Kaip rasti šoninę trapecijos liniją. Įbrėžtos ir apribotos trapecijos

Tiesios linijos atkarpa, jungianti šoninių trapecijos kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija. Žemiau papasakosime, kaip rasti trapecijos vidurio liniją ir kaip ji susijusi su kitais šios figūros elementais.

Centrinės linijos teorema

Nubrėžkime trapeciją, kurioje AD yra didesnė bazė, BC yra mažesnė bazė, EF yra vidurinė linija. Išplėskime pagrindą AD už taško D. Nubrėžkime tiesę BF ir tęskime ją tol, kol ji susikirs su pagrindo AD tęsiniu taške O. Apsvarstykite trikampius ∆BCF ir ∆DFO. Kampai ∟BCF = ∟DFO kaip vertikalūs. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, nes VS // UAB. Todėl trikampiai ∆BCF = ∆DFO. Taigi kraštinės BF = FO.

Dabar apsvarstykite ∆ABO ir ∆EBF. ∟ABO yra bendras abiem trikampiams. BE/AB = ½ pagal sąlygą, BF/BO = ½, nes ∆BCF = ∆DFO. Todėl trikampiai ABO ir EFB yra panašūs. Taigi šalių santykis EF/AO = ½, taip pat ir kitų partijų santykis.

Randame EF = ½ AO. Brėžinyje matyti, kad AO = AD + DO. DO = BC kaip lygių trikampių kraštinės, o tai reiškia AO = AD + BC. Taigi EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Tie. trapecijos vidurio linijos ilgis lygus pusei bazių sumos.

Ar trapecijos vidurio linija visada lygi pusei bazių sumos?

Tarkime, kad yra ypatingas atvejis, kai EF ≠ ½ (AD + BC). Tada BC ≠ DO, todėl ∆BCF ≠ ∆DCF. Bet tai neįmanoma, nes tarp jų yra du vienodi kampai ir kraštinės. Todėl teorema yra teisinga visomis sąlygomis.

Vidurinės linijos problema

Tarkime, mūsų trapecijos ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, įstrižainė AC yra statmena kraštinei. Raskite trapecijos EF vidurio liniją.

Jei ∟A = 90°, tai ∟B = 90°, tai reiškia, kad ∆ABC yra stačiakampis.

∟BCA = ∟BCD – ∟ACD. ∟ACD = 90° pagal susitarimą, todėl ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Jei stačiakampiame trikampyje ∆ABC vienas kampas lygus 45°, tai kojos jame lygios: AB = BC = 2 cm.

Hipotenūza AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.

Panagrinėkime ∆ACD. ∟ACD = 90° pagal būklę. ∟CAD = ∟BCA = 45° kaip kampai, sudaryti iš lygiagrečių trapecijos pagrindų skersinio. Todėl kojos AC = CD = √8.

Hipotenuzė AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Trapecijos vidurio linija EF = ½ (AD + BC) = ½ (2 + 4) = 3 cm.

Trapecijos vidurio linijos samprata

Pirmiausia prisiminkime, kokia figūra vadinama trapecija.

1 apibrėžimas

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi nėra lygiagrečios.

Šiuo atveju lygiagrečios kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, o nelygiagrečios – šoninėmis trapecijos kraštinėmis.

2 apibrėžimas

Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti šoninių trapecijos kraštinių vidurio taškus.

Trapecijos vidurio linijos teorema

Dabar pristatome teoremą apie trapecijos vidurio liniją ir įrodome ją vektoriniu metodu.

1 teorema

Trapecijos vidurio linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusinei sumai.

Įrodymas.

Pateikiame trapeciją $ABCD$ su bazėmis $AD\ ir\ BC$. Ir tegul $MN$ yra šios trapecijos vidurinė linija (1 pav.).

1 pav. Trapecijos vidurio linija

Įrodykime, kad $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Apsvarstykite vektorių $\overrightarrow(MN)$. Tada vektoriams pridėti naudojame daugiakampio taisyklę. Viena vertus, mes tai suprantame

Iš kitos pusės

Pridėkime paskutines dvi lygybes ir gaukime

Kadangi $M$ ir $N$ yra trapecijos šoninių kraštinių vidurio taškai, turėsime

Mes gauname:

Vadinasi

Iš tos pačios lygybės (kadangi $\overrightarrow(BC)$ ir $\overrightarrow(AD)$ yra bendros krypties ir todėl kolinearinės) gauname, kad $MN||AD$.

