Ekonominių santykių funkcijos. Funkciniai santykiai Santykių operacijos

1. Paskaita Nr. 1. Aibės ir operacijos su jais.
2. Paskaita Nr. 2. Korespondencijos ir funkcijos.
3. Paskaita Nr. 3. Ryšiai ir jų savybės.
4. Paskaita Nr. 4. Pagrindiniai santykių tipai.
5. Paskaita Nr. 5. Bendrosios algebros elementai.
6. Paskaita Nr. 6. Įvairių tipų algebrinės struktūros.
7. Paskaita Nr. 7. Matematinės logikos elementai.
8. Paskaita Nr. 8. Loginės funkcijos.
9. Paskaita Nr. 9. Būlio algebros.
10. Paskaita Nr. 10. Būlio algebra ir aibių teorija.
11. Paskaita Nr. 11. Išbaigtumas ir uždarumas.
12. Paskaita Nr. 12. Predikatų logikos kalba.
13. Paskaita Nr. 13. Kombinatorika.
14. Paskaita Nr. 14. Grafikai: pagrindinės sąvokos ir operacijos.
15. Paskaita Nr. 15. Maršrutai, grandinės ir kilpos.
16. Paskaita Nr. 16. Kai kurios grafų klasės ir jų dalys.

I SKYRIUS. RINKINIAI, FUNKCIJOS, RYŠIAI.

Paskaita Nr. 2. Korespondencijos ir funkcijos.

1. Degtukai.

Apibrėžimas. Aibių A ir B atitikimas yra tam tikras jų Dekarto sandaugos poaibis G: .

Jei , tada jie sako , kad atitinka , kai atitinka . Šiuo atveju visų tokių reikšmių rinkinys vadinamas korespondencijos apibrėžimo sritimi, o atitinkamų reikšmių rinkinys – korespondencijos reikšmių sritimi.

Priimtoje žymėjime vadinamas kiekvienas elementas, atitinkantis duotą elementą būdu kai atitinka, priešingai, elementas vadinamas prototipas tam tikros korespondencijos elementas.

Atitiktis vadinamas visiškai apibrėžta, jei , tai yra, kiekvienas aibės elementas turi bent vieną vaizdą rinkinyje; kitu atveju rungtynės vadinamos dalinis.

Atitiktis vadinamas surjektyvus, jei, tai yra, jei kiekvienas aibės elementas atitinka bent vieną pirminį aibės vaizdą.

Atitiktis vadinamas funkcinis (nedviprasmiškas), jei kuris nors aibės elementas atitinka vieną aibės elementą.

Atitiktis vadinamas injekcinis, jei jis yra funkcionalus, o kiekvienas rinkinio elementas turi daugiausia vieną atvirkštinį vaizdą.

Atitiktis vadinamas vienas su vienu (bijektyvus), jei kuris nors aibės elementas atitinka vieną aibės elementą ir atvirkščiai. Taip pat galime sakyti, kad atitikmuo yra vienas su vienu, jei jis yra visiškai apibrėžtas, surjektyvus, funkcionalus ir kiekvienas rinkinio elementas turi vieną prototipą.

1 pavyzdys.

a) Anglų-rusų žodynas nustato atitikimą tarp žodžių rinkinių rusų ir anglų kalbomis. Tai nefunkcionalu, nes beveik kiekvienas rusiškas žodis turi kelis vertimus į anglų kalbą; tai taip pat, kaip taisyklė, nėra visiškai apibrėžta atitiktis, nes visada yra anglų kalbos žodžių, kurie nėra įtraukti į tam tikrą žodyną. Taigi tai yra dalinės rungtynės.

b) Funkcijos argumentų ir tos funkcijos reikšmių atitikimas yra funkcinis. Tačiau tai nėra vienas su vienu, nes kiekviena funkcijos reikšmė atitinka du atvirkštinius vaizdus ir .

c) Šachmatų lentoje esančių figūrų ir jų užimamų laukų atitikimas yra vienas su vienu.

d) Vyazmos miesto telefonų ir jų penkiaženklių numerių korespondencija iš pirmo žvilgsnio turi visas „vienas su vienu“ susirašinėjimo savybes. Tačiau, pavyzdžiui, jis nėra surjektyvus, nes yra penkiaženkliai skaičiai, kurie neatitinka jokių telefonų.

2. Vienas su vienu atitikmenys ir aibių galios.

Jei yra vienas su vienu atitikimas tarp dviejų baigtinių aibių A ir B, tai šios aibės yra vienodo kardinalumo. Šis akivaizdus faktas leidžia, pirma, nustatyti šių aibių kardinalumo lygybę jų neskaičiuojant. Antra, dažnai galima apskaičiuoti aibės kardinalumą, nustatant jos atitikimą vienas su vienu aibei, kurios kardinalumas yra žinomas arba lengvai apskaičiuojamas.

2.1 teorema. Jei baigtinės aibės kardinalumas A yra lygus , tada visų poaibių skaičius A lygus, tai yra.

Iškviečiama visų aibės M poaibiu aibė Būlio ir yra paskirtas. Baigtinėms aibėms galioja šios: .

Apibrėžimas. Rinkiniai A Ir IN vadinami lygiaverčiais, jei tarp jų elementų galima nustatyti „vienas su vienu“ atitikimą.

Atkreipkite dėmesį, kad baigtinių aibių atveju šį teiginį lengva įrodyti. Begalinėms aibėms tai nulems pačią vienodo kardinalumo sampratą.

Apibrėžimas. Krūva A vadinamas skaičiuojamuoju, jei jis yra lygiavertis natūraliųjų skaičių aibei: .

Labai supaprastintu būdu galime pasakyti, kad tam tikra begalinė aibė yra skaičiuojama, jei jos elementus galima sunumeruoti naudojant natūraliuosius skaičius.

Be įrodymų priimkime keletą svarbių faktų:

1. Bet kuris begalinis natūraliųjų skaičių aibės poaibis yra skaičiuojamas.

2. Rinkinys yra skaičiuojamas.

3. Racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama (yra ankstesnio teiginio pasekmė).

4. Baigtinio skaičiaus skaičiuojamų aibių sąjunga yra skaičiuojama.

5. Suskaičiuojamo skaičiaus baigtinių aibių sąjunga yra skaičiuojama.

6. Suskaičiuojamo skaičiaus skaičiuojamų aibių sąjunga yra skaičiuojama.

Visi šie teiginiai, kaip matyti, leidžia gana sėkmingai nustatyti faktą, kad šis rinkinys yra skaičiuojamas. Tačiau dabar bus parodyta, kad ne kiekviena begalinė aibė yra skaičiuojama; yra didesnės galios rinkiniai.

2.2 teorema (Kantoriaus teorema). Visų realiųjų skaičių atkarpoje aibė nėra skaičiuojama.

Įrodymas. Tarkime, kad aibė yra skaičiuojama ir yra jos numeracija. Kadangi bet kurį realųjį skaičių galima pavaizduoti kaip begalinę dešimtainę trupmeną (periodinę arba neperiodinę), tai darysime su šios aibės skaičiais. Išdėstykime juos tokia numeravimo tvarka:

Dabar apsvarstykite bet kokią begalinę formos dešimtainę trupmeną, sutvarkytą taip, kad ir pan. Akivaizdu, kad ši trupmena nėra įtraukta į nagrinėjamą seką, nes nuo pirmojo skaičiaus ji skiriasi pirmuoju skaitmeniu po kablelio, nuo antrojo - antruoju skaitmeniu ir pan. Vadinasi, iš šio intervalo gavome skaičių, kuris nėra sunumeruotas, todėl aibė nėra skaičiuojama. Jo galia vadinama kontinuumas, ir vadinamos tokio kardinalumo aibės tęstinis. Aukščiau pateiktas įrodinėjimo būdas vadinamas Kantoro įstrižainės metodas.

1 išvada. Realiųjų skaičių aibė yra ištisinė.

