Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimo formulės. Kaip išspręsti trigonometrines lygtis

Užduotis Nr.1

Logika paprasta: darysime taip, kaip darėme anksčiau, nepaisant to, kad dabar trigonometrinės funkcijos turi sudėtingesnį argumentą!

Jei išspręstume formos lygtį:

Tada surašytume tokį atsakymą:

Arba (nuo)

Bet dabar mūsų vaidmenį atlieka ši išraiška:

Tada galime rašyti:

Mūsų tikslas su jumis – kad kairioji pusė stovėtų paprastai, be jokių „priemaišų“!

Pamažu jų atsikratykime!

Pirmiausia pašalinkime vardiklį: norėdami tai padaryti, padauginkite mūsų lygybę iš:

Dabar atsikratykime jo, padalindami abi dalis į jį:

Dabar atsikratykime aštuonių:

Gautą išraišką galima parašyti kaip 2 sprendinių serijas (pagal analogiją su kvadratine lygtimi, kur diskriminantą pridedame arba atimame)

Turime rasti didžiausią neigiamą šaknį! Aišku, kad turime susitvarkyti.

Pirmiausia pažiūrėkime į pirmąjį epizodą:

Aišku, jei imsime, gausime teigiamus skaičius, bet jie mūsų nedomina.

Taigi reikia vertinti neigiamai. Tegul būna.

Kai šaknis bus siauresnė:

Ir mes turime rasti didžiausią neigiamą!! Tai reiškia, kad eiti neigiama kryptimi čia nebėra prasmės. Ir didžiausia šios serijos neigiama šaknis bus lygi.

Dabar pažvelkime į antrąją seriją:

Ir vėl pakeičiame: , tada:

Neįdomu!

Tada nėra prasmės daugiau didinti! Sumažinkime! Leiskite tada:

Tinka!

Tegul būna. Tada

Tada – didžiausia neigiama šaknis!

Atsakymas:

2 užduotis

Mes išsprendžiame dar kartą, nepaisant sudėtingo kosinuso argumento:

Dabar dar kartą išreiškiame kairėje pusėje:

Padauginkite abi puses iš

Padalinkite abi puses

Belieka jį perkelti į dešinę, keičiant jo ženklą iš minuso į pliusą.

Vėl gauname 2 šaknų serijas, viena su ir kita su.

Turime rasti didžiausią neigiamą šaknį. Pažiūrėkime į pirmąjį epizodą:

Aišku, kad pirmąją neigiamą šaknį gausime ties, ji bus lygi ir bus didžiausia neigiama šaknis 1 serijoje.

Dėl antros serijos

Pirmoji neigiama šaknis taip pat bus gauta ir bus lygi. Kadangi tada yra didžiausia neigiama lygties šaknis.

Atsakymas: .

Užduotis Nr.3

Mes išsprendžiame, nepaisydami sudėtingo tangentinio argumento.

Dabar tai neatrodo sudėtinga, tiesa?

Kaip ir anksčiau, kairėje pusėje išreiškiame:

Na, tai puiku, čia tik viena šaknų serija! Vėl suraskime didžiausią neigiamą.

Aišku, kad tai išeina, jei padedi. Ir ši šaknis yra lygi.

Atsakymas:

Dabar pabandykite patys išspręsti šias problemas.

Namų darbai arba 3 užduotys spręsti savarankiškai.

1. Išspręskite lygtį.
   
2. Išspręskite lygtį.
   Atsakyme į pi-shi-th-mažiausią įmanomą šaknį.
3. Išspręskite lygtį.
   Atsakyme į pi-shi-th-mažiausią įmanomą šaknį.

Pasiruošę? Patikrinkim. Detaliai neaprašysiu viso sprendimo algoritmo, man atrodo, kad jis jau sulaukė pakankamai dėmesio.

Na, ar viskas gerai? O, tie bjaurūs sinusai, su jais visada yra kokių nors bėdų!

Na, dabar galite išspręsti paprastas trigonometrines lygtis!

Peržiūrėkite sprendimus ir atsakymus:

Užduotis Nr.1

Išreikškime

Mažiausia teigiama šaknis gaunama, jei įdedame, nuo tada

Atsakymas:

2 užduotis

Mažiausia teigiama šaknis gaunama ties.

Jis bus lygus.

Atsakymas: .

Užduotis Nr.3

Kai gauname, kai turime.

Atsakymas: .

Šios žinios padės išspręsti daugelį problemų, su kuriomis susidursite per egzaminą.

Jei kreipiatės dėl „5“ įvertinimo, tereikia pereiti prie straipsnio skaitymo vidutinio lygio kuri bus skirta sudėtingesnėms trigonometrinėms lygtims spręsti (C1 užduotis).

VIDURIO LYGIS

Šiame straipsnyje aprašysiu sprendžiant sudėtingesnes trigonometrines lygtis ir kaip atrinkti jų šaknis. Čia aš remsiuosi šiomis temomis:

1. Trigonometrinės lygtys pradedantiesiems (žr. aukščiau).

Sudėtingesnės trigonometrinės lygtys yra sudėtingų problemų pagrindas. Jiems reikia ir pačią lygtį išspręsti bendra forma, ir rasti šios lygties šaknis, priklausančias tam tikram duotam intervalui.

Trigonometrinių lygčių sprendimas susideda iš dviejų dalių:

1. Lygties sprendimas
2. Šaknų pasirinkimas

Reikėtų pažymėti, kad antrasis ne visada reikalingas, tačiau daugumoje pavyzdžių vis tiek reikia pasirinkti. Bet jei to nereikia, mes galime jus užjausti - tai reiškia, kad lygtis savaime yra gana sudėtinga.

