Kaip rasti mažiausią bendrą dviejų skaičių kartotinį. Skaičių nod ir nok – didžiausias kelių skaičių bendras daliklis ir mažiausias bendras kartotinis

Kartinys yra skaičius, kuris dalijasi iš nurodyto skaičiaus be liekanos. Mažiausias skaičių grupės kartotinis (LCM) yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaičiaus grupėje nepaliekant likučio. Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turite rasti pirminius duotųjų skaičių veiksnius. LCM taip pat gali būti apskaičiuojamas naudojant daugybę kitų metodų, taikomų dviejų ar daugiau skaičių grupėms.

Žingsniai

Daugialypių serija

Pažiūrėkite į šiuos skaičius.Čia aprašytą metodą geriausia naudoti, kai pateikiami du skaičiai, kurių kiekvienas yra mažesnis nei 10. Jei pateikiami didesni skaičiai, naudokite kitą metodą.

Pavyzdžiui, raskite mažiausią bendrą 5 ir 8 kartotinį. Tai maži skaičiai, todėl galite naudoti šį metodą.

Kartinys yra skaičius, kuris dalijasi iš nurodyto skaičiaus be liekanos. Daugybos lentelę galima rasti kartotinius.
- Pavyzdžiui, skaičiai, kurie yra 5 kartotiniai, yra: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Užrašykite skaičių seriją, kuri yra pirmojo skaičiaus kartotiniai. Atlikite tai naudodami pirmojo skaičiaus kartotinius, kad palygintumėte du skaičių rinkinius.
- Pavyzdžiui, skaičiai, kurie yra 8 kartotiniai, yra: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ir 64.
Raskite mažiausią skaičių, esantį abiejose kartotinių rinkiniuose. Gali tekti parašyti ilgas kartotinių serijas, kad rastumėte bendrą skaičių. Mažiausias skaičius, esantis abiejose kartotinių rinkiniuose, yra mažiausias bendras kartotinis.
- Pavyzdžiui, mažiausias skaičius, atsirandantis 5 ir 8 kartotinių serijoje, yra skaičius 40. Todėl 40 yra mažiausias bendras 5 ir 8 kartotinis.
Pirminis faktorizavimas
1. Pažiūrėkite į šiuos skaičius.Čia aprašytą metodą geriausia naudoti, kai pateikiami du skaičiai, kurių kiekvienas yra didesnis nei 10. Jei pateikiami mažesni skaičiai, naudokite kitą metodą.
  - Pavyzdžiui, raskite mažiausią skaičių 20 ir 84 bendrąjį kartotinį. Kiekvienas skaičius yra didesnis nei 10, todėl galite naudoti šį metodą.
2. Padalinkite pirmąjį skaičių į pirminius veiksnius. Tai yra, reikia rasti tokius pirminius skaičius, kuriuos padauginus būtų gautas tam tikras skaičius. Suradę pirminius veiksnius, parašykite juos kaip lygybes.
  - Pavyzdžiui, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ir 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) ) = 10). Taigi, pirminiai skaičiaus 20 veiksniai yra skaičiai 2, 2 ir 5. Užrašykite juos kaip išraišką: .
3. Padalinkite antrąjį skaičių į pirminius veiksnius. Atlikite tai taip pat, kaip suskaičiavote pirmąjį skaičių, ty raskite pirminius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nurodytas skaičius.
  - Pavyzdžiui, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6 = 42) Ir 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Taigi, pirminiai skaičiaus 84 veiksniai yra skaičiai 2, 7, 3 ir 2. Užrašykite juos kaip išraišką: .
4. Užrašykite abiem skaičiams bendrus veiksnius. Parašykite tokius veiksnius kaip daugybos operaciją. Rašydami kiekvieną veiksnį, perbraukite jį abiejose išraiškose (išraiškose, apibūdinančiose skaičių pavertimą į pirminius veiksnius).
  - Pavyzdžiui, abu skaičiai turi bendrą koeficientą 2, todėl parašykite 2 × (\displaystyle 2\times ) ir abiejose išraiškose išbraukite 2.
  - Abu skaičiai turi dar vieną koeficientą 2, todėl parašykite 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) ir abiejose išraiškose išbraukite antrąjį 2.
5. Pridėkite likusius veiksnius prie daugybos operacijos. Tai yra veiksniai, kurie nėra perbraukti abiejose išraiškose, tai yra veiksniai, kurie nėra bendri abiem skaičiams.
