Trikampio plotas - formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai

Žemiau yra savavališko trikampio ploto nustatymo formulės kurie tinka bet kokio trikampio plotui rasti, nepaisant jo savybių, kampų ar dydžių. Formulės pateikiamos paveikslėlio pavidalu su jų taikymo paaiškinimais arba teisingumo pagrindimu. Taip pat atskirame paveikslėlyje parodytas raidžių simbolių formulėse ir grafinių simbolių brėžinyje atitikimas.

Pastaba . Jei trikampis turi specialių savybių (lygiašonis, stačiakampis, lygiakraštis), galite naudoti toliau pateiktas formules, taip pat papildomas specialias formules, kurios galioja tik trikampiams, turintiems šias savybes:

"Liaukiašo trikampio ploto formulė"

Trikampio ploto formules

Formulių paaiškinimai:
a, b, c- trikampio, kurio plotą norime rasti, kraštinių ilgiai
r- į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys
R- aplink trikampį apibrėžto apskritimo spindulys
h- trikampio aukštis nuleistas į šoną
p- trikampio pusiau perimetras, 1/2 jo kraštinių sumos (perimetras)
α - kampas, priešingas trikampio kraštinei a
β - kampas, priešingas trikampio kraštinei b
γ - kampas, priešingas trikampio kraštinei c
h a, h b , h c- trikampio aukštis nuleistas į a, b, c puses

Atkreipkite dėmesį, kad pateiktos žymos atitinka aukščiau pateiktą paveikslą, todėl sprendžiant realią geometrijos problemą jums bus vizualiai lengviau pakeisti teisingas reikšmes tinkamose formulės vietose.

Trikampio plotas yra pusės trikampio aukščio ir kraštinės, kuria šis aukštis nuleistas, ilgio sandaugos(Formulė 1). Šios formulės teisingumą galima suprasti logiškai. Nuleistas iki pagrindo aukštis savavališką trikampį padalins į du stačiakampius. Jei kiekvieną iš jų pastatysite į stačiakampį, kurio matmenys b ir h, tada akivaizdu, kad šių trikampių plotas bus lygus tiksliai pusei stačiakampio ploto (Spr = bh)
Trikampio plotas yra pusė jo abiejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos(2 formulė) (žr. problemos sprendimo pavyzdį naudojant šią formulę žemiau). Nepaisant to, kad atrodo, kad jis skiriasi nuo ankstesnio, jį galima lengvai paversti juo. Jei aukštį nuo kampo B sumažintume į kraštinę b, tai išeitų, kad kraštinės a ir kampo γ sinuso sandauga pagal sinuso savybes stačiakampiame trikampyje yra lygi trikampio aukščiui, kurį nubrėžėme. , kuri suteikia mums ankstesnę formulę
Galima rasti savavališko trikampio plotą per dirbti pusė apskritimo spindulio, įrašyto į jį visų jo kraštinių ilgių suma(3 formulė), paprasčiausiai tariant, reikia padauginti trikampio pusiau perimetrą iš įrašyto apskritimo spindulio (tai lengviau atsiminti)
Savavališko trikampio plotą galima rasti padalijus visų jo kraštinių sandaugą iš 4 aplink jį apibrėžto apskritimo spindulių (4 formulė)
5 formulė randa trikampio plotą per jo kraštinių ilgį ir pusperimetrą (pusė visų jo kraštinių sumos)
Garnio formulė(6) yra tos pačios formulės vaizdavimas nenaudojant pusperimetro sąvokos, tik per kraštinių ilgius
Savavališko trikampio plotas yra lygus trikampio kraštinės kvadrato ir kampų, esančių šalia šios kraštinės, sinusų sandaugai, padalytai iš kampo, priešingo šiai kraštinei, dvigubo sinuso (7 formulė)
Savavališko trikampio plotą galima rasti kaip dviejų apskritimo kvadratų, apribotų jį kiekvieno jo kampo sinusais, sandauga. (Formulė 8)
Jei žinomos vienos kraštinės ilgis ir dviejų gretimų kampų reikšmės, tada trikampio plotą galima rasti kaip šios kraštinės kvadratą, padalijus iš šių kampų dvigubos kotangentų sumos (9 formulė).
Jei žinomas tik kiekvieno trikampio aukščių ilgis (10 formulė), tada tokio trikampio plotas yra atvirkščiai proporcingas šių aukščių ilgiams, kaip pagal Herono formulę
11 formulė leidžia apskaičiuoti trikampio plotas, pagrįstas jo viršūnių koordinatėmis, kurios nurodytos kaip (x;y) reikšmės kiekvienai viršūnei. Atkreipkite dėmesį, kad gauta reikšmė turi būti paimta modulio, nes atskirų (ar net visų) viršūnių koordinatės gali būti neigiamų verčių srityje