2 išvada. Visų skaičiuojamos aibės poaibių aibė yra ištisinė.

Kaip parodyta aibių teorijoje (naudojant metodą, panašų į pateiktą aukščiau), bet kurio kardinalumo aibėje visų jos poaibių (Bulio) aibės kardinalumas yra didesnis. Todėl nėra nustatyto maksimalaus kardinalumo. Pavyzdžiui, Kantoro aprašytoje aibių visatoje turi būti visos įsivaizduojamos aibės, tačiau ji pati yra jos poaibių aibėje kaip elementas (Kantoriaus paradoksas). Pasirodo, rinkinys nėra maksimalaus kardinalumo rinkinys.

3. Ekranai ir funkcijos.

Funkcija yra bet koks funkcinis atitikimas tarp dviejų aibių. Jei funkcija nustato atitiktį tarp aibių A ir B, tada sakoma, kad funkcija turi formą (žymėjimas ). Kiekvienam elementui iš jo apibrėžimo srities funkcija priskiria vieną elementą iš reikšmių srities. Tai parašyta tradicine forma. Elementas vadinamas argumentas funkcija, elementas – tai prasmė.

Iškviečiama visiškai apibrėžta funkcija ekranas A į B; rodomas rinkinio A vaizdas žymimas . Jei tuo pačiu metu , tai yra, korespondencija yra surjekcinė, sakome, kad yra atvaizdavimas nuo A iki B.

Jei ji susideda iš vieno elemento, ji vadinama pastovia funkcija.

Tipo atvaizdavimas vadinamas aibės A transformacija.

2 pavyzdys.

a) Funkcija yra natūraliųjų skaičių aibės susiejimas su savimi (injekcinė funkcija). Ta pati funkcija visiems yra sveikųjų skaičių atvaizdavimas racionaliųjų skaičių aibėje.

b) Funkcija yra sveikųjų skaičių (išskyrus 0) atvaizdavimas natūraliųjų skaičių aibėje. Be to, šiuo atveju susirašinėjimas nėra vienas su vienu.

c) Funkcija yra realiųjų skaičių aibės atvaizdavimas vienas su vienu.

d) Funkcija nėra visiškai apibrėžta, jei jos tipas yra , bet yra visiškai apibrėžta, jei jos tipas yra arba .

Apibrėžimas. Funkcijos tipas vadinama vietine funkcija. Šiuo atveju visuotinai pripažįstama, kad funkcija turi argumentų: , Kur.

Pavyzdžiui, sudėtis, daugyba, atimtis ir dalyba yra dviejų vietų funkcijos, tai yra, tipo funkcijos.

Apibrėžimas. Tegul korespondencija bus suteikta. Jei atitikmuo yra toks, kad jei ir tik tada, tada atitikimas vadinamas atvirkštine ir žymimas .

Apibrėžimas. Jei funkcijos atvirkštinė atitiktis yra funkcinė, tada ji vadinama atvirkštine funkcija.

Akivaizdu, kad atvirkštinėje korespondencijoje vaizdai ir prototipai keičiasi vietomis, todėl norint, kad būtų atvirkštinė funkcija, kiekvienas elementas iš reikšmių srities turi turėti vieną prototipą. Tai reiškia, kad funkcijai atvirkštinė funkcija egzistuoja tada ir tik tada, kai ji yra bijektyvus jos apibrėžimo srities ir reikšmių srities atitikimas.

3 pavyzdys. Funkcija turi tipą . Jis atskiria segmentą vienas su vienu į segmentą. Todėl segmente yra atvirkštinė funkcija. Kaip žinote, tai yra.

Apibrėžimas. Tegul funkcijos ir yra duota. Funkcija vadinama funkcijų kompozicija ir (žymima ), jei galioja lygybė: , Kur.

Funkcijų sudėtis – tai nuoseklus šių funkcijų taikymas; taikomas rezultatui Dažnai sakoma, kad funkcija gaunama pakeitimas V .

Kelių vietų funkcijoms galimi įvairūs pakeitimų į variantai, iš kurių gaunamos įvairių tipų funkcijos. Ypač įdomus atvejis, kai daug funkcijų tipo: . Šiuo atveju, pirma, galimas bet koks funkcijų pakeitimas viena kitai, antra, bet koks argumentų pervardijimas. Funkcija, gauta iš šių funkcijų jas pakeičiant viena kita ir pervardijant argumentus, vadinama jų superpozicija.

Pavyzdžiui, matematinės analizės metu įvedama elementariosios funkcijos sąvoka, kuri yra fiksuoto (nepriklausomo nuo argumento reikšmės) aritmetinių operacijų skaičiaus, taip pat elementariųjų funkcijų (ir kt.) superpozicija.

A.N. Kolmogorovas ir V.I. Arnoldas įrodė, kad kiekviena nuolatinė kintamųjų funkcija gali būti pavaizduota kaip dviejų kintamųjų tęstinių funkcijų superpozicija.

komentuoti. Funkcijos sąvoka plačiai naudojama matematinėje analizėje, be to, ji yra pagrindinė jos sąvoka. Apskritai požiūris į termino „funkcija“ supratimą matematinės analizės metu yra šiek tiek siauresnis nei diskrečiojoje matematikoje. Kaip taisyklė, ji mano, kad vadinamasis apskaičiuojamas funkcijas. Funkcija vadinama apskaičiuojama, jei pateikiama procedūra, leidžianti rasti funkcijos reikšmę bet kuriai nurodytai argumento reikšmei.

Grįžkime į santraukos pradžią.

1 pavyzdys.

a) Lygybės santykis (dažnai žymimas ) bet kurioje aibėje yra lygiavertiškumas. Lygybė yra minimalus lygiavertiškumo santykis ta prasme, kad pašalinus bet kurią porą iš šio santykio (ty bet kurį vienetą pagrindinėje matricos įstrižainėje), ji nustoja būti refleksyvi ir todėl nebėra lygiavertė.

b) tipo pareiškimai arba , sudarytas iš formulių, sujungtų lygybės ženklu, apibrėžia dvejetainį ryšį formulių, apibūdinančių elementariųjų funkcijų superpozicijas, rinkinyje. Šis ryšys paprastai vadinamas lygiavertiškumo ryšiu ir apibrėžiamas taip: dvi formulės yra lygiavertės, jei jos apibrėžia tą pačią funkciją. Ekvivalentiškumas šiuo atveju, nors ir žymimas „=“ ženklu, nereiškia to paties, kaip lygybės santykis, nes jis gali būti tenkinamas skirtingoms formulėms. Tačiau galime manyti, kad lygybės ženklas tokiuose santykiuose reiškia ne pačias formules, o funkcijas, kurias jos apibūdina. Formulėms lygybės santykis yra formulių sutapimas rašyboje. Tai vadinama grafinė lygybė. Beje, siekiant išvengti neatitikimų tokiose situacijose, lygiavertiškumo ryšiui nurodyti dažnai naudojamas ženklas „ “.

c) Apsvarstykite aibę trikampių koordinačių plokštumoje, darydami prielaidą, kad trikampis yra duotas, jei nurodytos jo viršūnių koordinatės. Du trikampius laikysime lygiais (sutampančiais), jei sudėjus jie sutampa, tai yra, jie yra verčiami vienas į kitą naudojant tam tikrą judesį. Lygybė yra lygiavertiškumo santykis trikampių aibėje.

d) Ryšys „turėti tą pačią natūraliojo skaičiaus liekaną“ natūraliųjų skaičių aibėje yra lygiavertiškumas.

f) Sąryšis „būti dalikliu“ nėra aibės ekvivalentinis santykis. Jis turi refleksiškumo ir tranzityvumo savybes, tačiau yra antisimetriškas (žr. toliau).