  - Pavyzdžiui, išraiškoje 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20 = 2\ kartus 2\ kartus 5) Abu du (2) yra perbraukti, nes jie yra bendri veiksniai. Koeficientas 5 nėra perbrauktas, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
  - Išraiškoje 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kartai 7\kartai 3\kartai 2) abu du (2) taip pat perbraukti. 7 ir 3 koeficientai nėra perbraukti, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\kartai 2\kartai 5\kartai 7\kartai 3).
6. Apskaičiuokite mažiausią bendrąjį kartotinį. Norėdami tai padaryti, padauginkite skaičius parašytoje daugybos operacijoje.
  - Pavyzdžiui, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\kartai 2\kartai 5\kartai 7\kartai 3=420). Taigi mažiausias bendras 20 ir 84 kartotinis yra 420.
Bendrų veiksnių paieška
1. Nubraižykite tinklelį, kaip žaidžiant „Tic-Tac-Toe“. Toks tinklelis susideda iš dviejų lygiagrečių tiesių, kurios susikerta (stačiu kampu) su kitomis dviem lygiagrečiomis linijomis. Taip gausite tris eilutes ir tris stulpelius (tinklelis labai panašus į # piktogramą). Pirmoje eilutėje ir antrame stulpelyje parašykite pirmąjį skaičių. Pirmoje eilutėje ir trečiame stulpelyje parašykite antrąjį skaičių.
  - Pavyzdžiui, suraskite skaičių 18 ir 30 mažiausią bendrą kartotinį. Pirmoje eilutėje ir antrame stulpelyje parašykite skaičių 18, o pirmoje ir trečioje stulpelyje – skaičių 30.
2. Raskite abiem skaičiams bendrą daliklį. Užrašykite jį pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Geriau ieškoti pagrindinių veiksnių, tačiau tai nėra būtina.
  - Pavyzdžiui, 18 ir 30 yra lyginiai skaičiai, todėl jų bendras koeficientas yra 2. Taigi pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje parašykite 2.
3. Padalinkite kiekvieną skaičių iš pirmojo daliklio. Užrašykite kiekvieną koeficientą po atitinkamu skaičiumi. Dalinys yra dviejų skaičių padalijimo rezultatas.
  - Pavyzdžiui, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2 = 9), todėl rašykite 9 iki 18.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2 = 15), todėl parašykite 15 iki 30.
4. Raskite daliklį, bendrą abiems koeficientams. Jei tokio daliklio nėra, praleiskite kitus du veiksmus. Kitu atveju parašykite daliklį antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje.
  - Pavyzdžiui, 9 ir 15 dalijasi iš 3, todėl antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje parašykite 3.
5. Padalinkite kiekvieną koeficientą iš antrojo daliklio. Kiekvieno padalijimo rezultatą parašykite po atitinkamu koeficientu.
  - Pavyzdžiui, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3 = 3), todėl parašykite 3 po 9.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3 = 5), todėl rašykite 5 iki 15.
6. Jei reikia, į tinklelį pridėkite papildomų langelių. Kartokite aprašytus veiksmus, kol koeficientai turės bendrą daliklį.
7. Apibraukite skaičius pirmame stulpelyje ir paskutinėje tinklelio eilutėje. Tada parašykite pasirinktus skaičius kaip daugybos operaciją.
  - Pavyzdžiui, skaičiai 2 ir 3 yra pirmame stulpelyje, o skaičiai 3 ir 5 yra paskutinėje eilutėje, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\kartai 3\kartai 3\kartai 5).
8. Raskite skaičių padauginimo rezultatą. Taip bus apskaičiuotas mažiausias bendrasis dviejų nurodytų skaičių kartotinis.
  - Pavyzdžiui, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystilius 2\kartai 3\kartai 3\kartai 5=90). Taigi mažiausias bendras 18 ir 30 kartotinis yra 90.
Euklido algoritmas
1. Prisiminkite terminiją, susijusią su padalijimo operacija. Dividendas yra dalijamas skaičius. Daliklis yra skaičius, iš kurio dalijamas. Dalinys yra dviejų skaičių padalijimo rezultatas. Likutis yra skaičius, likęs padalijus du skaičius.
  - Pavyzdžiui, išraiškoje 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6 = 2) ost. 3:
    15 yra dividendas
    6 yra daliklis
    2 yra koeficientas
    3 yra likusi dalis.