Teorema įrodyta.

Trapecijos vidurio linijos sampratos uždavinių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Trapecijos šoninės kraštinės yra atitinkamai $15\ cm$ ir $17\ cm$. Trapecijos perimetras yra $52\cm$. Raskite trapecijos vidurio linijos ilgį.

Sprendimas.

Trapecijos vidurio liniją pažymėkime $n$.

Kraštinių suma lygi

Todėl, kadangi perimetras yra $52\ cm$, bazių suma lygi

Taigi pagal 1 teoremą gauname

Atsakymas:$10\cm$.

2 pavyzdys

Apskritimo skersmens galai yra atitinkamai $9$ cm ir $5$ cm atstumu nuo jo liestinės. Raskite šio apskritimo skersmenį.

Sprendimas.

Pateikiame apskritimą, kurio centras yra taške $O$ ir skersmuo $AB$. Nubrėžkime liestinę $l$ ir sukonstruokime atstumus $AD=9\ cm$ ir $BC=5\ cm$. Nubrėžkime spindulį $OH$ (2 pav.).

2 pav.

Kadangi $AD$ ir $BC$ yra atstumai iki liestinės, tai $AD\bot l$ ir $BC\bot l$ ir kadangi $OH$ yra spindulys, tai $OH\bot l$, taigi $OH |\left|AD\right||BC$. Iš viso to gauname, kad $ABCD$ yra trapecija, o $OH$ yra jos vidurio linija. Pagal 1 teoremą gauname

Vadinamas keturkampis, kurio tik dvi kraštinės yra lygiagrečios trapecijos formos.

Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos priežasčių, o tos kraštinės, kurios nėra lygiagrečios, vadinamos pusės. Jei kraštinės lygios, tai tokia trapecija yra lygiašonė. Atstumas tarp pagrindų vadinamas trapecijos aukščiu.

Vidurinės linijos trapecija

Vidurinė linija yra atkarpa, jungianti šoninių trapecijos kraštinių vidurio taškus. Trapecijos vidurio linija lygiagreti jos pagrindams.

Teorema:

Jei tiesė, kertanti vienos kraštinės vidurį, yra lygiagreti trapecijos pagrindams, tai ji dalija antrąją trapecijos kraštinę.

Teorema:

Vidurinės linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN vidurio linija, AB ir CD - bazės, AD ir BC - šoninės pusės

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

Trapecijos vidurio linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui.

Pagrindinė užduotis: Įrodykite, kad trapecijos vidurio linija dalija atkarpą, kurios galai yra trapecijos pagrindų viduryje.

Vidurinė trikampio linija

Atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, vadinama trikampio vidurio linija. Jis yra lygiagretus trečiajai pusei, o jo ilgis yra lygus pusei trečiosios kraštinės ilgio.
Teorema: Jei tiesė, kertanti vienos trikampio kraštinės vidurio tašką, yra lygiagreti kitai trikampio kraštinei, tada ji dalija trečiąją kraštinę.

AM = MC ir BN = NC =>

Trikampio ir trapecijos vidurinės linijos savybių taikymas

Segmento padalijimas į tam tikrą skaičių lygių dalių.
Užduotis: atkarpą AB padalinkite į 5 lygias dalis.
Sprendimas:
Tegul p yra atsitiktinis spindulys, kurio pradžia yra taškas A ir kuris nėra tiesėje AB. Mes paeiliui atidedame 5 vienodus segmentus p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Sujungiame A 5 su B ir per A 4, A 3, A 2 ir A 1 nubrėžiame tokias linijas, kurios yra lygiagrečios A 5 B. Jos kerta AB atitinkamai taškuose B 4, B 3, B 2 ir B 1. Šie taškai padalija atkarpą AB į 5 lygias dalis. Iš tiesų, iš trapecijos BB 3 A 3 A 5 matome, kad BB 4 = B 4 B 3. Lygiai taip pat iš trapecijos B 4 B 2 A 2 A 4 gauname B 4 B 3 = B 3 B 2