Mano patirtis analizuojant C1 problemas rodo, kad jos dažniausiai skirstomos į šias kategorijas.

Keturios padidinto sudėtingumo užduočių kategorijos (anksčiau C1)

1. Lygtys, kurios redukuoja į faktorizaciją.
2. Lygtys sumažintos iki formos.
3. Lygtys išspręstos pakeitus kintamąjį.
4. Lygtys, kurioms reikalingas papildomas šaknų pasirinkimas dėl neracionalumo ar vardiklio.

Paprasčiau tariant: jei tave pagaus viena iš pirmųjų trijų tipų lygčių, tada laikyk save laimingu. Jiems, kaip taisyklė, papildomai reikia pasirinkti šaknis, priklausančias tam tikram intervalui.

Jei susidursite su 4 tipo lygtimi, jums pasisekė mažiau: reikia ilgiau ir atidžiau padirbėti, tačiau gana dažnai tam nereikia papildomo šaknų pasirinkimo. Nepaisant to, šio tipo lygtis panagrinėsiu kitame straipsnyje, o šį skirsiu pirmųjų trijų tipų lygtims spręsti.

Lygtys, redukuojančios į faktorizaciją

Svarbiausias dalykas, kurį turite atsiminti, kad išspręstumėte tokio tipo lygtį

Kaip rodo praktika, paprastai šių žinių pakanka. Pažvelkime į keletą pavyzdžių:

1 pavyzdys. Lygtis redukuota iki faktorizavimo naudojant redukcijos ir dvigubo kampo sinuso formules

• Išspręskite lygtį
• Raskite visas šios lygties šaknis, esančias virš pjūvio

Čia, kaip ir žadėjau, veikia mažinimo formulės:

Tada mano lygtis atrodys taip:

Tada mano lygtis bus tokia:

Trumparegis studentas gali pasakyti: dabar sumažinsiu abi puses, gausiu paprasčiausią lygtį ir mėgaujuosi gyvenimu! Ir jis smarkiai klys!

Taigi ką daryti? Taip, tai paprasta, perkelkite viską į vieną pusę ir pašalinkite bendrą veiksnį:

Na, mes įtraukėme tai į veiksnius, uragau! Dabar nuspręskime:

Pirmoji lygtis turi šaknis:

Ir antras:

Tai užbaigia pirmąją problemos dalį. Dabar reikia pasirinkti šaknis:

Tarpas yra toks:

Arba taip pat galima parašyti taip:

Na, paimkime šaknis:

Pirma, dirbkime su pirmuoju epizodu (ir tai švelniai tariant, paprasčiau!)

Kadangi mūsų intervalas yra visiškai neigiamas, nereikia imti neneigiamų, jie vis tiek duos neneigiamas šaknis.

Imkim tada – per daug, nepataiko.

Tebūnie tada - aš daugiau nepataikiau.

Dar vienas bandymas – tada – taip, gavau! Pirma šaknis rasta!

Aš vėl šaunu: tada vėl pataikiau!

Na, dar kartą: : - tai jau skrydis.

Taigi iš pirmosios serijos yra 2 šaknys, priklausančios intervalui: .

Dirbame su antrąja serija (statome į galią pagal taisyklę):

Nepakanka!

Vėl trūksta!

Vėl trūksta!

Supratau!

Skrydis!

Taigi mano intervalas turi šias šaknis:

Tai yra algoritmas, kurį naudosime spręsdami visus kitus pavyzdžius. Praktikuokime kartu su dar vienu pavyzdžiu.

2 pavyzdys. Lygtis redukuota iki faktorizavimo naudojant redukcijos formules

• Išspręskite lygtį

Sprendimas:

Vėl žinomos redukcijos formulės:

Nebandykite dar kartą sumažinti!

Pirmoji lygtis turi šaknis:

Ir antras:

Dabar vėl šaknų paieška.

Pradėsiu nuo antrojo epizodo, jau viską žinau iš ankstesnio pavyzdžio! Pažiūrėkite ir įsitikinkite, kad intervalui priklausančios šaknys yra tokios:

Dabar pirmas epizodas ir viskas paprasčiau:

Jei – tinka

Jei tai irgi gerai

Jei tai jau skrydis.

Tada šaknys bus tokios:

Savarankiškas darbas. 3 lygtys.

Na, ar jums aiški technika? Ar trigonometrinių lygčių sprendimas nebeatrodo taip sunku? Tada greitai patys išspręskite šias problemas, o mes išspręsime kitus pavyzdžius:

1. Išspręskite lygtį
   Raskite visas šios lygties šaknis, esančias virš intervalo.
2. Išspręskite lygtį
   Nurodykite lygties šaknis, esančias virš pjūvio
3. Išspręskite lygtį
   Raskite visas tarp jų esančias šios lygties šaknis.

1 lygtis.

Ir vėl redukcijos formulė:

Pirmoji šaknų serija:

Antroji šaknų serija:

Pradedame tarpo atranką

Atsakymas: ,.

2 lygtis. Savarankiško darbo tikrinimas.

Gana sudėtingas suskirstymas į veiksnius (naudosiu dvigubo kampo sinuso formulę):

tada arba

Tai yra bendras sprendimas. Dabar turime pasirinkti šaknis. Bėda ta, kad negalime pasakyti tikslios kampo, kurio kosinusas lygus vienam ketvirčiui, vertės. Todėl aš negaliu tiesiog atsikratyti lanko kosinuso - tokia gėda!

Ką aš galiu padaryti, tai išsiaiškinti, kad taip, taip, tada.