Apibrėžimas. Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijami be liekanos didžiausias bendras daliklis (GCD)šiuos skaičius.

Raskime didžiausią skaičių 24 ir 35 bendrąjį daliklį.
24 dalikliai yra skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai iš 35 yra skaičiai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skaičiai 24 ir 35 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami abipusiai pirminis.

Apibrėžimas. Natūralūs skaičiai vadinami abipusiai pirminis, jei jų didžiausias bendras daliklis (GCD) yra 1.

Didžiausias bendras daliklis (GCD) galima rasti neišrašant visų pateiktų skaičių daliklių.

Suskaičiuokime skaičius 48 ir 36 ir gaukime:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iš veiksnių, įtrauktų į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, išbraukiame tuos, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą (t. y. du du).
Likę veiksniai yra 2 * 2 * 3. Jų sandauga lygi 12. Šis skaičius yra didžiausias skaičių 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas didžiausias trijų ar daugiau skaičių bendras daliklis.

Rasti didžiausias bendras daliklis

2) iš veiksnių, įtrauktų į vieno iš šių skaičių išplėtimą, išbraukti tuos, kurie neįtraukti į kitų skaičių išplėtimą;
3) rasti likusių veiksnių sandaugą.

Jei visi pateikti skaičiai dalijasi iš vieno iš jų, tai šis skaičius yra didžiausias bendras daliklis duotus skaičius.
Pavyzdžiui, didžiausias bendras skaičių 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra skaičius 15, nes visi kiti skaičiai dalijasi iš jo: 45, 75 ir 180.

Mažiausias kartotinis (LCM)

Apibrėžimas. Mažiausias kartotinis (LCM) Natūralūs skaičiai a ir b yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra a ir b kartotinis. Mažiausią skaičių 75 ir 60 kartotinį (LCM) galima rasti neužrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, padauginkime 75 ir 60 į pirminius koeficientus: 75 = 3 * 5 * 5 ir 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Užrašykime veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridėkime prie jų trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš antrojo skaičiaus išplėtimo (t. y. veiksnius sujungiame).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kurių sandauga yra 300. Šis skaičius yra mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis.

Jie taip pat randa mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį.

Į rasti mažiausią bendrą kartotinį kelių natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1) sudėti juos į pirminius veiksnius;
2) surašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
3) pridėti prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimų;
4) rasti gautų veiksnių sandaugą.

Atkreipkite dėmesį, kad jei vienas iš šių skaičių dalijasi iš visų kitų skaičių, tai šis skaičius yra mažiausias bendras šių skaičių kartotinis.
Pavyzdžiui, mažiausias bendras skaičių 12, 15, 20 ir 60 kartotinis yra 60, nes jis dalijasi iš visų tų skaičių.

Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrinėjo skaičių dalijimosi klausimą. Jie pavadino skaičių, lygų visų jo daliklių sumai (be paties skaičiaus), tobulu skaičiumi. Pavyzdžiui, skaičiai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skaičiai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagoriečiai žinojo tik pirmuosius tris tobulus skaičius. Ketvirtasis – 8128 – tapo žinomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo žinomi 27 tobuli skaičiai. Tačiau mokslininkai vis dar nežino, ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar yra didžiausias tobulas skaičius.
Senovės matematikai susidomėjo pirminiais skaičiais dėl to, kad bet kuris skaičius yra pirminis arba gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga, t.
Tikriausiai pastebėjote, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai – vienose eilučių dalyse jų daugiau, kitose – mažiau. Tačiau kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai yra mažiau paplitę. Kyla klausimas: ar yra paskutinis (didžiausias) pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Elementai“, kuri buvo pagrindinis matematikos vadovėlis du tūkstančius metų, įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug, t. y. už kiekvieno pirminio skaičiaus slypi dar didesnis pirminis skaičius. numerį.
Norėdamas rasti pirminius skaičius, šį metodą sugalvojo kitas to paties laiko graikų matematikas Eratostenas. Jis surašė visus skaičius nuo 1 iki tam tikro skaičiaus, tada nubraukė vieną, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius, tada per vieną perbraukė visus skaičius, einančius po 2 (skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, t. y. 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis likęs skaičius po 2 buvo 3. Tada po dviejų visi skaičiai, esantys po 3 (skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir t. t.), buvo perbraukti. pabaigoje liko nesukirsti tik pirminiai skaičiai.

Natūraliųjų skaičių mažiausio bendro kartotinio (LCD) ir didžiausio bendrojo daliklio (GCD) radimas.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Išrašykime veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridėkime prie jų trūkstamą koeficientą 5 iš antrojo skaičiaus išplėtimo. Gauname: 2*2*3*5*5=300. Radome NOC, t.y. ši suma = 300. Nepamirškite matmens ir parašykite atsakymą:
Atsakymas: Mama duoda 300 rublių.

GCD apibrėžimas: Didžiausias bendras daliklis (GCD) natūraliuosius skaičius A Ir V skambinkite didžiausiu natūraliuoju skaičiumi c, prie kurio a, Ir b padalintas be liekanos. Tie. c yra mažiausias natūralusis skaičius, kuriam ir A Ir b yra daugkartiniai.

Atmintinė: Yra du natūraliųjų skaičių apibrėžimo būdai

numeriai, naudojami: objektų sąraše (numeravime) (pirmas, antras, trečias, ...); - mokyklose dažniausiai taip būna.
elementų skaičiaus žymėjimas (nėra pokemonų - nulis, vienas pokemonas, du pokemonai, ...).

Neigiami ir nesveikieji (racionalieji, realieji, ...) skaičiai nėra natūralūs skaičiai. Vieni autoriai į natūraliųjų skaičių aibę įtraukia nulį, kiti – ne. Visų natūraliųjų skaičių aibė paprastai žymima simboliu N

Atmintinė: Natūralaus skaičiaus daliklis a pavadink numerį b, prie kurio a padalintas be liekanos. Natūralaus skaičiaus kartotiniai b skambinti natūraliu numeriu a, kuris dalijasi iš b be pėdsakų. Jei numeris b- skaičių daliklis a, Tai a skaičiaus kartotinis b. Pavyzdys: 2 yra 4 daliklis, o 4 yra dviejų kartotinis. 3 yra 12 daliklis, o 12 yra 3 kartotinis.
Atmintinė: Natūralūs skaičiai vadinami pirminiais, jei jie be liekanos dalijasi tik iš savęs ir 1. Bendrapirminiais skaičiais vadinami tie, kurie turi tik vieną bendrą daliklį, lygų 1.

Apibrėžimas, kaip rasti GCD bendruoju atveju: Norėdami rasti GCD (didžiausias bendras daliklis) reikia kelių natūraliųjų skaičių:
1) Padalinkite juos į pirminius veiksnius. (Pirminių skaičių lentelė tam gali būti labai naudinga.)
2) Užrašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš jų išplėtimą.
3) Išbraukite tuos, kurie neįtraukti į likusių skaičių išplėtimą.
4) Padauginkite koeficientus, gautus 3 veiksme).

2 problema (NOK): Naujiesiems metams Kolia Puzatovas mieste nupirko 48 žiurkėnus ir 36 kavos puodus. Feklai Dormidontovai, kaip sąžiningiausiai klasės mergaitei, buvo pavesta šį turtą padalyti į kuo didesnį dovanų rinkinių mokytojams skaičių. Kiek rinkinių gavai? Koks rinkinių turinys?

