Savivaldybės švietimo įstaiga Sovietų Sąjungos didvyrių vardo vidurinė mokykla
Sotnikova A.T. ir Shepeleva N. G. kaimas Uritskoe

Reportažas šia tema:

„Kilmės istorija

kvadratinės lygtys"

Parengė:Izotova Julija,
Ampleeva Elena,
Šepelevas Nikolajus,

Dyachenko Jurijus.

O matematika. Šimtmečius jus dengia šlovė,

Visų žemiškų šviesulių šviesulys.

Jūs esate didinga karalienė

Nenuostabu, kad Gaussas jį pakrikštijo.

Griežtas, logiškas, didingas,

Lieknas skrydžio metu, kaip strėlė,

Tavo neblėstanti šlovė

Per šimtmečius ji įgijo nemirtingumą.

Mes giriame žmogaus protą,

Jo stebuklingų rankų darbai,

Šio šimtmečio viltis,

Visų žemiškų mokslų karalienė.

Šiandien norime jums pasakyti

Kilmės istorija

Ką turėtų žinoti kiekvienas mokinys -

Kvadratinių lygčių istorija.

Euklidas (Eνκλειδηζ), senovės graikų matematikas, pirmojo mus pasiekusio teorinio matematikos traktato autorius

Žinių apie Euklidą labai mažai. Vienintelis dalykas, kurį galima laikyti patikimu, yra tai, kad jo mokslinė veikla vyko Aleksandrijoje III amžiuje prieš Kristų. e. Euklidas yra pirmasis Aleksandrijos mokyklos matematikas. Pagrindiniame jo veikale „Principia“ (lotynizuota forma – „Elementai“) pristatoma planimetrija, stereometrija ir daugybė skaičių teorijos klausimų; jame apibendrino ankstesnę graikų matematikos raidą ir sukūrė pagrindą tolimesnei matematikos raidai. Garnys – Graikijos matematikas ir inžinierius pirmasis Graikijoje I mūsų eros amžiuje. suteikia grynai algebrinį būdą kvadratinei lygčiai išspręsti.

Aleksandrijos garnys; Garnys, I a n. e., graikų mechanikas ir matematikas. Jo gyvenimo laikas neaiškus, žinoma tik tiek, kad jis citavo Archimedą (miręs 212 m. pr. Kr.), o jį patį citavo Pappas (apie 300 m. po Kr.). Šiuo metu vyrauja nuomonė, kad jis gyveno I a. n. e. Studijavo geometriją, mechaniką, hidrostatiką, optiką; išrado garo mašinos prototipą ir tikslius niveliavimo instrumentus. Populiariausios buvo tokios automatinės mašinos kaip automatiniai teatrai, fontanai ir kt. Jis aprašė teodolitą, remdamasis statikos ir kinetikos dėsniais, apibūdino svirtį, bloką, varžtą, karines transporto priemones. Optikoje suformulavo šviesos atspindžio dėsnius, matematikoje – svarbiausių geometrinių figūrų matavimo metodus. Pagrindiniai G. darbai yra Ietrika, Pneumatika, Automatopoetika, Mechanika (prancūzų kalba; kūrinys išsaugotas visiškai arabų kalba), katoptika (mokslas apie veidrodžius; išsaugotas tik lotynišku vertimu) ir kiti G. naudojo savo pasiekimus pirmtakai: Euklidas, Archimedas, Lampsako Stratas. Jo stilius paprastas ir aiškus, nors kartais per daug lakoniškas ar nestruktūruotas. Susidomėjimas G. kūryba atsirado III a. n. e. Graikų, o vėliau Bizantijos ir arabų studentai komentavo ir vertė jo kūrinius.

Diofantas- graikų mokslininkas III amžiuje, nesinaudodamas geometrija, kai kurias kvadratines lygtis išsprendė grynai algebriškai, o pačią lygtį ir jos sprendimą užrašė simboline forma.

„Papasakosiu, kaip graikų matematikas Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis. Pavyzdžiui, viena iš jo užduočių:„Raskite du skaičius žinodami, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“.

1. Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad reikalingi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tada jų sandauga būtų ne 96, o 100.

2. Taigi vienas iš jų bus daugiau nei pusė jų sumos, t.y. 10 + x, kitas yra mažesnis, t.y. 10 – x.

3. Skirtumas tarp jų yra 2x.

4. Taigi lygtis (10 + x) * (10 – x) = 96

100 – x 2 = 96 x 2 – 4 = 0

5. Atsakymas x = 2. Vienas iš mūsų ieškomų skaičių yra 12,
kita - 8. Sprendimas x = - 2 neegzistuoja Diofantui, nes Graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius“. Diofantas mokėjo spręsti labai sudėtingas lygtis, nežinomiesiems naudojo raidžių žymėjimus, skaičiavimams įvedė specialų simbolį, naudojo žodžių santrumpas. Bhaskare – Akaria– Indijos matematikas XII amžiuje. atrado bendrą kvadratinių lygčių sprendimo būdą.

Pažvelkime į vieną iš Indijos matematikų problemų, pavyzdžiui, Bhaskara problemą:

„Beždžionių pulkas linksminasi: aštuntadalis jų aikštėje šėlsta miške, likę dvylika rėkia kalvos viršūnėje. Pasakyk man, kiek ten beždžionių?

Komentuodamas uždavinį, norėčiau pasakyti, kad uždavinys atitinka lygtį (x/8) 2 + 12 = x. Bhaskara rašo kaip x 2 – 64x = – 768. Pridėjus kvadratą 32 prie abiejų pusių, lygtis tampa tokia:

x 2 – 64 x + 32 2 = – 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

Paėmę kvadratinę šaknį gauname: x – 32 =16.

„Šiuo atveju, – sako Bhaskara, – pirmosios dalies neigiami vienetai yra tokie, kad antrosios dalies vienetai yra mažesni už juos, todėl pastarieji gali būti laikomi ir teigiamais, ir neigiamais, ir gauname dvigubą nežinomasis: 48 ir 16.

Reikia daryti išvadą: Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo, jog kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės.

Siūloma išspręsti senovės Indijos Bhaskara problemą:

Al - Khorezmi

1. „Kvadratai lygūs šaknims“, t.y. ah 2 = in.