Nors iš trapecijos B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Tada iš B 2 AA 2 išeina, kad B 2 B 1 = B 1 A. Apibendrinant gauname:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Aišku, kad atkarpą AB padalyti į kitą lygių dalių skaičių, reikia tiek pat vienodų atkarpų projektuoti į spindulį p. Ir tada tęskite aukščiau aprašytu būdu.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Jei reikia – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais arba Rusijos Federacijos valdžios institucijų prašymais – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Trapecija yra ypatingas keturkampio atvejis, kai viena kraštinių pora yra lygiagreti. Terminas „trapecija“ kilęs iš graikų kalbos žodžio τράπεζα, reiškiančio „stalas“, „stalas“. Šiame straipsnyje apžvelgsime trapecijos tipus ir jų savybes. Be to, išsiaiškinsime, kaip apskaičiuoti atskirus elementus, pavyzdžiui, lygiašonės trapecijos įstrižainę, vidurio liniją, plotą ir tt Medžiaga pateikiama elementarios populiariosios geometrijos stiliumi, t.y. lengvai prieinama forma. .

Bendra informacija

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas yra keturkampis. Ši figūra yra ypatingas daugiakampio, turinčio keturias kraštines ir keturias viršūnes, atvejis. Dvi keturkampio viršūnės, kurios nėra gretimos, vadinamos priešingomis. Tą patį galima pasakyti apie dvi negretimas puses. Pagrindiniai keturkampių tipai yra lygiagretainis, stačiakampis, rombas, kvadratas, trapecija ir deltinis.

Taigi grįžkime prie trapecijos. Kaip jau minėjome, ši figūra turi dvi lygiagrečias puses. Jie vadinami bazėmis. Kitos dvi (nelygiagrečios) yra šoninės pusės. Egzaminų ir įvairių testų medžiagoje dažnai galima rasti problemų, susijusių su trapecijomis, kurių sprendimas dažnai reikalauja, kad mokinys turėtų programoje nenumatytų žinių. Mokyklos geometrijos kursas supažindina mokinius su kampų ir įstrižainių savybėmis, taip pat lygiašonės trapecijos vidurio linija. Tačiau, be to, minėta geometrinė figūra turi ir kitų savybių. Bet apie juos kiek vėliau...

Trapecijos tipai

Yra daug šios figūros tipų. Tačiau dažniausiai įprasta laikyti du iš jų - lygiašonius ir stačiakampius.

1. Stačiakampė trapecija yra figūra, kurios viena iš kraštinių yra statmena pagrindams. Jos du kampai visada lygūs devyniasdešimt laipsnių.

2. Lygiašonė trapecija yra geometrinė figūra, kurios kraštinės yra lygios viena kitai. Tai reiškia, kad kampai prie pagrindų taip pat yra lygūs poromis.

Pagrindiniai trapecijos savybių tyrimo metodikos principai

Pagrindinis principas apima vadinamojo užduočių metodo naudojimą. Tiesą sakant, nereikia įvesti naujų šios figūros savybių į teorinį geometrijos kursą. Jas galima atrasti ir suformuluoti sprendžiant įvairias problemas (geriausia sistemines). Kartu labai svarbu, kad mokytojas žinotų, kokias užduotis vienu ar kitu ugdymo proceso metu reikia skirti mokiniams. Be to, kiekviena trapecijos savybė gali būti pavaizduota kaip pagrindinė užduotis užduočių sistemoje.

Antrasis principas yra vadinamasis spiralinis trapecijos „nepaprastų“ savybių tyrimo organizavimas. Tai reiškia, kad mokymosi procese grįžtama prie individualių tam tikros geometrinės figūros ypatybių. Taip mokiniams lengviau juos atsiminti. Pavyzdžiui, keturių taškų savybė. Tai galima įrodyti tiek tiriant panašumą, tiek vėliau naudojant vektorius. O trikampių, esančių šalia figūros šoninių kraštinių, lygiavertiškumą galima įrodyti taikant ne tik vienodo aukščio trikampių, nubrėžtų toje pačioje tiesėje esančiose kraštinėse, savybes, bet ir naudojant formulę S = 1/2( ab*sinα). Be to, galite dirbti su įbrėžta trapecija arba stačiu trikampiu ant įbrėžtos trapecijos ir pan.

„Nepamokinių“ geometrinės figūros ypatybių naudojimas mokyklinio kurso turinyje yra užduotimis pagrįsta jų mokymo technologija. Nuolatinis remtis tiriamomis savybėmis, nagrinėjant kitas temas, leidžia studentams giliau pažinti trapeciją ir užtikrina sėkmę sprendžiant priskirtas problemas. Taigi, pradėkime tyrinėti šią nuostabią figūrą.