Pastaba. Toliau pateikiami geometrijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, norint rasti trikampio plotą. Jei reikia išspręsti geometrijos uždavinį, kuris čia nėra panašus, parašykite apie tai forume. Sprendimuose vietoj simbolio „kvadratinė šaknis“ galima naudoti funkciją sqrt(), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radikali išraiška nurodoma skliausteliuose.Kartais paprastiems radikaliems posakiams galima naudoti simbolį √

Užduotis. Raskite plotą, nurodytą dviejose pusėse, ir kampą tarp jų

Trikampio kraštinės yra 5 ir 6 cm Kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Raskite trikampio plotą.

Sprendimas.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formulę numeris du iš teorinės pamokos dalies.
Trikampio plotą galima rasti per dviejų kraštinių ilgius ir kampo tarp jų sinusą ir bus lygus
S=1/2 ab sin γ

Kadangi turime visus sprendimui reikalingus duomenis (pagal formulę), formulėje galime pakeisti tik uždavinio sąlygų reikšmes:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje rasime ir į išraišką pakeisime sinuso reikšmę 60 laipsnių. Jis bus lygus trijų kartų du šaknims.
S = 15 √3 / 2

Atsakymas: 7,5 √3 (atsižvelgiant į mokytojo reikalavimus, tikriausiai galite palikti 15 √3/2)

Užduotis. Raskite lygiakraščio trikampio plotą

Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 3 cm, plotą.

Sprendimas.

Trikampio plotą galima rasti naudojant Herono formulę:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Kadangi a = b = c, lygiakraščio trikampio ploto formulė yra tokia:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Atsakymas: 9 √3 / 4.

Užduotis. Keičiant šonų ilgį, keičiamas plotas

Kiek kartų padidės trikampio plotas, jei kraštinės padidinamos 4 kartus?

Sprendimas.

Kadangi trikampio kraštinių matmenys mums nežinomi, norėdami išspręsti problemą, manysime, kad kraštinių ilgiai yra atitinkamai lygūs savavališkiems skaičiams a, b, c. Tada, norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, rasime nurodyto trikampio plotą, o tada – trikampio, kurio kraštinės keturis kartus didesnės, plotą. Šių trikampių plotų santykis suteiks mums atsakymą į problemą.

Žemiau pateikiame tekstinį problemos sprendimo paaiškinimą žingsnis po žingsnio. Tačiau pačioje pabaigoje tas pats sprendimas pateikiamas patogesne grafine forma. Norintieji gali iš karto pereiti prie sprendimų.

Norėdami išspręsti, naudojame Herono formulę (žr. aukščiau teorinėje pamokos dalyje). Tai atrodo taip:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. pirmąją paveikslėlio eilutę žemiau)

Savavališko trikampio kraštinių ilgiai nurodomi kintamaisiais a, b, c.
Jei kraštinės padidinamos 4 kartus, tada naujo trikampio c plotas bus:

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(žr. antrą eilutę paveikslėlyje žemiau)

Kaip matote, 4 yra bendras veiksnys, kurį galima ištraukti iš skliaustų iš visų keturių išraiškų pagal bendrąsias matematikos taisykles.
Tada

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - trečioje paveikslo eilutėje
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ketvirta eilutė

Skaičiaus 256 kvadratinė šaknis puikiai išgauta, todėl išimkime ją iš po šaknies
S 2 = 16 * 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kvadratiniai plotai ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. žemiau esančios nuotraukos penktąją eilutę)

Norėdami atsakyti į užduotą klausimą, tereikia padalyti gauto trikampio plotą iš pradinio ploto.
Plotų santykius nustatykime dalijant išraiškas vieną iš kitos ir sumažinant gautą trupmeną.