2. „Kvadratai lygūs skaičiams“, t.y. kirvis 2 = c.

3. „Šaknys lygios skaičiui“, t.y. ah = s.

4. „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, t.y. ax 2 + c = in.

5. „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiams“, t.y. ax 2 + inx = s.

Išanalizuokime al-Khorezmi problemą, kuri išsprendžia kvadratinę lygtį. "Kvadratas ir skaičius yra lygūs šaknims." Pavyzdžiui, vienas kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 to paties kvadrato šaknų, t.y. klausimas, kas susidaro iš kvadrato, kuris prie jo pridėjus 21 tampa lygus 10 to paties kvadrato šaknų?

IR Naudodami 4-ąją al-Khorezmi formulę, mokiniai turėtų parašyti: x 2 + 21 = 10x

Francois Viet – prancūzų matematikas, suformulavęs ir įrodęs teoremą apie duotosios kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą.

Menas, kurį aprašinėju, yra naujas arba bent jau buvo taip sugadintas laiko ir iškreiptas barbarų įtakos, kad aš maniau, jog būtina suteikti jam visiškai naują išvaizdą.

Francois Viet

Iet Francois (1540-12/13/1603) gimė Fontenay-le-Comte mieste Puatu provincijoje, netoli garsiosios La Rošelio tvirtovės. Gavęs teisininko išsilavinimą, nuo devyniolikos metų sėkmingai vertėsi teisės praktika gimtajame mieste. Vietas, kaip teisininkas, turėjo gyventojų autoritetą ir pagarbą. Jis buvo plačiai išsilavinęs žmogus. Jis išmanė astronomiją ir matematiką ir visą savo laisvalaikį skyrė šiems mokslams.

Pagrindinė Vietho aistra buvo matematika. Jis giliai studijavo klasikų Archimedo ir Diofanto, artimiausių Cardano, Bombelli, Stevino ir kitų pirmtakų, kūrinius. Vietas jais ne tik žavėjosi, bet ir įžvelgė didelį jų trūkumą – sunkumą suprasti dėl žodinės simbolikos: Beveik visi veiksmai ir ženklai buvo užrašyti žodžiais, nebuvo nė užuominos apie tas patogias, beveik automatines taisykles, kurias mes dabar. naudoti. Neįmanoma užsirašyti, todėl pradėti bendra forma algebrinių palyginimų ar bet kokių kitų algebrinių išraiškų. Kiekvienas lygties tipas su skaitiniais koeficientais buvo išspręstas pagal specialią taisyklę. Todėl reikėjo įrodyti, kad su visais skaičiais yra tokių bendrų veiksmų, kurie nepriklauso nuo pačių šių skaičių. Vietas ir jo pasekėjai nustatė, kad nesvarbu, ar nagrinėjamas skaičius yra objektų skaičius, ar atkarpos ilgis. Svarbiausia, kad su šiais skaičiais galite atlikti algebrines operacijas ir vėl gauti tos pačios rūšies skaičius. Tai reiškia, kad jie gali būti pažymėti kai kuriais abstrakčiais ženklais. Vietas tai padarė. Jis ne tik pristatė savo pažodinį skaičiavimą, bet ir padarė iš esmės naują atradimą, užsibrėžęs tikslą tirti ne skaičius, o operacijas su jais. Šis žymėjimo metodas leido Viethui padaryti svarbių atradimų tiriant bendrąsias algebrinių lygčių savybes. Neatsitiktinai ši Vieta vadinama algebros „tėvu“, raidžių simbolių pradininku.

Informacijos šaltiniai:

http :// som. fio. ru/ Ištekliai/ Karpuhina/2003/12/ Pagyrė%20 dirbti/ Koncertas/ indeksas1. htm

http :// puslapių. marsu. ru/ iac/ mokykla/ s4/ puslapį74. html

Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis. Taigi lygtis: (10+x)(10 -x) =96 arba: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Sprendimas x = -2 Diofantui neegzistuoja, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Kvadratinės lygtys Indijoje. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Kvadratinės lygtys al-Khorezmi. 1) „Kvadratai yra lygios šaknys“, ty ax2 + c = bx. 2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax2 = c. 3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax = c. 4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax2 + c = bx. 5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, ty ax2 + bx = c. 6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c = ax2.

Kvadratinės lygtys Europoje XIII–XVII a. x2 +bx = c, visoms galimoms koeficientų b, c ženklų kombinacijoms Europoje M. Stiefelis suformulavo tik 1544 m.

Apie Vietos teoremą. "Jei B + D padauginus A - A 2 yra lygus BD, tada A yra B ir D." Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vieta formuluotė reiškia: jei (a + b)x - x2 = ab, t.y. x2 - (a + b)x + ab = 0, tai x1 = a, x2 = b.

Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. 1. METODAS: Kairiosios lygties pusės faktorinavimas. Išspręskime lygtį x2 + 10 x - 24 = 0. Paskaičiuokime kairę pusę: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Todėl lygtį galima perrašyti taip: (x + 12)(x - 2) = 0 Kadangi sandauga lygi nuliui, tai bent vienas jos faktorius lygus nuliui. Todėl kairioji lygties pusė tampa nuliu, kai x = 2, o taip pat ir x = - 12. Tai reiškia, kad skaičius 2 ir - 12 yra lygties x2 + 10 x - 24 = 0 šaknys.

2. METODAS: Viso kvadrato ištraukimo metodas. Išspręskime lygtį x2 + 6 x - 7 = 0. Kairėje pusėje pasirinkite pilną kvadratą. Norėdami tai padaryti, užrašome išraišką x2 + 6 x tokia forma: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Gautoje išraiškoje pirmasis narys yra skaičiaus x kvadratas, o antrasis - dvigubas. x sandauga iš 3. Taigi, norint gauti pilną kvadratą, reikia pridėti 32, nes x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Dabar transformuojame kairę lygties pusę x2 + 6 x - 7 = 0, prie jos pridėdami ir atimdami 32. Turime: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Taigi šią lygtį galima užrašyti taip: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Todėl x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 arba x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formulę. Padauginkime abi lygties puses ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 iš 4 a ir iš eilės gausime: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ak,

4. METODAS: lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Kaip žinoma, sumažintos kvadratinės lygties forma yra x2 + px + c = 0. (1) Jos šaknys tenkina Vietos teoremą, kurios a = 1 forma yra x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 ir x 2 = 1, nes q = 2 > 0 ir p = - 3 0 ir p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 ir x 2 = 1, nes q = - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 ir x 2 = - 1, nes q = - 9

5. METODAS: lygčių sprendimas „metimo“ metodu. Panagrinėkime kvadratinę lygtį ax2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0. Abi puses padauginus iš a, gauname lygtį a 2 x2 + abx + ac = 0. Tegu ax = y, iš kur x = y/a; tada gauname lygtį y2 + by + ac = 0, kuri yra lygiavertė duotajai. Jo šaknis y1 ir y2 randame naudodami Vietos teoremą. Galiausiai gauname x1 = y1/a ir x1 = y2/a.