Tegu aibėje nurodomas lygiavertiškumo santykis. Atlikime tokią statybą. Pažymime elementą ir suformuokime klasę (poaibį), susidedančią iš elemento ir visų jam lygiaverčių elementų duotame santykyje. Tada pasirinkite elementą ir sudaro klasę, kurią sudaro lygiaverčiai elementai. Tęsdami šiuos veiksmus, gauname klasių sistemą (galbūt begalinę), kad bet kuris elementas iš aibės būtų įtrauktas į bent vieną klasę, t.

Ši sistema turi šias savybes:

1) jis susidaro pertvara aibės, tai yra, klasės nesikerta poromis;

2) bet kurie du elementai iš tos pačios klasės yra lygiaverčiai;

3) bet kurie du elementai iš skirtingų klasių nėra lygiaverčiai.

Visos šios savybės tiesiogiai išplaukia iš ekvivalentiškumo santykio apibrėžimo. Iš tiesų, jei, pavyzdžiui, klasės būtų nuslopintos, jos turėtų bent vieną bendrą elementą. Šis elementas akivaizdžiai būtų lygiavertis ir . Tada dėl santykio tranzityvumo, . Tačiau dėl klasių sudarymo būdo tai neįmanoma. Kitos dvi savybės gali būti įrodytos panašiai.

Sukurtas skaidinys, tai yra klasių sistema - aibės poaibiai, vadinama sistema lygiavertiškumo klasės palyginti su . Šios sistemos galia vadinama skaidinio indeksas. Kita vertus, bet koks aibės padalijimas į klases pats nulemia tam tikrą ekvivalentiškumo santykį, būtent santykį „būti įtrauktam į vieną tam tikro skirsnio klasę“.

2 pavyzdys.

a) Visos lygiavertiškumo klasės lygybės santykio atžvilgiu susideda iš vieno elemento.

b) Formulės, apibūdinančios tą pačią elementariąją funkciją, lygiavertiškumo santykio atžvilgiu yra toje pačioje ekvivalentiškumo klasėje. Šiuo atveju pati formulių rinkinys, lygiavertiškumo klasių rinkinys (tai yra skaidinio indeksas) ir kiekviena lygiavertiškumo klasė yra skaičiuojami.

c) Trikampių aibės skaidinys lygybės atžvilgiu turi kontinuumo indeksą, o kiekviena klasė taip pat turi kontinuumo kardinalumą.

d) Natūraliųjų skaičių aibės skaidinys santykio „turi bendrą likutį, padalijus iš 7“ galutinis indeksas yra 7 ir susideda iš septynių skaičiuojamų klasių.

1. Tvarkos santykiai.

1 apibrėžimas. Santykiai vadinami negriežtas santykis, jei jis yra refleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus.

2 apibrėžimas. Santykiai vadinami griežtos tvarkos santykis, jei jis yra antirefleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus.

Abi santykių rūšys bendrai vadinamos užsakymo santykiai. Elementai yra palyginami eilės santykio atžvilgiu, jei tenkinamas vienas iš dviejų santykių. Aibė, kurioje nurodytas eilės santykis, vadinama visiškai sutvarkyta, jei bet kurie du jos elementai yra palyginami. Kitu atveju rinkinys vadinamas iš dalies užsakytu.

3 pavyzdys.

a) Santykiai " " ir " " yra ne griežtos tvarkos santykiai, santykiai "<” и “>” – griežtos eilės ryšiai (visose pagrindinėse skaičių aibėse). Abu santykiai visiškai sutvarko rinkinius ir .

b) Apibrėžkite santykius " " ir "<” на множестве следующим образом:

1) jei ;

2) jei ir tuo pačiu metu einama už vieną koordinatę.

Tada pvz. , bet ir neprilygstamas. Taigi šie santykiai iš dalies tvarkingi.

c) Aibės poaibių sistemoje įtraukimo santykis „ ” nurodo negriežtą dalinę tvarką, o griežtas įtraukimo santykis „ “ – griežtą dalinę tvarką. Pavyzdžiui, , bet nepalyginama.

d) Darbo kolektyve pavaldumo santykiai sukuria griežtą dalinę tvarką. Jame, pavyzdžiui, nepalyginami įvairių struktūrinių padalinių (skyrių ir kt.) darbuotojai.

e) Rusų abėcėlėje raidžių tvarka yra fiksuota, tai yra, ji visada yra tokia pati. Tada šis sąrašas apibrėžia visą raidžių tvarką, kuri vadinama pirmumo ryšiu. Žymi (pirmiausia). Remiantis raidžių pirmumo ryšiu, konstruojamas žodžių pirmumo ryšys, nustatomas maždaug taip pat, kaip lyginamos dvi dešimtainės trupmenos. Šis ryšys nurodo visišką žodžių tvarką rusų abėcėlėje, kuri vadinama leksikografine tvarka.

4 pavyzdys.

a) Žymiausias leksikografinės žodžių rikiuotės pavyzdys yra žodžių rikiuotė žodynuose. Pavyzdžiui, (nuo), todėl žodis miškas esantis prieš žodį žodyne vasara.

b) Jei skaičius pozicinėse skaičių sistemose (pavyzdžiui, dešimtainėje sistemoje) laikysime žodžiais skaičių abėcėlėje, tai jų leksikografinė tvarka sutampa su įprasta, jei visi lyginami skaičiai turi vienodą skaitmenų skaičių. Apskritai šie du tipai gali nesutapti. Pavyzdžiui, ir, bet, a. Kad jie sutaptų, reikia išlyginti visų lyginamų skaičių skaitmenų skaičių, priskiriant paliko nuliai. Šiame pavyzdyje gauname. Šis lygiavimas įvyksta automatiškai, kai į kompiuterį įrašote sveikuosius skaičius.

c) Skaitmeninių datų, tokių kaip 2004-07-19 (liepos devynioliktoji du tūkstančiai ketvirta diena), leksikografinė tvarka nesutampa su natūralia datų tvarka iš ankstesnės į vėlesnę. Pavyzdžiui, data 2004-07-19 yra „leksikografiškai“ senesnė nei bet kurių metų aštuonioliktoji diena. Kad didėjančios datos sutaptų su leksikografine tvarka, įprastas vaizdavimas turi būti „apverstas“, tai yra rašomas forma 2004.07.19. Paprastai tai daroma, kai kompiuterio atmintyje pateikiamos datos.

Kalbant apie komunikacijos funkcijas (iš lot. Functio - vykdymas, įgyvendinimas), jos suprantamos kaip išorinis bendravimo savybių, vaidmenų ir užduočių, kurias ji atlieka individo gyvenimo visuomenėje procese, pasireiškimas.

Yra įvairių požiūrių į komunikacijos funkcijų klasifikavimą. Kai kurie tyrinėtojai bendravimą vertina jo organinės vienybės su visos visuomenės gyvenimu ir tiesioginiais žmonių kontaktais bei žmogaus vidiniu dvasiniu gyvenimu kontekste.

Išvardintos funkcijos, atsižvelgiant į jų vientisumą, yra tie veiksniai, kurie žmogui rodo žymiai reikšmingesnį bendravimo vaidmenį nei tiesiog informacijos perdavimas. O žinojimas apie šias integralias funkcijas, kurias bendravimas atlieka individualaus žmogaus tobulėjimo procese, leidžia nustatyti nukrypimų, sąveikos proceso sutrikimų priežastis, ydingą bendravimo struktūrą ir formą, kurioje žmogus dalyvavo visą savo gyvenimą. Žmogaus bendravimo formų neadekvatumas praeityje reikšmingai veikia jo asmeninį tobulėjimą ir lemia problemas, su kuriomis jis susiduria šiandien.

Išskiriamos šios funkcijos:

bendravimas yra žmogaus esmės egzistavimo ir pasireiškimo forma, ji atlieka komunikacinį ir jungiamąjį vaidmenį kolektyvinėje žmonių veikloje;

reprezentuoja svarbiausią gyvybinį žmogaus poreikį, jo klestėjimo sąlygą, turi psichoterapinę, patvirtinančią reikšmę (kito žmogaus patvirtinimas savojo „aš“) bet kokio amžiaus individo gyvenime.