Sukurkime lentelę: intervalas:

Na, o per skausmingas paieškas priėjome nuviliančios išvados, kad mūsų lygtis turi vieną šaknį nurodytame intervale: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

3 lygtis: Savarankiško darbo testas.

Baugiai atrodanti lygtis. Tačiau tai galima gana paprastai išspręsti taikant dvigubo kampo sinuso formulę:

Sumažinkime jį 2:

Sugrupuokime pirmąjį terminą su antruoju, o trečiąjį su ketvirtuoju ir išimkime bendruosius veiksnius:

Akivaizdu, kad pirmoji lygtis neturi šaknų, o dabar panagrinėkime antrąją:

Apskritai, aš ketinau šiek tiek vėliau pasilikti prie tokių lygčių sprendimo, bet kadangi taip pasirodė, nėra ką veikti, turiu tai išspręsti...

Formos lygtys:

Ši lygtis išspręsta padalijus abi puses iš:

Taigi mūsų lygtis turi vieną šaknų seką:

Turime rasti tuos, kurie priklauso intervalui: .

Dar kartą pastatykime lentelę, kaip dariau anksčiau:

Atsakymas:.

Lygtys sumažintos iki formos:

Na, dabar pats laikas pereiti prie antrosios lygčių dalies, juo labiau, kad aš jau supratau, ką sudaro naujo tipo trigonometrinių lygčių sprendimas. Tačiau verta pakartoti, kad lygtis yra tokios formos

Išspręsta padalijus abi puses iš kosinuso:

1. Išspręskite lygtį
   Nurodykite lygties šaknis, esančias virš pjūvio.
2. Išspręskite lygtį
   Nurodykite tarp jų esančias lygties šaknis.

1 pavyzdys.

Pirmasis yra gana paprastas. Perkelkite į dešinę ir pritaikykite dvigubo kampo kosinuso formulę:

Taip! Formos lygtis: . Abi dalis padalinu iš

Atliekame šaknų patikrą:

Tarpas:

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Viskas taip pat gana nereikšminga: atidarykime skliaustus dešinėje:

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė:

Dvigubo kampo sinusas:

Galiausiai gauname:

Šaknų atranka: intervalas.

Atsakymas:.

Na, kaip jums patinka technika, ar ne per sudėtinga? Tikiuosi, kad ne. Iš karto galime padaryti išlygą: gryna forma lygtys, kurios iš karto redukuojasi į liestinės lygtį, yra gana retos. Paprastai šis perėjimas (dalijimas iš kosinuso) yra tik dalis sudėtingesnės problemos. Štai pavyzdys, kurį galite praktikuoti:

• Išspręskite lygtį
• Raskite visas šios lygties šaknis, esančias virš pjūvio.

Patikrinkime:

Lygtį galima išspręsti iš karto, pakanka padalyti abi puses iš:

Šaknų patikrinimas:

Atsakymas:.

Vienaip ar kitaip, mes dar nesame susidūrę su tokio tipo lygtimis, kurias ką tik išnagrinėjome. Tačiau dar per anksti tai vadinti diena: yra dar vienas lygčių „sluoksnis“, kurio neanalizavome. Taigi:

Trigonometrinių lygčių sprendimas keičiant kintamuosius

Čia viskas skaidru: mes atidžiai žiūrime į lygtį, kiek įmanoma ją supaprastiname, atliekame keitimą, išsprendžiame, keičiame atvirkštinį! Žodžiu viskas labai paprasta. Pažiūrėkime kaip veikia:

Pavyzdys.

• Išspręskite lygtį: .
• Raskite visas šios lygties šaknis, esančias virš pjūvio.

Na, čia pats pakaitalas mums siūlo save!

Tada mūsų lygtis pavirs tokia:

Pirmoji lygtis turi šaknis:

O antrasis toks:

Dabar suraskime intervalui priklausančias šaknis

Atsakymas:.

Pažvelkime į šiek tiek sudėtingesnį pavyzdį kartu:

• Išspręskite lygtį
• Nurodykite pateiktos lygties šaknis, esančias tarp jų.

Čia pakeitimas nėra matomas iš karto, be to, jis nėra labai akivaizdus. Pirmiausia pagalvokime: ką mes galime padaryti?

Pavyzdžiui, galime įsivaizduoti

Ir tuo pačiu

Tada mano lygtis bus tokia:

O dabar dėmesio, dėmesio:

Padalinkime abi lygties puses iš:

Staiga jūs ir aš turime kvadratinės lygties giminaitį! Pakeiskime, tada gausime:

Lygtis turi šias šaknis:

Nemaloni antroji šaknų serija, bet nieko negalima padaryti! Intervale pasirenkame šaknis.

Taip pat turime tai apsvarstyti

Nuo tada ir tada

Atsakymas:

Norėdami tai sustiprinti, prieš patys spręsdami problemas, atlikite kitą pratimą:

• Išspręskite lygtį
• Raskite visas tarp jų esančias šios lygties šaknis.

Čia reikia neatmerkti akių: dabar turime vardiklius, kurie gali būti nulis! Todėl reikia būti ypač atidiems šaknims!

Visų pirma, turiu pertvarkyti lygtį, kad galėčiau atlikti tinkamą pakaitalą. Dabar nesugalvoju nieko geresnio, kaip perrašyti liestinę sinuso ir kosinuso terminais:

Dabar aš pereisiu nuo kosinuso prie sinuso, naudodamas pagrindinę trigonometrinę tapatybę:

Ir galiausiai viską sujungsiu į bendrą vardiklį:

Dabar galiu pereiti prie lygties:

Bet prie (tai yra, prie).