Pavyzdys. Išspręskime lygtį 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Sprendimas. Koeficientą 2 „išmeskime“ į laisvąjį terminą, dėl to gauname lygtį y2 – 11 y + 30 = 0. Pagal Vietos teoremą y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Atsakymas : 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.

6. METODAS: Kvadratinės lygties koeficientų savybės. A. Tegu kvadratinė lygtis ax2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0. 1) Jei a + b + c = 0 (t. y. koeficientų suma lygi nuliui), tai x1 = 1, x2 = c/ A. Įrodymas. Abi lygties puses padalijus iš a ≠ 0, gauname redukuotą kvadratinę lygtį x 2 + b/a x + c/a = 0. Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Pagal sąlygą a – b + c = 0, iš kur b = a + c. Taigi, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), t.y. x1 = -1 ir x2 = c/a, o tai yra ką reikėjo įrodyti.

B. Jei antrasis koeficientas b = 2 k yra lyginis skaičius, tada šaknų formulė B. Aukščiau pateikta lygtis x2 + px + q = 0 sutampa su bendrąja lygtimi, kurioje a = 1, b = p ir c = q. Todėl sumažintos kvadratinės lygties šaknies formulė yra

7. METODAS: Kvadratinės lygties grafinis sprendimas. Jei lygtyje x2 + px + q = 0 antrą ir trečią narius perkelsime į dešinę, gausime x2 = - px - q. Sukurkime priklausomybės y = x2 ir y = - px - q grafikus.

1 pavyzdys) Išspręskime grafiškai lygtį x2 - 3 x - 4 = 0 (2 pav.). Sprendimas. Parašykime lygtį forma x2 = 3 x + 4. Sukurkite parabolę y = x2 ir tiesę y = 3 x + 4. Tiesę y = 3 x + 4 galima sudaryti naudojant du taškus M (0; 4) ir N (3; 13). Atsakymas: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant kompasą ir liniuotę. kvadratinio kompaso ir liniuotės šaknų radimas (5 pav.). lygtys Tada pagal sekantinę teoremą gauname OB OD = OA OC, iš kur OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 naudojant

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Apskritimo spindulys yra didesnis už centro ordinatę (AS > SK arba R > +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą. z 2 + pz + q = 0. Kreivinė nomogramos skalė konstruojama pagal formules (11 pav.): Darant prielaidą, kad OS = p, ED = q, OE = a (visi cm), Iš trikampių panašumo SAN ir CDF gauname proporciją

Pavyzdžiai. 1) Lygčiai z 2 - 9 z + 8 = 0 nomograma pateikia šaknis z 1 = 8, 0 ir z 2 = 1, 0 (12 pav.). 2) Naudodami nomogramą išsprendžiame lygtį 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomograma suteikia šaknys z 1 = 4 ir z 2 = 0, 5. 3) Lygčiai z 2 - 25 z + 66 = 0 koeficientai p ir q yra už skalės ribų, atliekame pakeitimą z = 5 t, gauname lygtis t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, kurią išsprendžiame naudodami nomogramas ir gauname t 1 = 0,6 ir t 2 = 4, 4, iš kurių z 1 = 5 t 1 = 3, 0 ir z 2 = 5 t 2 = 22. 0.

10. METODAS: geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas. Pavyzdžiai. 1) Išspręskime lygtį x2 + 10 x = 39. Originale šis uždavinys suformuluotas taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“ (15 pav.). Gauname reikiamą pradinio kvadrato kraštinę x

y2 + 6 y - 16 = 0. Sprendimas parodytas pav. 16, kur y2 + 6 y = 16 arba y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Sprendimas. Išraiškos y2 + 6 y + 9 ir 16 + 9 geometriškai reiškia tą patį kvadratą, o pradinė lygtis y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 yra ta pati lygtis. Iš to gauname, kad y + 3 = ± 5, arba y1 = 2, y2 = - 8 (16 pav.).

a) Kvadratinės lygtys senovės Babilone

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška ir karinio pobūdžio žemės kasimo darbais. kaip ir su pačios astronomijos ir matematikos raida. Kvadratinės lygtys galėjo būti išspręstos maždaug 2000 m. babiloniečiai. Naudodamiesi šiuolaikine algebrine žyma, galime pasakyti, kad jų dantiraščio tekstuose, be neišsamių, yra, pavyzdžiui, pilnos kvadratinės lygtys:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros pateikimo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, kuriuos lydi paaiškinimai ir išspręstos sudarant įvairaus laipsnio lygtis.

Kurdamas lygtis, Diofantas sumaniai parenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

2 uždavinys. „Raskite du skaičius, žinodami, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“.

Diofantas motyvuoja taip: iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad reikalingi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tai jų sandauga būtų ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus didesnis nei pusė jų sumos, t.y. 10 + x. Kitas yra mažesnis, ty 10 - x. Skirtumas tarp jų 2x. Taigi lygtis:

(10+x)(10-x) =96,

arba

Vadinasi, x = 2. Vienas iš reikiamų skaičių yra 12, kitas – 8. Sprendimas x = - 2 Diofantui neegzistuoja, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsite pasirinkę vieną iš reikalingų skaičių kaip nežinomą, galite rasti lygties sprendimą:

Aišku, kad nežinomuoju pasirinkęs reikiamų skaičių pusę skirtumo, Diofantas supaprastina sprendimą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties sprendimo.
b) Kvadratinės lygtys Indijoje.

Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, redukuotų į vieną kanoninę formą, sprendimo taisyklę.

Oi 2 + bx = c, a > 0

Lygtyje koeficientai, išskyrus A, gali būti neigiamas. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Indijoje buvo įprasti vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsimokslinęs žmogus pranoksta savo šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Tai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskarai.

3 užduotis.

3 uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

Bhaskara prisidengdamas rašo:

x 2 – 64 x = – 768

ir, norėdami užpildyti kairę šios lygties pusę iki kvadrato, prie abiejų pusių pridėkite 32 2, tada gaukite:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x – 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khorezmi kvadratinės lygtys

Al-Khwarizmi algebriniame traktate pateikiama tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1. 
   „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax 2 = bx.
2. 
   „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax 2 = c.
3. 
   „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax = c.
4. 
   „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax 2 + c = bx.
5. 
   „Kvadratai ir šaknys yra lygūs skaičiui“, ty ax 2 + bx = c.
6. 
   „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax 2.

Pateikime pavyzdį.

4 uždavinys. „Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Raskite šaknį“ (tai reiškia lygties šaknį x 2 + 21 = 10x).

Sprendimas: šaknų skaičių padalinkite per pusę, gausite 5, 5 padauginkite iš savęs, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Iš 5 atimkite 2, gausite 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėkite 2 prie 5, o tai duoda 7, tai taip pat yra šaknis.

Al-Khorezmi traktatas yra pirmoji mums pasiekusi knyga, kurioje sistemingai išdėstoma kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateikiamos jų sprendimo formulės.

d) Kvadratinės lygtys Europoje XIII-XVII a.

Kvadratinių lygčių, sukurtų pagal al-Khwarizmi Europoje, sprendimo formulės pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Šis didelės apimties kūrinys, atspindintis tiek islamo šalių, tiek Senovės Graikijos matematikos įtaką, išsiskiria išbaigtumu ir pateikimo aiškumu. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis Abakų knygos problemų buvo panaudotos beveik visuose XVI–XVII amžiaus Europos vadovėliuose. ir iš dalies XVIII.

Bendra kvadratinių lygčių sprendimo taisyklė, sumažinta iki vienos kanoninės formos

x 2 + bx = c,

visoms galimoms koeficiento ženklų kombinacijoms b, Su Europoje suformulavo tik 1544 m. M. Stiefel.

Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvestį galima rasti Vietoje, tačiau Vieta atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbų dėka kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgauna šiuolaikinę formą.

Algebrinių praktinių problemų sprendimo metodų ištakos siejamos su senovės pasaulio mokslu. Kaip žinoma iš matematikos istorijos, nemaža dalis matematinio pobūdžio problemų, kurias sprendė egiptiečių, šumerų, babiloniečių raštininkai-skaičiuotojai (XX-VI a. pr. Kr.), buvo skaičiavimo pobūdžio. Tačiau net ir tada retkarčiais iškildavo problemų, kai norima dydžio reikšmė buvo patikslinta tam tikromis netiesioginėmis sąlygomis, kurioms, šiuolaikiniu požiūriu, reikėjo sudaryti lygtį ar lygčių sistemą. Iš pradžių tokiems uždaviniams spręsti buvo naudojami aritmetiniai metodai. Vėliau pradėjo formuotis algebrinių sąvokų užuomazgos. Pavyzdžiui, Babilono skaičiuotuvai sugebėjo išspręsti problemas, kurias šiuolaikinės klasifikacijos požiūriu galima redukuoti iki antrojo laipsnio lygčių. Sukurtas tekstinių uždavinių sprendimo metodas, vėliau pasitarnavęs kaip algebrinio komponento išskyrimo ir savarankiško tyrimo pagrindas.

Šis tyrimas buvo atliktas kitoje epochoje, pirmiausia arabų matematikų (VI-X a. po Kr.), kurie nustatė būdingus veiksmus, kuriais lygtys buvo įvestos į standartinę formą: panašių terminų perkėlimas, terminų perkėlimas iš vienos lygties dalies į kitą. ženklo pakeitimas. Ir tada Europos Renesanso matematikai, kurie dėl ilgų ieškojimų sukūrė šiuolaikinės algebros kalbą, raidžių vartojimą, simbolių įvedimą aritmetinėms operacijoms, skliaustus ir kt. XVI a. sandūroje XVII a. jau susiformavo algebra kaip specifinė matematikos dalis, turinti savo dalyką, metodą ir taikymo sritis. Tolimesnė jo plėtra iki pat mūsų laikų buvo tobulinama metodų, plečiamų taikymo sritis, išaiškinant sąvokas ir jų sąsajas su kitų matematikos šakų sąvokomis.

Taigi, atsižvelgiant į medžiagos, susijusios su lygties samprata, svarbą ir platumą, jos tyrimas šiuolaikiniais matematikos metodais siejamas su trimis pagrindinėmis jos atsiradimo ir veikimo sritimis.

Dar nėra kūrinio HTML versijos.

Panašūs dokumentai

Kvadratinių lygčių šaknų formulių kūrimo istorija. Kvadratinės lygtys senovės Babilone. Diofanto kvadratinių lygčių sprendimas. Kvadratinės lygtys Indijoje, Chorezmijoje ir Europoje XIII – XVII a. Vietos teorema, šiuolaikinis algebrinis žymėjimas.

testas, pridėtas 2010-11-27


Kvadratinių lygčių istorija: lygtys senovės Babilone ir Indijoje. Lyginių koeficientų x formulės. Tam tikro pobūdžio kvadratinės lygtys. Vietos teorema aukštesniųjų laipsnių daugianariams. Bikvadratinių lygčių tyrimas. Cordano formulės esmė.

santrauka, pridėta 2009-09-05


Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas matematikos istorijoje. Įvairių antrojo laipsnio lygčių sprendimo būdų technologijų lyginamoji analizė, jų taikymo pavyzdžiai. Trumpa kvadratinių lygčių sprendimo teorija, uždavinių knygos sudarymas.

santrauka, pridėta 2012-12-18


Matematikos svarba mūsų gyvenime. Sąskaitos istorija. Dabartinė skaičiavimo matematikos metodų raida. Matematikos panaudojimas kituose moksluose, matematinio modeliavimo vaidmuo. Matematinio išsilavinimo padėtis Rusijoje.

