Trikampis yra viena iš labiausiai paplitusių geometrinių formų, su kuria susipažįstame pradinėje mokykloje. Kiekvienas mokinys geometrijos pamokose susiduria su klausimu, kaip rasti trikampio plotą. Taigi, kokias tam tikros figūros ploto radimo ypatybes galima nustatyti? Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindines formules, reikalingas tokiai užduočiai atlikti, taip pat išanalizuosime trikampių tipus.

Trikampių tipai

Trikampio plotą galite rasti visiškai skirtingais būdais, nes geometrijoje yra daugiau nei vieno tipo figūros, kuriose yra trys kampai. Šie tipai apima:

Bukas.
Lygiakraščiai (teisinga).
Taisyklingas trikampis.
Lygiašonis.

Pažvelkime atidžiau į kiekvieną iš esamų trikampių tipų.

Ši geometrinė figūra laikoma labiausiai paplitusi sprendžiant geometrines problemas. Kai iškyla poreikis nubrėžti savavališką trikampį, ši parinktis ateina į pagalbą.

Smailiame trikampyje, kaip rodo pavadinimas, visi kampai yra smailūs ir sudaro 180°.

Šis trikampio tipas taip pat yra labai paplitęs, tačiau yra šiek tiek retesnis nei ūminis trikampis. Pavyzdžiui, sprendžiant trikampius (t.y. žinomos kelios jo kraštinės ir kampai ir reikia surasti likusius elementus), kartais reikia nustatyti, ar kampas bukas, ar ne. Kosinusas yra neigiamas skaičius.

B, vieno iš kampų vertė viršija 90°, todėl likę du kampai gali turėti mažas vertes (pavyzdžiui, 15° ar net 3°).

Norėdami rasti tokio tipo trikampio plotą, turite žinoti keletą niuansų, apie kuriuos kalbėsime vėliau.

Taisyklingasis ir lygiašonis trikampis

Taisyklingas daugiakampis yra figūra, kurią sudaro n kampų ir kurios visos kraštinės ir kampai yra lygūs. Štai kas yra taisyklingas trikampis. Kadangi visų trikampio kampų suma yra 180°, tai kiekvienas iš trijų kampų yra 60°.

Taisyklingas trikampis dėl savo savybių dar vadinamas lygiakrašte figūra.

Taip pat verta paminėti, kad į taisyklingą trikampį galima įrašyti tik vieną apskritimą, o aplink jį – tik vieną apskritimą, o jų centrai yra tame pačiame taške.

Be lygiašonio tipo, galima išskirti ir lygiašonį trikampį, kuris nuo jo šiek tiek skiriasi. Tokiame trikampyje dvi kraštinės ir du kampai yra lygūs vienas kitam, o trečioji kraštinė (kuriai greta yra vienodi kampai) yra pagrindas.

Paveikslėlyje parodytas lygiašonis trikampis DEF, kurio kampai D ir F yra lygūs, o DF yra pagrindas.

Taisyklingas trikampis

Statusis trikampis taip pavadintas, nes vienas iš jo kampų yra stačias, tai yra lygus 90°. Kiti du kampai sudaro 90°.

Didžiausia tokio trikampio kraštinė, esanti priešais 90° kampą, yra hipotenuzė, o likusios dvi kraštinės yra kojos. Šio tipo trikampiams taikoma Pitagoro teorema:

Kojų ilgių kvadratų suma lygi hipotenuzės ilgio kvadratui.

Paveikslėlyje parodytas stačiakampis trikampis BAC su hipotenuze AC ir kojomis AB ir BC.

Norėdami rasti stačiu kampu trikampio plotą, turite žinoti jo kojų skaitines reikšmes.

Pereikime prie formulių, kaip rasti nurodytos figūros plotą.

