultatą.
Jums gali būti sunku atkurti tikslų statmeną. Tokiu atveju turėtumėte naudoti kitą formulę. Išmatuokite visas trikampio kraštines liniuote. Po to apskaičiuokite trikampio „p“ pusperimetrą, pridėdami gautus kraštinių ilgius ir padalydami jų sumą per pusę. Turėdami pusperimetro vertę, galite naudoti Herono formulę. Norėdami tai padaryti, turite paimti kvadratinę šaknį iš šių: p(p-a)(p-b)(p-c).
Gavote reikiamą trikampio plotą. Trikampio tūrio nustatymo problema nebuvo išspręsta, tačiau, kaip minėta aukščiau, tūris nėra . Galite rasti tūrį, kuris iš esmės yra trikampis trimačiame pasaulyje. Jei įsivaizduosime, kad mūsų pradinis trikampis tapo trimate piramide, tada tokios piramidės tūris bus jos pagrindo ilgio sandauga su gauto trikampio plotu.
pastaba
Kuo kruopščiau matuosite, tuo tikslesni jūsų skaičiavimai.
Šaltiniai:
- Skaičiuoklė „Viskas prie visko“ – pamatinių verčių portalas
- trikampio tūris
Trikampis yra paprasčiausia geometrinė figūra, susidedanti iš trijų kraštinių ir trijų viršūnių. Dėl savo paprastumo trikampis nuo seno buvo naudojamas įvairiems matavimams atlikti, o šiandien figūra gali būti naudinga sprendžiant praktines ir kasdienes problemas.
Trikampio savybės
Paveikslas buvo naudojamas skaičiavimams nuo seniausių laikų, pavyzdžiui, matininkai ir astronomai, norėdami apskaičiuoti plotus ir atstumus, naudoja trikampių savybes. Per šios figūros plotą lengva išreikšti bet kurio n kampo plotą, o šią savybę senovės mokslininkai naudojo, kad gautų daugiakampių plotų formules. Nuolatinis darbas su trikampiais, ypač stačiu trikampiu, tapo pagrindu visai matematikos šakai – trigonometrijai.
Trikampio geometrija
Geometrinės figūros savybės buvo tiriamos nuo seniausių laikų: anksčiausia informacija apie trikampį buvo rasta Egipto papirusuose nuo 4000 metų. Tada figūra buvo tiriama Senovės Graikijoje, o didžiausią indėlį į trikampio geometriją padarė Euklidas, Pitagoras ir Heronas. Trikampio tyrinėjimas niekada nesiliovė, o XVIII amžiuje Leonhardas Euleris pristatė figūros ortocentro ir Eulerio apskritimo sampratą. 19–20 amžių sandūroje, kai atrodė, kad apie trikampį žinoma absoliučiai viskas, Frankas Morley suformulavo teoremą apie kampo trisektorius, o Waclawas Sierpinskis pasiūlė fraktalinį trikampį.
Yra keletas plokščių trikampių tipų, kurie mums žinomi iš mokyklos geometrijos kursų:
- ūmus - visi figūros kampai yra aštrūs;
- bukas - figūra turi vieną bukąjį kampą (daugiau nei 90 laipsnių);
- stačiakampis - figūroje yra vienas stačiakampis, lygus 90 laipsnių;
- lygiašonis – trikampis su dviem lygiomis kraštinėmis;
- lygiakraštis – trikampis su visomis lygiomis kraštinėmis.
- Realiame gyvenime yra visų rūšių trikampių, o kai kuriais atvejais mums gali tekti apskaičiuoti geometrinės figūros plotą.
Trikampio plotas
Plotas yra įvertinimas, kiek plokštumos užima figūra. Trikampio plotą galima rasti šešiais būdais, naudojant įbrėžto arba apibrėžto apskritimo kraštines, aukštį, kampus, spindulį, taip pat naudojant Herono formulę arba apskaičiuojant dvigubą integralą išilgai plokštumą ribojančių linijų. Paprasčiausia trikampio ploto apskaičiavimo formulė yra:
kur a yra trikampio kraštinė, h yra jo aukštis.
Tačiau praktiškai mums ne visada patogu rasti geometrinės figūros aukštį. Mūsų skaičiuoklės algoritmas leidžia apskaičiuoti plotą žinant:
- trys pusės;
- dvi pusės ir kampas tarp jų;
- viena pusė ir du kampai.
Norėdami nustatyti plotą per tris puses, naudojame Herono formulę:
S = kvadratas (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),
kur p yra trikampio pusperimetras.
Plotas iš dviejų pusių ir kampas apskaičiuojami pagal klasikinę formulę:
S = a × b × sin(alfa),
kur alfa yra kampas tarp kraštinių a ir b.
Norėdami nustatyti plotą pagal vieną kraštinę ir du kampus, naudojame santykį, kuris:
a / nuodėmė (alfa) = b / nuodėmė (beta) = c / sin (gama)
Naudodami paprastą proporciją nustatome antrosios kraštinės ilgį, po kurio apskaičiuojame plotą pagal formulę S = a × b × sin(alfa). Šis algoritmas yra visiškai automatizuotas ir jums tereikia įvesti nurodytus kintamuosius ir gauti rezultatą. Pažvelkime į porą pavyzdžių.
Pavyzdžiai iš gyvenimo
Grindinio plokštės
Tarkime, kad norite grindis iškloti trikampėmis plytelėmis, o norint nustatyti reikalingos medžiagos kiekį, turite žinoti vienos plytelės plotą ir grindų plotą. Tarkime, kad jums reikia apdoroti 6 kvadratinius metrus paviršiaus naudojant plyteles, kurių matmenys yra a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Akivaizdu, kad trikampio plotui apskaičiuoti skaičiuotuvas naudoja Herono formulę ir pateikia. rezultatas:
Taigi vieno plytelių elemento plotas bus 0,021 kvadratinio metro, o grindų patobulinimui reikės 6/0,021 = 285 trikampių. Skaičiai 20, 21 ir 29 sudaro Pitagoro trigubus skaičius, kurie tenkina . Ir taip, mūsų skaičiuotuvas taip pat apskaičiavo visus trikampio kampus, o gama kampas yra lygiai 90 laipsnių.
Mokyklos užduotis
Mokyklos uždavinyje reikia rasti trikampio plotą, žinant, kad kraštinė a = 5 cm, o kampai alfa ir beta yra atitinkamai 30 ir 50 laipsnių. Norėdami išspręsti šią problemą rankiniu būdu, pirmiausia surastume kraštinės b reikšmę, naudodami proporciją tarp kraštinių santykio ir priešingų kampų sinusų, o tada nustatysime plotą naudodami paprastą formulę S = a × b × sin(alfa). Sutaupykime laiko, suveskime duomenis į skaičiuoklės formą ir gaukime greitą atsakymą
Naudojant skaičiuotuvą svarbu teisingai nurodyti kampus ir šonus, kitaip rezultatas bus neteisingas.
Išvada
Trikampis yra unikali figūra, randama tiek realiame gyvenime, tiek abstrakčiuose skaičiavimuose. Norėdami nustatyti bet kokio tipo trikampių plotą, naudokite mūsų internetinį skaičiuotuvą.