Ploto samprata

Bet kurios geometrinės figūros, ypač trikampio, ploto sąvoka bus susieta su tokia figūra kaip kvadratas. Bet kurios geometrinės figūros ploto vienetui imsime kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotą. Norėdami išsamumo, prisiminkime dvi pagrindines geometrinių figūrų plotų sąvokos savybes.

1 nuosavybė: Jei geometrinės figūros lygios, tai jų plotai taip pat lygūs.

2 nuosavybė: Bet kurią figūrą galima suskirstyti į kelias figūras. Be to, pradinės figūros plotas yra lygus visų ją sudarančių figūrų plotų sumai.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad viena iš trikampio kraštinių yra stačiakampio įstrižainė, kurios vienos kraštinės ilgis yra $5$ (kadangi yra $5$ langelių), o kitos - $6$ (kadangi yra $6$ langelių). Todėl šio trikampio plotas bus lygus pusei tokio stačiakampio. Stačiakampio plotas yra

Tada trikampio plotas lygus

Atsakymas: 15 USD.

Toliau apsvarstysime kelis trikampių plotų radimo būdus, būtent naudojant aukštį ir pagrindą, naudojant Herono formulę ir lygiakraščio trikampio plotą.

Kaip rasti trikampio plotą naudojant jo aukštį ir pagrindą

1 teorema

Trikampio plotą galima rasti kaip pusę kraštinės ilgio ir aukščio iki tos pusės sandaugos.

Matematiškai tai atrodo taip

$S=\frac(1)(2)αh$

kur $a$ yra kraštinės ilgis, $h$ yra jos aukštis.

Įrodymas.

Apsvarstykite trikampį $ABC$, kuriame $AC=α$. Į šią pusę nubrėžtas aukštis $BH$, kuris lygus $h$. Pastatykime jį iki kvadrato $AXYC$, kaip parodyta 2 paveiksle.

Stačiakampio $AXBH$ plotas yra $h\cdot AH$, o stačiakampio $HBYC$ plotas yra $h\cdot HC$. Tada

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Todėl reikalingas trikampio plotas pagal savybę 2 yra lygus

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema įrodyta.

2 pavyzdys

Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite trikampio plotą, jei langelio plotas lygus vienetui

Šio trikampio pagrindas lygus $9$ (nes $9$ yra $9$ kvadratai). Aukštis taip pat yra 9 USD. Tada pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Atsakymas: 40,5 USD.

Garnio formulė

2 teorema

Jei mums pateikiamos trys trikampio kraštinės $α$, $β$ ir $γ$, tai jo plotą galima rasti taip

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

čia $ρ$ reiškia šio trikampio pusperimetrą.

Įrodymas.

Apsvarstykite šį paveikslą:

Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio $ABH$ gauname

Iš trikampio $CBH$ pagal Pitagoro teoremą turime

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iš šių dviejų santykių gauname lygybę

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kadangi $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tada $α+β+γ=2ρ$, o tai reiškia

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Ploto samprata

1 nuosavybė: Jei geometrinės figūros lygios, tai jų plotai taip pat lygūs.

2 nuosavybė: Bet kurią figūrą galima suskirstyti į kelias figūras. Be to, pradinės figūros plotas yra lygus visų ją sudarančių figūrų plotų sumai.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys

Tada trikampio plotas lygus

Atsakymas: 15 USD.

Toliau apsvarstysime kelis trikampių plotų radimo būdus, būtent naudojant aukštį ir pagrindą, naudojant Herono formulę ir lygiakraščio trikampio plotą.