Pagrindinės ploto paieškos formulės

Geometrijoje yra dvi formulės, tinkamos rasti daugelio tipų trikampių plotus, būtent smailių, bukųjų, taisyklingųjų ir lygiašonių trikampių. Pažvelkime į kiekvieną iš jų.

Iš šono ir aukščio

Ši formulė yra universali norint rasti figūros plotą, kurį svarstome. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti šono ilgį ir į jį nubrėžto aukščio ilgį. Pati formulė (pusė pagrindo ir aukščio sandaugos) yra tokia:

kur A yra nurodyto trikampio kraštinė, o H yra trikampio aukštis.

Pavyzdžiui, norėdami rasti ūmaus trikampio ACB plotą, turite padauginti jo kraštinę AB iš aukščio CD ir gautą reikšmę padalyti iš dviejų.

Tačiau tokiu būdu ne visada lengva rasti trikampio plotą. Pavyzdžiui, norėdami naudoti šią formulę buku trikampiui, turite išplėsti vieną iš jo kraštinių ir tik tada nubrėžti aukštį.

Praktikoje ši formulė naudojama dažniau nei kitos.

Iš abiejų pusių ir kampe

Ši formulė, kaip ir ankstesnė, tinka daugumai trikampių ir savo prasme yra trikampio ploto ir aukščio nustatymo formulės pasekmė. Tai yra, aptariamą formulę galima lengvai išvesti iš ankstesnės. Jo formuluotė atrodo taip:

S = ½*sinO*A*B,

kur A ir B yra trikampio kraštinės, o O yra kampas tarp kraštinių A ir B.

Prisiminkime, kad kampo sinusą galima pamatyti specialioje lentelėje, pavadintoje iškilaus sovietinio matematiko V. M. Bradžio vardu.

Dabar pereikime prie kitų formulių, kurios tinka tik išskirtinio tipo trikampiams.

Stačiojo trikampio plotas

Be universalios formulės, kuri apima poreikį rasti trikampio aukštį, trikampio, kuriame yra stačiu kampu, plotą galima rasti iš jo kojų.

Taigi, trikampio, kuriame yra stačiu kampu, plotas yra pusė jo kojų sandaugos arba:

kur a ir b yra stačiojo trikampio kojos.

Taisyklingas trikampis

Šio tipo geometrinė figūra skiriasi tuo, kad jos plotą galima rasti tik su nurodyta viena iš jos kraštinių (nes taisyklingo trikampio visos kraštinės yra lygios). Taigi, kai susiduriate su užduotimi „rasti trikampio plotą, kai kraštinės yra lygios“, turite naudoti šią formulę:

S = A 2 *√3 / 4,

kur A lygiakraščio trikampio kraštinė.

Garnio formulė

Paskutinis trikampio ploto nustatymo variantas yra Herono formulė. Norint juo naudotis, reikia žinoti trijų figūros kraštinių ilgius. Herono formulė atrodo taip:

S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),

kur a, b ir c yra nurodyto trikampio kraštinės.

Kartais pateikiama užduotis: „Taisyklingo trikampio plotas yra rasti jo kraštinės ilgį“. Šiuo atveju, norėdami rasti taisyklingo trikampio plotą, turime naudoti mums jau žinomą formulę ir iš jos išvesti kraštinės (arba jos kvadrato) reikšmę:

A 2 = 4S / √3.

Egzamino užduotys

Matematikos GIA uždaviniuose yra daug formulių. Be to, gana dažnai ant languoto popieriaus reikia rasti trikampio plotą.

Tokiu atveju patogiausia nubrėžti aukštį į vieną iš figūros kraštų, nustatyti jo ilgį iš langelių ir naudoti universalią formulę plotui rasti:

Taigi, išstudijavę straipsnyje pateiktas formules, neturėsite problemų ieškant bet kokio trikampio ploto.

