Kaip rasti intervalui priklausančio sinuso šaknis. Įsigijimas į trigonometrinę lygtį

27. Pasirinkime šaknis duotame segmente

28. 10. Išspręskite lygtį 2sin2x =4cos x –sinx+1 Raskite jos šaknis intervale [/2; 3/2]

29. Naudodami apskritimą parinkkime šaknis

Pamokos tikslas:

A) stiprinti gebėjimą spręsti paprastas trigonometrines lygtis;

b) išmokyti pasirinkti trigonometrinių lygčių šaknis iš tam tikro intervalo

Per užsiėmimus.

a) Namų darbų tikrinimas: klasei pateikiami išplėstiniai namų darbai – išspręskite lygtį ir raskite būdą, kaip pasirinkti šaknis iš nurodyto intervalo.

1) cos x= -0,5, kur xI [- ]. Atsakymas:.

2) nuodėmė x= , kur xI . Atsakymas: ; .

3) cos 2 x= -, kur xI. Atsakymas:

Mokiniai surašo sprendimą lentoje, vieni naudodamiesi grafiku, kiti – atrankos būdu.

Šiuo metu klasė veikia žodžiu.

Raskite posakio prasmę:

a) tg – sin + cos + sin. Atsakymas: 1.

b) 2 lankai 0 + 3 lankai 1. Atsakymas: ?

c) arcsin + arcsin. Atsakymas:.

d) 5 arctg (-) – arccos (-). Atsakymas:-.

– Patikrinkime namų darbus, atsiverskime sąsiuvinius su namų darbais.

Kai kurie iš jūsų sprendimą rado taikydami atrankos metodą, o kiti – naudodami grafiką.

2. Išvada apie šių uždavinių sprendimo būdus ir problemos išdėstymas, t.y. pamokos temos ir tikslo perteikimas.

– a) Sunku išspręsti naudojant atranką, jei duotas didelis intervalas.

– b) Grafinis metodas neduoda tikslių rezultatų, reikalauja patikrinimo ir užima daug laiko.

– Todėl turi būti dar bent vienas metodas, universaliausias – pabandykime jį surasti. Taigi, ką mes šiandien veiksime klasėje? (Išmokite pasirinkti trigonometrinės lygties šaknis tam tikrame intervale.)

– 1 pavyzdys. (Mokinys eina prie lentos)

cos x= -0,5, kur xI [- ].

Klausimas: Kas lemia atsakymą į šią užduotį? (Iš lygties bendrojo sprendinio. Parašykime sprendinį bendra forma). Sprendimas užrašomas lentoje

x = + 2?k, kur k R.

– Parašykime šį sprendimą rinkinio forma:

– Jūsų nuomone, pagal kokią sprendimo žymą patogu pasirinkti šaknis intervale? (iš antrojo įrašo). Bet tai vėlgi atrankos metodas. Ką turime žinoti, kad gautume teisingą atsakymą? (Jūs turite žinoti k reikšmes).

(Sukurkime matematinį modelį, kad rastume k).

Išvada: Norėdami pasirinkti šaknis iš nurodyto intervalo sprendžiant trigonometrinę lygtį, turite:

1. kad išspręstume formos lygtį sin x = a, cos x = a Patogiau lygties šaknis rašyti kaip dvi šaknų eiles.
2. formos lygtims išspręsti įdegis x = a, ctg x = a užrašykite bendrą šaknų formulę.
3. sukurti kiekvieno sprendinio matematinį modelį dvigubos nelygybės forma ir rasti sveikąją parametro k arba n reikšmę.
4. pakeiskite šias reikšmes į šaknies formulę ir apskaičiuokite jas.

Išspręskite pavyzdžius Nr. 2 ir Nr. 3 iš namų darbų naudodami gautą algoritmą. Prie lentos vienu metu dirba du mokiniai, po to tikrina darbą.

Šiame straipsnyje pabandysiu paaiškinti 2 būdus parenkant šaknis trigonometrinėje lygtyje: naudojant nelygybes ir naudojant trigonometrinį apskritimą. Pereikime tiesiai prie iliustruojamojo pavyzdžio ir išsiaiškinsime, kaip viskas veikia.

A) Išspręskite lygtį sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui [-7Pi/2; -2Pi]

Išspręskime tašką a.

Naudokime redukcijos formulę sinuso sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x – cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + kaištis, n ∈ Z

Sqrt(2)cosx – 1 = 0

Cosx = 1/sqrt (2)

Cosx = kvadratas (2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Išspręskime tašką b.

1) Šaknų parinkimas naudojant nelygybes

Čia viskas daroma paprastai, gautas šaknis pakeičiame į mums duotą intervalą [-7Pi/2; -2Pi], raskite sveikųjų skaičių n.