Nemaža dalis tyrėjų akcentuoja komunikacijos funkcijas, susijusias su keitimu informacija, žmonių sąveika ir vienas kito suvokimu.

Taigi B. Lomovas išskiria tris komunikacijos funkcijas: informacinę-komunikacinę (susideda iš bet kokio keitimosi informacija), reguliacinę-komunikacinę (elgesio reguliavimas ir bendros veiklos reguliavimas sąveikos procese ir afektinę-komunikacinę (emocionalumo reguliavimas). asmens sfera.

Informacijos ir komunikacijos funkcija apima informacijos generavimo, perdavimo ir gavimo procesus. antrasis lygis apima informacijos perdavimą ir sprendimų priėmimą (čia komunikacija realizuoja informacijos, mokymo ir kt. tikslus); trečiasis lygmuo siejamas su žmogaus noru suprasti kitus (bendravimas, kuriuo siekiama formuoti pasiektų rezultatų vertinimus).

Antroji funkcija – reguliacinė-komunikacinė – yra elgesio reguliavimas. Bendravimo dėka žmogus reguliuoja ne tik savo, bet ir kitų žmonių elgesį, reaguoja į jų veiksmus, tai yra, vyksta abipusio veiksmų koregavimo procesas.

Tokiomis sąlygomis atsiranda bendrai veiklai būdingi reiškiniai, ypač žmonių suderinamumas, jų komandinis darbas, abipusis stimuliavimas ir elgesio koregavimas. Šią funkciją atlieka tokie reiškiniai kaip imitacija, įtaiga ir kt.

Trečioji funkcija - afektinė-komunikacinė - apibūdina žmogaus emocinę sferą, kurioje atsiskleidžia individo požiūris į aplinką, įskaitant socialinę.

Galite pateikti kitą, šiek tiek panašų į ankstesnį, klasifikaciją - keturių elementų modelį (A. Reanas), kuriame komunikacijos formos: kognityvinė-informacinė (informacijos priėmimas ir perdavimas), reguliacinė-elgsenos (sutelkia dėmesį į subjektų elgesys dėl abipusio jų veiksmų reguliavimo), afektinis-empatinis (bendravimą apibūdina kaip mainų ir reguliavimo procesą emociniame lygmenyje) ir socialinius-percepcinius komponentus (subjektų tarpusavio suvokimo, supratimo ir pažinimo procesas). .

Nemažai tyrėjų bando išplėsti komunikacijos funkcijų skaičių jas patikslindami. Ypač A. Brudny išskiria instrumentinę funkciją, būtiną informacijos mainams valdymo ir bendradarbiavimo procese; sindikatas, kuris atsispindi mažų ir didelių grupių sanglaudoje; vertimas, reikalingas mokymams, žinių perdavimui, veiklos metodai, vertinimo kriterijai; saviraiškos funkcija, orientuota į savitarpio supratimo paieškas ir siekimą.

L. Karpenko pagal „komunikacijos tikslo“ kriterijų išskiria dar aštuonias funkcijas, kurios yra diegiamos bet kuriame sąveikos procese ir užtikrina jame tam tikrų tikslų siekimą:

kontaktas - kontakto užmezgimas kaip abipusio pasirengimo priimti ir perduoti pranešimus būsena ir palaikyti ryšį sąveikos metu nuolatinės abipusės orientacijos forma;

informacinis – apsikeitimas žinutėmis (informacija, nuomonėmis, sprendimais, planais, būsenomis), t.y. priėmimas – kokių duomenų perdavimas atsakant į iš partnerio gautą užklausą;

paskatinimas – skatinantis bendravimo partnerio aktyvumą, kuris nukreipia jį atlikti tam tikrus veiksmus;

koordinavimas – abipusė orientacija ir veiksmų koordinavimas organizuojant bendrą veiklą;

supratimas – ne tik adekvatus žinutės esmės suvokimas ir supratimas, bet ir partnerių vienas kito supratimas;

amotivacinis - būtinų emocinių išgyvenimų ir būsenų sukėlimas iš bendravimo partnerio, jo pagalba keičiant savo patirtį ir būsenas;

santykių užmezgimas - savo vietos vaidmens, statuso, verslo, tarpasmeninių ir kitų ryšių, kuriuose individas veiks, sistemoje suvokimas ir fiksavimas;

įtakos įgyvendinimas – partnerio būsenos, elgesio, asmeninių ir prasmingų darinių (siekimų, nuomonių, sprendimų, veiksmų, veiklos poreikių, elgesio normų ir standartų ir kt.) pakeitimas.

Iš komunikacijos funkcijų mokslininkai išskiria ir socialines. Pagrindinė susijusi su socialinių ir darbo procesų valdymu, kita – su žmogiškųjų santykių užmezgimu.

Bendruomenės formavimas – dar viena bendravimo funkcija, kuri yra skirta palaikyti socialinę-psichologinę vienybę grupėse ir siejama su komunikacine veikla (veiklos esmė – kuriant ir palaikant specifinius santykius tarp žmonių grupėse). informacijos mainams žiniomis, santykiais ir jausmais tarp žmonių, t.y. turi tikslą perduoti ir suvokti individo socialinę patirtį. Iš socialinių bendravimo funkcijų svarbios patirties imitavimo ir asmenybės kaitos funkcijos (pastaroji vykdoma remiantis suvokimo, mėgdžiojimo, įtikinėjimo, užkrėtimo mechanizmais).

Socialinės-politinės veiklos specifikos tyrimas leidžia nustatyti šias pagrindines komunikacijos funkcijas šioje žinių srityje (A. Derkachas, N. Kuzmina):

Socialinė-psichologinė refleksija. Bendravimas atsiranda kaip partnerių sąmoningo refleksijos apie sąveikos eigos ypatumus rezultatas ir forma. Socialinis-psichologinis šios refleksijos pobūdis pasireiškia tuo, kad, visų pirma, per kalbines ir kitas signalizacijos formas individo suvokiami ir apdorojami sąveikos situacijos elementai iš tikrųjų tampa galiojantys jo partneriams. Bendravimas tampa mažiau informacijos mainais, o labiau bendros sąveikos ir įtakos procesu. Priklausomai nuo šios abipusės įtakos pobūdžio, „individualaus“ pasirodymo esminių ir kiekybinių aspektų derinimas, išaiškinimas, abipusis papildymas vyksta formuojant grupinę mintį, kaip kolektyvinio žmonių mąstymo formą arba, atvirkščiai, susidūrimą. nuomonių, jų neutralizavimo, sutramdymo, kaip nutinka tarpasmeniniuose konfliktuose ir neadekvačios tarpusavio įtakos atveju (bendravimo nutraukimas);

Reguliavimo. Bendravimo procese daroma tiesioginė ar netiesioginė įtaka grupės nariui, siekiant pakeisti ar išlaikyti tame pačiame lygyje jo elgesį, veiksmus, būseną, bendrą veiklą, suvokimo ypatybes, vertybių sistemą ir santykius. Reguliavimo funkcija leidžia organizuoti bendrus veiksmus, planuoti ir koordinuoti, koordinuoti ir optimizuoti grupės narių sąveiką. Elgesio ir veiklos reguliavimas yra tarpasmeninio bendravimo tikslas, kaip objektyvios veiklos komponentas ir galutinis jos rezultatas. Būtent šios svarbios komunikacijos funkcijos įgyvendinimas leidžia įvertinti komunikacijos poveikį, jos produktyvumą ar neproduktyvumą;

Kognityvinis. Įvardijama funkcija, kad sistemingų kontaktų metu, vykdant bendrą veiklą, grupės nariai įgyja įvairių žinių apie save, savo draugus, būdus, kaip racionaliausiai išspręsti jiems pavestas užduotis. Įvaldžius atitinkamus įgūdžius ir gebėjimus, galima kompensuoti nepakankamas atskirų grupės narių žinias, o reikiamo tarpusavio supratimo pasiekimą užtikrina būtent kognityvinė bendravimo funkcija derinant su socialinės-psichologinės refleksijos funkcija;