Trikampio plotas - formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai

Žemiau yra savavališko trikampio ploto nustatymo formulės kurie tinka bet kokio trikampio plotui rasti, nepaisant jo savybių, kampų ar dydžių. Formulės pateikiamos paveikslėlio pavidalu su jų taikymo paaiškinimais arba teisingumo pagrindimu. Taip pat atskirame paveikslėlyje parodytas raidžių simbolių formulėse ir grafinių simbolių brėžinyje atitikimas.

Pastaba . Jei trikampis turi specialių savybių (lygiašonis, stačiakampis, lygiakraštis), galite naudoti toliau pateiktas formules, taip pat papildomas specialias formules, kurios galioja tik trikampiams, turintiems šias savybes:

"Liaukiašo trikampio ploto formulė"

Trikampio ploto formules

Formulių paaiškinimai:
a, b, c- trikampio, kurio plotą norime rasti, kraštinių ilgiai
r- į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys
R- aplink trikampį apibrėžto apskritimo spindulys
h- trikampio aukštis nuleistas į šoną
p- trikampio pusiau perimetras, 1/2 jo kraštinių sumos (perimetras)
α - kampas, priešingas trikampio kraštinei a
β - kampas, priešingas trikampio kraštinei b
γ - kampas, priešingas trikampio kraštinei c
h a, h b , h c- trikampio aukštis nuleistas į a, b, c puses

Atkreipkite dėmesį, kad pateiktos žymos atitinka aukščiau pateiktą paveikslą, todėl sprendžiant realią geometrijos problemą jums bus vizualiai lengviau pakeisti teisingas reikšmes tinkamose formulės vietose.

Trikampio plotas yra pusės trikampio aukščio ir kraštinės, kuria šis aukštis nuleistas, ilgio sandaugos(Formulė 1). Šios formulės teisingumą galima suprasti logiškai. Nuleistas iki pagrindo aukštis savavališką trikampį padalins į du stačiakampius. Jei kiekvieną iš jų pastatysite į stačiakampį, kurio matmenys b ir h, tada akivaizdu, kad šių trikampių plotas bus lygus tiksliai pusei stačiakampio ploto (Spr = bh)
Trikampio plotas yra pusė jo abiejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos(2 formulė) (žr. problemos sprendimo pavyzdį naudojant šią formulę žemiau). Nors atrodo, kad jis skiriasi nuo ankstesnio, jį galima lengvai paversti juo. Jei aukštį nuo kampo B sumažintume į kraštinę b, tai išeitų, kad kraštinės a ir kampo γ sinuso sandauga pagal sinuso savybes stačiakampiame trikampyje yra lygi trikampio aukščiui, kurį nubrėžėme. , kuri suteikia mums ankstesnę formulę
Galima rasti savavališko trikampio plotą per dirbti pusė apskritimo spindulio, įrašyto į jį visų jo kraštinių ilgių suma(3 formulė), paprasčiausiai tariant, reikia padauginti trikampio pusiau perimetrą iš įrašyto apskritimo spindulio (tai lengviau atsiminti)
Savavališko trikampio plotą galima rasti padalijus visų jo kraštinių sandaugą iš 4 aplink jį apibrėžto apskritimo spindulių (4 formulė)
5 formulė randa trikampio plotą per jo kraštinių ilgį ir pusperimetrą (pusę visų jo kraštinių sumos)
Garnio formulė(6) yra tos pačios formulės vaizdavimas nenaudojant pusperimetro sąvokos, tik per kraštinių ilgius
Savavališko trikampio plotas yra lygus trikampio kraštinės kvadrato ir kampų, esančių šalia šios kraštinės, sinusų sandaugai, padalytai iš kampo, priešingo šiai kraštinei, dvigubo sinuso (7 formulė)
Savavališko trikampio plotą galima rasti kaip dviejų apskritimo kvadratų, apribotų jį kiekvieno jo kampo sinusais, sandauga. (Formulė 8)
Jei žinomos vienos kraštinės ilgis ir dviejų gretimų kampų reikšmės, tada trikampio plotą galima rasti kaip šios kraštinės kvadratą, padalijus iš šių kampų dvigubos kotangentų sumos (9 formulė).
Jei žinomas tik kiekvieno trikampio aukščių ilgis (10 formulė), tada tokio trikampio plotas yra atvirkščiai proporcingas šių aukščių ilgiams, kaip pagal Herono formulę
11 formulė leidžia apskaičiuoti trikampio plotas, pagrįstas jo viršūnių koordinatėmis, kurios nurodytos kaip (x;y) reikšmės kiekvienai viršūnei. Atkreipkite dėmesį, kad gauta reikšmė turi būti paimta modulio, nes atskirų (ar net visų) viršūnių koordinatės gali būti neigiamų verčių srityje