Kaip rasti trikampio plotą naudojant jo aukštį ir pagrindą

1 teorema

Trikampio plotą galima rasti kaip pusę kraštinės ilgio ir aukščio iki tos pusės sandaugos.

Matematiškai tai atrodo taip

$S=\frac(1)(2)αh$

kur $a$ yra kraštinės ilgis, $h$ yra jos aukštis.

Įrodymas.

Apsvarstykite trikampį $ABC$, kuriame $AC=α$. Į šią pusę nubrėžtas aukštis $BH$, kuris lygus $h$. Pastatykime jį iki kvadrato $AXYC$, kaip parodyta 2 paveiksle.

Stačiakampio $AXBH$ plotas yra $h\cdot AH$, o stačiakampio $HBYC$ plotas yra $h\cdot HC$. Tada

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Todėl reikalingas trikampio plotas pagal savybę 2 yra lygus

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema įrodyta.

2 pavyzdys

Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite trikampio plotą, jei langelio plotas lygus vienetui

Šio trikampio pagrindas lygus $9$ (nes $9$ yra $9$ kvadratai). Aukštis taip pat yra 9 USD. Tada pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Atsakymas: 40,5 USD.

Garnio formulė

2 teorema

Jei mums pateikiamos trys trikampio kraštinės $α$, $β$ ir $γ$, tai jo plotą galima rasti taip

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

čia $ρ$ reiškia šio trikampio pusperimetrą.

Įrodymas.

Apsvarstykite šį paveikslą:

Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio $ABH$ gauname

Iš trikampio $CBH$ pagal Pitagoro teoremą turime

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iš šių dviejų santykių gauname lygybę

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kadangi $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tada $α+β+γ=2ρ$, o tai reiškia

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Iš priešingos viršūnės) ir gautą sandaugą padalinkite iš dviejų. Tai atrodo taip:

S = ½ * a * h,

Kur:
S – trikampio plotas,
a yra jos kraštinės ilgis,
h yra aukštis, nuleistas į šią pusę.

Šonų ilgis ir aukštis turi būti pateikti tais pačiais matavimo vienetais. Tokiu atveju trikampio plotas bus gautas atitinkamais " " vienetais.

Pavyzdys.
Vienoje 20 cm ilgio skaleninio trikampio pusėje nuleidžiamas 10 cm ilgio statmenas iš priešingos viršūnės.
Reikalingas trikampio plotas.
Sprendimas.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jei žinomi bet kurių dviejų skalinio trikampio kraštinių ilgiai ir kampas tarp jų, naudokite formulę:

S = ½ * a * b * sinγ,

čia: a, b yra dviejų savavališkų kraštinių ilgiai, o γ yra kampas tarp jų.

Praktikoje, pavyzdžiui, matuojant žemės sklypus, aukščiau pateiktas formules naudoti kartais sunku, nes tam reikia papildomos konstrukcijos ir kampų matavimo.

Jei žinote visų trijų skalės trikampio kraštinių ilgius, naudokite Herono formulę:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – trikampio kraštinių ilgiai,
p – pusperimetras: p = (a+b+c)/2.

Jei, be visų kraštinių ilgių, žinomas ir į trikampį įrašyto apskritimo spindulys, naudokite šią kompaktinę formulę:

čia: r – įbrėžto apskritimo spindulys (р – pusperimetras).

Norėdami apskaičiuoti skalės trikampio plotą ir jo kraštinių ilgį, naudokite formulę:

čia: R – apibrėžtojo apskritimo spindulys.

Jei žinote vienos iš trikampio kraštinių ir trijų kampų ilgį (iš esmės pakanka dviejų - trečiojo vertė apskaičiuojama iš trijų trikampio kampų sumos lygybės - 180º), tada naudokite formulė:

S = (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

čia α yra kampo, priešingo kraštinei a, reikšmė;
β, γ – likusių dviejų trikampio kampų reikšmės.