straipsnis, pridėtas 2010-05-01


graikų matematika. Viduramžiai ir Renesansas. Šiuolaikinės matematikos pradžia. Šiuolaikinė matematika. Matematika remiasi ne logika, o patikima intuicija. Matematikos pagrindų problemos yra filosofinės.

santrauka, pridėta 2006-09-06


Matematikos mokslo raidos Europoje istorija VI-XIV a., jos atstovai ir pasiekimai. Matematikos raida Renesanso laikais. Raidžių skaičiavimo kūrimas, Francois Vieta veikla. Skaičiavimo patobulinimai XVI amžiaus pabaigoje ir XVI amžiaus pradžioje.

pristatymas, pridėtas 2015-09-20


Europos matematikos raidos apžvalga XVII–XVIII a. Netolygus Europos mokslo vystymasis. Analitinė geometrija. Matematinės analizės kūrimas. Leibnizo mokslinę mokyklą. Bendroji mokslo charakteristika XVIII a. Matematikos raidos kryptys.

pristatymas, pridėtas 2015-09-20


Matematikos gimimo laikotarpis (iki VII-V a. pr. Kr.). Pastovių dydžių matematikos laikas (VII-V a. pr. Kr. – XVII a. po Kr.). Kintamųjų matematika (XVII-XIX a.). Šiuolaikinis matematikos vystymosi laikotarpis. Kompiuterinės matematikos ypatybės.

pristatymas, pridėtas 2015-09-20


Senovės graikų matematikų, gyvenusių VI amžiuje prieš Kristų, pasiekimai. ir V mūsų eros amžiuje Pradinio matematikos raidos laikotarpio ypatumai. Pitagoro mokyklos vaidmuo matematikos raidoje: Platonas, Eudoksas, Zenonas, Demokritas, Euklidas, Archimedas, Apolonijus.

testas, pridėtas 2010-09-17


Matematikos kaip mokslo raidos istorija. Elementariosios matematikos laikotarpis. Kintamų dydžių matematikos kūrimo laikotarpis. Analitinės geometrijos kūrimas, diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. Matematikos raida Rusijoje XVIII–XIX a.

Rusijos Federacijos švietimo ministerija

Savivaldybės švietimo įstaiga

"Vidurinė mokykla Nr. 22"

Kvadratinės ir aukštesnės eilės lygtys

Užbaigta:

8 „B“ klasės mokiniai

Kuznecovas Jevgenijus ir Rudis Aleksejus

Prižiūrėtojas:

Zenina Alevtina Dmitrievna

matematikos mokytojas

Įvadas

1.1 Lygtys senovės Babilone

1.2 Arabų lygtys

1.3 Lygtys Indijoje

2 skyrius. Kvadratinių lygčių ir aukštesnės eilės lygčių teorija

2.1 Pagrindinės sąvokos

2.2 Lyginio koeficiento x formulės

2.3 Vietos teorema

2.4 Tam tikro pobūdžio kvadratinės lygtys

2.5 Vietos teorema aukštesnių laipsnių daugianariams (lygtims).

2.6 Lygtys, redukuojamos į kvadratinę (bikvadratinę)

2.7 Bikvadratinių lygčių tyrimas

2.8 Cordano formulės

2.9 Trečiojo laipsnio simetrinės lygtys

2.10 Abipusės lygtys

2.11 Hornerio grandinė

Išvada

Naudotos literatūros sąrašas

1 priedas

2 priedas

3 priedas

Įvadas

Lygtys užima pirmaujančią vietą mokyklos algebros kurse. Jų studijoms skiriama daugiau laiko nei bet kuriai kitai temai. Iš tiesų lygtys turi ne tik svarbią teorinę reikšmę, bet ir tarnauja grynai praktiniams tikslams. Daugybė problemų, susijusių su erdvinėmis formomis ir kiekybiniais ryšiais realiame pasaulyje, kyla sprendžiant įvairių tipų lygtis. Įvaldydami jų sprendimo būdus, randame atsakymus į įvairius mokslo ir technologijų (transporto, žemės ūkio, pramonės, ryšių ir kt.) klausimus.

Šiame rašinyje norėčiau parodyti įvairių lygčių sprendimo formules ir metodus. Šiuo tikslu pateikiamos lygtys, kurios nėra studijuojamos mokyklos programoje. Tai daugiausia tam tikro pobūdžio lygtys ir aukštesnio laipsnio lygtys. Norėdami išplėsti šią temą, pateikiami šių formulių įrodymai.

Mūsų esė tikslai:

Tobulinkite lygčių sprendimo įgūdžius

Sukurti naujus lygčių sprendimo būdus

Išmokite naujų būdų ir formulių, kaip išspręsti šias lygtis.

Tyrimo objektas – elementarioji algebra. Tyrimo objektas – lygtys. Šią temą pasirinko tuo, kad lygtys įtraukiamos ir į pradinę programą, ir į kiekvieną tolesnę vidurinių mokyklų, licėjų, kolegijų klasę. Daugelis geometrinių, fizikos, chemijos ir biologijos uždavinių sprendžiami naudojant lygtis. Lygtys buvo išspręstos prieš dvidešimt penkis šimtmečius. Jie kuriami ir šiandien – tiek naudoti ugdymo procese, tiek konkursiniams egzaminams universitetuose, aukščiausio lygio olimpiadoms.

1 skyrius. Kvadratinių ir aukštesnės eilės lygčių istorija

1.1 Lygtys senovės Babilone

Algebra atsirado sprendžiant įvairias problemas naudojant lygtis. Paprastai problemoms spręsti reikia rasti vieną ar daugiau nežinomųjų, tuo pačiu žinant kai kurių veiksmų, atliktų su norimais ir duotais kiekiais, rezultatus. Tokios problemos kyla sprendžiant vieną ar kelių lygčių sistemą, naudojant algebrines operacijas su duotais dydžiais, surasti reikiamas. Algebra tiria bendrąsias operacijų su dydžiais savybes.