Pastaba. Toliau pateikiami geometrijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, norint rasti trikampio plotą. Jei reikia išspręsti geometrijos uždavinį, kuris čia nėra panašus, parašykite apie tai forume. Sprendimuose vietoj simbolio „kvadratinės šaknies“ galima naudoti funkciją sqrt(), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radicand išraiška nurodoma skliausteliuose.Kartais paprastiems radikaliems posakiams galima naudoti simbolį √

Užduotis. Raskite plotą, nurodytą dviejose pusėse, ir kampą tarp jų

Trikampio kraštinės yra 5 ir 6 cm Kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Raskite trikampio plotą.

Sprendimas.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formulę numeris du iš teorinės pamokos dalies.
Trikampio plotą galima rasti per dviejų kraštinių ilgius ir kampo tarp jų sinusą ir bus lygus
S=1/2 ab sin γ

Kadangi turime visus sprendimui reikalingus duomenis (pagal formulę), formulėje galime pakeisti tik uždavinio sąlygų reikšmes:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje rasime ir į išraišką pakeisime sinuso reikšmę 60 laipsnių. Jis bus lygus trijų kartų du šaknims.
S = 15 √3 / 2

Atsakymas: 7,5 √3 (atsižvelgiant į mokytojo reikalavimus, tikriausiai galite palikti 15 √3/2)

Užduotis. Raskite lygiakraščio trikampio plotą

Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 3 cm, plotą.

Sprendimas.

Trikampio plotą galima rasti naudojant Herono formulę:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Kadangi a = b = c, lygiakraščio trikampio ploto formulė yra tokia:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Atsakymas: 9 √3 / 4.

Užduotis. Keičiant šonų ilgį, keičiamas plotas

Kiek kartų padidės trikampio plotas, jei kraštinės padidinamos 4 kartus?

Sprendimas.

Kadangi trikampio kraštinių matmenys mums nežinomi, norėdami išspręsti problemą, manysime, kad kraštinių ilgiai yra atitinkamai lygūs savavališkiems skaičiams a, b, c. Tada, norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, rasime nurodyto trikampio plotą, o tada – trikampio, kurio kraštinės keturis kartus didesnės, plotą. Šių trikampių plotų santykis suteiks mums atsakymą į problemą.

Žemiau pateikiame tekstinį problemos sprendimo paaiškinimą žingsnis po žingsnio. Tačiau pačioje pabaigoje tas pats sprendimas pateikiamas patogesne grafine forma. Tie, kurie domisi, gali iš karto pereiti prie sprendimų.

Norėdami išspręsti, naudojame Herono formulę (žr. aukščiau teorinėje pamokos dalyje). Tai atrodo taip:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. pirmąją paveikslėlio eilutę žemiau)

Savavališko trikampio kraštinių ilgiai nurodomi kintamaisiais a, b, c.
Jei kraštinės padidinamos 4 kartus, tada naujo trikampio c plotas bus:

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(žr. antrą eilutę paveikslėlyje žemiau)

Kaip matote, 4 yra bendras veiksnys, kurį galima ištraukti iš skliaustų iš visų keturių išraiškų pagal bendrąsias matematikos taisykles.
Tada

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - trečioje paveikslo eilutėje
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ketvirta eilutė

Skaičiaus 256 kvadratinė šaknis puikiai išgauta, todėl išimkime ją iš po šaknies
S 2 = 16 * 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kvadratas ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. žemiau esančios nuotraukos penktąją eilutę)

Norėdami atsakyti į užduotą klausimą, tereikia padalyti gauto trikampio plotą iš pradinio ploto.
Plotų santykius nustatykime dalijant išraiškas vieną iš kitos ir sumažinant gautą trupmeną.