2.1 pavyzdys. sprendžiant GCD radimo problemą. GCD paieška pasirinkus.
Sprendimas: Kiekvienas skaičius 48 ir 36 turi dalytis iš dovanų skaičiaus.
1) Užrašykite daliklius 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Užrašome daliklius iš 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Pasirinkite didžiausią bendrą daliklį. Oho-la-la! Mes nustatėme, kad rinkinių skaičius yra 12 vnt.
3) Padalinkite 48 iš 12, kad gautumėte 4, 36 padalinkite iš 12, kad gautumėte 3. Nepamirškite matmens ir parašykite atsakymą:
Atsakymas: Jūs gausite 12 rinkinių po 4 žiurkėnus ir 3 kavos puodus kiekviename rinkinyje.

Didžiausias bendras daliklis

2 apibrėžimas

Jei natūralusis skaičius a dalijasi iš natūraliojo skaičiaus $b$, tai $b$ vadinamas $a$ dalikliu, o $a$ – $b$ kartotiniu.

Tegul $a$ ir $b$ yra natūralieji skaičiai. Skaičius $c$ vadinamas bendruoju ir $a$, ir $b$ dalikliu.

Skaičių $a$ ir $b$ bendrųjų daliklių aibė yra baigtinė, nes nė vienas iš šių daliklių negali būti didesnis už $a$. Tai reiškia, kad tarp šių daliklių yra didžiausias, vadinamas didžiausiu bendru skaičių $a$ ir $b$ dalikliu ir žymimas tokiais užrašais:

$GCD\(a;b)\ arba \D\(a;b)$

Norėdami rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, jums reikia:

Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

1 pavyzdys

Raskite skaičių $121$ ir $132.$ gcd

242 USD=2\cdot 11\cdot 11$

132 USD=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pasirinkite skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių išplėtimą

242 USD=2\cdot 11\cdot 11$

132 USD=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

$GCD=2\cdot 11=22$

2 pavyzdys

Raskite monomijų gcd $ 63 $ ir $ 81 $.

Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai:

Suskaidykime skaičius į pirminius veiksnius

63 USD=3\cdot 3\cdot 7$

81 USD=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Mes pasirenkame skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių išplėtimą

63 USD=3\cdot 3\cdot 7$

81 USD=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Raskime 2 veiksme rastų skaičių sandaugą. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

$GCD=3\cdot 3=9$

Dviejų skaičių gcd galite rasti kitu būdu, naudodami skaičių daliklių rinkinį.

3 pavyzdys

Raskite skaičių $48$ ir $60$ gcd.

Sprendimas:

Raskime skaičiaus $48$ daliklių aibę: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Dabar suraskime skaičiaus $60$ daliklių rinkinį:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Raskime šių aibių sankirtą: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ – šis rinkinys nustatys skaičių $48$ ir $60 bendrųjų daliklių aibę $. Didžiausias šio rinkinio elementas bus skaičius $12$. Tai reiškia, kad didžiausias bendras skaičių $48$ ir $60$ daliklis yra $12$.

NPL apibrėžimas

3 apibrėžimas

Natūraliųjų skaičių bendrieji kartotiniai$a$ ir $b$ yra natūralusis skaičius, kuris yra $a$ ir $b$ kartotinis.

Bendrieji skaičių kartotiniai yra skaičiai, kurie dalijasi iš pradinių skaičių be liekanos. Pavyzdžiui, skaičių $25$ ir $50$ bendrieji kartotiniai bus skaičiai $50,100,150,200$ ir t. t.

Mažiausias bendras kartotinis bus vadinamas mažiausiu bendruoju kartotiniu ir bus žymimas LCM$(a;b)$ arba K$(a;b).$

Norėdami rasti dviejų skaičių LCM, turite:

Veiksnių skaičiai į pirminius veiksnius
Užrašykite veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus dalis, ir pridėkite prie jų veiksnius, kurie yra antrojo skaičiaus dalis ir nėra pirmojo skaičiaus dalis.

