Pavyzdžiui, seka \(2\); \(5\); \(8\); \(vienuolika\); \(14\)... yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas paskesnis elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šeši.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga nurodoma maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami nariai(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip aritmetinė progresija, bet su skaitine indeksu, lygiu elemento skaičiui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetinės progresijos uždavinių sprendimas

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant ir OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite šios progresijos pirmojo neigiamo nario reikšmę.
Sprendimas:

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Duoti keli iš eilės aritmetinės progresijos elementai: \(…5; x; 10; 12.5...\) Raskite elemento, pažymėto raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija apibrėžiama tokiomis sąlygomis: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos problemų galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką - kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas paskesnis šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio ( progresavimo skirtumas).

Tačiau kartais būna situacijų, kai apsispręsti „prieš akis“ yra labai nepatogu. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Ar turėtume pridėti keturis \(385\) kartus? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Pavargsite skaičiuoti...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia dalykų „priešais“, o naudoja specialias aritmetinei progresijai išvestas formules. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir \(n\) pirmųjų narių sumos formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) – progresijos su skaičiumi \(n\) terminas.

Ši formulė leidžia greitai rasti net trijų šimtųjų ar milijonų elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) – paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama \(n\) pirmųjų elementų suma;
\(a_1\) – pirmasis sumuojamas terminas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – elementų skaičius sumoje.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite visą informaciją, kurios jums reikia norint išspręsti beveik bet kokią aritmetinės progresijos problemą. Užbaikime temą apsvarstydami uždavinius, kuriuose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek pagalvoti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau jūs galite lengvai juos rasti.

Mokantis algebros vidurinėje mokykloje (9 klasėje), viena iš svarbių temų yra skaitinių sekų, apimančių progresijas – geometrines ir aritmetines, studijavimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina apibrėžti nagrinėjamą progresą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios vėliau bus naudojamos sprendžiant problemas.

Aritmetinis arba yra sutvarkytų racionaliųjų skaičių rinkinys, kurio kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tam tikra pastovia reikšme. Ši vertė vadinama skirtumu. Tai reiškia, kad žinodami bet kurį tvarkingos skaičių sekos narį ir skirtumą, galite atkurti visą aritmetinę progresiją.

Pateikime pavyzdį. Ši skaičių seka bus aritmetinė progresija: 4, 8, 12, 16, ..., nes skirtumas šiuo atveju yra 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tačiau skaičių aibės 3, 5, 8, 12, 17 nebegalima priskirti nagrinėjamam progresijos tipui, nes jos skirtumas nėra pastovi reikšmė (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17–12).

Svarbios formulės

Dabar pateiksime pagrindines formules, kurių prireiks sprendžiant uždavinius naudojant aritmetinę progresiją. Simboliu a n pažymėkime n-tąjį sekos narį, kur n yra sveikas skaičius. Skirtumą žymime lotyniška raide d. Tada galioja šios išraiškos:

1. N-ojo nario reikšmei nustatyti tinka tokia formulė: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Pirmųjų n narių sumai nustatyti: S n = (a n +a 1)*n/2.

Norint suprasti bet kokius aritmetinės progresijos su sprendimais pavyzdžius 9 klasėje, pakanka prisiminti šias dvi formules, nes bet kokios nagrinėjamo tipo problemos yra pagrįstos jų naudojimu. Taip pat turėtumėte atsiminti, kad progresijos skirtumas nustatomas pagal formulę: d = a n - a n-1.

1 pavyzdys: nežinomo termino radimas

Pateiksime paprastą aritmetinės progresijos pavyzdį ir formules, kurias reikia naudoti norint ją išspręsti.

Tegu duota seka 10, 8, 6, 4, ..., joje reikia rasti penkis terminus.

Iš uždavinio sąlygų jau išplaukia, kad žinomi pirmieji 4 terminai. Penktoji gali būti apibrėžta dviem būdais:

1. Pirmiausia apskaičiuokime skirtumą. Turime: d = 8 - 10 = -2. Panašiai galite paimti bet kuriuos kitus du narius, stovinčius šalia vienas kito. Pavyzdžiui, d = 4 - 6 = -2. Kadangi žinoma, kad d = a n - a n-1, tai d = a 5 - a 4, iš kurio gauname: a 5 = a 4 + d. Pakeičiame žinomas reikšmes: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Antrasis metodas taip pat reikalauja žinoti apie nagrinėjamos progresijos skirtumą, todėl pirmiausia turite jį nustatyti, kaip parodyta aukščiau (d = -2). Žinodami, kad pirmasis narys a 1 = 10, naudojame sekos n skaičiaus formulę. Turime: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Pakeitę n = 5 į paskutinę išraišką, gauname: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kaip matote, abu sprendimai davė tą patį rezultatą. Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje progresijos skirtumas d yra neigiama reikšmė. Tokios sekos vadinamos mažėjančiomis, nes kiekvienas kitas narys yra mažesnis nei ankstesnis.