Norėdami nustatyti trikampio plotą, galite naudoti skirtingas formules. Iš visų metodų lengviausias ir dažniausiai naudojamas aukštį padauginti iš pagrindo ilgio ir padalyti rezultatą iš dviejų. Tačiau šis metodas toli gražu nėra vienintelis. Žemiau galite perskaityti, kaip rasti trikampio plotą naudojant skirtingas formules.

Atskirai apžvelgsime būdus, kaip apskaičiuoti konkrečių tipų trikampių - stačiakampių, lygiašonių ir lygiašonių - plotą. Prie kiekvienos formulės pateikiame trumpą paaiškinimą, kuris padės suprasti jos esmę.

Universalūs trikampio ploto nustatymo metodai

Toliau pateiktose formulėse naudojamas specialus žymėjimas. Mes iššifruosime kiekvieną iš jų:

a, b, c – mūsų nagrinėjamos figūros trijų kraštinių ilgiai;
r yra apskritimo, kurį galima įrašyti į mūsų trikampį, spindulys;
R yra apskritimo, kurį galima apibūdinti aplink jį, spindulys;
α – kampo, sudaryto iš kraštinių b ir c, dydis;
β – kampo tarp a ir c dydis;
γ – kampo, sudaryto iš kraštinių a ir b, dydis;
h yra mūsų trikampio aukštis, nuleistas nuo kampo α į kraštinę a;
p – pusė kraštinių a, b ir c sumos.

Logiškai aišku, kodėl tokiu būdu galite rasti trikampio plotą. Trikampis gali būti lengvai sudarytas į lygiagretainį, kuriame viena trikampio kraštinė veiks kaip įstrižainė. Lygiagretainio plotas randamas vienos iš jo kraštinių ilgį padauginus iš į ją nubrėžto aukščio vertės. Įstrižainė padalija šį sąlyginį lygiagretainį į 2 vienodus trikampius. Todėl visiškai akivaizdu, kad mūsų pradinio trikampio plotas turi būti lygus pusei šio pagalbinio lygiagretainio ploto.

S=½ a b sin γ

Pagal šią formulę trikampio plotas randamas padauginus jo dviejų kraštinių, tai yra a ir b, ilgius iš jų suformuoto kampo sinuso. Ši formulė logiškai išvesta iš ankstesnės. Jei aukštį nuo kampo β sumažiname į kraštinę b, tai pagal stačiojo trikampio savybes, kraštinės a ilgį padauginus iš kampo γ sinuso, gauname trikampio aukštį, tai yra h. .

Nagrinėjamos figūros plotas randamas padauginus pusę apskritimo, kurį galima įrašyti į jį, spindulio iš jo perimetro. Kitaip tariant, randame minėto apskritimo pusperimetro ir spindulio sandaugą.

S= a b c/4R

Pagal šią formulę mums reikiamą reikšmę galime rasti figūros kraštinių sandaugą padalijus iš 4 aplink ją aprašyto apskritimo spindulių.

Šios formulės yra universalios, nes leidžia nustatyti bet kurio trikampio plotą (skalė, lygiašonis, lygiakraštis, stačiakampis). Tai galima padaryti naudojant sudėtingesnius skaičiavimus, kurių mes išsamiai nenagrinėsime.