Lygiašonės trapecijos elementai ir savybės

Kaip jau minėjome, ši geometrinė figūra turi lygias puses. Ji taip pat žinoma kaip teisinga trapecija. Kodėl jis toks nuostabus ir kodėl gavo tokį pavadinimą? Šios figūros ypatumas yra tas, kad ne tik kraštinės ir kampai prie pagrindų yra vienodi, bet ir įstrižainės. Be to, lygiašonės trapecijos kampų suma yra 360 laipsnių. Bet tai dar ne viskas! Iš visų žinomų trapecijų tik lygiašonis gali būti apibūdintas kaip apskritimas. Taip yra dėl to, kad šios figūros priešingų kampų suma yra lygi 180 laipsnių, ir tik esant tokiai sąlygai galima apibūdinti apskritimą aplink keturkampį. Kita nagrinėjamos geometrinės figūros savybė yra ta, kad atstumas nuo pagrindo viršūnės iki priešingos viršūnės projekcijos į tiesę, kurioje yra šis pagrindas, bus lygus vidurio linijai.

Dabar išsiaiškinkime, kaip rasti lygiašonės trapecijos kampus. Panagrinėkime šios problemos sprendimą, jei žinomi figūros kraštinių matmenys.

Sprendimas

Paprastai keturkampis paprastai žymimas raidėmis A, B, C, D, kur BS ir AD yra bazės. Lygiašonės trapecijos kraštinės yra lygios. Darysime prielaidą, kad jų dydis lygus X, o pagrindų dydžiai lygūs Y ir Z (atitinkamai mažesni ir didesni). Norint atlikti skaičiavimą, reikia nubrėžti aukštį H nuo kampo B. Gaunamas stačiakampis trikampis ABN, kur AB yra hipotenuzė, o BN ir AN yra kojos. Apskaičiuojame kojos dydį AN: iš didesnio pagrindo atimame mažesnę, o rezultatą padalijame iš 2. Rašome formulės forma: (Z-Y)/2 = F. Dabar apskaičiuokite ūminį trikampio kampą, naudojame cos funkciją. Gauname tokį įrašą: cos(β) = X/F. Dabar apskaičiuojame kampą: β=arcos (X/F). Be to, žinodami vieną kampą, galime nustatyti antrąjį, tam atliekame elementarią aritmetinę operaciją: 180 - β. Visi kampai yra apibrėžti.

Yra ir antras šios problemos sprendimas. Pirmiausia nuleidžiame nuo kampo į aukštį H. Apskaičiuojame kojos BN reikšmę. Žinome, kad stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Gauname: BN = √(X2-F2). Toliau naudojame trigonometrinę funkciją tg. Dėl to gauname: β = arctan (BN/F). Buvo rastas ūminis kampas. Toliau mes jį apibrėžiame panašiai kaip pirmasis metodas.

Lygiašonės trapecijos įstrižainių savybė

Pirmiausia užsirašykime keturias taisykles. Jei lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos, tada:

Figūros aukštis bus lygus bazių sumai, padalytai iš dviejų;

Jo aukštis ir vidurio linija yra vienodi;

Apskritimo centras yra taškas, kuriame ;

Jei šoninė kraštinė yra padalinta pagal liesties tašką į atkarpas H ir M, tai ji lygi šių atkarpų sandaugos kvadratinei šakniai;

Keturkampis, kurį sudaro lietimo taškai, trapecijos viršūnė ir įbrėžto apskritimo centras, yra kvadratas, kurio kraštinė lygi spinduliui;

Figūros plotas lygus pagrindų sandaugai ir pusės pagrindų sumos bei jos aukščio sandaugai.

Panašios trapecijos

Ši tema labai patogi tiriant šio savybes Pavyzdžiui, įstrižainės dalija trapeciją į keturis trikampius, o esantys greta pagrindų yra panašūs, o esantys prie šonų yra vienodo dydžio. Šį teiginį galima pavadinti trikampių savybe, į kuriuos trapecija padalinta jos įstrižainėmis. Pirmoji šio teiginio dalis įrodoma per panašumo ženklą dviem kampais. Norint įrodyti antrąją dalį, geriau naudoti toliau pateiktą metodą.