7Pi/2 mažesnis arba lygus Pi/2 + Pin mažesnis arba lygus -2Pi

Iš karto viską padaliname iš Pi

7/2 mažesnis arba lygus 1/2 + n mažesnis arba lygus -2

7/2 - 1/2 mažesnis arba lygus n mažesnis arba lygus -2 - 1/2

4 mažesnis arba lygus n mažesnis arba lygus -5/2

Sveikasis skaičius n šiame intervale yra -4 ir -3. Tai reiškia, kad šiam intervalui priklausančios šaknys bus Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Panašiai darome dar dvi nelygybes

7Pi/2 mažesnis arba lygus Pi/4 + 2Pin mažesnis arba lygus -2Pi
-15/8 mažesnis arba lygus n mažesnis arba lygus -9/8

Šiame intervale nėra sveikųjų n

7Pi/2 mažesnis arba lygus -Pi/4 + 2Pin mažesnis arba lygus -2Pi
-13/8 mažesnis arba lygus n mažesnis arba lygus -7/8

Vienas sveikasis skaičius n šiame intervale yra -1. Tai reiškia, kad pasirinkta šaknis šiame intervale yra -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Taigi atsakymas b punkte: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Šaknų parinkimas naudojant trigonometrinį apskritimą

Norėdami naudoti šį metodą, turite suprasti, kaip veikia šis ratas. Pabandysiu paprasta kalba paaiškinti, kaip aš tai suprantu. Manau, kad mokyklose per algebros pamokas ši tema daug kartų buvo aiškinama protingais mokytojo žodžiais, vadovėliuose buvo sudėtingų formuluočių. Asmeniškai aš tai suprantu kaip apskritimą, kurį galima apeiti be galo daug kartų, tai paaiškinama tuo, kad sinuso ir kosinuso funkcijos yra periodinės.

Apeikime prieš laikrodžio rodyklę

Apeikime 2 kartus prieš laikrodžio rodyklę

Apeikime 1 kartą pagal laikrodžio rodyklę (reikšmės bus neigiamos)

Grįžkime prie mūsų klausimo, reikia pasirinkti šaknis intervale [-7Pi/2; -2Pi]

Norint pasiekti skaičius -7Pi/2 ir -2Pi, reikia du kartus apvažiuoti ratą prieš laikrodžio rodyklę. Norėdami rasti šio intervalo lygties šaknis, turite įvertinti ir pakeisti.

Apsvarstykite x = Pi/2 + Pin. Kas apytiksliai turėtų būti n, kad x būtų kažkur šiame diapazone? Pakeičiame, tarkime -2, gauname Pi/2 - 2Pi = -3Pi/2, akivaizdu, kad tai neįtraukta į mūsų intervalą, todėl imame mažiau nei -3, Pi/2 - 3Pi = -5Pi/2, tai tinka, pabandykime dar kartą -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, taip pat tinka.

Panašiai samprotaujant Pi/4 + 2Pin ir -Pi/4 + 2Pin, randame kitą šaknį -9Pi/4.

Dviejų metodų palyginimas.

Pirmasis metodas (naudojant nelygybes) yra daug patikimesnis ir daug lengviau suprantamas, tačiau jei tikrai rimtai įsigilinsite į trigonometrinį apskritimą ir antrąjį atrankos metodą, tada šaknų pasirinkimas bus daug greitesnis, galite sutaupyti apie 15 minučių egzamino metu. .

A) Išspręskite lygtį 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Sprendimas

A) Atidarę skliaustus ir perkeldami visus terminus į kairę pusę, gauname lygtį 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Atsižvelgiant į tai, kad \cos x \neq 0, terminą 2 \sin x galima pakeisti 2 tan x \cos x, gauname lygtį 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, kurią sugrupuojant galima redukuoti iki formos (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, įdegis x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

b) Naudodami skaičių apskritimą, pasirinkite šaknis, priklausančias intervalui \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Atsakymas

A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Būklė

A) Išspręskite lygtį (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

b) Nurodykite intervalui priklausančias šios lygties šaknis \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Sprendimas

A) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

Pradinė ODZ lygtis yra lygiavertė lygčių rinkiniui

\left[\!\!\begin(masyvas)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(masyvas)\dešinė.

Išspręskime pirmąją lygtį. Norėdami tai padaryti, mes pakeisime \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Tada \sin^24x=1-t^2. Mes gauname:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Išspręskime antrąją lygtį.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Naudodami vieneto apskritimą randame sprendimus, atitinkančius ODZ.

„+“ ženklas žymi 1 ir 3 ketvirčius, kuriuose tg x>0.