Išraiškingas. Įvairios verbalinės ir neverbalinės komunikacijos formos yra grupės nario emocinės būsenos ir patirties rodikliai, dažnai prieštaraujantys bendros veiklos logikai ir reikalavimams. Tai savotiškas požiūrio į tai, kas vyksta, pasireiškimas, kreipiantis į kitą grupės narį. Kartais emocijų reguliavimo metodų neatitikimas gali sukelti partnerių susvetimėjimą, jų tarpusavio santykių sutrikimą ir net konfliktus;

Socialinė kontrolė. Problemų sprendimo metodai, tam tikros elgesio formos, emocinės reakcijos ir santykiai yra norminio pobūdžio, jų reguliavimas per grupines ir socialines normas užtikrina būtiną kolektyvo vientisumą ir organizuotumą, bendrų veiksmų nuoseklumą. Siekiant išlaikyti nuoseklumą ir organizuotumą grupės veikloje, naudojamos įvairios socialinės kontrolės formos. Tarpasmeninis bendravimas daugiausia veikia kaip neigiamos (smerkimas) arba teigiamos (pritarimo) sankcijos. Tačiau reikia pažymėti, kad ne tik pritarimą ar pasmerkimą bendros veiklos dalyviai suvokia kaip bausmę ar atlygį. Dažnai bendravimo stoka gali būti suvokiama kaip vienokia ar kitokia sankcija;

Socializacija. Ši funkcija yra viena iš svarbiausių veiklos subjektų darbe. Užsiimdami bendra veikla ir bendravimu, grupės nariai įvaldo bendravimo įgūdžius, leidžiančius efektyviai bendrauti su kitais žmonėmis. Nors gebėjimas greitai įvertinti pašnekovą, orientuotis bendravimo ir sąveikos situacijose, klausytis ir kalbėti vaidina svarbų vaidmenį žmogaus tarpasmeninėje adaptacijoje, gebėjimas veikti atsižvelgiant į grupės interesus, draugiškas, suinteresuotas ir kantrus požiūris į kitą grupę. nariai yra dar svarbesni.

Komunikacijos ypatybių verslo santykių srityje analizė taip pat rodo jos daugiafunkcionalumą (A. Panfilova, E. Rudensky):

instrumentinė funkcija bendravimą apibūdina kaip socialinės kontrolės mechanizmą, leidžiantį gauti ir perduoti informaciją, reikalingą tam tikram veiksmui atlikti, sprendimui priimti ir pan.;

integracinis – naudojamas kaip verslo partnerių suvienijimo priemonė bendram komunikacijos procesui;

saviraiškos funkcija padeda įsitvirtinti, parodyti asmeninį intelektą ir psichologinį potencialą;

transliacija – skirta perteikti specifinius veiklos metodus, vertinimus, nuomones ir pan.;

socialinės kontrolės funkcija skirta reguliuoti verslo sąveikos dalyvių elgesį, veiklą, o kartais (kai kalbama apie komercines paslaptis) kalbinius veiksmus;

socializacijos funkcija prisideda prie verslo bendravimo kultūros įgūdžių ugdymo; Ekspresyvios funkcijos pagalba verslo partneriai stengiasi išreikšti ir suprasti vienas kito emocinius išgyvenimus.

V. Panferovas mano, kad pagrindinės bendravimo funkcijos dažnai apibūdinamos nesiimant žmogaus, kaip sąveikos su kitais žmonėmis subjekto funkcijų bendroje gyvenimo veikloje analizės, dėl ko prarandamas objektyvus jų klasifikavimo pagrindas. Analizuodamas B. Lomovo pasiūlytą komunikacijos funkcijų klasifikaciją, mokslininkas kelia klausimą: „Ar funkcijų serija yra baigtinė pagal savo skaičių? Kiek tokių eilučių gali būti? Apie kokią pagrindinę klasifikaciją galime kalbėti? Kaip skirtingos bazės yra tarpusavyje susijusios?

Pasinaudodami proga, prisiminkime, kad B. Lomovas išskyrė dvi komunikacijos funkcijų serijas, turinčias skirtingus pagrindus. Pirmoji iš jų apima tris jau žinomų funkcijų klases – informacinę-komunikacinę, reguliacinę-komunikacinę ir afektinę-komunikacinę, o antroji (pagal skirtingą bazių sistemą) – apima bendros veiklos organizavimą, žmonių vienas kito pažinimą, tarpasmeninių santykių formavimas ir vystymas.

Atsakydamas į pirmąjį užduotą klausimą, V. Panferovas tarp pagrindinių komunikacijos funkcijų išskiria šešias: komunikacinę, informacinę, pažintinę (kognityvinę), emocinę (tai, kas sukelia emocinius išgyvenimus), konatyviąją (sąveikos reguliavimas, koordinavimas), kūrybinę (transformuojančią).

Visos aukščiau išvardintos funkcijos paverčiamos viena pagrindine komunikacijos funkcija – reguliavimu, kuri pasireiškia individo sąveikoje su kitais žmonėmis. Ir šia prasme bendravimas yra socialinio-psichologinio žmonių elgesio reguliavimo mechanizmas jų bendroje veikloje. Nurodytos funkcijos, anot tyrėjo, laikytinos vienu iš pagrindų visas kitas asmens funkcijas priskirti bendravimo subjektui.

Ekonominių santykių esmė ir klasifikacija

Nuo atsiskyrimo nuo laukinės gamtos pasaulio žmogus vystosi kaip biosociali būtybė. Tai lemia jo vystymosi ir formavimosi sąlygas. Pagrindinis žmogaus ir visuomenės vystymosi stimulas yra poreikiai. Kad patenkintų šiuos poreikius, žmogus turi dirbti.

Darbas – tai sąmoninga žmogaus veikla, kuria siekiama sukurti prekes, siekiant patenkinti poreikius ar gauti naudos.

Kuo labiau didėjo poreikiai, tuo sudėtingesnis tapo darbo procesas. Tam reikėjo vis didesnių išteklių išlaidų ir vis labiau koordinuotų visų visuomenės narių veiksmų. Darbo dėka susiformavo ir pagrindiniai šiuolaikinio žmogaus išorinės išvaizdos bruožai, ir žmogaus, kaip socialinės būtybės, savybės. Darbo jėga perėjo į ekonominės veiklos fazę.

Ekonominė veikla – tai žmogaus veikla kuriant, perskirstant, keičiant ir naudojant materialines ir dvasines gėrybes.

Ekonominė veikla apima poreikį užmegzti tam tikrus santykius tarp visų šio proceso dalyvių. Šie santykiai vadinami ekonominiais.

1 apibrėžimas

Ekonominiai santykiai – tai fizinių ir juridinių asmenų santykių sistema, susidaranti gamybos procese. bet kokių prekių perskirstymas, mainai ir vartojimas.

Šie santykiai turi skirtingas formas ir trukmę. Todėl yra keletas jų klasifikavimo variantų. Viskas priklauso nuo pasirinkto kriterijaus. Kriterijus gali būti laikas, dažnumas (reguliarumas), naudos laipsnis, šio santykio dalyvių savybės ir kt. Dažniausiai minimos ekonominių santykių rūšys:

• tarptautinis ir vietinis;
• abipusiai naudingi ir diskriminuojantys (naudingi vienai šaliai ir pažeidžiantys kitos interesus);
• savanoriškas ir priverstinis;
• stabilus reguliarus ir epizodinis (trumpalaikis);
• kreditas, finansai ir investicijos;
• pirkimo ir pardavimo santykiai;
• nuosavybės santykiai ir kt.

Ekonominės veiklos procese kiekvienas iš santykių dalyvių gali atlikti kelis vaidmenis. Tradiciškai išskiriamos trys ekonominių santykių nešėjų grupės. Šitie yra:

• ekonominių prekių gamintojai ir vartotojai;
• ūkinių prekių pardavėjai ir pirkėjai;
• prekių savininkai ir naudotojai.