Teoremos įrodymas

Pripažįstame, kad figūra ABSD (AD ir BS yra trapecijos pagrindai) yra padalinta iš įstrižainių VD ir AC. Jų susikirtimo taškas yra O. Gauname keturis trikampius: AOS - apatiniame pagrinde, BOS - viršutiniame pagrinde, ABO ir SOD šonuose. Trikampiai SOD ir BOS turi bendrą aukštį, jei atkarpos BO ir OD yra jų pagrindai. Pastebime, kad skirtumas tarp jų plotų (P) yra lygus skirtumui tarp šių segmentų: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Todėl PSOD = PBOS/K. Panašiai trikampiai BOS ir AOB turi bendrą aukštį. Jų pagrindu imame CO ir OA segmentus. Gauname PBOS/PAOB = CO/OA = K ir PAOB = PBOS/K. Iš to išplaukia, kad PSOD = PAOB.

Medžiagai įtvirtinti, mokiniams rekomenduojama rasti ryšį tarp gautų trikampių, į kuriuos trapecija padalinta įstrižainėmis, plotų, sprendžiant šį uždavinį. Yra žinoma, kad trikampių BOS ir AOD plotai yra vienodi, reikia rasti trapecijos plotą. Kadangi PSOD = PAOB, tai reiškia PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Iš trikampių BOS ir AOD panašumo išplaukia, kad BO/OD = √(PBOS/PAOD). Todėl PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Gauname PSOD = √ (PBOS*PAOD). Tada PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Panašumo savybės

Plėtodami šią temą, galime įrodyti ir kitas įdomias trapecijos ypatybes. Taigi, naudojant panašumą, galima įrodyti atkarpos savybę, kuri eina per tašką, suformuotą šios geometrinės figūros įstrižainių susikirtimo lygiagrečiai su bazėmis. Norėdami tai padaryti, išspręskime šią užduotį: reikia rasti atkarpos RK, kuri eina per tašką O, ilgį. Iš trikampių AOD ir BOS panašumo išplaukia, kad AO/OS = AD/BS. Iš trikampių AOP ir ASB panašumo išplaukia, kad AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Iš čia gauname, kad RO=BS*BP/(BS+BP). Panašiai iš trikampių DOC ir DBS panašumo išplaukia, kad OK = BS*AD/(BS+AD). Iš čia gauname, kad RO=OK ir RK=2*BS*AD/(BS+AD). Atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką, lygiagreti pagrindams ir jungianti dvi šonines puses, yra padalinta per pusę iš susikirtimo taško. Jo ilgis yra harmoninis figūros pagrindų vidurkis.

Apsvarstykite šią trapecijos savybę, kuri vadinama keturių taškų savybe. Įstrižainių susikirtimo taškai (O), kraštinių tęsinio susikirtimo taškai (E), taip pat pagrindų vidurio taškai (T ir F) visada yra toje pačioje tiesėje. Tai galima lengvai įrodyti panašumo metodu. Gauti trikampiai BES ir AED yra panašūs, o kiekviename iš jų medianos ET ir EJ padalija viršūnės kampą E į lygias dalis. Todėl taškai E, T ir F yra toje pačioje tiesėje. Lygiai taip pat taškai T, O ir Zh yra toje pačioje tiesėje. Visa tai išplaukia iš trikampių BOS ir AOD panašumo. Iš čia daroma išvada, kad visi keturi taškai – E, T, O ir F – bus toje pačioje tiesėje.

Naudodami panašias trapecijas, galite paprašyti mokinių surasti atkarpos (LS), kuri padalija figūrą į dvi panašias, ilgį. Šis segmentas turi būti lygiagretus pagrindams. Kadangi gautos trapecijos ALFD ir LBSF yra panašios, tai BS/LF = LF/AD. Iš to išplaukia, kad LF=√(BS*AD). Pastebime, kad atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi panašias, ilgis lygus figūros pagrindų ilgių geometriniam vidurkiui.

Apsvarstykite šią panašumo savybę. Jis pagrįstas atkarpa, padalijančia trapeciją į dvi lygias figūras. Darome prielaidą, kad trapecija ABSD yra padalinta iš atkarpos EH į dvi panašias. Iš viršūnės B praleidžiamas aukštis, kuris segmentu EN yra padalintas į dvi dalis - B1 ir B2. Gauname: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ir PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Toliau sudarome sistemą, kurios pirmoji lygtis yra (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, o antroji (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Iš to išplaukia, kad B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ir BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Pastebime, kad atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi lygias, ilgis yra lygus bazių ilgių kvadratiniam vidurkiui: √((BS2+AD2)/2).