Gauname: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) Raskime intervalui priklausančias šaknis \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Atsakymas

A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

A) Išspręskite lygtį: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

b) Išvardykite visas šaknis, priklausančias intervalui \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Sprendimas

A) Nes \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Tai \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Tai reiškia, kad pateikta lygtis yra lygiavertė lygčiai \cos^2x=\cos ^22x, kuri, savo ruožtu, yra lygi lygčiai \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Bet \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) Ir

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, taigi lygtis tampa

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Tada arba 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, arba 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Išspręsdami pirmąją lygtį kaip kvadratinę \cos x lygtį, gauname:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Todėl arba \cos x=1 arba \cos x=-\frac12. Jei \cos x=1, tai x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Jei \cos x=-\frac12, Tai x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Panašiai, išspręsdami antrąją lygtį, gauname arba \cos x=-1 arba \cos x=\frac12. Jei \cos x=-1, tada šaknys x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Jeigu \cos x=\frac12, Tai x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Sujungkime gautus sprendimus:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

b) Naudodami skaičių apskritimą parinkkime šaknis, kurios patenka į tam tikrą intervalą.

Mes gauname: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Atsakymas

A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

A) Išspręskite lygtį 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Nurodykite intervalui priklausančias šios lygties šaknis \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Sprendimas

A) 1. Pagal redukcijos formulę, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Lygties apibrėžimo sritis bus tokios x reikšmės, kad \cos x \neq 0 ir tan x \neq -1. Transformuokime lygtį naudodami dvigubo kampo kosinuso formulę 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Gauname lygtį: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

pastebėti, kad \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), taigi lygtis tampa tokia: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Iš čia \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Transformuokite \sin x+\cos x naudodami redukcijos formulę ir kosinusų sumos formulę: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Iš čia \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Reiškia, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

arba x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Štai kodėl x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

arba x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Rastos x reikšmės priklauso apibrėžimo sričiai.

b) Pirmiausia išsiaiškinkime, kur lygties šaknys patenka į k=0 ir t=0. Tai bus atitinkamai skaičiai a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 Ir b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Įrodykime pagalbinę nelygybę:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

tikrai, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Taip pat atkreipkite dėmesį į tai \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Reiškia \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Iš nelygybių (1) Pagal arckozino savybę gauname:

arckos 1

0

Iš čia \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

Taip pat, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

Esant k=-1 ir t=-1 gauname lygties a-2\pi ir b-2\pi šaknis.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Kuriame -2\pi

2\pi Tai reiškia, kad šios šaknys priklauso tam tikram intervalui \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Kitoms k ir t reikšmėms lygties šaknys nepriklauso nurodytam intervalui.

Iš tiesų, jei k\geqslant 1 ir t\geqslant 1, tada šaknys yra didesnės nei 2\pi. Jei k\leqslant -2 ir t\leqslant -2, tada šaknys yra mažesnės -\frac(7\pi )2.

Atsakymas

A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

A) Išspręskite lygtį \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui ;

Sprendimas

A) Transformuokime lygtį:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Atkarpai priklausančias šaknis randame naudodami vienetinį apskritimą.

Nurodytame intervale yra vienas skaičius \frac\pi 2.

Atsakymas

A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Reiškia, \sin x \neq 1.

Padalinkite abi lygties puses iš koeficiento (\sin x-1), skiriasi nuo nulio. Gauname lygtį \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), arba lygtis 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Taikydami redukcijos formulę kairėje pusėje ir redukcijos formulę dešinėje, gauname lygtį 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Ši lygtis yra pakeičiama \cos x=t, Kur -1 \leqslant t \leqslant 1 sumažinti į kvadratą: 2t^2+t-1=0, kurių šaknys t_1=-1 Ir t_2=\frac12. Grįžę prie kintamojo x gauname \cos x = \frac12 arba \cos x=-1, kur x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Išspręskime nelygybes

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Diapazone nėra sveikųjų skaičių \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Šią nelygybę tenkina k=-1, tada x=-\pi.

Atsakymas

A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

a) Išspręskite lygtį: .

b) Raskite visas atkarpai priklausančias šios lygties šaknis.

Problemos sprendimas

Šioje pamokoje aptariamas trigonometrinės lygties sprendimo pavyzdys, kuris gali būti naudojamas kaip pavyzdys sprendžiant C1 tipo uždavinius ruošiantis vieningam valstybiniam matematikos egzaminui.

Visų pirma, nustatoma funkcijos apimtis - visos galiojančios argumento reikšmės. Tada sprendimo metu trigonometrinė sinuso funkcija paverčiama kosinusu, naudojant redukcijos formulę. Tada visi lygties nariai perkeliami į kairę pusę, kur bendras koeficientas išimamas iš skliaustų. Kiekvienas veiksnys yra lygus nuliui, o tai leidžia mums nustatyti lygties šaknis. Tada, naudojant posūkių metodą, nustatomos šaknys, priklausančios tam tikram segmentui. Norėdami tai padaryti, ant sukonstruoto vieneto apskritimo pažymimas posūkis nuo nurodytos atkarpos kairiosios ribos į dešinę. Toliau vienetiniame apskritime rastos šaknys atkarpomis sujungiamos su jo centru ir nustatomi taškai, kuriuose šios atkarpos kerta posūkį. Šie susikirtimo taškai yra norimas atsakymas į antrąją problemos dalį.