Tam tikrų savybių turinčių trikampių plotai

Kaip rasti stačiojo trikampio plotą? Šios figūros ypatumas yra tas, kad dvi jos pusės yra vienu metu jos aukščiai. Jei a ir b yra kojos, o c tampa hipotenuze, tada randame tokią sritį:

Kaip rasti lygiašonio trikampio plotą? Jis turi dvi puses, kurių ilgis yra a, ir vieną kraštą, kurio ilgis b. Vadinasi, jo plotą galima nustatyti kraštinės a kvadrato sandaugą padalijus iš 2 iš kampo γ sinuso.

Kaip rasti lygiakraščio trikampio plotą? Joje visų kraštinių ilgis lygus a, o visų kampų dydis lygus α. Jo aukštis lygus pusei kraštinės a ilgio ir kvadratinės šaknies iš 3 sandaugos. Norėdami rasti taisyklingo trikampio plotą, turite padauginti kraštinės a kvadratą iš kvadratinės šaknies iš 3 ir padalyti iš 4.

Kaip galbūt prisimenate iš savo mokyklos geometrijos mokymo programos, trikampis yra figūra, sudaryta iš trijų atkarpų, sujungtų trimis taškais, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Trikampis sudaro tris kampus, taigi ir figūros pavadinimas. Apibrėžimas gali skirtis. Trikampis taip pat gali būti vadinamas daugiakampiu su trimis kampais, atsakymas taip pat bus teisingas. Trikampiai skirstomi pagal lygių kraštinių skaičių ir kampų dydį paveiksluose. Taigi trikampiai skiriami kaip lygiašoniai, lygiakraščiai ir skalės, taip pat atitinkamai stačiakampiai, smailūs ir bukieji.

Yra daug formulių trikampio plotui apskaičiuoti. Pasirinkite, kaip rasti trikampio plotą, t.y. Kokią formulę naudoti, priklauso nuo jūsų. Tačiau verta atkreipti dėmesį tik į kai kuriuos žymėjimus, kurie naudojami daugelyje formulių apskaičiuojant trikampio plotą. Taigi, atsiminkite:

S yra trikampio plotas,

a, b, c yra trikampio kraštinės,

h yra trikampio aukštis,

R yra apibrėžto apskritimo spindulys,

p yra pusiau perimetras.

Štai pagrindiniai užrašai, kurie gali būti naudingi, jei visiškai pamiršote geometrijos kursą. Žemiau pateikiamos labiausiai suprantamos ir nesudėtingos nežinomos ir paslaptingos trikampio srities apskaičiavimo parinktys. Tai nesunku ir pravers tiek jūsų buities reikmėms, tiek padedant vaikams. Prisiminkime, kaip kuo lengviau apskaičiuoti trikampio plotą:

Mūsų atveju trikampio plotas yra: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kv. Atminkite, kad plotas matuojamas kvadratiniais centimetrais (kvcm).

Statusis trikampis ir jo plotas.

Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas kampas yra lygus 90 laipsnių (todėl vadinamas dešiniuoju). Statųjį kampą sudaro dvi statmenos linijos (trikampio atveju dvi statmenos atkarpos). Stačiame trikampyje gali būti tik vienas stačiakampis, nes... bet kurio vieno trikampio visų kampų suma lygi 180 laipsnių. Pasirodo, 2 kiti kampai turėtų padalyti likusius 90 laipsnių, pavyzdžiui, 70 ir 20, 45 ir 45 ir tt. Taigi, atsimenate pagrindinį dalyką, belieka išsiaiškinti, kaip rasti stačiojo trikampio plotą. Įsivaizduokime, kad prieš mus yra toks stačiakampis trikampis ir reikia rasti jo plotą S.

1. Paprasčiausias būdas nustatyti stačiakampio trikampio plotą apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Mūsų atveju dešiniojo trikampio plotas yra: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kv. cm.