Dabar viskas paruošta pakeitimui:

Tada arba

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad jei, tada tuo pačiu metu!

Kas nuo to kenčia? Liestinės problema yra ta, kad ji neapibrėžiama, kada kosinusas lygus nuliui (atsiranda dalijimas iš nulio).

Taigi lygties šaknys yra šios:

Dabar mes atsijojame šaknis intervale:

Taigi mūsų lygtis turi vieną šaknį intervale ir ji yra lygi.

Matote: vardiklio atsiradimas (kaip ir liestinė, sukelia tam tikrų sunkumų su šaknimis! Čia reikia būti atsargesniam!).

Na, jūs ir aš beveik baigėme analizuoti trigonometrines lygtis, liko labai mažai – savarankiškai išspręsti dvi užduotis. Štai jie.

1. Išspręskite lygtį
   Raskite visas šios lygties šaknis, esančias virš pjūvio.
2. Išspręskite lygtį
   Nurodykite šios lygties šaknis, esančias virš pjūvio.

Nusprendė? Argi ne labai sunku? Patikrinkime:

1. Dirbame pagal redukcijos formules:

   Pakeiskite lygtį:

   Perrašykime viską kosinusais, kad būtų lengviau atlikti pakeitimą:

   Dabar lengva pakeisti:

   Akivaizdu, kad tai yra pašalinė šaknis, nes lygtis neturi sprendinių. Tada:

   Intervale ieškome mums reikalingų šaknų

   Atsakymas:.

2. 
   Čia iškart matomas pakeitimas:

   Tada arba

   	- tinka!	- tinka!
   	- tinka!	- tinka!
   	- daug!	- irgi daug!

   Atsakymas:

Na, tai dabar! Tačiau trigonometrinių lygčių sprendimas tuo nesibaigia, mes paliekame už sunkiausių atvejų: kai lygtyse yra neracionalumo ar įvairių „sudėtingų vardikų“. Kaip išspręsti tokias užduotis, pažvelgsime į aukštesniojo lygio straipsnį.

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Be ankstesniuose dviejuose straipsniuose aptartų trigonometrinių lygčių, apsvarstysime dar vieną lygčių klasę, kurią reikia dar kruopštesnės analizės. Šiuose trigonometriniuose pavyzdžiuose yra neracionalumo arba vardiklio, todėl jų analizė tampa sunkesnė. Tačiau su šiomis lygtimis galite susidurti egzamino darbo C dalyje. Tačiau kiekvienas debesis turi sidabrinį pamušalą: tokioms lygtims, kaip taisyklė, nebekeliamas klausimas, kuri iš jo šaknų priklauso tam tikram intervalui. Neplakime, o eikime tiesiai į trigonometrinius pavyzdžius.

1 pavyzdys.

Išspręskite lygtį ir suraskite segmentui priklausančias šaknis.

Sprendimas:

Mes turime vardiklį, kuris neturėtų būti lygus nuliui! Tada šios lygties sprendimas yra tas pats, kas sistemos sprendimas

Išspręskime kiekvieną iš lygčių:

O dabar antrasis:

Dabar pažiūrėkime į seriją:

Akivaizdu, kad ši parinktis mums netinka, nes šiuo atveju mūsų vardiklis iš naujo nustatomas į nulį (žr. antrosios lygties šaknų formulę)

Jei, tada viskas tvarkoje, o vardiklis nėra nulis! Tada lygties šaknys yra tokios: , .

Dabar pasirenkame šaknis, priklausančias intervalui.

Tada šaknys yra tokios:

Matote, net ir nedidelio trikdymo atsiradimas vardiklio formoje reikšmingai paveikė lygties sprendimą: mes atmetėme šaknų seriją, kurios panaikino vardiklį. Viskas gali tapti dar sudėtingesnė, jei susidursite su trigonometriniais pavyzdžiais, kurie yra neracionalūs.

2 pavyzdys.

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:

Na, bent jau nereikia atimti šaknų, ir tai gerai! Pirmiausia išspręskime lygtį, nepaisant neracionalumo:

Taigi, ar tai viskas? Ne, deja, tai būtų per lengva! Turime atsiminti, kad po šaknimi gali būti tik neneigiami skaičiai. Tada:

Šios nelygybės sprendimas yra toks:

Dabar belieka išsiaiškinti, ar dalis pirmosios lygties šaknų netyčia atsidūrė ten, kur nelygybė negalioja.

Norėdami tai padaryti, vėl galite naudoti lentelę:

Taigi viena iš mano šaknų „iškrito“! Pasirodo, jei padėsi. Tada atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Matote, šaknis reikalauja dar daugiau dėmesio! Padarykime viską sudėtingiau: dabar po šaknimis turiu trigonometrinę funkciją.

3 pavyzdys.

Kaip ir anksčiau: iš pradžių spręsime kiekvieną atskirai, o tada galvosime, ką padarėme.

Dabar antroji lygtis:

Dabar sunkiausia išsiaiškinti, ar po aritmetine šaknimi gaunamos neigiamos reikšmės, jei ten pakeičiame šaknis iš pirmosios lygties:

Skaičius turi būti suprantamas kaip radianai. Kadangi radianas yra maždaug laipsnis, tada radianai yra laipsnių tvarka. Tai antrojo ketvirčio kampinis. Koks yra antrojo ketvirčio kosinuso ženklas? Minusas. O kaip sinusas? Pliusas. Taigi, ką galime pasakyti apie posakį:

Tai mažiau nei nulis!

Tai reiškia, kad tai nėra lygties šaknis.

Dabar atėjo laikas.

Palyginkime šį skaičių su nuliu.