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos prieš 4000 metų Senovės Babilone. Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška ir karinio pobūdžio žemės darbais, vystantis pačiai astronomijai ir matematikai. Kaip minėta anksčiau, kvadratines lygtis babiloniečiai sugebėjo išspręsti maždaug 2000 m. Naudojant šiuolaikinį algebrinį žymėjimą, galime teigti, kad jų dantiraščio tekstuose pasitaiko ir nepilnų, ir pilnų kvadratinių lygčių.

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikinėmis, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukšto Babilono algebros išsivystymo lygio, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinės lygties sprendimo metodų.

1.2 Arabų lygtys

Kai kuriuos kvadratinių ir aukštesnės eilės lygčių sprendimo būdus sukūrė arabai. Taigi garsus arabų matematikas Al-Khorezmi savo knygoje „Al-Jabar“ aprašė daugybę būdų, kaip išspręsti įvairias lygtis. Jų ypatumas buvo tas, kad Al-Khorezmi naudojo sudėtingus radikalus, kad surastų lygčių šaknis (sprendinius). Poreikis išspręsti tokias lygtis buvo reikalingas sprendžiant klausimus apie palikimo padalijimą.

1.3 Lygtys Indijoje

Kvadratinės lygtys taip pat buvo išspręstos Indijoje. Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (7 a.) nustatė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kūginės formos, sprendimo taisyklę:

aх² + bx= c, kur a > 0

Šioje lygtyje koeficientai, išskyrus a, gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Senovės Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsilavinęs žmogus viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas, pranoks kitų šlovę“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Įvairias lygtis – tiek kvadratines, tiek aukštesnio laipsnio lygtis – sprendė mūsų tolimi protėviai. Šios lygtys buvo išspręstos labai skirtingose ​​ir tolimose šalyse. Lygčių poreikis buvo didelis. Lygtys buvo naudojamos statybose, kariniuose reikaluose ir kasdienėse situacijose.

2 skyrius. Kvadratinės lygtys ir aukštesnės eilės lygtys

2.1 Pagrindinės sąvokos

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis

kur koeficientai a, b, c yra bet kokie realieji skaičiai, o a ≠ 0.

Kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei jos pagrindinis koeficientas yra 1.

Pavyzdys :

x 2 + 2x + 6 = 0.

Kvadratinė lygtis vadinama neredukuota, jei pirmaujantis koeficientas skiriasi nuo 1.

Pavyzdys :

2x 2 + 8x + 3 = 0.

Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje yra visi trys nariai, kitaip tariant, tai yra lygtis, kurioje koeficientai b ir c nėra lygūs nuliui.

Pavyzdys :

3x 2 + 4x + 2 = 0.

Nebaigta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje bent vienas koeficientas b, c yra lygus nuliui.

Taigi, yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:

1) ax² = 0 (turi dvi sutampančius šaknis x = 0).

2) ax² + bx = 0 (turi dvi šaknis x 1 = 0 ir x 2 = -)

Pavyzdys :

x 1 = 0, x 2 = -5.

Atsakymas: x 1 =0, x 2 = -5.

Jei -<0 - уравнение не имеет корней.

Pavyzdys :

Atsakymas: lygtis neturi šaknų.

Jei –> 0, tai x 1,2 = ±

Pavyzdys :

Atsakymas: x 1,2 =±

Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą (b² - 4ac). Paprastai išraiška b² - 4ac žymima raide D ir vadinama kvadratinės lygties ax² + bx + c = 0 diskriminantu (arba kvadratinio trijų dėmenų ax² + bx + c diskriminantu).

Pavyzdys :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Atsakymas: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Priklausomai nuo diskriminanto, lygtis gali turėti arba neturėti sprendimo.

1) Jei D< 0, то не имеет решения.

2) Jei D = 0, tai lygtis turi du sutampančius sprendinius x 1,2 =

3) Jei D > 0, tada jis turi du sprendimus, rastus pagal formulę:

x 1,2 =

2.2 Lyginio koeficiento x formulės

Esame pripratę prie to, kad kvadratinės lygties šaknys

ax² + bx + c = 0 randami pagal formulę

x 1,2 =

Tačiau matematikai niekada nepraleis progos palengvinti skaičiavimus. Jie nustatė, kad šią formulę galima supaprastinti tuo atveju, kai koeficientas b yra b = 2k, ypač jei b yra lyginis skaičius.

Tiesą sakant, tegul kvadratinės lygties ax² + bx + c = 0 koeficientas b yra b = 2k. Į formulę pakeitę skaičių 2k vietoj b, gauname:

Taigi kvadratinės lygties ax² + 2kx + c = 0 šaknis galima apskaičiuoti naudojant formulę:

x 1,2 =

Pavyzdys :

5x 2 - 2x + 1 = 0

Šios formulės pranašumas yra tas, kad iš šio kvadrato atimamas ne skaičius b, o jo pusė, o tiesiog ac, ir galiausiai, kad vardiklyje yra ne 2a, o tiesiog a; .

Jei kvadratinė lygtis sumažinama, mūsų formulė atrodys taip:

Pavyzdys :

x 2 – 4x + 3 = 0

Atsakymas: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Vietos teorema

Labai įdomią kvadratinės lygties šaknų savybę atrado prancūzų matematikas Francois Viète. Ši savybė buvo vadinama Vietos teorema:

Taigi, kad skaičiai x 1 ir x 2 būtų lygties šaknys:

ax² + bx + c = 0

būtina ir pakanka lygybei įvykdyti

x 1 + x 2 = -b/a ir x 1 x 2 = c/a

Vietos teorema leidžia spręsti apie kvadratinės lygties ženklus ir absoliučią vertę

x² + bx + c = 0

1. Jei b>0, c>0, tada abi šaknys yra neigiamos.

2. Jei b<0, c>0, tada abi šaknys yra teigiamos.

3. Jei b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Jei b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Tam tikro pobūdžio kvadratinės lygtys

1) Jei a + b + c = 0 lygtyje ax² + bx + c = 0, tada

x 1 = 1 ir x 2 = .

Įrodymas :

Lygtyje ax² + bx + c = 0, jos šaknys

x 1,2 = (1).

Pavaizduokime b iš lygybės a + b + c = 0

Pakeiskime šią išraišką į formulę (1):

=

Jei nagrinėsime dvi lygties šaknis atskirai, gausime:

1) x 1 =

2) x 2 =

Iš to seka: x 1 = 1 ir x 2 =.