Panašumo išvados

Taigi mes įrodėme, kad:

1. Atkarpa, jungianti trapecijos šoninių kraštinių vidurio taškus, yra lygiagreti AD ir BS ir yra lygi BS ir AD aritmetiniam vidurkiui (trapecijos pagrindo ilgiui).

2. Tiesė, einanti per AD ir BS lygiagrečių įstrižainių susikirtimo tašką O, bus lygi skaičių AD ir BS harmoniniam vidurkiui (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Atkarpa, dalijanti trapeciją į panašias, turi bazių BS ir AD geometrinio vidurkio ilgį.

4. Elementas, dalijantis figūrą į dvi lygias dalis, turi skaičių AD ir BS vidurkio kvadrato ilgį.

Norint įtvirtinti medžiagą ir suprasti ryšį tarp nagrinėjamų segmentų, studentas turi juos sukonstruoti konkrečiai trapecijai. Jis gali lengvai parodyti vidurinę liniją ir atkarpą, kuri eina per tašką O – figūros įstrižainių sankirtą – lygiagrečiai pagrindams. Bet kur bus trečiasis ir ketvirtasis? Šis atsakymas paskatins mokinį atrasti norimą ryšį tarp vidutinių verčių.

Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus

Apsvarstykite šią šio paveikslo savybę. Darome prielaidą, kad atkarpa MH yra lygiagreti pagrindams ir dalija įstrižaines. Pavadinkime susikirtimo taškus Ш ir Ш Ši atkarpa bus lygi pusei bazių skirtumo. Pažvelkime į tai išsamiau. MS yra vidurinė ABS trikampio linija, ji lygi BS/2. MSH yra trikampio ABD vidurinė linija, ji lygi AD/2. Tada gauname, kad ShShch = MSh-MSh, todėl ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Svorio centras

Pažiūrėkime, kaip šis elementas nustatomas tam tikrai geometrinei figūrai. Norėdami tai padaryti, būtina išplėsti pagrindus priešingomis kryptimis. Ką tai reiškia? Turite pridėti apatinį pagrindą prie viršutinio pagrindo - bet kuria kryptimi, pavyzdžiui, į dešinę. O apatinį pratęsiame viršutinio ilgiu į kairę. Toliau juos sujungiame įstrižai. Šios atkarpos susikirtimo su figūros vidurio linija taškas yra trapecijos svorio centras.

Įbrėžtos ir apribotos trapecijos

Išvardinkime tokių figūrų ypatybes:

1. Trapeciją galima įbrėžti į apskritimą tik tada, kai ji lygiašonė.

2. Aplink apskritimą galima aprašyti trapeciją, jei jų pagrindų ilgių suma lygi kraštinių ilgių sumai.

Apskritimo išvados:

1. Aprašytos trapecijos aukštis visada lygus dviem spinduliams.

2. Aprašytos trapecijos kraštinė stebima nuo apskritimo centro stačiu kampu.

Pirmoji pasekmė yra akivaizdi, tačiau norint įrodyti antrąjį, būtina nustatyti, kad kampas SOD yra teisingas, o tai, tiesą sakant, taip pat nėra sunku. Tačiau žinios apie šią savybę leis sprendžiant problemas naudoti stačiakampį trikampį.

Dabar nurodykime šias pasekmes lygiašonei trapecijai, įbrėžtai apskritime. Nustatome, kad aukštis yra figūros pagrindų geometrinis vidurkis: H=2R=√(BS*AD). Praktikuodamas pagrindinę trapecijos uždavinių sprendimo techniką (dviejų aukščių brėžimo principą), studentas turi išspręsti šią užduotį. Darome prielaidą, kad BT yra lygiašonės figūros ABSD aukštis. Būtina rasti segmentus AT ir TD. Naudojant aukščiau aprašytą formulę, tai padaryti nebus sunku.

Dabar išsiaiškinkime, kaip nustatyti apskritimo spindulį, naudojant apibrėžtos trapecijos plotą. Nuleidžiame aukštį nuo viršūnės B iki pagrindo AD. Kadangi apskritimas įrašytas į trapeciją, tai BS+AD = 2AB arba AB = (BS+AD)/2. Iš trikampio ABN randame sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Gauname PABSD = (BS+BP)*R, tai reiškia, kad R = PABSD/(BS+BP).