Kotangentas yra funkcija, mažėjanti per 1 ketvirtį (kuo mažesnis argumentas, tuo didesnis kotangentas). radianai yra maždaug laipsniai. Tuo pačiu metu

nuo tada ir todėl
,

Atsakymas:.

Ar gali būti dar sudėtingiau? Prašau! Bus sunkiau, jei šaknis vis dar yra trigonometrinė funkcija, o antroji lygties dalis vėl yra trigonometrinė funkcija.

Kuo daugiau trigonometrinių pavyzdžių, tuo geriau, žr.

4 pavyzdys.

Šaknis netinka dėl riboto kosinuso

Dabar antrasis:

Tuo pačiu metu pagal šaknies apibrėžimą:

Turime atsiminti vieneto apskritimą: būtent tuos ketvirčius, kurių sinusas yra mažesnis už nulį. Kas yra šie kvartalai? Trečias ir ketvirtas. Tada mus domina tie pirmosios lygties sprendiniai, kurie yra trečiajame ar ketvirtajame ketvirtyje.

Pirmoji serija suteikia šaknis, esančias trečiojo ir ketvirtojo ketvirčių sankirtoje. Antroji serija - diametraliai priešinga jai - sukelia šaknis, gulinčias ant pirmojo ir antrojo ketvirčių ribos. Todėl ši serija mums netinka.

Atsakymas: ,

Ir vėl trigonometriniai pavyzdžiai su „sunkiu neracionalumu“. Mes ne tik vėl turime trigonometrinę funkciją po šaknimi, bet dabar ji yra ir vardiklyje!

5 pavyzdys.

Na, nieko negalima padaryti – darome kaip anksčiau.

Dabar dirbame su vardikliu:

Nenoriu išspręsti trigonometrinės nelygybės, todėl padarysiu ką nors gudraus: paimsiu ir pakeisiu savo šaknų eilutę į nelygybę:

Jei - yra lyginis, tada turime:

kadangi visi matymo kampai yra ketvirtajame ketvirtyje. Ir vėl šventas klausimas: koks yra sinuso ženklas ketvirtajame ketvirtyje? Neigiamas. Tada nelygybė

Jei -nelyginis, tada:

Kuriame ketvirtyje yra kampas? Tai antrojo ketvirčio kampinis. Tada visi kampai vėl yra antrojo ketvirčio kampiniai. Sinusas ten yra teigiamas. Kaip tik tai, ko tau reikia! Taigi serija:

Tinka!

Su antrąja šaknų serija elgiamės taip pat:

Į savo nelygybę pakeičiame:

Jei - net, tada

Pirmojo ketvirčio kampai. Sinusas ten yra teigiamas, vadinasi, serija tinkama. Jei dabar - nelyginis, tada:

tinka irgi!

Na, dabar mes užrašome atsakymą!

Atsakymas:

Na, tai buvo bene daugiausiai darbo reikalaujantis atvejis. Dabar siūlau problemas išspręsti patiems.

Treniruotės

1. Išspręskite ir suraskite visas atkarpai priklausančias lygties šaknis.

Sprendimai:

1. 
   Pirmoji lygtis:
   arba
   Šaknies ODZ:

   Antroji lygtis:

   Šaknų, priklausančių intervalui, pasirinkimas

   Atsakymas:

Arba
arba
Bet

Apsvarstykime:. Jei - net, tada
- netinka!
Jei - nelyginis, : - tinka!
Tai reiškia, kad mūsų lygtis turi šias šaknų serijas:
arba
Šaknų pasirinkimas intervale:

	- netinka	- tinka
	- tinka	- daug
	- tinka	daug

Atsakymas: ,.

Arba
Nuo tada liestinė nėra apibrėžta. Mes iš karto atmetame šią šaknų seriją!

Antra dalis:

Tuo pačiu, anot DŽ, to reikalaujama

Patikriname pirmoje lygtyje rastas šaknis:

Jei ženklas:

Pirmojo ketvirčio kampai, kurių liestinė yra teigiama. Netinka!
Jei ženklas:

Ketvirtasis kėlinio kampas. Ten liestinė yra neigiama. Tinka. Užrašome atsakymą:

Atsakymas: ,.

Šiame straipsnyje kartu apžvelgėme sudėtingus trigonometrinius pavyzdžius, tačiau lygtis turėtumėte išspręsti patys.

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Trigonometrinė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis yra griežtai po trigonometrinės funkcijos ženklu.

Yra du būdai, kaip išspręsti trigonometrines lygtis:

Pirmasis būdas yra naudoti formules.

Antrasis būdas yra per trigonometrinį apskritimą.

Leidžia išmatuoti kampus, rasti jų sinusus, kosinusus ir kt.

Trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų žingsnių: lygties transformacija kad tai būtų paprasčiausia tipas (žr. aukščiau) ir sprendimasgautas paprasčiausias trigonometrinė lygtis. Yra septyni pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai.

1. Algebrinis metodas.

(kintamųjų pakeitimo ir pakeitimo metodas).

2. Faktorizavimas.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį: nuodėmė x+cos x = 1 .

Sprendimas Perkelkime visus lygties narius į kairę:

Nuodėmė x+cos x – 1 = 0 ,

Transformuokime ir koeficientuokime išraišką

Kairioji lygties pusė:

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį: cos 2 x+ nuodėmė x cos x = 1.