Poreikis rasti įvairius elementus, įskaitant plotą trikampis, pasirodė daugelį amžių prieš Kristų tarp žinomų Senovės Graikijos astronomų. Kvadratas trikampis galima apskaičiuoti įvairiais būdais, naudojant skirtingas formules. Skaičiavimo metodas priklauso nuo to, kurie elementai trikampisžinomas.

Instrukcijos

Jei iš sąlygos žinome dviejų kraštinių b, c reikšmes ir jų suformuotą kampą?, tai plotas trikampis ABC randama pagal formulę:
S = (bcsin?)/2.

Jei iš sąlygos žinome dviejų kraštinių a, b reikšmes ir jų nesudarantį kampą?, tai plotas trikampis ABC randamas taip:
Rasti kampą?, nuodėmė? = bsin?/a, tada naudokite lentelę pačiam kampui nustatyti.
Rasti kampą?, ? = 180°-?-?.
Randame patį plotą S = (absin?)/2.

Jei iš sąlygos žinome tik trijų pusių reikšmes trikampis a, b ir c, tada plotas trikampis ABC randama pagal formulę:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , kur p yra pusiau perimetras p = (a+b+c)/2

Jei iš probleminių sąlygų žinome aukštį trikampis h ir pusė, į kurią nuleistas šis aukštis, tada sritis trikampis ABC pagal formulę:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Jei žinome pusių reikšmes trikampis a, b, c ir apie tai aprašytas spindulys trikampis R, tada ši sritis trikampis ABC nustatoma pagal formulę:
S = abc/4R.
Jei žinomos trys kraštinės a, b, c ir įbrėžto spindulys, tai plotas trikampis ABC randama pagal formulę:
S = pr, kur p yra pusiau perimetras, p = (a+b+c)/2.

Jei ABC yra lygiakraštis, plotas randamas pagal formulę:
S = (a^2v3)/4.
Jei trikampis ABC yra lygiašonis, tada plotas nustatomas pagal formulę:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kur c – trikampis.
Jei trikampis ABC yra stačiakampis, tada plotas nustatomas pagal formulę:
S = ab/2, kur a ir b yra kojos trikampis.
Jei trikampis ABC yra stačiašonis trikampis, tada plotas nustatomas pagal formulę:
S = c^2/4 = a^2/2, kur c yra hipotenuzė trikampis, a=b – koja.

Video tema

Šaltiniai:

kaip išmatuoti trikampio plotą

3 patarimas: kaip rasti trikampio plotą, jei kampas žinomas

Norint rasti plotą, nepakanka žinoti tik vieną parametrą (kampą). tre kvadratas . Jei yra kokių nors papildomų matmenų, norėdami nustatyti plotą, galite pasirinkti vieną iš formulių, kuriose kampo reikšmė taip pat naudojama kaip vienas iš žinomų kintamųjų. Toliau pateikiamos kelios dažniausiai naudojamos formulės.

Instrukcijos

Jei be kampo (γ) dydžio, kurį sudaro dvi pusės tre kvadratas , šių kraštinių (A ir B) ilgiai taip pat žinomi, tada kvadratas Figūros (S) gali būti apibrėžta kaip pusė šio žinomo kampo kraštinių ilgių ir sinuso sandaugos: S=½×A×B×sin(γ).

Kartais gyvenime pasitaiko situacijų, kai ieškant seniai pamirštų mokyklinių žinių tenka gilintis į savo atmintį. Pavyzdžiui, reikia nustatyti trikampio formos sklypo plotą arba atėjo laikas kitai renovacijai bute ar privačiame name ir reikia apskaičiuoti, kiek medžiagos reikės paviršiui su trikampio formos. Buvo laikas, kai tokią problemą galėjote išspręsti per porą minučių, bet dabar desperatiškai bandote prisiminti, kaip nustatyti trikampio plotą?

Nesijaudink dėl to! Juk visai normalu, kai žmogaus smegenys nusprendžia ilgai nenaudotas žinias perkelti kur nors į atokų kampelį, iš kurio kartais ne taip paprasta jas ištraukti. Kad jums nereikėtų ieškoti pamirštų mokyklinių žinių, kad išspręstumėte tokią problemą, šiame straipsnyje pateikiami įvairūs metodai, padedantys lengvai rasti reikiamą trikampio plotą.