Iš esmės nebereikia tikrinti trikampio ploto kitais būdais, nes Tik šis pravers ir pravers kasdieniame gyvenime. Tačiau taip pat yra galimybių išmatuoti trikampio plotą smailiais kampais.

2. Taikant kitus skaičiavimo metodus, turite turėti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelę. Spręskite patys, čia yra keletas stačiakampio trikampio ploto, kurį vis dar galima naudoti, skaičiavimo parinktys:

Nusprendėme naudoti pirmąją formulę ir su nedideliais dėmėmis (nubraižėme ją sąsiuvinyje ir panaudojome seną liniuotę ir matuoklį), bet gavome teisingą skaičiavimą:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Gavome tokius rezultatus: 3,6=3,7, bet atsižvelgiant į ląstelių poslinkį, šį niuansą galime atleisti.

Lygiašonis trikampis ir jo plotas.

Jei susiduriate su užduotimi apskaičiuoti lygiašonio trikampio formulę, paprasčiausias būdas yra naudoti pagrindinę ir tai, kas laikoma klasikine trikampio ploto formule.

Bet pirmiausia, prieš surasdami lygiašonio trikampio plotą, išsiaiškinkime, kokia tai figūra. Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės yra vienodo ilgio. Šios dvi pusės vadinamos šoninėmis, trečioji – pagrindu. Nepainiokite lygiašonio trikampio su lygiašoniu trikampiu, t.y. taisyklingas trikampis, kurio visos trys kraštinės lygios. Tokiame trikampyje nėra ypatingų tendencijų kampams, tiksliau jų dydžiui. Tačiau lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs, bet skiriasi nuo kampo tarp lygių kraštinių. Taigi, jūs jau žinote pirmąją ir pagrindinę formulę, belieka išsiaiškinti, kokios kitos lygiašonio trikampio ploto nustatymo formulės:

Trikampis yra paprasčiausia geometrinė figūra, susidedanti iš trijų kraštinių ir trijų viršūnių. Dėl savo paprastumo trikampis nuo seno buvo naudojamas įvairiems matavimams atlikti, o šiandien figūra gali būti naudinga sprendžiant praktines ir kasdienes problemas.

Trikampio savybės

Paveikslas buvo naudojamas skaičiavimams nuo seniausių laikų, pavyzdžiui, matininkai ir astronomai, norėdami apskaičiuoti plotus ir atstumus, naudoja trikampių savybes. Per šios figūros plotą lengva išreikšti bet kurio n kampo plotą, o šią savybę senovės mokslininkai naudojo, kad gautų daugiakampių plotų formules. Nuolatinis darbas su trikampiais, ypač stačiu trikampiu, tapo pagrindu visai matematikos šakai – trigonometrijai.

Trikampio geometrija

Geometrinės figūros savybės buvo tiriamos nuo seniausių laikų: anksčiausia informacija apie trikampį buvo rasta Egipto papirusuose nuo 4000 metų. Tada figūra buvo tiriama Senovės Graikijoje, o didžiausią indėlį į trikampio geometriją padarė Euklidas, Pitagoras ir Heronas. Trikampio tyrinėjimas niekada nesiliovė, o XVIII amžiuje Leonhardas Euleris pristatė figūros ortocentro ir Eulerio apskritimo sampratą. 19–20 amžių sandūroje, kai atrodė, kad apie trikampį žinoma absoliučiai viskas, Frankas Morley suformulavo teoremą apie kampo trisektorius, o Waclawas Sierpinskis pasiūlė fraktalinį trikampį.

Yra keletas plokščių trikampių tipų, kurie mums žinomi iš mokyklos geometrijos kursų:

ūmus - visi figūros kampai yra aštrūs;
bukas - figūra turi vieną bukąjį kampą (daugiau nei 90 laipsnių);
stačiakampis - figūroje yra vienas stačiakampis, lygus 90 laipsnių;
lygiašonis – trikampis su dviem lygiomis kraštinėmis;
lygiakraštis – trikampis su visomis lygiomis kraštinėmis.
Realiame gyvenime yra visų rūšių trikampių, o kai kuriais atvejais mums gali tekti apskaičiuoti geometrinės figūros plotą.