Sprendimas: cos 2 x+ nuodėmė x cos x– nuodėmė 2 x– cos 2 x = 0 ,

Nuodėmė x cos x– nuodėmė 2 x = 0 ,

Nuodėmė x· (cos x– nuodėmė x ) = 0 ,

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį: cos 2 x– cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Sprendimas: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (kaina 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 nuodėmė 3 x nuodėmė x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). nuodėmė 3 x= 0, 3). nuodėmė x = 0 ,

4. Perėjimas prie pusės kampo.

Pažvelkime į šį metodą naudodami pavyzdį:

PAVYZDYS Išspręskite lygtį: 3 nuodėmė x– 5 kos x = 7.

Sprendimas: 6 sin ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 nuodėmė ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 įdegis ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Pagalbinio kampo įvedimas.

Apsvarstykite formos lygtį:

a nuodėmė x + b cos x = c ,

Kur a, b, c– koeficientai;x– nežinomas.

Dabar lygties koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, būtent: kiekvieno modulis (absoliuti vertė). iš kurių ne daugiau kaip 1, o jų kvadratų suma yra 1. Tada galime pažymėti juos atitinkamai Kaip cos ir nuodėmė (čia - vadinamasis pagalbinis kampas), irpaimkite mūsų lygtį

Pamoka ir pristatymas tema: „Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje
Programinės įrangos aplinka „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra trigonometrinės lygtys?

3. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
4. Homogeninės trigonometrinės lygtys.
5. Pavyzdžiai.

Kas yra trigonometrinės lygtys?

Vaikinai, mes jau ištyrėme arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Dabar pažvelkime į trigonometrines lygtis apskritai.

Trigonometrinės lygtys yra lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.

Pakartokime paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formą:

1)Jei |a|≤ 1, tai lygtis cos(x) = a turi sprendimą:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jei |a|≤ 1, tai lygtis sin(x) = a turi sprendimą:

3) Jei |a| > 1, tada lygtis sin(x) = a ir cos(x) = a neturi sprendinių 4) Lygtis tg(x)=a turi sprendimą: x=arctg(a)+ πk

5) Lygtis ctg(x)=a turi sprendimą: x=arcctg(a)+ πk

Visų formulių k yra sveikas skaičius

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys turi tokią formą: T(kx+m)=a, T yra kokia nors trigonometrinė funkcija.

Išspręskite lygtis: a) sin(3x)= √3/2

Sprendimas:

A) Pažymime 3x=t, tada perrašysime savo lygtį į formą:

Šios lygties sprendimas bus toks: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iš verčių lentelės gauname: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Grįžkime prie kintamojo: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atsakymas: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n yra sveikas skaičius. (-1)^n – atėmus vieną iki n laipsnio.

Daugiau trigonometrinių lygčių pavyzdžių.

Sprendimas:

A) Šį kartą pereikime tiesiai prie lygties šaknų skaičiavimo:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada x/5= πk => x=5πk

Atsakymas: x=5πk, kur k yra sveikas skaičius.

B) Rašome tokia forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Žinome, kad: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atsakymas: x=2π/9 + πk/3, kur k yra sveikas skaičius.

Išspręskite lygtis: cos(4x)= √2/2. Ir raskite visas šaknis segmente.

Sprendimas:

Išspręskime savo lygtį bendra forma: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Dabar pažiūrėkime, kokios šaknys patenka į mūsų segmentą. Ties k Kai k=0, x= π/16, esame duotame atkarpoje.
Kai k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, pataikome dar kartą.
Jei k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet čia nepataikėme, vadinasi, esant dideliam k, taip pat akivaizdžiai nepataikėme.

Atsakymas: x= π/16, x= 9π/16

Du pagrindiniai sprendimo būdai.

Išspręskime lygtį:

Sprendimas:
Norėdami išspręsti mūsų lygtį, naudosime naujo kintamojo įvedimo metodą, žymėdami: t=tg(x).

Dėl pakeitimo gauname: t 2 + 2t -1 = 0

Raskime kvadratinės lygties šaknis: t=-1 ir t=1/3

Tada tg(x)=-1 ir tg(x)=1/3, gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį, suraskime jos šaknis.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atsakymas: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Lygties sprendimo pavyzdys

Išspręskite lygtis: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Sprendimas:

Naudokime tapatybę: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsų lygtis bus tokia: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Įveskime pakeitimą t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas yra šaknys: t=2 ir t=-1/2

Tada cos(x)=2 ir cos(x)=-1/2.

Nes kosinusas negali būti didesnis už vieną, tada cos(x)=2 neturi šaknų.

Jei cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atsakymas: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Formos lygtys

antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys.

Norėdami išspręsti homogeninę pirmojo laipsnio trigonometrinę lygtį, padalinkite ją iš cos (x): Negalite dalyti iš kosinuso, jei jis lygus nuliui, įsitikinkime, kad taip nėra:
Tegu cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinusas ir kosinusas nelygu nuliui tuo pačiu metu gauname prieštaravimą, todėl galime drąsiai dalyti nuliu.

Išspręskite lygtį:
Pavyzdys: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Sprendimas:

Išimkime bendrą koeficientą: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tada turime išspręsti dvi lygtis:

Cos(x)=0 ir cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kai x= π/2 + πk;

Apsvarstykite lygtį cos(x)+sin(x)=0 Padalinkite mūsų lygtį iš cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atsakymas: x= π/2 + πk ir x= -π/4+πk

Kaip išspręsti vienarūšes antrojo laipsnio trigonometrines lygtis?
Vaikinai, visada laikykitės šių taisyklių!