Gerai žinoma, kad trikampis yra daugiakampio tipas, apribotas iki minimalaus galimo kraštinių skaičiaus. Iš esmės bet kurį daugiakampį galima padalyti į kelis trikampius, jo viršūnes sujungiant atkarpomis, kurios nesikerta jo kraštinių. Todėl, žinodami trikampį, galite apskaičiuoti beveik bet kurios figūros plotą.

Tarp visų galimų gyvenime pasitaikančių trikampių galima išskirti šiuos konkrečius tipus: ir stačiakampius.

Lengviausias būdas apskaičiuoti trikampio plotą yra tada, kai vienas iš jo kampų yra stačiakampis, tai yra, stačiakampio trikampio atveju. Nesunku pastebėti, kad tai pusė stačiakampio. Todėl jo plotas yra lygus pusei kraštinių, kurie sudaro stačiu kampu vienas su kitu, sandaugos.

Jei žinome trikampio, nuleisto nuo vienos jo viršūnės į priešingą kraštinę, aukštį ir šios kraštinės, vadinamos pagrindu, ilgį, tai plotas skaičiuojamas kaip pusė aukščio ir pagrindo sandaugos. Tai parašyta naudojant šią formulę:

S = 1/2*b*h, kuriame

S yra reikalingas trikampio plotas;

b, h - atitinkamai trikampio aukštis ir pagrindas.

Taip lengva apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą, nes aukštis bus padalintas į priešingą pusę ir gali būti lengvai išmatuotas. Jei plotas yra nustatytas, tada kaip aukštį patogu paimti vienos iš kraštinių, sudarančių stačią kampą, ilgį.

Visa tai, žinoma, gerai, bet kaip nustatyti, ar vienas iš trikampio kampų yra teisingas, ar ne? Jei mūsų figūros dydis mažas, tuomet galime naudoti konstrukcinį kampą, piešimo trikampį, atviruką ar kitą stačiakampio formos daiktą.

Bet ką daryti, jei turime trikampį žemės sklypą? Tokiu atveju elkitės taip: nuo tariamo stačiojo kampo viršaus vienoje pusėje suskaičiuokite atstumo kartotinį 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), o kitoje pusėje išmatuokite atstumo kartotinį iš 4 proporcija (40 cm, 160 cm, 4 m). Dabar reikia išmatuoti atstumą tarp šių dviejų segmentų galinių taškų. Jei rezultatas yra 5 kartotinis (50 cm, 250 cm, 5 m), tada galime sakyti, kad kampas yra teisingas.

Jei žinomas kiekvienos iš trijų mūsų figūros kraštinių ilgis, tada trikampio plotą galima nustatyti naudojant Herono formulę. Kad ji būtų paprastesnė, naudojama nauja reikšmė, kuri vadinama pusiau perimetru. Tai yra visų mūsų trikampio kraštinių suma, padalinta per pusę. Apskaičiavę pusperimetrą, galite pradėti nustatyti plotą naudodami formulę:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kur

sqrt - kvadratinė šaknis;

p - pusiau perimetro reikšmė (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - trikampio briaunos (kraštinės).

Bet ką daryti, jei trikampis yra netaisyklingos formos? Čia yra du galimi būdai. Pirmasis iš jų – pabandyti tokią figūrą padalinti į du stačiuosius trikampius, kurių plotų suma apskaičiuojama atskirai, o po to pridedama. Arba, jei kampas tarp dviejų kraštinių ir šių kraštinių dydis yra žinomi, taikykite formulę:

S = 0,5 * ab * sinC, kur

a,b - trikampio kraštinės;

c yra kampo tarp šių kraštinių dydis.

Pastarasis atvejis praktikoje yra retas, tačiau nepaisant to, gyvenime viskas įmanoma, todėl aukščiau pateikta formulė nebus nereikalinga. Sėkmės atliekant skaičiavimus!