4 pavyzdys

Raskite skaičių $99 ir $77 LCM.

Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai

Veiksnių skaičiai į pirminius veiksnius

99 USD=3\cdot 3\cdot 11$

Užrašykite veiksnius, įtrauktus į pirmąjį

pridėkite prie jų daugiklius, kurie yra antrojo, o ne pirmojo dalis

Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas mažiausias bendras kartotinis

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Skaičių daliklių sąrašų sudarymas dažnai yra labai daug darbo reikalaujanti užduotis. Yra būdas rasti GCD, vadinamas Euklido algoritmu.

Teiginiai, kuriais grindžiamas Euklido algoritmas:

Jei $a$ ir $b$ yra natūralūs skaičiai, o $a\vdots b$, tai $D(a;b)=b$

Jei $a$ ir $b$ yra natūralūs skaičiai, tokie, kad $b

Naudodami $D(a;b)= D(a-b;b)$, galime nuosekliai mažinti nagrinėjamus skaičius, kol pasieksime skaičių porą, kad vienas iš jų dalytųsi iš kito. Tada mažesnis iš šių skaičių bus pageidaujamas didžiausias skaičių $a$ ir $b$ bendras daliklis.

GCD ir LCM savybės

Bet kuris bendras $a$ ir $b$ kartotinis dalijasi iš K$(a;b)$
Jei $a\vdots b$ , tai К$(a;b)=a$

Jei K$(a;b)=k$ ir $m$ yra natūralusis skaičius, tai K$(am;bm)=km$

Jei $d$ yra bendras $a$ ir $b$ daliklis, tai K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jei $a\vdots c$ ir $b\vdots c$ , tai $\frac(ab)(c)$ yra bendras $a$ ir $b$ kartotinis

Bet kokiems natūraliems skaičiams $a$ ir $b$ galioja lygybė

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Bet koks bendras skaičių $a$ ir $b$ daliklis yra skaičiaus $D(a;b)$ daliklis

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi ir iš kitų natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui:

Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;

Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi iš visumos (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a- yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du daliklius sudėtinis .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrų faktorių. Šie skaičiai yra: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a Ir b- tai yra skaičius, iš kurio abu pateikti skaičiai dalijami be liekanos a Ir b.

Bendrieji kartotiniai keli skaičiai yra skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 9, 18 ir 45 turi bendrą 180 kartotinį. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų bendrų kartotinių visada yra mažiausias, šiuo atveju jis yra 90. Šis skaičius vadinamas mažiausiasbendrasis kartotinis (CMM).

LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.

Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.

Komutatyvumas:

Asociatyvumas:

Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai, tada:

Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m Ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m Ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m, n sutampa su LCM( m, n).

Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.

Taigi, Čebyševo funkcija. Ir:

Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).

Kas išplaukia iš pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnio.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.

NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:

1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:

2. Tebūnie žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:

Kur p 1 ,...,p k- įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1 ,...,d k Ir e 1 ,...,e k— neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti nuliai, jei plėtinyje nėra atitinkamo pirminio).

Tada NOC ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:

Kitaip tariant, LCM išskaidymas apima visus pirminius veiksnius, įtrauktus į bent vieną skaičių skaidymą a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio daugiklio eksponentų.

Pavyzdys:

Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:

Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:

- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;

- didžiausią dekompoziciją (didžiausio duotųjų skaičiaus faktorių sandaugą) perkelkite į norimos sandaugos veiksnius, o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurių nėra pirmame skaičiuje arba jame nėra, skilimo. mažiau kartų;

— gauta pirminių koeficientų sandauga bus duotųjų skaičių LCM.

Bet kurie du ar daugiau natūraliųjų skaičių turi savo LCM. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.

Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) papildomi koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28.

Didžiausio skaičiaus 30 pirminiai koeficientai papildomi skaičiaus 25 koeficientu 5, gauta sandauga 150 yra didesnė už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų pateiktų skaičių be liekanos. Tai mažiausias įmanomas produktas (150, 250, 300...), kuris yra visų pateiktų skaičių kartotinis.