1. Pažiūrėkite, kam lygus koeficientas a, jei a=0, mūsų lygtis bus formos cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), kurios sprendimo pavyzdys yra ankstesnėje skaidrėje

2. Jei a≠0, tuomet reikia padalyti abi lygties puses iš kosinuso kvadrato, gauname:

Keičiame kintamąjį t=tg(x) ir gauname lygtį:

Išspręskite pavyzdį Nr.:3

Abi lygties puses padalinkime iš kosinuso kvadrato:

Keičiame kintamąjį t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Raskime kvadratinės lygties šaknis: t=-3 ir t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atsakymas: x=-arctg(3) + πk ir x= π/4+ πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:4

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Galime išspręsti tokias lygtis: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Atsakymas: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:5

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Įveskime pakaitalą tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas bus šaknys: t=-2 ir t=1/2

Tada gauname: tg(2x)=-2 ir tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atsakymas: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ir x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Savarankiško sprendimo problemos.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Išspręskite lygtis: sin(3x)= √3/2. Ir suraskite visas šaknis atkarpoje [π/2; π].

3) Išspręskite lygtį: 2 lovelė (x) + 2 lovytė (x) + 1 =0

4) Išspręskite lygtį: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Išspręskite lygtį: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Išspręskite lygtį: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Kaip išspręsti trigonometrines lygtis:

Bet kuri trigonometrinė lygtis turėtų būti sumažinta iki vieno iš šių tipų:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

kur \(t\) yra išraiška su x, \(a\) yra skaičius. Tokios trigonometrinės lygtys vadinamos paprasčiausias. Juos galima lengvai išspręsti naudojant () arba specialias formules:

Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimo infografiką žiūrėkite čia: ir.

Atsakymas: \(\left[ \begin(surinkta)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(surinkta)\right.\) \(k,n∈Z\)

Ką reiškia kiekvienas simbolis trigonometrinių lygčių šaknų formulėje, žr.

Dėmesio! Lygtys \(\sin⁡x=a\) ir \(\cos⁡x=a\) neturi sprendinių, jei \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Kadangi bet kurio x sinusas ir kosinusas yra didesni arba lygūs \(-1\) ir mažesni arba lygūs \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Pavyzdys . Išspręskite lygtį \(\cos⁡x=-1,1\).
Sprendimas: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Atsakymas : sprendimų nėra.

Pavyzdys . Išspręskite trigonometrinę lygtį \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Sprendimas:

Trigonometrinių lygčių sumažinimas iki pačių paprasčiausių yra kūrybinga užduotis čia reikia naudoti ir specialius lygčių sprendimo metodus:
- Metodas (populiariausias vieningame valstybiniame egzamine).
- Metodas.
- Pagalbinių argumentų metodas.

Panagrinėkime kvadratinės trigonometrinės lygties sprendimo pavyzdį

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Pakeiskime \(t=\cos⁡x\).
	Mūsų lygtis tapo tipiška. Galite tai išspręsti naudodami.
\(D = 25-4 \cdot 2 \cdot 2 = 25-16 = 9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Atliekame atvirkštinį pakeitimą.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Pirmąją lygtį išsprendžiame naudodami skaičių apskritimą. Antroji lygtis neturi sprendinių, nes \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ir negali būti lygus dviem bet kuriam x.
	Užrašykime visus šiuose taškuose gulinčius skaičius.

Trigonometrinės lygties sprendimo pavyzdys tiriant ODZ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Yra trupmena ir yra kotangentas – tai reiškia, kad turime ją užrašyti. Leiskite jums priminti, kad kotangentas iš tikrųjų yra trupmena: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Todėl ctg\(x\) ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Skaičių apskritime pažymėkime „nesprendimus“.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Atsikratykime lygtyje esančio vardiklio, padaugindami jį iš ctg\(x\). Galime tai padaryti, nes aukščiau rašėme ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Taikykime dvigubo kampo formulę sinusui: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Jei jūsų rankos ištiestos, kad padalintumėte iš kosinuso, patraukite jas atgal! Galite padalyti iš išraiškos su kintamuoju, jei jis tikrai nėra lygus nuliui (pavyzdžiui, šie: \(x^2+1.5^x\)). Vietoj to, iš skliaustų padėkite \(\cos⁡x\).
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	„Padalinkime“ lygtį į dvi dalis.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Išspręskime pirmąją lygtį naudodami skaičių apskritimą. Padalinkite antrąją lygtį iš \(2\) ir perkelkite \(\sin⁡x\) į dešinę pusę.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Gautos šaknys nėra įtrauktos į ODZ. Todėl atsakydami jų nerašysime. Antroji lygtis yra tipiška. Padalinkime jį iš \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) negali būti lygties sprendimas, nes šiuo atveju \(\cos⁡x=1\) arba \(\cos⁡ x=-1\)).
	Vėl naudojame ratą.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Šių šaknų neatmeta ODZ, todėl galite jas parašyti atsakyme.

Klasė: 10

„Lygtys išliks amžinai“.

A. Einšteinas

Pamokos tikslai:

• Švietimo:
  • gilinamas trigonometrinių lygčių sprendimo metodų supratimas;
  • ugdyti gebėjimus atskirti ir teisingai parinkti trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.
• Švietimo:
  • pažintinio domėjimosi ugdymo procesu ugdymas;
  • ugdyti gebėjimą analizuoti pateiktą užduotį;
  • prisidėti prie psichologinio klimato klasėje gerinimo.
• Vystantis:
  • skatinti savarankiško žinių įgijimo įgūdžių ugdymą;
  • skatinti mokinių gebėjimą argumentuoti savo požiūrį;

Įranga: plakatas su pagrindinėmis trigonometrinėmis formulėmis, kompiuteris, projektorius, ekranas.

1 pamoka

I. Informacinių žinių atnaujinimas

Išspręskite lygtis žodžiu:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k;

pas Z.