Kartais išskiriama atskira tarpininkų kategorija. Tačiau, kita vertus, tarpininkai tiesiog egzistuoja keliomis formomis vienu metu. Todėl ekonominių santykių sistema pasižymi didele formų ir apraiškų įvairove.

Yra ir kita ekonominių santykių klasifikacija. Kriterijus yra vykstančių procesų charakteristikos ir kiekvieno tipo santykių tikslai. Šios rūšys yra darbo veiklos organizavimas, ūkinės veiklos organizavimas ir ūkinės veiklos valdymas.

Visų lygių ir rūšių ekonominių santykių formavimosi pagrindas yra išteklių ir gamybos priemonių nuosavybės teisė. Jie nustato pagamintų prekių nuosavybės teisę. Kitas sistemą formuojantis veiksnys yra pagamintų prekių paskirstymo principai. Šie du punktai sudarė pagrindą ekonominių sistemų tipų formavimuisi.

Organizacinių ir ekonominių santykių funkcijos

2 apibrėžimas

Organizaciniai-ekonominiai ryšiai – tai santykiai, kuriais siekiama sukurti sąlygas efektyviausiam išteklių naudojimui ir sumažinti išlaidas, organizuojant gamybos formas.

Šios ekonominių santykių formos funkcija yra maksimalus santykinių ekonominių pranašumų panaudojimas ir racionalus akivaizdžių galimybių panaudojimas. Pagrindinės organizacinių ir ekonominių santykių formos apima gamybos sutelkimą (konsolidavimą), kombinavimą (įvairių pramonės šakų gamybos apjungimą vienoje įmonėje), specializaciją ir bendradarbiavimą (produktyvumui didinti). Teritorinių gamybos kompleksų formavimas laikomas užbaigta organizacinių ir ekonominių santykių forma. Papildomas ekonominis efektas gaunamas dėl palankios įmonių teritorinės padėties ir racionalaus infrastruktūros naudojimo.

Sovietų Rusijos ekonomistai ir ekonomikos geografai dvidešimtojo amžiaus viduryje sukūrė energijos gamybos ciklų teoriją (EPC). Jie siūlė organizuoti gamybos procesus tam tikroje srityje taip, kad naudojant vieną žaliavų ir energijos srautą būtų galima pagaminti visą spektrą produktų. Tai žymiai sumažintų gamybos sąnaudas ir sumažintų gamybos atliekas. Organizaciniai ir ekonominiai santykiai yra tiesiogiai susiję su ūkio valdymu.

Socialinių ir ekonominių santykių funkcijos

3 apibrėžimas

Socialiniai ekonominiai santykiai – tai santykiai tarp ūkio subjektų, pagrįsti nuosavybės teisėmis.

Nuosavybė – žmonių tarpusavio santykių sistema, pasireiškianti jų požiūriu į daiktus – teise jais disponuoti.

Socialinių ir ekonominių santykių funkcija yra racionalizuoti turtinius santykius pagal tam tikros visuomenės normas. Juk teisiniai santykiai kuriami, viena vertus, turtinių teisių, o iš kitos – valios turtinių santykių pagrindu. Ši dviejų šalių sąveika pasireiškia tiek moralės normų, tiek įstatymų (teisiškai įtvirtintų) normų pavidalu.

Socialiniai ir ekonominiai santykiai priklauso nuo socialinės formacijos, kurioje jie vystosi. Jie tarnauja toje konkrečioje visuomenėje valdančiosios klasės interesams. Socialiniai ekonominiai santykiai užtikrina nuosavybės teisės perėjimą iš vieno asmens kitam (keitimas, pirkimas-pardavimas ir kt.).

Tarptautinių ekonominių santykių funkcijos

Tarptautiniai ekonominiai santykiai atlieka pasaulio šalių ekonominės veiklos koordinavimo funkciją. Jie pasižymi visų trijų pagrindinių ekonominių santykių formų – ekonominio valdymo, organizacinių-ekonominių ir socialinių-ekonominių. Tai ypač aktualu šiais laikais dėl mišrios ekonominės sistemos modelių įvairovės.

Tarptautinių santykių organizacinė ir ekonominė pusė yra atsakinga už integraciniais procesais grįsto tarptautinio bendradarbiavimo plėtrą. Socialinis ir ekonominis tarptautinių santykių aspektas – siekis bendro visų pasaulio šalių gyventojų gerovės lygio kilimo ir socialinės įtampos pasaulio ekonomikoje mažinimo. Pasaulinės ekonomikos valdymu siekiama mažinti prieštaravimus tarp nacionalinių ekonomikų, mažinti pasaulinės infliacijos ir krizių reiškinių poveikį.

Šiame poskyryje pristatome Dekarto sandaugas, ryšius, funkcijas ir grafikus. Tiriame šių matematinių modelių savybes ir ryšius tarp jų.

Dekarto sandauga ir jo elementų išvardijimas

Dekarto gaminys rinkiniai A Ir B yra rinkinys, susidedantis iš sutvarkytų porų: A´ B= {(a,b): (aÎ A) & (bÎ B)}.

Dėl rinkinių A 1, …, A n Dekarto sandauga nustatoma indukcija:

Savavališko indeksų rinkinio atveju aš Dekarto gaminys šeimos rinkiniai ( A i} i Î aš apibrėžiamas kaip rinkinys, susidedantis iš tokių funkcijų f:aš® A i, tai visiems iÎ aš teisingai f(i)Î A i .

1 teorema

Leisti A irB yra baigtinės aibės. Tada |A´ B| = |A|×| B|.

Įrodymas

Leisti A = (a 1,…,esu), B = (b 1, …,mlrd.). Dekarto gaminio elementus galima išdėstyti naudojant lentelę

(a 1 ,b 1), (a 1,b 2), …, (a 1,b n);

(a 2 ,b 1), (a 2,b 2), …, (a 2,b n);

(a m ,b 1), (a m ,b 2),…, (a m ,b n),

susidedantis iš n stulpeliai, kurių kiekvienas susideda iš m elementai. Iš čia | A´ B|=mn.

1 išvada

Įrodymas

Naudojant indukciją įjungta n. Tegul formulė yra teisinga n. Tada

Santykiai

Leisti n³1 yra teigiamas sveikasis skaičius ir A 1, …, A n– savavališki rinkiniai. Ryšys tarp aibių elementų A 1, …, A n arba n-arinis santykis vadinamas savavališku poaibiu.

Dvejetainiai ryšiai ir funkcijos

Dvejetainis ryšys tarp aibių elementų A Ir B(arba, trumpai, tarp A Ir B) vadinamas poaibiu RÍ A´ B.

1 apibrėžimas

Funkcija arba ekranas vadinamas trigubu, susidedančiu iš aibių A Ir B ir poaibius fÍ A´ B(funkcinė grafika), atitinkančias šias dvi sąlygas;

1) bet kam xÎ A yra toks yÎ f, Ką (x,y)Î f;

2) jei (x,y)Î f Ir (x,z)Î f, Tai y=z.

Tai nesunku pastebėti fÍ A´ B tada ir tik apibrėžs funkciją, kai bet kuriai xÎ A yra tik vienas yÎ f, Ką ( x,y) Î f. Tai yžymėti f(x).

Funkcija vadinama injekcija, jei kam x,x'Î A, toks Ką x¹ x', atsiranda f(x)¹ f(x'). Funkcija vadinama surjekcija, jei už kiekvieną yÎ B yra tokia xÎ A, Ką f(x) = y. Jei funkcija yra injekcija ir surjekcija, tada ji vadinama bijekcija.

2 teorema

Kad funkcija būtų bijekcija, būtina ir pakanka, kad egzistuoja tokia funkcija fg =ID B Ir gf =ID A.