1. Pavyzdys :

2x² – 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, todėl

2. Pavyzdys :

418x² – 1254x + 836 = 0

Šį pavyzdį labai sunku išspręsti naudojant diskriminantą, tačiau žinant aukščiau pateiktą formulę, jį galima lengvai išspręsti.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Jei a - b + c = 0, lygtyje ax² + bx + c = 0, tada:

x 1 =-1 ir x 2 =-.

Įrodymas :

Apsvarstykite lygtį ax² + bx + c = 0, iš to išplaukia, kad:

x 1,2 = (2).

Pavaizduokime b iš lygybės a - b + c = 0

b = a + c, pakeiskite formulę (2):

=

Gauname dvi išraiškas:

1) x 1 =

2) x 2 =

Ši formulė yra panaši į ankstesnę, tačiau ji taip pat svarbi, nes... Šio tipo pavyzdžiai yra dažni.

1) Pavyzdys :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, todėl

2)Pavyzdys :

Atsakymas: x 1 = -1; x 2 = -

3) metodas “ pervedimai ”

Kvadratinių lygčių y² + by + ac = 0 ir ax² + bx + c = 0 šaknys yra susietos šiais ryšiais:

x 1 = ir x 2 =

Įrodymas :

a) Apsvarstykite lygtį ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Apsvarstykite lygtį y² + x + ac = 0

y 1,2 =

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų sprendinių diskriminantai yra lygūs, palyginkime šių dviejų lygčių šaknis. Jie skiriasi vienas nuo kito pagrindiniu veiksniu, pirmosios lygties šaknys yra mažesnės nei antrosios šaknys a. Naudojant Vietos teoremą ir minėtą taisyklę, nesunku išspręsti įvairias lygtis.

Pavyzdys :

Turime savavališką kvadratinę lygtį

10x² – 11x + 3 = 0

Transformuokime šią lygtį pagal pateiktą taisyklę

y² – 11m + 30 = 0

Gauname redukuotą kvadratinę lygtį, kurią gana nesunkiai galima išspręsti naudojant Vietos teoremą.

Tegul y 1 ir y 2 yra lygties y² - 11y + 30 = 0 šaknys

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Žinant, kad šių lygčių šaknys viena nuo kitos skiriasi a, tada

x 1 = 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 = 0,5

Kai kuriais atvejais patogu pirmiausia išspręsti ne pateiktą lygtį ax² + bx + c = 0, o redukuotą y² + + ac = 0, kuri gaunama iš duoto „perkėlimo“ koeficiento a, o tada rastą padalinti. šaknis iš a, kad rastumėte pradinę lygtį.

2.5 Vietos formulė aukštesniųjų laipsnių polinomams (lygtims).

Viète'o išvestos kvadratinių lygčių formulės galioja ir aukštesnio laipsnio daugianariams.

Tegul daugianario

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Turi n skirtingų šaknų x 1, x 2..., x n.

Šiuo atveju jis turi formos faktorizaciją:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)… (x – x n)

Abi šios lygybės puses padalinkime iš 0 ≠ 0 ir atidarykime skliaustus pirmoje dalyje. Gauname lygybę:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Bet du daugianariai yra identiški tada ir tik tada, kai tų pačių laipsnių koeficientai yra lygūs. Iš to išplaukia, kad lygybė

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Pavyzdžiui, trečiojo laipsnio daugianariams

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Mes turime tapatybes

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Kalbant apie kvadratines lygtis, ši formulė vadinama Vietos formulėmis. Šių formulių kairiosios pusės yra simetriški daugianariai iš šios lygties šaknų x 1, x 2 ..., x n, o dešinės pusės išreiškiamos daugianario koeficientu.

2.6 Lygtys, redukuojamos į kvadratinę (bikvadratinę)

Ketvirtojo laipsnio lygtys redukuojamos į kvadratines lygtis:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

vadinamas bikvadratiniu, o a ≠ 0.

Pakanka į šią lygtį įdėti x 2 = y, todėl

ay² + by + c = 0

suraskime gautos kvadratinės lygties šaknis

y 1,2 =

Norėdami iš karto rasti šaknis x 1, x 2, x 3, x 4, pakeiskite y į x ir gaukite

x² =

x 1,2,3,4 = .

Jei ketvirtojo laipsnio lygtis turi x 1, tada ji taip pat turi šaknį x 2 = -x 1,

Jei turi x 3, tai x 4 = - x 3. Tokios lygties šaknų suma lygi nuliui.

Pavyzdys :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Pakeiskime lygtį į bikvadratinių lygčių šaknų formulę:

x 1,2,3,4 = ,

žinant, kad x 1 = -x 2 ir x 3 = -x 4, tada:

x 3,4 =

Atsakymas: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Bikvadratinių lygčių tyrimas

Paimkime bikvadratinę lygtį

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kur a, b, c yra tikrieji skaičiai, o a > 0. Įvesdami pagalbinį nežinomąjį y = x², išnagrinėjame šios lygties šaknis ir rezultatus suvedame į lentelę (žr. priedą Nr. 1)

2.8 Cardano formulė

Jei naudosime šiuolaikinę simboliką, Cardano formulės išvedimas gali atrodyti taip:

x =

Ši formulė nustato bendrosios trečiojo laipsnio lygties šaknis:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Ši formulė yra labai sudėtinga ir sudėtinga (joje yra keletas sudėtingų radikalų). Tai bus taikoma ne visada, nes... labai sunku užpildyti.

2.9 Trečiojo laipsnio simetrinės lygtys

Trečiojo laipsnio simetrinės lygtys yra formos lygtys

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx - a = 0 ( 2 )

kur a ir b yra pateikti skaičiai, su a¹0.

Parodykime, kaip lygtis ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Mes nustatome, kad lygtis ( 1 ) yra lygiavertis lygčiai

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Tai reiškia, kad jo šaknys bus lygties šaknys

ax² +(b – a)x + a = 0

ir skaičius x = -1

lygtis ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Pavyzdys :

2x³ + 3x² - 3x - 2 = 0

Aišku, kad x 1 = 1, ir

x 2 ir x 3 lygties 2x² + 5x + 2 = 0 šaknys,

Raskime juos per diskriminantą:

x 1,2 =

x 2 = -, x 3 = -2

2) Pavyzdys :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Akivaizdu, kad x 1 = -1, ir

x 2 ir x 3 lygties 5x² + 26x + 5 = 0 šaknys,

Raskime juos per diskriminantą:

x 1,2 =

x 2 = -5, x 3 = -0,2.