II. Naujos medžiagos mokymasis

– Šiandien pažvelgsime į sudėtingesnes trigonometrines lygtis. Pažvelkime į 10 būdų, kaip juos išspręsti. Toliau bus dvi pamokos, skirtos konsolidacijai, o kitą pamoką – testas. Stende „Už pamoką“ iškabintos užduotys, panašios į tas, kurios bus teste, kurias turite išspręsti prieš testą. (Dieną prieš testą iškabinkite šių užduočių sprendimus ant stendo).

Taigi, pereikime prie trigonometrinių lygčių sprendimo būdų. Kai kurie iš šių būdų jums tikriausiai atrodys sunkūs, o kiti – lengvi, nes... Jūs jau žinote kai kuriuos lygčių sprendimo būdus.

Keturi klasės mokiniai gavo individualią užduotį: suprasti ir parodyti 4 trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.

(Kalbantys mokiniai iš anksto paruošė skaidres. Likusi klasė pagrindinius lygčių sprendimo žingsnius surašo į sąsiuvinį.) 1 mokinys:

1 būdas. Lygčių sprendimas faktoringo būdu

nuodėmė 4x = 3 cos 2x
Norėdami išspręsti lygtį, naudojame dvigubo kampo sinuso formulę sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,

cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Šių veiksnių sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.
2x = + k, k Z arba sin 2x = 1,5 – sprendinių nėra, nes | nuodėmė| 1
x = + k; pas Z.

Atsakymas: x = + k, k Z. 2 metodas. Lygčių sprendimas paverčiant trigonometrinių funkcijų sumą arba skirtumą sandauga

cos 3x + sin 2x – nuodėmė 4x = 0.

Norėdami išspręsti lygtį, naudojame formulę sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Gauta lygtis yra lygi dviejų lygčių rinkiniui:

Antrosios lygties sprendinių rinkinys yra visiškai įtrauktas į pirmosios lygties sprendinių rinkinį. Reiškia

Atsakymas:

3 studentas. 3 būdas. Lygčių sprendimas paverčiant trigonometrinių funkcijų sandaugą į sumą

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Norėdami išspręsti lygtį, naudojame formulę

Atsakymas:

4 studentas. 4 būdas. Spręsti lygtis, kurios redukuoja į kvadratines lygtis

3 nuodėmė x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Tegul sin x = t, kur | t |. Gauname kvadratinę lygtį 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Taigi. netenkina sąlygos | t |.

Taigi nuodėmė x = . Štai kodėl .

Atsakymas:

III. Įtvirtina to, kas buvo išmokta iš A. N. Kolmogorovo vadovėlio

1. Nr. 164 (a), 167 (a) (kvadratinė lygtis)
2. Nr. 168 (a) (faktorizavimas)
3. Nr. 174 (a) (sumos konvertavimas į produktą)
4. (konvertuoti produktą į sumą)

(Pamokos pabaigoje parodykite šių lygčių sprendimą ekrane, kad patikrintumėte)

№ 164 (A)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Tegu sin x = t, | t | 1. Tada
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Kur

Atsakymas: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Tegu tg x = 1, tada gauname lygtį 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Atsakymas:

№ 168 (A)

Atsakymas:

№ 174 (A)

Išspręskite lygtį:

Atsakymas:

2 pamoka (pamoka-paskaita)

IV. Naujos medžiagos mokymasis(tęsinys)

– Taigi, toliau tyrinėkime trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.

5 būdas. Vienarūšių trigonometrinių lygčių sprendimas

Formos lygtys a sin x + b cos x = 0, kur a ir b yra kai kurie skaičiai, vadinamos homogeniškomis pirmojo laipsnio lygtimis sin x arba cos x atžvilgiu.

Apsvarstykite lygtį

sin x – cos x = 0. Abi lygties puses padalinkime iš cos x. Tai gali būti padaryta šaknų praradimo neįvyks, nes , Jei cos x = 0, Tai sin x = 0. Tačiau tai prieštarauja pagrindinei trigonometrinei tapatybei nuodėmė 2 x+cos 2 x = 1.

Mes gauname įdegis x – 1 = 0.

įdegis x = 1,

Formos lygtys nuodėmė 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , Kur a, b, c - kai kurie skaičiai vadinami homogeniškomis antrojo laipsnio lygtimis sin x arba cos x atžvilgiu.

Apsvarstykite lygtį

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Padalinkime abi lygties puses iš cos x, ir šaknis nepraras, nes cos x = 0 nėra šios lygties šaknis.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Tegu tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Tada tg x = 2 arba tg x = 1.

Dėl to x = arctan 2 + , x =

Atsakymas: arctg 2 + ,

Apsvarstykite kitą lygtį: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Dešiniąją lygties pusę paverskime forma 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Tada gauname:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Gavome 2 lygtį, kurią jau išanalizavome).

Atsakymas: arctan 2 + k,

6 būdas. Tiesinių trigonometrinių lygčių sprendimas

Tiesinė trigonometrinė lygtis yra formos lygtis a sin x + b cos x = c, kur a, b, c yra kai kurie skaičiai.

Apsvarstykite lygtį sin x + cos x= – 1.
Perrašykime lygtį taip:

Atsižvelgdami į tai, gauname:

Atsakymas:

7 būdas. Pateikiame papildomą argumentą

Išraiška a cos x + b sin x galima konvertuoti:

(šią transformaciją jau panaudojome supaprastindami trigonometrines išraiškas)

Įveskime papildomą argumentą – kampas toks, kad

Tada

Apsvarstykite lygtį: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Namų darbai: Nr.164 -170 (c, d).