Įrodymas

Leisti f– bijekcija. Dėl surjektyvumo f kiekvienam yÎ B galite pasirinkti elementą xÎ A, kuriam f(x) = y. Dėl injektyvumo f, šis elementas bus vienintelis, ir mes jį pažymėsime g(y) = x. Paimkime funkciją.

Sukurdami funkciją g, lygybės galioja f(g(y)) = y Ir g(f(x)) = x. Taigi tai tiesa fg =ID B Ir gf =ID A. Akivaizdu priešingai: jeigu fg =ID B Ir gf =ID A, Tai f– galiojanti surjekcija f(g(y)) = y, kiekvienam yÎ B. Tokiu atveju tai seks , o tai reiškia. Vadinasi, f- injekcija. Iš to išplaukia, kad f– bijekcija.

Vaizdas ir prototipas

Tegul yra funkcija. Tam tikra prasme poaibiai XÍ A vadinamas poaibiu f(X) = (f(x):xÎ X)Í B. Dėl YÍ B poaibis f - -1 (Y) =(xÎ A:f(x)Î Y) paskambino prototipas poaibiaiY.

Ryšiai ir grafikai

Dvejetainius ryšius galima vizualizuoti naudojant nukreipti grafikai.

2 apibrėžimas

Nukreiptas grafikas vadinama rinkinių pora (E,V) kartu su pora žemėlapių s,t:E® V. Rinkinio elementai V yra vaizduojami taškais plokštumoje ir yra vadinami viršūnės. Elementai iš E vadinamos nukreiptomis briaunomis arba rodyklėmis. Kiekvienas elementas eÎ E vaizduojama kaip viršūnę jungianti rodyklė (galbūt kreivinė). s(e) su viršumi t(e).

Į savavališką dvejetainį ryšį RÍ V´ V atitinka nukreiptą grafą su viršūnėmis vÎ V, kurių rodyklės yra išdėstytos poromis (tu,v)Î R. Ekranai s,t:R® V nustatomi pagal formules:

s(tu,v) =u Ir t(tu,v) =v.

1 pavyzdys

Leisti V = (1,2,3,4).

R = ((1,1), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)).

Tai atitiks nukreiptą grafiką (1.2 pav.). Šio grafiko rodyklės bus poros (aš,j)Î R.

Ryžiai. 1.2. Kryptingo dvejetainio ryšio grafikas

Gautame nukreiptame grafe bet kuri viršūnių pora yra sujungta daugiausia viena rodykle. Tokie nukreipti grafikai vadinami paprastas. Jei neatsižvelgiame į rodyklių kryptį, gauname tokį apibrėžimą:

3 apibrėžimas

Paprastas (nekreiptas) grafikas G = (V,E) vadinama pora, susidedanti iš aibės V ir daug E, sudarytas iš kai kurių nesutvarkytų porų ( v1,v 2) elementai v1,v 2Î V toks kad prieš 1¹ v 2. Šios poros vadinamos šonkauliai, ir elementai iš V – viršūnės.

Ryžiai. 1.3. Paprastas neorientuotas grafikas K 4

Krūva E apibrėžia dvejetainį simetrinį antirefleksinį ryšį, susidedantį iš porų ( v1,v 2), kuriam ( v1,v 2} Î E. Paprasto grafo viršūnės vaizduojamos kaip taškai, o briaunos kaip atkarpos. Fig. 1.3 rodo paprastą grafiką su daugybe viršūnių

V={1, 2, 3, 4}

ir daug šonkaulių

E= {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Dvejetainių santykių operacijos

Dvejetainis ryšys tarp aibių elementų A Ir B vadinamas savavališkas poaibis RÍ A´ B. Įrašas aRb(at aÎ A, bÎ B) reiškia kad (a,b)Î R.

Apibrėžiamos šios santykių operacijos RÍ A´ A:

· R-1= (a, b): (b, a)Î R);

· R° S = ((a,b): ($ xÎ A)(a,x)Î R&(x,b)Î R);

· Rn=R°(R n -1);

Leisti Id A = ((a,a):aÎ A)- identiški santykiai. Požiūris R Í X´ X vadinamas:

1) atspindintis, Jei (a,a)Î R visiems aÎ X;

2) antirefleksinis, Jei (a,a)Ï R visiems aÎ X;

3) simetriškas, jei visiems a,bÎ X implikacija tiesa aRbÞ bRa;

4) antisimetriškas, Jei aRb &bRaÞ a=b;

5) tranzityvus, jei visiems a,b,cÎ X implikacija tiesa aRb &bRcÞ aRc;

6) linijinis, visiems a,bÎ X implikacija tiesa a¹ bÞ aRbÚ bRa.

Pažymėkime ID A per ID. Nesunku pastebėti, kad vyksta taip.

1 sakinys

Požiūris RÍ X´ X:

1) refleksiškai Û IDÍ R;

2) antirefleksinis Û RÇ Id=Æ ;

3) simetriškai Û R = R-1;

4) antisimetrinis Û RÇ R-1Í ID;

5) tranzityvinis Û R° RÍ R;

6) tiesinis Û RÈ IDÈ R -1 = X´ X.

Dvejetainių santykių matrica

Leisti A= {a 1, a 2, …, esu) Ir B= {b 1, b 2, …, b n) yra baigtinės aibės. Dvejetainių santykių matrica R Í A ´ B vadinama matrica su koeficientais:

Leisti A– baigtinė aibė, | A| = n Ir B= A. Panagrinėkime kompozicijos matricos skaičiavimo algoritmą T= R° S santykius R, S Í A´ A. Pažymime ryšių matricų koeficientus R, S Ir T atitinkamai per r ij, s ij Ir t ij.

Kadangi turtas ( a i,a k)Î T yra lygiavertis tokių egzistavimui a jÎ A, Ką ( a i,a j)Î R Ir ( a j,a k) Î S, tada koeficientas tik bus lygus 1, jei ir tik toks indeksas yra j, Ką r ij= 1 ir sjk= 1. Kitais atvejais tik lygus 0. Todėl tik= 1 tada ir tik tada, kai .

Iš to išplaukia, kad norint rasti santykių sudėties matricą, reikia šias matricas padauginti ir gautoje matricų sandaugoje nuliniai koeficientai pakeičiami vienetais. Toliau pateiktame pavyzdyje parodyta, kaip tokiu būdu apskaičiuojama kompozicijos matrica.

2 pavyzdys

Apsvarstykite dvejetainį ryšį A = (1,2,3), lygus R = ((1,2), (2,3)). Parašykime santykių matricą R. Pagal apibrėžimą jis susideda iš koeficientų r 12 = 1, r 23 = 1 ir visi kiti r ij= 0. Iš čia ir santykio matrica R yra lygus:

Ieškokime santykių R° R. Tam tikslui padauginame santykių matricą R sau:

.

Gauname santykių matricą:

Vadinasi, R° R= {(1,2),(1,3),(2,3)}.

Iš 1 pasiūlymo išplaukia tokia išvada.

2 išvada

Jeigu A= B, tada santykis Rįjungta A:

1) refleksiškai tada ir tik tada, kai visi santykio matricos pagrindinės įstrižainės elementai R lygus 1;

2) antirefleksiniai tada ir tik tada, kai visi santykio matricos pagrindinės įstrižainės elementai R lygus 0;

3) simetriškas tada ir tik tada, kai santykių matrica R simetriškas;

4) pereinamasis tada ir tik tada, kai kiekvienas santykio matricos koeficientas R° R ne daugiau kaip atitinkamas santykio matricos koeficientas R.

Leisti r Í X X Y.

Funkcinis ryšys– tai toks dvejetainis ryšys r, kuriame kiekvienas elementas atitinka lygiai vienas tokia, kad pora priklauso ryšiui ar pan visai neegzistuoja: arba.

Funkcinis ryšys – tai toks dvejetainis ryšys r, kuriam atliekama: .

Visur tam tikras požiūris– dvejetainis ryšys r, kuriam D r = X(„Nėra vienišų X").