Trikampio plotas

Plotas yra įvertinimas, kiek plokštumos užima figūra. Trikampio plotą galima rasti šešiais būdais, naudojant įbrėžto arba apibrėžto apskritimo kraštines, aukštį, kampus, spindulį, taip pat naudojant Herono formulę arba apskaičiuojant dvigubą integralą išilgai plokštumą ribojančių linijų. Paprasčiausia trikampio ploto apskaičiavimo formulė yra tokia:

kur a yra trikampio kraštinė, h yra jo aukštis.

Tačiau praktiškai mums ne visada patogu rasti geometrinės figūros aukštį. Mūsų skaičiuoklės algoritmas leidžia apskaičiuoti plotą žinant:

trys pusės;
dvi pusės ir kampas tarp jų;
viena pusė ir du kampai.

Norėdami nustatyti plotą per tris puses, naudojame Herono formulę:

S = kvadratas (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

kur p yra trikampio pusperimetras.

Plotas iš dviejų pusių ir kampas apskaičiuojami pagal klasikinę formulę:

S = a × b × sin(alfa),

kur alfa yra kampas tarp kraštinių a ir b.

Norėdami nustatyti plotą pagal vieną kraštinę ir du kampus, naudojame santykį, kuris:

a / sin (alfa) = b / nuodėmė (beta) = c / sin (gama)

Naudodami paprastą proporciją nustatome antrosios kraštinės ilgį, po kurio apskaičiuojame plotą pagal formulę S = a × b × sin(alfa). Šis algoritmas yra visiškai automatizuotas ir jums tereikia įvesti nurodytus kintamuosius ir gauti rezultatą. Pažvelkime į porą pavyzdžių.

Pavyzdžiai iš gyvenimo

Grindinio plokštės

Tarkime, kad norite grindis iškloti trikampėmis plytelėmis, o norint nustatyti reikalingos medžiagos kiekį, turite žinoti vienos plytelės plotą ir grindų plotą. Tarkime, kad jums reikia apdoroti 6 kvadratinius metrus paviršiaus naudojant plyteles, kurių matmenys yra a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Akivaizdu, kad trikampio plotui apskaičiuoti skaičiuotuvas naudoja Herono formulę ir pateikia. rezultatas:

Taigi vieno plytelių elemento plotas bus 0,021 kvadratinio metro, o grindų patobulinimui reikės 6/0,021 = 285 trikampių. Skaičiai 20, 21 ir 29 sudaro Pitagoro trigubus skaičius, kurie tenkina . Ir taip, mūsų skaičiuotuvas taip pat apskaičiavo visus trikampio kampus, o gama kampas yra lygiai 90 laipsnių.

Mokyklos užduotis

Mokyklos uždavinyje reikia rasti trikampio plotą, žinant, kad kraštinė a = 5 cm, o kampai alfa ir beta yra atitinkamai 30 ir 50 laipsnių. Norėdami išspręsti šią problemą rankiniu būdu, pirmiausia surastume kraštinės b reikšmę, naudodami proporciją tarp kraštinių santykio ir priešingų kampų sinusų, o tada nustatysime plotą naudodami paprastą formulę S = a × b × sin(alfa). Sutaupykime laiko, suveskime duomenis į skaičiuoklės formą ir gaukime greitą atsakymą

Naudojant skaičiuotuvą svarbu teisingai nurodyti kampus ir šonus, kitaip rezultatas bus neteisingas.

Išvada

Trikampis yra unikali figūra, randama tiek realiame gyvenime, tiek abstrakčiuose skaičiavimuose. Norėdami nustatyti bet kokio tipo trikampių plotą, naudokite mūsų internetinį skaičiuotuvą.