2 pavyzdys: progresijos skirtumas

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį, pateikime pavyzdį, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą.

Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.

Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pakeiskime į ją žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 = 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) /6 = 2. Taigi, mes atsakėme į pirmąją uždavinio dalį.

Norėdami atkurti 7-ojo nario seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, ty a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Pavyzdys Nr. 3: progresijos sudarymas

Dar labiau apsunkinkime problemą. Dabar turime atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galima pateikti tokį pavyzdį: pateikiami du skaičiai, pavyzdžiui - 4 ir 5. Būtina sukurti algebrinę progresiją, kad tarp jų būtų dedami dar trys nariai.

Prieš pradėdami spręsti šią problemą, turite suprasti, kokią vietą pateikti skaičiai užims ateityje. Kadangi tarp jų bus dar trys nariai, tada a 1 = -4 ir a 5 = 5. Tai nustatę pereiname prie problemos, kuri yra panaši į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 = a 1 + 4 * d. Iš: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Tai, ką mes čia gavome, yra ne sveikoji skirtumo reikšmė, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progreso terminus. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kurie sutapo su problemos sąlygomis.

Pavyzdys Nr. 4: pirmasis progresavimo terminas

Toliau pateiksime aritmetinės progresijos su sprendiniais pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar panagrinėkime kitokio tipo uždavinį: tebūnie du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, kuriuo skaičiumi ši seka prasideda.

Iki šiol naudojamos formulės daro prielaidą, kad žinome apie 1 ir d. Problemos pareiškime apie šiuos skaičius nieko nežinoma. Nepaisant to, kiekvienam terminui, apie kurį turima informacija, užrašysime išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Lengviausias būdas išspręsti šią sistemą yra išreikšti 1 kiekvienoje lygtyje ir palyginti gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (duoti tik 3 skaitmenys po kablelio).

Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos terminą. Gauname: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Maža paklaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.

Pavyzdys Nr. 5: suma

Dabar pažvelkime į kelis pavyzdžius su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.

Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?

Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, šią problemą galima išspręsti, tai yra sudėti visus skaičius paeiliui, ką kompiuteris padarys vos tik žmogui paspaudus Enter klavišą. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį į tai, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Pritaikę sumos formulę, gauname: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu tai, kad ši problema vadinama „gausišku“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, kuriam dar tik 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad jei sudėsite skaičius sekos galuose poromis, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

Pavyzdys Nr. 6: terminų suma nuo n iki m

Kitas tipiškas aritmetinės progresijos sumos pavyzdys yra toks: pateikiant skaičių seriją: 3, 7, 11, 15, ..., reikia rasti, kokia bus jos narių suma nuo 8 iki 14. .

Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų nedaug, šis metodas nėra gana daug darbo reikalaujantis. Nepaisant to, šią problemą siūloma išspręsti naudojant antrąjį metodą, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n > m, akivaizdu, kad 2-oji suma apima ir pirmąją. Paskutinė išvada reiškia, kad paėmę skirtumą tarp šių sumų ir prie jo pridėję terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), gausime reikiamą problemos atsakymą. Turime: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos žiniomis apie n-ojo nario išraišką ir pirmųjų narių aibės sumos formulę. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką reikia rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendiniu Nr. 6 pavyzdyje galima būtų sustoti ties formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir suskirstykite bendrą problemą į atskiras užduotis (šiuo atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Sužinojome, kaip rasti aritmetinę progresiją. Jei išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.

Internetinis skaičiuotuvas.
Aritmetinės progresijos sprendimas.
Duota: a n , d, n
Raskite: 1

Ši matematinė programa randa aritmetinės progresijos \(a_1\), pagrįstą vartotojo nurodytais skaičiais \(a_n, d\) ir \(n\).
Skaičiai \(a_n\) ir \(d\) gali būti nurodyti ne tik kaip sveikieji skaičiai, bet ir kaip trupmenos. Be to, trupmeninį skaičių galima įvesti dešimtainės trupmenos (\(2,5\)) ir paprastosios trupmenos (\(-5\frac(2)(7)\)) pavidalu.