Surjektyvus santykis– dvejetainis ryšys r, kuriam J r = Y(„Nėra vienišų y").

Injekcinis požiūris– dvejetainis santykis, kuriame skiriasi X atitinka skirtingus adresu.

Bijekcija– funkcinis, visur apibrėžtas, injekcinis, surjektyvus santykis, apibrėžia aibių atitiktį vienas su vienu.

Pavyzdžiui:

Leisti r= ((x, y) О R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 ).

Požiūris r- funkcionalus,

ne visur apibrėžta („yra vienišų X"),

ne injekcinis (yra įvairių X, adresu),

nėra surjektyvus („yra vienišų adresu"),

ne bijekcija.

Pavyzdžiui:

Tegu Ã= ((x,y) О R 2 | y = x+1)

Ryšys à yra funkcinis,

Santykis Ã- apibrėžiamas visur („nėra vienišų X"),

Santykis Ã- yra injekcinis (nėra skirtingų X, kurie atitinka tą patį adresu),

Santykis Ã- yra surjektyvus („nėra vienišų adresu"),

Ryšys à yra bijektyvus, vienarūšis atitikimas.

Pavyzdžiui:

Tegul j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) yra apibrėžta aibėje N 4.

Ryšys j nefunkcinis, x=1 atitinka tris y: (1,2), (1,3), (1,4)

Ryšys j ne visur yra apibrėžtas D j =(1,2,3)¹ N 4

Ryšys j nėra surjektyvus aš j =(1,2,3)¹ N 4

Ryšys j nėra injekcinis; skirtingas x atitinka tą patį y, pavyzdžiui (2.3) ir (1.3).

Laboratorinė užduotis

1. Duoti rinkiniai N1 Ir N2. Apskaičiuokite rinkinius:

(N1 X N2) Ç (N2 X N1);

(N1 X N2) È (N2 X N1);

(N1 Ç N2) x (N1 Ç N2);

(N1 – N2) x (N1 – N2),

Kur N1 = (įrašų knygos numerio skaitmenys, paskutiniai trys };

N2 = ( gimimo datos ir mėnesio skaitmenys }.

2. Santykiai r Ir g yra pateikiami rinkinyje N6 =(1,2,3,4,5,6).

Apibūdinkite santykius r,g,r -1 , r ○g, r - 1 ○g porų sąrašas

Raskite santykių matricas r Ir g.

Kiekvienam ryšiui nustatykite apibrėžimo sritį ir verčių sritį.

Nustatykite santykių savybes.

Identifikuokite lygiavertiškumo ryšius ir sukurkite lygiavertiškumo klases.

Nustatyti užsakymų santykius ir juos klasifikuoti.

1) r= { (m,n) | m > n)

g= { (m,n) | 2 modulio palyginimas }

2) r= { (m,n) | (m–n) dalijasi iš 2 }

g= { (m,n) | m skirstytuvas n)

3) r= { (m,n) | m< n }

g= { (m,n) | 3 palyginimo modulis }

4) r= { (m,n) | (m + n)- net }

g= { (m,n) | m 2 = n)

5) r= { (m,n) | m/n- 2 laipsnis }

g= { (m,n) | m = n)

6) r= { (m,n) | m/n- net }

g = ((m,n) | m³ n)

7) r= { (m,n) | m/n- nelyginis }

g= { (m,n) | 4 palyginimo modulis }

8) r= { (m,n) | m * n - net }

g= { (m,n) | m£ n)

9) r= { (m,n) | 5 modulio palyginimas }

g= { (m,n) | m padalytą n)

10) r= { (m,n) | m- net, n- net }

g= { (m,n) | m skirstytuvas n)

11) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | (m + n)£ 5 }

12) r={ (m,n) | m Ir n turi tą patį likutį padalijus iš 3 }

g= { (m,n) | (m-n)³2 }

13) r= { (m,n) | (m + n) dalijasi iš 2 }

g = ((m,n) | £2 (m-n)£4 }

14) r= { (m,n) | (m + n) dalijasi iš 3 }

g= { (m,n) | m¹ n)

15) r= { (m,n) | m Ir n turi bendrą daliklį }

g= { (m,n) | m 2£ n)

16) r= { (m,n) | (m–n) dalijasi iš 2 }

g= { (m,n) | m< n +2 }

17) r= { (m,n) | 4 palyginimo modulis }

g= { (m,n) | m£ n)

18) r= { (m,n) | m dalijasi iš n)

g= { (m,n) | m¹ n, m- net }

19) r= { (m,n) | 3 palyginimo modulis }

g= { (m,n) | £1 (m-n)£3 }

20) r= { (m,n) | (m–n) dalijasi iš 4 }

g= { (m,n) | m¹ n)

21) r= { (m,n) | m- keista, n- keista }

g= { (m,n) | m£ n, n- net }

22) r= { (m,n) | m Ir n turi nelyginį likutį, kai padalinamas iš 3 }

g= { (m,n) | (m-n)³1 }

23) r= { (m,n) | m * n - nelyginis }

g= { (m,n) | 2 modulio palyginimas }

24) r= { (m,n) | m * n - net }

g= { (m,n) | £1 (m-n)£3 }

25) r= { (m,n) | (m+ n) - net }

g= { (m,n) | m nėra visiškai dalijamas n)

26) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | m dalijasi iš n)

27) r= { (m,n) | (m-n)- net }

g= { (m,n) | m skirstytuvas n)

28) r= { (m,n) | (m-n)³2 }

g= { (m,n) | m dalijasi iš n)

29) r= { (m,n) | m 2³ n)

g= { (m,n) | m / n- nelyginis }

30) r= { (m,n) | m³ n, m - net }

g= { (m,n) | m Ir n turi bendrą daliklį, išskyrus 1 }

3. Nustatykite, ar pateiktas ryšys yra f- funkcinis, visur apibrėžtas, injekcinis, surjektyvus, bijekcija ( R- realiųjų skaičių rinkinys). Sukurkite santykių grafiką, nustatykite apibrėžimo sritį ir reikšmių diapazoną.

Atlikite tą pačią užduotį santykiams r Ir g iš laboratorinių darbų 3 punkto.

1) f=( (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x)

2) f=( (x, y) Î R 2 | x³ y)

3) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x)

4) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x, x³ 0 }

5) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1)

6) f=( (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1)

7) f=( (x, y) Î R 2 | x+y£ 1 }

8) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 2)

9) f=( (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1)

10) f=( (x, y) Î R 2 | y = -x 2 )

11) f=( (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1)

12) f=( (x, y) Î R 2 | x = y -2)

13) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2³ 1, m> 0 }

14) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x> 0 }

15) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2£ 1.x> 0 }

16) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 2 ,x³ 0 }

17) f=( (x, y) Î R 2 | y = nuodėmė(3x + p) )

18) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / cos x )

19) f=( (x, y) Î R 2 | y = 2| x | + 3)

20) f=( (x, y) Î R 2 | y = | 2x + 1| )

21) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3x)

22) f=( (x, y) Î R 2 | y = e -x )

23) f =( (x, y)Î R 2 | y = e | x | )

24) f=( (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2)

25) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3 x 2 - 2 )

26) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) )

27) f=( (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2)

28) f=( (x, y) Î R 2 | y = | 4x -1| + 2)

29) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 + 2x-5))

30) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 3, y³ - 2 }.

Kontroliniai klausimai

2. Dvejetainio ryšio apibrėžimas.

3. Dvejetainių santykių aprašymo metodai.

4.Apibrėžimo sritis ir reikšmių diapazonas.

5.Dvejetainių santykių savybės.

6.Ekvivalentiškumo ryšiai ir lygiavertiškumo klasės.

7. Tvarkos santykiai: griežti ir negriežti, išsamūs ir daliniai.

8. Likučių klasės modulo m.

9.Funkciniai santykiai.

10. Injekcija, surjekcija, bijekcija.

Laboratorinis darbas Nr.3