2.10 Abipusės lygtys

Reciprokinė lygtis – algebrinė lygtis

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,

kur a k = a n – k, kur k = 0, 1, 2 …n ir a ≠ 0.

Abipusės lygties šaknų radimo problema redukuojama iki žemesnio laipsnio algebrinės lygties sprendimų paieškos. Reciprokinių lygčių terminą įvedė L. Euleris.

Formos ketvirtojo laipsnio lygtis:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Sumažinant šią lygtį iki formos

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, o y = x + m/x ir y² - 2m = x² + m²/x²,

iš kur lygtis redukuojama į kvadratinę

ay² + by + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 - 14x 2 - 10x + 12 = 0

Padalijus jį iš x 2, gaunama lygiavertė lygtis

3x 2 + 5x – 14 – 5 × arba

Kur ir

3(y 2 – 4) + 5y – 14 = 0, iš kur

y 1 = y 2 = -2, todėl

Ir iš kur

Atsakymas: x 1,2 = x 3,4 = .

Ypatingas abipusių lygčių atvejis yra simetrinės lygtys. Apie simetriškas trečiojo laipsnio lygtis kalbėjome anksčiau, tačiau yra ir ketvirto laipsnio simetrinių lygčių.

Ketvirtojo laipsnio simetrinės lygtys.

1) Jei m = 1, tai yra pirmosios rūšies simetrinė lygtis, turinti formą

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ir išspręsta nauju pakeitimu

2) Jei m = -1, tai yra antrojo tipo simetrinė lygtis, turinti formą

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 ir išspręsta nauju pakeitimu

2.11 Hornerio grandinė

Norint padalyti daugianarius, naudojama „dalybos pagal kampą“ taisyklė arba Hornerio schema . Šiuo tikslu daugianariai išdėstomi mažėjančiais laipsniais X ir rasti dalinio Q(x) priekinį narį iš sąlygos, kad padauginus iš daliklio D(x) pirminio nario, gaunamas dividendo P(x) pagrindinis narys. Rastas koeficiento narys padauginamas, tada iš daliklio ir atimamas iš dividendo. Pirminis koeficiento narys nustatomas pagal sąlygą, kad, padauginus iš daliklio pirmaujančio nario, gaunamas skirtumo daugianario pagrindinis narys ir kt. Procesas tęsiamas tol, kol skirtumo laipsnis yra mažesnis už daliklio laipsnį (žr. priedą Nr. 2).

Esant lygtims R = 0, šis algoritmas pakeičiamas Hornerio schema.

Pavyzdys :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

Raskite laisvojo nario daliklius ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Kairiąją lygties pusę pažymėkime f(x). Akivaizdu, kad f(1) = 0, x1 = 1. Padalinkite f(x) iš x – 1. (žr. priedą Nr. 3)

x 3 + 4x 2 + x - 6 = (x - 1) (x 2 + 5x + 6)

Paskutinį veiksnį žymime Q(x). Išsprendžiame lygtį Q(x) = 0.

x 2,3 =

Atsakymas : 1; -2; -3.

Šiame skyriuje pateikėme keletą formulių įvairioms lygtims spręsti. Dauguma šių formulių dalinėms lygtims spręsti. Šios savybės yra labai patogios, nes lygtis yra daug lengviau išspręsti naudojant atskirą šios lygties formulę, o ne naudojant bendrąjį principą. Pateikėme įrodymą ir kelis kiekvieno metodo pavyzdžius.

Išvada

Pirmame skyriuje buvo nagrinėjama kvadratinių lygčių ir aukštesnės eilės lygčių atsiradimo istorija. Įvairios lygtys buvo išspręstos daugiau nei prieš 25 šimtmečius. Babilone, Indijoje, buvo sukurta daug tokių lygčių sprendimo būdų. Lygčių poreikis buvo ir bus.

Antrame skyriuje pateikiami įvairūs kvadratinių lygčių ir aukštesnės eilės lygčių sprendimo (rasti šaknų) būdai. Iš esmės tai yra tam tikro pobūdžio lygčių sprendimo metodai, tai yra, kiekvienai lygčių grupei, kurią vienija tam tikros bendros savybės ar tipas, pateikiama speciali taisyklė, taikoma tik šiai lygčių grupei. Šis metodas (kiekvienai lygčiai pasirenkant savo formulę) yra daug lengvesnis nei rasti šaknis naudojant diskriminantą.

Šioje santraukoje visi tikslai pasiekti ir pagrindinės užduotys įvykdytos, įrodytos ir išmoktos naujos, anksčiau nežinomos formulės. Prieš įtraukdami juos į abstrakčius pavyzdžių, išnagrinėjome daugybę variantų, todėl jau turime idėją, kaip išspręsti kai kurias lygtis. Kiekvienas sprendimas mums bus naudingas tolesniuose tyrimuose. Šis rašinys padėjo klasifikuoti senas žinias ir išmokti naujų.

Nuorodos

1. Vilenkin N.Ya. „Algebra 8 klasei“, M., 1995 m.

2. Galitsky M.L. „Uždavinių rinkinys algebroje“, M. 2002 m.

3. Daan-Dalmedico D. „Keliai ir labirintai“, M., 1986 m.

4. Zvavich L.I. „Algebra 8 klasė“, M., 2002 m.

5. Kushnir I.A. „Lygtys“, Kijevas 1996 m.

6. Savin Yu.P. „Jaunojo matematiko enciklopedinis žodynas“, M., 1985 m.

7. Mordkovich A.G. „Algebra 8 klasė“, M., 2003 m.

8. Khudobin A.I. „Algebros uždavinių rinkinys“, M., 1973 m.

9. Šaryginas I.F. „Pasirenkamasis algebros kursas“, M., 1989 m.

1 priedas

Bikvadratinių lygčių tyrimas

2 priedas

Polinomo padalijimas į daugianarį naudojant kampą

3 priedas

Hornerio schema