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo paieškos procesą.

Ši internetinė skaičiuoklė gali praversti vidurinių mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakils.

Jei nesate susipažinę su skaičių įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Skaičių įvedimo taisyklės

Skaičiai \(a_n\) ir \(d\) gali būti nurodyti ne tik kaip sveikieji skaičiai, bet ir kaip trupmenos.
Skaičius \(n\) gali būti tik teigiamas sveikasis skaičius.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys dešimtainėse trupmenose gali būti atskirtos tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti dešimtaines trupmenas, pvz., 2,5 arba 2,5

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Įvestis:
Rezultatas: \(-\frac(2)(3)\)

Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Įvestis:
Rezultatas: \(-1\frac(2)(3)\)

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Skaičių seka

Kasdienėje praktikoje dažnai naudojamas įvairių objektų numeravimas, nurodant jų išdėstymo tvarką. Pavyzdžiui, kiekvienoje gatvėje esantys namai yra sunumeruoti. Bibliotekoje skaitytojų abonementai yra sunumeruojami ir išdėliojami priskirtų numerių tvarka specialiose kortelių bylose.

Taupymo kasoje, naudodamiesi asmeniniu indėlininko sąskaitos numeriu, galite lengvai rasti šią sąskaitą ir pamatyti, koks indėlis joje yra. Tegul sąskaitoje Nr.1 ​​yra a1 rublio depozitas, 2 sąskaitoje - a2 rublis ir t.t.. Pasirodo skaičių seka
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kur N yra visų sąskaitų skaičius. Čia kiekvienas natūralusis skaičius n nuo 1 iki N yra susietas su skaičiumi a n.

Taip pat mokėsi matematikos begalinės skaičių sekos:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Skaičius a 1 vadinamas pirmasis sekos narys, numeris a 2 - antrasis sekos terminas, numeris a 3 - trečiasis sekos narys ir tt
Skaičius a n vadinamas n-asis (n-asis) sekos narys, o natūralusis skaičius n yra jo numerį.

Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ir 1 = 1 kvadratų sekoje yra pirmasis sekos narys; ir n = n 2 yra n-tasis sekos narys; a n+1 = (n + 1) 2 yra (n + 1)-asis (n plius pirmasis) sekos narys. Dažnai seka gali būti nurodyta jos n-ojo nario formule. Pavyzdžiui, formulė \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) apibrėžia seką \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4), \taškai,\frac(1)(n), \taškai \;

Aritmetinė progresija

Metų ilgis yra maždaug 365 dienos. Tikslesnė reikšmė yra \(365\frac(1)(4)\) dienų, todėl kas ketverius metus kaupiasi vienos dienos paklaida.

Siekiant atsižvelgti į šią klaidą, prie kas ketvirtų metų pridedama diena, o pratęsti metai vadinami keliamaisiais metais.

Pavyzdžiui, trečiajame tūkstantmetyje keliamieji metai yra 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Šioje sekoje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, pridedamas prie to paties skaičiaus 4. Tokios sekos vadinamos aritmetinės progresijos.

Apibrėžimas.
Vadinama skaičių seka a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmetinė progresija, jei visiems natūraliems n lygybė
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kur d yra koks nors skaičius.

Iš šios formulės išplaukia, kad a n+1 – a n = d. Skaičius d vadinamas skirtumu aritmetinė progresija.

Pagal aritmetinės progresijos apibrėžimą turime:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kur
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kur \(n>1 \)

Taigi kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus dviejų gretimų jos narių aritmetiniam vidurkiui. Tai paaiškina pavadinimą „aritmetinė“ progresija.

Atkreipkite dėmesį, kad jei pateikti a 1 ir d, tai likusius aritmetinės progresijos narius galima apskaičiuoti naudojant pasikartojančią formulę a n+1 = a n + d. Tokiu būdu nesudėtinga suskaičiuoti pirmąsias progresijos sąlygas, tačiau, pavyzdžiui, 100 jau reikės daug skaičiuoti. Paprastai tam naudojama n-oji termino formulė. Pagal aritmetinės progresijos apibrėžimą
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
ir tt
Iš viso,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kadangi n-asis aritmetinės progresijos narys gaunamas iš pirmojo nario pridedant (n-1) skaičių d.
Ši formulė vadinama aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė.

Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma

Raskite visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 100 sumą.
Parašykime šią sumą dviem būdais:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Pridėkime šias lygybes po termino:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Šią sumą sudaro 100 terminų
Todėl 2S = 101 * 100, taigi S = 101 * 50 = 5050.

Dabar panagrinėkime savavališką aritmetinę progresiją
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Tegul S n yra pirmųjų n šios progresijos narių suma:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Tada aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma lygi
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Kadangi \(a_n=a_1+(n-1)d\), tai pakeitę n šioje formulėje gauname kitą formulę, kaip rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Instrukcijos

Aritmetinė progresija yra a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d formos seka. Skaičius d žingsnis progresija.Akivaizdu, kad savavališko n-ojo aritmetikos nario bendrasis progresija turi tokią formą: An = A1+(n-1)d. Tada pažinodamas vieną iš narių progresija, narys progresija ir žingsnis progresija, galite, tai yra progreso nario numeris. Akivaizdu, kad tai bus nustatyta pagal formulę n = (An-A1+d)/d.

Tegul dabar yra žinomas m-asis terminas progresija ir dar vienas narys progresija- n-asis, bet n , kaip ir ankstesniu atveju, tačiau žinoma, kad n ir m nesutampa progresija galima apskaičiuoti naudojant formulę: d = (An-Am)/(n-m). Tada n = (An-Am+md)/d.

Jei žinoma kelių aritmetinės lygties elementų suma progresija, taip pat jo pirmasis ir paskutinis, tada galima nustatyti ir šių elementų skaičių Aritmetikos suma progresija bus lygus: S = ((A1+An)/2)n. Tada n = 2S/(A1+An) - chdenov progresija. Naudojant tai, kad An = A1+(n-1)d, šią formulę galima perrašyti taip: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iš to galime išreikšti n spręsdami kvadratinę lygtį.

Aritmetinė seka – tai sutvarkyta skaičių aibė, kurios kiekvienas narys, išskyrus pirmąjį, tuo pačiu skiriasi nuo ankstesnio. Ši pastovi reikšmė vadinama progresijos arba jos žingsnio skirtumu ir gali būti apskaičiuojama iš žinomų aritmetinės progresijos narių.

Instrukcijos

Jei iš uždavinio sąlygų žinomos pirmosios ir antrosios ar bet kurios kitos gretimų terminų poros reikšmės, norėdami apskaičiuoti skirtumą (d), tiesiog atimkite ankstesnįjį iš tolesnio termino. Gauta reikšmė gali būti teigiamas arba neigiamas skaičius – tai priklauso nuo to, ar progresija didėja. Bendrąja forma parašykite savavališkos poros (aᵢ ir aᵢ₊₁) gretimų progresijos narių sprendimą taip: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Tokios progresijos narių porai, iš kurių vienas yra pirmasis (a₁), o kitas yra bet kuri kita savavališkai pasirinkta, taip pat galima sukurti skirtumo (d) nustatymo formulę. Tačiau šiuo atveju turi būti žinomas savavališkai pasirinkto sekos nario eilės numeris (i). Norėdami apskaičiuoti skirtumą, sudėkite abu skaičius ir gautą rezultatą padalinkite iš savavališko nario eilės skaičiaus, sumažinto vienetu. Apskritai šią formulę parašykite taip: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jei, be savavališko aritmetinės progresijos nario su eilės skaičiumi i, žinomas kitas narys su eilės skaičiumi u, atitinkamai pakeiskite ankstesnio žingsnio formulę. Šiuo atveju progresijos skirtumas (d) bus šių dviejų narių suma, padalinta iš eilės skaičių skirtumo: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Skirtumo (d) skaičiavimo formulė tampa šiek tiek sudėtingesnė, jei uždavinio sąlygos pateikia jo pirmojo nario reikšmę (a₁) ir duoto skaičiaus (i) pirmųjų aritmetinės sekos narių sumą (Sᵢ). Norėdami gauti norimą reikšmę, padalykite sumą iš ją sudarančių terminų skaičiaus, atimkite pirmojo sekos skaičiaus reikšmę ir padvigubinkite rezultatą. Padalinkite gautą reikšmę iš terminų, sudarančių sumą, skaičiaus, sumažinto vienu. Apskritai diskriminanto apskaičiavimo formulę parašykite taip: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).